Prova-Modelo de Exame Nacional MACS

Transcrição

1 202 atemática Aplicada às iências Sociais rova-odelo de Exame Nacional AS N ọ 1 1. Na cidade ASLÂNDA realizaram-se eleições para escolher uma equipa de 8 representantes para o Departamento do Ambiente. A formação da equipa será baseada na votação, que cada partido obteve, nas últimas eleições autárquicas. No quadro seguinte, estão apresentados os dados referentes a essas eleições. artidos A B D E Número de votos otal de eleitores: N ọ de votos brancos: 218 N ọ de votos nulos: alcule a percentagem de abstenção. Apresente o resultado arredondado às unidades Qual será a distribuição dos representantes dos partidos se aplicarmos o método de Saint-Laguë? (Apresente os quocientes arredondados às décimas). A conversão de votos em representantes, utilizando o método de representação proporcional de Saint- -Laguë, segue as seguintes etapas: O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1, 3, 5, 7, etc. (sucessão de números ímpares). Os quocientes são alinhados por ordem decrescente de grandeza. Escolhem-se os n maiores quocientes e distribuem-se pelos n representantes a eleger A presidência da equipa será atribuída à lista com a maioria de representantes. A qual dos partidos corresponde a presidência? 1.4. Supondo que, antes da distribuição dos representantes, os partidos e D estabelecem uma coligação, será que a presidência vai ser exercida pela mesma lista? Escreva um pequeno texto onde refere os seguintes aspetos: simulação da distribuição, aplicando o método referido, dos representantes considerando a coligação, admitindo que os votos da coligação resultam da soma dos votos dos partidos e D; referência à eventual alteração da presidência; conclusão da vantagem, ou não, para os partidos e D, da existência da coligação Antes das eleições autárquicas um jornal da cidade publicou uma notícia com base numa sondagem, onde se podia ler: o partido A terá 30% das preferências e o partido D 39%, para um nível de confiança de 95%, com uma margem de erro de 3%. Utilizando os dados referidos, interprete entre que valores se situa a previsão da percentagem de votos de cada partido, de acordo com o nível de confiança e a margem de erro referidas. omparando as previsões da sondagem com os resultados finais será legítimo concluir que a sondagem foi mal feita? ustifique.

2 rovas-odelo de Exame Nacional AS odos os anos, no verão, a cidade ASLÂNDA recebe turistas de vários países. Na figura, apresenta-se o mapa onde aparecem os pontos de interesse/zonas históricas da cidade assinalados por letras, de acordo com a legenda. 5,2 km 1,8 km 1 km 2 km 2 km 3,8 km 4 km useu greja rutas astelo elourinho 2,3 km ermas romanas ardim botânico 1,6 km 1,5 km 5 km 3,6 km 2.1. Um grupo de turistas resolveu começar a visita pelo museu () e terminar na igreja (). ndique um percurso, de a, de modo a visitar todos os pontos de interesse assinalados, passando por cada um deles uma única vez A âmara unicipal dispõe de um autocarro turístico e pretende que este percorra todas as ruas da zona turística representada, passando uma só vez em cada uma delas. Estabeleça um percurso para que o autocarro cumpra este objetivo A convite da âmara unicipal, os alunos da escola do 1 ọ ciclo de uma freguesia vizinha vão fazer uma excursão à zona histórica da cidade. retende-se que o local de partida e chegada da visita seja no largo da igreja e que se passe em cada rua o menor número de vezes possível. O responsável da âmara concluiu, ao analisar o mapa, que não é possível estabelecer um circuito para o autocarro, de modo que passe uma única vez em cada rua. ustifique esta afirmação e apresente um circuito no ponto de partida referido () em que se repita o menor número possível de ruas A âmara unicipal decidiu estabelecer uma iluminação noturna comum a todos os pontos de interesse. retende-se otimizar os custos nas ligações entre os diferentes locais. Kruskal criou um algoritmo que permite estabelecer a árvore geradora mínima que cumpre o objetivo pretendido. Utilize as distâncias registadas no mapa e o algoritmo que se segue para resolver o problema. Algoritmo de Kruskal ou do Avarento Seleciona-se a aresta com menor peso do grafo (se houver mais do que uma escolher ao acaso). Escolhe-se outra aresta de menor peso de entre as arestas que ainda não foram escolhidas (que não tem de ser adjacente à primeira), desde que não se forme um circuito. Repete-se este processo até se obter todos os vértices que estão na árvore. As arestas escolhidas formam a árvore abrangente mínima.

3 204 atemática Aplicada às iências Sociais 3. O Sr. Antunes pretende comprar na cidade ASLÂNDA uma habitação. ara tal, faz uma pesquisa sobre os preços de moradias e o imposto associado a essa transação, o (mposto unicipal de ransmissão). Na tabela seguinte estão registados os valores dos imóveis que, pelas suas características, são do interesse do Sr. Antunes: oradia A B reço Determine o valor do para cada moradia, aplicando os valores da tabela na regra seguinte: =.A. em que: valor do mposto unicipal de ransmissão Valor do capital axa a aplicar.a. arcela a abater abela (Habitação própria e permanente) Valor sobre que incide o (euros) Até De mais de até De mais de até De mais de até De mais de até axa marginal a aplicar 0% 2% 5% 7% 8% arcela a abater Superior a axa única de 6% 4. O acesso ao museu da cidade é feito de acordo com a faixa etária a que pertence o visitante. rianças com idade inferior a 12 anos: entrada gratuita ovens dos 12 até aos 26 anos: 50% de desconto Adultos dos 27 aos 64 anos: bilhete inteiro Adultos com idade igual ou superior a 65 anos: entrada gratuita 4.1. Num determinado dia, o museu da cidade teve 200 visitantes, distribuídos de acordo com o seguinte gráfico circular. Visitantes do museu 20% 45% 10% < 12 [12, 26] 25% [27, 64] > 64

4 rovas-odelo de Exame Nacional AS Escolhendo um visitante ao acaso, determine a probabilidade de ter tido entrada gratuita no museu Escolhendo dois visitantes ao acaso, construa a distribuição de probabilidades da variável aleatória X que representa o número de visitantes que não pagou a entrada Verificou-se, num dia de abril, que os visitantes do museu se distribuíram segundo a faixa etária, como mostra o seguinte histograma de frequências absolutas acumuladas: 180 dades Número de visitantes Determine a média e o desvio-padrão associados a esta amostra e estime com um nível de confiança de 99% o valor médio de idades do visitante do museu O valor médio das idades dos visitantes é 28 e o desvio-padrão é. Se num determinado dia visitarem o museu 100 pessoas, qual é a probabilidade da média de idades dos visitantes nesse dia ser superior a 30? Apresente o resultado sob a forma de percentagem arredondado às unidades. Distribuição das cotações: Questão otal otação

5 212 atemática Aplicada às iências Sociais ropostas de Resolução roposta de Resolução da rova-odelo de Exame Nacional AS N ọ otal de votos = = ercentagem de abstenção = % om um nível de confiança de 95%, a sondagem prevê que a percentagem de votos obtida pelo partido A se situe entre os 27% e os 33% e a do partido D se situe entre os 36% e os 42%. De acordo com os resultados, a percentagem de votos é: 2870 artido A: % artido D: % onsiderando as votações dos partidos nas listas L2, L3, L4, L5 e L6, na calculadora, determinam-se os quocientes: Observa-se que os resultados finais não se enquadram nos intervalos obtidos pela sondagem e que o partido vencedor não corresponde ao indicado por esta. Apesar desta situação, como a qualquer sondagem está associada um nível de confiança e uma margem de erro, não é legítimo concluir que esteja mal feita Um percurso possível é, por exemplo: Selecionando os oito maiores quocientes, obtém-se a distribuição seguinte: artido A 3 representantes artido B 1 representante artido 2 representantes artido D 2 representantes 1.3. A presidência será atribuída ao partido A, pois é o partido com a maioria de representantes onsiderando como X a lista que representa a coligação dos partidos e D, obtém-se a tabela seguinte: 2.2. ara estabelecer um percurso em que o autocarro percorra todas as ruas da zona turística, passando uma só vez em cada uma delas, basta construir um caminho de Euler. ara tal selecionam-se como locais de partida e de chegada os dois vértices de grau ímpar ( e ). Então, é um caminho possível omo há vértices de grau ímpar não é possível construir um circuito de modo que o autocarro passe uma única vez em cada rua. É necessário proceder à eulerização do grafo, acrescentando arestas paralelas. No mínimo é necessário acrescentar duas arestas, indicadas a vermelho na figura seguinte: a 6 a 5 a 1 a 7 a 8 Ao aplicar o método de Saint-Laguë e considerando agora a coligação dos partidos e D verifica-se que a distribuição dos representantes vai originar a alteração da presidência, passando do partido A para a coligação. Assim, os partidos e D têm vantagem em concorrer em coligação. a 4 a 3 a 2 Um circuito possível com partida e chegada na igreja é: a 3 a 4 a 2 a 8 a 6 a 5 a 7 a 1

6 ropostas de Resolução Utilizando o algoritmo de Kruskal, ficam selecionadas as arestas a verde na figura, formando estas a árvore abrangente mínima. 1, ,2 2 3, onsiderando μ = 28 e σ = e aplicando o eorema do Limite entral, a distribuição das médias amostrais é normal com média 28 e desvio-padrão A probabilidade pretendida é: (X > 30) = 0,5 (28 < X < 30). Utilizando a calculadora, obtém-se: 5 2,3 1,6 3,6 1,5 3. Os valores de são os apresentados na tabela seguinte: oradia A (euros) , = 6095 B , = , = 2759 A probabilidade pedida é 9%. roposta de Resolução da rova-odelo de Exame Nacional AS N ọ Aplicando o 1 ọ passo do algoritmo obtém-se a tabela seguinte: Escolhendo ao acaso um visitante, a probabilidade de este ter tido entrada gratuita é 0,3 ou 30% A tabela de distribuição de probabilidades para a variável aleatória X é: (X = 0) = 0,7 0,7 = 0,49 (X = 1) = 0,3 0,7 + 0,7 0,3 = 0,42 (X = 2) = 0,3 0,3 = 0,09 X = x i 0 (X = x i ) 0,49 1 0,42 2 0,09 Herdeiro anuel oaquim aria Valor global da herança (Quinta) (Serviço) (Dinheiro) = = (Quinta) (Serviço) (Dinheiro) = = (Quinta) (Serviço) (Dinheiro) = = Valor da parte justa : 3 = = , : 3 = = 1 333, : 3 = = , onsiderando os valores da tabela seguinte: oradia arca da classe x i Frequência absoluta f i [0, 12[ 6 16 [12, 24[ [24, 36[ [36, 48[ [48, 60[ [60, 72[ 66 otal Utilizando a calculadora vem: x = 30 e Sx = 16,59 ara um nível de confiança de 99%, o intervalo de confiança para o valor médio de idades do visitante do museu é: ] 30 2,576 16,59 ; ,576 16,59[ = ] 29,73; 30,27[ ara o anuel, o valor da herança é e o valor da parte justa é ,33. ara o oaquim, o valor da herança é e o valor da parte justa é 1 333,33. ara a aria, o valor da herança é e o valor da parte justa é ,67. Herdeiro anuel (Quinta) oaquim aria Bens 2500 (Serviço) Ajuste na partilha , = = , ,33 0 = = 1 333, , = = ,67 O anuel é o herdeiro que valorizou mais a quinta. omo o valor da quinta ultrapassa a parte justa do anuel, tem que repor ,67 euros para serem distribuídos pelos restantes herdeiros.