APLICAÇÃO DE SVD EM RECONSTRUÇÃO DE IMAGEM

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Alexandra Quintanilha Alencastre
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1 APLICAÇÃO DE SVD EM RECONSTRUÇÃO DE IMAGEM Engº Doraci Gabriel da Rosa Junho/2001 INTRODUÇÃO TEÓRICA Decomposição em Valores Singulares SVD é a decomposição de uma matriz A: m x n em UDV T, onde U: m x m e V: n x n são matrizes ortogonais, e D: m x n é uma matriz diagonal formada pelos valores singulares de A, em ordem decrescente: σ 1 σ 2... σ r > 0 = σ r+1... σ n. Os valores singulares de A são os autovalores da matriz A T A. Podemos obter uma aproximação de A usando SVD. Seja A: m x n, m n com rank(a) = r n, e U, D, V sua fatoração SVD. A = UDV T A = u 1 d 1 v T 1 + u 2 d 2 v T T T u r d r v r u n d n v n A = σ 1 u 1 v T 1 + σ 2 u 2 v T T σ r u r v r Para cada k = 1, 2,..., r, a matriz A k é a matriz que está mais próxima, na norma-2, de A, dentre todas as matrizes m x n de posto k. A k = σ 1 u 1 v T 1 + σ 2 u 2 v T T σ k u k v k Doraci Gabriel da Rosa 1/9 SVD

Os valores singulares de A são os autovalores da matriz A T A. Podemos obter uma aproximação de A usando SVD. Seja A: m x n, m n com rank(a) = r n, e U, D, V sua fatoração SVD.

2 RECONSTRUÇÃO DE IMAGEM O sistema final é fomado pelos aquivos em anexo: imagem.m programa principal ap_cinza.m programa-função das aproximações de imagem em tons de cinza ap_color.m programa-função das aproximações de imagem colorida jpg dig_foto.m programa que lê e obtém a matriz de um arquivo de imagem bmp ou DESCRIÇÃO DA 1ª EXPERIÊNCIA Nesse primeiro contato com uso do Matlab na Reconstrução de Imagem obtive a matriz A, dos códigos de cores, manualmente. Primeiro abri o arquivo da imagem igor01.bmp (em tons de cinza) num editor de arquivo binário, converti os códigos RGB da seqüência dos pixels da imagem de hexadecimal para decimal, de 0 a 255, copiei e colei no Word (foto.txt). Filtrei apenas os (matriz 260 x 221) códigos da imagem (foto_2.txt), enviei para o Excel para inverter a seqüência das linhas da matriz (foto.xls), e finalmente, copiei a matriz no arquivo foto.m. O aplicativo Corel Photo-Paint me auxiliou na decodificação do arquivo binário. DESCRIÇÃO DA 2ª EXPERIÊNCIA Após saber do comando imread do Matlab, investi num sistema que reconhecesse se a imagem era em tons de cinza (256 tons) ou colorida (16 milhões de cores). O identificador foi o número de camadas da matriz A, m x n x p: se a imagem fosse em tons de cinza, p seria igual a 1; por outro lado, se fosse colorida, p seria 3. Quando a imagem for colorida a matriz A: m x n x 3 é separada em 3 camadas A1 (R), A2 (G) e A3 (B), todas m x n, para poder aplicar o SVD. Após obter as aproximações DA1, DA2 e DA3, estas camadas são condensadas em DA. Doraci Gabriel da Rosa 2/9 SVD

m programa que lê e obtém a matriz de um arquivo de imagem bmp ou DESCRIÇÃO DA 1ª EXPERIÊNCIA Nesse primeiro contato com uso do Matlab na Reconstrução de Imagem obtive a matriz A, dos códigos de

3 RESULTADOS OBTIDOS Imagem original Arquivo: igor01.bmp Tipo: 256 tons de cinza size(a) = 260 x 221 x 1 rank(a) = 221 Aproximações sucessivas pelo rank(a) Doraci Gabriel da Rosa 3/9 SVD

4 Imagem original Arquivo: igor01.jpg Tipo: 16 milhões de cores size(a) = 260 x 221 x 3 rank(a) = 221 Aproximações sucessivas pelo rank(a) Obs.: Neste tipo, rank(a) está significando rank(a1). Doraci Gabriel da Rosa 4/9 SVD

5 Imagem original Arquivo: igor02.bmp Tipo: 256 tons de cinza size(a) = 438 x 355 x 1 rank(a) = 355 Aproximações sucessivas pelo rank(a) Doraci Gabriel da Rosa 5/9 SVD

6 Imagem original Arquivo: igor02.jpg Tipo: 16 milhões de cores size(a) = 438 x 355 x 3 rank(a) = 355 Aproximações sucessivas pelo rank(a) Obs.: Neste tipo, rank(a) está significando rank(a1). Doraci Gabriel da Rosa 6/9 SVD

7 Exemplo de resultado obtido pelo programa imagem.m no Matlab 5.3 Doraci Gabriel da Rosa 7/9 SVD

8 CONCLUSÃO Notamos claramente que a aproximação de A usando SVD mostrou ser muito útil na Reconstrução de Imagem. Interessante que uma matriz dos códigos de cores de uma imagem possa ser comprimida a uma dimensão bem pequena e ainda assim preservar muito bem a qualidade da imagem. Embora a SVD seja aplicada a matrizes bidimensionais, pudemos aplicá-la em matrizes tri-dimensionais, separando cada uma das três camadas e, em seguida, condensando-as novamente para obter as imagens de aproximação de rank(a). Doraci Gabriel da Rosa 8/9 SVD

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS WATKINS, David S. Fundamentals of Computations. USA: John Wiley & Sons, p. OGDEN, C. J. 17/06/2001. ARNOLD, Ben. 17/06/2001. Doraci Gabriel da Rosa 9/9 SVD

us/instruct/darnold/laproj/fall97/tammie/tammie.pdf. 17/06/2001. ARNOLD, Ben.

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