Física. Valor: 5 pontos. B) Determine a distância x entre o ponto em que o bloco foi posicionado e a extremidade em que a reação é maior.

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1 Física 0. Uma haste de comprimento L e massa m uniformemente distriuída repousa sore dois apoios localizados em suas extremidades. Um loco de massa m uniformemente distriuída encontra-se sore a arra em uma posição tal que a reação em uma das extremidades é o doro da reação na outra extremidade. Considere a aceleração da gravidade com módulo igual a g. A) Determine as reações nas duas extremidades da haste. B) Determine a distância x entre o ponto em que o loco foi posicionado e a extremidade em que a reação é maior.

2 Comentário da Questão 0 Da figura a seguir, temos RA + RB mg () 4 Sustituindo-se RA RB na equação (), otemos R A mg e R B mg (item A). Usando-se o fato de que a soma dos momentos em torno do ponto A é zero, otemos L R B L mg + mgx. () Como mg, podemos determinar x a partir da equação (): x R B RB L mg L L x (item B) Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na figura aaixo. O plano tem um ângulo de inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α em relação ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g, direção vertical, sentido para aixo). A) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento. Valor: pontos

3 B) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (A). Valor: pontos C) Determine a distância, ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento (ponto A) e o ponto no qual a partícula toca o plano inclinado (ponto B). Considere α π e θ π 4. Valor: 4 pontos

4 Comentário da Questão 0 Em relação à horizontal, a partícula tem um ângulo de lançamento ( θ + α ) e descreverá uma trajetória paraólica com concavidade para aixo, conforme a figura a seguir. O alcance ao longo do plano inclinado é d + seguintes equações horárias: [ v cos( α + θ )] x y. As coordenadas x e y do ponto B têm as x t () (item A), y [ vsen( α + θ )] t gt () onde t é o tempo medido a partir do lançamento. Calculando t na equação () e sustituindo o resultado na equação (), otemos x x y [ vsen( α + θ )] g () cos( α + θ ) cos( ) (item B). v v α + θ As coordenadas x e y do ponto B tamém podem ser relacionadas pela equação y tanθ x. [ ] (4) Sustituindo a equação (4) na equação (), otemos v cos ( α + θ ) x [ tan( α + θ ) tanθ ] (5). g Portanto, usando-se a relação dada na equação (4), otemos x d x + y x ( + tan θ ) x (sec θ ) xsecθ cosθ (6), onde x é dado na equação (5). Logo, o alcance ao longo do plano inclinado é v cos ( α + θ ) d [ tan( α + θ ) tanθ ] g cosθ Sustituindo os valores de α e θ na equação acima, otemos v cos ( π ) d [ tan( π ) tan( π 4) ] g cos( π 4) (item C). v d [ ] g

5 0. Cada um dos quadrados mostrados na figura aaixo tem lado e massa uniformemente distriuída. Determine as coordenadas ), ( y x do centro de massa do sistema formado pelos quadrados. Valor: 0 pontos Comentário da Questão 0 Cada quadrado pode ser considerado como uma partícula pontual localizada no seu centro de massa (que corresponde ao centro do quadrado). Dessa forma, as coordenadas do centro de massa são dadas por m m y m m x, , Logo, o centro de massa do sistema está localizado no ponto ),5 ;,5 ( y x.

6 04. Uma partícula de massa m move-se sore o eixo x, de modo que as equações horárias para sua velocidade e sua aceleração são, respectivamente, v ( t) ω Asen( ωt e a ( t) ω Acos( ωt, com ω, A e ϕ constantes. A) Determine a força resultante em função do tempo, F (t), que atua na partícula. Valor: pontos B) Considere que a força resultante tamém pode ser escrita como F( t) kx( t), onde Determine a equação horária para a posição da partícula, x (t), ao longo do eixo x. k mω. Valor: pontos C) Saendo que a posição e a velocidade da partícula no instante inicial t 0 são x ( 0) x0 e v ( 0) v0, respectivamente, determine as constantes A e ϕ. Valor: pontos D) Usando as expressões para as energias cinética, E ( ) mv c t ( t), e potencial, E ( ) kx p t ( t), mostre que a energia mecânica da partícula é constante. Valor: pontos

7 Comentário da Questão 04 Pela segunda lei de Newton, a força resultante é F ( t) ma( t) mω Acos( ωt () (item A). Sendo F( t) kx( t) e usando-se o resultado otido em (), temos que m ω Acos( ωt kx( t) x( t) Acos( ωt () (item B). A posição e a velocidade em t 0 são x(0) x Acos( ϕ) () v(0) v A partir das equações () e (4), otemos 0 0 ωasen( ϕ) v0 v0 e arctan 0 A x + ϕ ω ωx0 (4) (5) (item C). Usando as equações para a energia cinética e potencial, juntamente com as equações horárias da posição e velocidade, temos que E ( ) mv c t ( t) m ω A sen ( ωt ka sen ( ωt ; E ( ) kx p t ( t) ka cos ( ω t. A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial. Logo, E Mec ka sen ( ωt + ka cos ( ωt ka [ sen ( ωt + cos ( ωt ] ka, que é uma constante (item D). 05. Um recipiente cilíndrico fechado de volume V possui paredes adiaáticas e é dividido em dois compartimentos iguais por uma parede fixa, tamém adiaática. Em cada um dos compartimentos encontram-se N mols de um gás ideal monoatômico. Suas respectivas temperaturas iniciais são T e T.. A) A parede adiaática fixa é lierada e pode deslocar-se livremente até atingir nova situação de equilírio, na qual o volume de um compartimento é o triplo do volume do outro. Calcule o módulo do traalho realizado por um gás sore o outro.

8 B) A parede adiaática é novamente presa quando a situação de equilírio do item anterior é atingida e perde suas propriedades isolantes, permitindo que haja troca de calor entre os dois recipientes, até atingir novo equilírio. Determine o módulo do calor trocado entre os recipientes. Comentário da Questão 05 A equação de estado de um gás ideal é dada por PV NRT (), onde P é a pressão a que está sumetido o gás, V é o volume que o gás ocupa, T é a temperatura do gás, N é o número de mols do gás, e R é a constante universal dos gases ideais. Se aplicarmos essa equação a cada um dos gases contidos nos recipientes antes de a parede central ser lierada, otemos P V / NRT e P V / NRT (), o que implica que P P. Portanto, concluímos que a parede central, após ser lierada, mover-se-á na direção do recipiente que estava inicialmente a uma temperatura T. A parede central mover-se-á até que as pressões nos seus dois lados sejam iguais. Se, nesse estado final de equilírio, o volume do gás que se expandiu for o triplo do que foi comprimido, concluímos que a temperatura final de equilírio do primeiro é tamém o triplo da temperatura final do segundo, ou seja, T T (asta usar a equação de estado para os dois gases na situação final de equilírio). Além disso, a energia interna total do sistema composto pelos dois gases não varia, já que o cilindro possui paredes adiaáticas. Isso implica que U + U 0 (), onde U NR( T T )/ e U NR( T T) / são as variações de energia interna dos dois gases ideais monoatômicos (a energia interna de um gás ideal monoatômico é dada por U NRT/ ). Cominando essas equações com T T, otemos T T / 4 e T 9T / 4. Usando-se a primeira lei da Termodinâmica, U Q W, para cada um dos gases ideais, e saendo-se que a parede que separa os dois gases é adiaática (o que implica que os gases não trocam calor, Q 0 ), concluímos que W U. Portanto, o módulo do traalho que um sistema realiza sore o outro é dado por W U U NR( T/ 4 T )/ NR ( 9T/ 4 T )/ NRT/ 8 (item A). Quando a parede é novamente fixada e passa a permitir a troca de calor entre os dois recipientes, esta ocorrerá até que as temperaturas dos recipientes sejam iguais ( T T T ). A temperatura T pode ser otida a partir da relação dada na equação (), aplicada nesse processo. Logo, T 9T NR ( T ) + NR( T ) 0 T T. 4 4 O módulo do da quantidade de calor trocada é dado por T T T 9T 9 Q U U NR NR NRT (item B)

9 06. Uma partícula com carga positiva + q é fixada em um ponto, atraindo uma outra partícula com carga negativa q e massa m, que se move em uma trajetória circular de raio R, em torno da carga positiva, com velocidade de módulo constante (veja a figura a seguir). Considere que não há qualquer forma de dissipação de energia, de modo que a conservação da energia mecânica é oservada no sistema de cargas. Despreze qualquer efeito da gravidade. A constante eletrostática é igual a k. A) Determine o módulo da velocidade v com que a carga negativa se move em torno da carga positiva. Valor: pontos B) Determine o período do movimento circular da carga negativa em torno da carga positiva. Valor: pontos C) Determine a energia total do sistema. Valor: pontos

10 D) Considere que o produto da massa da partícula com carga negativa pela sua velocidade e pelo raio da trajetória circular é igual ao produto de um número inteiro por uma constante; ou seja, mvr nh, onde n é o número inteiro ( n,,,... ) e h, a constante. Determine a energia total do sistema em termos de n, h, q e k. Valor: pontos E) Determine a freqüência do movimento da carga negativa em torno da carga positiva em termos de n, h, q e k. Valor: pontos

11 Comentário da Questão 06 A carga negativa move-se em torno da positiva em movimento circular uniforme. A força que mantém esse movimento é a força elétrica atrativa entre as cargas, que desempenha aqui o papel de força centrípeta. A força entre as cargas é dada pela Lei de Coulom: q F el k (). R Igualando a força elétrica à força centrípeta, otemos a velocidade da carga negativa: mv q mv kq F el k v () (item A). R R R mr O movimento da carga negativa é periódico. O tempo gasto pela carga negativa para dar uma volta em torno da positiva é o período do movimento. Esse tempo pode ser calculado como πr πr mr T π v kq kq () (item B). mr A energia total do sistema corresponde à soma da energia cinética com a energia potencial (elétrica). Logo, q E mv + (4) k. R Sustituindo a velocidade, otida em (), na equação (4), otemos a energia total do sistema de cargas. Portanto, q kq kq E mv k R R R Seguindo a orientação do prolema constante, temos que nh n R mv m kq E (5) (item C). R mvr nh, onde n é um número inteiro ( n,,,... ) e h uma h n h n h R R (6). kq mkq mkq mr R Sustituindo (6) em (5), otemos a resposta esperada. Ou seja, 4 mk q E (7) (item D), h n que é a energia quantizada otida no modelo de Bohr. Ou seja, a energia assume um valor característico dependendo do número inteiro n. A freqüência pode ser calculada diretamente como o inverso do período, dado na equação (). Assim, f T kq mr π mr π kq Sustituindo o valor de R, otido em (6), na equação (8), temos a freqüência quantizada. Logo, m k q mk q f (9) (item E). 6 6 π n h π n h (8)

12 07. Duas partículas pontuais P e P, com massas m e m, possuem cargas elétricas q e q, respectivamente. Amas as partículas são lançadas através de um tuo em uma região na qual existe um campo magnético B r, perpendicular ao plano da página e apontando para fora dela, conforme a figura aaixo. Considere m 4m, m m, q q e q q. Desconsidere qualquer efeito da gravidade e quaisquer atritos que porventura possam existir. A) Determine a energia mínima necessária de cada partícula para que a trajetória resultante toque o LADO.

13 B) Determine o tempo gasto pela partícula que primeiro retorna ao LADO, oedecendo à condição do item (A). Comentário da Questão 07 A) A força magnética F m é perpendicular à velocidade de uma partícula carregada movendo-se em um campo magnético perpendicular ao plano de movimento da partícula, de modo que a trajetória resultante é circular. Como a força magnética é a única que atua nas partículas, ela é a própria força centrípeta ( F ). Assim, para cada partícula vale a relação cp mv qbr Fm Fcp qvb v (), R m onde R é o raio da trajetória circular. A condição para que a partícula tangencie o LADO é R L. Usando-se essa condição e a equação (), a energia mínima que cada partícula deve ter para que sua trajetória tangencie o LADO é K K 9 q B L mv 8 m (); q B L mv m (). B) Em um movimento circular uniforme, o período do movimento é inversamente proporcional à velocidade e é dado por T πr v, onde R é o raio e v, a velocidade. Portanto, a partícula que possui maior velocidade deve executar um movimento circular uniforme com menor período. Sustituindo-se os valores de carga e massa de amas as partículas na equação (), chega-se à conclusão de que a partícula P atinge o LADO primeiro. O tempo necessário corresponde à metade do período do movimento circular. O período da partícula P é πl πlm πm T. v qbl qb Logo, o tempo que a partícula P leva para atingir o LADO é T πm t. qb

14 08. O núcleo de um determinado elemento A, constituído por dois prótons e dois nêutrons, tem massa 7 m 6,69 0 kg. Medidas experimentais mostram que a soma da massa dos dois prótons, A 7 7 m P,45 0 kg, com a massa dos dois nêutrons, m N,50 0 kg, não é igual à massa do núcleo. Isto significa que existe uma energia mínima necessária para separar os constituintes do núcleo do elemento A, denominada aqui de energia de ligação E. 8 4 (Dados: velocidade da luz no vácuo c 0 m s ; constante de Planck h 6 0 J s ). A) Determine a energia de ligação para separar prótons e nêutrons em um núcleo do elemento A. L B) No caso de ser possível separar os constituintes do núcleo do elemento A incidindo fótons de uma 5 radiação eletromagnética de freqüência f, 0 Hz, determine o número de fótons necessários para que isso ocorra. Comentário da Questão 08 A) A soma das massas dos prótons e dos nêutrons é 7 m m 6,695 0 kg (). p + n 7 A diferença em relação à massa do núcleo do elemento A é m 0,004 0 kg. O equivalente em energia dessa diferença de massa é a energia de ligação. O equivalente em energia é otido pela equação de Einstein E L mc (), 8 onde c 0 m s é a velocidade da luz no vácuo. Sustituindo os valores de c e m em (), otemos E L,6 0 J, que é a energia mínima para separar prótons e nêutrons. B) Cada fóton tem energia E foton hf separar prótons e nêutrons no núcleo do elemento A é EL,6 0 J N 4 hf (6 0 J s)(, 0, onde h é a constante de Planck. O número total de fótons para Hz) fótons.