Возрастная группа: 6º ano, 5 º ano, 4 º ano

Transcrição

1 1 План урока Enigmas Fracionários: Denominad ores Diferentes Возрастная группа: 6º ano, 5 º ano, 4 º ano Онлайн ресурсы: E ni gmas de De spe jar Avanç ado s Abert ura Professor apresent a Alunos prat icam Discussão com a Classe 20 мин 1 2 мин 1 2 мин 1 2 мин OBJ ET IVOS E xpe ri me nt ar adição e subtração de frações e números mistos utilizando volumes líquidos P rat i c ar a adição e a subtração envolvendo frações e números mistos com denominadores diferentes Aprende r a determinar o denominador comum De se nvo l ver estratégias para chegar ao valor específico usando a adição e a subtração mas sem depender da adivinhação Abe rt ura 20 мин

2 2 Apresente o seguinte cenário para sua classe: uma barra de chocolate é composta por 12 pedaços separáveis (mostrado abaixo). Pode ser útil usar algo manipuláveis que você possa dividir em pedaços. P e rgunt e a classe: Qual fração do chocolate estou comendo se eu comer 1 pedaço? Teoricamente, a classe irá chegar a conclusão com relativa rapidez que você está comendo 1/12 da barra de chocolate. Se alguns alunos ainda estiverem enfrentando dificuldades com a ideia básica de fração, tente usar esse momento como uma oportunidade de ensinar, dizendo: Eu estou comendo 1 pedaço de 12 pedaços possíveis no inteiro, isso significa que 1 é o numerador e 12 é o denominador. P e rgunt e a classe: Qual fração do chocolate estou comendo se eu comi 6 pedaços? A resposta imediata, baseada nas suas respostas anteriores, pode ser 6/12. Neste momento, a ideia de frações equivalentes deve ser de alguma forma familiar para os seus alunos, então você pode perguntar a eles se há outra maneira de pensar nesta fração. Se seus alunos aparentarem ter qualquer dificuldade, considere mostrar uma divisão vertical no meio da barra e colocando uma metade em cima da outra (ou apenas apontando que as duas

3 3 partes têm o mesmo tamanho). Assim, seus alunos devem reconhecer que 6/12 = 1/2. Sonde ainda mais perguntando: Existem outras maneiras que eu poderia pensar em 6/12? As respostas devem incluir 2/4 e 3/6. Veja se você pode fazer sua classe chegar em 4/8 também. Note: Existem muitas respostas corretas, incluindo 5/10, embora muitas destas não possam surgir neste exercício específico. P e rgunt e a classe: Suponha que eu comi 2/3 da barra de chocolate. De que outra forma eu poderia pensar nesta quantia? Alguns alunos podem dizer coisas como: Você está comendo 2 de cada 3 pedaços. Este tipo de resposta do aluno está correta, então encoraje este tipo de pensamento conceitual, mas dirija-se para frações equivalentes. Notavelmente, 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12. Mova para um cenário em que você está adicionando porções de barras de chocolate. Por exemplo, di ga: Seu amigo já tem um quarto de uma barra de chocolate. Se você quer dar a metade de uma barra de chocolate a este amigo, quanto seu amigo terá? Em última análise, o objetivo é relacionar a resposta às frações. Um método que seus alunos podem usar é converter essas frações em pedaços. Fazendo assim concluímos que o seu amigo começou com 3

4 4 pedaços, então foi dado mais 6. Assim, o seu amigo tem 9 pedaços, ou 9/12 de uma barra de chocolate. Apoie o pensamento deste tipo, uma vez que ele se relaciona com as ideias por trás da adição de frações com denominadores diferentes. Especificamente, relacione isto à soma: 3/12 + 6/12 = 9/12. Naturalmente, usar 12 como denominador não é necessariamente a escolha mais eficiente. Portanto, incentive seus alunos a pensar sobre o problema geral como a adição de 1/4 e 1/2. Enquanto estes não podem ser somados diretamente, lembre seus alunos que as frações podem ser adicionadas quando os denominadores são os mesmos. Por isso, precisamos encontrar uma fração equivalente para uma ou ambas as frações na soma. P e rgunt e à classe: Você pode pensar no menor número que é divisível tanto 4 quanto 2? Claro, o menor número é 4. A partir daqui, saliente que 1/4 já tem um denominador de 4, mas 1/2 não. Peça à classe por uma fração equivalente com o denominador de 4. Deve ser relativamente óbvio que 1/2 = 2/4. Assim, você pode concluir que 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4. i.e., o amigo tem agora 3/4 de uma barra de chocolate. Peça a sua classe para confirmar que isto é o mesmo que ter 9 pedaços, ou 9/12 de um bar. Considere mais dois cenários que exigem adição, usando casos onde (1) o menor denominador para a soma é nenhum dos

5 5 denominadores originais, e (2) a soma é um número maior que 1. por exemplo, para (1) você pode adicionar 1/3 e 1/4. por exemplo, para (2) você pode adicionar 5/12 e 3/4. Em seguida, considere exemplos que requerem subtração de frações (ou números mistos) com denominadores diferentes. Por exemplo: Suponha que você começou com 11/12 de uma barra de chocolate, em seguida, comeu metade de uma barra de chocolate. Que fração da barra sobrou? Enquanto seus alunos podem desejar converter essas frações para a ideia mais tangível de pedaços, subtrair e, em seguida, converter de volta em frações, incentive-os a tentar manipular o exercício usando apenas frações. Assim, eles precisam avaliar a diferença: 11/12-1/2. Como anteriormente, lembre a classe que eles podem subtrair frações, mas que as frações requerem o mesmo denominador. P e rgunt e à classe: Qual é o menor número divisível tanto 12 quanto 2? Claro, eles devem eventualmente chegar a 12. A partir daqui, saliente que 11/12 já tem um denominador 12, mas 1/2 não. P e ç a à classe por uma fração equivalente com o denominador 12. Deve ser relativamente óbvio que 1/2 = 6/12. Assim, você pode concluir que 11/12-6/12 = 5/12. i.e., você tem agora 5/12 de uma barra do chocolate. Se sua classe converteu em pedaços de chocolate, certifiquese de que eles chegaram na mesma resposta.

6 6 Considere mais dois cenários que requerem subtração, usando casos onde (1) o menor denominador para a diferença é nenhum dos denominadores originais, e (2) a diferença começa com um número maior que 1. por exemplo, para (1) pode encontrar a diferença de 5/6 e 3/4. por exemplo, para (2) você pode encontrar a diferença de 1½ e 3/4. P ro f e sso r aprese nt a jo go mat e mát i c o : E ni gmas de De spe jar Avanç ado s - Adi ç ão de de no mi nado res di f e rent e s 12 мин Apresente o episódio da Matific E ni gmas de De spe jar Avanç ado s - Adi ç ão de de no mi nado res di f e rent e s para a classe, usando o projetor. O objetivo deste episódio é usar adição e subtração com quantidades dadas para atingir uma quantidade específica. A principal mudança dos episódios anteriores de Enigmas de Despejar é que este episódio usa frações e números mistos com denominadores diferentes. Cada tela começa com duas ou três jarras, cada uma das quais pode ser preenchido com água, arrastando a jarra para a torneira. Note que as jarras podem ser esvaziadas arrastando-as para a planta. No exemplo abaixo, as duas quantidades dadas (volumes das jarras) são ½ e ¾ (onde o volume está em litros). Note: Os exemplos mencionados nesta parte do plano de aula podem ser encontrados usando o modo de apresentação. A quantidade específica que deve ser alcançada é ½ (litro).

7 7 Assim, a classe precisará descobrir como chegar a ¼ usando alguns ou todos os valores ½ e ¾. Note que esta quantidade também precisará terminar na jarra correta (aqui, a jarra de ½ litro). Exe m plo : No exemplo acima, há provavelmente várias maneiras de chegar ao resultado correto. Em primeiro lugar, é bom incentivar seus alunos a se acostumar com as peças envolvidas, mas como o episódio continua, tente empurrar a classe para uma abordagem mais analítica para resolver esses problemas. Enquanto estamos tentando obter ¼ litro de água na jarra de ½ litro, a questão abstrata equivalente é: Como podemos fazer ¼ de ¾ e ½? Embora este não seja um exercício óbvio, alguns alunos podem notar que ¾ - ½ = ¼. P e rgunt e a eles como essa equação pode ser usada para alcançar a meta.

8 8 A maioria de seus alunos precisará pensar nessas frações com denominadores semelhantes para fazer progresso (analítico) significativo na resolução do enigma do volume. Aqui, podemos pensar nas jarras como tendo volumes de 3/4 e 2/4. Então, é muito mais simples concluir que 3/4-2/4 = 1/4. Assim, encha o jarro de ¾ litros, então encha o jarro de ½ litro usando esta água, o que deixa ¼ litro na jarra de ¾ litros. O ¼ litro de água precisa acabar na jarra de ½ litro, então esvazie a jarra de ½ litro, então despeje o ¼ litro de água nela. Etapas para outra solução são mostradas abaixo. Encha a jarra de ½ litro e arraste-a para a jarra vazia de ¾ litros. Em seguida, repita este processo. Apenas ¼ litro de água pode ser derramado na jarra de ¾ litro neste ponto, deixando ¼ litro de água na jarra de ½ litro, como desejado. Exe m plo : Isto é equivalente a ½ + ½ - ¾ = ¼. Naturalmente, muitos de seus alunos precisarão pensar nisso como 2/4 + 2/4-1/4 = 3/4. Alguns alunos também podem reconhecer que ½ + ½ = 1, e que 1 - ¾ = ¼, o que é possível obter logicamente (ou seja, sem encontrar um denominador semelhante).

9 9 No exemplo abaixo, todas as 3 jarras têm denominadores diferentes. Como primeiro passo, pergunte à sua classe qual poderia ser o menor denominador comum. A resposta deve ser 8, embora, se respostas maiores forem dadas, certifique-se de tomar um momento para resolver qualquer confusão em torno de encontrar tal denominador. Observe também que não é errado usar um denominador maior, embora os cálculos possam se tornar mais complicado. Encontrar frações equivalentes para cada volume de jarra produz (da esquerda para a direita): 10/8, 5/8, 4/8. Assim, o objetivo é usar essas quantidades para obter 3/8. Exe m plo : Este não é um problema de uma etapa, por isso pode levar algum tempo para os seus alunos a chegarem a uma solução. Considere perguntar se é possível fazer 1/8 e 2/8.

10 10 Uma solução usando a estratégia de encontrar 1/8 e 2/8 é primeiro encher a jarra de 1¼ litro, despejá-la na jarra de ½ litro, esvaziar a jarra de ½ litro e, mais uma vez, despejar água da jarra de 1¼ de litro na jarra de ½ litro. Isto é equivalente a 10/8-4/8-4/8 = 2/8. Assim, deve haver 2/8 litro de água deixada na jarra de 1¼ litro. A partir daqui, esvazie a jarra de ½ litro e encha a jarra de 5/8-litro. Como mostrado abaixo, despeje água da jarra de ⅝ de litro na jarra de ½ litro. Isto é equivalente a 5/8-4/8 = 1/8. Isto é equivalente a 5/8-4/8 = 1/8. Assim, deve haver 1/8 litro de água deixada na jarra de ⅝ de litro. Despejando esta água na jarra de 1¼ litro faz 3/8 litro de água, como desejado. Exe m plo : Lembre sua classe que outras soluções existirão na maioria dos casos. Por exemplo, a quantidade desejada de 3/8 pode ser encontrada usando a aritmética equivalente: 4/8 + 4/8-5/8 = 3/8. Porque existem muitas soluções, incentive o pensamento único e os processos que seus alunos desenvolverem.

11 11 Peça a eles para explicar por que seu processo funciona, mais uma vez tentando se afastar de mera suposição. Além disso, desafie-os a encontrar caminhos mais concisas para a solução, já que muitas soluções terão etapas estranhas ou processos repetidos. Al uno s prat i c am jo go mat e mát i c o : E ni gmas de De spe jar Avanç ado s - Adi ç ão de de no mi nado res di f e rent e s 12 мин Deixe os alunos jogarem E ni gmas de De spe jar Avanç ado s - Adi ç ão de de no mi nado res di f e rent e s em seus dispositivos pessoais. Circule, respondendo às perguntas. Continue a desenvolver estratégias criativas e analíticas. Incentive seus alunos a escrever a aritmética que corresponde ao preenchimento e esvaziamento de suas jarras, quando apropriado. Isso pode ajudar a manter o controle das quantidades em jarras parcialmente cheias. Além disso, dado que estes são exercícios multi-passo, ter a aritmética servirá como um guia para o que fazer com as jarras. Considere deixar seus alunos trabalharem em duplas, para que eles possam compartilhar e comparar estratégias, bem como chegar a soluções mais eficientes. Os alunos avançados podem passar a jogar outra variante de Enigmas de Despejar: E ni gmas de De spe jar Avanç ado s - E ni gmas de adi c i o nar avanç ado s. Este episódio contém os mesmos conceitos que no primeiro episódio, mas oferece cenários um pouco mais desafiadores.

12 12 Di sc ussão c o m a Cl asse 12 мин Explique os desafios enfrentados pelos alunos ao trabalharem individualmente. Peça à classe por respostas sobre como lidaram com problemas comuns que seus colegas de classe levantaram. Lembre à classe que os exercícios no episódio não são certamente simples - especialmente por causa do elemento visual adicionado - mas que ter conforto com adição e subtração de frações pode ajudar muito. Se uma parte considerável da classe ainda parecer estar lutando com a adição e subtração de números mistos, números inteiros e frações, considere trabalhar com alguns exemplos sem um visual ou cenário. Ao relacionar conceitos ao mundo real uma boa maneira de fazer isso com que seus alunos se convençam da importância de um conceito, aprender a estrutura básica da aritmética é muitas vezes mais simples sem a complexidade adicional de uma conexão do mundo real. Se você acha que seus alunos estão compreendendo o conceito de somar e subtrair frações e números mistos com denominadores diferentes, transforme os exemplos ligeiramente mais envolvidos de espírito semelhante àqueles do episódio apresentando da Matific E ni gmas de De spe jar Avanç ado s - E ni gmas de adi c i o nar avanç ado s para a classe. Todos os conceitos e funcionalidades são os mesmos do episódio anterior, mas esses exemplos envolvem manipulações um pouco mais desafiadoras. No exemplo abaixo, as três quantidades dadas são 2/3, 1/2 e 1/5 de litro. A quantidade desejada é 3/10 litros.

13 13 Note: Este exemplo pode ser encontrado usando o modo de apresentação. Exe m plo : Como com a maioria desses exemplos, há provavelmente várias maneiras de chegar ao resultado correto. Mais uma vez, a questão abstrata correspondente a este cenário é: Como podemos fazer 3/10 de 2/3, 1/2 e 1/5? Este é um bom ponto para lembrar seus alunos que as jarras podem ser usados mais de uma vez, ou talvez nenhuma vez. De fato, aqui só precisamos usar 2 jarras para obter a quantidade desejada. A jarra final simplesmente manterá essa quantidade de água. Uma pista sobre por que só precisamos usar 2 jarras (1/2 e 1/5) é que a quantidade desejada tem um denominador de 10, o que significa que (exceto a simplificação) a jarra de 2/3 litros não será usada. Mesmo sem descartar usar a jarra de 2/3-litro, seus alunos devem

14 14 ser capazes de chegar à conclusão de que 1/2-1/5 = 3/10. Isto corresponde à seguinte equação usando denominadores comuns: 5/10-2/10 = 3/10. Como mostrado abaixo, a jarra de ½ litro pode ser enchida, em seguida, despejada na jarra de 1/5-litro, que deve deixar 3/10 litro de água na jarra de ½ litro. Basta transferir esta quantidade para a jarra correta (2/3-litro). Exe m plo : É fácil se perder nas possibilidades, especialmente quando todos os 3 denominadores são diferentes, e a quantidade desejada tem um denominador que difere das 3 jarras. Abaixo, um tipo diferente de desafio é apresentado. As 3 jarras têm volumes de 7/9, 3/4 e 1/2 litros. Isto corresponde a 28/36, 27/36 e 18/36 litros, respectivamente. Exe m plo : Os valores aqui representam parte do desafio, considerando que o menor denominador é bastante grande e não é um dos denominadores existentes.

15 15 Este pode ser um cenário onde encontrar 19/36 é significativamente mais desafiador do que encontrar duas frações que somam 19/36. Por exemplo, uma quantidade é 18/36, então pode fazer sentido para ver se 1/36 pode ser obtido (18/36 + 1/36 = 19/36). 1/36 pode ser obtido a partir de 28/36-27/36 (7/9-3/4). Como mostrado acima, encher a jarra de ½ litro dará 18/36 litro, enquanto encher a jarra de 7/9-litro e despejando-a na jarra de ¾ litros deixará 1/36 litro na jarra de 7/9-litro. A partir daqui, basta esvaziar a jarra de ½ litro para a jarra de 7/9- litro, fazendo 19/36 litro, como desejado. Um dos maiores desafios nesses exercícios não é a aritmética, mas sim a capacidade de resolver problemas de múltiplos passos, especialmente quando alguma premeditação é necessária. Incentive seus alunos a apreciar o desafio. Também certifique-se de que eles continuam tentando encontrar caminhos mais eficientes para soluções.

16 16 Usar papel de rascunho para escrever algumas das aritmética ou etapas é uma boa ferramenta, pois não exige que seus alunos acompanhem todas as quantidades em suas cabeças.