UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE RESÍDUOS DE MINERAÇÃO DANIELLE LIMA DA SILVA 2019

2 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE RESÍDUOS DE MINERAÇÃO DANIELLE LIMA DA SILVA Projeto de Graduação apresentado ao curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Alessandra Conde de Freitas RIO DE JANEIRO Março de 2019

3 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE RESÍDUOS DE MINERAÇÃO Danielle Lima da Silva PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL. Examinado por: Prof. a Alessandra Conde de Freitas, D.Sc. Prof. Marcus Peigas Pacheco, Ph.D. Prof.ª Bernadete Ragoni Danziger, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MARÇO de 2019

4 iii Silva, Danielle Lima da Estudo comparativo entre análises probabilísticas e determinísticas de estabilidade de talude de um depósito de resíduos de mineração/ Danielle Lima da Silva Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, xv, 150 p.:il.; 29,7 cm. Orientador: Alessandra Conde de Freitas. Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Civil, Referências Bibliográficas: p Introdução 2.Revisão Bibliográfica 3.Caso Estudado 4.Análises de Resultados 5.Considerações Finais 6. Trabalhos Futuros. I. Freitas, Alessandra Conde de; II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Título.

5 iv Dedico este trabalho a minha família, Waldir, Maria do Socorro, Aline e Alice.

6 v AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus que me fortalece e me guia em todos os meus caminhos, através da minha fé em Deus muitas portas se abriram em minha vida. Agradeço aos meus pais, Waldir e Maria do Socorro, os quais tenho imenso amor e admiração pois sempre tiveram garra e fé em Deus para superarem diversos obstáculos da vida e que estão sempre ao meu lado, me apoiando nas minhas decisões e me ensinaram o valor da Educação para se conquistar um futuro melhor. Agradeço a minha irmã, Aline, por me dar suporte e ser a minha melhor amiga. Agradeço aos meus padrinhos Sérgio, Maria José e suas filhas que me deram um lar durante os anos em que estive estudando no Fundão e foram essenciais para a concretização do sonho de me formar na Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Agradeço ao Christopher por me apoiar e me compreender principalmente durante os momentos de dedicação a realização desta Monografia. Agradeço as amizades que fiz no colégio Maria da Conceição Batista de Oliveira, na Universidade Estadual Norte-Fluminense UENF e na Universidade Federal do Rio de Janeiro (Macaé e Ilha do Fundão) e em especial ao Renan, Jéssica, Paola, Matheus, Ignez, Gabriela, Thiago Alves, Fernanda Curcio, Ana Luiza, Naiara Rinco, Fernanda Wassita, Josi e Marina dentre muitos outros que passaram pela minha vida e me ensinaram que a vida é mais leve ao lado de pessoas que queiram o nosso bem e nos dão suporte nos momentos necessários, inclusive para a realização desta Monografia. Agradeço a minha orientadora Alessandra Conde de Freitas por ter aceitado me orientar neste trabalho, por ser solícita em meus questionamentos e dúvidas e por ser admirável professora e profissional.

7 vi Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil. ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE RESÍDUOS DE MINERAÇÃO Danielle Lima da Silva Orientador: Alessandra Conde de Freitas Março de 2019 Tradicionalmente as análises de estabilidade global de taludes são feitas mediantes métodos determinísticos para obtenção do fator de segurança (FS). Porém, estas análises não incorporam diretamente as incertezas dos parâmetros geotécnicos, as quais podem afetar potencialmente a estabilidade de talude. Dessa forma, as análises probabilísticas de estabilidade de taludes apresentam-se como alternativas para melhor avaliação do desempenho de taludes pois fornecem a estimativa da probabilidade de ruptura e do índice de confiabilidade. Neste trabalho, os parâmetros dos materiais tidos como variáveis aleatórias foram estimados através da análise de regressão linear proveniente de dados obtidos de ensaios de palheta (resistência não drenada do rejeito). O objetivo deste trabalho é comparar os resultados obtidos de análises probabilísticas e determinísticas de estabilidade da pilha de rejeitos, de uma seção transversal de um depósito de resíduos de mineração. Utilizou-se de dois métodos para a análise probabilística: simulação de Monte Carlo e Método das Estimativas Pontuais, e, de dois métodos para a análise determinística, a primeira, utilizando-se dos valores médios obtidos da reta de regressão e a segunda a partir do uso de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009, para as estimativas dos parâmetros de resistência do material do rejeito. Observou-se que os resultados das análises probabilísticas foram similares, sendo recomendado seus usos em conjunto para confirmação e que os resultados das análises determinísticas foram diferentes entre si, porém, a análise determinística com critério semiprobabilístico foi mais realista. Palavras-chave: Estabilidade de taludes; Método das Estimativas Pontuais; Simulação de Monte Carlo; Regressão Linear.

8 vii Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer. COMPARATIVE STUDY BETWEEN PROBABILISTIC AND DETERMINISTIC SLOPE STABILITY OF A TAILING DEPOSIT Danielle Lima da Silva Adviser: Alessandra Condé de Freitas March 2019 Traditionally, slope global stability analyzes are performed using deterministic methods to obtain the safety factor (FS). However, these analyzes do not directly incorporate the uncertainties of geotechnical parameters, which can potentially affect the slope stability. Thus, slope stability probabilistic analyzes are presented as alternatives for better evaluation of slope performance, since they provide an estimate of the probability of failure and the reliability index. In this work, the parameters of the materials taken as random variables were estimated through linear regression analysis from data obtained from vane tests (undrained resistance of the tailings). The objective of this work is to compare the results obtained from probabilistic and deterministic slope stability analyzes of a cross section of a mining tailing dam. Two probabilistic methods were used: Monte Carlo Simulation and Point Estimated Method and two deterministic analysis were used, the first one, using the mean values obtained from the regression analysis and the second one through a semiprobabilistic criterion established in the norm ABNT NBR 11682: 2009, for the estimates of the resistance parameters of the material of the tailings, to incorporate the uncertainties of geotechnical parameters. It was observed that the results of the probabilistic analyzes were similar to each other, being recommended their uses together to check the results and the deterministic analysis results were different from each other, however the deterministic analysis with a semiprobabilistic criterion was more realistic. Keywords: Slope Stability; Point Estimated Method; Monte Carlo Simulation, Regression analysis.

9 viii LISTA DE FIGURAS Figura Fator de segurança versus Probabilidade anual de ruptura (Adaptado de SILVA, LAMBE, & MARR, 2008) Figura Tubulação principal e tubulações menores (spigots) que descarregam a polpa na barragem (BOSCOV, 2018) Figura Fases de formação de um depósito de rejeitos (Adaptado de IMAI, 1981 apud BOSCOV, 2018) Figura Exemplos de rejeitos espessados (FIGUEIREDO, 2007) Figura Evolução da taxa de geração de produção de rejeitos no mundo (ÁVILA, 2011 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017) Figura Tendências globais para o uso de tipos de rejeitos que apresentam maior volume de sólidos (Adaptado de DAVIES (apud TAGUCHI, 2014)) Figura Exemplo de disposição de rejeitos filtrados na mina La Coipa, Atacam, Chile (PwC, 2012 apud TAGUCHI, 2014) Figura Método construtivo das barragens de rejeitos de mineração cadastradas no PNSB (ANM, 2019) Figura Construção a Montante (IBRAM, 2016) Figura Método a Jusante (Adaptado de IBRAM, 2016) Figura Método de linha de centro (IBRAM, 2016) Figura Relacionamento entre causas para ruptura, modos de ruptura e ruptura (Adaptado de TAGUCHI, 2014) Figura Compilação das oito causas de falha do ICOLD,2001 e UNEP, 2001 para os cinco modos de falha (Adaptado de TAGUCHI, 2014) Figura Causas de acidentes em barragens ativas e inativas (Adaptado de ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014) Figura Número total de acidentes e suas causas considerando o tipo de método construtivo (Adaptado de ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014) Figura Quantitativo das barragens de rejeitos existentes no Brasil e relação entre as barragens inseridas e não inseridas no PNSB (ANM, 2019) Figura Tensões cisalhantes resistentes e mobilizadas em uma massa de solo (GERSCOVICH, 2016) Figura (a) massa de solo potencialmente instável dividida em fatias; (b) representação da i-ésima fatia e as forças que atuam nela (TELLES, 2015) Figura Representação de uma fatia de solo (TELLES, 2015)

10 ix Figura Forças aplicadas a uma fatia de solo pelo método de Spencer. (Adaptado de FREITAS, 2011) Figura Forças aplicadas a uma fatia de solo segundo Método de Morgenstern e Price. ( Adaptado de FREITAS, 2011) Figura Histograma e distribuição acumulada qualquer. (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura Estabelecimento dos limites de confiança pontuais e da média (reta de regressão) (PACHECO; LIMA, 1996) Figura Categorias de incerteza. (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura Distribuição Normal com μ = 5 e σ = 2. (FENTON; GRIFFITHS, 2008) Figura Região segura e região de falha no espaço das variáveis aleatórias (NOGUEIRA, 2010) Figura Relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruptura (DUNCAN, WRIGHT, & BRANDON, 2014) Figura Índice de confiabilidade segundo HASOFER-LIND (1974) (NOGUEIRA, 2010) Figura Função densidade de probabilidade de G(x), à esquerda e função de distribuição acumulada de G(x), à direita (MORALES, 2014) Figura Índice de confiabilidade versus probabilidade de ruptura (USACE, 1999 apud FLORES, 2008) Figura Metodologia para avaliação de riscos (Adaptado de BENDIXEN, 2003 apud SILVA et al., 2008) Figura Probabilidade de ruptura toleráveis (BAECHER,1982b apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong Kong (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura F-N chart elaborado pela US Bureau of Reclamation obtido de um portfólio de barragens (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura Região de falha e região segura no plano(x1, X2). (Adaptado de FENTON & GRIFFITHS, 2008) Figura Convergências da simulação de Monte Carlo para n simulações (BAECHER & CHRISTIAN, 2003)

11 x Figura Estimativas Pontuais para a variável aleatória X1 a qual apresenta assimetria (Adaptado de FENTON & GRIFFITHS, 2008) Figura Estimativas pontuais e probabilidades para duas variáveis sem assimetria X1 e X2 (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura Plano 3D mostrando as quatro estimativas pontuais quaisquer e seus respectivos pesos provenientes de duas variaveis aleatórias quaisquer.(fenton; GRIFFITHS, 2008) Figura Seção transversal do depósito de resíduos do estudo Figura Detalhe do dique e bermas Figura Resistências não drenadas, Su (kn/m²) provenientes dos ensaios de palheta Figura Reta de regressão e dados de ensaios de palheta Figura Limites superiores e inferiores da reta média (regressão linear) e dos pontos individuais Figura Superfície potencial de ruptura determinística 1 da seção do depósito em estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 2, Figura Superfície potencial de ruptura crítica determinística 1 pelo método de Morgenstern-Price à esquerda (FS = 2,248) e pelo método de Spencer à direita (FS = 2,246) da seção do depósito em estudo Figura Superfície potencial de ruptura determinística 2 da seção do depósito em estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 1, Figura Superfície potencial de ruptura crítica determinística 2 pelo método de Morgenstern-Price à esquerda (FS = 1,480) e pelo método de Spencer à direita (FS = 1,480) da seção do depósito em estudo Figura Tela de entrada de dados estatísticos para os materiais existentes da seção do talude em estudo no Slide Figura Histogramas do FS das análises Global Minimum (análises 1, 2, 3 e 4) obtidos pelo programa Slide Figura Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Global Minimum (análises 1, 2, 3 e 4) obtidos pelo programa Slide Figura Histogramas do FS das análises Overall Slope (análises 5, 6 e 7) obtidos pelo programa Slide Figura Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Overall Slope (análises 5, 6 e 7) obtidos pelo programa Slide

12 xi Figura Análise probabilística para a superfície crítica determinística obtida pelo programa Slide Figura Distribuição Beta do FS (10 7 análise) obtido pelo programa Slide Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise Figura Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong Kong par encostas considerando a PR de projeto (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura F-N chart (US Bureau of Reclamation) considerando o resultado da PR de projeto (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003) Figura Gráfico de frequência acumulada do FS considerando a análise com 10 7 amostras, destacando a probabilidade de se ter amostras as quais resultam em FS < 2,25 obtido pelo programa Slide Figura Gráfico de frequência acumulada do FS considerando a análise com 10 7 amostras, destacando a probabilidade de se ter amostras as quais resultam em FS < 1,48 obtido pelo programa Slide

13 xii LISTA DE TABELAS Tabela Fatores de segurança mínimos para análise de estabilidade de barragens de rejeito (ABNT NBR 13028, 2017) Tabela Análise comparativa dos métodos construtivos de barragens segundo alguns aspectos fundamentais. Adaptado de VICK,1983 apud (WISE, 2003) Tabela Relação das principais rupturas em barragens de rejeitos ocorridas no Brasil. Adaptado de (WISE, 2019) e (ÁVILA, 2016) Tabela As 21 maiores rupturas de barragens de rejeitos com mortes, construído com base nas informações disponibilizadas no site do World International Service on Energy (WISE) e em ÁVILA (2016) Tabela Dados dos ensaios de palheta realizados Tabela Valores médios e desvios-padrão dos parâmetros de resistência não drenada (Su) com a profundidade do rejeito Tabela Parâmetros da fundação e do aterro Tabela Parâmetros da fundação e do aterro compactado (dique) Tabela Parâmetros do resíduo Tabela Fatores de segurança encontrados na análise determinística da estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos Tabela Parâmetros do resíduo Tabela Fatores de segurança encontrados na análise determinística 2 da estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos Tabela Dados estatísticos dos materiais presentes na seção de estudo Tabela Resultados obtidos nas análises com a opção Global Minimum Tabela Resumo dos resultados obtidos nas análises com a opção Overall Slope Tabela Resultados da análise probabilística Tabela Combinações para as estimativas pontuais dos parâmetros a e b da reta de resistência não drenada (Su) Tabela Estimativas pontuais das variáveis aleatórias correspondentes as quatro retas de resistência não drenada (Su) com a profundidade Tabela Valores esperados para média e desvio-padrão do FS Tabela Resultados das análises determinísticas Tabela Resumo dos resultados obtidos das análises probabilísticas de estabilidade do depósito

14 xiii Tabela Fator de segurança encontrados para as análises realizadas LISTA DE QUADROS Quadro Equações versus incógnitas no método das fatias (GERSCOVICH, 2012 apud TELLES, 2015) LISTA DE APÊNDICES APÊNDICE A REGRESSÃO LINEAR Tabela I. 1 Tratamento estatístico dos dados para a regressão linear Tabela I. 2 Dados utilizados para os cálculos dos limites de confiança

15 xiv SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Considerações iniciais Objetivos Escopo da monografia REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Barragem de rejeitos Mineração e geração de resíduos Disposição de resíduos de mineração Métodos de alteamento de barragens de rejeitos Construção a montante Construção a jusante Construção de linha de centro Modos de falha em barragens de rejeito Acidentes de barragens de rejeito no Brasil e no mundo Legislações e Normas Brasileiras Boas práticas internacionais em segurança de barragens de rejeito Estabilidade taludes Análise determinística de estabilidade de talude Análise de tensões e deformações Equilíbrio limite e a definição do fator de segurança Método das Fatias Método de Bishop Simplificado (1955) Método de Spencer (1967) Método de Morgenstern-Price (1965) Projeto baseado em confiabilidade Conceitos de estatística Considerações gerais Tendência central Medidas de dispersão Limites de confiança Incertezas na Geotecnia Distribuições de probabilidade aplicadas na Geotecnia Índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura Avaliação de risco... 82

16 xv Probabilidade de rupturas toleráveis Níveis de desempenho para projeto baseado em confiabilidade Tomada de decisão baseada em risco Análise probabilística de estabilidade de talude Simulação de Monte Carlo Método das Estimativas Pontuais ou Método de Rosenblueth CASO ESTUDADO Considerações iniciais Motivações para o uso da abordagem probabilística à análise de estabilidade do depósito de rejeitos do estudo Parâmetros geotécnicos adotados Parâmetros probabilísticos Parâmetros determinísticos ANÁLISES DE RESULTADOS Análise determinística da estabilidade da seção do depósito em estudo Análise determinística Análise determinística Análise probabilística da estabilidade da seção de estudo Simulação de Monte Carlo Método das Estimativas Pontuais Resultados e discussões das análises determinísticas e probabilísticas Análise determinística 1 versus Análise determinística Simulação de Monte Carlo versus Método das Estimativas Pontuais Análises determinísticas versus Análises probabilísticas CONSIDERAÇÕES FINAIS TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

17 16 1. INTRODUÇÃO 1.1. Considerações iniciais A estabilidade de talude é talvez uma das vertentes da engenharia geotécnica mais dominadas pelas incertezas. Isso se deve a diversos fatores como, anomalias geológicas, variabilidade espacial inerente das propriedades do solo, falta de dados representativos, mudanças das condições ambientais, simplificações adotadas nos modelos geotécnicos, erros humanos durante o projeto e construção entre outros fatores (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN, 2002). A definição de fator de segurança é abordada por dois diferentes métodos: o determinístico e o probabilístico. Através do método determinístico, consideram-se que as variáveis envolvidas nas análises de estabilidade são variáveis determinísticas, isto é, variáveis com valores fixos, independente das incertezas associadas a elas. Enquanto que pelo método probabilístico, consideram-se que as variáveis são aleatórias e com determinada distribuição estatística. Cada variável é caracterizada a partir do seu valor de cálculo, podendo ser estimado diretamente, ou a partir do valor característico. Utilizandose desse segundo modo, o valor de cálculo resulta da majoração ou da minoração por meio de coeficientes de segurança parciais do valor característico (FERNANDES, 2011). FERNANDES (2011) apresenta algumas das dificuldades para a aplicação dos métodos probabilísticos à engenharia geotécnica, como, por exemplo, o número de ensaios para a obtenção dos parâmetros de resistência serem geralmente reduzidos, o que torna inviável um tratamento estatístico dos mesmos e a consideração de independência das variáveis envolvidas. Enquanto que as desvantagens para a aplicação das análises tradicionais determinísticas de estabilidade global de taludes referem-se as dificuldades em quantificar as incertezas e, portanto, há a necessidade de adotar fatores de segurança adequados ao projeto para poder lidar com estas incertezas. No Brasil os fatores de segurança mínimos para a análise de estabilidade de barragens de rejeitos estão estabelecidos na ABNT NBR 13028:2017, como mostrado na Tabela

18 17 Tabela Fatores de segurança mínimos para análise de estabilidade de barragens de rejeito (ABNT NBR 13028, 2017). Embora o impacto causado pelo viés conservador não possa ser avaliado, a experiência anterior mostra que projetos aparentemente conservadores nem sempre são seguros o bastante para evitar catástrofes (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN, 2002). Para dar base ao que foi exposto acima, a Figura 1.1.1, de SILVA, LAMBE, & MARR (2008), mostra a relação entre o fator de segurança e a probabilidade de ruptura anual para 75 projetos de engenharia, sendo a maioria deles relacionados a barragens, os quais foram divididos em quatro categorias (I, II, III ou IV). Estas categorias se referem ao nível de engenharia empregado para a realização dos 75 projetos analisados. A categoria I refere-se ao melhor nível de engenharia enquanto que a categoria IV refere-se ao pior nível de engenharia. Para o estabelecimento dessas categorias foram levados em conta as práticas envolvendo projeto, investigações de campo e de laboratório, documentação, construção, operação e monitoramento. Além disso, para a construção do gráfico, foi feita uma combinação de julgamento de engenharia com a frequência de observações (dados históricos) para obter uma correlação entre o fator de segurança e a probabilidade de ruptura adequada, permitindo que os 75 projetos utilizados fossem categorizados em quatro níveis.

19 18 Na Figura podemos observar que um projeto com fator de segurança de 1,5 pode ter probabilidade de ruptura (PR) variando de 10-1 até 10-6 a depender da categoria de projeto (I, II, III ou IV). Estes valores indicam uma probabilidade de ruptura variando de uma condição inaceitável para uma condição aceitável. Portanto, apenas o FS = 1,5 não dá garantia suficiente para o bom desempenho da estrutura, sendo importante a inclusão de outros parâmetros para a melhor avaliação da estrutura projetada. A avaliação do papel das incertezas exige a implementação de conceitos e métodos probabilísticos. Assim, através da abordagem probabilística na análise de estabilidade de talude torna-se possível quantificar as incertezas e incorporá-las, de maneira mais racional, ao projeto (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN, 2002). Os métodos probabilísticos aplicados à estabilidade de talude começaram a serem desenvolvidos na década de 1970, com destaque aos trabalhos de Cornell (1971), Matsuo & Kuroda (1974), Alonso (1976), Tang et al.(1976), Harr (1977) e Vanmarke (1977) (FENTON; GRIFFITHS, 2008). Desde então os princípios e conceitos da análise probabilística aplicáveis a estabilidade de taludes evoluíram, deixando de serem investigações puramente teóricas para métodos com aplicabilidade prática (CHRISTIAN; LADD; BAECHER, 1994). Segundo FENTON & GRIFFITHS (2008), o enfoque probabilístico aplicável à análise de estabilidade de talude tem recebido uma atenção considerável na literatura, destacando-se os trabalhos desenvolvidos por Li & Lumb (1987), Chowdhury & Tang (1987), Mostyn & Li (1993), Lacasse (1994), Christian et al (1994), Lacasse & Nadim (1996), Wolff (1996), Whitman (2000), Hassan & Wolff (2000), Duncan (2000), El- Ramly (2002), Griffiths & Fenton (2004), Griffiths et al (2006 e 2007).

20 Figura Fator de segurança versus Probabilidade anual de ruptura (Adaptado de SILVA, LAMBE, & MARR, 2008). 19

21 Objetivos O objetivo do presente trabalho é estudar o comportamento, em termos de estabilidade do talude, correspondente a pilha de rejeitos de uma barragem em função de métodos determinísticos e probabilísticos. Tanto nos métodos determinísticos quanto nos métodos probabilísticos, os parâmetros de resistência do material do rejeito são baseados no tratamento estatístico de dados de ensaios de palheta realizados no material do rejeito, em diversas partes do depósito, e que foram estimados com base na regressão linear. A avaliação da estabilidade global do talude pelo método determinístico é feita de duas formas, utilizando os valores médios dos parâmetros de resistência dos materiais presentes na seção, sendo que os parâmetros de resistência do material do rejeito são provenientes da reta de regressão, e a segunda forma, mantendo-se os mesmos valores médios para o material de fundação e para o aterro do dique, porém, os parâmetros de resistência do material do rejeito foram estabelecidos levando em consideração o critério semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 Estabilidade de Encostas. Para a análise probabilística foram considerados dois métodos probabilísticos: Simulação de Monte Carlo e Método das Estimativas Pontuais (Método de Rosenblueth) em ambos baseando-se no tratamento estatístico dos dados dos ensaios de palheta do material do rejeito através da análise de regressão linear para obtenção das estimativas dos parâmetros de resistência deste material. Em seguida, é realizada uma análise comparativa entre os resultados encontrados pelos dois métodos probabilísticos, entre os resultados encontrados pelos dois métodos determinísticos e entre as abordagens probabilísticas e determinísticas. Todas as análises de estabilidade foram realizadas pelo programa comercial Slide 6.0 da empresa Rocscience, o qual é baseado na Teoria do Equilíbrio Limite, e utilizando-se dos métodos de análise de estabilidade de Bishop simplificado, Spencer e Morgenstern-Price Escopo da monografia a seguir. O trabalho foi dividido em quatro capítulos sendo apresentado de maneira sucinta

22 21 O segundo capítulo refere-se a revisão bibliográfica, sendo dividido em três subcapítulos: barragens de rejeitos, estabilidade de taludes e projeto baseado em confiabilidade. No subcapítulo sobre barragens de rejeito são abordados os assuntos a respeito de mineração e geração de rejeitos, tipos de rejeitos, métodos de disposição de rejeitos, métodos de alteamento em barragens de rejeitos, modos de falha em barragens de rejeitos, acidentes com barragens de rejeitos ocorridos no Brasil e no mundo, as legislações e normas brasileiras e boas práticas internacionais em segurança de barragens de rejeitos. No subcapítulo de estabilidade de taludes são apresentados os métodos determinísticos por análise de tensões e deformações e pelo equilíbrio limite, sendo para este último método, destacados os três tipos empregados no estudo, Bishop Simplificado, Spencer e Morgenstern-Price. No subcapítulo sobre projeto baseado em confiabilidade são mostrados os conceitos básicos de estatística, limites de confiança, incertezas na geotecnia, distribuições de probabilidade mais aplicadas na geotecnia, índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura, considerações sobre a avaliação de riscos e os métodos de análises probabilísticas utilizados no trabalho (simulação de Monte Carlo e Método das Estimativas Pontuais). No terceiro capítulo é apresentado o caso de estudo. Também são descritas as motivações para o uso da abordagem probabilística a este estudo, o tratamento estatístico feito a partir dos dados dos ensaios de palheta no material do rejeito e os parâmetros geotécnicos adotados na seção do depósito em estudo. No capítulo quatro são apresentados os resultados das análises determinísticas designadas por 1 e 2 e das análises probabilísticas considerando o método das estimativas pontuais e o método de simulação de Monte Carlo. Neste capítulo também foram apresentadas as discussões e comparações a respeito dos resultados obtidos pelas análises determinísticas e probabilísticas. O capítulo cinco apresenta as conclusões obtidas a partir da interpretação dos resultados das análises probabilísticas e determinísticas. O capítulo seis finaliza a monografia com as sugestões para trabalhos futuros a partir das conclusões.

23 22 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. Barragem de rejeitos Mineração e geração de resíduos A mineração pode ser descrita como um conjunto de atividades fundamentais à extração com finalidade econômica de recursos da crosta terrestre, as quais provocam modificações ao meio ambiente, a partir de atividades de lavra e de beneficiamento. A lavra refere-se ao conjunto de atividades que possibilitam extrair um bem mineral, de maneira a aproveitá-lo industrialmente ou fazer o seu uso diretamente. O beneficiamento inclui as separações químicas e físicas permitindo-se obter a substância mineral de interesse (ESPOSITO, 2000 apud REZENDE, 2013). Segundo ARAÚJO, 2006 apud (REZENDE, 2013) um depósito mineral pode ser descrito como um volume de rochas no qual substâncias minerais são encontradas em maiores concentrações, se comparadas com sua distribuição média ao longo da crosta terrestre. A lavra de solo ou de rocha sem valor agregado econômico é fundamental e consiste na primeira fase de explotação do minério. O material resultante da lavra, denominado estéril, não tem valor econômico, sendo disposto em pilhas. Na sequência, o estéril é submetido a um conjunto de tratamentos industriais, também chamado de beneficiamento, do qual resulta no material utilizado na indústria metalúrgica. Os resíduos gerados na mineração são divididos em duas categorias: resíduos sólidos de extração (estéril) e do beneficiamento (rejeitos). Os resíduos de estéreis podem ser provenientes de rochas, minérios pobres, sedimentos, solos, lamas e aparas das serrarias de granito e mármore, as sobras da mineração artesanal de pedras semipreciosas e preciosas e finos e ultrafinos não utilizados no processo de beneficiamento (IBRAM, 2016). Em outras palavras, os resíduos de estéreis são advindos da escavação e explosão das camadas minerais sobrejacentes ao minério de interesse, normalmente solos e fragmentos de rochas.

24 Disposição de resíduos de mineração Os estéreis, resíduos sólidos da extração, normalmente são armazenados em depósitos ou pilhas. Estes resíduos devem seguir, de maneira semelhante aos rejeitos, requisitos legais e normas da ABNT, os quais estabelecem critérios técnicos de segurança, de prevenção de riscos e de impactos ambientais nos projetos das pilhas/depósitos de estéreis. Os rejeitos são geralmente dispostos em reservatórios formados por barragens ou diques de contenção. Os dique são as estruturas construídas em áreas de pouca declividade ou planas enquanto barragens são estruturas que fecham o trecho mais estreito de um vale. Porém, os diques e barragens de rejeitos são chamados genericamente de barragens de rejeitos. As barragens podem ser de solo natural ou construídas com os próprios rejeitos. As barragens de solo natural são classificadas como barragens convencionais enquanto que as barragens construídas com os próprios rejeitos são classificadas como barragens de contenção alteadas com rejeitos. É importante que os reservatórios de rejeitos sejam estanques para que impeçam a infiltração de efluentes danosos (como cianetos, com ph ácidos ou metais pesados), o que interfere na qualidade das águas. Sendo, assim, necessária a impermeabilização dos solos (IBRAM, 2016). Segundo DUARTE (apud IBRAM, 2016), quanto a distribuição granulométrica, os rejeitos podem ser denominados como lama, quando apresentam granulometria fina, ou como rejeitos granulares, quando apresentam granulometria grossa (maior que 0,074mm) a depender do tipo de minério e dos tratamentos utilizados. O descarte pode ser feito: Na forma sólida (pasta ou a granel): transportados por meio de correias transportadoras ou caminhões, ou; Na forma líquida (polpa de sólidos com água ou lama): transportados por meio de tubulações através de sistema por gravidade ou de bombeamento. Quando em uma suspensão de água e rejeitos, a porcentagem de água for de aproximadamente 70% denomina-se polpa. Se a polpa é depositada a montante da barragem de rejeitos, acontece uma segregação entre as partículas solidas e a água. As

25 24 partículas sólidas mais pesadas se sedimentam e as coloidais mantem-se em suspensão, adensando-se com o passar do tempo. Nos rejeitos granulares a sedimentação é predominante enquanto que nas lamas (polpas) o adensamento é predominante (BOSCOV, 2018). A polpa geralmente é descarregada ao longo do perímetro da crista do dique e assim forma uma praia. A descarga é feita com ciclones ou com tubulações menores (perpendiculares a tubulação principal) sendo chamadas de spigots (Figura ). Figura Tubulação principal e tubulações menores (spigots) que descarregam a polpa na barragem (BOSCOV, 2018). Segundo BOSCOV (2018), as propriedades geotécnicas da massa de rejeitos (resistência, permeabilidade e deformabilidade) dependem do processo de deposição e principalmente da natureza do minério. O depósito de rejeitos lançados a montante de uma barragem apresentam as seguintes fases de formação, conforme apresentadas na Figura (BOSCOV, 2018): Floculação: aumento das partículas dos rejeitos; Sedimentação: deposição no fundo do reservatório devido a ação da gravidade;

26 25 Adensamento: interação entre as partículas depositadas transmitindo as tensões devido ao peso próprio. Figura Fases de formação de um depósito de rejeitos (Adaptado de IMAI, 1981 apud BOSCOV, 2018). Segundo BOSCOV (2018) a disposição de rejeitos pode ser feita em superfície (a céu aberto), subterrânea ou subaquática, sendo geralmente feita em barragens de rejeitos (barragens de fechamento de vale ou diques em áreas planas). A vida útil de uma barragem de rejeitos contempla as seguintes etapas: seleção do local, projeto de instalação, construção, operação e fechamento definitivo o qual inclui projeto de reabilitação (BOSCOV, 2018). Há diversos critérios para a seleção do método para a disposição de rejeitos, os quais irão depender da natureza do processo de mineração, das condições topográficas e geológicas da região, das propriedades mecânicas dos materiais, das condições climáticas do local, do poder de impacto ambiental dos contaminantes presentes nos rejeitos e etc (IBRAM, 2016). É fundamental a caracterização do rejeito para a concepção do sistema de disposição mais adequada. O rejeito pode ser classificado em diversos tipos (adaptado de GOMES, 2006 apud FIGUEIREDO, 2007):

27 26 Lama convencional ( conventional slurry ) os rejeitos são descarregados através de espigotes (canhões de lançamento) distribuídos ao longo da crista do dique, apresentam teor de sólidos de até 45%; Rejeitos espessados ( thickened tailings ) rejeitos parcialmente desaguados. Podem ser bombeados, apresentam certa consistência de polpa e alto teor de sólidos, são descarregados a partir de um ponto central através de torres de lançamento ou espigotamento, apresentam teor de sólidos entre 45% e 65% (Figura ); Rejeitos em pasta ( paste tailings ) rejeitos espessados através da incorporação de aditivos químicos (floculantes ou coagulantes), não podem ser bombeados, transportados por correias transportadoras ou caminhões, apresentam teor de sólidos entre 65% e 70%; Rejeitos filtrados a úmido ( wet cake tailings ) formato de massa saturada ou quase saturada, mas que não podem ser bombeados e, portanto, são transportados por correias transportadoras ou caminhões; Rejeitos filtrados a seco ( dry cake tailings ) formato de massa não saturada (grau de saturação típico variando entre 70% e 85%), mas que não podem ser bombeados e, portanto, são transportados por correias transportadoras ou caminhões. Embora o projeto, a construção e a operação das estruturas de disposição de rejeitos e estéreis são mais facilmente compreendidos quando estes resíduos são depositados de maneira separada, devido as considerações inerentes tanto ao rejeito quanto ao estéril, estes podem ser dispostos em conjunto, o que se chama de co-disposição. Normalmente acontece quando certos materiais possuem características geotécnicas mais desfavoráveis, assim, a co-disposição tem por objetivo a obtenção de uma melhoria das propriedades de resistência e drenabilidade destes materiais, aliada a vantagem de se utilizar áreas menores para a disposição (FIGUEIREDO, 2007). A co-disposição tem sido objeto de estudo em minas no Brasil e no mundo. A codisposição pode ser feita em cavas exauridas, barragens de contenção e pilhas de estéril, compondo o próprio depósito ou parte do barramento (FIGUEIREDO, 2007).

28 27 Figura Exemplos de rejeitos espessados (FIGUEIREDO, 2007). Os objetivos preliminares das estruturas de disposição de rejeitos são, segundo ROBERTSON et al, 1987 (apud FIGUEIREDO, 2007): Servir como estrutura para separação dos sólidos e da água, através da decantação dos sólidos na bacia e recuperação da água para voltar ao processo industrial; Armazenar e controlar a água adicional do processo e a água intersticial presente nos rejeitos e na lagoa que se formou no processo de deposição; Armazenar os sólidos provenientes dos rejeitos, os quais são contaminados, em atendimento as exigências dos órgãos ambientais. Embora os rejeitos em forma de lama ainda sejam os mais utilizados no Brasil e no mundo, há uma tendência, nas últimas décadas, para a disposição de rejeitos que apresentam maior volume de sólidos, contribuindo para a redução da construção de novas barragens e para o aumento da segurança destas. Esse aspecto é defendido por Ávila, representante da Comissão Internacional de Grandes Barragens (ICOLD) no Brasil, e que acredita que a aplicação em larga escala de sistemas de disposição com maior volume de sólidos pode contribuir para o que setor mineral avance mais no sentido de evitar novos acidentes (GUEDES; SCHNEIDER, 2017). Para Ávila a preocupação deve ser em assegurar maior estabilidade às estruturas dos reservatórios de disposição de rejeitos que estão se tornando maiores e armazenando maiores volumes de rejeitos, conforme levantamento realizado por Andrew Robertson e

29 28 apresentado por Ávila no 5º Debate Nacional de Barragens de Rejeitos (GUEDES; SCHNEIDER, 2017). De acordo com ÁVILA (2011) apud GUEDES & SCHNEIDER (2017), o trabalho de Robertson, publicado em 2011, mostrou que a cada 30 anos, as cavas e as barragens tiveram um aumento de 10 vezes em volume e duas vezes em altura (Figura ). Para aquele ano, cerca de toneladas foram geradas por dia e prevê-se um aumento para aproximadamente 1 milhão de toneladas por dia de rejeitos em Figura Evolução da taxa de geração de produção de rejeitos no mundo (ÁVILA, 2011 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). Se levado em consideração as variáveis, altura e volume da barragem, pode-se estimar os riscos de ruptura em barragens e as consequências de um acidente com base nos dados citados anteriormente. A probabilidade de um acidente acontecer é proporcional à altura e a consequência do acidente é proporcional ao volume do reservatório. Assim o risco de uma ruptura tende a aumentar 20 vezes a cada 30 anos, se forem levadas em consideração as projeções mostradas anteriormente, conforme apresentado por ÁVILA (2011) apud GUEDES & SCHNEIDER (2017). De acordo com o ICMM (Conselho Internacional de Metais e Mineração) a produção de rejeitos é inerente ao processo de beneficiamento de minérios e irá continuar a crescer, contudo este conselho classifica como inaceitáveis as falhas catastróficas nas

30 29 estruturas de disposição de rejeitos (ICMM, 2016 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). Segundo Luis Enrique Sanchez, pesquisador da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, as barragens devem continuar sendo a alternativa das mineradoras para armazenamento de rejeito ainda que haja um histórico preocupante de acidentes. Sanchez aponta que em meados da década de 1980, os rejeitos minerais eram lançados sem tratamento em rios e oceanos e que a construção de estruturas de armazenamento de rejeitos começou a ser adotada pelo setor como uma maneira ambientalmente adequada para retenção de resíduos e para a reutilização da água no processo de beneficiamento (FEBRABAN, 2016:6 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). A Figura apresenta a tendência global para o uso de rejeitos que apresentam maior volume de sólidos (desaguamento de rejeitos), sendo eles, rejeitos filtrados, rejeitos em pasta, rejeitos espessados e co-disposição de rejeitos. Observa-se que a disposição de rejeitos filtrados e espessados (os quais apresentam os maiores volumes de sólidos dentre os tipos existentes) apresentaram um crescimento muito superior do que os rejeitos em pasta e co-dispostos. Figura Tendências globais para o uso de tipos de rejeitos que apresentam maior volume de sólidos (Adaptado de DAVIES (apud TAGUCHI, 2014)).

31 30 O empilhamento a seco, ou rejeito filtrado a seco ou dry stacking, é muito utilizado para a disposição de rejeitos da produção de alumina, conhecido como lama vermelha ( red mud ). Neste método, o rejeito fino é pré-espessado, obtendo-se um material altamente viscoso e bombeável. Devido a exposição a secagem ao sol do rejeito no reservatório, este pode atingir teor de sólidos da ordem de 80% (IBRAM, 2016). Com a secagem ao sol, o rejeito apresenta uma densidade mais elevada e, assim, a pilha de rejeitos se torna mais estável. Para o espessamento dos rejeitos são utilizados espessadores ou adicionados floculantes (BOSCOV, 2018). ÁVILA et al (1995) (apud BOSCOV, 2018) observaram um aumento do teor de sólidos de 12% para acima de 50% em rejeitos de bauxita ao implementar este tipo de tratamento. A Figura ilustra um exemplo de disposição de rejeitos filtrados, em que foi utilizado o método de empilhamento a seco. Figura Exemplo de disposição de rejeitos filtrados na mina La Coipa, Atacam, Chile (PwC, 2012 apud TAGUCHI, 2014). Há outras opções tecnológicas além do empilhamento a seco, como o empilhamento drenado. Este tipo de estrutura é mais adequada para rejeitos granulares (por exemplo, minério de ferro) e apresenta diversas vantagens, como apontado por ÁVILA, 2011 (apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017), as quais são a obtenção de maciço não saturado com maior estabilidade e maior densidade dos rejeitos, o que contribui para o aumento da capacidade do reservatório, contribui para um menor potencial de dano em caso de rompimento, contribui para condições mais favoráveis ao fechamento com menor custo para a reabilitação da área, obtenção de condições mais

32 31 seguras para alteamentos por montante apresentando menores riscos de ruptura e liquefação. Existe também o método de separação sólido-líquido onde se faz uso de filtros de tambor e/ou filtros prensa. A filtragem dos rejeitos consiste em uma separação dos sólidos contidos em uma suspensão aquosa através da passagem da polpa por um meio filtrante, o qual retém as partículas sólidas e possibilita a passagem do líquido. Os sólidos que ficam retidos são chamados de torta e o líquido que atravessa é chamado de filtrado (GUIMARÃES, 2011:24 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). Porém, os métodos de disposição de rejeitos mais usuais continuam sendo, tanto no Brasil quanto no mundo, as barragens de rejeito. A seguir serão apresentados os métodos construtivos de alteamento de barragens de rejeitos Métodos de alteamento de barragens de rejeitos As barragens de rejeitos são estruturas construídas ao longo de vários anos de modo a diluir os custos no processo de extração mineral, através de sucessivos alteamentos. Inicialmente constrói-se um dique de partida com solo de empréstimo. O dique de partida tem normalmente capacidade de retenção de rejeitos para dois ou três anos de operação da lavra (BOSCOV, 2018). Ao longo do tempo são construídos diversos alteamentos, sendo estes construídos com material compactado oriundos de áreas de empréstimos, de estéreis ou de rejeitos. Os alteamentos podem ser feitos por meio de três métodos: montante; jusante ou linha de centro. No Brasil, dentre as 425 barragens de rejeitos de mineração cadastradas no Plano Nacional de Segurança de Barragens, 204 foram construídas em etapa única, 107 foram construídas pelo método a Jusante, 84 foram construídas pelo método a Montante ou desconhecido e 30 foram construídas pelo método de linha de centro (Figura ).

33 32 Figura Método construtivo das barragens de rejeitos de mineração cadastradas no PNSB (ANM, 2019) Construção a montante O método de construção a montante é o mais usual e econômico, principalmente porque utiliza-se de uma menor quantidade de material para a execução do alteamento. Inicialmente é construído o dique de partida, geralmente de material argiloso ou enrocamento compactado. Após, o rejeito é lançado por meio de tubulações dispostas em direção a montante, formando-se assim a praia de deposição, a qual se tornará a fundação e irá fornecer material de construção para os alteamentos futuros. Este processo acontece sucessivamente até alcançar-se a cota final prevista no projeto. (Figura ) No entanto, este método é considerado o mais crítico quanto à segurança. A falha da barragem pode causar consequências ambientais e sociais significativas, pois apresenta baixo controle construtivo. Além deste aspecto, os alteamentos são realizados sobre materiais depositados e não necessariamente consolidados, de modo que na condição saturada e com compacidade fofa, estes rejeitos granulares tendem a apresentar baixa resistência ao cisalhamento e suscetibilidade à liquefação para condições de carregamentos estáticos e dinâmicos. Há ainda complicações para a implantação de um sistema interno de drenagem eficiente para controlar o nível d água dentro da barragem (ARAÚJO, 2006 apud IBRAM, 2016).

34 33 O Chile foi um dos países que proibiram a construção de barragens utilizando-se o método de montante em função da frequência e da intensidade de terremotos, já que este método não favorece uma estabilidade necessária em regiões que contam com sismos elevados (ÁVILA, 2017 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). No Brasil após o rompimento da barragem da Samarco, o governador de Minas Gerais assinou decreto nº o qual interrompeu a formalização de novos procedimentos de licenciamento ambiental para alteamento de barragens existentes que foram usadas o método de montante e de construção de novas barragens projetadas por este mesmo método (MINAS GERAIS, 2016 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). Por outro lado, a construção a montante é favorável em regiões áridas e em locais onde poucas quantidades de água são bombeadas de dentro da barragem de rejeitos (TAGUCHI, 2014). Estima-se que existam em torno de 3500 barragens de rejeitos no mundo todo, sendo aproximadamente metade delas construída pelo método de montante (DAVIES & MARTIN, 2000 apud TAGUCHI, 2014). Figura Construção a Montante (IBRAM, 2016) Construção a jusante O método de construção a jusante é versátil e compatível com qualquer tipo de rejeito. Inclusive pode ser utilizado para o armazenamento de água desde que seja construído de maneira a ser tão robusto quanto às barragens comumente utilizadas para armazenar água (TAGUCHI, 2014). A etapa inicial consiste na construção do dique de partida, após, são realizados os alteamentos para jusante do dique de partida, sucessivamente, até atingir-se a cota final de projeto. (Figura )

35 34 As principais vantagens desse método são o controle do lançamento e da compactação do material do corpo da barragem, pois não há presença de material do rejeito nos alteamentos ou partes da barragem. Adicionalmente, os sistemas de drenagem interna podem ser instalados durante a construção do dique de partida e prolongados com os alteamentos, o que permite o controle da linha de saturação na estrutura da barragem, contribuindo para a estabilidade. A barragem ainda tem capacidade de resistir a forças sísmicas caso seja projetada para o atendimento dessa condição (KLOHN (1981) apud IBRAM, 2016). É considerado o método mais seguro dos três métodos construtivos citados, embora sejam necessárias grandes quantidades de material para compor cada alteamento sucessivo, consequentemente, tornando-o mais custoso (TAGUCHI, 2014). Além disso, a área ocupada pelos rejeitos é muito maior. Figura Método a Jusante (Adaptado de IBRAM, 2016) Construção de linha de centro O método de linha de centro é um método híbrido entre os dois métodos construtivos de montante e jusante, apresentando as mesmas vantagens desses dois métodos e também minimizando as desvantagens dos mesmos. Neste método, inicialmente é construído o dique de partida e os alteamentos são feitos de maneira vertical, sendo o eixo vertical de cada alteamento coincidente com o eixo do dique de partida. Devido a possibilidade de se utilizar zonas de drenagens internas em todas as fases de alteamentos, há o controle da linha de saturação, o que contribui para a dissipação de excessos de poropressões gerados por alteamentos posteriores e faz com que este método seja aceitável para utilização em áreas de alta sismicidade (IBRAM, 2016).

36 35 Figura Método de linha de centro (IBRAM, 2016). A Tabela a seguir apresenta uma análise comparativa entre os métodos construtivos, vistos anteriormente, levando-se em consideração premissas fundamentais. Por fim, é importante ressaltar que a escolha do método construtivo está condicionada a um conjunto de fatores, para além daqueles mencionados na Tabela , como hidrogeologia, necessidade de controle de água percolada entre outros. Tabela Análise comparativa dos métodos construtivos de barragens segundo alguns aspectos fundamentais. Adaptado de VICK,1983 apud (WISE, 2003). Tipo de rejeito recomendado Requerimento de descarga dos rejeitos Armazenamento de água Resistência sísmica Restrições de alteamento Requisitos de alteamento Custo relativo do corpo do aterro Método a montante Mais de 40% de areia, baixa densidade de polpa para promover segregação Descarga periférica e bom controle de água acumulada Não adequado para volumes grandes de água Fraca em áreas de alta sismicidade Recomendável menos de 10m/ano, perigoso mais alto que 15m por ano Solo natural, rejeitos ou estéril Método a jusante Adequado para qualquer tipo de rejeito Diversos, a depender do projeto Boa Boa Nenhuma Solo natural, rejeitos ou estéril Método de linha de centro Areias ou lamas de baixa plasticidade Descarga periférica, conservando o eixo da barragem Não recomendado para armazenamento permanente, embora aceitável para armazenamento temporário se previsto em projeto Aceitável Restrições em altura para cada alteamento podem ser aplicadas Solo natural, rejeitos ou estéril Baixo Alto Médio

37 Modos de falha em barragens de rejeito A ruptura de uma barragem de rejeitos pode ter diversas causas, as quais podem variar desde físicas, químicas, biológicas e humanas. No entanto, neste trabalho apenas as condições físicas das estruturas as quais podem levar a ruptura serão consideradas. Além disso, neste estudo o interesse se dá na ruptura global das estruturas. Os cinco modos de falha seguintes foram propostos, baseando-se na literatura, sendo eles: galgamento, erosão interna, liquefação, instabilização estática e instabilização sísmica (TAGUCHI, 2014). Esses modos de falha são baseados no relacionamento entre as causas de falha, as quais desencadeiam os modos de falha e, finalmente, conduzem a ruptura em si (TAGUCHI, 2014). (Figura ) Causas de falha (desencadeando) Modos de falha (conduzindo) Ruptura Figura Relacionamento entre causas para ruptura, modos de ruptura e ruptura (Adaptado de TAGUCHI, 2014). Existem diversas classificações quanto as causas da ruptura. Instituições como, ICOLD, UNEP (Programa das Nações Unidas para o Meio Ambiente), e diversos especialistas apresentam classificações para as causas da ruptura um pouco diferenciadas entre si, mas que podem ser bem representadas pelos cinco modos de falha apresentados anteriormente. A Figura mostra a relação entre as causas de falha (ICOLD, 2001 e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014) e os cinco modos de falha citados anteriormente.

38 37 Figura Compilação das oito causas de falha do ICOLD,2001 e UNEP, 2001 para os cinco modos de falha (Adaptado de TAGUCHI, 2014). Os cinco modos de falha apresentados na Figura serão brevemente descritos a seguir. O galgamento acontece quando o nível d água ultrapassa a crista da barragem, de modo a ocasionar em esforços adicionais e erosão da crista e do talude a jusante. O galgamento pode ocorrer principalmente devido à falha na operação, ruptura de estruturas geotécnicas adjacentes, volume para trânsito de cheias insuficiente, capacidade excedida dos extravasores e subsidências dentro do reservatório ou nas proximidades que possam gerar uma onda e assim no galgamento. A erosão interna é o carreamento de partículas, para jusante, pelo fluxo de percolação através de uma massa de solo. Esta expressão inclui uma variedade de termos mais específicos como piping, retroerosão, erosão regressiva, sufusão, erosão de contato dentre outros. Embora estes termos geralmente incorporam o mecanismo de iniciação do processo de erosão interna, são utilizados com diferentes significados por empresas ou países diferentes. Os processos de iniciação de erosão interna podem ser subdivididos em quatro mecanismos (FELL et al., 2015): Iniciação por fluxo concentrado: processo pelo qual as trincas existentes (adjacentes a uma parede ou galeria, no maciço, ou ao longo de um contato na fundação) permitem o surgimento de um fluxo concentrado originado no reservatório e se estendendo até a saída.

39 38 Iniciação por erosão regressiva (piping): processo pelo qual a erosão se inicia na saída do fluxo percolado em uma superfície livre, progredindo para montante, podendo formar um tubo ligado ao reservatório. Iniciação por erosão de contato: refere-se a erosão seletiva das partículas finas no contato com uma camada mais grossa, causada por um fluxo que passa na interface entre a camada mais grossa e a camada fina Iniciação por sufusão: refere-se a erosão seletiva de partículas mais finas a partir da matriz de partículas grosseiras de um solo internamente instável, sendo as partículas mais finas transportadas através dos espaços vazios entre as partículas mais grossas. A liquefação está relacionada à presença de material susceptível a liquefação e a ocorrência de gatilhos. Os materiais susceptíveis a liquefação são os solos saturados, sem coesão e contrácteis, quando submetidos a carregamentos rápidos, o que gera acréscimo das poropressões e consequentemente redução das tensões efetivas e da resistência ao cisalhamento (FREIRE NETO, 2009). DAVIES et al (2002) apud (FREIRE NETO, 2009) citam os potenciais gatilhos para a liquefação estática em barragens de rejeitos: Aumento das poropressões induzido através da subida da superfície freática; Aumento das poropressões induzido por uma taxa de carregamento excessiva, por exemplo, devido a um alteamento rápido; Tensões cisalhantes estáticas que ultrapassem a superfície de colapso; Movimentação da fundação de maneira rápida suficientemente para criar um carregamento não drenado em rejeitos susceptíveis ao colapso; Remoção de camada de suporte no pé do dique, aumentando as tensões cisalhantes atuantes. A instabilização estática do talude pode ocorrer devido ao próprio carregamento atual, carregamento final de operação, insuficiente capacidade de suporte da fundação, presença de trincas, ausência de praia, escavações no pé do talude, uso de máquinas na crista ou velocidade de construção elevada (acarretando aumento excessivo de poropressões no corpo da barragem) enquanto que a instabilização sísmica está relacionada a ocorrência de sismos os quais podem ser causados por terremotos,

40 39 explosões, detonações e vibrações de máquinas. Neste estudo apenas será analisado o modo de falha de instabilização estática Acidentes de barragens de rejeito no Brasil e no mundo Segundo o IBRAM (2016), geralmente os acidentes com barragens de rejeitos estão relacionados ao balanço hídrico nessas estruturas, ao método construtivo e a gestão de segurança da operação. Segundo o ICOLD, no mundo acontecem duas grandes rupturas de barragens de rejeitos provenientes da mineração a cada ano (ÁVILA, 2016 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). Os acidentes de barragens de rejeitos no Brasil estão apresentados na Tabela , onde é possível observar que os acidentes tem se tornado mais frequentes nos últimos anos. Observou-se, também, o aumento no registro de mortes. Destaca-se o rompimento da barragem de rejeito da Mina Córrego de Feijão em Brumadinho, Minas Gerais, Brasil, ocorrido no ano de 2019, no qual 209 pessoas morreram e há, ainda, 97 pessoas desaparecidas (Tabela ), além dos impactos ambientais causados na comunidade Vila Ferteco e ao rio Paraopeba. Este desastre sócio ambiental com barragem de rejeito foi o de maior número de perdas de vida ocorridos no Brasil, até hoje. No site do Serviço de Informação Global de Energia (WISE) é apresentado em tempo real, a cronologia dos maiores rompimentos de barragem de rejeitos ocorridos no mundo desde Com base nas informações fornecidas nesse site, foi elaborada uma tabela que mostra os 21 maiores acidentes com barragens de rejeito com mortes (Tabela ). Pode-se concluir, analisando os diversos acidentes, desde a década de 1960, que o rompimento da barragem de rejeitos da Mina Córrego de Feijão, em Brumadinho, foi a segunda pior ruptura de barragem, em número de mortes e desaparecidos, ocorrida até hoje. Pode-se observar que dentre os 21 maiores acidentes com barragens de rejeitos, quatro ocorreram no Brasil. Isso demonstra a urgência que existe no estabelecimento de diretrizes mais exigentes para a segurança dessas barragens, principalmente no que diz respeito a avaliação de riscos, adoção de planos de segurança de barragem os quais incluem a adoção de planos de contingência, sistemas de monitoramento contínuo e de alerta, elaboração e execução de simulados de evacuação, adoção de métodos

41 40 construtivos mais seguros, produção de rejeitos com teores de sólidos maiores, dentre outros aspectos para evitar novos incidentes. Neste sentido, o uso de ferramentas para análise probabilística da estabilidade de taludes de barragens de rejeitos pode contribuir de forma eficaz para a melhoria do desempenho destas estruturas projetadas, pelo fato de fornecer respostas a respeito da confiabilidade destas estruturas. Visto que possibilita a obtenção de parâmetros importantes (probabilidade de ruptura e índice de confiabilidade) que compõe parte da quantificação do risco inerente. A comissão internacional de grandes barragens (ICOLD) elaborou, em 2001, um relatório sobre as causas de 221 acidentes com barragens de rejeito ao redor do mundo. As causas dessas rupturas foram: galgamento, instabilidade do talude, sismos, fundação, estrutura, erosão interna, erosão, subsidência e causa desconhecida conforme destacados em (TAGUCHI, 2014). A Figura apresenta as principais causas de acidentes em barragens ativas e inativas. Barragens inativas se referem às barragens completamente cheias em que não há mais lançamento de rejeitos. As principais causas de ruptura em barragens inativas são sismos e galgamento, enquanto que as principais causas de ruptura em barragens ativas estão relacionadas à estabilidade de talude, galgamento e sismos. Ressalta-se aqui, de acordo com a figura citada, que problemas associados à estabilidade de talude geraram o maior número de rupturas de barragens, indicando a relevância de se estudar este aspecto. A Figura indica o número total de acidentes e suas causas considerando o tipo de método construtivo. Pode-se observar que as principais causas para os acidentes são referentes a estabilidade de talude, sismos, galgamento e piping, ocorrendo principalmente nas barragens construídas utilizando-se o método a montante, sendo este o método construtivo mais utilizado em todo o mundo devido aos baixos custos. Com base na Figura e na Figura pode-se concluir que a instabilidade de talude é a principal causa das rupturas em barragens de rejeitos. Isso demonstra a importância da análise probabilística da estabilidade de talude, pois este tipo de análise fornece a probabilidade de ruptura e o índice de confiabilidade do talude, parâmetros que permitem uma melhor avaliação da estabilidade do talude em comparação

42 41 com a avaliação somente baseada no fator de segurança global (abordagem determinística). Tabela Relação das principais rupturas em barragens de rejeitos ocorridas no Brasil. Adaptado de (WISE, 2019) e (ÁVILA, 2016). ANO LOCAL IMPACTOS 2019 Brumadinho, Minas Gerais A onda de rejeitos devastou parte do ramal ferroviário, sua área administrativa até o Rio Paraopeba, destruindo uma ponte do ramal ferroviário da mina e se espalhando por partes da comunidade local Vila Ferteco, perto da cidade de Brumadinho; a lama foi então levada adiante pelo Rio Paraopeba; 209 pessoas foram mortas e 97 estão desaparecidas. Calcula-se que 12 milhões de m³ foram lançados ao meio ambiente Mariana, Minas Gerais 2014 Itabirito, Minas Gerais 2007 Miraí, Minas Gerais 2003 Indústria de papel, Cataguases 2001 Rio Verde, Nova Lima, Minas Gerais 1986 Fernandinho, Rio Acima, Minas Gerais Onda de lama inundou o distrito de Bento Rodrigues, destruindo 158 casas, pelo menos 17 pessoas mortas e 2 desaparecidas; a lama poluiu a bacia do Rio Doce em mais de 650 km até atingir o oceano Atlântico, destruindo 15 quilômetros quadrados de terra ao longo dos rios e deixando os moradores sem abastecimento de água potável. Calcula-se que 62 milhões de m³ foram lançados ao meio ambiente. Duas pessoas morreram e uma desaparecida. O fluxo de lama deixou cerca de 4000 moradores das cidades de Miraí e Muriaé na Zona da Mata sem teto. As lavouras e pastagens foram destruídas e o abastecimento de água foi comprometido em cidades dos estados de Minas Gerais e do Rio de Janeiro. Calculase que 2 milhões de m³ foram lançados ao meio ambiente. Lixívia negra liberada causando em interrupção do fornecimento de água. Calcula-se que 900 mil m³ foram lançados ao meio ambiente. Onda de rejeitos percorreu pelo menos 6 km, matando pelo menos dois trabalhadores de minas e três trabalhadores estão desaparecidos. Onda de rejeitos percorreu 12 km a jusante, matando sete pessoas. Calcula-se que 100 mil m³ foram lançados ao meio ambiente.

43 42 Tabela As 21 maiores rupturas de barragens de rejeitos com mortes, construído com base nas informações disponibilizadas no site do World International Service on Energy (WISE) e em ÁVILA (2016). ANO LOCAL MORTES Mir Mine, Bulgária Brumadinho, Brasil Taoshi, China Stava, Itália El Cobre Dam, Chile ~ Aberfan, Reino Unido Buffalo Creek, Estados Unidos Mufilira, Zâmbia Guangxi, China Jinduicheng, China Mariana, Brasil ~ Huangmeishan, China Merriespruit, África do Sul Shangluo, China Bakofeng, África do Sul Placer, Filipinas Kolontár, Hungria Chihuahua, México Itabirito, Brasil Marsa, Peru Nova Lima, Brasil 5

44 43 Figura Causas de acidentes em barragens ativas e inativas (Adaptado de ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014). Figura Número total de acidentes e suas causas considerando o tipo de método construtivo (Adaptado de ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014).

45 Legislações e Normas Brasileiras Segundo os dados da Agência Nacional de Mineração de fevereiro de 2019, há no Brasil um total de 769 barragens de mineração, porém apenas 425 barragens (55%) estão inseridas na Política Nacional de Segurança de Barragens (PNSB). Essa porcentagem não é satisfatória e demonstra a deficiência de parte das empresas no atendimento as legislações e na gestão de riscos (Figura ). Dentre as barragens de mineração inseridas na PNSB, a maior parte delas estão localizadas em Minas Gerais, Pará e Mato Grosso. Minas Gerais conta com 219 barragens de rejeitos (52%), o Pará conta com 69 barragens de rejeitos (16%) e o Mato Grosso conta com 36 barragens de rejeitos (8%). Figura Quantitativo das barragens de rejeitos existentes no Brasil e relação entre as barragens inseridas e não inseridas no PNSB (ANM, 2019). são: Os principais dispositivos legais federais relacionados à segurança de barragens Lei nº , de 2 de agosto de 2010 que instituiu a Política Nacional de Resíduos Sólidos (PRS), na qual estabelece normas operacionais especificas de maneira a evitar riscos ou danos à saúde pública e a segurança, minimizando os impactos ambientais a respeito da disposição de rejeitos;

46 45 Lei nº , de 20 de setembro de 2010 a qual estabeleceu a Política Nacional de Segurança de Barragens (PNSB) e criou o Sistema Nacional de Informações sobre Segurança de Barragens (SNISB). Através do PNSB estabeleceu-se que a fiscalização das barragens de mineração cabe a Agencia Nacional de Mineração (ANM) e aos integrantes do Sistema Nacional de Meio Ambiente (SISNAMA); Ministério do Meio Ambiente Conselho Nacional de Recursos Hídricos Resolução nº 143, de 10 de julho de 2012, a qual estabeleceu os critérios gerais de classificação de barragens. Ministério do Meio Ambiente Conselho Nacional de Recursos Hídricos Resolução nº 144, de 10 de julho de 2012, a qual estabeleceu diretrizes para a implementação da Política Nacional de Segurança de Barragens e atuação do Sistema Nacional de Informações sobre Segurança de Barragens; Portaria DNPM nº 416, de 03 de setembro de 2012, a qual criou o Cadastro Nacional de Barragens de Mineração e estabelece o Plano de Segurança, Revisão Periódica de Segurança e Inspeções Regulares e Especiais de Segurança das Barragens de Mineração conforme a Lei nº , de 20 de setembro de 2010; A Portaria DNPM nº 526/2013 estabelece a periodicidade de atualização e revisão, a qualificação do responsável técnico, o conteúdo mínimo e o nível de detalhamento do Plano de Ação de Emergência das Barragens de Mineração (PAEBM); NRM nº 19 do DNPM estabelece diretrizes gerais para Disposição de Estéril, Rejeitos e Produtos; Resolução CONAMA n.º 357/ Dispõe sobre a classificação dos corpos de água e diretrizes ambientais para o seu enquadramento; Resolução CONAMA n.º 396/ Dispõe sobre a classificação e diretrizes ambientais para o enquadramento das águas subterrâneas e dá outras providências; Resolução CONAMA n.º 420/ Dispõe sobre critérios e valores orientadores de qualidade do solo quanto à presença de substâncias químicas e estabelece diretrizes para o gerenciamento ambiental de áreas

47 46 contaminadas por essas substâncias em decorrência de atividades antrópicas; Resolução CONAMA n.º 430/ Dispõe sobre as condições e padrões de lançamento de efluentes. e rejeitos são: As principais normas da ABNT relacionadas as atividade de disposição de estéreis ABNT NBR 13028: Mineração Elaboração e apresentação de projeto de barragens para disposição de rejeitos, contenção de sedimentos e reservação de água. Esta Norma tem por objetivo especificar os requisitos mínimos para a elaboração e apresentação de projeto de barragens de mineração, contenção de sedimentos gerados por erosão e reservação de água em mineração, e visam atender às condições de segurança, de operação, economia e desativação, reduzindo os impactos ao meio ambiente. ABNT NBR 13029: Mineração Elaboração e apresentação de projeto de disposição de estéril em pilha. Esta Norma tem por objetivo especificar os requisitos mínimos para a elaboração e apresentação de projeto de pilha para disposição de estéril gerado por lavra de mina a céu aberto ou de mina subterrânea, e visam atender às condições de segurança, operacionalidade, economia e desativação, reduzindo os impactos ao meio ambiente. ABNT NBR 13030: Elaboração e apresentação de projeto de reabilitação de áreas degradadas pela mineração. Esta Norma fixa diretrizes para elaboração e apresentação de projeto de reabilitação de áreas degradadas pelas atividades mineradoras, visando obter subsídios técnicos que possibilitem a manutenção e/ou melhoria da qualidade ambiental, independente da fase de instalação do projeto. ABNT NBR 10157:1987- Estabelece as condições mínimas exigíveis para projeto e operação de aterros de resíduos perigosos, de forma a proteger adequadamente as coleções hídricas superficiais e subterrâneas próximas, bem como os operadores destas instalações e populações vizinhas. ABNT NBR :1997- Estabelece as condições mínimas exigíveis para projeto, implantação e operação de aterros de resíduos não perigosos, de forma a proteger adequadamente as coleções hídricas superficiais e

48 47 subterrâneas próximas, bem como os operadores destas instalações e populações vizinhas.

49 Boas práticas internacionais em segurança de barragens de rejeito Diversas instituições estabeleceram diretrizes internacionais de boas práticas para projeto e segurança de barragens de rejeitos, destacando-se os seguintes trabalhos realizados pelas instituições: ICOLD (Comissão Internacional de Grandes Barragens): Barragens de Rejeitos, Risco de acontecimentos potencialmente danosos e Lições Aprendidas através de experiências práticas (Tailings Dams, Risk of Dangerous Occurences and Lessons Learnt from Practical Experiences) em 2001, Melhoria da segurança de barragens de rejeitos (Improving Tailings Dam Safety) em 2007 e Desempenho sustentável para projeto e descomissionamento de barragens de rejeitos (Sustainable Design and Post-Closure Perfomance of Tailings Dams) em UNEP (Programa das Nações Unidas para o Meio Ambiente): Guia para planos de emergência APELL (Conscientização e preparação para emergências em nível local) para o setor de mineração em 2001; ANCOLD (Comitê Nacional Australiano de Grandes Barragens): Diretrizes para a Gestão de Segurança de Barragens (Guidelines on Dam Safety Management), agosto de 2013 e Diretrizes para barragens de rejeitos (Guidelines on Tailings Dams), maio de CDA (Associação Canadense de Barragens): Diretrizes para a Segurança de Barragens (Dam Safety Guidelines), MAC (Associação Canadense de Mineração): Desenvolvimento de manual para operação, manutenção e fiscalização de barragens de rejeitos e de água (Developing an Operation, Maintenance and Surveillance Manual for Tailings and Water Management Facilities), 2002.

50 Estabilidade taludes Análise determinística de estabilidade de talude Existem dois tipos de abordagem para determinar o fator de segurança do ponto de vista determinístico: teoria do equilíbrio limite e análise de tensões. Estes métodos serão detalhados nos tópicos que se seguem Análise de tensões e deformações Neste método, a análise de estabilidade é feita comparando-se as tensões cisalhantes mobilizadas com a resistência ao cisalhamento, de modo a estabelecer áreas rompidas mesmo sem o estabelecimento de uma superfície de ruptura (o que indica ruptura progressiva); estabelecer níveis de tensões de interesse para a realização de ensaios de laboratório e conhecer a relevância das deformações (GERSCOVICH, 2016). Para a aplicação deste tipo de análise é necessário o conhecimento dos modelos constitutivos dos solos e a implementação em programas computacionais baseados nos métodos dos elementos finitos (MEF) ou das diferenças finitas (MDF) Equilíbrio limite e a definição do fator de segurança A teoria do equilíbrio limite é atualmente a mais comum nas análises de estabilidade de taludes, principalmente porque apresenta abordagem simples e facilidade para a modelagem computacional. O método consiste na determinação do equilíbrio de uma massa de solo delimitada por uma superfície potencial de ruptura arbitrada. É considerado que apenas uma parcela da resistência do solo é mobilizada nessa superfície, de forma a estar em equilíbrio com as forças solicitantes devido ao peso da massa de solo (TELLES, 2015). A Figura representa essa situação. Figura Tensões cisalhantes resistentes e mobilizadas em uma massa de solo (GERSCOVICH, 2016).

51 50 Este método baseia-se na determinação do equilíbrio de uma massa de solo. A análise é feita com base na seção transversal representativa e a superfície de ruptura provável de ocorrer pode apresentar geometria circular, poligonal ou outra qualquer. Neste método é assumido que a ruptura acontece ao longo de uma superfície e todos os pontos ao longo dessa superfície atingem, ao mesmo tempo, a mesma condição de FS = 1 (GERSCOVICH, 2016). Neste método é considerado que apenas uma parcela da resistência do solo é mobilizada nessa superfície, de maneira a se equilibrar com as forças solicitantes devidas, por exemplo, ao peso da massa ativa de solo. Desta maneira é possível definir o fator de segurança como o fator pelo qual os componentes da resistência ao cisalhamento são reduzidos para que a massa de solo atinja o estado de equilíbrio limite, ao longo da superfície mobilizada. Dessa forma, temos: sendo τ mob = tensão cisalhante mobilizada; τ res = tensão cisalhante resistente; FS= fator de segurança. τ mob = τ res FS Para a análise em termos de tensões efetivas em solos saturados, a resistência mobilizada é calculada da seguinte maneira: τ mob = c tan φ + (σ u) FS FS sendo σ= tensão total normal; u= poropressão; c = coesão efetiva do solo (intercepto de coesão na envoltória efetiva); φ = ângulo de atrito efetivo do solo.

52 51 A ruptura acontece quando toda a resistência do solo é mobilizada, ou seja, quando o fator de segurança é igual a 1. Embora o método leve em consideração que toda a resistência do solo seja mobilizada ao mesmo tempo, isto é, atingindo simultaneamente a condição de ruptura, essa hipótese, no entanto, não representa a realidade. O FS calculado é a representação de uma média dos fatores de segurança ao longo da superfície potencial de ruptura (TELLES, 2015). O enfoque deste estudo será dado aos modelos determinísticos e probabilísticos considerando a análise por equilíbrio limite por três tipos de métodos bidimensionais: método de Bishop Simplificado, Spencer e Morgenstern-Price. Nos métodos bidimensionais é assumido que o talude é infinitamente longo na direção perpendicular ao plano de interesse e que a ruptura ocorre ao longo do comprimento todo do talude simultaneamente (TELLES, 2015). Antes de detalhar os três métodos citados anteriormente é fundamental conceituar o método das fatias o qual é a base teórica para estes métodos Método das Fatias FELLENIUS (apud TELLES, 2015) propôs o método das fatias, o qual consiste em se dividir a massa de solo instável, isto é, aquela que se encontra acima da superfície de potencial ruptura em um número de fatias n. A figura apresenta uma massa de solo dividida em fatias enquanto a figura x mostra uma fatia genérica i, com as forças que atuam nela.

53 52 Figura (a) massa de solo potencialmente instável dividida em fatias; (b) representação da i-ésima fatia e as forças que atuam nela (TELLES, 2015). Quanto ao atendimento às equações do equilíbrio estático, é necessário analisar o equilíbrio de forças em cada fatia individualmente, enquanto que o atendimento ao equilíbrio de momentos deve-se considerar toda a massa de solo, em relação ao centro da superfície potencial de ruptura circular. Os momentos dividem-se em momento solicitante e momento resistente. O momento solicitante é dado pelo somatório dos momentos gerados pela força peso de cada fatia, isto é n M d = W i sin α i R i=1 O momento resistente é dado pelo somatório dos momentos gerados pela força cisalhante mobilizada na base de cada fatia: n n M res = T i R = τ mobi l i R i=1 i=1 Tendo o τ mob definido pelo Equilíbrio Limite e a analise em tensões efetivas, o momento resistente pode ser reescrito como:

54 53 n M res = c + σ i tan φ l FS i R i=1 Assim, pelo equilíbrio de momentos, M res = M d, logo: n c + σ i tan φ l FS i R = W i sin α i R i=1 Para l i = L e N i = σ i l i : R c L + tan φ FS n i=1 n i=1 n N i = R W i sin α i Através do rearranjo desta equação, podemos equacionar o fator de segurança em termos do equilíbrio de momentos. Assim, temos: i=1 FS = c L + tan φ i=1 N i n W i sin α i i=1 O número de incógnitas é superior ao número de equações no método das fatias. Isto é, o problemas é estatisticamente indeterminado, como apresentado no Quadro n Quadro Equações versus incógnitas no método das fatias (GERSCOVICH, 2012 apud TELLES, 2015).

55 54 Os métodos apresentados a seguir foram desenvolvidos tendo como base o método das fatias, porém cada um deles adota hipóteses simplificadoras as quais tornam o problema determinado. Uma hipótese assumida em todos os métodos apresentados referese a consideração que a força normal N é aplicada no centro de cada fatia, o que reduz o número de incógnitas a 5n-2 e a indeterminação a n Método de Bishop Simplificado (1955) Há uma simplificação proposta pelo próprio Bishop, comumente chamada de método de BISHOP SIMPLIFICADO (1955), que consiste em desprezar a componente tangencial das forças entre as fatias. Consequentemente, a resultante entre as fatias é horizontal. Na Figura tem-se uma representação de uma fatia de solo segundo o método de Bishop simplificado. Figura Representação de uma fatia de solo (TELLES, 2015). Para a determinação da força normal faz-se o equilíbrio de forças na vertical: F v = W i N i cos α i u i l i T i sin α i = 0 A força cisalhante mobilizada na base (T i ) conforme definida pela teoria do equilíbrio limite na é dada por: T i = c FS l i + (N tan φ i u i l i ) FS Substituindo na equação anterior, tem-se que a força normal é definida como:

56 55 N i = W i ( 1 FS ) (c l i u i l i tan φ ) sin α i cos α i + ( 1 FS ) tan φ sin α i Ao substituir a expressão de N i na equação do fator de segurança, em termos do equilíbrio de momentos, é obtida a expressão para o fator de segurança do método de Bishop Simplificado: sendo: FS = n i=1 [c l i cos α i + (W i u i l i cos α i ) tan φ ] ( 1 ) m αi n i=1 W i sin α i m αi = cos α i + sin α i tan φ FS A expressão final do FS pelo método de Bishop Simplificado (1955) é não linear e deve ser resolvida iterativamente, uma vez que o FS está presente em ambos os lados da igualdade Método de Spencer (1967) O método de SPENCER (1967) é considerado um método de análise de estabilidade rigoroso, visto que satisfaz as três equações de equilíbrio bidimensional. Neste método são definidos dois fatores de segurança, o primeiro fator de segurança em termos do equilíbrio de forças (FS f ) e o segundo fator de segurança em termos do equilíbrio de momentos (FS m ). Neste método é assumida a hipótese de que a soma das resultantes das forças de interação entre as fatias é uma força Q i com inclinação igual a θ. (Figura )

57 56 Figura Forças aplicadas a uma fatia de solo pelo método de Spencer. (Adaptado de FREITAS, 2011) Então, calcula-se o equilíbrio nas direções normal e tangencial à base da fatia, definindo-se o valor de Q i, através da seguinte expressão: Q i = c x i FS sec α i + tan φ FS (W i cos α i u i x i sec α i ) W i sin α i cos(α i θ) [1 + tan φ FS tan(α i θ)] Definido o valor de Q i, após assumido um valor para θ (constate em todas as fatias) procede-se ao cálculo do FS. O fator de segurança em termos do equilíbrio de forças (FS f ) é calculado substituindo a expressão de Q i na equação que garante o equilíbrio global de forças do método, ou seja: n n n Q i sin θ = Q i cos θ = Q i = 0 i=1 i=1 i=1 Enquanto que a equação de equilíbrio de momentos, a qual é definida a partir do somatório de momentos das forças internas, é calculada da seguinte forma: n [Q i cos(α i θ) ] i=1 Assim, o fator de segurança final, será encontrado a partir de um valor θ, pelo qual, obtém-se o mesmo fator de segurança tanto para o equilíbrio de momentos quanto para o equilíbrio de forças, isto é:

58 57 FS = FS f = FS m Método de Morgenstern-Price (1965) O método de MORGENSTERN & PRICE (1965) é considerado o método mais geral de equilíbrio limite para superfícies quaisquer, considerando os esforços atuantes em fatias infinitesimais (Figura ). Figura Forças aplicadas a uma fatia de solo segundo Método de Morgenstern e Price. ( Adaptado de FREITAS, 2011) Em busca de tornar o problema estaticamente determinado, assume-se que a inclinação da resultante θ pode variar ao longo da superfície através da função dada por: Ou, T E = λf(x) tan θ = T E = λf(x) sendo T= componente tangencial resultante das forças entre as fatias; E = componente normal da resultante das forças entre fatias; λ= parâmetro escalar, o qual é determinado através da solução de cálculo do FS; f(x)= função de forma arbitrária.

59 58 A escolha da função f(x) exige um julgamento de como a inclinação das forças entre fatias varia no talude. Na consideração de forças atuantes em uma fatia infinitesimal, ou seja, dx tendendo a zero, e para que não exista rotação da mesma, o equilíbrio de momentos com relação ao centro da base da fatia é considerado nulo. Dessa forma chega-se a expressão a seguir: T = d{e (y y t )} dx E dy dx + d{p w(y h)} dy P dx w dx A função y(x) representa a superfície de ruptura, a função h(x) representa a linha de ação da poropressão, e y (x) representa a linha de tensão efetiva normal. t O equilíbrio de forças na direção normal e tangencial à base da fatia resulta na seguinte equação: E(x) = 1 L + Kx [E il + Nx² 2 + Px] As variáveis K, L, N e p são expressas da seguinte maneira: tan φ K = λk { FS + A} L = 1 A tan φ FS tan φ + λm ( FS + A) N = tan φ FS [2AW w + p r(1 + A²)] + [ 2W w + pa] p = 1 FS {(c s tan φ )(1 + A 2 ) + V w A tan φ + q tan φ } + {qa V w } Assim, tem-se a seguinte equação para o equilíbrio de momentos:

60 59 Sendo M ew (x) dado por: M(x) = E(y t y) = M ew (x) + (λf dy dx ) Edx x dy M ew (x) = ( P w dx ) dx + [P w (y h)] xo A solução do método é obtida por meio de iterações, a partir da definição da função de distribuição de forças entre fatias, assumindo-se valores para λ e FS e dos cálculos para E(x) e M(x) de cada fatia. Os resultados fornecem fatores de segurança para cada uma das equações de equilíbrio de forças e momentos a cada iteração e o resultado final do FS do talude é definido quando FS f = FS m. Devido à complexidade dos cálculos é necessário o uso de computadores. x xo

61 Projeto baseado em confiabilidade Conceitos de estatística Considerações gerais Neste tópico alguns conceitos básicos de probabilidade e estatística serão abordados. Embora estes sejam conceitos introdutórios, são fundamentais para a realização de projetos baseados em confiabilidade. O Universo é o objeto da análise estatística. Particularmente para a análise de estabilidade de um talude, o universo constitui-se de todos os parâmetros geotécnicos dos solos que estão integrados direta ou indiretamente ao cálculo do fator de segurança contra a ruptura. A população desse Universo corresponde ao conjunto de valores possíveis de serem medidos de mesmo atributo. Dessa forma, em se tratando de análise de estabilidade de talude, as populações de interesse são: coesão, ângulo de atrito, peso específico, entre outros. Uma amostra de uma população se refere ao conjunto de valores de um mesmo atributo. Por exemplo, para a população resistência não drenada, cada valor determinado equivale a uma unidade de amostragem, assim, uma amostra da população resistência não drenada é um conjunto de várias unidades de amostragem. Amostragem aleatória de determinada população refere-se ao processo de escolha de unidades de amostragem no qual qualquer unidade possui a mesma chance de ser selecionada, não havendo uma diferenciação para a escolha de nenhuma delas. Uma variável aleatória pode ser descrita se sua distribuição de probabilidade é conhecida. A distribuição precisa para elementos e fenômenos da natureza envolve diversas complexidades. Assim, deve-se buscar uma maneira mais simples para descrever variáveis aleatórias usando medidas de estimação mais fáceis. As medidas de estimação mais importantes são tendência central e dispersão. Estas medidas serão descritas nos tópicos que se seguem.

62 Tendência central As medidas mais comuns para a tendência central são média, mediana e moda. No entanto, a média é a mais importante medida de tendência central de uma variável aleatória e representa a média aritmética de um conjunto de dados. Assim, a média aritmética para um conjunto de medidas será: n X = 1 n x i sendo X = média da amostra; n= tamanho da amostra; x i = valor individual de cada medida. A partir dos valores das médias aritméticas das amostras é possível obter o histograma (Figura ) que corresponde a população estudada do universo. No eixo horizontal são apresentados os diversos valores de intervalos das médias aritméticas X i e no eixo vertical as porcentagens/frequências de valores correspondentes a cada intervalo. Pelo histograma é possível observar que as maiores porcentagens de valores se encontram no intervalo central μ (referente a média da população). Nessa mesma figura é apresentada a curva que representa a distribuição acumulada, a qual mostra a porcentagem acumulada para diversos intervalos de valores X i de interesse. É importante ressaltar que normalmente não é possível medir todas as unidades de amostragem de uma população, dessa forma, a média X é considerada a melhor estimativa possível da média μ da população. A expressão matemática da média μ é definida como: n i=1 μ = i=1 X i f(x) se a variável aleatória é discreta ou, μ = + X i f(x)dx se a variável aleatória é contínua.

63 62 sendo f(x)= função distribuição de probabilidade. Geralmente a média é valor assumido para os parâmetros envolvidos em uma análise determinística de estabilidade de talude. Porém, na análise probabilística, outras medidas de estimação são fundamentais para a implementação dessa abordagem. Figura Histograma e distribuição acumulada qualquer. (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003)

64 Medidas de dispersão A melhor forma de estimar a dispersão de uma amostra ou de uma população é através do desvio-padrão e do coeficiente de variação. O desvio-padrão (s) de uma amostra e o desvio-padrão (σ) da população são dados respectivamente por: s = (x i X ) 2 n 1 sendo X = média da amostra; σ = (x i μ) 2 n x i = valores individuais ou unidades de amostragem; n= quantidade de valores (tamanho da amostra); μ= média da população. Em muitos cálculos estatísticos, a variância é mais conveniente do que o desviopadrão. Ela é definida como o quadrado do desvio-padrão. Para a amostra a variância é designada por s² enquanto que para a população é designada por σ². O coeficiente de variação (CV referente a amostra e Ω referente a população) é utilizado usualmente nos cálculos estatísticos e expressa uma dispersão relativa, isto é, representa o desvio-padrão como porcentagem da média, sendo definido como: CV = s X 100 Ω = σ X 100

65 Limites de confiança Em diversas situações práticas, é necessário inferir sobre as características de resistência do solo a partir de um número limitado de ensaios. Por exemplo, para a estimativa dos valores de resistência não drenada ao longo da profundidade, pode-se utilizar de critérios bem estabelecidos de regressão linear, para a obtenção da reta que melhor se ajuste aos resultados experimentais. Assim, a interpretação dos resultados experimentais é realizada baseada nos conceitos de limites de confiança, os quais limitam uma região na qual é mais provável que o valor de um dado parâmetro se situe, de acordo com a margem de erro considerada. Os limites de confiança podem ser classificados em duas categorias: Limites representativos dos resultados individuais (diretamente obtidos dos ensaios); Limites representativos dos valores médios dos resultados experimentais. Na regressão linear a incerteza quanto a amostragem reduzida fica evidente no próprio conceito de limites de confiança e são dependentes do número de amostras (N). Assim quanto maior o número de amostras mais estreitos serão os limites de confiança, pois dependem da variabilidade dos parâmetros da reta, diminuindo à medida que N cresce. Em uma regressão linear, Y = f(x), é definido o erro médio quadrado (mean square error MSE (NETER, WASSERMAN, & WHITMORE, 1982 apud PACHECO & LIMA, 1996) como: sendo y = valor esperado da reta de regressão; N= número de amostras. MSE = (y i y ) 2 N 2 O MSE é uma forma análoga de calcular a dispersão, similar a variância de uma amostra (s²) e de uma população (σ²), conforme mostrados no capítulo Portanto, o MSE representa a dispersão dos pontos (x i, y i ) em relação à reta de regressão.

66 65 Pode-se demonstrar (NETER; WASSERMAN; WHITMORE, 1982) que a variância da média de Y e a variância pontual de Y são dadas por: V[Y] média = MSE [ 1 N + (x i x ) 2 (x i x ) 2] V[Y] P = V[Y] média + MSE sendo, para N < 30 Y p y = t(n 2) S[Y] p Y média y S[Y] média = t(n 2) sendo, S[Y] p, o desvio-padrão pontual e S[Y] média, o desvio-padrão da média: S[Y] p = V[Y] P S[Y] média = V[Y] média Como a distribuição t-student se aproxima da distribuição Normal quando N, pode-se estabelecer, para finalidade prática, que esta consideração é válida para N 30. (PACHECO; LIMA, 1996) Para a representação do comportamento médio de ensaios geotécnicos, os limites de confiança pontuais, considerando uma margem de erro α, limitam a região onde a probabilidade de ocorrer o resultado pontual de um ensaio seja de (1- α), enquanto os limites de confiança dos valores médios limitam a região onde a probabilidade de se situar a reta de regressão (envoltória de Mohr-Coulomb) seja de (1- α). A Figura ilustra como os limites de confiança pontuais e da média são estabelecidos.

67 66 Demonstra-se que a variância dos parâmetros médios da regressão linear Y=A+BX é dada por (NETER; WASSERMAN; WHITMORE, 1982) V[A] = MSE [ 1 N + (x ) 2 (x i x ) 2] V[B] = MSE (x i x ) 2 Como neste estudo o número de amostras é maior que 30, utilizou-se uma distribuição Normal, portanto, tem-se: A A S[A] = z(n 2) B B S[B] = z(n 2) sendo, S[A]= desvio-padrão do intercepto A; S[B]= desvio-padrão da inclinação B.

68 67 Figura Estabelecimento dos limites de confiança pontuais e da média (reta de regressão) (PACHECO; LIMA, 1996) Incertezas na Geotecnia No passado, muitos projetos de engenharia como túneis, barragens, estradas entre outras estruturas geotécnicas foram construídos por engenheiros com limitada capacidade em lidar com problemas geotécnicos de uma maneira analítica, mas que permitiram-lhes aprender com as experiências e catalogar os comportamentos de solos e rochas (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). Com os trabalhos desenvolvidos por um grupo de engenheiros e pesquisadores liderados por Karl Terzaghi, a física e a engenharia mecânica foram aplicadas ao estudo do comportamento dos materiais geológicos (TERZAGUI, 1925 apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003). A partir daí foram desenvolvidos métodos de análise teórica, procedimentos para ensaios em laboratório e técnicas para investigações de campo, permitindo uma abordagem mais racional no desenvolvimento de projetos (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). No entanto, o desenvolvimento da engenharia geotécnica só começou aproximadamente um século após a introdução de métodos racionais na engenharia mecânica e de estruturas. Isso se deveu ao fato de que engenheiros mecânicos e estruturais lidam com geometrias, propriedades de materiais e componentes de sistemas projetados por eles próprios, de maneira a assegurar o controle de garantia e a qualidade.

69 68 Dessa forma, as principais incertezas nestes materiais projetados estão relacionadas às tolerâncias permitidas para o desempenho satisfatório da estrutura e carregamentos e condições ambientais as quais a estrutura é exposta (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). Diferentemente, na engenharia geotécnica os engenheiros lidam com geometrias e materiais que a natureza dispõe. As incertezas na engenharia geotécnica são fortemente indutivas, começando por limitadas observações, julgamentos, conhecimento a respeito da geologia e raciocínio estatístico para inferências no comportamento dos solos (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). No caso de barragens de rejeito, o carregamento mais importante que afeta a estabilidade do dique é devido à gravidade. O peso específico de solos e rochas normalmente são determinados com elevada acurácia, existindo poucas incertezas com relação a eles. No entanto, os padrões de percolação tem um importante efeito na estabilidade e esses são muito mais incertos. Destacam-se também fatores externos, provavelmente os mais importantes são os eventos de natureza sísmica (DOBRY & ALVAREZ, 1967 apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Quanto às incertezas geotécnicas, a principal preocupação dos engenheiros está relacionada à resistência ao cisalhamento de solos e/ou rochas. Assim sendo, muito das aplicações dos métodos de confiabilidade à prática geotécnica envolve a descrição probabilística e estatística das resistências e suas distribuições (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). Recentemente tem-se observado uma tendência em se ajustar o tratamento das incertezas em uma base mais formal, particularmente, aplicando os resultados da teoria da confiabilidade à engenharia geotécnica. (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). Contudo, é importante enfatizar que o princípio que a confiabilidade aborda não remove as incertezas e não reduzem a necessidade de julgamento de geotécnicos experientes ao lidar com as questões geotécnicas. Eles fornecem uma maneira de quantificar as incertezas e tratá-las consistentemente (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). Hoje em dia o engenheiro geotécnico deve ser capaz de lidar com a confiabilidade e há diversas razões para isso. Primeiramente, um número crescente de países apresentam legislações e normas, as quais forçam os engenheiros geotécnicos a fornecerem respostas

70 69 a respeito da confiabilidade de suas estruturas geotécnicas projetadas. Este aspecto é muito notado em áreas fortemente regulamentadas como a disposição de rejeitos, especialmente nos Estados Unidos, Austrália e Canadá. O fortalecimento das legislações e normas nesses países contribuem para uma tendência a adoção de práticas semelhantes por outros governos e instituições ao redor do mundo. Contudo no Brasil ainda é incipiente essa abordagem, sendo utilizada como objeto de estudos por parte de algumas empresas e universidades, não estando incluídas em normas ou legislações. Em segundo, decisões gerenciais a respeito de como financiar, planejar e proceder com um curso de ação projetado estão ligados diretamente à análise de confiabilidade. Há diversas maneiras de classificar as incertezas na engenharia geotécnica. MORGENSTERN (1995), PHOON & KULHAWY (1999) e EL-RAMLY (2001) propuseram a divisão das incertezas em três categorias específicas, listadas abaixo: Incertezas dos parâmetros: estão relacionadas às propriedades físicas, mecânicas e químicas que caracterizam o objeto de estudo. Na geotecnia essas incertezas podem ser relacionadas aos parâmetros de resistência e permeabilidade, entre outros, de determinado solo (EL-RAMLY, 2001). Incertezas nos modelos: relaciona-se a inexatidão entre a realidade e a teoria usada nos modelos matemáticos. Os modelos analíticos se caracterizam por aproximações e hipóteses simplificadoras. De acordo com MORGENSTERN (1995), a incerteza devida aos modelos matemáticos corresponde a maior parte das incertezas na engenharia geotécnica. Incertezas humanas: dizem respeito ao erro humano e é baseada geralmente na falta de conhecimento técnico, domínio dos procedimentos de investigações geotécnicas de laboratório de campo e carência de informação. Estes são de quantificação complexa devido a sua aleatoriedade e imprevisibilidade, sendo geralmente desprezadas na prática de engenharia. Uma outra proposta de classificação das incertezas na engenharia geotécnica, apresentando similaridades em relação à classificação vista anteriormente, no entanto,

71 70 mais detalhada, foi elaborada por BAECHER & CHRISTIAN (2003), na qual as incertezas na geotecnia são divididas em três categorias (Figura ). A primeira é a variabilidade natural, a qual está associada com o processo natural inerente dos solos, podendo ser a variabilidade ao longo do tempo causada por um fenômeno ocorrido em um único local (variabilidade temporal) ou uma variabilidade ao longo de um espaço por um fenômeno o qual ocorreu em diferentes locais, mas em um intervalo curto de tempo (variabilidade espacial) ou, ainda, variabilidades ocorridas ao longo do tempo e espaço. Essa variabilidade é aproximada através de simplificações ou modelos matemáticos. A segunda é a incerteza relacionada ao conhecimento técnico, sendo atribuída à falta de informações sobre eventos ou falta de entendimento sobre as leis físicas limitando a habilidade em criar modelos para os problemas reais. É dividida em três categorias: incertezas da caracterização do local, incerteza do modelo e incerteza dos parâmetros. As incertezas quanto a caracterização do local se referem a adequação de interpretações a respeito da geologia subterrânea e incluem: erros de medições, inconsistência de dados, erros da manipulação de dados e amostra de dados pouco representativas. A incerteza do modelo tem a ver com o grau o qual um modelo matemático escolhido imita, ou representa, a realidade e a incerteza dos parâmetros refere-se à acurácia com a qual os parâmetros do modelo podem ser estimados.

72 71 Além dessas incertezas relatadas acima, existem dois tipos práticos: incertezas operacionais referentes à construção, deterioração, manutenção e fatores humanos, as quais não são, em geral, levadas em conta em modelos de avaliação de desempenho na engenharia; e as incertezas referentes à tomada de decisão devido à falta de capacidade humana em atender a objetivos sociais, horizonte de planejamento, aversão social ao risco, entre outros, os quais são difíceis de quantificar e são normalmente ignorados. Categorias de Incertezas Variabilidade Natural dos solos Incertezas relacionadas ao conhecimento técnico Incertezas operacionais e relacionadas à tomada de decisão Temporal Modelos Espacial Parâmetros Caracterização do local Figura Categorias de incerteza. (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Dentre as categorias de incertezas apresentadas acima, apenas as incertezas quanto aos parâmetros de resistência do rejeito foram consideradas nas análises probabilísticas de estabilidade deste estudo, haja vista que a amostragem disponível não foi suficiente para caracterizar o efeito da variabilidade espacial, principalmente porque as superfícies potenciais de ruptura são longas (a seção estudada do depósito apresenta em torno de 616m de comprimento). Na engenharia geotécnica é comum lidar com mais de uma variável aleatória. Particularmente na análise de estabilidade de taludes, as variáveis usuais são os parâmetros de resistência (coesão e ângulo de atrito), peso específico do solo e condições de poropressão e etc.

73 72 Pode-se definir então a relação entre duas variáveis através do coeficiente de correlação, o qual define como a variação em um parâmetro pode afetar o valor da outra variável. Dessa forma, a incerteza de uma variável pode estar relacionada à incerteza de outra variável, de maneira que a não consideração desse fato pode afetar significativamente o resultado. Entretanto, segundo VIEIRA (1999), o coeficiente de correlação deve ser utilizado com cautela, pois, a correlação entre duas variáveis nem sempre significa uma relação de causa e efeito, visto que pode existir uma terceira variável, não estudada, que determina o crescimento da primeira variável como o crescimento (ou decrescimento) da segunda variável. Deste modo, a correlação entre variáveis não indica que uma causa a outra, apenas é observada uma relação linear acidental entre as variáveis. A determinação do coeficiente de correlação deve ser feita com precaução, pois se não houver dados suficientes disponíveis, não é recomendável a obtenção de coeficientes de correlação. Neste trabalho, optou-se por não utilizar o coeficiente de correlação visto que não há dados estatísticos suficientemente grandes para as estimativas dos parâmetros de resistência do resíduo. Quanto ao peso específico, ALONSO (1976) mostrou que a contribuição da incerteza para este parâmetro é insignificante as demais incertezas presentes em análises de estabilidade de talude. Isso acontece porque a determinação do peso específico do solo em laboratório é, na maioria das vezes, acurada e apresenta um pequeno desvio-padrão. Sendo assim, neste trabalho os pesos específicos dos materiais envolvidos na análise (resíduo, aterro compactado e fundação), foram considerados de maneira determinística e não como sendo variáveis aleatórias Distribuições de probabilidade aplicadas na Geotecnia A maneira mais comum de apresentar graficamente a dispersão de dados é através de um histograma. A elaboração de um histograma é função da quantidade de dados analisados e para cada parâmetro analisado pode-se inferir sobre a sua distribuição de

74 73 probabilidade. Quanto maior a quantidade de dados mais representativo será o ajuste de uma distribuição de probabilidade assumida (BAECHER, 1987). Contudo, na geotecnia, isso não acontece na realidade, já que existe um elevado custo para a obtenção de parâmetros através da repetição de ensaios de laboratório e de campo. Desta maneira, uma distribuição paramétrica adequada pode ser ajustada aos dados. Esse enfoque, diversas vezes, mostrou-se satisfatório, sendo as distribuições mais comuns na engenharia geotécnica: a distribuição normal (ou de Gauss) e a distribuição lognormal (LUMB, 1966). Para os problemas de estabilidade de talude as variáveis aleatórias possuem distribuição normal. Essa hipótese é adequada, pois ensaios de laboratório mostram que a curva de distribuição de frequência de Gauss é satisfatória à representação do comportamento estatístico das variáveis coesão e ângulo de atrito do solo (MELCHERS, 2002). A distribuição normal é provavelmente o tipo de distribuição de probabilidade mais usual nos dias de hoje. Isso acontece porque a soma de variáveis aleatórias tendem a uma distribuição normal, como provado pelo teorema do limite central (FENTON; GRIFFITHS, 2008) embora esta discussão não faça parte do escopo deste trabalho. Assim, para uma variável aleatória X que possui uma distribuição Normal ou gaussiana, a função densidade de probabilidade tem a seguinte forma: sendo: f(x) = 1 σ 2π exp [ 1 2 μ= média da distribuição Normal; μ 2 (x σ ) ] para < x > σ= desvio-padrão da distribuição Normal. Normalmente se usa a notação X ~ N(μ, σ 2 ) quando se quer dizer que a variável X segue uma distribuição Normal com média μ e variância σ 2. Algumas características da distribuição Normal: A distribuição é simétrica com relação à média μ; O ponto máximo ou moda da distribuição acontece na média μ;

75 74 O ponto de inflexão da curva f(x) ocorre quando x = μ ± σ. A Figura mostra um exemplo de uma distribuição normal com μ = 5 e σ = 2: Figura Distribuição Normal com μ = 5 e σ = 2. (FENTON; GRIFFITHS, 2008) Contudo, a distribuição Normal permite valores negativos sendo um aspecto desvantajoso em se tratando de modelagem de propriedades de materiais e carregamentos em engenharia. Porém, a distribuição Normal é com frequência usada para representar parâmetros geotécnicos. Segundo FENTON & GRIFFITHS (2008), o erro ao se utilizar a distribuição Normal poderá ser pequeno se o coeficiente de variação for pequeno (CV 0,3). Além disso, BAECHER & CHRISTIAN (2003), demonstraram que a probabilidade do fator de segurança ser negativo usando uma distribuição normal é baixa, de modo que a distribuição de Gauss pode ser considerada válida para problemas geotécnicos. Uma maneira simples de evitar o problema dos valores negativos é ajustar uma distribuição não negativa aos dados e assim, tem-se a distribuição Lognormal. A distribuição Lognormal surge da distribuição Normal através de uma transformação simples. Por exemplo, se D é uma variável aleatória de distribuição Normal e tem portanto valores entre < d > +, então X = exp (D). Dessa forma os valores estarão entre zero e + e a variável X terá distribuição Lognormal.

76 75 Uma variável X tem distribuição Lognormal se ln(x) é uma distribuição Normal. Assim, a função densidade de probabilidade será: f(x) = 1 xσ lnx 2π exp [ 1 2 (lnx μ 2 ln X ) ] para 0 x > σ ln X Assim os dois parâmetros da distribuição são: μ ln X, média e σ 2 ln X, variância da distribuição normal da variável aleatória ln(x). Este tipo de distribuição é popular para parâmetros geotécnicos como coesão, tangente do ângulo de atrito, módulo de elasticidade, entre outros Índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura A probabilidade de ruptura pode ser estimada por três diferentes maneiras, segundo MORGENSTERN (1995): Baseada na frequência de observações (dados históricos); Derivada da teoria da probabilidade (modelos matemáticos); Quantificada pelo julgamento de engenharia (probabilidade subjetiva). Neste estudo a probabilidade de ruptura será estimada através da segunda maneira indicada acima, isto é, proveniente da teoria da probabilidade. O índice de confiabilidade (β) pode ser calculado a partir de uma análise usando o método de primeira ordem e segundo momento ou método de confiabilidade de primeira ordem, para uma dada margem de segurança M, sendo esta margem de segurança expressa por: M = R L sendo R = resistências; L = carregamentos. A ruptura acontece quando R < L, portanto, M < 0. Dessa forma, o índice de confiabilidade (β) é definido por CORNELL, 1969 (apud FENTON & GRIFFITHS, 2008) como:

77 76 β = E[M] Var[M] Assim, o índice de confiabilidade mede quão longe a média da margem de segurança M está de zero, sendo este assumido como ponto de ruptura, em unidades de desvio-padrão. É importante destacar que a determinação do índice de confiabilidade apresentado anteriormente é válida apenas para variáveis com distribuição normal e funções de falha lineares, isto é, M é uma função de distribuição Normal. O ponto, linha ou superfície definida como M = 0 é geralmente chamada de superfície de ruptura. (Figura ) Figura Região segura e região de falha no espaço das variáveis aleatórias (NOGUEIRA, 2010). Existe uma relação única entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruptura dada por: p f = 1 Φ(β) Sendo Φ = a função de distribuição acumulada normal padrão. A relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruptura pode ser observada na Figura

78 77 Figura Relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruptura (DUNCAN, WRIGHT, & BRANDON, 2014). Tendo M = R L e R independente de L, então pelo método de primeira ordem e segundo momento, tem-se: E[M] = E[R] E[L] = μ R μ L Var[m] = ( dm dr ) 2 Var[R] + ( dm dl ) 2 Var[L] = Var[R] + Var[L] = σ R 2 + σ L 2 Como a margem de segurança é linear, a média e a variância de M são exatas. Dessa forma: β = μ R μ L σ 2 2 R + σ L Considerando resistências e carregamentos não negativos, a margem de segurança é reescrita da seguinte forma: M = ln ( R ) = ln R ln L L

79 78 Tendo M = R L e R independente de L, então pelo método de primeira ordem e segundo momento, tem-se: E[M] = E[R] E[L] = ln μ R ln μ L Var[m] = ( dm 2 dr ) Var[R] + ( dm 2 dl ) Var[L] = Var[R] + Var[L] = v 2 2 μ 2 R μ 2 R + v L L sendo, v R = coeficiente de variação de R; v L = coeficiente de variação de L. Portanto, o índice de confiabilidade é: β = ln μ R ln μ L v R 2 + v L 2 Em resumo, a determinação do índice de confiabilidade pelo método de primeira ordem e segundo momento se dá através do cálculo da distância a partir do ponto médio até a superfície de ruptura na direção do gradiente a partir do ponto médio. Muitas vezes as variáveis aleatórias possuem distribuições de probabilidades que diferem da normal sendo necessária a transformação sobre as variáveis do espaço físico para o espaço normal-padrão não correlacionado, o qual foi proposto por Hasofer e Lind em 1974 (JUNIOR, 2018). HASOFER & LIND (1974) então propuseram a solução de buscar a menor distância entre o ponto médio e a superfície de ruptura ao invés da busca apenas ao longo da direção do gradiente. Assim, para o caso geral, supondo que a margem de segurança M, agora denominado por G(X), é uma função de variáveis aleatórias X T = {X 1, X 2, X 3, }, assim: M = G(X) = f(x 1, X 2, X 3, ) Tendo as variáveis X 1, X 2, X 3, uma matriz de covariância C, então, o índice de confiabilidade β é definido como:

80 79 β = min G(X)=0 (x E[X])T C 1 (x E[X]) O qual representa a menor distância entre a superfície de ruptura (G(X) = 0) e o ponto médio (E[X]) em unidades de desvios-padrão (Figura ). Figura Índice de confiabilidade segundo HASOFER-LIND (1974) (NOGUEIRA, 2010). O conceito do índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura associados à função de densidade de probabilidade Normal G(X), sendo μ G a média e σ G o desviopadrão, é clarificada na Figura O método é iterativo, sendo realizado resumidamente da seguinte maneira. A cada valor de x i,pertencente a curva G(X) = 0, calcula-se β i. Portanto, o índice de confiabilidade pelo método de HASOFER & LIND (1974) é o mínimo de todos os possíveis valores de β i. Embora existam muitos algoritmos sofisticados para encontrar a menor distância entre a superfície de ruptura (G(X) = 0) e o ponto médio (E[X]), superfícies de ruptura não lineares podem algumas vezes ter múltiplos mínimos locais, o que complica o problema já que não garante a busca pelo mínimo global. Dessa forma optou-se por utilizar a simulação de Monte Carlo pois é uma maneira alternativa e mais confiável de computar probabilidades de ruptura. Embora seja realizada

81 80 em um tempo maior, será empregada neste trabalho, sendo sua metodologia descrita no capítulo Existem padrões aceitáveis de índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura elaborados por instituições, dentre eles, destaca-se o United States Army Corpy of Engineers elaborado em 1999, o qual propôs valores de índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura de acordo com o nível de desempenho esperado para o sistema em análise. A Figura apresenta a relação entre esses fatores. Figura Função densidade de probabilidade de G(x), à esquerda e função de distribuição acumulada de G(x), à direita (MORALES, 2014).

82 81 Figura Índice de confiabilidade versus probabilidade de ruptura (USACE, 1999 apud FLORES, 2008).

83 Avaliação de risco Antes de avaliar o risco de ruptura, particularmente a análise do risco a instabilização do talude, é importante definir alguns conceitos básicos a respeito do risco. Há inúmeras maneiras de definir o risco, porém neste trabalho, será conceituado segundo SILVA et al (2008). O perigo ou hazard refere-se à condição, evento ou atividade que possa apresentar algum grau de risco. O termo risco refere-se ao potencial para a realização de alguma consequência indesejável devido a um determinado perigo, isto é, a probabilidade de um evento com consequências indesejáveis acontecer e a magnitude ou severidade das consequências se este evento acontecer (SILVA; LAMBE; MARR, 2008). O risco pode ser expresso como: Risco = Probabilidade x Consequência Em se tratando de barragens de rejeitos (ÁVILA, 2016): Probabilidade ~ proporcional à altura; Consequência ~ proporcional ao volume; Tendo em vista que a capacidade diária de produção de rejeitos (toneladas) tem aumentado dez vezes a cada 30 anos e que a altura dobra a cada 30 anos, segundo ROBERTSON, 2011 (apud ÁVILA, 2016). Pode-se inferir que: Risco = 2 x 10 = 20 Assim, o risco tende a aumentar 20 vezes a cada 30 anos (ROBERTSON, 2011 apud ÁVILA, 2016). Isso demonstra a importância de se buscar formas de mitigação dos riscos, pois o crescimento dos volumes de rejeitos é inevitável e a demanda por minerais continuará a crescer. Assim é indispensável a redução dos riscos para compensar este crescimento (ÁVILA, 2016). As principais formas de buscar solucionar este problema é através da gestão de riscos e do uso de tecnologias de menor risco para os rejeitos, principalmente para obtenção de rejeitos desaguados, sendo este assunto apresentado no item

84 83 A avaliação de riscos ajuda o engenheiro a entender as incertezas no projeto. Dessa forma, métodos de avalição de riscos fornecem um processo lógico de identificação de perigos, vulnerabilidades, estimativas da severidade e da frequência da ocorrência de cada perigo e avaliação da eficácia das medidas de redução dos riscos. A análise de riscos aplicadas na engenharia geotécnica traz grandes contribuições principalmente porque é impossível a concepção de empreendimentos completamente imunes ao risco. Além disso, como apontado por MORGENSTERN (1995) apud PACHECO & LIMA (1996), a geotecnia apresenta natureza multidisciplinar, envolvendo-se com outras áreas do conhecimento onde a quantificação do risco inerente é obrigatória e observando-se a crescente exigência de órgãos regulamentadores internacionais, seguradoras, agências financiadoras e etc. Por exemplo, a ISO 2394, que se refere aos princípios gerais para a confiabilidade em estruturas, incluiu pela primeira vez em 2015, um anexo - anexo D - o qual discute elementos necessários a realização de um projeto geotécnico baseado em confiabilidade. Embora exista a necessidade de mais avanços em pesquisas nessa área, essa inclusão significa um importante passo para a defesa da necessidade de se desenvolver projetos geotécnicos baseados em confiabilidade. Portanto, é importante que o profissional de geotecnia incorpore em seus procedimentos critérios quantitativos e qualitativos de análise de riscos, pois as técnicas de análises de risco tem se apresentado como ferramentas de potencialidade para a resolução de problemas geotécnicos complexos, conforme mostrados em trabalhos de MORGENSTERN (1995) e WHITMAN (1984). A metodologia da avaliação de risco é mostrada na Figura

85 84 Figura Metodologia para avaliação de riscos (Adaptado de BENDIXEN, 2003 apud SILVA et al., 2008) Probabilidade de rupturas toleráveis Uma vez calculada a probabilidade de ruptura é importante avaliar se este valor é tolerável ou não considerando o tipo de problema. Portanto, a probabilidade de ruptura admissível ou tolerável é função do risco que se queira assumir e das consequências associadas à ruptura. Diversos autores e instituições desenvolveram gráficos para gerenciar o risco em função da probabilidade de ruptura (ou performance insatisfatória) e das consequências como mostrado na Figura , Figura e Figura Esses gráficos são conhecidos como F-N charts pois resumem a relação entre frequências e números de perda de vidas ou alguma outra consequência indesejável, normalmente quantificável por meio de seu custo. No entanto na prática geotécnica é recomendável que esses gráficos sejam usados de uma maneira qualitativa e preliminarmente visto que embora a análise individual do risco possa ser considerada tolerável, em conjunto com outros riscos, a probabilidade combinada poderá não ser tolerável (BEDFORD & COOKE, 2001; EVANS & VERLANDER, 1997; VRIJLING et al.,1995 apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003). EL-RAMLY (2001) destaca que, com relação à análise de estabilidade de taludes, a maior desvantagem destes gráficos é que estes não levam em consideração as condições específicas como geometrias, fontes e níveis de incertezas (profundidades de investigação, variabilidade dos solos, qualidade da construção, etc), instrumentação, de modo que tais critérios podem não ser válidos para qualquer talude.

86 85 Na Figura são mostradas diferentes probabilidades de ruptura toleráveis, de acordo com o tipo de estrutura a ser construída. Pode-se observar que em se tratando de barragens, a probabilidade de 10-4 pode ser tolerável e recomendada a depender das perdas de vidas e custos associados. A Figura mostra o gráfico do risco social proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong Kong. O risco social expressa os riscos a uma população a qual vive próxima a uma instalação potencialmente perigosa (Potentially Hazardous Installation PHI). Uma instalação potencialmente perigosa é uma instalação a qual armazena materiais perigosos em quantidades iguais ou maiores do que uma quantidade limite especificada, a qual varia a depender do tipo de substância. Por exemplo, fábricas de explosivos, terminais de petróleo e gás, entre outros. O gráfico é dividido em três níveis: aceitável, tolerável e inaceitável. Objetivando evitar desastres que resultam em 1000 mortes ou mais, existe uma linha vertical cruzando a quantidade de fatalidades iguais a 1000, sendo considerado tolerável para um evento a cada um bilhão de anos. Este gráfico busca garantir que todas as medidas economicamente e tecnicamente viáveis que possam reduzir os riscos sejam consideradas. A Figura mostra um gráfico, que indica a probabilidade de ruptura por ano versus perdas de vida, produzido pela US Bureau of Reclamation, em que foram incluídos os critérios do ANCOLD (Comitê Nacional Australiano de Grandes Barragens) e do BC Hydro (empresa canadense de eletricidade do estado de British Columbia) para a elaboração de zonas, conforme indicado pela legenda.

87 86 Figura Probabilidade de ruptura toleráveis (BAECHER,1982b apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Figura Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong Kong (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).

88 87 Figura F-N chart elaborado pela US Bureau of Reclamation obtido de um portfólio de barragens (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Como pode ser observado nos gráficos acima, a probabilidade de ruptura está relacionada ao custo e potenciais danos, não há um valor específico para determinar a máxima probabilidade de ruptura, embora haja um consenso de que sejam mantidas probabilidades de ruptura inferiores ou iguais a 10-5 para satisfazer condições aceitáveis de risco.

89 Níveis de desempenho para projeto baseado em confiabilidade De acordo com FENTON & GRIFFITHS (2008), projetos baseados em confiabilidade podem ser desenvolvidos em três diferentes níveis: Nível 1: Através de uma abordagem semi-probabilística onde o projeto é baseado em valores de cálculos. Esse nível é baseado no uso de fatores parciais (Load and Resistance Factor Design). Através desse princípio aplicam-se fatores parciais de majoração para as diferentes cargas e minoração para as resistências e que depois serão comparadas. Nível 2: Através de uma análise probabilística aproximada, levando em consideração a distribuição de probabilidades de solicitações e de resistências. No entanto algumas simplificações são feitas, como, solicitações e resistências são considerados independentes e os seus respectivos parâmetros são considerados como variáveis aleatórias simples. Nível 3: Através de uma análise probabilística mais sofisticada na qual a resistência do solo é modelada usando campos aleatórios (estocásticos) variáveis no espaço-tempo. Dependendo do escopo do projeto geotécnico, as solicitações podem ser assumidas como campos aleatórios (estocásticos) variáveis no espaço-tempo (por exemplo, vento, terremotos entre outras solicitações dinâmicas). Esse tipo de análise é complexa e usualmente resolvida por simulação de Monte Carlo combinada ao método de elementos finitos levando em consideração a variabilidade espacial e, possivelmente, temporária dos parâmetros envolvidos. Neste trabalho, a análise de confiabilidade será realizada considerando o nível de desempenho 2 para a análise de estabilidade de talude, devido a maior simplicidade deste nível e dada as limitações observadas no problema em estudo, inclusive a limitada quantidade de dados provenientes de ensaios de palheta no local estudado, visto ao tamanho da área do depósito de resíduos.

90 Tomada de decisão baseada em risco Uma das maiores preocupações em um projeto de engenharia é como tomar as melhores decisões para o projeto em face das incertezas existentes. Uma maneira de se fazer isso é expressando a perda ou o benefício em termos monetários, visto que o sistema é função de diversas variáveis. Dessa forma, algumas medidas dessa função são minimizadas ou maximizadas para determinar o melhor conjunto de variáveis de projeto, a fim de se obter o menor custo e a máxima confiabilidade. (FENTON; GRIFFITHS, 2008). Entretanto, ainda existem os riscos denominados intangíveis, os quais são ignorados ou não são levados em conta pelas empresas devido à falta de capacidade em identifica-los corretamente mas que apresentam probabilidade de ocorrência de 100%. Por exemplo, a qualidade de gestão, motivação dos profissionais, reputação e marca, relacionamento com as comunidades do entorno (responsabilidade social), gestão ambiental, práticas de governança, entre outros. A criação de valor imediata é potencializada através da identificação destes riscos e sua gestão correta. De modo a determinar qual a melhor alternativa levando em conta que os resultados são incertos, as probabilidades associadas às consequências devem ser estimadas e o processo decisório associado deve seguir uma metodologia de avaliação de riscos (FENTON; GRIFFITHS, 2008). A avaliação de riscos é relacionada a algum perigo, por exemplo, inundações, deslizamentos de terra, liquefação, entre outras ameaças. Suponhamos que o perigo seja denotado pela letra H. Seja H i o evento no qual o perigo H alcança o nível i, tendo uma probabilidade de ocorrência P[H i ]. Seja D jk o evento que um nível de dano j acontece em uma área (ou a pessoas, estruturas) k. Esse nível de dano terá uma probabilidade de ocorrência que dependerá do nível de perigo alcançado H i, isto é P[D jk H i ]. Dessa forma se o evento, D jk acontecer, o custo resultante será denotado por E jk, assim o custo total do dano para a área k será denotado por E k. Se A l é a l-gésima alternativa tendo um custo fixo B l, o custo total de A l, incluindo possíveis danos será C l. Portanto as quantidades definidas anteriormente são representadas por: Probabilidade de que um dano j aconteça na área k:

91 90 P[D jk ] = P[D jk H i ] P[H i ] i Custo esperado do dano na área k (considerando o somatório de todos os danos possíveis): E[E k ] = E jk j P[D jk ] = E jk j P[D jk H i ] P[H i ] i Custo esperado de projeto tendo em vista a alternativa l (considerando o somatório de todas as áreas: E[C l ] = B l + E[E k ] = B l + E jk j k j P[D jk H i ] P[H i ] i Entretanto, neste trabalho o enfoque será dado apenas a avaliação da probabilidade de ruptura baseando-se na teoria da probabilidade. O objetivo de incluir esse tópico é mostrar como a análise de confiabilidade permite meios de conduzir a uma avaliação de risco mais eficiente. Embora existam diversas abordagens para a avaliação da probabilidade de ruptura baseando-se na teoria da probabilidade, desde formulações analíticas exatas, métodos analíticos aproximados e métodos de simulação, neste estudo o enfoque será dado ao método das estimativas pontuais, considerado um método analítico aproximado, e o método de simulação de Monte Carlo Análise probabilística de estabilidade de talude Os procedimentos probabilísticos existentes para a análise de estabilidade de taludes variam conforme suas limitações, hipóteses, capacidade em lidar com problemas complexos e complexidades matemáticas (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN, 2002). No entanto, a maior parte dos procedimentos probabilísticos recaem sobre os métodos aproximados (como o método de primeira ordem e segundo momento, em inglês, first order second moment (FOSM), método de confiabilidade de primeira ordem, em inglês, first order reliability moment (FORM), o método das estimativas pontuais) e o

92 91 método de simulação de Monte Carlo (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN, 2002). Uma das maiores desvantagens do método de primeira ordem e segundo momento se refere ao computo da probabilidade de ruptura, como mostrado por DITLEVSON (apud FENTON & GRIFFITHS, 2008), pois pode resultar em diferentes probabilidades de ruptura para o mesmo problema, quando apresentado em maneiras diferentes, embora equivalentes. Enquanto que uma das maiores desvantagens do método de confiabilidade de primeira ordem, é que superfícies de ruptura não lineares podem ter múltiplos mínimos locais, com relação ao ponto médio, acarretando em complicações para o problema estudado. Portanto, neste trabalho foram utilizados apenas dois métodos probabilísticos. O primeiro, o Método de Simulação de Monte Carlo, e o segundo, o Método das Estimativas Pontuais. As metodologias de cada um deles serão discutidas a seguir Simulação de Monte Carlo A simulação é um processo pelo qual se produz uma quantidade razoável de replicações referentes a um problema real no intuito de estudar a natureza probabilística das respostas referentes a este problema real (FENTON; GRIFFITHS, 2008). O método de Monte Carlo ou Método de Simulação de Monte Carlo é um dos métodos mais utilizados para a análise de confiabilidade, sendo empregado em diversos problemas de engenharia. É um método que envolve a geração de um grande número de valores aleatórios para cada variável aleatória de entrada e tem sido empregado para estudar sistemas estocásticos e determinísticos. Existem diversas aplicações referentes ao primeiro caso, isto é, para simulação de processos fundamentalmente estocásticos, a engenharia de tráfego, por exemplo, se utiliza dessa ferramenta para diversos estudos há muitos anos. Enquanto que o segundo caso é aplicável a problemas que não são inerentemente estocásticos, mas que podem ser solucionados pela simulação através de variáveis aleatórias (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). O método de simulação de Monte Carlo é uma ferramenta poderosa porque pode ser aplicável a casos em que há muitas variáveis independentes ou quando a função a ser

93 92 integrada é fortemente não linear, tornando difícil determinar a divisão da região da integração eficientemente (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). A metodologia desta simulação se dá da seguinte maneira. Para cada variável aleatória, é gerado um valor aleatório e, então, o procedimento de cálculo é realizado, gerando uma solução baseada neste conjunto de valores aleatórios. Descreve-se assim, o processo para uma amostra. A partir de então, o processo é repetido por diversas vezes, obtendo-se muitas amostras do processo. À medida que um grande número de iterações se completam, acumula-se uma distribuição estatística e assim obtém-se valores para média, desvio-padrão e outros parâmetros estatísticos (BAECHER; CHRISTIAN, 2003). Para exemplificar o que foi exposto anteriormente, considere o seguinte problema: Determinar a probabilidade de ruptura (PR) de um sistema que apresenta duas variáveis aleatórias: X 1 e X 2, e a resposta desse sistema a esses dados de entrada é uma função g(x 1, X 2 ), também aleatória. Assumindo que a falha desse sistema irá acontecer sempre que g(x 1, X 2 ) < 1,0. Assim no espaço dos valores de (X 1, X 2 ) haverá alguma região a qual g(x 1, X 2 ) < 1,0, como ilustrado na Figura Dessa forma, o problema consiste em avaliar a probabilidade de que determinados valores para (X 1, X 2 ), aplicados nesta função, caiam na região de falha. O que se busca determinar, matematicamente, é a probabilidade de ruptura (PR), onde: PR = P[g(X 1, X 2 ) < 1,0] Se, por exemplo, as variáveis X 1 e X 2 seguem uma distribuição lognormal, em termos dessa distribuição conjunta, a probabilidade de ruptura será expressa (em termos da função de densidade de probabilidade conjunta) por: PR = f X1 X 2 (x 1, x 2 )d x1 d x2 x 2 F x 1 F Onde F se refere a região de falha. Como a distribuição lognormal não tem integral fechada, portanto, a equação acima deverá ser avaliada numericamente. Uma maneira alternativa simples de avaliá-la é simular aleatoriamente uma sequência de pares (X 1, X 2 ) aplicados na função de falha g(x 1, X 2 ) para checar se o resultado é maior ou menor que 1,0. Assim, se x 1i e x 2i são a iésima iteração de X 1 e X 2, sendo i = 1,2,3, n, então, pode-se definir:

94 93 I = { 1 se g(x 1i, x 2i ) < 1,0 0 se g(x 1i, x 2i ) > 1,0 } Para cada i, a estimativa de PR será dada por: n PR = 1 n I i i 1 Assim, a probabilidade de ruptura (PR) é obtida pelo número de ocorrências de uma determinada resposta (g(x 1i, x 2i ) < 1,0) pelo número total de ocorrências. É importante destacar que o número de iterações necessárias é muito influenciado pela quantidade de variáveis aleatórias e suas variâncias. Para eventos de baixa probabilidade de ocorrência, esta influência se torna maior. Portanto, nestes casos, quanto maior o número da quantidade de iterações, menor é o erro obtido na análise (FLORES, 2008). A Figura ilustra esta situação. Como se pode observar pela Figura quanto maior a quantidade de iterações, melhor é o nível de acurácia da simulação. Tendo em vista que a precisão deste método está, muitas vezes, relacionada a um número de amostras muito grande, seu uso pode se tornar inviável, já que requer um grande esforço computacional. (MORALES, 2014). Figura Região de falha e região segura no plano(x 1, X 2 ). (Adaptado de FENTON & GRIFFITHS, 2008).

95 94 Figura Convergências da simulação de Monte Carlo para n simulações (BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Muitos problemas geotécnicos tratam-se de problemas estocásticos, os quais requerem hipóteses simplificadoras para a obtenção de soluções exatas. A abordagem de problemas desse tipo é melhor através de simulação (FENTON; GRIFFITHS, 2008). Assim, a simulação possibilita a investigação mais realista de problemas geotécnicos, produzindo distribuições probabilísticas da variável de interesse. Em se tratando da análise de estabilidade de talude, o método de Monte Carlo é eficiente neste tipo de problema, pois a avaliação analítica para a estimativa do sistema de desempenho (que neste caso é o fator de segurança - FS) é considerada matematicamente complexa. Para este trabalho a metodologia funcionou da seguinte maneira. Primeiramente foram selecionados os métodos de análise de estabilidade de talude, neste caso, Bishop simplificado, Spencer e Morgenstern-Price e foram escolhidos os parâmetros a serem modelados probabilisticamente (correspondendo aos seus valores médios e desviospadrão) e as distribuições gaussianas correspondentes a esses parâmetros. Através da utilização de um gerador de números randômicos normalizados, determina-se um valor randômico para cada variável de entrada com base na sua respectiva distribuição de probabilidades. A partir desses valores resolve-se a função de desempenho (neste caso, fator de segurança, FS), considerando a busca pela superfície crítica em todo o talude. O processo se repete, pelo número de vezes em que se deseja realizar, para então ser construída a distribuição de frequências do FS. Obtêm-se assim suas principais

96 95 características: FS médio, probabilidade de ruptura (PR) do talude e índice de confiabilidade (β) Método das Estimativas Pontuais ou Método de Rosenblueth O método das estimativas pontuais é um método simples e aproximado para determinar os três primeiros momentos (a média, variância e assimetria) de uma variável dependente de uma ou mais variáveis aleatórias. Pode-se dizer que ele é um método de média ponderada remanescente de fórmulas de integração numérica envolvendo pontos de amostragem e parâmetros de ponderação (FENTON; GRIFFITHS, 2008). O método de estimativas pontuais busca substituir uma função de densidade de probabilidade contínua por uma função discreta que tenha os três primeiros momentos centrais: média μ, variância σ² e assimetria ν (FENTON; GRIFFITHS, 2008). Este método também é conhecido como Método de Rosenblueth, nome este referente ao criador do método, cujo desenvolvimento se deu no ano de 1975 e com adaptações em Segundo BAECHER & CHRISTIAN (2003), este método é considerado atualmente um dos métodos mais importantes de análises de confiabilidade geotécnica. É importante destacar que este método não exige conhecimento a respeito da forma da função densidade de probabilidade das variáveis aleatórias de entrada e também não leva em consideração a correlação espacial entre elas (FENTON; GRIFFITHS, 2008). A seguir serão apresentadas as etapas para implementação do método das estimativas pontuais adaptado de FENTON & GRIFFITHS (2008). Primeiramente determinam-se as relações entre a variável dependente Y e as variáveis aleatórias X 1, X 2,...etc, de maneira a obter os valores de média μ e desviopadrão σ correspondentes a cada relação X i e Y. Para cada variável de entrada: X 1, X 2,...etc, são calculados os locais de dois pontos de amostragem através de duas unidades de desvios-padrão: ξ Xi + e ξ Xi. Para esse cálculo, leva-se em consideração a assimetria ν, conforme equação abaixo:

97 96 ξ Xi + = 1 2 ν X i ( ν X i ) ξ Xi = ξ Xi + ν Xi A partir dos valores encontrados para ξ Xi + e ξ Xi, pode-se estimar os dois pontos da amostragem. A Figura ilustra a localização dos pontos de amostragem a partir da etapa mostrada acima. Se a função depende de n variáveis, então haverá 2 n pontos de amostragem correspondentes a todas as combinações de dois pontos de amostragem para cada variável. Por exemplo, se considerarmos duas variáveis aleatórias: X 1 e X 2, tem-se, portanto, quatro pontos de amostragem: (μ X1 + ξ X1+ σ Xi, μ X2 + ξ X2+ σ X2 ) (μ X1 + ξ X1+ σ Xi, μ X2 ξ X2 σ X2 ) (μ X1 ξ X1 σ Xi, μ X2 + ξ X2+ σ X2 ) (μ X1 ξ X1 σ Xi, μ X2 ξ X2 σ X2 ) Caso a assimetria ν seja ignorada ou assumida como zero: ξ X1+ = ξ X1 = ξ X2+ = ξ X2 = 1 Dessa forma os quatro pontos de amostragem serão: (μ X1 + σ Xi, μ X2 + σ X2 ) (μ X1 + σ Xi, μ X2 σ X2 ) (μ X1 σ Xi, μ X2 + σ X2 ) (μ X1 σ Xi, μ X2 σ X2 ) Dessa forma cada variável aleatória tem pontos localizados a menos e mais um desvio-padrão da média. A Figura ilustra as quatro estimativas pontuais no plano 2D para o exemplo mostrado anteriormente enquanto a Figura ilustra o mesmo caso, no entanto, para o plano 3D.

98 97 Determinam-se então os pesos de probabilidade, P Xi, para cada um dos 2 n pontos estimados. Como a área da função densidade de probabilidade representa uma unidade, assim os pesos de probabilidade somados devem dar uma unidade (FENTON; GRIFFITHS, 2008). Para a determinação dos pesos de probabilidade P Xi também é considerada a correlação que pode existir entre duas ou mais variáveis aleatórias. Por exemplo, o peso de probabilidade para a variável X 1 é : P X1 + = ξ X1 ξ X1+ + ξ X1 P X1 = 1 P X1 + Caso a variável X 1 não apresente assimetria ν e, ξ X1+ = ξ X1 = 1. Portanto, podese concluir que: P X1 = P X1 + = 0,5 Segundo BAECHER & CHRISTIAN (2003), se existem n variáveis sem assimetria ν, então os 2 n pontos são escolhidos para incluir todas as possíveis combinações tendo cada variável um desvio padrão acima ou abaixo da média. Dessa forma, para serem obtidos os pesos de probabilidade P Xi, levando em conta o coeficiente de correlação ρ Xi X j correspondente a variável X i e X j tem-se: n 1 n P s1 s 2 s n = 1 2 n [1 + s is j ρ Xi X j ] i=1 j=i+1 Sendo s i = +1 para pontos maiores que a média e s i = 1 para pontos menores que a média. O sobescrito do peso de probabilidade P Xi indica o local do ponto que está sendo ponderado. Finalmente, determina-se o valor da variável dependente para cada estimativa pontual. No exemplo apresentado há quatro estimativas pontuais, portanto quatro valores a serem determinados para a variável dependente: Y 1, Y 2, Y 3 e Y 4.

99 98 Com os resultados obtidos para a variável dependente e os pesos de probabilidade das estimativas pontuais P Xi é possível estimar os três primeiros momentos: média μ Y, variância σ Y 2 e assimetria ν Y da variável dependente, conforme: 2 n μ Y = E[Y] P i Y i i=1 2 n 2 n σ 2 Y = E[(Y μ Y ) 2 ] P i (Y i μ Y )² = P i Y i ² μ Y ² i=1 i=1 2 n 2 n ν Y = E[(Y μ Y )3 ] σ Y σ P i(y i μ Y )³ = 1 3 Y σ P 3 iy i 3μ Y P i Y i ² + 2μ Y ³ Y i=1 i=1 Figura Estimativas Pontuais para a variável aleatória X 1 a qual apresenta assimetria (Adaptado de FENTON & GRIFFITHS, 2008).

100 99 Figura Estimativas pontuais e probabilidades para duas variáveis sem assimetria X 1 e X 2 (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Figura Plano 3D mostrando as quatro estimativas pontuais quaisquer e seus respectivos pesos provenientes de duas variaveis aleatórias quaisquer.(fenton; GRIFFITHS, 2008).

101 CASO ESTUDADO 3.1. Considerações iniciais O objetivo do presente trabalho é estudar o comportamento, em termos de estabilidade global, de talude de uma barragem de rejeito em função de métodos determinísticos e probabilísticos. Tanto nos métodos determinísticos quanto nos métodos probabilísticos, os parâmetros de resistência do material do rejeito são baseados no tratamento estatístico de dados de ensaios de palheta realizados no material do rejeito, em diversas partes do depósito, e que foram estimados pela regressão linear. A avaliação da estabilidade global do talude pelo método determinístico é feita de duas formas, utilizando os valores médios dos parâmetros de resistência dos materiais presentes na seção, sendo que os parâmetros de resistência do material do rejeito são provenientes da reta de regressão, e a segunda forma, mantendo-se os mesmos valores médios para o material de fundação e para o aterro do dique, porém, os parâmetros de resistência do material do rejeito foram estabelecidos levando em consideração o critério semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 Estabilidade de Encostas. Para a análise probabilística foram considerados dois métodos probabilísticos: Simulação de Monte Carlo e Método das Estimativas Pontuais (Método de Rosenblueth) em ambos baseando-se no tratamento estatístico dos dados dos ensaios de palheta do material do rejeito através da análise de regressão linear para obtenção das estimativas dos parâmetros de resistência deste material. Em seguida, é realizada uma análise comparativa entre os resultados encontrados pelos dois métodos probabilísticos, entre os resultados encontrados pelos dois métodos determinísticos e entre as abordagens probabilísticas e determinísticas. O depósito de resíduos de mineração em estudo está localizado no estado do Pará, região Norte do Brasil, sendo limitado por diques de aterro compactado e apresentando impermeabilização interna e constituído por resíduo sólido. O depósito tem perímetro de aproximadamente 6,5km e área de aproximadamente 2 milhões de metros quadrados. A seção transversal apresenta declividade média de 7% e aproximadamente 44m de espessura de resíduo sólido na parte mais alta, enquanto na parte mais baixa, próximo ao dique, o resíduo sólido apresenta aproximadamente 13m de espessura. A crista do dique possui 3,5m de largura. O aterro compactado do dique apresenta 3 bermas à

102 101 montante e 1 berma à jusante do dique. A Figura ilustra a seção transversal do depósito em estudo enquanto a apresenta o detalhe do dique e das bermas. 44m ~ 616m 13 m Figura Seção transversal do depósito de resíduos do estudo. Figura Detalhe do dique e bermas. Ressalta-se que esta seção foi considerada crítica, com relação a todo o depósito, devido às condições de sua geometria, tais como, maior espessura da camada do resíduo sólido e presença de superfícies irregulares no rejeito e níveis freáticos mais elevados observados nos ensaios de campo nas proximidades da seção escolhida Motivações para o uso da abordagem probabilística à análise de estabilidade do depósito de rejeitos do estudo O depósito de rejeitos em estudo apresentou variações de sua estrutura devido a diversos aspectos, principalmente, correspondentes à sequência construtiva, histórico de alteamento, condições operacionais dos equipamentos e variações climáticas sazonais. Consequentemente, as propriedades mecânicas do depósito apresentam variações elevadas, de maneira a classificá-lo como heterogêneo em relação a sua resistência não drenada Su, embora o rejeito em si apresente composição e distribuição granulométrica aproximadamente invariável. Deste modo, a abordagem probabilística para a análise de estabilidade, neste caso, é de suma importância, pois permite considerar a variabilidade da resistência não drenada (Su) do rejeito. Dessa forma, a abordagem probabilística é capaz de dar subsídios relevantes para a avaliação da estabilidade global da seção do depósito em estudo, a qual foi considerada a mais crítica do depósito de rejeitos.

103 102 O rejeito apresenta-se como condicionante, quase que em sua totalidade, da segurança do aterro devido a sua grande espessura e porque os dados coletados por meio de ensaios de palheta não atingiram as camadas do solo de fundação, visto que as profundidades dos ensaios variaram entre 6m e 18m, sendo as maiores profundidades mais próximas ao platô (parte mais alta da seção). Dessa maneira, como pode ser confirmada pela Figura 3.1.1, apenas a camada de rejeito foi atingida. Portanto, as variáveis aleatórias do problema são referentes à resistência não drenada do rejeito. Já os parâmetros do material de fundação e do aterro compactado (dique) foram provenientes de ensaios de laboratório, porém não foram objetos de tratamento estatístico nesse estudo. Assim, para o material de fundação e do aterro foram considerados seus perfis sendo homogêneos e portanto, parâmetros geotécnicos determinísticos Parâmetros geotécnicos adotados Parâmetros probabilísticos Para as análises probabilísticas considerou-se apenas a resistência não drenada (Su) do rejeito como variável, obtida por meio de ensaios de palheta realizados em todo o depósito. No total, foram realizados 36 ensaios de palheta, provenientes de 6 verticais em diversos locais do depósito. As profundidades ensaiadas variaram de 2,0m a 18,0m. A Figura , baseada nos 36 ensaios de palheta, apresenta a resistência não drenada, Su (kn/m²) versus profundidade (m), já na Tabela são exibidos os valores de Su (kn/m²) em suas respectivas profundidades ensaiadas. A partir destes dados foi realizada uma regressão linear a fim de obter-se a reta de melhor ajuste para a determinação da resistência não drenada (Su) com a profundidade. A Figura mostra a reta da regressão juntamente com os dados dos ensaios de palheta. As incertezas da reta de regressão podem ser representadas por dois tipos de limites de confiança: os limites de confiança da reta de regressão e os limites de confiança dos pontos individuais, conforme vistos no item da revisão bibliográfica. Para a determinação dos limites superior e inferior da reta média (reta de regressão) e dos limites superior e inferior dos pontos individuais utilizou-se uma distribuição normal com 95% de confiança, tendo em vista o item no qual comenta que a distribuição Normal é indicada, já que o número de amostras N é maior que 30, conforme apresentado no item da revisão bibliográfica.

104 103 A Figura apresenta os quatro limites de confiança, referentes à reta média e aos pontos individuais, além dos dados dos ensaios de palheta e a reta de regressão, onde pode-se observar que as incertezas mais convenientes para aplicação na análise são as incertezas da reta média, já que as incertezas para os pontos individuais (a reta inferior dos pontos individuais) apresentam valores negativos. Os procedimentos utilizados para obtenção destes limites foram apresentados no item do presente trabalho. Com os resultados da regressão linear e considerando-se as incertezas da reta de regressão (limite inferior da reta média), foi possível obter as informações necessárias do rejeito, isto é, valores médios e desvios-padrão dos parâmetros de resistência não drenada do rejeito, para a realização da análise probabilística da estabilidade global do talude da seção em estudo. A Tabela resume estas informações. Tabela Dados dos ensaios de palheta realizados. Prof (m) Su (kn/m²) VT 1 VT 2 VT 3 VT 4 VT 5 VT 6 1,00 2,00 34,50 89,96 97,12 39,10 16,10 3,00 19,68 37,06 16,87 4,00 55,71 20,45 32,46 39,36 19,94 17,89 5,00 32,46 11,76 6,00 60,82 37,57 87,41 56,23 50,09 19,17 7,00 42,17 31,95 8,00 79,74 59,55 49,84 9,00 10,00 64,40 42,17 54,44 11,00 12,00 71,05 81,79 13,00 14,00 112,45 79,74 15,00 16,00 93,54 17,00 18,00 112,20

105 104 Figura Resistências não drenadas, Su (kn/m²) provenientes dos ensaios de palheta. Figura Reta de regressão e dados de ensaios de palheta.

106 105 Figura Limites superiores e inferiores da reta média (regressão linear) e dos pontos individuais. Tabela Valores médios e desvios-padrão dos parâmetros de resistência não drenada (Su) com a profundidade do rejeito. Parâmetros médios da reta da regressão Desvios-padrão dos parâmetros médios da reta de regressão μ a (Su médio) μ b (Variação de Su por metro) σ a (Desvio-padrão de Su) σ b (Desvio-padrão da variação de Su por metro) 22,52 kn/m² 4,35 kn/m³ 7,13 kn/m² 0,90 kn/m³

107 Parâmetros determinísticos Neste estudo, as análises probabilísticas da estabilidade do depósito são feitas considerando como variáveis aleatórias aquelas que contribuem para a incerteza do FS, que neste caso se referem aos parâmetros da resistência não drenada do rejeito. O foco deste estudo é a análise de estabilidade do depósito levando em conta as incertezas dos parâmetros de resistência não drenada do rejeito, visto que este material apresenta características mais variáveis, conforme explicitadas no item Assim, os parâmetros para a fundação e para o aterro foram definidos deterministicamente, tendo em vista que também estes parâmetros foram obtidos de relatório de projeto já consolidado e que não constava as incertezas ou tratamentos estatísticos para o material de fundação e do aterro. A Tabela apresenta os parâmetros da fundação e do aterro. Tabela Parâmetros da fundação e do aterro Material Peso específico (kn/m³) Coesão (kpa) Ângulo de atrito (º) Fundação 18,5 5,0 28 Aterro compactado 19,5 5, ANÁLISES DE RESULTADOS No presente trabalho, as análises determinísticas e probabilísticas da estabilidade da seção do depósito em estudo foram realizadas para a condição normal de operação e utilizando o programa computacional Slide versão 6.0. O Slide é uma ferramenta de análise de estabilidade de taludes 2D da empresa Rocscience. Seu uso permite a aplicação de diversos métodos para a análise da estabilidade, e neste trabalho são utilizados os métodos de Bishop simplificado, Spencer, Morgenstern- Price, conforme metodologias apresentadas no item Com relação às análises probabilísticas, é possível aplicar pelo Slide a simulação de Monte Carlo, cuja metodologia é apresentada no item Análise determinística da estabilidade da seção do depósito em estudo Foram realizadas duas análises determinísticas da seção em estudo para a condição normal de operação.

108 107 A análise determinística 1 foi realizada considerando-se os valores médios os quais resultaram da reta de regressão e que constam na Tabela A análise determinística 2 foi feita a partir do critério semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 Estabilidade de Encostas para as estimativas dos parâmetros de resistência do material do rejeito, e que leva em consideração a análise de regressão linear apresentada no item e que será melhor descrito no item Análise determinística 1 Os parâmetros dos materiais contidos na seção analisada do depósito estão exibidos na Tabela e na Tabela A localização do nível d água (NA) foi definida conforme os ensaios de campo realizados próximos à seção do depósito em estudo. Foram utilizados os métodos de Bishop simplificado, Morgenstern-Price e Spencer para a análise determinística 1. Tabela Parâmetros da fundação e do aterro compactado (dique). Material Peso específico (kn/m³) Coesão (kpa) Ângulo de atrito (º) Fundação 18, Aterro compactado 19, Tabela Parâmetros do resíduo. Resistência não drenada (Su) Material Su (kpa) Variação de Su com a profundidade. (kpa/m) Resíduo 22,52 4,35 Pela análise determinística 1, o valor encontrado para o fator de segurança pelo método de Bishop simplificado foi de 2,247 e a Figura mostra a superfície potencial crítica da seção do talude para a condição analisada (operação normal).

109 108 Figura Superfície potencial de ruptura determinística 1 da seção do depósito em estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 2,247. Figura Superfície potencial de ruptura crítica determinística 1 pelo método de Morgenstern-Price à esquerda (FS = 2,248) e pelo método de Spencer à direita (FS = 2,246) da seção do depósito em estudo. Os métodos de Spencer e Morgenstern-Price apresentaram superfícies potenciais de rupturas críticas circulares similares à superfície potencial de ruptura crítica obtida

110 109 pelo método de Bishop simplificado, como mostrado na Figura A Tabela apresenta os fatores de segurança encontrados pelos métodos citados. Tabela Fatores de segurança encontrados na análise determinística da estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos. Análise determinística 1 Método FS Bishop simplificado 2,247 Spencer 2,246 Morgenstern-Price 2,248 Pelos resultados apresentados na Tabela pode-se observar que os fatores de segurança encontrados foram praticamente idênticos, apresentando variações apenas na terceira casa decimal, e estão acima do fator de segurança mínimo definido na norma brasileira para essa condição, conforme apresentado no item 1.1. Deste modo, pela análise determinística 1 de estabilidade do talude pelos métodos utilizados, considerando-se os valores médios para os parâmetros do rejeito, o depósito é considerado estável. Além disso, observa-se que a superfície potencial de ruptura crítica passa apenas pelo material do rejeito sem atingir a fundação do depósito demonstrando que o rejeito é, de fato, o material condicionante da estabilidade do talude Análise determinística 2 A análise determinística 2 de estabilidade da seção do depósito foi realizada levando-se em consideração a análise de regressão linear e seus limites de confiança devido as incertezas. Tendo em vista que os limites dos pontos individuais não apresentam sentido físico coerente (valores negativos), estes não foram levados em consideração para a escolha dos parâmetros do rejeito. No entanto, os limites da média, considerando-se níveis de confiança de 95%, proporcionaram resultados mais coerentes. Dessa forma, partindo-se da abordagem semiprobabilística, utilizou-se para a resistência não drenada Su (coeficiente linear da

111 110 reta) o limite inferior da reta média, tendo este o valor de 8,26 kpa, embora o coeficiente angular da reta tenha o mesmo valor obtido da regressão linear, isto é, 4,35kPa/m. Esta consideração tem como base o critério estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 Estabilidade de Encostas. Estes parâmetros constam na Tabela a seguir. Tabela Parâmetros do resíduo. Resistência não drenada (Su) Material Su (kpa) Variação de Su com a profundidade. (kpa/m) Resíduo 8,54 4,35 A localização do nível d água (NA) foi definida da mesma forma que anteriormente, conforme os ensaios de campo realizados próximos à seção do depósito em estudo. Utilizaram-se os métodos de Bishop simplificado, Morgenstern-Price e Spencer para a análise determinística 2. Os resultados encontram-se a seguir.

112 111 Figura Superfície potencial de ruptura determinística 2 da seção do depósito em estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 1,479. Figura Superfície potencial de ruptura crítica determinística 2 pelo método de Morgenstern-Price à esquerda (FS = 1,480) e pelo método de Spencer à direita (FS = 1,480) da seção do depósito em estudo.

113 112 Os métodos de Spencer e Morgenstern-Price apresentaram superfícies potenciais de rupturas críticas circulares similares a superfície potencial de ruptura crítica pelo método de Bishop simplificado, como mostrado na Figura A Tabela apresenta os fatores de segurança encontrados pelos métodos citados. Tabela Fatores de segurança encontrados na análise determinística 2 da estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos. Análise determinística 2 Método FS Bishop simplificado 1,479 Spencer 1,480 Morgenstern-Price 1,480 Estes resultados embora estejam dentro dos limites definidos pelas normas brasileiras para a condição de operação, conforme mostrados no item 1.1 apresentam-se no limite ao que é exigido. Da mesma forma que anteriormente, observa-se que a superfície potencial crítica de ruptura passa apenas pelo material do rejeito sem atingir a fundação do depósito demonstrando que o rejeito é o material condicionante da estabilidade do talude. Através da análise determinística 2 de estabilidade do talude, o depósito é considerado estável Análise probabilística da estabilidade da seção de estudo As variáveis aleatórias correspondentes ao material do rejeito, ou seja, os parâmetros estatísticos da reta representativa da resistência não drenada (Su) com a profundidade foram implementadas no programa computacional Slide versão 6.0. A figura x apresenta a tela de entrada de dados do Slide.

114 113 Figura Tela de entrada de dados estatísticos para os materiais existentes da seção do talude em estudo no Slide. Os métodos de estabilidade utilizados foram o de Bishop simplificado, Spencer e Morgenstern-Price e a análise probabilística baseou-se na simulação de Monte Carlo e no método das Estimativas Pontuais Simulação de Monte Carlo Na simulação de Monte Carlo é possível obter a distribuição probabilística da variável dependente, que neste caso é o fator de segurança. Para isso são necessárias as distribuições estatísticas das variáveis aleatórias independentes, e que neste caso, se referem aos parâmetros a e b da reta representativa da resistência não drenada do resíduo com a profundidade, já que se pretende analisar a variabilidade dos parâmetros geotécnicos correspondentes ao resíduo. Através da simulação de Monte Carlo é possível quantificar as incertezas da variabilidade dos parâmetros geotécnicos de modo a determinar a probabilidade de ruptura (PR) e o índice de confiabilidade (β), conforme apresentados no item 2.3.5, permitindo-se uma melhor avaliação do talude em questão. Para a análise probabilística através da simulação de Monte Carlo, foram consideradas distribuições normais para os parâmetros a e b da reta representativa da resistência não drenada (Su) com a profundidade. Segundo Baecher & Christian (2003) a

115 114 hipótese de que estes parâmetros tendem a ter uma distribuição estatística normal é aceitável, tendo em vista da ausência de informações adicionais a respeito e pelo fato desta hipótese ser a favor da segurança, visto o que foi apresentado no capítulo Os dados estatísticos fornecidos ao programa são a média, o desvio padrão e os valores relativos máximos e mínimos para cada variável, ou seja, distâncias com relação aos valores médios e que dependem do nível de confiança adotado. Usualmente se utiliza dois ou três desvios-padrão, conforme estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 Estabilidade de Encostas. Portanto, para esta análise foi considerado dois desvios-padrão para a variação dos valores relativo máximo e mínimo. Estes dados estatísticos estão apresentados na Tabela Ressalta-se que, neste trabalho, as variáveis aleatórias correspondem apenas ao resíduo, sendo, portanto a fundação e o aterro compactado apresentados com seus valores determinísticos e que, por isso, na Tabela os valores determinísticos estão sendo descritos como tendo distribuições uniformes. Tabela Dados estatísticos dos materiais presentes na seção de estudo. Material Parâmetro Distribuição Média Desvio Padrão Mínimo Relativo Máximo Relativo Rejeito Su (kpa) Normal 22,52 7,13 13,98 13,98 Su/m (kpa/m) Normal 4,35 0,90 1,76 1,76 γ (kn/m³) Uniforme 17, Fundação γ Uniforme 18, φ Uniforme 28º c Uniforme 5, Aterro Compactado γ Uniforme 19, φ Uniforme 27º c Uniforme 5,

116 115 A probabilidade de ruptura (PR) é calculada pelo quociente entre o número de análises que resultam em fator de segurança menor que 1 e o número total de análises, de acordo com a seguinte equação: PR = número de análises FS < 1 X 100% número total de análises realizadas O índice de confiabilidade é calculado assumindo-se que os valores do fator de segurança possuem uma distribuição normal ou uma distribuição lognormal. Dessa forma, o índice de confiabilidade para a distribuição normal é: β = μ FS 1 σ FS Onde: β = Índice de confiabilidade ou Reliability Index (RI); μ FS = Fator de segurança médio; σ FS = Desvio-padrão do fator de segurança. Enquanto para uma distribuição lognormal o índice de confiabilidade é calculado da seguinte forma: β = μ ln [ 1 + V(FS)² ] ln[1 + V(FS)²] No programa Slide é possível realizar a análise probabilística para duas opções Global Minimum e Overall Slope. A primeira opção consiste na realização da análise probabilística apenas na superfície crítica encontrada pelo método determinístico, chamada de superfície mínima global, e, portanto, a superfície crítica independe dos valores do conjunto de dados de entrada da análise probabilística, já que já é arbitrado que a superfície potencial de ruptura é a mesma do método determinístico. Essa opção

117 116 requer menos esforço computacional, pois a análise probabilística é realizada apenas na superfície crítica encontrada pelo método determinístico. Para a segunda opção, Overall Slope, a busca pela superfície probabilística crítica em todo o talude, é realizada para cada sorteio de amostra (N) das variáveis aleatórias, sendo N o número de amostras definidas na análise. Isto é, a procura da superfície crítica é feita para cada conjunto de valores de entrada gerados aleatoriamente (amostra), o que envolve grande esforço computacional. Embora essa opção exija um maior esforço computacional, ela apresenta resultados mais representativos do talude por inteiro. A opção Overall Slope apresenta resultados mais detalhados a respeito do talude em análise, sendo eles, a superfície probabilística crítica, ou seja, a superfície com menor índice de confiabilidade, e, portanto maior probabilidade de ruptura; a probabilidade de ruptura geral do talude com base na distribuição do fator de segurança de todas as superfícies de ruptura analisadas. Assim a confiabilidade do talude está relacionada a todas as superfícies probabilísticas geradas e não apenas a superfície probabilística crítica. Além disso, a superfície de ruptura mínima global avaliada pelo método determinístico pode não ser a mesma superfície de maior probabilidade de ruptura no método probabilístico. Deste modo, para a escolha da opção de análise mais adequada foram realizadas algumas análises preliminares com o intuito de comparar os resultados e julgar a opção mais conveniente para este estudo. Foram realizadas quatro análises a partir da opção Global Minimum: 10 4, 10 5 amostras, 10 6 amostras e 10 7 amostras, sendo esta última realizada em aproximadamente 1 hora. A Tabela apresenta um resumo dos resultados obtidos. Para a opção Overall Slope foram realizadas três análises, porém com número de amostras menores, visto que essa opção envolve um grande esforço computacional. São elas: 10³ amostras, 5x10 3 amostras e 10 4 amostras, sendo esta última realizada em 7 dias. Não foram feitas análises com amostras maiores devido a indisponibilidade em manterse ligado o computador em uso por mais de 7 dias. A Tabela apresenta um resumo dos resultados obtidos. É evidente que o esforço computacional em análises Overall Slope é muito superior ao esforço computacional para análises Global Minimum, conforme mostrado

118 117 acima. Isso se refletiu na grande diferença no número de amostras utilizadas entre as duas opções, de maneira a dificultar inclusive a comparação, porém não impedindo-a. Pode-se observar pela Tabela que os índices de confiabilidade obtidos são aceitáveis de acordo com o gráfico do USACE (1999) mostrado na Figura e que não foram obtidos valores menores ou iguais a 1 para o FS, sendo portanto, assumido que a PR é igual ou menor do que 1/ (nº de amostras). Através da Figura pode-se observar que a curva de distribuição do FS foi tendo um melhor ajuste à medida que o número de amostras foi aumentando e que a curva de melhor ajuste corresponde à distribuição Beta. A Figura apresenta os gráficos de convergência das análises Global Minimum. Com base no gráfico de convergência é possível saber se o número de iterações executadas foi suficiente para uma estimativa acurada do índice de confiabilidade e da probabilidade de ruptura. Observou-se que convergiu o FS mínimo em todas as análises, embora tendo melhores resultados à medida que o número de amostras foi aumentando. Análise Tabela Resultados obtidos nas análises com a opção Global Minimum. Nº de amostras FS médio Desviopadrão do FS FS mínimo FS máximo PR β (Normal) ,256 0,390 1,142 3,368 < , ,247 0,387 1,085 3,407 < , ,246 0,386 1,080 3,413 < , ,252 0,387 1,075 3,429 < ,236 Pode-se observar pela Tabela que não se observou uma relação de melhora no índice de confiabilidade e consequente redução da probabilidade de ruptura do talude. Isso demonstra que a quantidade de amostras não foi suficiente para uma avaliação confiável através da análise Overall Slope, sendo necessárias análises com amostras superiores. Porém, o tempo necessário para a análise é cada vez maior para análises com amostras maiores, dificultando assim a realização destas análises, conforme apresentado no item Portanto fica evidente neste caso que o esforço computacional é um

119 118 complicador para a realização das simulações de Monte Carlo, sendo esta a principal desvantagem da simulação de Monte Carlo para este tipo de análise (Overall Slope). Observou-se também, pelos histogramas apresentados na Figura , que a curva de distribuição Normal foi a curva de melhor ajuste para o FS nas análises 5 e 6, enquanto que para a análise 7 a curva de melhor ajuste foi a de distribuição Beta, embora não tenham apresentado um ajuste tão bom quanto dos histogramas para a análise Global Minimum. Os gráficos de convergência para o FS mínimo apresentaram uma melhor convergência à medida que o número de amostras nas análises foi aumentando (Figura ). Dessa forma, pode-se concluir que a quantidade de amostras para as análises feitas com a opção Overall Slope não foram suficientemente grandes para uma avaliação adequada da probabilidade de ruptura e do índice de confiabilidade da seção em estudo e que, portanto, é mais adequado utilizar os resultados obtidos das análises Global Minimum. Tabela Resumo dos resultados obtidos nas análises com a opção Overall Slope. Análise Nº de amostras FS médio Desviopadrão do FS FS mínimo FS máximo PR β (Normal) ,259 0,382 1,089 3,369 < , x10 3 2,253 0,386 1,218 3,385 < 2x10-4 3, ,250 0,387 1,139 3,354 < ,221

120 119 Figura Histogramas do FS das análises Global Minimum (análises 1, 2, 3 e 4) obtidos pelo programa Slide.

121 120 Figura Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Global Minimum (análises 1, 2, 3 e 4) obtidos pelo programa Slide.

122 121 Figura Histogramas do FS das análises Overall Slope (análises 5, 6 e 7) obtidos pelo programa Slide.

123 122 Figura Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Overall Slope (análises 5, 6 e 7) obtidos pelo programa Slide.

124 123 A seguir são mostradas as discussões dos resultados da análise probabilística da estabilidade do depósito para ruptura circular considerando o método de estabilidade de Bishop simplificado para o caso normal de operação. A Figura apresenta o resultado probabilístico para a superfície crítica obtida da análise determinística (Global Minimum) para a análise 4 com 10 7 amostras. Figura Análise probabilística para a superfície crítica determinística obtida pelo programa Slide. Os resultados da análise probabilística estão resumidos na Tabela a seguir. μ FS (FS médio) Tabela Resultados da análise probabilística. σ FS (Desvio-padrão do FS) FS mínimo FS máximo Probabilidade de ruptura (PR) 2,252 0,387 1,075 3,429 < 10-7 Analisando os resultados resumidos na Tabela é possível observar que a análise probabilística da superfície crítica determinística forneceu fator de segurança médio igual a 2,252 e desvio-padrão de 0,387. Dentre as amostras sorteadas aleatoriamente, sendo um total de 10 7 amostras, o menor fator de segurança encontrado foi 1,075 e o maior fator de segurança encontrado foi de 3,429 para a superfície potencial crítica mostrada na Figura Embora a probabilidade de ruptura mostrada na Figura seja de 0,000%, ou seja, não sendo obtidos valores menores ou iguais a 1 para o FS, como foram sorteadas 10 7 amostras, pode-se supor que a probabilidade de ruptura é inferior a < 10-7 (1/10 7 ).

125 124 Na Figura observa-se o histograma do fator de segurança (variável dependente) versus frequência, considerando-se a execução de 10 7 análises. Nesta figura é exibida a melhor curva que descreve a distribuição do FS, neste caso, a distribuição Beta. Pela distribuição Beta não é possível o cálculo do índice de confiabilidade, somente é possível para curvas de distribuição normal ou lognormal para o FS. Portanto, a interpretação será feita apenas através da probabilidade de ruptura (PR). De acordo com o gráfico sugerido pelo USACE (1999) apresentado no item 2.3.5, uma probabilidade igual ou inferior a 10-7 demonstra que a estrutura apresenta desempenho alto. Figura Distribuição Beta do FS (10 7 análise) obtido pelo programa Slide. Segundo o Departamento de Planejamento de Hong Kong e o ANCOLD esta estimativa de PR é considerada aceitável se o número de perdas de vida for até 100 pessoas e é considerada tolerável se a estimativa para perdas de vida for até 1000 pessoas (Figura e Figura ). Para estimativas maiores de perdas de vida este valor de PR é considerado inaceitável. Segundo a US Bureau of Reclamation, esta estimativa de PR é considerada aceitável se o número de perdas de vida for até 200 pessoas e é considerada tolerável se a estimativa para perdas de vida for até 1000 pessoas. Porém ressalta-se que estes gráficos apresentam uma abordagem mais qualitativa e preliminar, conforme visto no item 2.3.7, e que é boa prática a busca pela minimização

126 125 de perdas de vida inclusive inferiores aos que foram mostrados nos gráficos citados anteriormente. Além disso o estudo baseou-se em dados obtidos exclusivamente de ensaios de palheta. No entanto, uma campanha de investigações de campo que incluam outros tipos de ensaios em conjunto com uma campanha de investigações de laboratório poderiam dar melhores subsídios a análise probabilística da estabilidade do depósito de rejeitos. É importante destacar que a PR devido ao modo de falha de instabilização do talude não é um parâmetro que deve ser avaliado isoladamente, mas acompanhado de outros parâmetros de avaliação para outros modos de falha possíveis em barragens, conforme vistos no item e em conjunto com a avaliação dos danos potenciais, especialmente as perdas de vida e aos danos ambientais.

127 Método das Estimativas Pontuais No presente trabalho, o resíduo é o material para o qual determinou-se a variação da resistência não drenada com a profundidade através de uma relação linear. Portanto, os parâmetros da reta, a e b, referem-se às duas variáveis aleatórias de entrada. Dessa forma, tem-se que: Coeficiente linear da reta correspondente a a = X 1 ; Coeficiente angular da reta correspondente a b = X 2 ; Como a função depende de duas variáveis aleatórias, temos então quatro estimativas pontuais, correspondentes a todas as combinações de duas estimativas para cada variável aleatória, conforme apresentada metodologia no item As quatro estimativas pontuais se encontram na Tabela Assume-se que as funções densidade de probabilidade apresentam distribuição normal para as duas variáveis, dessa forma as distribuições destas variáveis não apresentam assimetria ν. É importante destacar que os pesos de probabilidade (P) são iguais para cada uma das quatro combinações, pois foi assumido não existir correlação entre as variáveis aleatórias, o que é a favor da segurança conforme visto no capitulo A partir das estimativas para as quatro retas, as quais representam a função da resistência não drenada com a profundidade, foram realizadas quatro análises de estabilidade da seção estudada deste depósito pelo programa Slide (Tabela ). Tabela Combinações para as estimativas pontuais dos parâmetros a e b da reta de resistência não drenada (Su). a (kn/m²) μ X1 + σ X1 μ X1 + σ X1 μ X1 σ X1 μ X1 σ X1 b (kn/m²/m) μ X2 + σ X2 μ X2 σ X2 μ X2 + σ X2 μ X2 σ X2

128 127 Tabela Estimativas pontuais das variáveis aleatórias correspondentes as quatro retas de resistência não drenada (Su) com a profundidade. Análise a (kn/m²) b (kn/m²/m) 1 15,39 3, ,65 3, ,39 5, ,65 5,25 A seguir são apresentados os resultados das quatro análises de estabilidade realizadas. Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise 1. Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise 2.

129 128 Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise 3. Figura Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a análise 4. A partir do resultado obtido para o fator de segurança em cada análise de estabilidade, realizou-se o cálculo para os dois primeiros momentos do fator de segurança, o fator de segurança médio: μ FS e a variância σ 2 FS, conforme apresentado no item Os resultados são indicados na tabela abaixo, sendo P referente ao peso de probabilidade e FS referente ao fator de segurança. Caso Análise P FS P*FS P*FS² ,25 1,6502 0,4126 0, ,25 2,4239 0,6060 1, ,25 2,0711 0,5178 1, ,25 2,8519 0,7130 2,0333

130 129 A estimativa da média e do desvio padrão do FS são indicadas a seguir: 2 n μ FS = E[FS] P i FS i i=1 = 0, , , ,7130 = 2,2493 σ 2 FS = E[(FS μ FS ) 2 ] P i (FS i μ FS )² 2 n i=1 2 n = P i FS i 2 i=1 2 μ FS = 0, , , ,0334 2, = 0,1961 σ FS = 0,1961 = 0,4428 Resumindo, os valores esperados para média e desvio-padrão do FS são: Tabela Valores esperados para média e desvio-padrão do FS. Método das Estimativas Pontuais μ FS 2,249 σ FS 0,443 A probabilidade de ruptura foi calculada de duas formas, assumindo uma distribuição Normal e assumindo uma distribuição Lognormal para o fator de segurança, visto que estas duas distribuições são mais aplicadas na engenharia geotécnica, conforme visto no item Uma distribuição Normal foi assumida para o FS. Portanto, utilizando-se de um comando do Excel podemos calcular a PR da seguinte maneira: PR = DIST. NORMAL. N(1; μ FS ; σ FS ;VERDADEIRO) = PR = DIST. NORMAL. N(1; 2,249 ; 0,443;VERDADEIRO) = PR = 2, Considerando uma distribuição Lognormal para o FS e utilizando-se do programa Excel, tem-se: PR = DIST. LOGNORMAL. N(1; μ FS ; σ FS ;VERDADEIRO) = PR = DIST. LOGNORMAL. N(1; 2,249 ; 0,443;VERDADEIRO) = PR = 1,9 10 7

131 130 Pelo que se pode observar os resultados obtidos são distintos, apresentando uma diferença da ordem de Como a distribuição Normal leva em consideração valores negativos, o que não corresponde a possíveis soluções para o fator de segurança, então se utilizou do cálculo obtido considerando uma distribuição Lognormal para o fator de segurança.

132 Resultados e discussões das análises determinísticas e probabilísticas Análise determinística 1 versus Análise determinística 2 Os resultados obtidos pelas análises determinísticas 1 (baseada nos valores médios obtidos da reta de regressão) e análise determinística 2 (baseada no critério semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682:2009 Estabilidade de encostas, para a estimativa dos parâmetros de resistência do material do rejeito) estão resumidos na Tabela Tabela Resultados das análises determinísticas. Análise determinística 1 Análise determinística 2 Método FS Método FS Bishop simplificado 2,247 Bishop simplificado 1,479 Spencer 2,246 Spencer 1,480 Morgenstern-Price 2,248 Morgenstern-Price 1,480 Como se pode observar, os fatores de segurança obtidos pelas duas análises determinísticas foram discrepantes, isso acontece porque foram utilizadas metodologias diferentes associadas ao tratamento estatístico dos dados dos ensaios de campo. Enquanto a análise determinística 1 baseou-se na consideração dos valores médios dos parâmetros, os quais foram obtidos pela reta de regressão, a análise determinística 2 foi realizada utilizando-se de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009, levando-se em consideração o limite inferior da reta média para a resistência não drenada Su embora mantendo-se a taxa de crescimento da resistência não drenada com a profundidade da mesma forma que na reta de regressão. Portanto, observou-se, pela análise determinística 1, que não é conveniente a utilização dos valores médios porque não leva em consideração as incertezas dos parâmetros de resistência estimados para o rejeito, e que podem levar a uma superfície potencial de ruptura com fator de segurança inferior ao encontrado nesta análise. Já pela análise determinística 2, observou-se que uso de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009, permitindo uma incorporação mais efetiva das incertezas para a estimativa dos parâmetros de resistência do material do rejeito, levou a um resultado mais a favor da segurança.

133 132 Portanto, a interpretação dos parâmetros geotécnicos determinísticos utilizandose de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009 para as estimativas dos parâmetros de resistência do material do rejeito a partir da análise de regressão linear feita através dos dados de ensaios de campo e de laboratório é de suma importância para estudos e projetos de engenharia Simulação de Monte Carlo versus Método das Estimativas Pontuais Os resultados das análises probabilísticas de estabilidade do depósito de rejeitos através do Método das Estimativas Pontuais e da simulação de Monte Carlo estão apresentados na Tabela Tabela Resumo dos resultados obtidos das análises probabilísticas de estabilidade do depósito. Método das Estimativas Pontuais Simulação de Monte Carlo μ FS (FS médio) 2,249 2,252 σ FS (Desviopadrão do FS) Probabilidade de ruptura (PR) 0,443 0,387 1,9 x10-7 < 10-7 Pode-se observar que o FS médio para as duas análises probabilísticas apresentaram valores idênticos, se aproximados até a segunda casa decimal (μ FS =2,25), enquanto que os desvios-padrão médios apresentaram resultados iguais, se aproximados até a primeira casa decimal (σ FS = 0,4). Portanto, os dois métodos de análises probabilísticas apresentaram resultados aproximados para a estimativa do μ FS e σ FS. Os resultados das probabilidades de ruptura pelos dois métodos apresentaram valores bem aproximados se considerarmos a PR calculada assumindo uma distribuição lognormal para o FS, observando que a PR pelo método das estimativas pontuais foi obtida indiretamente, a partir de um comando do Excel. Assumiu-se o valor obtido para a probabilidade de ruptura obtida pela simulação de Monte Carlo, isto é, 10-7, visto que a simulação de Monte Carlo se ajusta a qualquer

134 133 distribuição e portanto foi tomada como referência. A partir de então analisou-se este resultado considerando os níveis aceitáveis de desempenho de projetos elaborados por instituições internacionais, como mostrado no item De acordo com o US Army Corpy of Engineers, uma probabilidade de ruptura de 10-7 permite concluir que o desempenho do depósito de rejeito é considerado alto. Os F-N charts, apresentados no capítulo 2.3.7, estão novamente expostos neste capítulo, porém, apresentados de maneira a possibilitar a interpretação do valor encontrado da PR pelo método da simulação de Monte Carlo. De acordo com o ábaco proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong Kong (Figura ) e o proposto pelo ANCOLD (Figura ), o número de perda de vidas aceitáveis é de 1 a 100 pessoas (faixa em amarelo na Figura e na Figura ) enquanto que o número de perdas de vida toleráveis varia de 100 a 1000 pessoas (faixa em vermelho na Figura e na Figura ). Porém ressalta-se que estes gráficos apresentam uma abordagem mais qualitativa e preliminar, conforme visto no item 2.3.7, e que é boa prática a busca pela minimização de perdas de vida, inclusive para números inferiores aos que foram mostrados nos gráficos citados anteriormente. Além disso estes gráficos foram construídos com base em frequências observadas ao longo de anos e não devem servir necessariamente como parâmetros para estudar probabilidades de rupturas por ano.

135 134 Figura Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong Kong par encostas considerando a PR de projeto (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). Figura F-N chart (US Bureau of Reclamation) considerando o resultado da PR de projeto (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).