15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental

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1 15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental BUSCA POR ALGORITMOS GENÉTICOS DA SUPERFÍCIE CRÍTICA DE RUPTURA DE TALUDES COM APLICABILIDADE EM MINERAÇÃO Paulo Gustavo Cavalcante Lins 1 ; Rômulo Sousa Vilares Filho 2 ; Luiza Zeneide Santana Souza 3 Resumo A avaliação quantitativa de estabilidade de taludes pode ser realizada com um método que determine o fator de segurança para uma superfície potencial de ruptura e um algoritmo que busque a superfície de menor fator de segurança. No presente trabalho um algoritmo genético é utilizado para a busca de superfície circular crítica de um talude para o qual a resistência é descrita pelo critério de ruptura de Hoek-Brown. Os algoritmos genéticos são inspirados na seleção natural e na genética. No caso uma população de centros é gerada. Para cada indivíduo (cada centro) é associado uma adaptação. No presente problema a adaptação é o fator de segurança. Os indivíduos da população são objetos de cruzamento, gerando nova população onde os indivíduos são mantidos mais bem adaptados, ou seja, os centros com menores fatores de segurança. O algoritmo foi comparado com uma busca por grade e apresentou bons resultados. Abstract The quantitative evaluation of slope stability can be performed with a method to determine the safety factor for a potential failure surface and an algorithm that searches the lowest safety factor. In the present paper a genetic algorithm is used to search a critical circular surface in slope for which resistance is described by the Hoek-Brown failure criteria. The genetic algorithms are inspired by natural selection and in genetics. In that case a population of centers is generated. To each individual (each center) an adaptation is associated. In the present problem the adaptation is the safety factor. Population of individuals are object of crossover, generating new populations where the better adapted individuals are kept, in other words, the centers with lower safety factors. The algorithm was compared with a search for grid and showed good results. Palavras-Chave Talude; busca de superfície crítica; algoritmo genético Prof., Eng., Dr, Universidade Federal da Bahia, (71) , plins@ufba.br Estudante de Engenharia de Minas, Universidade Federal da Bahia, (71) , romulovilares@hotmail.com Profa., Eng., MSc, Instituto Federal da Bahia, (71) , luizazsantana@gmail.com 15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 1

2 1. INTRODUÇÃO A análise de estabilidade de taludes quantitativa para um meio contínuo ou contínuo equivalente envolve o cálculo do fator de segurança para uma superfície potencial de ruptura (função objetivo) e a determinação da superfície de ruptura que leva ao menor fator de segurança (minimização da função objetivo). A disciplina de programação matemática ou otimização envolve técnicas para minimizar (ou maximizar) uma função objetivo. No campo da geotecnia algumas buscas de superfície crítica de taludes envolvem técnicas de programação matemática e outras envolvem soluções construídas especificamente para o problema. Os algoritmos genéticos são algoritmos numéricos de otimização inspirados tanto na seleção natural quanto na genética. Um algoritmo genético típico consiste em: 1) um número, ou uma população, de tentativas de solução de um problema; 2) uma forma de calcular quão boas ou quão ruins são as soluções individuais na população; 3) um método de misturar os fragmentos das melhores soluções para formar novas, e sempre na média, melhores soluções; e 4) um operador de mutação para evitar uma permanente perda de diversidade nas soluções (COLEY, 1999). Algoritmos genéticos estão sendo utilizados na busca de superfície crítica de taludes, como pode ser observado em McCOMBIE & WILKINSON (2002), SENGUPTA & UPADHYAY (2009) e SABHAHIT & RAO (2011). O presente trabalho descreve uma implementação computacional de um algoritmo genético para a busca de superfície circular crítica de um talude constituído por um material que obedece ao critério de ruptura de Hoek-Brown. 2. BUSCA DA SUPERFÍCIE CRÍTICA Para determinar o fator de segurança para o talude é necessário buscar a superfície "mais crítica", ou seja, aquela que apresenta o menor fator de segurança. Existem vários algoritmos de busca automática desta superfície. Uma questão que deve ser abordada diz respeito à forma da superfície de ruptura. Os primeiros métodos desenvolvidos admitiam, por simplicidade geométrica, que a forma da superfície de ruptura era circular. Esta hipótese pode ser uma boa aproximação para taludes homogêneos, isótropos, de geometria simples, sem configurações especiais de pressão neutra. Entretanto, não se pode querer que todos os maciços tenham como configuração de ruptura crítica uma superfície circular. O autor do método de fatias com superfície circular mais popular admitia a existência de casos onde uma análise por uma superfície não-circular seria mais realista (ver BISHOP, 1957). Maciços que apresentem determinadas condições de anisotropia, distribuições de pressões neutras ou camadas menos resistentes, devem ser analisados de forma mais representativa, adotando-se uma superfície de ruptura não-circular (ver, por exemplo, CELESTINO & DUNCAN, 1981 e TALESNICK & BAKER, 1984). Seria possível afirmar, de forma genérica, que um maciço tem sua ruptura em uma configuração por onde as solicitações superem a resistência. No estudo de um caso real, conhecer apenas a superfície mais crítica não soluciona o problema. Podem existir outras configurações de ruptura que não sejam estabilizadas pela solução adotada para estabilização da superfície mais crítica. Isto é ilustrado na Figura 1, onde o círculo de FS=0.95 é o mais crítico. Uma solução de estabilização para o círculo mais crítico poderia não garantir a estabilidade do círculo de FS=1.02. O algoritmo para busca de superfície circular mais simples é o chamado de busca por grade. Esta técnica consiste em traçar uma malha de centros onde, para cada centro, são analisados vários círculos. O menor fator de segurança obtido é associado àquele centro analisado. Pode-se assim traçar, no espaço acima do talude, curvas de mesmo fator de segurança relacionadas aos centros dos círculos. Através destas curvas é possível identificar a 15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 2

3 posição do centro que possui o menor fator de segurança para o maciço. BOUTRUP & LOVELL (1980) detalham uma discussão sobre esta técnica. A Figura 2 ilustra uma busca por grade. FS=0.95 FS=1.02 Figura 1. Superfície "mais critica" e superfície "critica" Figura 2. Resultado de uma busca por grade. Outro algoritmo bastante utilizado é o simplex. No espaço acima do talude escolhem-se três pontos não colineares. Calcula-se o menor fator de segurança para cada círculo que tem um dos três pontos como centro. Existem variações sobre a forma de cálculo do fator de segurança para um dado centro, pode-se calcular para diversos raios, ou para raios tangentes a uma cota, ou para raios que passem por um ponto. Calculados os fatores de segurança para cada centro, verifica-se a qual dos três pontos corresponde o maior FS, elimina-se este ponto e toma-se outro ponto simétrico ao eliminado em relação ao segmento formado pelos dois pontos de FS menor. Repete-se a operação até que os pontos convirjam, o que deve acontecer nas coordenadas do FS mínimo. Também é usual realizar a busca de superfície circular pelo simplex em um espaço R 3 formado pelas coordenadas x, y do ponto e o raio, assim a busca processa-se de forma semelhante a um esquema de busca não-circular com o simplex, que será descrito neste texto mais adiante. As superfícies não-circulares são representadas usualmente por uma poligonal. Assim sendo, o problema constitui-se em determinar a poligonal de menor fator de segurança. BAKER (1980) propôs um algoritmo para determinação da poligonal crítica com base em programação dinâmica. Adotam-se várias linhas verticais paralelas, nas quais estão determinados pontos espaçados. Uma possível linha de ruptura é definida ligando-se estes pontos. A busca da 15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 3

4 poligonal de menor fator de segurança é realizada com o auxílio do estudo da variação de uma função definida com o fator de segurança. Um algoritmo simples e eficiente para determinação da superfície não-circular foi proposto por CELESTINO & DUNCAN (1981). Partindo de uma poligonal inicial, move-se de cada vez um único ponto da poligonal para duas posições calculam-se os fatores de segurança e ajusta-se uma equação do segundo grau aos resultados. Determina-se a posição que leva ao fator de segurança mínimo movendo-se apenas aquele ponto. Ao final de cada iteração os pontos são atualizados para as posições relativas ao menor fator de segurança. O processo é repetido de forma iterativa até a convergência da superfície. A Figura 3 ilustra o algoritmo. Uma variação do algoritmo de CELESTINO & DUNCAN (1981) foi proposto por LI & WRITE (1987). Y Y Yi Yi Y FS2 FS1 Variação assumida como quadratica FS2 / Y Yi estimado correspondente a FS mínimo Y FS1/ Y FS (-) 0 (+) FS/ Y Figura 3. Algoritmo de CELESTINO & DUNCAN (1981) para busca da superfície não-circular crítica. O algoritmo simplex descrito anteriormente realiza uma busca no espaço R 2, onde um elemento geométrico plano (um triângulo) é utilizado na busca. Em cada etapa da busca o vértice do triângulo que tem maior fator de segurança é eliminado e substituído por um ponto simétrico em relação à linha formada pelos pontos restantes. Esta ideia pode ser estendida algebricamente ao espaço R n, onde existiria um elemento geométrico de n+1 vértices, e em cada etapa da busca o vértice de maior fator de segurança seria eliminado e substituído por um ponto simétrico em relação hiperplano formado pelos vértices restantes. Este processo seria repetido até a convergência. Por exemplo, uma busca no R 3 teria como elemento geométrico um tetraedro. Em cada etapa da busca o vértice do tetraedro de maior fator de segurança seria eliminado e substituído por um ponto simétrico em relação ao plano formado pelos vértices restantes. Assim, tendo como uma superfície de ruptura inicial uma poligonal de X segmentos, a busca se dá no espaço R 2*(X+1), caso admita-se dois graus de liberdade por vértice, ou no espaço R (X+1), caso admita-se apenas um grau de liberdade. O simplex tem demonstrado ser muito eficiente para buscas de superfície não-circulares, sendo utilizado por autores como, por exemplo, NGUYEN (1985a), NGUYEN (1985b), FELICIANI & HACHICH (1988), ODEBRECHT (1988), BARDET & KAPUSKAR (1989) e DeNATALE & CRENNAN (1989). 15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 4

5 3. ALGORITMO GENÉTICO O algoritmo genético utilizado neste trabalho é o apresentado por COLEY (1999), que foi denominado LGA (Little Genetic Algorithm). O algoritmo é descrito na Tabela 1. Cada individuo da população possui uma codificação binária, ou seja, representado por 0 ou 1 (por exemplo ), no presente caso este número representa as coordenadas x e y do centro do círculo. Existe um operador de seleção onde a metade da população mais bem adaptada é escolhida para realizar cruzamento e o restante da população é descartado. O LGA utiliza um ponto de cruzamento único como operador de recombinação. Os pares de indivíduos são selecionados para submeter-se a cruzamento com uma probabilidade P c. Um número randômico R c é gerado na faixa 0-1, e os indivíduos serão submetidos a cruzamento se e somente se R c P c, caso contrário o par prossegue sem cruzamento. Valores típicos de P c estão entre 0,4 e 0,9. Se P c =0,5 então metade da nova população será formada pela seleção e cruzamento, e metade apenas por seleção (COLEY, 1999). Tabela 1. Algoritmo LGA de acordo com COLEY (1999). 1. Gera uma população inicial (g=1) de cadeias de caracteres binários de comprimento, onde M é o número de incógnitas e l k é o comprimento da cadeia de caracteres binários requeridos por qualquer incógnita k. Em geral l k l j, k j. 2. Decodifica cara individuo, i, dentro da população em inteiros z i,k e então em reais r i,k para obter os parâmetros incógnitas. 3. Testa cada individuo por sua vez no problema em estudado e converte a função objetivo ou de desempenho, Ω i, de cada individuo em uma adaptação f i, onde a melhor solução implica em maior adaptação. 4. Seleciona, pelo uso da seleção proporcional de adaptação, pares de indivíduos e aplica a probabilidade P c de ponto de cruzamento único. Repita até que uma nova população temporária de N indivíduos é formada. 5. Aplica o operador de mutação para cada individuo na população temporária, percorrendo bit a bit através de cada cadeia de caracteres, ocasionalmente trocando 0 por 1 ou vice versa. A probabilidade de qualquer mutação de bit é dada por P m e tipicamente é muito pequena (por exemplo 0,001). 6. Se elitismo é exigido, e a população temporária não contém uma copia de um indivíduo com pelo menos a adaptação do membro da elite, substitui-se (de forma aleatória) um membro da população temporária com o membro da elite. 7. Substitui-se a população antiga pela nova geração temporária. 8. Incrementa, por 1, o contador de gerações (isto é g=g+1) e repete do passo 2 até que G gerações tenham se passado. O algoritmo LGA utilizado foi programado em Pascal (embora existam versões em outras linguagens de programação). Sua versão original buscava o máximo de uma função. No caso do problema de estabilidade de taludes busca-se o fator de segurança mínimo. O algoritmo foi adaptado para achar o mínimo da função fator de segurança. 4. TALUDE ESTUDADO O talude estudo é um caso hipotético que busca representar uma mina a céu aberto desenvolvida em meia encosta. O caso procura representar um depósito formado de camadas de hematita pura de espessuras métricas a decamétricas, intercaladas por camadas decimétricas a métricas de arenitos e siltitos hematíticos, que para fins de análise foram tomadas como homogêneas na escala do talude. 15º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 5

6 A resistência do maciço é descrita pelo critério de ruptura de Hoek-Brown. Os parâmetros utilizados estão na Tabela 2. O talude possui um desnível de 133 metros e inclinação média de 19,5º. Tabela 2. Parâmetros do critério de ruptura de Hoek-Brown utilizados na análise. Parâmetro Valor Parâmetro Valor γ (kn/m 3 ) 29,5 Perturbação D 1 σ c (MPa) 50 m b 0,256 m i 13 s 0,0001 GSI 45 a 0, RESULTADO COM BUSCA POR GRADE O talude foi analisado com o programa descrito por LINS et al. (2015) que utiliza uma formulação do método de Bishop simplificado com linearização da envoltória de Hoek-Brown. Na análise realizada foi considerada que a superfície de ruptura é circular. Na busca por grade utilizou-se uma divisão de 40 por 40 no espaço de busca, considerou-se que a superfície crítica de ruptura passa pelo pé do talude. A busca por grade indicou um fator de segurança mínimo de 2,6815. A Figura 4 ilustra o resultado da busca com o círculo associado ao fator de segurança mínimo. Em tal exemplo, procurou-se representar uma etapa intermediária da lavra, não se buscando representar a situação da cava final. Figura 4. Resultado da busca por grade, com fator de segurança mínimo de 2, º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 6

7 6. RESULTADO COM BUSCA POR ALGORITMO GENÉTICO O programa descrito por LINS et al. (2015) foi modificado para incluir busca por algoritmo genético. Os limites da grade utilizada na busca descrita no item 5 foram utilizados como domínio de busca. No caso o problema possui duas incógnitas que são as coordenadas x e y do centro do círculo. A função objetivo a ser minimizada é o fator de segurança. A Tabela 3 apresenta os resultados da busca por algoritmo genético. Para cada geração é apresentado o individuo mais adaptado (FSmin), ou seja o centro com menor fator de segurança. O valor da média para população da função objetivo (FSmedio) também é apresentada. Os valores das incógnitas da busca, coordenadas x e y do centro do círculo, são apresentados na forma de números reais e também na codificação binária. O fator de segurança mínimo encontrado na busca por algoritmo genético foi de 2,6814. Note-se que o fator de segurança mínimo (FSmin) diminui com o avanço das gerações, entretanto a média da população (FSmedio) não apresenta padrão assintótico. Tabela 3. Resultado da busca por algoritmo genético. Geracao 1, FSmin , FSmedio , , Geracao 2, FSmin , FSmedio , , Geracao 3, FSmin , FSmedio , , Geracao 4, FSmin , FSmedio , , Geracao 5, FSmin , FSmedio , , Geracao 6, FSmin , FSmedio , , Geracao 7, FSmin , FSmedio , , Geracao 8, FSmin , FSmedio , , Geracao 9, FSmin , FSmedio , , Geracao 10, FSmin , FSmedio , , Geracao 11, FSmin , FSmedio , , Geracao 12, FSmin , FSmedio , , Geracao 13, FSmin , FSmedio , , Geracao 14, FSmin , FSmedio , , Geracao 15, FSmin , FSmedio , , Geracao 16, FSmin , FSmedio , , Geracao 17, FSmin , FSmedio , , Geracao 18, FSmin , FSmedio , , Geracao 19, FSmin , FSmedio , , Geracao 20, FSmin , FSmedio , , º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 7

8 Na busca por algoritmo genético o tamanho da população foi de 20 indivíduos, o tamanho da cadeia de caracteres binária foi de 12 bits, o número máximo de gerações foi de 20, a probabilidade de cruzamento (P c ) foi de 0,6. A probabilidade de mutação (P m ) foi de 0,02. O código permite manter o indivíduo mais adaptado, o que é chamado de elitismo. A opção de elitismo foi utilizada. 7. CONCLUSÕES O algoritmo genético mostrou ser uma eficiente ferramenta de busca de superfície crítica. O resultado obtido pelo algoritmo genético foi numericamente inferior ao obtido pela busca por grade, entretanto a diferença é inferior à tolerância do método de cálculo. Do ponto de vista da decisão os dois métodos apresentam resultados similares. Na forma que foi implementado o algoritmo genético faz a busca dentro de uma região predefinida. No caso de uma busca por grade, a interpretação da figura com os contornos de fator de segurança apresenta a informação de se tratar de um mínimo quando se observa o menor fator de segurança no fundo de um vale. No caso do algoritmo genético perde-se esta interpretação geométrica. O fato do algoritmo genético implementado fazer a busca com restrições, ou seja, dentro de uma área predefinida torna sua aplicação mais limitada quando comparada com a busca pelo simplex, que não possui restrição na área de busca. O algoritmo genético pode ser utilizado também em busca de superfícies não circulares. Este tipo de análise será objeto de trabalhos futuros. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Fapesb pela bolsa de iniciação científica do segundo autor. REFERÊNCIAS BAKER, R. (1980) Determination of the critical slip surface in slope stability computations. In International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, v.4, p BARDET, J.P & KAPUSKAR, M.M. (1989) A simplex analysis of slope stability. In Computers and Geotechnics. v.8, p BISHOP, A.W. (1957) Discussion on: The Usk scheme for the water supply of Swansea. In Proceedings of the Institution of Civil Engineers, v.7, p BOUTRUP, E. & LOVELL, C.W. (1980) Searching techniques in slope stability analysis. In Engineering Geology, v.16, p CELESTINO, T.B. & DUNCAN, J.M. (1981) Simplified search for non-circular slip surfaces. In ICSMFE, 10., Stockholm. Proceedings. p COLEY, D.A. (1999) An Introduction to Genetic Algorithms for Scientists and Engineers. World Scientific, Singapore. 223p. DeNATALE, J.S. & CRENNAN, K.M. (1989) A simplex-basead search for critical non-circular slip surfaces. In Engineering Geology and Geotechnical Engineering. Walters ed.. Rotterdam, Balkema. p FELICIANI, M.R. & HACHICH, W. (1988) O algoritmo simplex na análise de estabilidade de taludes: superfícies não-circulares de escorregamento. In MICROGEO 88, São Paulo. Anais. ABMS. p º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 8

9 LI, K.S. & WHITE, W. (1987) Rapid evaluation of the critical slip surface in slope stability problems. In International Journal for Numerical and Analitical Methods in Geomechanics, v.11, p LINS, P.G.C.; VILARES FILHO, R.S. & SANTANA, D.S. (2015) Aplicação do critério de ruptura de Hoek-Brown na análise de estabilidade de taludes. In Revista Fundações e Obras Geotécnicas, v. 55, p McCOMBIE, P. & WILKINSON, P. (2002) The use of the simple genetic algorithm in finding the critical factor of safety in slope stability analysis. In Computers and Geotechnics, v.29, p NGUYEN, V.U. (1985a) Determination of critical slope failure surfaces. In Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, v.111, GT2, p NGUYEN, V.U. (1985b) New applications of classical numerical techniques in slope analysis. In International Conference on Numerical Methods in Geomechanics, 5, Nagoya. Proceedings. p ODEBRECHT, E. (1988) Análise de estabilidade de taludes utilizando o método de Sarma (1973). Dissertação de Mestrado, PUC-Rio, 168p. SABHAHIT, N. & RAO, A.U. (2011) Genetic algorithms in stability analysis of non-homogeneous slopes. In International Journal of Geotechnical Engineering, v.5, p SENGUPTA, A. & UPADHYAY, A. (2009) Locating the critical failure surface in a slope stability analysis by genetic algorithm. In Applied Soft Computing, v.9, p TALESNICK, M. & BAKER, R. (1984) Comparison of observed and calculated slip surface in slope stability calculations. In Canadian Geotechnical Journal, v.21, p º Congresso Brasileiro de Geologia de Engenharia e Ambiental 9