UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS CURITIBA 2015

2 ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS Trabalho Final de Curso apresentado como requisito parcial à conclusão do curso de graduação em Engenharia Civil do Setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof Dr Marcos Arndt CURITIBA 2015

3 TERMO DE APROVAÇÃO ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS Trabalho Final de Curso apresentado como requisito parcial à conclusão do curso de graduação em Engenharia Civil do Setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora: Prof Dr Marcos Arndt Orientador Departamento de Construção Civil, UFPR Prof Dr Roberto Dalledone Machado Departamento de Construção Civil, UFPR Prof Dr Lia Yamamoto Departamento de Construção Civil, UFPR Curitiba, 25 de Junho de 2015

4 AGRADECIMENTOS Nossos sinceros agradecimentos aos nossos pais por absolutamente tudo o que fizeram até o dia de hoje, por nos educarem, nos guardarem, nos corrigirem e, principalmente, por se dedicarem as nossas vidas Aos nossos amigos e familiares pelos momentos compartilhados Agradecemos especialmente ao professor Marcos Arndt por aceitar ser nosso orientador, pelo apoio fornecido e conhecimento que foi generosamente compartilhado conosco Aos professores Roberto Dalledone Machado e Lia Yamamoto por participarem de nossa banca de avaliação e pelas críticas construtivas Agradecemos também aos professores que nos acompanharam ao longo do curso proporcionando todo o nosso aprendizado Agradecemos, acima de tudo, a Deus, por ter nos proporcionado boas oportunidades e por ter nos sustentado desde sempre para que trabalhemos em prol de seus objetivos

5 RESUMO Este trabalho tem como objetivo realizar um estudo da influência da projeção em planta de edifícios de concreto armado no seu comportamento estrutural sob a ação de sismos Inicialmente é feito uma revisão bibliográfica sobre sismologia com uma breve caracterização da sismicidade brasileira Na sequência contempla-se uma revisão sobre análise dinâmica das estruturas Depois, é apresentada a normalização brasileira com prescrições de procedimentos para projetos de estruturas resistentes a sismos (NBR 15421/2006) Também apresenta-se a metodologia e exemplos de cálculo utilizados para realizar o estudo deste trabalho Para o desenvolvimento dessa atividade, foram analisadas três estruturas de 15 pavimentos com diferentes geometrias, de modo com que o peso das estruturas não tivesse grandes variações Para todas as análises, consideram-se estruturas com vigas, lajes e pilares com mesmas dimensões e módulo de elasticidade Primeiramente diversos parâmetros de projeto foram estabelecidos de acordo com a norma, tais como, definição de zoneamento sísmico brasileiro, classe do terreno, categorias de utilização, categoria sísmica, aceleração sísmica de projeto, etc Aplicam-se o Método das Forças Horizontais Equivalentes com auxílio do programa estrutural ANSYS 145 como ferramenta de cálculo Na sequência, comparam-se os esforços cortantes, momentos fletores, esforços normais e deslocamentos horizontais nos pilares mais afastados do eixo das estruturas Também é feita uma comparação adotando hipóteses de diferentes rigidezes de lajes para analisar os deslocamentos no contorno frontal Ao final do trabalho, foram obtidas conclusões, recomendações e algumas possibilidades de estudos mais aprofundados Palavras-chave: Análise dinâmica das estruturas, análise estática, regularidade em planta, Norma NBR (ABNT, 2006)

6 ABSTRACT The present research takes up as an object of study the influence of the projection in plan of concrete buildings in its structural behavior under seismic action Initially it presents a literature review on seismology with a brief characterization of the Brazilian seismicity Further it contemplates a review on dynamic analysis of structures Then it is displayed the Brazilian Code with prescriptions procedures for project earthquake resistant structures (NBR 15421/2006) It also shows the method and examples of calculation used to perform the studies of this work For the development of this activity, three structures were analyzed with 15 floors with different geometries, so that the weight of the structures had no major variations For all analyzes, were considered the structures with beams, slabs and columns with the same dimensions and modulus of elasticity First various design parameters were established according to the Brazilian Code, such as Brazilian seismic zoning definition, land class, use categories, seismic category, seismic acceleration of project, etc The Method of Equivalent Horizontal Forces was applied with the aid of structural program ANSYS 145 as the calculation tool As a result, the shear forces, bending moments, axial forces and horizontal displacements in the outer frames of the shaft were compared It is also made a comparison of the chances of adopting different stiffnesses slabs to analyze shifts in front of the three contour structures At the end of this work arose some conclusions, recommendations and some possibilities for further research Keywords: Dynamic analysis of structures, static analysis, regularity in plan, Brazilian Code NBR (ABNT, 2006)

7 LISTA DE FIGURAS FIGURA 21 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA 15 FIGURA 22 ONDAS P E S 18 FIGURA 23 ONDAS L E R 19 FIGURA 24 EVENTO SÍSMICO EM UM SISMOGRAMA 24 FIGURA 25 MAPA DAS PLACAS TECTÔNICAS NA AMÉRICA DO SUL 25 FIGURA 26 SISMICIDADE NA AMÉRICA DO SUL 26 FIGURA 27 MAPA DA OCORRÊNCIA DE SISMO NO TERRITÓRIO BRASILEIRO 26 FIGURA 28 MAPA DAS PRICIPAIS FALHAS BRASILEIRAS 28 FIGURA 31 TIPOS DE CARGA DINÂMICA 30 FIGURA 32 SISTEMA MASSA, MOLA E AMORTECEDOR 30 FIGURA 33 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 31 FIGURA 34 PÓRTICO PLANO COM TRÊS ANDARES 32 FIGURA 35 MOVIMENTAÇÃO DA BASE 39 FIGURA 36 ESPECTROS NÃO AMORTECIDOS 42 FIGURA 41 ZONEAMENTO SÍSMICO DO BRASIL 47 FIGURA 42 ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODO 52 FIGURA 51 PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA FIGURA 52 PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA FIGURA 53 PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA FIGURA 54 MODELO TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA 3 72 FIGURA 55 PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 3 72 FIGURA 56 DESLOCAMENTOS DOS PILARES 73 FIGURA 57 DESLOCAMENTO DOS PILARES - EXTRAÍDOS DO ANSYS 74 FIGURA 58 ESTRUTURA COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL 75 FIGURA 59 EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL 75 FIGURA 510 ESTRUTURA COM DIAFRAGMA RÍGIDO 76 FIGURA 511 EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA RÍGIDO 76 FIGURA 512 ESFORÇO CORTANTE 77 FIGURA 513 ESFORÇO NORMAL 78

8 FIGURA 514 MOMENTO FLETOR 79 FIGURA 515 VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NA ESTRUTURA 1 79

9 LISTA DE TABELAS TABELA 21 VARIAÇÃO DA ENERGIA CONFORME A MAGNITUDE DO SISMO 21 TABELA 22 ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI 22 TABELA 41 DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO 49 TABELA 42 DEFINIÇÃO DOS FATORES Ca E C v DE AMPLIFICAÇÃO SÍSMICA NO SOLO 51 TABELA 43 COEFICIENTES DE PROJETO PARA ALGUNS DOS SISTEMAS BÁSICOS SISMO-RESISTENTES 53 TABELA 44 CÁLCULO APROXIMADO DO PERÍODO FUNDAMENTAL DA ESTRUTURA 54 TABELA 45 COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO 54 TABELA 46 LIMITAÇÃO PARA DESLOCAMENTOS RELATIVOS DE PAVIMENTO ( ) 59 x TABELA 51 PRIMEIROS MODOS DE VIBRAÇÃO DAS ESTRUTURAS 63 TABELA 52 PERÍODO DAS ESTRUTURAS 63 TABELA 53 PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 1 65 TABELA 54 PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 2 65 TABELA 55 PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 3 66 TABELA 56 PESO DA ESTRUTURA 66 TABELA 57 DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 1 69 TABELA 58 DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 2 70 TABELA 59 DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 3 71

10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO JUSTIFICATIVA OBJETIVOS 12 2 REVISÃO DE SISMOLOGIA ESTRUTURA INTERNA DA TERRA ONDAS SÍSMICAS Ondas P Ondas S Ondas de Rayleigh (R) Ondas de Love (L) PARÂMETROS SÍSMICOS Magnitude sísmica Intensidade sísmica Profundidades Medição sísmica Sismograma SISMICIDADE BRASILEIRA FALHAS GEOLÓGICAS BRASILEIRAS 27 3 REVISÃO DE ANÁLISE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE (SGL) SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE Equação de equilíbrio dinâmico Sistema não amortecido Vibração livre Movimentação da base ESPECTROS DE RESPOSTA Espectros de resposta para forças Espectros de resposta para aceleração da base 42 4 PROJETO DE ESTRUTURAS RESISTENTES A SISMOS CONFORME NORMA BRASILEIRA NBR 15421(2006) DEFINIÇÃO DAS FORÇAS SÍSMICAS DE PROJETO 46

11 42 ZONEAMENTO SÍSMICO BRASILEIRO DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO DEFINIÇÃO DAS CATEGORIAS DE UTILIZAÇÃO DEFINIÇÃO DOS ESPECTROS DE RESPOSTA DE PROJETO MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES Distribuição vertical das forças sísmicas MÉTODOS DINÂMICOS Análise por espectro de resposta Análise com históricos de acelerações CONSIDERAÇÃO DA TORÇÃO LIMITAÇÕES DE DESLOCAMENTOS 59 5 ESTUDO DE CASO DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DETERMINAÇÃO DO PESO TOTAL DA ESTRUTURA CÁLCULO DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL NA BASE DISTRIBUIÇÃO VERTICAL DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL DESLOCAMENTOS Deslocamento dos pilares A 1, A 2 e A Deslocamento de linha ESFORÇO CORTANTE DOS PILARES A 1, A 2 E A ESFORÇO NORMAL DOS PILARES A1, A2 E A MOMENTO FLETOR DOS PILARES A1, A2 E A ESFORÇOS CORTANTES DOS PILARES A1, B, C E D 79 6 CONCLUSÃO 80 REFERÊNCIAS 82 APÊNDICES 84

12 11 1 INTRODUÇÃO Atualmente é muito comum se deparar com notícias de estruturas, como edificações e obras de arte especiais, que apresentam determinado grau de vibração Algumas vibrações de grandes intensidades que podem fazer com que as estruturas cheguem ao colapso As vibrações nas estruturas podem ser causadas por fenômenos naturais ou esforços mecânicos Como exemplo de causas naturais, pode-se citar o efeito do vento nas estruturas, tendo em vista inúmeros relatos de pontes e edificações que começaram a oscilar após receberem intensas rajadas de vento Entre as causas naturais estão também os abalos sísmicos, fenômenos estes, que ocorrem em certas regiões do planeta e cuja análise é imprescindível no projeto estrutural Já as ações mecânicas são geradas pela movimentação de pessoas, automóveis, etc Tanto as causas mecânicas quanto os naturais devem ser levadas em consideração para o cálculo estrutural Embora, por um longo período, se acreditasse que o Brasil não estava sujeito aos abalos sísmicos, por se encontrar bem no centro da placa sul-americana, considerada passiva, com o avanço da tecnologia percebeu-se que não é bem assim Dentro do território brasileiro ocorrem diversas falhas geológicas geradas por fatores diversos, como reflexos de tremores ocorridos em outros países da América Latina, podendo estar associadas ou não, à atividade sísmica brasileira, ou até mesmo pelo desgaste das placas tectônicas Essas falhas são encontradas em todo o país, tendo o maior número de ocorrências na região nordeste, segundo a NBR 15421:2006 No Brasil, até muito recente não se dispunha de normalização específica para sismos em estruturas Considerando que já foram registrados abalos sísmicos em algumas regiões, um conjunto de estudos incentivou a elaboração de uma norma brasileira, a NBR 15421:2006 Esta norma tem como principal objetivo, estabelecer requisitos exigíveis para garantia de segurança em estruturas da construção civil, relacionadas às ações de atividades sísmicas Recentemente, alguns sismos foram registrados em cidades brasileiras de acordo com OBSIS (2015), destacando-se o sismo no Acre, ocorrido em 07 de Abril de 2014, com epicentro localizado a 89km da cidade de Tarauacá, com seu

13 12 hipocentro localizado a 559km de profundidade, atingindo 51 na escala Richter, não havendo dano Outro evento importante ocorrido recentemente foi no Amazonas, com magnitude de 71, com epicentro localizado na Colômbia, a 38km de Sucre e a 1082km de São Gabriel da Cachoeira, a 140km de profundidade Destaca-se também o sismo ocorrido em Minas Gerais em 2007, com magnitude de 49 na escala Richter, onde uma criança de 5 anos morreu, sendo a primeira fatalidade em sismo no Brasil Vários outros eventos caracterizados como micro ou pequenos já foram registrados em território brasileiro 11 JUSTIFICATIVA Mesmo possuindo certa atividade sísmica no país, existem poucos estudos sobre a influência desses sismos sobre as estruturas de concreto armado Nesse contexto, considerando a existência dos sismos, juntamente com a tendência de se construir edificações cada vez mais esbeltas, mais suscetíveis aos efeitos dinâmicos, a consideração desses efeitos torna-se mais importante em relação ao projeto estrutural de edifícios 12 OBJETIVOS A experiência obtida em sismos passados demonstra que a vulnerabilidade sísmica dos edifícios está intimamente relacionada com as características dos sistemas estruturais e tipologias adotadas Um dos aspectos básicos para a obtenção de uma estrutura com comportamento previsível é a sua simetria e, na prática, uma estrutura simples é essencial para se conseguir tal requisito (Eurocódigo n 8, 1988) Por exemplo, Guerreiro (2007) recomenda que estruturas com forma retangular em planta não tenham comprimento maior do que três vezes a largura e Santos (2010) afirma que estruturas que apresentam em planta uma forma alongada apresentam problemas de flexão, que podem induzir efeitos de torção no comportamento da estrutura Este trabalho consiste num estudo paramétrico realizado através do programa computacional ANSYS entre três estruturas hipotéticas Elas possuem forma retangular em planta, com lados 30x30m, 20x40m, 15x60m e 15 pavimentos cada, geradas de modo que a massa e a rigidez ficassem aproximadas O objetivo

14 13 do trabalho então se resume a analisar, através do método das forças horizontais equivalentes, a influência da forma em planta das estruturas apresentadas no seu comportamento estrutural quando estão submetidas aos efeitos das cargas sísmicas definidas pela Norma ABNT NBR 15421:2006

15 14 2 REVISÃO DE SISMOLOGIA Quando se faz a análise dinâmica de uma estrutura supondo o conhecimento por completo dos históricos das excitações e características mecânicas do sistema, sua resposta pode ser obtida de forma determinística Entretanto excitações como as decorrentes do vento, ondas marítimas, sismos, entre outros, não são passíveis de descrição, a menos no sentido elástico, ou seja, por meio de valores médios, desvios destes valores e distribuição de probabilidades A argumentação a favor dessa análise não determinística do comportamento dinâmico de estruturas é irrefutável Os carregamentos de vento, ondas do mar e sismos, são naturalmente aleatórios Uma análise espectral pode ser mais precisa para determinar as ondas de projeto com diferentes períodos de recorrência, frequência e intensidade diferentes Para melhor compreensão da ocorrência de terremotos, deve-se, inicialmente entender a estrutura da Terra, ou seja, entender como se originam os sismos O planeta Terra, desde sua formação vem passando por transformações em sua geomorfologia e a teoria tectônica de placas facilita a compreensão das geociências, desde o estudo de fósseis, até a sismologia, estudo de sismos A partir dessa teoria foi possível determinar que a superfície terrestre encontra-se fragmentada em várias placas tectônicas e estas deslocam-se sobre a astenosfera, camada que se situa logo abaixo da litosfera Esta teoria surgiu com base em dois fenômenos distintos A deriva continental e a expansão dos fundos oceânicos (USGS, 2015) 21 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA A terra é constituída por materiais sólidos, líquidos e gasosos, que se concentram em camadas concêntricas Essas camadas, apresentadas na FIGURA 21, variam a sua composição química e física, são: o núcleo, o manto e a crosta A FIGURA 21 obtida de Antunes (2010) foi descrita de acordo com Pena (2015)

16 15 FIGURA 21 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA FONTE ANTUNES (2010) a) Núcleo: a parte mais interna do planeta, pode ser dividido em núcleo interno e núcleo externo A parte interna do núcleo é sólida, com raio de até 1220 km, chegando a atingir temperaturas de 5000 C A parte externa, ou núcleo líquido, envolve o primeiro, com raio de 2250 km, também atinge elevadas temperaturas e ambos são compostos por ferro e níquel b) Manto: trata-se de uma camada intermediária com abrangência de cerca de 30 km 2900 km de profundidade É principalmente composto por substâncias ricas de ferro e magnésio c) Crosta: é a camada que forma a maior parte da litosfera, podendo chegar a 90 km de profundidade A parte superficial, a primeira camada, é formada principalmente por granito nos continentes e basaltos nos oceanos É a camada aonde se desenvolve a vida na terra As placas tectônicas são rígidas, são pequenas porções da litosfera, limitada por zonas de convergência e divergência O atrito entre elas gera um acúmulo de energia, acumulando também tensões na crosta terrestre As falhas geológicas, por serem zonas frágeis, funcionam como uma válvula de escape dessas tensões A movimentação das placas tectônicas ocorre devido à fraqueza relativa da astenosfera Como a temperatura da astenosfera é mais elevada, possui menor rigidez sofrendo deformação quando sujeita a esforços Os movimentos das placas

17 16 são devidos às correntes de convecção Essas correntes são decorrentes de movimentos ascendentes de material mais quente no manto (magma) em direção a litosfera, que, ao atingir essa camada, tende a se movimentar de forma lateral Nas regiões de choque dessas placas, é onde os sismos ocorrem com maior frequência e intensidade O contato entre as placas pode ocorrer de três maneiras distintas: convergentes, divergentes ou transformantes O primeiro ocorre quando duas placas se movem uma em direção à outra (ocorre a formação de cadeias montanhosas) O segundo ocorre quando duas placas se afastam uma da outra A terceira acontece quando as placas deslizam ou encostam uma na outra Há também casos onde o contato entre as placas não se enquadra bem em nenhum desses casos, sendo comumente designadas de fronteiras complexas Um exemplo desse tipo de contato se verifica na região mediterrâneo-alpina, correspondente à fronteira entre as placas euroasiática e africana Qualquer material terrestre submetido a uma tensão que supere o seu limite elástico de deformação, entra em um regime plástico de deformação, ou seja, deformação permanente do material, podendo chegar a ruptura Essa ruptura pode acontecer de maneira dúctil ou frágil Na primeira ocorre liberação gradativa da energia, enquanto na segunda toda energia acumulada durante a deformação elástica é liberada, em consequência dessa grande liberação de energia ocorrem os sismos (USGS, 2015) Os regulamentos nacionais separam o território em regiões chamadas de zonas sísmicas, e para cada uma delas, são fornecidas as informações necessárias para a determinação da carga sísmica a ser utilizada No Brasil, até muito recentemente, não se tinha uma normalização específica para projetos anti-sísmicos das estruturas A primeira norma a ser publicada foi a NBR 15421:2006 Norma Brasileira de Estruturas Resistentes a Sismos As solicitações sísmicas a serem consideradas no projeto de uma construção são função de alguns fatores A importância da estrutura, a intensidade usual de sismos na região da obra, as características do subsolo em que se faz a fundação, as características da resistência, de ductilidade da estrutura e o período de vibração da estrutura

18 17 22 ONDAS SÍSMICAS As ondas sísmicas são movimentos vibratórios de partículas de rochas que se transmitem segundo superfícies concêntricas devido à libertação de energia no foco sísmico Os sismos se manifestam na superfície terrestre por meio da propagação dessas ondas em todas as direções, a partir do foco, e são essas que levam a vibração do solo As ondas sísmicas são classificadas em dois grupos principais: as ondas volumétricas e as ondas superficiais As ondas volumétricas se propagam no interior da terra Apresentam trajetórias radial devido as variações de densidade e composições no interior da terra Tratam-se de ondas que se propagam num espaço tridimensional, a partir de uma fonte pontual, onde sua amplitude decresce de maneira inversamente proporcional à distância da fonte Existem dois tipos de ondas de volume: ondas S e ondas P (OBSIS, 2015) 221 Ondas P Ondas P ou primárias são as ondas mais rápidas, e consequentemente chegam primeiro a superfície do solo, propagam-se em todos os estados da matéria (sólido, líquido e gasoso), havendo variação na velocidade de propagação da onda, quando esta passa de um meio para outro São ondas longitudinais, que fazem com que a rocha vibre paralelamente à direção da onda, como ilustrado na FIGURA 22 (OBSIS, 2015) 222 Ondas S Ondas S ou secundárias, são ondas transversais ou de cisalhamento, nas quais as partículas que transmitem a onda oscilam perpendicularmente à direção de propagação As ondas S propagam-se apenas em meios sólidos, uma vez que os fluidos (líquidos e gases) não suportam forças de cisalhamento Sua velocidade de propagação é inferior à das ondas P (OBSIS, 2015)

19 18 FIGURA 22 ONDAS P E S FONTE OBSIS (2015) As ondas superficiais podem ser oriundas das ondas volumétricas que alcançam a superfície Estas são geralmente responsáveis pela maior destruição causada Basicamente estas ondas são geradas por uma perturbação exercida em uma superfície livre e que se propaga por ela São classificadas em dois tipos de ondas: ondas de Rayleigh e ondas de Love (OBSIS, 2015) 223 Ondas de Rayleigh (R) As ondas de Rayleigh, ou ondas R, são ondas formadas em um plano vertical, podendo ser resultados da interferência de ondas P e S Essas ondas provocam vibrações no sentido contrário à propagação da onda, ou seja, em um movimento de rolamento (descrevem uma órbita elíptica), e sua amplitude diminui rapidamente com a profundidade (OBSIS, 2015) 224 Ondas de Love (L)

20 19 São ondas de superfície que produzem cisalhamento horizontal, geram um movimento processado apenas no plano horizontal, em um ângulo reto, perpendicular à direção de propagação da onda São ondas de torção Na FIGURA 23 é possível observar o movimento das ondas L e R (OBSIS, 2015) FIGURA 23 ONDAS L E R FONTE OBSIS (2015) 23 PARÂMETROS SÍSMICOS Outros conceitos referentes à sismologia são os de magnitude e intensidade Ambos determinam o tamanho do sismo, porém representam conceitos distintos, segundo a Sociedade Portuguesa de Engenharia Sísmica A intensidade é uma grandeza qualitativa e está relacionada com o modo em que se sente a vibração do solo e os danos produzidos pelo sismo, enquanto que a magnitude é uma grandeza quantitativa e está relacionada com o tamanho da fonte e a energia liberada durante o sismo A magnitude é a mesma, quer nos encontremos perto ou distantes do epicentro (BRASIL e SILVA, 2013)

21 Magnitude sísmica De acordo com Brasil e Silva (2013), a magnitude sísmica é baseada na análise de sismogramas, em medições precisas de ondas sísmicas Indica a quantidade de energia liberada por um evento sísmico Existem diferentes maneiras de determinar a magnitude dos terremotos Os sismos são medidos, de forma absoluta, pela quantidade de energia que liberam Esta medida é chamada de magnitude Charles F Richter apresentou em 1935 a Escala Richter de Magnitude, calculada como o logaritmo decimal da amplitude máxima do registro sísmico, em mícron (10-6 m), registrada por sismógrafo do tipo Wood-Anderson, a uma distância de 100 Km do epicentro do sismo Como, em geral, não se tem sismógrafos distante do epicentro naquela distância, é necessário se fazer uma correção, quando então se tem para a magnitude: M = log A A (21) 10 log 10 0 sendo: A a amplitude máxima do registro sísmico e A 0 é um fator de correção que corresponde a uma leitura do sismógrafo produzida por um sismo padrão ou de calibração, geralmente adotado como 0,001 mm A energia E liberada, em Joules, por um sismo de magnitude M na escala Richter é avaliada empiricamente como: log 10 E = 11,4 + 1, 5M (22) Sismos com magnitude menor do que cinco geralmente provocam danos de pouca monta Já os de magnitude superior a cinco são potencialmente muito destrutivos A profundidade do hipocentro, local no interior da terra onde se inicia a ruptura do material rochoso ocorrendo a libertação de energia sob forma de ondas sísmicas, é um fator que também afeta os efeitos destrutivos de um sismo Um sismo com hipocentro muito profundo pode ter efeito destrutivo menor do que outro de igual magnitude, em que o hipocentro esteja mais próximo da superfície Na TABELA 21 encontram-se listados a magnitude dos terremotos e a quantidade de energia liberada

22 21 Embora a magnitude quantifique a energia liberada por um sismo, não fornece indicação dos danos por ele causados, que são diferentes nos diversos locais afetados A intensidade é uma medida destes danos TABELA 21 VARIAÇÃO DA ENERGIA CONFORME A MAGNITUDE DO SISMO Magnitude Energia (ergs) 1 2,0x ,3x ,0x ,3x ,0x ,3x ,0x ,3x10 23 FONTE: BRASIL e SILVA (2013) 232 Intensidade sísmica Para cada sismo existe um valor único de magnitude, porém seus efeitos podem variar em função de fatores como, por exemplo, a qualidade das construções, a distância da zona epicentral, características geológicas locais, entre outros fatores A intensidade sísmica é uma medida desses danos Entende-se que um mesmo sismo irá receber classificações diferentes de intensidades em diferentes locais, sendo seus efeitos mais severos nas zonas mais próximas aos epicentros A primeira escala de intensidades foi desenvolvida em 1833 por Rossi e Forel Em 1902 Mercalli e em 1904 Cancani apresentaram suas escalas Entretanto, em 1931, Newman e Wood apresentaram a Escala Modificada de Mercalli (MMI) de uso muito difundido, e que apresenta 12 graduações de intensidade, apresentadas na TABELA 22: (LIMA; SANTOS, 2008)

23 22 TABELA 22 ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI Intensidade I II III IV V VI VII VIII IX Descrição Imperceptível para as pessoas Corresponde aos efeitos secundários e de componentes de período longo de grandes terremotos Sentido por pessoas em repouso, em andares altos ou em locais muito favoráveis para isto Sentido no interior de edificações Objetos suspensos balançam Vibração similar ao tráfego de caminhões leves A duração pode ser estimada Pode ser reconhecido como um terremoto Objetos suspensos balançam Vibração similar ao tráfego de caminhões pesados, ou sensação de impacto similar à de uma bola pesada batendo nas paredes Carros parados balançam Janelas, pratos e portas vibram Vidros estalam Louças se entrechocam Na faixa superior da intensidade IV, paredes de madeira e pórticos fissuram Sentido nas ruas; a direção pode ser estimada Pessoas acordam Líquidos são perturbados, alguns são derramados Pequenos objetos instáveis são deslocados ou derrubados Portas oscilam, fecham e abrem Venezianas e quadros movem-se Relógios de pêndulo param, voltam a funcionar ou alteram o seu ritmo Sentido por todos Muitos se assustam e correm para as ruas As pessoas andam de forma instável Janelas, pratos e objetos de vidro são quebrados Pequenos objetos, livros, etc caem das estantes Quadros caem das paredes A mobília é deslocada ou tombada Reboco e alvenaria fracos apresentam rachaduras Pequenos sinos (de igrejas e escolas) tocam Árvores e arbustos movem-se visivelmente Difícil manter-se de pé Notado pelos motoristas Objetos suspensos oscilam fortemente A mobília quebra-se Danos e rachaduras em alvenaria fraca Queda de reboco; tijolos, pedras, telhas, cornijas, parapeitos não contraventados e ornamentos arquitetônicos soltam-se Algumas rachaduras em alvenaria normal Ondas em reservatórios e água turva com lama Pequenos escorregamentos e formação de cavidades em taludes de areia ou pedregulho Sinos grandes tocam Canais de irrigação de concreto danificados Condução de veículos afetada Danos e colapso parcial em alvenaria comum Algum dano em alvenaria sólida e nenhum em alvenaria reforçada Queda de estuque e de algumas paredes de alvenaria Torção e queda de chaminés, inclusive as de fábricas, monumentos, torres e tanques elevados Casas em pórtico movem-se em suas fundações, quando não arrancadas do solo Pilhas de destroços derrubadas Galhos quebram-se nas árvores Mudanças na vazão ou temperatura de fontes Rachaduras em chão úmido ou taludes íngremes Pânico geral Alvenaria fraca destruída; alvenaria comum fortemente danificada, as vezes com colapso total Alvenaria sólida seriamente danificada Danos gerais em fundações Estruturas em Pórtico, quando não arrancadas, deslocadas em suas fundações Pórticos rachados Rachaduras significativas no solo Em áreas de aluvião, areia e lama arrastadas; criam-se minas d água e crateras na areia Continua

24 23 TABELA 22 ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI Continuação Intensidade X XI XII Descrição A maioria das alvenarias e estruturas em pórtico destruídas com suas fundações Algumas estruturas de madeira bem construídas e pontes destruídas Danos sérios em barragens, diques e taludes Grandes deslizamentos de terra Água lançada nas margens de canais, rios, lagos, etc e Lama lançada horizontalmente em praias e terrenos planos Trilhos ligeiramente entortados Trilhos bastantes entortados Tubulações subterrâneas completamente fora de serviço Destruição praticamente total Grandes massas de rocha deslocadas Linhas de visão e nível distorcidas Objetos lançados no ar FONTE: LIMA E SANTOS (2008, p 127) 233 Profundidades Quanto a profundidade, os sismos podem ser classificados de três formas: superficiais, intermediários e profundos Os superficiais, com profundidade focal inferior a 70km, são responsáveis por 85% da energia anual liberada pelos sismos Os intermediários, com profundidade focal entre 70 e 300km, são responsáveis por cerca de 12% dos sismos produzidos no globo E, finalmente, os profundos, com hipocentros localizados em profundidades superiores a 300km, representam cerca de 3% da energia sísmica global (OBSIS, 2015) 234 Medição sísmica O sismógrafo é um aparelho que permite converter os movimentos de vibração do solo em um registro possível de visualização Este aparelho consiste num sensor que detecta e mede as ondas sísmicas naturais ou induzidas e permite determinar, a posição exata do foco (hipocentro) dessas ondas e do ponto de chegada na superfície terrestre (epicentro) 235 Sismograma

25 24 O sismograma é uma representação visual dos movimentos do solo, produzidos pela conversão do sinal do sismógrafo para um registro temporal do evento sísmico O sismograma de um evento sísmico recebe inúmeros sinais de ondas sísmicas que percorrem vários percursos diferentes através da Terra, desde a fonte até o receptor A FIGURA 24 mostra um exemplo de um evento sísmico expresso em sismograma FIGURA 24 EVENTO SÍSMICO EM UM SISMOGRAMA FONTE Universidade do Algarve (2015) Como as ondas P são as mais rápidas, elas são as primeiras a chegar, correspondendo então, à primeira fase do sismograma A próxima fase é relacionada com as ondas S, que normalmente tem uma amplitude superior à das ondas P Na sequência, chegam as perturbações associadas com as ondas superficiais (ondas com comprimentos de ondas muito elevados), também caracterizadas por possuírem uma amplitude mais elevada que a das ondas volumétricas Dentre as ondas superficiais, as ondas Love deslocam-se com praticamente a mesma velocidade das ondas S, chegando mais rapidamente que as ondas Rayleigh Uma estação sismográfica deve ser composta por três sismógrafos diferentes: um sensível às vibrações Norte-Sul, outro às Leste-Oeste e um terceiro para as vibrações verticais Com a utilização conjunta desses equipamentos, é possível determinar a direção e distância do epicentro, a magnitude e o tipo de falha que gerou o sismo Atualmente as redes sismográficas interligam várias estações, o que permite determinar com maior precisão a localização do hipocentro e do

26 25 epicentro, assim como produzir melhores estimativas de outros parâmetros (OBSIS, 2015) 24 SISMICIDADE BRASILEIRA O Brasil, por se situar no interior da placa tectônica da América do Sul, uma região continental mais estável, como mostra a FIGURA 25, apresenta uma sismicidade bem inferior quando comparada com países mais próximos às regiões de encontro das placas tectônicas, como ocorre com o Chile por exemplo, situado na zona de contato entre as placas Nazca e Sul-americana, apresentando sismos mais frequentes e de maiores magnitudes FIGURA 25 MAPA DAS PLACAS TECTÔNICAS NA AMÉRICA DO SUL FONTE USGS (2015) A sismicidade na América do Sul, de acordo com o instituto de pesquisa US Geological Survey, apresenta as características reproduzidas na FIGURA 26 a seguir

27 26 FIGURA 26 SISMICIDADE NA AMÉRICA DO SUL FONTE USGS (2006) FIGURA 27 MAPA DA OCORRÊNCIA DE SISMO NO TERRITÓRIO BRASILEIRO FONTE OBSIS (2015) No mapa acima (FIGURA 27), nota-se a ausência de sismicidade em algumas áreas, principalmente nas regiões Sul, Norte e Centro-Oeste, o que não significa necessariamente que estão ausentes de sismos, podendo inclusive, ter

28 27 interferência nos resultados devido a instalações tardias de estações sismográficas A região Nordeste é a mais afetada e onde se registra a maior atividade sísmica Como se pode observar, os sismos de grande magnitude não são frequentes no Brasil Isso é bom, contudo, como é pouco frequente, usualmente o efeito dos sismos não são considerados na hora de se projetar Assim, caso ocorram eventos significativos, principalmente em cidades mais populosas, com grande número de construções, as consequências podem ser desastrosas 25 FALHAS GEOLÓGICAS BRASILEIRAS Um estudo realizado em 2002, coordenado pelo professor Allaoua Saadi, ligado à Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), gerou o primeiro Mapa neotectônico do Brasil Neste estudo, identificaram-se 48 falhas geológicas mestras em todo território nacional (FIGURA 28), locais onde nascem os terremotos Hoje, poderíamos acrescentar algumas outras a esse total, sem falar nas falhas secundárias, afirmam Saadi et al (2005)

29 FIGURA 28 MAPA DAS PRICIPAIS FALHAS BRASILEIRAS FONTE: APOLO 11 (2011) 28

30 29 3 REVISÃO DE ANÁLISE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS Carga dinâmica é aquela que apresenta variação no tempo, seja em sua magnitude, direção ou posição Esta variação introduz na estrutura acelerações e velocidades, além de deslocamentos, gerando como consequência forças de inércia e de amortecimento A grande maioria das cargas possíveis de serem consideradas em estruturas de obras civis tem natureza dinâmica (LIMA; SANTOS, 2008) Segundo Brasil e Silva (2013) se a aplicação dos esforços apresentam pequena variação no tempo, é usual não levar em conta o aparecimento de forças de inércia e por simplificação serem tratadas como estáticas Caso contrário, devese considerar a necessidade de análise dinâmica em estruturas que, por exemplo, suportem máquinas e equipamentos, tráfego de veículos, estejam sobre efeito de vento, sismos, entre outros Considerando a forma da variação no tempo, uma carga pode ser classificada como harmônica, periódica, transiente ou impulsiva A carga é dita harmônica quando sua variação no tempo pode ser representada pela função seno (ou cosseno) Este tipo de carga é característico de máquinas rotativas que apresentam massa desequilibrada, como turbinas, geradores e bombas centrífugas Carga periódica é aquela que apresenta repetições a um intervalo regular de tempo, chamado periódico Uma carga que represente as forças geradas por uma máquina rotativa em operação é também essencialmente periódica Carga transiente é a que apresenta variação arbitrária no tempo, sem periodicidade Vento e terremoto são exemplos deste tipo de carga Carga impulsiva é também uma carga transiente, com a característica de ter uma duração muito curta (LIMA; SANTOS, 2008) Na FIGURA 31 é apresentada os tipos característicos de gráficos de cargas dinâmicas harmônica (item a), periódica (item b), impulsiva (item c) e transiente (item d)

31 30 FIGURA 31 TIPOS DE CARGA DINÂMICA FONTE CLOUGH E PENZIEN (2003) 31 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE (SGL) FIGURA 32 SISTEMA MASSA, MOLA E AMORTECEDOR FONTE LIMA E SANTOS (2008) Seja o sistema mostrado na FIGURA 32, a massa m está concentrada no bloco de corpo rígido que é limitada por rodas, de modo que o movimento ocorre somente por translação simples Assim o único sistema de coordenada x(t) define a

32 31 sua posição A resistência elástica do deslocamento é proporcionada por uma mola elástica de rigidez k enquanto que a perda de energia do mecanismo é representado pelo amortecedor de constante c (CLOUGH; PENZIEN, 2003) Segundo Lima e Santos (2008) a equação do movimento de um sistema de um grau de liberdade pode ser estabelecido pelo Princípio de d Alembert adicionando-se às forças externas aplicadas, uma força fictícia chamada de força de inércia, proporcional à aceleração e com sentido contrário ao do movimento, sendo a constante de proporcionalidade igual à massa do sistema Considerando o diagrama de corpo livre (DCL) mostrado na FIGURA 33, temos que: m x& ( t) + cx& ( t) + kx( t) = F( t) (31) FIGURA 33 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE FONTE LIMA E SANTOS (2008) 32 SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE 321 Equação de equilíbrio dinâmico Neste item é introduzido um estudo apresentado por Lima e Santos (2008) de um pórtico de três andares sujeitos às forças f 1 (t), f 2 (t) e f 3 (t) aplicadas (externamente) ao nível dos andares, conforme mostrado na FIGURA 34(a) Considera-se as vigas e pilares sem deformação axial, as vigas apresentam inércia à flexão infinita e a massa da estrutura é aplicada ao nível dos andares, têm-se um total três graus de liberdade, que apresentam variações dos deslocamentos no

33 32 tempo chamadas, respectivamente, de d1(t), d2(t) e d3(t) Por simplificação no que se segue, os deslocamentos e suas derivadas primeira e segunda em relação à variável tempo, para a coordenada j são representadas por d j, d & j e d & j, respectivamente As rigidezes dos andares são denominadas por k1, k2 e k3 e os coeficientes de amortecimento por c1, c2 e c3 Na EQUAÇÃO (34)(b) encontram-se o DCL da massa m 1, Aplicando a equação de equilíbrio dinâmica da referida massa tem-se: m d& + c + c ) d& c d& + ( k + k ) d k d = f ( ) (32) 1 1 ( t A equação do movimento (EQUAÇÃO (32)) é meramente uma expressão de equilíbrio de forças dada por (CLOUGH; PENZIEN, 2003): f + f + f f (t) (33) Ij Dj Kj = j onde, f Ij, f Dj, f Kj e f j representam as forças de inércia, de amortecimento, elástica e externa, respectivamente FIGURA 34 PÓRTICO PLANO COM TRÊS ANDARES FONTE LIMA E SANTOS (2008)

34 33 Com equação de equilíbrio dinâmico para o pórtico apresentado na FIGURA 34, obtém-se o seguinte sistema de equações: = ) ( ) ( ) ( t f t f t f d d d k k k k k k k k k d d d c c c c c c c c c d d d m m m & & & && && && (34) Ou pode-se demonstrar as matrizes da EQUAÇÃO (34) de forma compacta (LIMA; SANTOS, 2008): ) ( t f K d C d d M = & + & + & (35) onde M, C e K são, respectivamente, as matrizes de massa, de amortecimento e de rigidez e d, d &, d & & e ) ( t f os vetores de deslocamentos, velocidades, acelerações e forças aplicadas, respectivamente As matrizes M, C e K são de ordem n, sendo n o número de graus de liberdade O termo genérico ij K da matriz de rigidez, chamado de coeficiente de rigidez, representa a força que aparece na direção do grau de liberdade i quando é imposto um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade j, mantendo todos os demais deslocamentos nulos O termo genérico ij M da matriz de massa representa a força na direção do grau de liberdade i quando é imposta uma aceleração unitária na direção do grau de liberdade j Já o termo ij C da matriz de amortecimento representa a força que aparece na direção do grau de liberdade i quando é imposta uma velocidade unitária na direção do grau de liberdade j 322 Sistema não amortecido

35 34 Particularizando a EQUAÇÃO (35) para a situação de um sistema sem amortecimento, tem-se: M d& + K d = f ( t ) (36) 323 Vibração livre 3231 Frequência e modo de vibração natural Desprezando-se o amortecimento e adotando carregamento nulo, os únicos movimentos possíveis se devem às condições iniciais de deslocamento (BRASIL; SILVA, 2013) Deste modo a EQUAÇÃO (36) se particulariza para: M d & + K d = 0 (37) A solução que representa a vibração livre de um sistema segundo um de seus modos de vibração, é dada por (LIMA; SANTOS, 2008): d = φ q ( t) j j (38) onde: φ é um vetor constante que fisicamente representa uma deformada; q j (t) é j uma função harmônica na forma: q ( t) = A cos( ω t) + B sin( ω t) j j nj j nj (39) sendo: k ω n = (310) m

36 35 ω é uma propriedade dinâmica do sistema chamada de frequência circular n expressa em radianos por segundos; A j e B j representam as constantes de integração determinadas a partir das condições iniciais do movimento Substituindo-se a EQUAÇÃO (39) na EQUAÇÃO (38) tem-se: d j [ A cos( ω t ) B sin( ω t )] = φ + j nj j nj (311) Substituindo-se a EQUAÇÃO (311) na EQUAÇÃO (37), obtêm-se: M + K q ( t ) = 0 2 ω ϕ φ j (312) nj j j q j A igualdade expressa pela EQUAÇÃO (312) pode ser atendida com ( t) = 0 significando a não existência de movimento, não tendo esta solução interesse para a dinâmica Outra forma da igualdade a ser atendida é o termo entre parênteses ser nulo, o que implica na determinação de valores para satisfaçam à condição da EQUAÇÃO (313) (LIMA; SANTOS, 2008): ω e nj φ j que 2 ω Mφ = Kφ nj (313) j j Ou reescrevendo, tem-se a EQUAÇÃO (314): 2 ( K M) φ = 0 nj ω (314) j Para que seja possível soluções não triviais, o determinante da matriz entre colchetes deve ser nulo (BRASIL; SILVA, 2013): 2 det( K ω M ) = 0 (315) nj

37 36 O desenvolvimento de EQUAÇÃO (315) leva a um polinômio de ordem N, sendo N o número de graus de liberdade, em relação a 2 ω dito polinômio nj característico As N raízes deste polinômio, chamadas de autovalores ou valores característicos, fornecem as N frequências circulares ω nj, que podem ser ordenadas na forma crescente, sendo ω n 1, a menor delas, conhecida como frequência circular fundamental e as demais como harmônicos superiores (LIMA; SANTOS, 2008) Substituindo-se na EQUAÇÃO (314), os valores calculados para as frequências, por exemplo, ω nj, calcula-se um vetor φ chamado de auto-vetor ou j modo de vibração natural Entretanto, não é possível a determinação dos valores absolutos para as componentes de φ, o que é explicado pelo fato de a condição j imposta pela EQUAÇÃO (315) implicar em que o sistema de equações seja indeterminado (LIMA; SANTOS, 2008) Para poder calcular os modos correspondentes a cada frequência é necessário arbitrar uma das componentes Uma possível forma de fazer isso é fazer a primeira coordenada de cada modo unitária Com esse valor admitido, as outras coordenadas poderão ser determinadas univocamente Assim, pode-se determinar os N modos de vibração e colecioná-los numa matriz modal n x n, cujas colunas são os N modos de vibração livre, não amortecidos, normalizados (BRASIL; SILVA, 2013) Lima e Santos (2013) apresentam um caso particularmente interessante e muito utilizado para normalizar os autovetores, definido pela EQUAÇÃO (316): φ = j φ T φ j M φ j j (316) onde: φ representa o autovetor antes da normalização; j T significa transposição

38 37 Podem-se determinar os N modos de vibração e colecioná-los numa matriz modal n x n, cujas colunas são os N modos de vibração livre, não amortecidos, normalizados (BRASIL; SILVA, 2013) : Φ = N N N N,,1 1, 1,1 φ φ φ φ (317) Os N autovalores podem ser colocados em uma matriz diagonal chamada de matriz espectral, como (LIMA; SANTOS, 2008): = = nn nj n N j ω ω ω λ λ λ λ (318) Com esta representação a EQUAÇÃO (313) pode ser reescrita como: Φ = Φ K M λ (319) 3232 Ortogonalidade dos modos de vibração Os modos de vibração livre não amortecidos possuem a propriedade de serem ortogonais com relação às matrizes de rigidez e de massa (BRASIL; SILVA, 2013) A condição de ortogonalidade, estabelecida para condições de frequências distintas, isto é nj ni ω ω, e sendo I a matriz identidade, é definida pelas seguintes equações (LIMA; SANTOS, 2008):

39 38 Φ M Φ = I (320) T T Φ K Φ = λ (321) 324 Movimentação da base Chopra (1995) define a aceleração do solo durante um terremoto como o melhor modo de representar o efeito de sismos nas estruturas Através do modelo de pórtico de três andares, apresentado por Lima e Santos (2008) define-se um movimento caracterizado por d b (t), d& b (t) e d& b (t), respectivamente deslocamento, velocidade e aceleração atuantes na base Na determinação das forças elásticas e de amortecimento interessam os deslocamentos relativos entre andares Os deslocamentos dos andares em relação ao da base podem ser escritos como (LIMA; SANTOS, 2008): { } d b u = d 1 (322) onde u é o vetor de deslocamento relativos à base e { 1 } é um vetor de ordem N com todos os termos iguais a um Na EQUAÇÃO (322), por simplicidade, foi omitida a indicação do tempo Ainda considerando a EQUAÇÃO (322), escreve-se: { } d& b u & = d& 1 (323) { } d& b u & = d&& 1 (324)

40 39 FIGURA 35 MOVIMENTAÇÃO DA BASE FONTE LIMA E SANTOS (2008) dinâmico: Com o DCL mostrado na FIGURA 35 obtém-se as equações de equilíbrio m u& d&& ) + ( c + c ) u& c u& + ( k + k ) u k u 0 (325) i( i + b i i + 1 i i + 1 i + 1 i i + 1 i i + 1 i + 1 = Generalizando para todas as massas e considerando, a princípio, o sistema sem amortecimento, esta equação pode ser escrita do seguinte modo: { } d& b M u& + K d = M 1 (326) O deslocamento da base pode ser estudado como sendo uma vibração forçada provocada por forças fictícias, também chamadas de forças efetivas, dadas por (LIMA; SANTOS, 2008): f EFET { 1} d& b = M (327)

41 40 As soluções para o problema são, neste caso, obtidas em termos dos deslocamentos relativos à base, u Em particular, é de interesse para o engenheiro o máximo deslocamento a partir do qual se pode calcular a máxima força elástica, obtido de um Espectro de Projeto ou de Resposta Elástica (BRASIL; SILVA, 2013) 33 ESPECTROS DE RESPOSTA Um gráfico que mostre a resposta máxima, seja em termos de deslocamentos, velocidades, acelerações ou qualquer outra grandeza, em função do período natural ou da frequência natural para um SGL, considerando uma determinada excitação é chamado de espectro de resposta O período natural, expresso em segundos, é dado por (LIMA; SANTOS, 2008): T n 2π = (328) ω n O inverso do período natural fornece a frequência natural ω é uma n propriedade dinâmica do sistema chamada de frequência circular expressa em radianos por segundos Conhecido o espectro de resposta de uma dada excitação, a resposta máxima para um SGL é facilmente determinada desde que conhecido o seu período natural T n Entretanto, a informação sobre o instante no tempo onde ocorre a resposta máxima não fica disponível 331 Espectros de resposta para forças Seja um SGL sujeito a uma força qualquer atuando por um tempo t f Para instantes t menores ou iguais ao tempo de aplicação de uma carga t o movimento f é de vibração forçada e a resposta do sistema pode ser obtida pela integral de Duhamel a seguir:

42 41 1 t ξωn ( t τ ) x( t) = F τ e sen[ ωn t τ ] dτ mω ( ) ( ) (329) 0 n sendo: ξ o fator de amortecimento, dado por (BRASIL; SILVA, 2013): c ξ = (330) 2mω m = massa; c= constante de amortecimento; F (τ ) é a força impulsiva no instante τ iniciais Para instantes x 0) = ( xtf e x 0) xtf t > tf o movimento é de vibração livre, para as condições &( = & a equação é dada por: x& tf x( t) = xt cos( ωnt) + sen( ωnt) f ω n (331) Para a obtenção do espectro a resposta é calculada, utilizando-se, por exemplo, a integral de Duhamel, para uma faixa de frequências de interesse, sendo retida para cada uma daquelas frequências o valor máximo obtido Na FIGURA 36, como exemplo, reúnem-se os espectros não amortecidos, em termos do fator de amplificação dinâmica máxima ( A D max ), para forças com função retangular (curva a), triangular decrescente (curva b) e parabólica (curva c) Brasil e Silva (2013) definem a amplificação dinâmica máxima como sendo a razão entre o deslocamento dinâmico máximo e o deslocamento obtido pela aplicação estática da amplitude máxima A EQUAÇÃO (332 obtida de Lima e Santos (2008) exprime esta relação: 1 = 2ξ 1 ξ A D, MÁX 2 (332)

43 42 FIGURA 36 ESPECTROS NÃO AMORTECIDOS FONTE LIMA E SANTOS (2008) 332 Espectros de resposta para aceleração da base Espectros de resposta para aceleração da base são de grande importância na análise sísmica A forma mais direta para se obter o espectro de resposta relativo a um determinado registro sísmico consiste na utilização de um equipamento capaz de medir a resposta dinâmica ao longo do tempo (por exemplo, a aceleração absoluta) de um conjunto de osciladores lineares de SGL, caracterizados por um mesmo valor de amortecimento e diferentes valores de frequência circular de interesse Seja um SGL sujeito ao deslocamento harmônico de sua base A equação diferencial do movimento relativo, devido à aceleração da base é dada pela seguinte equação: 2 u& ( t ) + 2ξω u& ( t ) + ω u( t ) = x& ( t ) n sendo x& b (t) a aceleração absoluta da base n b (333) Conhecida a aceleração da base e definindo o amortecimento, a EQUAÇÃO (333) pode ser resolvida para vários valores de ω n, utilizando qualquer método de solução para a equação diferencial Utilizando-se a integral de Duhamel obtém-se: