Estratégias de Ensino de Sistemas de Equações Algébricas em Livros Didáticos Usados no Brasil ( )

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1 Estratégias de Ensino de Sistemas de Equações Algébricas em Livros Didáticos Usados no Brasil ( ) Enoque da Silva Reis Prof. Dr. Luiz Carlos Pais Resumo: O objetivo deste artigo é relatar a proposta de uma pesquisa, em nível de mestrado cujo a finalidade é estudar sistemas de equações algébricas lineares do primeiro grau em livros didáticos utilizados no ensino secundário brasileiro no período de 1890 a As fontes utilizadas serão, contudo alguns livros didáticos utilizados no Brasil no período estudado assim como leis e programas de estudos deste período. Para estudar esse objeto, a Teoria Antropológica do Didático, proposta por Yves Chevallard será adotada como referencial teórico assim como referencial metodológico, para identificar e analisar as praticas implementadas pelos autores de Livros Didáticos e escolas brasileiras. Além deste referencial, será utilizada as noções de Vulgata e Cultura Escolar de André Chervel. Palavras Chave: Praxeologia. Livro Didático. Sistemas de Equações Algébricas do Primeiro Grau. 1 Considerações Iniciais Ao longo de minha graduação em matemática licenciatura plena estudei inúmeras disciplinas, algumas voltadas à educação, outras a matemática pura e uma especificamente voltada à história da matemática. Em outras palavras posso dizer que em cada acadêmico de minha turma houve um despertar no sentido a que se refere em querer dar continuidade nesta área escolhida. No decorrer do tempo observei uma forte afinidade com a matemática pura, e por outro lado um grande carisma pela educação matemática, pois desde o inicio de minha graduação me incorporei no quadro de professor do estado de Mato Grosso do Sul. Quanto à disciplina de história da matemática tenho a informar que simplesmente passou como uma disciplina do currículo do curso de licenciatura em matemática. No que se refere a minha afinidade com a matemática pura, recorri a um aperfeiçoamento nesta área, participando de alguns cursos, primeiramente na Universidade de São Paulo (USP) cursando, álgebra linear, análise infinitesimal e frações contínuas em seguida na Universidade de Campinas (Unicamp) cursando álgebra linear avançada, tendo assim uma possibilidade muito importante em minha vida acadêmica no estudo deste campo da matemática. 1

2 Paralelamente aos cursos citados acima me deparava com diversas situações do cotidiano escolar, professor, aluno, instituição de ensino, questões estas que de acordo com a instituição de ensino (escola) considerava que o professor (eu) deveria resolver, citarei um exemplo para que se possa ter compreender melhor, de um lado uma sala de aula com um baixo índice de aproveitamento da disciplina de matemática, do outro lado a instituição (escola) afirmando que a culpa era do professor (eu). Diante de algumas situações semelhantes a esta citada desperta a necessidade de buscar uma solução para este tipo de problema, proporcionando o inicio de uma série de estudos referentes à educação matemática. Neste momento encontro-me mergulhado em um estudo ainda mais desafiador referente ao processo de ensino-aprendizagem da matemática, em outras palavras estou engajado na busca de reflexões com base na teoria Antropológica do Didático (TAD) de Chevallard em livros didáticos utilizados no ensino secundário brasileiro no período de 1890 a Diante destas angústias surgem uma série de questionamentos que após lapidados culmina no seguinte objeto de pesquisa: O estudo de sistemas de equações algébricas lineares do primeiro grau em livros didáticos utilizados no ensino secundário brasileiro no período de 1890 a No contexto do objeto de pesquisa a palavra estudo encontra-se no sentido de observar como eram os conteúdos propostos nestes livros didáticos, realizando assim uma análise de modo a considerar se estes livros propunham seus conteúdos no sentido mais prático ou enfatizavam o teórico. Assim serão realizadas algumas observações dos exercícios propostos e as práticas contidas nos exemplares, no intuito de examinar o rigor aplicado pelo autor em sua obra. Para explicar melhor e dar um suporte para o objeto de pesquisa temos os seguintes objetivos específicos: Caracterizar o estudo das equações algébricas lineares do primeiro grau no ensino secundário no período de 1890 a Tendo em vista este objetivo, vamos proceder da seguinte maneira, pesquisar fontes como livros didáticos (utilizados no período do estudo), teses, dissertações, artigos e programas de ensino secundário e de posse destas fontes será executado a caracterização proposta no objetivo em questão. 2

3 Identificar livros didáticos de álgebra adotados no ensino secundário brasileiro no período de 1890 a Em relação a esse objetivo, vamos efetuar um levantamento histórico para conhecer as instituições de ensino onde eram adotados estes livros, quem eram os autores e descrever em nível geral a estrutura de cada livro observando sua estrutura e exercícios propostos de cada um, culminando no sistema de equações algébricas lineares do primeiro grau. Fazer uma análise das diferentes metodologias utilizadas pelos autores de livros didáticos para conduzir o estudo das equações algébricas lineares do primeiro grau. Na descrição desse objeto será utilizada como base a teoria antropológica do didático de Chevallard, olhando diretamente para as práticas utilizadas ou propostas na resolução de atividades expostas nos livros didáticos. Selecionar e analisar em três coleções de livros didáticos contemporâneos, como estes autores conduzem o ensino de equações algébricas lineares do primeiro grau. Para realizar este objetivo, pretendemos investigar o guia do livro didático e o plano nacional do livro didático no propósito de selecionar as três melhores coleções de acordo com as resenhas publicadas. De posse deste parecer referente as três melhores coleções de livros de matemática serão feitas as análises das práticas utilizadas ou propostas no ensino de sistema de equações algébricas lineares do primeiro grau. 2 REFERÊNCIAL TEÓRICO É oportuno iniciar esse tópico relatando que o mesmo tem por finalidade fazer uma abordagem na Teoria Antropológica do Didático de Yves Chevallard, nossa intenção é descrever alguns pontos que acreditamos ser de grande valia para o trabalho que estamos desenvolvendo como dissertação de mestrado em Educação Matemática. Entretanto vamos descrever este estudo em cinco tópicos, (1) Atividades Matemáticas, (2) Organização Praxeológica, (3) tipos de tarefa/ técnica/ tecnologia e teoria, (4) Objetos Ostensivos e Não Ostensivos e (5) Momentos de Estudos. 3

4 1 Atividade Matemática Em que pesem as idéias sustentada por Chevallar (2001 p.45) não podemos abordar o tema do ensino e da aprendizagem de matemática sem nos perguntarmos, ao mesmo tempo, o que é, em que consiste e para que serve fazer matemática. Com relação a afirmação citada acima vamos inicialmente lembrar que Chevallard infere que não existe apenas a matemática escolar e sim inúmeras matemáticas contidas em nossa sociedade. Diante desta existência de inúmeras matemáticas o autor indica que uma determinada pessoa não consiga viver individualmente sem a necessidade da matemática. Entretanto, nós vivemos em uma sociedade na qual certamente existem pessoas capazes de produzir matemática assim como existem aquelas que não a produzem, porém, direta ou indiretamente todos utilizam esta matemática produzida mesmo que não reconheçam suas próprias necessidades matemáticas. De acordo com essa observação nota-se que a matemática na escola é vinculada a sua presença implícita ou explicita na sociedade e, portanto, é de suma importância que as necessidades matemáticas do cotidiano devem ser ensinadas na escola. No que implica esse item recorremos a Chevallar (2001 p.45) que diz... o ensino formal é imprescindível em toda aprendizagem matemática e que a única razão pela qual se aprende matemática é porque é ensinada na escola. De acordo com esta afirmação é plausível concluir que esta sendo transformado o ensino escolar da matemática simplesmente no conhecimento em matemática, portanto, passando a ser vista apenas como um valor escolar e não como uma disciplina que se encontra diariamente aplicada no cotidiano das pessoas com isto acreditamos que a sociedade passara a não levar a sério a matemática estudada na escola. Desse conjunto de fatores decorre, que o processo de ensino e aprendizagem da matemática, de acordo com Chevallard (2001, p. 46) São aspectos específicos do processo de estudo da matemática nesse ponto acreditamos que a palavra estudo citada engloba não só o trabalho matemático desenvolvido pelos alunos, assim como o trabalho do próprio matemático que encontra-se diante de problemas em níveis diferenciados. Na mesma vertente temos que identificar o termo didático, na intenção de esclarecer melhor recorremos às palavras de Chevallard (2001, p.46) que enuncia como... aquilo que esta relacionado com o estudo e com a ajuda para o estudo da matemática. É inquestionável, portanto, a importância da didática na matemática, pois, devemos notar que ela esta intrinsecamente ligada ao processo ensino e aprendizagem e isto nos leva a 4

5 indagar que não importa se esta ligada a uma aplicação, aprender ou ensinar matemática ou até mesmo na criação de uma nova matemática. No entanto, A didática da matemática é definida, portanto, como a ciência do estudo da matemática definição esta dada por Chevallard (2001, p.46) e que neste trabalho adotaremos como referencia quando citarmos Didática Matemática. Todavia quando voltamos às nossas experiências de vida acreditamos parecer simples e claro o que é matemática ou até mesmo parece fácil identificar se uma pessoa esta ou não fazendo matemática. Entretanto Chevallard (2001 p.54) apresenta três aspectos da atividade matemática e afirma que Não é possível traçar uma fronteira clara e precisa que separe de uma vez por todas as atividades matemáticas das não-matemáticas. No entanto, podemos destacar alguns elementos característicos encontrados na atividade matemática. Chevallard aponta para a idéia de que os três aspectos da atividade matemática se constituem da seguinte forma: Utilizar matemática conhecida; Aprender (e ensinar) matemática; Criar uma matemática nova. Nós entendemos que a primeira grande área citada acima esta englobada no sentido de aplicar os conhecimentos matemáticos já adquiridos em problemas a serem resolvidos, por outro lado, acreditamos chegar a tal ponto em que haja a necessidade de recorrer a uma nova ferramenta para resolver um determinado problema, pois, nosso conhecimento é limitado. Nesse momento, entramos no campo do aprender e ensinar matemática. Um pouco mais distante desse sentido e mais ligado aos pesquisadores encontramos o terceiro grande aspecto, ligado à criação de uma nova matemática. Acreditamos ser de muita valia fazer um dialogo entre estas áreas e os estudos que estamos realizando buscando uma ligação do processo ensino e aprendizagem de sistemas de equações algébricas do primeiro grau contidos em livros utilizados no ensino brasileiro no período de 1890 á Entretanto, observamos que essas áreas aparecem da seguinte forma em nossos estudos. Quando o livro didático enuncia, para um estudante, um sistema de equações ele encontra-se diante de um problema em que deverá aplicar conhecimentos adquiridos anteriormente. Exemplos: equações do primeiro grau com duas variáveis, princípio de equivalência de equações (Aditivo e Multiplicativo) dentre outros, no entanto estes conhecimentos anteriores adquiridos não são suficientes para resolver o problema. Nesse ponto serão buscados novos conhecimentos (momento em que encontramos a segunda grande área aprender e ensinar matemática) para que se possa 5

6 resolver o problema enunciado, tais como princípio multiplicativo de equivalência de equações, sistemas equivalentes entre outros. 2 Organizações Praxeológicas Nós iniciaremos este tópico realizando uma decomposição da palavra Praxeologia na qual é formada por dois termos gregos práxis e logos, que tem como significados, respectivamente prática e razão. Entretanto quando nos referimos a uma prática devemos observar em que instituição esta vinculada (Instituição para Chevallard pode ser um livro, uma escola, uma família, etc.), diante desta vinculação existe a necessidade de um discurso que justifica (da razão) a prática ali realizada. Esses aspectos acima citado constituem dos níveis; práxis e logos que estão intrinsecamente ligados, o processo dialético entre eles permitem formar a Praxeologia Matemática. Em tal perspectiva Chevallard enfatiza que em qualquer prática institucional podemos traduzi-las em forma de tarefa, na qual a realização decorre a partir de uma técnica que são justificadas por uma tecnologia que por sua vez é defendida por uma teoria. 3 Tipos de Tarefa, Técnica, Tecnologia e Teoria De acordo com o nosso entendimento acreditamos que inicialmente devemos observar que a prática institucional pode ser analisada de diferentes pontos de vista, e certamente de diferentes maneiras, entretanto entendemos que o Tipo de Tarefa é restrito são as tarefas solucionadas a partir de uma mesma técnica. (CHEVALLARD 2001) No que se refere a técnica utilizada para resolução de um tipo de tarefa entendemos ser necessário na instituição que haja um discurso descritivo e justificativo referente a estas tarefas, e que também as esta técnica utilizada para sua resolução. A justificativa é denominada por tecnologia da técnica. Analogamente configura-se uma teoria que serve para justificar a tecnologia. Chevallard explicita a idéia que técnica, tecnologia e teoria, estão diretamente ligadas ao seu sistema funcional com base no tipo de tarefa proposto, entendemos também que nem um destes itens são absolutos todos tem suas limitações. De maneira similar pretendemos diante de alguns livros didáticos utilizados no ensino secundário brasileiro no período de 1890 á 1930, observar e descrever as organizações matemáticas assim como as didáticas contidas em cada exemplar no que se refere a sistema de equações lineares do primeiro grau, buscando assim descrever a organização praxeológica utilizada pelo autor. 6

7 Pelo mesmo viés elencar alguns tipos de tarefa contido em cada livro suas técnicas, descrever as tecnologias que justificam a técnica proposta culminando assim na teoria que valida cada tecnologia citada. No entanto, gostaríamos de destacar que estas analises serão feitas em tabelas para facilitar o entendimento de cada passagem realizada. 4 Objetos Ostensivos e Não-ostensivos Diante deste tópico gostaríamos de descrever o que entendemos sobre objetos ostensivos e não ostensivos, o primeiros acreditamos que esta voltada a elementos concretos que podem ser manipulados e de um ponto sensorial esta articulado especificamente à visão. Entretanto quando nos remetemos ao segundo destacamos o fato de não serem manipuláveis. Para que possamos compreender melhor vamos fazer um diálogo como nosso trabalho, assim temos um recorte em nossa análise. Dado o sistema de equações lineares do primeiro grau retirada do livro da FIC p. 51; Observamos que temos elementos ostensivos assim como não-ostensivos que classificamos da seguinte forma; A própria escrita matemática é um ostensivo, pois, esta relacionada com a visão e pode ser manipulada de diversas formas. Temos os conceitos que estão implícitos dentro deste problema (ex: Princípio de equivalência de equações Aditivo e Multiplicativo) dentre outros, estes conceitos não são visíveis tão pouco manipuláveis portanto são nãoostensivos. Em tal contexto concluímos que existe uma ligação entre os objetos ostensivos e não-ostensivos, em outras palavras entendemos que sempre que existir ostensivo existirá também não-ostensivo e vice-versa. 5 Momentos de Estudo De acordo com Chevallard uma organização didática se articula com base nos tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias. Dentro desta organização podemos encontrar seis elementos que recebem o nome de momentos de estudo, que certamente devem ser cumpridos não levando em consideração se há um benefício maior para alguma delas, ou defasagem em outra. Devemos inicialmente observar que estes momentos têm 7

8 uma finalidade funcional e não devemos nos preocuparmos com a ordem em que elas ocorrem. Primeiro momento é chamado de primeiro encontro, este é o momento em que é apresentado ao aluno a tarefa, e isso pode ocorrer de diversas maneiras, através de uma narração, uma indagação sobre o mundo, etc. Este momento pode ser caracterizado também como um reencontro. Segundo momento, exploração do tipo de tarefa e da técnica, este é momento no qual o aluno observa a tarefa e busca internalizá-la, tentando assim encontrar uma ferramenta para solucionar o problema. Em outras palavras é o momento em que ele busca reunir os conhecimentos adquiridos até então para construir um caminho que ele julga correto culminado na resposta do problema proposto. No terceiro momento é aquele ligado a elaboração do entorno tecnológico e teórico relativo à utilização da técnica. Nós entendemos de uma maneira geral que este momento esta ligado a cada um dos outros momentos. Assim desde o primeiro encontro com o tipo de tarefa existirá uma relação com um entorno tecnológico teórico que já foram elaborados ou encontra-se diante de um questionamento que a partir da situação será desenvolvido. No quarto momento verifica-se o trabalho da técnica, é neste momento que certamente ocorrem um aperfeiçoamento desta técnica aplicada na intenção de torná-la uma maior aplicação, confiabilidade, etc. No quinto momento é o da institucionalização, existente com o objetivo de determinar de maneira precisa em que consiste a organização matemática, é neste momento que buscam diferenciar os elementos que serão integrados de maneira definitiva nessa organização de acordo com a cultura de uma determinada instituição escolar. O sexto momento é o de validação que é diretamente articulado com o da institucionalização. Para Chevallard trata-se de avaliar, não uma pessoa, mas sim, de interrogar a própria técnica, diante disto verificar alguns elementos como, se ela é segura, robusta, manipuláveis dentre outras. Síntese Entendemos que de acordo com Chevallard toda prática institucional pode ser analisado num sistema de tarefas que se constituem dentro de uma determinada 8

9 Praxeologia que permitem modelar o conhecimento. Temos assim um esquema da seguinte forma [T 1, ], na qual T 1 é o tipo de tarefa, é a técnica aplicada para solucionar este tipo de tarefa, é a tecnologia que justifica a técnica aplica e por último temos que é a teoria na qual se baseia a tecnologia. Portanto este esquema fornece instrumentos para analisar o saber/fazer do professor utilizando paralelamente a noção de momentos de estudo ou momentos didáticos, que em determinados tipos de situações estão presentes, mesmo que ocorram de uma maneira variada na intenção de determinar uma certa organização matemática na sala de aula. No entanto temos seis momentos distintos no qual são propostos de forma arbitraria, pois, estão ligados a realidade formal e não na cronológica. Entendemos que a análise dos itens acima proporciona a caracterização da Praxeologia de uma determinada instituição. 3 REFERÊNCIAL METODOLÓGICO Para implementar pesquisas que tenham por finalidade identificar e analisar práticas e argumentos presentes em livros didáticos de matemática, tendo em vista a origem positivista que esta na origem da educação matemática escolar, não podemos deixar de considerar a importância dos próprios conteúdos históricos presentes nas vulgatas típicas no ensino de matemática. Portanto ao realizar esse trabalho, nossa idéia é utilizar os próprios princípios da Teoria Antropológica da Didática para fundamentar o método utilizado por nos. Em outras palavras, para analisar as práticas referentes ao estudo dos sistemas de equações algébricas lineares do 1 grau, pretendemos seguir os passos da própria teoria proposta por Chevallard na chamada abordagem antropológica do didático. Como fazer isso? Em vista da origem positivista, partimos do próprio conceito central do nosso trabalho, sistemas de equações algébricas lineares do 1 grau, para iniciar os procedimentos de analise. Assim, para maior clareza vamos enumerar os passos que iremos implementar na realização da nossa pesquisa: 1) Levantar uma relação de problemas propostas ou resolvidas, encontrados em livros didáticos no período estudado. E assim temos a intenção de colocar um anexo dessa relação ao final de nossos estudos. 2) Resolver ou analisar essa lista de problemas com a intenção de identificar os métodos propostos pelos autores ou a viabilidade de aplicação das técnicas propostas. 9

10 3) Identificar tipos de problemas que podem ser resolvidos com a mesma técnica. 4) Análise de técnicas e a identificação dos argumentos teóricos associados a essas técnicas no livro didático. 5) Fazer uma análise critica dos tipos de tarefas e das técnicas apresentadas pelos autores de livros didáticos. 6) Estudo do objeto de pesquisa em livros didáticos contemporâneos. 7) Comparar os livros didáticos contemporâneos e os livros didáticos antigos com a finalidade de identificar possíveis praxeologias potencialmente ricas para o estudo do tema. Essa visão metodológica, proposta na realização desse trabalho, situa-se, portanto, entre posição hermenêutica, pretende ser também de cunho critica porque estamos tentando compreender aspectos positivos das praticas propostas pelos autores, e ao mesmo tempo, possíveis limitações dos mesmos. 4 ELEMENTOS DE ANÁLISE A análise das técnicas usadas para resolver os sistemas de equações foi conduzida por nós com a intenção de sempre procurar compreender as diferentes maneiras de realizar o estudo dessa parte da álgebra escolar. Nesse sentido, vamos procurar apresentar a técnica de uma forma bem detalhada. Tipo de tarefa T 1 - Resolver sistemas de equações algébricas do primeiro grau com duas equações e duas variáveis. Neste tipo de tarefa foram reunidas as tarefas cujo enunciado leva o estudante a encontrar os valores correspondentes que satisfazem a solução de um sistema de equações algébricas do primeiro grau que contenha duas equações e duas varáveis. 4.1 Comentários Iniciais Para tornar mais compreensivo o tipo de tarefa acima enunciado vamos expressar as mesmas idéias que procuramos colocar na definição por meio de um registro algébrico, lembrando que esta linguagem não é apresentada no livro didático. Em seguida vamos transcrever um exemplo do livro da FIC, em outras palavras o tipo de tarefa é; sistemas; Resolver o sistema de equações algébricas representadas pelos seguintes onde os coeficientes a i, b i, c i, com i = 1, 2. 10

11 Ilustrando o modelo matemático acima, recorremos a um exemplo utilizado no livro da FIC página 51, como exercício resolvido, para explicar o método da eliminação por substituição. 4.2 Organização Matemática Visando uma maior clareza da organização matemática do tipo de tarefa, vamos iniciar essa análise através do exemplo citado acima, que pode ser encontrado no livro da FIC como exercício resolvido. É importante lembrar que a condução dessa análise praxeológica é descrever as práticas implementadas por cada autor nas propostas de resolução de cada tarefa. Enfatizamos que, quando se tratar de uma prática ou de um argumento oriundo da nossa própria concepção, pretendemos deixar isso claro para preservar a nossa intenção de mostrar as organizações praxeológicas presentes nos livros analisados Descrição da técnica e dos elementos tecnológicos A análise das técnicas usadas para resolver os sistemas de equações foi conduzida por nós com a intenção de sempre procura compreender as diferentes maneiras de realizar o estudo dessa parte da álgebra escolar. Nesse sentido, vamos procurar apresentar as técnicas na forma da tabela abaixo: 11

12 Técnica Elementos Tecnológicos 1) Isolar o valor de x em uma das equações do sistema. Equações do primeiro grau com duas variáveis. Princípio de equivalência de equações (Aditivo e Multiplicativo). 2) Substituir o valor de x obtido na item anterior na equação que ainda não foi utilizada, reduzindo a forma ay = x. Propriedade distributiva de equações algébricas. Princípio de equivalência (Aditiva e Multiplicativa). 3) Isolar o valor de y na equação obtida no passo anterior. [y = x/a] Princípio multiplicativo de equivalência de equações. 4) Substituir o valor de y na equação obtida no primeiro passo desta tabela, determinando desta maneira o valor de x Equação do primeiro grau. Sistemas equivalentes. Tabela 1: Técnicas e elementos tecnológicos do tipo de tarefa T 1 Com a intenção de traduzir a idéia contida na, consideramos interessante, nós articularmos os mesmos procedimentos contidos no registro escrito na língua materna com o seguinte registro algébrico: 12

13 onde os coeficientes a i, b i, c i, com i = 1, 2. cuidados de: Para que não cometamos o erro ingênuo da divisão por zero tomemos os Inicialmente escolhemos a equação ( I ) para isolar o valor de x. (esta escolha é aleatória) Após termos isolado o valor de x, na equação (I) vamos substituir este valor na equação (II) e vamos reduzi-la na forma ay = x a =. Neste ponto estamos com a equação na forma ay em função de x, onde Agora da equação anterior vamos isolar o y Para encontrar o valor de x vamos substituir o y encontrado no desenvolvimento acima, no primeiro passo realizado na resolução desta equação. Desta forma colocamos o valor de x em função dos coeficientes a i, b i, c i, como queríamos. Neste ponto finalizamos a resolução encontrando os valores de x e y que satisfazem a solução do sistema de equações do primeiro grau com duas equações e duas variáveis enunciado no problema. 13

14 Observamos que esta forma de resolução torna explícito os quatros itens contidos na técnica utilizada para resolver este tipo de tarefa, contemplando assim de uma forma que acreditamos facilitar o entendimento do processo utilizado para resolver o sistema, agora em uma linguagem algébrica. No entanto é importante mencionar que este processo algébrico não encontra-se no livro da FIC e aqui foi introduzido no intuito de facilitar o entendimento do processo de resolução proposto Aspectos teóricos e tecnológicos da organização matemática Com referência aos elementos tecnológicos descritos no quadro acima acreditamos tratar de um conteúdo da disciplina de matemática estudado, no que hoje corresponde aos anos finais do ensino fundamental, e mais especificamente é uma parte da Álgebra que é o estudo de sistemas de equações do primeiro grau. Ao analisar como foi conduzida essa organização matemática do livro da FIC, achamos importante salientar que o autor inicia o tópico Resolução de duas equações do primeiro grau a duas incógnitas utilizando o processo de Eliminação por Substituição. Ressaltamos que a explicação deste processo é realizada com o auxílio de um exercício proposto, que aqui usaremos como modelo. Após enunciar o exemplo o autor busca desenvolver a resolução explicitamente utilizando o problema, e assim justificando cada passo com teorias já enunciadas anteriormente no livro. Dentre elas temos o primeiro principio relativo a equações simultâneas que o autor descreve como: pelo autor da seguinte forma: No caso d um systema d equações simultâneas, pode-se substituir uma qualquer d elas pela equação obtida adicionando-se membro a membro esta equação a uma ou mais das outras equações. (F.I.C., pg 49) E também o segundo princípio relativo à equações simultâneas, descrito No caso de termos um systema d equações simultâneas, se extrairmos d uma das equações o valor d uma das incógnitas em função das outras e substituirmos nas outras equações esta incógnita pelo valor achado, forma-se assim um novo systema equivalente o primeiro. (F.I.C., pg 50). Observa-se no quadro de descrição de técnicas e dos elementos tecnológicos, mais precisamente na tecnologia utilizada na técnica 1 o seguinte elemento: Princípio de equivalência Aditiva e Multiplicativa. Para maior clareza, recorremos ao livro do Professor Jacomo Stavale-Elementos de Matemática, explica que o Princípio de Equivalência Aditiva de uma equação do primeiro grau, consiste em que se somarmos ou subtrairmos dos dois membros de uma equação uma mesma quantidade, conseqüentemente a equação obtida é equivalente a anterior. Analogamente o Principio de Equivalência 14

15 Multiplicativa consiste em que se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma equação por uma mesma quantidade (diferente de Zero), obteremos uma equação equivalente a anterior. De posse a estes princípios citados no parágrafo anterior o autor desenvolve o exemplo fazendo a caracterização do processo de resolução de Sistemas de Equações do Primeiro Grau com duas equações e duas variáveis pelo processo de eliminação por substituição. 4.3 Organização Didática Neste trabalho compreende-se a organização didática como sendo o conjunto de todas as técnicas, tecnologias e teorias utilizadas pelo autor para conduzir o estudo efetivo de um dado tipo de tarefa. Entretanto ao analisar o livro da FIC observamos como o autor organizou os conceitos e definições para conduzir o estudo de sistemas de equações do primeiro grau com duas equações e duas variáveis, neste caso mais particularmente pelo método de resolução chamado, eliminação por substituição. Seria oportuno relembrar que a análise praxeológica aqui conduzida esta baseada em dois fatores: Quem esta propondo esta praxeologia; Qual o sujeito e qual é a Instituição que esta relacionada a esta praxeologia. Na linguagem proposta por Yves Chevallard (2001) toda praxeologia esta, de certa forma, ligada a uma instituição e esta tem, por sua vez, os sujeitos que atuam na ecologia que existe na instituição. Diante destas considerações feitas acima é de grande valia analisar a técnica didática utilizada pelo livro da FIC para ensinar o processo de resolução de sistemas lineares de duas equações e duas variáveis utilizando o método da eliminação por substituição. 1) Em primeiro lugar o livro define em que consiste o método da eliminação por substituição da seguinte forma: A eliminação por substituição consiste em tirar d uma das equações o valor d uma incógnita e substituí-la na segunda equação. O systema proposto é então substituído por um systema equivalente de duas equações, das quaes uma só contem a incógnita elimindada. (FIC, p. 51) Notamos assim que nas primeiras palavras referente ao conteúdo o livro já traz como base a consistência do processo utilizado para resolução do problema juntamente com o processo para sua resolução. Assim observamos que na parte introdutória do 15

16 conteúdo em seu livro ele define (institucionaliza) o que é o método de resolução chamado de eliminação por substituição, justificando este pelo que ele denomina por segundo princípio relativo a equações simultâneas, em outras palavras o autor recorre a conceitos já explicitados anteriormente em seu exemplar para institucionalizar um novo conceito. 2) Em segundo lugar é enunciado o seguinte sistema; Diante deste sistema é realizado sua resolução exatamente seguindo o processo enunciado na descrição do sistema, esta resolução e feita em quatro passos distintos no qual o livro da seguinte forma: um isolando a variável escolhida na primeira equação. dois substituição da variável na equação seguinte. três substituição do sistema proposto em equivalente. quatro resolução do sistema equivalente. 3) Em seguida no terceiro passo o livro trás um outro exemplo Acreditamos que o livro enuncia esse segundo exemplo que consideramos algébrico, na intenção de generalizar o método que foi utilizado no exemplo numérico. Conseqüentemente é resolvido analogamente ao exercício anteriror. 4) No quarto passo temos uma observação referente ao processo de resolução enunciado pelo livro; O methodo de resolução por eliminação por substituição emprega-se com vantagem quando uma das equações dá facilmente o valor da incógnita a eliminar, ao passo que a outra equação é complicada (FIC, p.52). Em tal contexto nota-se claramente a preocupação do livro em indicar em qual, ou quais, problemas aplica-se com mais facilidade o processo de resolução estudado. 16

17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHEVALLARD, Yves, BOSH Marianna GASCÓN Josep. Estudar Matemáticas o Elo entre o Ensino e a Aprendizagem. Arimed. Porto Alegre, BOSH, M. E CHEVALLARD, Y. (1999). Ostensifs ET sensibilitéaux ostensifs dans l activité mathématique. Recherches em Didactique dês Mathématiques, v. 19, n. 1, pp FIC. Elementos de Algebra. Garnier,