MODELAGEM MATEMÁTICA PARA DESCRIÇÃO DA CINÉTICA DE SECAGEM DO FEIJÃO ADZUKI (Vigna angularis)

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1 171 ISSN MODELAGEM MATEMÁTICA PARA DESCRIÇÃO DA CINÉTICA DE SECAGEM DO FEIJÃO ADZUKI (Vigna angularis) Osvaldo Resende 1, Lênio Urzêda Ferreira 2, Dieimisson Paulo Almeida 3 RESUMO Objetivou-se com o presente trabalho ajustar diferentes modelos matemáticos aos dados experimentais da secagem do feijão adzuki (Vigna angularis) e selecionar aquele que melhor representa o fenômeno. Foram utilizados grãos de feijão adzuki cultivados na safra de verão de 2007/2008, colhidos manualmente, com teor de água de 1,15 (decimal b.s.) secos até o teor de 0,11 (decimal b.s.). A secagem do feijão foi realizada em secador experimental mantido nas temperaturas controladas de 30, 40, 50, 60 e 70 C e umidades relativas de 52,0; 28,0; 19,1; 13,1 e 6,8 %, respectivamente. Concluiu-se que dentre os modelos analisados, Midilli e Henderson e Pabis Modificado apresentaram os melhores ajustes para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki. Assim, recomenda-se o modelo de Midilli, por apresentar operações matemáticas simples e possuir menor número de coeficientes. A relação entre a constante de secagem k desse modelo e a temperatura do ar pode ser descrita pela relação de Arrhenius, apresentando uma energia de ativação de 38,9391 kj.mol -1.K -1. Palavras-chave: teor de água, modelos matemáticos, parâmetros estatísticos. MATHEMATICAL MODELLING FOR DESCRIBING THE DRYING KINETICS OF ADZUKI BEANS (Vigna angularis) ABSTRACT The objective of this study is to adjust the different mathematical models to the drying process used for adzuki beans (Vigna angularis), and to select one that best represents the phenomenon. We used adzuki beans grown in 2007/2008 seasons, harvested manually with a water content of 1.15 (decimal db) at a drying up level of 0.11 (decimal db). The drying of beans was carried out in an experimental dryer maintained at controlled temperatures of 30, 40, 50, 60 and 70 C and relative humilities of 52.0, 28.0, 19.1, 13.1 and 6.8%, respectively. It was concluded that from all the models tested, the Midilli Pabisa Modified Henderson were the ones that presented the best performance in describing the drying kinetics of adzuki beans. The model Midilli is, therefore, recommended for employing simple mathematics and fewer coefficients. The relationship between the drying constant "k" of this model and the air temperature can be described by the Arrhenius relationship with activation energy of K kj.mol-1. Keywords: water content, mathematical models, statistical parameters. 1 Engº Agrícola, Prof. Dr. IFGoiano Campus Rio Verde, Rodovia Sul Goiana, km 1, Zona Rural Rio Verde, GO, CEP: , osvresende@yahoo.com.br 2 Estudante de Agronomia, Bolsista de Iniciação Científica, IFGoiano Campus Rio Verde, Rodovia Sul Goiana, km 1, Zona Rural Rio Verde, GO, CEP: , lenio_urzeda@hotmail.com 3 Estudante de Agronomia, Bolsista de Iniciação Científica CNPq, IFGoiano Campus Rio Verde, Rodovia Sul Goiana, km 1, Zona Rural Rio Verde, GO, CEP: , dieimissonpa@hotmail.com

2 172 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. INTRODUÇÃO O feijão é cultivado em quase todos os países de clima tropical e subtropical e assume enorme importância na alimentação humana, fundamentalmente, devido ao seu baixo custo. Trata-se de um alimento rico em proteína, tem plena aceitação nos mais diversos hábitos alimentares e seu cultivo encontra-se disseminado em todo o país. O gênero Vigna compreende cerca de 160 espécies das quais somente sete são cultivadas. Dentre estas, o feijão adzuki (Vigna angularis) é produzido, principalmente, na Ásia (Vieira et al., 1992), sendo consumido principalmente na China, Japão e Coréia. O Japão é o maior produtor e importador de feijão-adzuki, com uma área de plantio em torno de 100 mil hectares. No Brasil ainda não há estatísticas precisas de produtores, produção ou área cultivada com esse tipo de feijão, que é consumido principalmente nas colônias japonesas, sobretudo na forma de doces e inúmeras iguarias orientais. Na fase de pós-colheita do feijão, a secagem é o processo mais utilizado para assegurar sua qualidade e estabilidade considerando que a diminuição da quantidade de água do material reduz a atividade biológica e as mudanças químicas e físicas que ocorrem durante o armazenamento. No entanto, durante a secagem em condições de temperatura e umidade relativa do ar que geram elevadas taxas de remoção de água, podem afetar substancialmente a qualidade dos grãos. No desenvolvimento e aperfeiçoamento de equipamentos utilizados para a secagem de grãos, é de fundamental importância à simulação e a obtenção de informações teóricas a respeito do comportamento de cada produto durante a remoção de água. Diversos modelos matemáticos têm sido utilizados para descrever o processo de secagem de produtos agrícolas. Embora várias teorias tenham sido propostas para predizer o comportamento da secagem de grãos e sementes, na maioria das vezes, as relações semi-empíricas e empíricas têm-se mostrado como melhores opções para predizer o processo de secagem, apesar de sua validade estar restrita às condições sob as quais os dados experimentais foram obtidos (Brooker et al., 1992). Estes modelos, geralmente, baseiam-se em variáveis externas ao produto, como a temperatura e a umidade relativa do ar de secagem. Entretanto, não fornecem indicações sobre os fenômenos de transporte de energia e de água no interior dos grãos e consideram que todo o processo de secagem ocorre somente no período de taxa decrescente. Recentemente têm sido realizados inúmeros trabalhos com o objetivo de identificar as características de diversos produtos agrícolas durante a secagem como: feijão adzuki (Almeida et al., 2009); feijão preto (Afonso Júnior & Corrêa, 1999), feijão vermelho (Corrêa et al., 2007; Resende et al., 2007; Resende et al., 2008), trigo (Sun & Woods, 1994; Goneli et al., 2007), trigo parbolizado (Mohapatra & Rao, 2005), arroz em casca (Basunia & Abe, 2001; Resende et al., 2005), dentre outros. Assim, objetivou-se com o presente trabalho ajustar diferentes modelos matemáticos aos dados experimentais da secagem do feijão adzuki (Vigna angularis) e selecionar aquele que melhor representa o fenômeno. MATERIAIS E MÉTODOS O trabalho foi realizado no laboratório de sementes IFGoiano-GO. Foram utilizados grãos de feijão adzuki (Vigna angularis), colhidos manualmente, com teor de água de, aproximadamente, 1,15 (decimal b.s.). Os teores de água do produto foram determinados por gravimetria, utilizando-se a estufa a 105±1 C, em três repetições até massa constante. A secagem do feijão adzuki foi realizada em secador experimental mantendo-se temperaturas controladas de 30, 40, 50, 60 e 70 C e umidades relativas de 52,0%, 28,0%, 19,1%, 13,1% e 6,8%, respectivamente. Durante o processo de secagem, as bandejas com as amostras foram pesadas periodicamente até o ponto final da secagem, aproximadamente 0,11 (decimal b.s.). A temperatura e a umidade relativa do ar de secagem foram monitoradas por meio de um psicrômetro instalado no interior do secador. Calculou-se o teor de água de equilíbrio dos grãos de feijão utilizando o modelo de Halsey modificado, conforme a seguinte expressão ajustada para o feijão por Resende et al. (2006):

3 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. 173 * 1 Ue = exp( 6,1927 0,0348 T ) ln( UR) 2,0973 (1) em que, * U : teor de água de equilíbrio do produto e (decimal b.s.); T : temperatura do ar de secagem ( C); UR : umidade relativa do ar de secagem (decimal). Para a determinação das razões de umidade do feijão adzuki durante a secagem nas diferentes condições de ar, foi utilizada a seguinte expressão: U * U * RU = e (2) U * * i U e em que, * U * U i : teor de água do produto (decimal b.s.); : teor de água inicial do produto (decimal b.s.); RU : razão de umidade do produto, adimensional; Aos dados experimentais da secagem do feijão ajustaram-se modelos matemáticos freqüentemente utilizados para representação da secagem de produtos agrícolas (Afonso Júnior & Corrêa, 1999; Akpinar et al., 2003; Ertekin & Yaldiz, 2004; Lahsasni et al., 2004; Corrêa et al., 2007), cujas expressões estão apresentadas na Tabela 1. Tabela 1. Modelos matemáticos utilizados para predizer o fenômeno de secagem de produtos agrícolas. Designação do modelo Modelo 2 RU = 1+ a t + b t Wang e Singh (3) ( k t) + ( 1 a) exp( k t) 1 Verna (4) 2 ( ) 0,5 n ( k t ) RU = exp -a- a + 4 b t 2 b Thompson (5) RU = exp Page (6) ( k t) RU = exp Newton (7) n ( k t ) + b t Midilli (8) ( k t) c ( k t) + Logarítmico (9) Henderson e Pabis (10) ( k t) + b exp( k t) + c exp( k t) o 1 Henderson e Pabis Modificado (11) ( k t) + ( 1 a ) exp ( k a t) Exponencial de Dois Termos (12) ( k t) + b exp( k t) o 1 Dois Termos (13) RU = a exp ( k t) + ( 1 a) exp ( k b t) Aproximação da Difusão (14) em que, t : tempo de secagem, h; k, k o, k 1 : constantes de secagem, h -1 ; a, b, c, n : coeficientes dos modelos. Para o ajuste dos modelos matemáticos realizou-se análise de regressão não linear, pelo método Gauss Newton, utilizando-se o programa computacional Statistica 5.0. Para verificar o grau de ajuste de cada modelo será considerada a significância do coeficiente de regressão pelo teste t, adotando o nível de 5% de probabilidade, a magnitude do coeficiente de

4 174 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. determinação (R 2 ), a magnitude do erro médio relativo (P) e do erro médio estimado (SE) e a verificação do comportamento da distribuição dos resíduos. O erro médio relativo e o erro médio estimado, para cada um dos modelos, foram calculados conforme as seguintes expressões: 100 Y = Ŷ P (15) n Y 2 ( Y Ŷ) SE = (16) GLR em que, Y : valor observado experimentalmente; Ŷ : valor calculado pelo modelo; n : número de observações experimentais; GLR : graus de liberdade do modelo (número de observações menos o número de parâmetros do modelo). RESULTADOS E DISCUSSÃO Na Figura 1 estão apresentados os valores experimentais da secagem de feijão adzuki realizada em diversas condições de temperatura e na umidade relativa do ar. Observa-se que não foi possível detectar o período de taxa de secagem constante para as condições testadas, mesmo considerando o alto teor de água inicial do produto (1,15 b.s.). A taxa de secagem acentua-se com o aumento da temperatura e redução da umidade relativa, concordando com os inúmeros resultados relatados na literatura referente a este tema de investigação. Figura 1. Valores experimentais do teor de água dos grãos de feijão adzuki (decimal b.s.) em função do tempo de secagem (horas) para as temperaturas de 30, 40, 50, 60 e 70ºC. Na Tabela 2 estão representados os valores do erro médio relativo estimado (SE), erro médio relativo (P) e do coeficiente de determinação (R2) para os modelos ajustados a cinética de secagem do feijão adzuki em diferentes temperaturas. Em relação aos coeficientes de determinação (R 2 ) referentes aos modelos matemáticos ajustados nota-se que os valores apresentaram-se superiores a 98%, indicando, de acordo com Madamba et al. (1996), uma representação satisfatória do fenômeno em estudo. Analisando os valores obtidos referentes ao erro médio estimado (SE), observa-se que os modelos Midilli (8) e Henderson e Pabis Modificado (11) apresentaram menores valores quando comparados aos demais modelos. Corrêa et al. (2007) também observaram que estes modelos apresentaram baixos valores do erro médio estimado, durante a modelagem da secagem do feijão vermelho. Ainda na Tabela 2, os modelos Midilli (8) e Henderson e Pabis Modificado (11) apresentaram menores valores do erro médio relativo, sendo inferiores a 10%, que de acordo com Mohapatra & Rao (2005), indica uma representação adequada do fenômeno, exceto para a temperatura de 30 C. Desta forma, verifica-se que os modelos Midilli (8) e Henderson e Pabis Modificado (11) obtiveram

5 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. 175 os melhores ajustes aos dados experimentais da secagem do feijão adzuki corroborando os resultados verificados por Corrêa et al. (2007) para a modelagem da secagem do feijão vermelho. Para a representação gráfica das curvas de secagem (Figura 1), utilizou-se o modelo de Midilli (8) por ser mais simples e apresentar menor número de coeficientes comparativamente ao modelo de Henderson e Pabis Modificado (11). Verifica-se na Figura 1 pela correspondência entre os valores experimentais e estimados, ajuste satisfatório do modelo de Midilli para descrição da secagem do feijão adzuki. Tabela 2. Coeficientes de determinação (R 2 ), erros médio relativo (P) e estimado (SE) para os doze modelos analisados, durante a secagem do feijão nas diversas condições de temperatura ( C). 30 C 40 C 50 C 60 C 70 C Modelo R 2 SE P R 2 SE P R 2 SE P R 2 SE P R 2 SE P 3 98,04 0, ,1 99,72 0,016 15,1 99,34 0,024 23,1 99,92 0,009 7,6 99,98 0,005 2,7 4 99,92 0,008 88,6 99,62 0,018 13,3 99,61 0,019 13,5 99,58 0,021 13,1 99,78 0,016 8,0 5 99,22 0, ,5 99,05 0,029 17,2 99,30 0,025 12,2 98,83 0,034 20,0 98,87 0,034 17,8 6 99,91 0,009 75,8 99,88 0,010 6,6 99,90 0, ,7 99,89 0,010 5,5 99,92 0,009 2,6 7 99,23 0, ,4 99,05 0,028 17,2 99,30 0,024 12,2 98,83 0,033 20,0 98,87 0,033 17,8 8 99,92 0, ,8 99,92 0,008 3,2 99,96 0,006 2,3 99,91 0,010 3,7 99,37 0,008 3,1 9 97,71 0,015 22,9 99,63 0,018 12,3 99,65 0,018 11,7 99,58 0,021 12,6 99,78 0,016 8, ,55 0, ,0 99,38 0,023 12,2 99,56 0,020 8,6 99,17 0,029 15,5 99,16 0,030 14, ,55 0, ,0 99,94 0,007 3,7 99,91 0,010 6,3 99,92 0,010 5,4 99,95 0,009 2, ,23 0, ,4 99,05 0,029 17,2 99,30 0,025 12,2 99,90 0,010 5,0 99,92 0,009 2, ,55 0, ,0 99,38 0,024 12,2 99,71 0,016 11,4 99,66 0,019 11,5 99,81 0,015 7, ,64 0, ,0 99,62 0,018 13,3 99,30 0,025 12,2 99,58 0,021 13,1 99,78 0,016 8,0 1,0 RU (decimal) 0,8 0,6 0,4 Experimental 30 C Experimental 40 C Experimental 50 C Experimental 60 C Experimental 70 C Valores estimados 0,2 0, Tempo de secagem (horas) Figura 1. Valores experimentais da razão de umidade (RU, decimal) e estimados pelo modelo de Midilli para a secagem do feijão adzuki nas diversas condições de temperatura.

6 176 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. Na Tabela 3 estão apresentados os coeficientes do modelo de Midilli ajustados para a secagem do feijão adzuki em diferentes condições de temperatura e umidade relativa do ar. Analisando os resultados, observa-se que os coeficientes a, n e b não apresentaram uma tendência clara em função do aumento da temperatura de secagem. No entanto, a magnitude da constante de secagem k para o modelo de midilli, aumentou com a elevação da temperatura do ar de secagem. Segundo Madamba et al. (1996) e Babalis & Belessiotis (2004) a constante de secagem k pode ser utilizada como uma aproximação para caracterizar o efeito da temperatura e está relacionada à difusividade efetiva no processo de secagem no período decrescente e à difusão líquida que controla o processo. Devido à influência da temperatura na constante de secagem, esta dependência pode ser descrita por meio da representação de Arrhenius (Figura 2). Tabela 3. Coeficientes ajustados para o modelo de Midilli durante a secagem do feijão adzuki para as condições de temperatura 30, 40, 50, 60 e 70 C e umidade relativa do ar de 52,0%, 28,0%, 19,1%, 13,1% e 6,8%, respectivamente. Temperaturas Coeficientes do modelo de Midilli a k n b 30 0,9866 * 0,0444 * 1,2023 * 0,0001 * 40 0,9748 * 0,0757 * 1,2623 * 0,0007 * 50 0,9834 * 0,1302 * 1,2384 * 0,0014 * 60 0,9825 * 0,1974 * 1,2731 * 0,0012 * 70 0,9896 * 0,2729 * 1,2097 * -0,0014 * * Significativo ao nível de 5% de probabilidade pelo teste t. -1,0-1,5-2,0 70 C 60 C 50 C ln k -2,5 40 C -3,0 30 C -3,5-4, /T x 10 4 (K -1 ) Figura 2. Representação de Arrhenius para a constante de secagem k do modelo de Midilli durante a secagem do feijão adzuki em diversas condições de ar. A linearidade apresentada na Figura 2 evidencia a uniformidade ou constância da variação da taxa de secagem dentro da faixa de temperatura estudada. A Equações 17 representa os coeficientes da expressão de Arrhenius para o coeficiente k do modelo de Midilli para a secagem do feijão adzuki ,1 k = 3, exp R ( T + 273,14) (17) Analisando os resultados, observa-se que a energia de ativação para a fenômeno de secagem do feijão adzuki foi de 38,9391 kj.mol -1.K -1 para a faixa de temperatura entre 30 e 70 C. Termodinamicamente a energia de ativação é definida como a facilidade com que as moléculas de água superam a barreira de energia durante e migração no interior do produto. Nos processos de secagem, quanto menor a energia de ativação maior será a difusividade de água no produto. O valor da

7 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. 177 energia de ativação obtida no presente trabalho corrobora os resultados obtidos por Resende et al. (2007), que encontraram o valor de 40,08 kj.mol -1 para a secagem do feijão vermelho na faixa de temperatura de 25 a 55 C. Doymaz (2005) obteve o valor para a energia de ativação durante a secagem do feijão verde, de 35,4 kj.mol -1. Já Almeida et al. (2009), estudando a difusão líquida do feijão adzuki, para a faixa de temperatura de 30 a 70 C, relatam o valor da energia de ativação ligeiramente inferior ao presente trabalho, na ordem de 31,16 kj.mol -1. CONCLUSÃO Concluiu-se que dentre os modelos analisados, Midilli e Henderson e Pabis Modificado apresentaram os melhores ajustes para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki. Assim, recomenda-se o modelo de Midilli, por apresentar operações matemáticas simples e possuir menor número de coeficientes. A relação entre a constante de secagem k desse modelo e a temperatura do ar pode ser descrita pela relação de Arrhenius, apresentando uma energia de ativação de 38,9391 kj.mol -1.K -1. AGRADECIMENTOS Ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Goiano-Campus Rio Verde e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio financeiro indispensável na execução do presente trabalho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Afonso Júnior, P.C.; Corrêa, P.C. Comparação de modelos matemáticos para descrição da cinética de secagem em camada fina de sementes de feijão. Revista Brasileira de Engenharia agrícola e ambiental, Campina Grande, v.3, n.3, p , Akpinar, E.K.; Bicer, Y.; Yildiz, C. Thin layer drying of red pepper. Journal of Food Engineering, v.59, n.1, p , Almeida, D.P.; Resende, O.; Costa, L.M.; Mendes, U.C. Sales, J.F. Cinética de secagem do feijão adzuki (Vigna angularis). Global Science And Technology, v.2, n.1, p.72-83, Babalis, S.J.; Belessiotis, V.G. Influence of the drying conditions on the drying constants and moisture diffusivity during the thinlayer drying of figs. Journal of Food Engineering, v.65, n.3, p , Basunia, M.A., Abe, T. Moisture desorption isotherms of medium-grain rough rice. Journal of Stored Products Research, v.37, n.3, p , Brooker, D.B.; Bakker-Arkema, F.W.; Hall, C.W. Drying and storage of grains and oilseeds. Westport: The AVI Publishing Company, p. Corrêa, P.C.; Resende, O.; Martinazo, A.P.; Goneli, A.L.D.; Botelho, F.M. Modelagem matemática para a descrição do processo de secagem do feijão (Phaseolus vulgaris L.) em camadas delgadas. Engenharia Agrícola, Jaboticabal, v.27, n.2, p , Doymaz, I. Drying behaviour of green beans. Journal of Food Engineering, v.69, n.2, p , Ertekin, C.; Yaldiz, O. Drying of eggplant and selection of a suitable thin layer drying model. Journal of Food Engineering, v.63, n.3, p , Goneli, A.L.D.; Correa, P.C.; Resende, O.; Reis Neto, S.A. Estudo da difusão de umidade em grãos de trigo durante a secagem. Ciência e Tecnologia de Alimentos, v.27, n.1, p , Lahsasni, S.; Kouhila, M.; Mahrouz, M.; Jaouhari, J.T. Drying kinetcs of prickly pear fruit (Opuntia ficus indica). Journal of Food Engineering, London, v.61, n.2, p , Madamba, P.S.; Driscoll, R.H.; Buckle, K.A. Thin-layer drying characteristics of garlic slices. Journal of Food Engineering. V.29. p.75-97, Mohapatra, D.; Rao, P.S. A thin layer drying model of parboiled wheat. Journal of Food Engineering, London, v.66, n.4, p , Resende, O.; Corrêa, P.C.; Goneli, A.L.D.; Martinazzo, A. P.; Ribeiro, R. M. Contração volumétrica na difusão líquida durante o processo de secagem do arroz em casca. Revista Brasileira de Armazenamento, v.30, n.2, p , Resende, O.; Correa, P.C.; Goneli, A.L.D.; Ribeiro, D.M. Isotermas e calor isostérico de sorção do feijão. Ciência e Tecnologia de Alimentos, Campinas, v.26, n.3, p , Resende, O.; Corrêa, P.C.; Goneli, A.L.D.; Botelho, F.M.; Rodrigues, S. Modelagem matemática do processo de secagem de duas variedades de feijão (Phaseolus vulgaris L.).

8 178 Modelagem matemática para descrição da cinética de secagem do feijão adzuki Resende et al. Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, v.10, n.1, p.17-26, Resende, O.; Corrêa, P.C.; Jaren, C.; Moure, A.J. Bean moisture diffusivity and drying kinetics: a comparison of the liquid diffusion model when taking into account and neglecting grain shrinkage. Spanish Journal of Agricultural Research, v.5, n.1, p.51-58, Sun, D.W.; Woods, J.L. Low temperature moisture transfer characteristcs of wheat in thin layers. Transactions of ASAE. v.37, p , Vieira, R.F.; Vieira, C.; Andrade, G.A. Comparações agronômicas de feijões dos gêneros Vigna e Phaseolus com o feijãocomum (Phaseolus vulgaris L.). Pesquisa Agropecuária Brasileira, Brasília, v.27, n.6, p , 1992.