Física Experimental III. SALAS 413 e 415

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1 Física Experimental III SALAS 413 e

2 Conteúdo I Experimentos Roteiros 3 1 Introdução às medidas elétricas 4 2 Noções de circuitos elétricos 22 3 Circuitos resistivos com onda senoidal 36 4 Transientes em circuitos RC 44 5 Circuitos RC com corrente alternada 54 6 Circuitos RC e filtros de frequência 63 7 Circuitos RL 71 8 Circuitos RLC com onda quadrada 82 9 Circuitos RLC com corrente alternada: ressonância 91 II Relatórios 109

3 Introdução Esta apostila contem o material completo para o curso de Física Experimental III (FIN 231), oferecido pelo Instituto de Física - UFRJ. O material inclui os roteiros para os procedimentos experimentais, os pré-relatórios e os relatórios. O curso pretende ser complementar ao curso de Física III, que tem como objeto de estudo os fenômenos elétricos e magnéticos. Este curso experimental tem um escopo um pouco mais restrito (porém não menos interessante), tendo por objetivo o estudo de circuitos elétricos simples. Ele aborda conceitos relacionados à medição de grandezas elétricas e à observação de propriedades básicas de alguns elementos simples usados em circuitos elétricos, tais como resistores, capacitores e indutores, bem como as características básicas de circuitos resistivos simples (circuitos RC, RL e RLC). O que se espera ao final desse curso é que os estudantes sejam capazes de montar circuitos elétricos simples e realizar medidas sobre eles, e que tenham assimilado os principais conceitos relacionados ao seu funcionamento, tanto do ponto de vista teórico, como do ponto de vista experimental. Este material faz parte de um amplo processo de reformulação das disciplinas básicas de Física Experimental, iniciado no final de 2012 pela Coordenadoria do Ciclo Básico. Os responsáveis por este material são os professores Irina Nasteva e Kazu Akiba, a quem correções e sugestões devem ser enviadas, pelos endereços kazu@if.ufrj.br e irina@if.ufrj.br.

4 EXPERIMENTOS ROTEIROS PARTE I

5 Introdução às medidas elétricas Material Osciloscópio digital; Gerador de funções. 1.2 Objetivos dessa aula 1. Familiarização com instrumentos de medida; 2. Operação de fontes de tensão; 3. Familiarização com o gerador de sinais e osciloscópio; 4. Aprender como realizar uma medida de voltagem; 5. Aprender como realizar uma medida de tempo; 6. Explorar alguns recursos de medida do osciloscópio. 1.3 Introdução Ao longo dessa disciplina utilizaremos diversos componentes eletrônicos, fontes de tensão constante, geradores de sinais que variam no tempo e o osciloscópio ou multímetro para medir as tensões. Nesta aula teremos um breve guia prático de como efetuar medidas no laboratório. Utilizaremos o gerador de sinais para gerar tensões variáveis com o tempo. O osciloscópio digital é utilizado para observar e medir as tensões como função do tempo.

6 1.4 Voltagem Voltagem A voltagem, tensão ou diferença de potencial entre dois pontos, é o custo em energia, ou seja, o trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto com um potencial elétrico mais baixo a outro de potencial elétrico mais alto. A voltagem entre dois pontos, portanto, é a diferença de potencial elétrico que existe entre esses pontos. Fica claro que só há entido em definir voltagem entre dois pontos. O trabalho realizado ao se mover uma carga de 1 coulomb através de uma diferença de potencial de 1 volt é de 1 joule. A unidade de medida de diferença de potencial é o volt representado por V, e frequentemente é expressa em múltiplos, tais como o quilovolt (1 kv = 10 3 V), ou em submúltimplos, como o milivolt (1 mv = 10 3 V) e o microvolt (1 µv = 10 6 V) A onda quadrada Figura 1.1: Forma de onda quadrada com período T = 1 ms e amplitude V 0 = 1 V. A figura 1.1 mostra o gráfico desta forma de onda, com o tempo no eixo horizontal e a voltagem no eixo vertical. A primeira característica que podemos observar é que se trata de um sinal periódico, isto é, um sinal que se repete após um dado intervalo de tempo. A segunda característica é que a voltagem da onda oscila entre dois valores, simetricamente dispostos em torno de seu valor médio V med = 0. Uma onda quadrada pode ser inteiramente definida por 2 parâmetros: - o período T : é o intervalo de tempo necessário para que a onda se repita. Sua unidade SI é o segundo (s) e neste curso serão comuns seus submúltiplos, como o milissegundo (1 ms = 10 3 s) e o microssegundo (1 µs = 10 6 s); - a amplitude V 0 : é o valor máximo de voltagem que a onda assume, medido em relação ao valor V med = 0. Sua unidade SI é o Volt (V) e neste curso será comum um de seus submúltiplos, o milivolt (1 mv = 10 3 V). Uma terceira grandeza, diretamente relacionada ao conceito de período, é a frequência

7 1.5 Gerador de sinais 6 f, o número de oscilações que ocorrem num dado intervalo de tempo. A partir desta definição, é fácil perceber que a frequência é o inverso do período: f = 1 T. (1.1) A unidade SI para a frequência é o hertz (Hz), definido como 1 Hz = 1 s 1. Além da amplitude V 0, podemos também definir a tensão pico-a-pico V pp como sendo a diferença (em módulo) entre o valor máximo e o valor mínimo de voltagem do sinal. Como os patamares superior e inferior da onda quadrada estão simetricamente dispostos em torno do valor V med = 0 V, a tensão pico-a-pico é o dobro da amplitude da onda: V pp = 2V 0. (1.2) Na figura 1.1, temos a representação gráfica de uma onda quadrada com período T = 1 ms e amplitude V 0 = 1 V. Alternativamente, esta onda pode ser descrita como possuindo uma frequência f = 1 khz e uma tensão pico-a-pico V pp = 2 V. 1.5 Gerador de sinais O gerador de sinais, de ondas, ou de funções, é um aparelho que gera voltagens V g variáveis como função do tempo t, V g (t). Nos aparelhos disponíveis no laboratório, é possível selecionar: A forma de sinal desejado: triangular, senoidal ou quadrada; A frequência de repetição do sinal; A amplitude do sinal; O nivel ao redor do qual o sinal oscila (também chamado de DC offset). Diversos valores de frequências e amplitudes de voltagens podem ser ajustados. Em muitos modelos existe um um visor digital que mostra o valor de frequência ajustado. A figura 1.2 mostra uma imagem do painel frontal de um gerador de sinais típico, semelhante aos que utilizaremos no curso Operação básica Ao ligarmos o gerador de sinais devemos selecionar a forma de sinal desejado: quadrado, senoidal ou triangular (botões 3 na figura 1.2).

8 1.5 Gerador de sinais 7 Figura 1.2: Painel frontal de um gerador de sinais típico. Para ajustar a frequência devemos selecionar uma faixa de valores selecionando com o botão correspondente (botões 2 na figura 1.2) e em seguida ajustar o valor da frequência e amplitude. A variação da amplitude do sinal de saída é feita através de outro botão de ajuste, que pode ser chamado Output level (botão 4 na figura 1.2) ou Amplitude. Para conectar o sinal produzido pelo gerador a um circuito ou a um instrumento de medida utilizamos um cabo coaxial com um conector do tipo BNC Representação do gerador em um diagrama Num circuito, representamos o gerador de funções pelo símbolo indicado na figura 1.3. O símbolo dentro do círculo representa a forma de onda gerada. No exemplo da figura 1.3 a forma de onda gerada é quadrada. GND na figura 1.3 representa o terra. A fim de obter familiaridade com o gerador de funções e o osciloscópio iremos conectálos e a partir de exemplos de aplicação os efeitos dos vários controles nas saídas das formas de onda fornecidos pelo gerador de funções e dos recursos de medição do osciloscópio podem ser observados. Figura 1.3: Representação esquemática de um gerador de funções num circuito elétrico. Neste caso o sinal gerado é uma onda quadrada.

9 1.6 Osciloscópio digital Osciloscópio digital O osciloscópio é um instrumento empregado para visualizar voltagens que variam com o tempo, mostrando um gráfico com a voltagem no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. Ele é um instrumento de medida utilizado para a determinação de amplitudes e frequências dos sinais de voltagem, bem como para comparação entre sinais diferentes. A figura 1.4 mostra o esquema do painel frontal de um osciloscópio que usaremos como exemplo. Este painel está dividido em 4 áreas importantes: a tela, os controles verticais (voltagem), os controles horizontais (tempo) e o controles de trigger (gatilho). Seletor multiuso Ex: move os cursores Cursores Medidas Automáticas Autoset Patamar de tensão do trigger Trigger Controle da posição horizontal do sinal Entrada do canal 1: Cabo coaxial Botão seletor do canal 2 Escala vertical (tensão) Controle da posição vertical do sinal Escala horizontal (tempo) Figura 1.4: Painel frontal do osciloscópio mostrando as principais áreas funcionais Tela do osciloscópio Além de exibir as formas de onda, a tela apresenta muitas informações sobre os sinais observados e sobre as configurações de controle do osciloscópio. Os osciloscópios utilizados neste curso possuem 2 canais de entrada, o que significa que até 2 sinais elétricos independentes podem ser visualizados ao mesmo tempo. Uma imagem típica observada na tela do osciloscópio está representada na figura 1.5. A tela do osciloscópio é dividida num conjunto de retículos chamados de gratícula, utilizados para fazer medidas sobre a forma de onda. Ao longo do eixo vertical ela é normalmente composta por 8 ou 10 divisões, enquanto ao longo do eixo horizontal podemos ver 10 divisões; nos dois eixos as divisões possuem 5 subdivisões, ou seja representando 20% de uma gratícula.

10 1.6 Osciloscópio digital 9 Figura 1.5: Imagem típica da tela de um osciloscópio Operação básica do osciloscópio Ao conectarmos um sinal periódico qualquer numa das entradas do osciloscópio, sua tela passará a mostrar um gráfico da voltagem do sinal em função do tempo. Os controles verticais permitem alterar a maneira como o sinal é mostrado na tela: ele pode ser ampliado ou diminuído, ajustando-se a escala. Os controles horizontais definem o período de tempo medido pelo osciloscópio, que deve ser ajustado conforme a medida a ser realizada. O osciloscópio sincroniza sinais periódicos na tela através do conceito de trigger. O trigger determina o início de uma varredura (período de tempo medido) quando o sinal medido cruza um nível de voltagem ajustado pelo usuário. Desse modo sinais periódicos parecem parados na tela, pois os sinais são continuamente redesenhados a partir do mesmo instante de referência. Caso o nível de trigger esteja mal ajustado, pode ocorrer que a tela mostre várias ondas simultâneas (que ficam correndo pela tela do osciloscópio, impedindo qualquer tipo de medida) ou que nenhuma forma de onda seja mostrada Controles verticais A Figura 1.6 mostra os botões disponíveis para o controle da escala vertical. Os controles verticais permitem habilitar ou desabilitar a apresentação das formas de onda na tela e

11 1.6 Osciloscópio digital 10 ajustar a escala e a posição verticais. A forma de onda do sinal conectado ao canal 1 é representada pela cor amarela e azul para o canal 2. Figura 1.6: Comandos disponíveis para controle da escala vertical. - botão de escala: seleciona fatores de escala de voltagem e assim amplia ou reduz a representação do sinal de entrada do canal. Ao girar o botão o valor em Volts representado por cada divisão vertical, a escala, aumenta ou diminui sendo mostrada na parte inferior da tela do osciloscópio (figura 1.5). - botão de posição: determina em nível horizontal será desenhada a posição de 0 V da forma de onda. Ao girar o botão para a direita ou esquerda a forma de onda é deslocada para cima ou para baixo, uma vez que a posição do zero volts é alterada. Cada canal possui um indicador na tela do osciloscópio mostrando a posição de seu 0 V (seta na lateral esquerda da tela, figura 1.5). Atenção, pois se você deslocar excessivamente a forma de onda ela pode sair da tela do osciloscópio. - botões 1 e 2 (Menu): a função primordial destes botões é habilitar ou desabilitar a exibição do respectivo canal (há um menu para cada canal). Quando apertado, se a forma de onda está sendo exibida ela desaparece da tela. - opções do Menu de canal: i. Acoplamento: cada canal pode ter 3 tipos de acoplamento: GND, CC e AC. CC (corrente contínua) - o sinal é mostrado sem nenhum processamento, com todos os componentes AC (dependentes do tempo) e DC (constantes no tempo). CA (corrente alternada) - o sinal é submetido a um filtro, que corta as frequências

12 1.6 Osciloscópio digital 11 inferiores a 10 Hz; como resultado os componentes DC do sinal são eliminados e não são mostrados na tela do osciloscópio. GND - o sinal de entrada é desconectado, e um sinal de voltagem de referência (terra) é aplicado; o osciloscópio exibe uma linha horizontal (voltagem constante de 0 V). ii. Limite da Largura de Banda: deve estar normalmente desligado. iii. Ganho variável: se a opção Grosso estiver selecionada, ao girar o botão de escala só podemos selecionar as escalas 5 V, 2 V, 1 V, 500 mv, 200 mv, 100 mv, 50 mv, 20 mv, 10 mv, 5 mv e 2 mv. Na opção Fino, é possível selecionar escalas intermediárias, como 1.02 V, 1.04 V, etc. iv. Sonda: aplica um fator multiplicativo à voltagem do sinal de entrada. Pode ser utilizado quando se deseja medir um sinal muito baixo, e é preciso estar atento com as configurações automáticas (como aquelas obtidas usando o botão Autoset ), já que todos os valores de voltagem medidos estarão multiplicados pelo fator escolhido; neste curso devemos usar sempre a opção 1X Voltagem. v. Inverter: quando está ligada a forma de onda é invertida em relação ao nível de V = 0 V Controles de Trigger ou de gatilho O sistema de gatilho ( trigger ) determina a condição para que o osciloscópio inicie a varredura para exibir uma forma de onda. O objetivo é que cada vez que a forma de onda for desenhada na tela do osciloscópio, ela o seja da mesma maneira, de modo que as sucessivas formas de ondas mostradas na tela apareçam como uma imagem parada. Para fazer este sincronismo, utilizamos um sinal elétrico (chamado de sinal de trigger ), que é continuamente monitorado pelo osciloscópio: ao finalizar a exibição de uma forma de onda, a varredura só é reiniciada quando este sinal atinge um certo valor; cada vez que a varredura terminar, ela só será reiniciada quando o sinal de trigger atingir este mesmo valor. Desta maneira, cada varredura desenhará sempre o mesmo gráfico e a forma de onda aparecerá parada na tela. Se quisermos observar um sinal periódico no osciloscópio, a escolha natural para o sinal de trigger é o próprio sinal que queremos observar. Sempre que desejarmos observar um ou mais sinais no osciloscópio, é preciso escolher um sinal de trigger adequado para disparar a varredura; normalmente será um dos dois sinais de entrada (canal 1 ou 2). - botão de nível: este é o botáo que define o nível do trigger, isto é, o valor do sinal de trigger que uma vez atingido inicia a varredura. Este valor é mostrado no canto inferior direito da tela e é também indicado por uma seta na lateral direita (figura 1.5). Se utilizamos uma onda quadrada como sinal de trigger, o nível deve estar ajustado de maneira que fique contido entre os patamares superior e inferior da onda, como mostrado na figura 1.5. Caso o nível do trigger esteja ajustado acima do patamar superior ou abaixo

13 1.6 Osciloscópio digital 12 Figura 1.7: Comandos disponíveis para controle de trigger. do patamar inferior da onda quadrada, a aquisição ocorrerá de maneira automática (com as formas de onda rolando na tela) ou simplesmente não ocorrerá. - botão do menu de trigger : ao apertar este botão as opções do menu do trigger são exibidas na lateral direita da tela. São elas: i. Tipo: deve ser sempre Borda ; ii. Origem: define qual o sinal que será utilizado como trigger ; será o canal 1 ( CH1 ) ou o canal 2 ( CH2 ). Mesmo quando este menu está desabilitado, o sinal utilizado como trigger é indicado no canto inferior direito da tela (figura 1.5). iii. Inclinação: digamos que escolhemos uma onda quadrada de amplitude V 0 = 1 V como sinal de trigger e colocamos o nível do trigger exatamente na metade da onda quadrada, em 0 V. Ora, num período uma onda quadrada passa pelo zero 2 vezes, quando passa do patamar inferior para o superior e quando passa do superior para o inferior, o que resultaria num disparo do trigger a cada meio-período. O ajuste de inclinação define se o trigger ocorre quando o nível é atingido na subida ou na descida. A opção selecionada também é indicada no canto inferior direito da tela (figura 1.5). iv. Modo: no modo automático, ao fim de cada varredura o osciloscópio espera por um certo intervalo de tempo (chamado de tempo de espera ou holdoff ); ao fim deste período, mesmo que a condição de trigger não tenha sido satisfeita a varredura será reiniciada. Neste modo, mesmo que o trigger esteja mal ajustado, sempre haverá uma forma de onda sendo exibida (é claro que no caso do trigger mal ajustado as formas de onda estarão correndo pela tela...). No modo normal, a varredura só é reiniciada quando a condição de trigger for detetada; enquanto isso não ocorrer, nenhuma forma de onda será exibida (a tela exibirá somente a última forma de onda adquirida).

14 1.6 Osciloscópio digital 13 v. Acoplamento: permite filtrar o sinal que será transmitido ao circuito de trigger. O acoplamento CC não realiza nenhuma filtragem e deve ser utilizado sempre que possível. As opções CA, Rej. de Ruído e Rej. AF podem ser utilizadas caso o ajuste do trigger não consiga resultar na exibição de formas de onda estáveis. - botão Set To 50% : o osciloscópio ajusta automaticamente o nível do trigger para a metade entre os níveis máximo e mínimo do sinal utilizado como trigger. - botão Force Trig : caso o sistema esteja aguardando um trigger (como no modo Normal ) faz a aquisição do sinal, independente de um sinal de trigger ter sido recebido. - botão Trig View : enquanto pressionado, exibe o nível do trigger como uma linha tracejada e o sinal utilizado para o trigger como uma forma de onda na cor azul escuro Controles horizontais A figura 1.8 mostra os botões disponíveis para o controle da escala horizontal. Mesmo quando 2 formas de onda estão sendo exibidas, a escala horizontal (base de tempo) é a mesma para ambas; não é possível usar bases de tempo independentes para cada uma delas. Os controles horizontais permitem ajustar a escala e a posição horizontais, escolher qual parte da tela será exibida e definir o tempo de espera do trigger. Figura 1.8: Comandos disponíveis para controle da escala horizontal. - botão de escala: similar aos botões de escala do controle vertical, este botão seleciona fatores de escala horizontais. Desta forma podemos mostrar na tela um intervalo mais longo ou mais curto da evolução temporal do sinal medido: a forma de onda se contrairá

15 1.6 Osciloscópio digital 14 ou se expandirá em torno da posição do trigger (ver abaixo). Ao girar o botão para a esquerda ou direita, veremos que o fundo de escala (o valor em segundos representado por cada divisão horizontal da gratícula) aumenta ou diminui gradativamente, até os valores máximo e mínimo possíveis. A escala de tempo selecionada aparece na parte inferior da tela (figura 1.5). O fundo de escala horizontal é também conhecido como base de tempo ou velocidade de varredura. - botão de posição: este botão seleciona a posição horizontal a partir de onde a forma de onda será desenhada, ou seja, onde será o início da contagem do tempo. Tem funcionamento bastante intuitivo: quando girado para a direita a forma de onda é deslocada para direita, e quando girado para a esquerda a forma de onda é deslocada para a esquerda. A posição do trigger é indicada por uma pequena seta vertical no topo da tela e seu valor é mostrado também acima da tela (figura 1.5): um valor positivo indica que o trigger está à esquerda do centro da tela, enquanto um valor negativo indica que ele está à direita. - botão de menu horizontal: ao apertar este botão as opções do menu horizontal são exibidas na lateral direita da tela. - botão Set to Zero : faz com que a posição horizontal do trigger volte ao centro da tela Representação do osciloscópio em um diagrama Num circuito, representamos o osciloscópio pelo símbolo indicado na figura 1.9. Ao contrário das medidas de voltagem realizadas com um multímetro, em que podemos fazer medidas entre quaisquer dois pontos do circuito, os osciloscópios sempre realizam medidas entre um ponto e o terra do circuito (que deve estar no mesmo potencial que o terra da rede elétrica). Figura 1.9: Representação esquemática de um osciloscópio num circuito elétrico. As setas indicam onde devem ser conectados os sinais dos canais CH1 e CH2. Como exemplo de uso do osciloscópio para medidas de amplitudes e períodos de sinais periódicos no tempo, considere que o mostrador do osciloscópio seja aquele apresentado na figura 1.10, e que tenham sido utilizadas a escala vertical 1 DIV = 5 V e a escala horizontal 1 DIV = 1ms. Vemos que a forma de onda é senoidal. Para determinarmos o período e a amplitude dessa forma de onda, utilizamos o reticulado da tela do osciloscópio como

16 1.7 Procedimentos Experimentais 15 régua. Observe que cada retículo, ou seja, cada DIV está subdivido em 5 divisões menores. Assim temos para este caso que a amplitude V 0 = (1, 7 ± 0,1) DIV, ou seja, V 0 = (8,5 ± 0,5) V. Também temos que o período T = (5,1 ± 0,1) DIV, ou seja, T = (5,1 ± 0,1) ms. Figura 1.10: Exemplo de sinal na tela do osciloscópio que é discutido no texto. 1.7 Procedimentos Experimentais Esta seção apresenta uma série de exemplos de aplicações. Esses exemplos simplificados destacam alguns dos recursos do osciloscópio e do gerador de sinais e dão idéias de como usá-los para solucionar seus próprios problemas de testes e medidas Procedimento I: seleção dos parâmetros da forma de onda no gerador de funções e medida de amplitude 1. Monte o circuito da figura Observe que esse circuito corresponde a escolher a forma de onda quadrada e a ligar diretamente a saída do gerador de sinais ao canal CH1. Este será o circuito utilizado para todos os procedimentos experimentais desta aula. 2. Ligue o gerador de sinais e selecione a forma de onda quadrada através do botão correspondente. 3. Ajuste a frequência do gerador para 1 khz. Para tanto você deve selecionar o botão de faixa de frequência para 1K ou 10K e em seguida ajustar o valor desejado de frequência. Se o gerador de sinais utilizado for equipado com um frequencímetro e um visor, utilize-o para fazer o ajuste inicial da frequência, mas sempre utilize a leitura de frequência feita pelo osciloscópio para fazer o ajuste fino do valor desejado. Se o gerador não possuir um visor, ajuste a frequência diretamente a partir da leitura de seu valor na tela do osciloscópio. 4. Ajuste a amplitude do sinal de saída para que seu valor esteja próximo de 4 V, observando a forma de onda na tela do osciloscópio. Utilize os controles verticais de

17 1.7 Procedimentos Experimentais 16 Figura 1.11: Circuito a ser montado com um gerador de sinais e um osciloscópio. posição e escala do canal 1 para exibir os patamares superior e inferior da onda quadrada na tela. Utilizando a rede de gratículas, meça a amplitude da onda quadrada. Indique também a escala vertical utilizada Procedimento II: ajuste automático e controle de trigger O botão Auto Set é bastante útil quando se deseja visualizar rapidamente uma dada forma de onda no osciloscópio. O osciloscópio identifica a forma de onda e ajusta seus controles para garantir uma exibição útil do(s) sinal (sinais) de entrada. 1. Pressione o botão Auto Set e espere até que a forma de onda esteja estável na tela. 2. Pressione o botão que habilita a exibição do menu do canal 1 na tela, e anote as opções selecionadas para o canal 1; descreva o quê cada uma delas significa. 3. Pressione o botão que habilita a exibição do Menu de trigger. A indicação do nível de trigger estará ajustada aproximadamente no valor médio da forma de onda do canal 1. Com o botão de nível, aumente o nível do trigger até ele ficar acima do patamar superior da onda quadrada. O que ocorre? Explique. Retorne o nível do trigger até o valor médio da forma de onda para prosseguir com as medidas. 4. Anote a escala vertical da voltagem e a base de tempo selecionadas automaticamente Procedimento III : execução de medidas com diferentes escalas Com o ajuste automático, o osciloscópio define automaticamente as escalas vertical e horizontal. Se você deseja alterar ou otimizar a exibição da forma de onda, ajuste manualmente esses controles.

18 1.7 Procedimentos Experimentais 17 Utilize as escalas de voltagem de 1 V e 5 V por divisão e faça a leitura das amplitudes. Apresente os valores na tabela 1. Estas medidas devem ser feitas pelo sistema de gratículas, através da leitura do número de divisões e posterior multiplicação pelo valor da escala. Neste caso, as incertezas das medidas feitas serão calculadas como metade da menor divisão das gratículas, o que na prática corresponde a 10% do valor da escala. Tabela 1 Escala vertical V 0 ± σ V (V) σ V /V 1,0 V/DIV 5,0 V/DIV Altere as escalas de tempo para 0,1 ms e 0,5 ms por divisão e apresente os valores do período e da frequência na tabela 2. Novamente as medidas devem ser feitas pelo sistema das gratículas, e as incertezas serão metade da menor divisão, ou seja, 10% do valor da escala. Tabela 2 Escala horizontal T ± σ T (ms) σ T /T 0,1 ms/div 0,5 ms/div Quais escalas de voltagem e de tempo proporcionam uma medida com menor incerteza relativa? Procedimento IV: utilizando o menu de medidas Uma alternativa à medida visual, pelo sistema de gratículas, é configurar o osciloscópio para fazer medições automáticas. Há vários tipos disponíveis de medições, tanto de voltagens quanto de tempo, como período, frequência, tensão pico-a-pico, amplitude, etc.. Pressionando o botão do menu de medidas automáticas, Measure, você poderá escolher em qual sinal será feita a medida, se no do canal 1 ou no do canal 2, e que tipo de

19 1.7 Procedimentos Experimentais 18 medida será realizada. Também é possível realizar medidas na forma de onda resultante de operações matemáticas que tenham sido feitas entre as ondas dos canais 1 e 2. É importante notar que as medidas são realizadas na forma de onda que aparece na tela. Assim sendo, para medidas da estrutura temporal do sinal, é preciso que ao menos um período da onda esteja sendo mostrado. Para medidas de voltagem, os limites inferior e superior da forma de onda devem estar visíveis, e para medidas de valores médios de voltagem, é preciso ajustar na tela do osciloscópio múltiplos inteiros de um comprimento de onda. NOTA: se aparecer um ponto de interrogação (?) na leitura de valor, o sinal estará fora da faixa de medição. Ajuste a escala vertical do canal adequado para ou altere a configuração da escala horizontal, até que o ponto de interrogação deixe de ser mostrado ao lado do valor medido. Meça a frequência, o período, a voltagem pico-a-pico, o tempo de subida e a largura positiva do sinal quadrado inicial e complete a tabela 3 com valores medidos. Tabela 3 Grandeza Valor ± σ f T V 0 V pp L pos Procedimento V: usando os cursores Os cursores são pares de linhas que podem ser exibidos na tela para facilitar a medição de grandezas de voltagem (cursores horizontais) ou de tempo (cursores verticais). A figura 1.12 representa os cursores de amplitude e de tempo. Como exemplo de aplicação dos cursores, vamos medir o meio período da onda triangular.

20 1.7 Procedimentos Experimentais 19 Figura 1.12: cursores do tipo Amplitude (à esquerda) e do tipo Tempo (à direita). Figura 1.13: Figura que deve ser observada para medida do meio período de oscilação. 1. Selecione a onda triangular no gerador de funções e ajuste a frequência para cerca de 1400 Hz. Ajuste a escala de tempo até poder observar a onda como na figura 1.13). Ajuste a amplitude da onda para um valor que seja observável no osciloscópio. 2. Pressione o botão Cursor do osciloscópio. Utilizando os botões aoi lado da tela selecione a opção Tempo. Note que barras verticais, como na figura 1.13 aparecem na tela. 3. Para mover os cursores é necessário selecionar um deles de cada vez. Isso é feito através dos botões ao lado direito da tela. Use o botão giratório seletor multi-uso (acima e à direita da tela), para mover cada um dos cursores. Note que o tempo medido por cada cursor é referente ao instante de trigger. 4. Meça o tempo de subida da voltagem. Para isto posicione o cursor 1 em um vale da oscilação, e posicione o cursor 2 no pico seguinte da oscilação (como na figura 1.13). A leitura da diferença de tempo da leitura de cada cursor, t, dará meio período, enquanto a leitura de 1/ t dará o valor correspondente ao dobro da frequência desta onda triangular. Anote os valores e preencha a Tabela 4. Note que a incerteza dos valores medidos é relativa à escolha feita ao posicionar os cursores, ou seja, pelo usuário. Estime a incerteza usando posições do cursor que ainda são compatíveis com a as medidas de vale e pico da onda.

21 1.7 Procedimentos Experimentais 20 Tabela 4 Tipo Tempo - frequência de oscilação Cursor 1 Cursor 2 t 1/ t 5. Selecione agora o tipo Amplitude para os cusores. Aparecem duas linhas horizontais na tela. 6. Meça a amplitude pico-a-pico (V pp ) da onda triangular posicionando o cursor 1 no topo de um pico e o cursor 2 em um dos vales da onda. Agora no menu Cursores faça a leitura da grandeza V, a diferença de voltagem entre as duas linhas dos cursores. 7. Anote todos este valores e preencha a Tabela 5. Não esqueça de estimar as incertezas como na medida anterior. Tabela 5 Tipo Amplitude - amplitude dos picos da oscilação Cursor 1 Cursor 2 V Procedimento VI: observação de 2 formas de onda simultaneamente Como mencionado anteriormente, os osciloscópios disponíveis no laboratório têm a a capacidade de mostrar simultaneamente 2 formas de ondas independentes. Vamos utilizar essa capacidade para observar 2 formas de onda produzidas pelo gerador de ondas. 1. Conecte com um cabo coaxial a saída principal do gerador de funções (pode estar identificada como Output ou Main, dependendo do modelo utilizado) ao canal 2 do osciloscópio. 2. Conecte com um outro cabo coaxial a saída auxiliar do gerador de funções (pode estar identificada como TTL/CMOS ou Sync, dependendo do modelo utilizado) ao canal 1 do osciloscópio. 3. Selecione uma forma de onda senoidal, e ajuste a frequência e a amplitude do sinal para 1 khz e 4 V, respectivamente.

22 1.7 Procedimentos Experimentais Caso as 2 formas de onda não estejam aparecendo na tela do osciloscópio, use o ajuste automático (botão Autoset ). O aluno deve ver 2 formas de onda diferentes, cada uma mostrada com uma cor. Selecione uma base de tempo que permita a visualização de ao menos um período completo da onda quadrada. 5. Pressione o botão que habilita a exibição do Menu de trigger. No lado esquerdo da tela, veja qual sinal está sendo utilizado como trigger (é a opção Origem ). Selecione o sinal do canal 1 como o sinal do trigger (caso esta opção já não esteja selecionada). Note que a seta que indica o nível do trigger na tela tem a cor do sinal selecionado como origem. 6. Varie o valor do nível do trigger, sem no entanto levá-lo acima (abaixo) do patamar superior (inferior) da onda quadrada. As formas de onda se deslocam horizontalmente na tela? 7. Selecione agora o sinal do canal 2 como o sinal do trigger. Novamente varie o valor do nível do trigger, sem no entanto levá-lo acima (abaixo) do valor máximo (mínimo) da onda senoidal. Desta vez as formas de onda se deslocam horizontalmente na tela? Explique Procedimento VII: adicionando valores constantes aos sinais Os geradores de funçẽs permitem que se some um valor constante ( offset ) às formas de onda produzidas. Normalmente o operador pode escolher o valor deste offset. 1. Mantendo o mesmo arranjo do procedimento anterior, selecione uma forma de onda quadrada e, no osciloscópio, desabilite a exibição do canal Aperte o botão DC Offset e varie o valor somado ao sinal periódico com o botão giratório DC Offset ; dependendo do modelo do gerador, você deverá puxar o botão DC Offset e então girá-lo. Ajuste o valor do offset de maneira que o patamar inferior da onda quadrada esteja sobre a linha de 0 V. 3. Agora habilite a exibição do menu do canal 2 e, na opção Acoplamento, selecione a opção CA. O quê ocorre com a forma de onda? Explique.

23 Noções básicas de circuitos elétricos e Lei de Ohm Material resistores de 10 kω e 2,2 kω. 2.2 Introdução Além da voltagem, frequentemente é necessário medir a corrente elétrica para completamente caracterizer os dispositivos eletronicos. Assim como a voltagem, a corrente também pode ser constante ou variar no tempo. A relação de proporcionalidade entre voltagem e corrente é denominada de resistência. Essas quantidades são definidas mais claramente nas próximas seções. 2.3 Corrente elétrica Usualmente identificada pelo símbolo i, a corrente é o fluxo de carga elétrica que passa por um determinado ponto. A unidade de medida de corrente é o ampère (1 A = 1 coulomb/segundo). O ampère, em geral, é uma unidade muito grande para as aplicações do dia-a-dia. Por isso, as correntes são geralmente expressas em mili-ampères (1 ma = 10 3 A), micro-ampères (1 µa = 10 6 A) ou nano-ampères (1 na = 10 9 A). Por convenção, os portadores de corrente elétrica são cargas positivas que fluem de potenciais mais altos para os mais baixos (embora o fluxo de elétrons real seja no sentido contrário). 2.4 Resistência Para que haja fluxo de cargas elétricas são necessários dois ingredientes básicos: uma diferença de potencial e um meio por onde as cargas elétricas possam circular. Para uma dada voltagem, o fluxo de cargas dependerá da resistência do meio por onde essas car-

24 2.4 Resistência 23 gas deverão passar. Quanto maior a resistência, menor o fluxo de cargas para uma dada diferença de potencial. Os materiais são classificados, em relação à passagem de corrente elétrica, em três categorias básicas: os isolantes, que são aqueles que oferecem alta resistência à passagem de cargas elétricas; os condutores, que não oferecem quase nenhuma resistência à passagem de corrente elétrica; e os semicondutores que se situam entre os dois extremos mencionados anteriormente. Usamos a letra R para indicar a resistência de um material, e a unidade de medida desta grandeza é o ohm (Ω). O símbolo para indicar uma resistência em um circuito elétrico é mostrado na figura 2.1. A B R Figura 2.1: Representação esquemática de um resistor colocado entre os pontos A e B de um dado circuito. As diferenças de potencial são produzidas por geradores, que são dispositivos que realizam trabalho de algum tipo sobre as cargas elétricas, levando-as de um potencial mais baixo para outro mais alto. Isso é o que ocorre em dispositivos como baterias (energia eletroquímica), geradores de usinas hidrelétricas (energia potencial da água armazenada na represa), células solares (conversão fotovoltaica da energia dos fótons da luz incidente), etc. A resistência de um material condutor é definida pela razão entre a voltagem V aplicada aos seus terminais e a corrente i passando por ele: R = V i. (2.1) A equação 2.1 é uma das representações da Lei de Ohm, e será muito utilizada nesta disciplina. Através dela vemos que no SI a unidade de resistência é definida por 1 Ω = 1 V/A. Na montagem de circuitos elétricos e eletrônicos dois tipos de associações de elementos são muito comuns: associações em série e em paralelo Associação de resistores em série Elementos de um circuito elétrico (como por exemplo resistores) são ditos ligados em série se conduzem a mesma corrente. Na figura 2.2 mostramos uma associação em série dos resistores R 1 e R 2. Num circuito

25 2.4 Resistência 24 elétrico os dois resistores ligados em série têm o mesmo efeito de um resistor equivalente de resistência R s. Na associação em série de resistores, a corrente i 1 passando por R 1 e a corrente i 2 por R 2 são a mesma corrente i passando pela associação: i = i 1 = i 2. (2.2) As voltagens no resistor R 1, V 1 = V AB, e no resistor R 2, V 2 = V BC, somadas são iguais à voltagem da associação V AC : Para a associação em série de resistores temos então: V AC = V AB + V BC = V 1 + V 2. (2.3) R = R 1 + R 2. (2.4) a) A B C R 1 R 2 b) A C R s Figura 2.2: a) Associação em série de resistores. b) Resistor equivalente Associação de resistores em paralelo Elementos de um circuito elétrico são ditos ligados em paralelo, se estão ligados entre o mesmo par de nós, e portanto têm a mesma tensão em seus terminais. Na figura 2.3 mostramos uma associação em paralelo dos resistores R 1 e R 2. Num circuito elétrico os dois resistores ligados em paralelo têm o mesmo efeito de um resistor equivalente de resistência R p. Na associação em paralelo de resistores, soma da corrente i 1 passando por R 1 e da corrente i 2 por R 2 é a corrente total i passando pela associação: i = i 1 + i 2. (2.5) As voltagens nos resistores R 1, V 1, e R 2, V 2, são a mesma voltagem da associação V AB : V AB = V 1 = V 2. (2.6)

26 2.5 Leis de Kirchhoff 25 Para a associação em paralelo de resistores, a resistência equivalente R p será: 1 R p = 1 R R 2. (2.7) A a) b) A R 1 R 2 R p B C Figura 2.3: a) Associação em paralelo de resistores. b) Resistor equivalente. 2.5 Leis de Kirchhoff Para enunciar as leis de Kirchhoff para circuitos é necessário darmos algumas definições da teoria de circuitos: Elemento de circuito um componente que tem dois terminais e pode ser descrito em termos de tensão e corrente. Há cinco elementos básicos ideais de circuitos: resistor, capacitor, indutor, fonte de tensão, e fonte de corrente. Circuito a ligação entre elementos de circuitos, de modo que formem pelo menos um caminho fechado para a corrente fluir. Nó o ponto em qual dois ou mais elementos se unem. Ramo um caminho entre dois nós consecutivos. Segmentos de condutor não contam como elementos ou ramos. Laço (loop) um caminho fechado simples num circuito passando somente uma vez em cada nó e voltando ao nó de partida. Malha (mesh) um laço que não contém nenhum outro laço dentro Lei das correntes de Kirchhoff A primeira lei de Kirchhoff, ou lei das correntes (LCK), afirma que a soma algébrica de todas as correntes em qualquer nó de um circuito é igual a zero: i saída + i entrada = 0.

27 2.5 Leis de Kirchhoff 26 Essa lei pode ser entendida como uma lei de conservação das cargas, ou que não há acúmulo de carga numa junção e cargas não são perdidas nem criadas: a carga total entrando num nó é exatamente igual à carga deixando o nó. Vamos ilustrar a LCK usando o exemplo de nó mostrado na Fig. 2.4 a). Aqui, definimos o sentido de referência para a corrente da seguinte maneira: às correntes que entram no nó (i 1, i 3 e i 5 ) são atribuídos sinais algébricos positivos e às correntes que saem do nó (i 2 e i 4 ) são atribuídos sinais negativos. Logo, i 1 i 2 + i 3 i 4 + i 5 = 0. Para que a corrente flua dentro ou fora de um nó de um caminho de circuito fechado deve existir. Nós podemos usar a LCK ao analisar circuitos em paralelo. Figura 2.4: Exempos das Leis de Kirchhoff: a) Lei das correntes. b) Lei das tensões Lei das tensões de Kirchhoff A segunda Lei de Kirchhoff, a lei das tensões (LTK), também chamada de lei das malhas, afirma que a soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer caminho fechado em um circuito é igual a zero. Esta lei de Kirchhoff é baseada na conservação de energia. Para aplicar a LTK, devemos escolher o sentido em que vamos percorrer o laço (horário ou anti-horário). Optamos pelo sentido horário e sempre vamos percorrer os caminhos neste sentido. Definimos o sentido de referência para as tensões: vamos atribuir sinal positivo às quedas de tensão, e sinal negativo aos aumentos de tensão. No exemplo mostrado na Fig. 2.4 b), percorrendo o laço no sentido horário, a LTK dá V AB + V BC + V CD + V DA = 0. Note que V DA = V AD, ou seja invertendo os pontos de medida, a tensão troca de sinal. Podemos sempre usar a LTK ao analisar circuitos em série.

28 2.6 Uso dos equipamentos Uso dos equipamentos de medida da bancada Um ponto importante, e que diz respeito diretamente ao nossa disciplina, é que para verificar as relações entre as diversas grandezas que participam de um circuito elétrico devemos medi-las. Mais precisamente, devemos conhecer as correntes e as voltagens que ocorrem no circuito. Para isso, existem diversos instrumentos, como o voltímetro e o amperímetro, que nos permitem realizar essas medidas. Esses instrumentos indicam o valor medido através do movimento de uma agulha ou ponteiro em uma escala (mostradores analógicos), ou por um mostrador digital. Um outro instrumento, mais versátil, que vamos utilizar é o osciloscópio. Com ele podemos ver voltagens em função do tempo em um ou mais pontos de um circuito. Inicialmente vamos nos restringir a correntes e voltagens que não variam no tempo, ou seja, que possuem um valor constante. Elas são classificadas como contínuas. Usamos o termo genérico corrente contínua (CC, ou DC) quando nos referimos a voltagens e correntes que não variam no tempo. Para as voltagens e correntes que variam no tempo damos o nome genérico de corrente alternada (AC). Os equipamentos disponíveis para nossas medidas na aula de hoje são o multímetro e uma fonte de alimentação DC (corrente contínua). Há ainda uma bancada com diversos resistores e capacitores que serão utilizados nas montagens experimentais Fonte de alimentação DC A fonte de alimentação DC (corrente direta do termo original em inglês) na bancada é um equipamento utilizado para transformar a corrente alternada que existe na rede normal de distribuição em corrente contínua. As fontes utilizadas nesta disciplina serão fontes de tensão variável, ou seja, a voltagem nos terminais pode ser variada entre 0 V e algumas dezenas de volts. A voltagem desejada pode ser ajustada no painel frontal da fonte, e pode ser usada nos circuitos apenas conectando os cabos nos conectores de saída da fonte, identificados como saída positiva (potencial mais alto) e negativa (potencial mais baixo). Representamos uma fonte de tensão contínua pelo símbolo mostrado na Figura 2.5, onde a seta inclinada indica que a tensão por ela produzida é variável. Num circuito elétrico a fonte DC é um elemento polarizado, isto significa que a corrente sai de seu terminal positivo (B) e entra em seu terminal negativo (A). Se a polaridade não for respeitada, alguns componentes do circuito podem ser danificados. Veja na Figura 2.6 um diagrama esquemático de como utilizar o a fonte de tensão DC de bancada para as medidas efetuadas no laboratório.

29 2.6 Uso dos equipamentos V B Figura 2.5: Representação de uma fonte DC cuja tensão pode ser ajustada. Figura 2.6: Diagrama esquemático da fonte de tensão de bancada. Note que o GND é um potencial terra de referencia. A tensão é fornecida como uma diferença de potencial entre os terminais + e Amperímetro Medidas de correntes elétricas podem ser feitas com o uso de amperímetros. Os primeiros amperímetros construídos eram aparelhos analógicios e seu funcionamento se baseava em um instrumento chamado galvanômetro. Galvanômetro é o nome genérico de um instrumento capaz de acusar a passagem de uma corrente elétrica. Seu princípio de funcionamento é baseado nos efeitos magnéticos das correntes elétricas. Ao fazermos passar uma corrente elétrica por um condutor, geramos um campo magnético à sua volta. Se este condutor for enrolado na forma de uma

30 2.6 Uso dos equipamentos 29 espira (ou várias delas), podemos verificar que ele se comporta exatamente como um imã, ou como uma agulha de uma bússola, causando e sofrendo forças e torques devido a interações com outros imãs, ou campos magnéticos externos. Este é o princípio de funcionamento básico do galvanômetro: uma bobina muito leve formada por muitas espiras de fio de cobre, com diâmetro da ordem da espessura de um fio de cabelo, é montada de tal maneira que quando passa uma corrente por ela, um torque é gerado fazendo com que haja a deflexão de uma agulha. A deflexão da agulha é proporcional à corrente elétrica que passa pela bobina. O amperímetro é baseado em um galvanômetro montado em paralelo com uma resistência de desvio. Ele é polarizado e deve ser inserido em série no ponto do circuito onde se deseja medir a corrente. O símbolo mostrado na Figura 2.7 é utilizado frequentemente para indicar um medidor de corrente. + - Figura 2.7: Representação esquemática de um medidor de corrente, ou amperímetro Voltímetro O voltímetro, como o nome diz, é um instrumento que mede voltagens ou diferenças de potencial. Sua construção também é baseada no princípio do galvanômetro, em série com uma resistência de valor alto. O voltímetro deve ser ligado em paralelo com o elemento de circuito cuja tensão estamos medindo. Como sabemos, quando duas resistências são ligadas em paralelo, a diferença de potencial em cada resistência é a mesma da associação e a corrente que passa em cada uma das resistências dependerá do valor da resistência. Sendo a resistência do voltímetro muito alta, a corrente passando por ele será pequena e não afetará o funcionamento do circuito. Esta corrente poderá ser medida pelo galvanômetro e convertida em tensão usando o valor conhecido da resistência em série (usando a lei de Ohm). + - V Figura 2.8: Representação usual de voltímetros em circuitos elétricos. O símbolo apresentado na Figura 2.8 é frequentemente utilizado para representar um voltímetro em circuitos elétricos.

31 2.6 Uso dos equipamentos Multímetro digital: medidas de tensão e corrente Figura 2.9: Diagrama esquemático do multímetro digital de bancada. Os voltímetros e amperímetros das formas descritas acima apresentam muitas limitações substituídos gradualmente por aparelhos digitais que apresentam algumas vantagens extremamente importantes. Em primeiro lugar, a resistência interna do voltímetro passa de algumas dezenas de kω para alguns TΩ (T significa tera, 1 tera = 10 12, além do prefixo tera usamos também com frequência o giga = 10 9 e o mega = 10 6 ), o que o torna um instrumento ideal para as medidas usuais de diferenças de potencial. O princípio de medida também é diferente, pois ao invés de interações entre correntes e campos magnéticos, como no caso dos instrumentos analógicos, usam-se conversores analógico-digitais para detectar diferenças de potencial. Veja na Figura 2.9 um diagrama esquemático de como utilizar o multímetro digital de bancada para as medidas efetuadas no laboratório. O multímetro digital é um instrumento que permite medir digitalmente voltagens, correntes e diversas outras grandezas derivadas, com alto grau de precisão e acurácia. Tratase de um equipamento sensível e com o qual se deve tomar, na sua utilização, os mesmos cuidados observados com os instrumentos analógicos. Com este instrumento podemos medir voltagem contínua, voltagem alternada, corrente contínua, resistência elétrica, capacitância, entre outros. Por questões de segurança, quando vamos efetuar uma medida de uma grandeza des-

32 2.7 Procedimentos Experimentais 31 conhecida, temos que tomar um certo cuidado para não submeter o aparelho a grandezas cujas intensidades sejam demasiadamente grandes e que podem danificá-lo. Por isso, uma boa regra é mantermos o aparelho ligado sempre na MAIOR escala possível e irmos diminuindo o valor da escala até obtermos a medida com menor incerteza possível Protoboard Figura 2.10: Diagrama esquemático do protoboard. Um dos equipamentos que vamos utilizar durante todo a disciplina será o protoboard. É nele que ligamos os componentes eletrônicos e os instrumentos de medição. O protoboard contém alguns pontos que são interligados entre si e outros pontos independentes. Os pontos independentes servem para inserir um componente de um ponto ao outro do circuito e desta maneira completar a ligação. Veja a Figura Procedimentos Experimentais Procedimento I: Lei de Ohm O objetivo desse experimento é confirmar a lei de Ohm, comprovando a relação: V = Ri (2.8) Vamos montar um circuito formado por um resistor (R 1 = 10 kω ), uma fonte de tensão, um amperímetro e um voltímetro (ambos multímetros digitais).

33 2.7 Procedimentos Experimentais 32 Figura 2.11: Circuito a ser montado para o Procedimento I. 1. Ligue a fonte de tensão. O valor da voltagem é fornecido entre os terminais + e. Certifique-se que a tensão é 0 (zero). 2. Monte o circuito indicado na Figura Conecte o voltímetro entre os terminais do resistor de modo a medir a voltagem entre os pontos A e B. Conecte o amperímetro ao circuito de modo a medir a corrente que passa por R 1 no ponto B. Utilize a Figura 2.12 como guia. O resistor não possui polaridade e poderá ser usado sem preocupação quanto ao sentido da corrente que o atravessa. 3. Vamos variar a voltagem fornecida pela fonte, medir a voltagem com o voltímetro e medir a corrente passando pelo circuito com o amperímetro. Ajuste a voltagem da fonte para 1 V. Meça os valores de i e V AB e anote-os na Tabela 1. Observe que V AB é a voltagem aplicada pela fonte. 4. Inverta as posições do amperímetro e resistor. Note que agora a corrente está sendo medida antes do resistor, ou seja, no ponto A. Faz alguma diferença na medida a posição em que você insere o amperímetro? Por quê? 5. Utilize a fonte regulável (botão giratório) para variar a voltagem no resistor. Escolha valores de voltagem entre 1 e 2 V. Anote o valor de V AB medido pelo voltímetro e seu correspondente valor da corrente i medido pelo amperímetro. Não se esqueça de anotar também os valores das incertezas de suas medidas. Complete a Tabela 1 com outros cinco pares de pontos (i, V AB ). 6. Meça o valor da resistência de R 1 e sua incerteza usando um multímetro digital. 7. Faça um gráfico de V AB (eixo y) contra i (eixo x). Determine graficamente (isto é, sem o uso de computadores) o coeficiente angular da reta que melhor se ajusta aos seus pontos experimentais, e a partir dele o valor da resistência R. Estime também a sua incerteza σ R. Tenha atenção com as unidades de medida dos valores usados no ajuste da reta. Será feito o ajuste da função V = Ri, onde V deve estar em volts e i em ampères, para que tenhamos R em ohms.

34 2.7 Procedimentos Experimentais 33 Figura 2.12: Como montar o circuito da Figura 2.11 no protoboard. Note que se o amperímetro, ou o voltímetro tiverem seus terminais invertidos, o valor dado no mostrador trocará de sinal Procedimento II: Lei das tensões de Kirchhoff e associação em série Vamos verificar experimentalmente a lei das tensões de Kirchhoff fazendo medidas de voltagem e corrente numa montagem de resistores em série. Figura 2.13: Circuito a ser montado para o procedimento No circuito da Figura 2.13 temos que: V AB + V BC + V CA = 0, já que a soma de todas as tensões num circuito fechado deve ser nula. Dessa mesma forma, a corrente que atravessa todos os elementos desse circuito deve ser a mesma. Note que V CA = V AC, o que depende do ponto de medida do multimetro. Para comprovar esta

35 2.7 Procedimentos Experimentais 34 suposição vamos realizar o procedimento abaixo. 1. Ligue a fonte de tensão e ajuste a voltagem para V B = 0 V antes de iniciar a montagem do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura Tome como exemplo o diagrama do protoboard da Figura Ajuste o valor da voltagem na fonte para V B = 5 V, usando o voltímetro. 3. Meça as correntes nos pontos A e B e as voltagens V AB (entre A e B), V BC (entre B e C) e V AC (entre A e C). Complete as Tabelas 2 e 3 com estes valores e suas respectivas incertezas. Figura 2.14: Guia de montagem do procedimento Note que ao inverter o lugar do amperímetro com o de R 1, medimos a corrente no ponto A. Da mesma forma, trocando a posição do amperímetro com R 2, medimos a corrente no ponto C Procedimento III: Lei das correntes de Kirchhoff e associação em paralelo Vamos verificar experimentalmente a lei das correntes de Kirchhoff fazendo medidas de voltagem e corrente numa montagem de resistores em paralelo. 1. Ligue a fonte de alimentação e ajuste a voltagem para V B = 0 V antes de iniciar a montagem do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura Tome como exemplo o diagrama do protoboard da Figura Ajuste o valor da voltagem na fonte para V B = 2 V, usando o voltímetro.

36 2.7 Procedimentos Experimentais 35 Figura 2.15: Circuito a ser montado para o procedimento Figura 2.16: Guia de montagem do procedimento Os elementos J 1, J 2, J 3 são conectores de junção para fechar o circuito e as setas das correntes têm tamanhos diferentes para mostrar que suas magnitudes são também diferentes. Nessa montagem o amperímetro está medindo apenas i D. O que acontece se invertermos as posições dos resistores? 3. Meça as correntes nos pontos A, B e D e as voltagens V AC, V BC e V DE. Complete as Tabelas 4 e 5 com estes valores e suas respectivas incertezas.

37 Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal Material resistores de 1 kω e 100 Ω. 3.2 Introdução Nas aulas anteriores estudamos o comportamento de circuitos resistivos com tensão constante. A partir desta aula, estudaremos também o comportamento de circuitos quando submetidos a voltagens senoidais, ou seja, voltagens que variam no tempo descrevendo uma função seno Sinais senoidais Quando estamos lidando com circuitos elétricos, sinais senoidais são voltagens que variam no tempo descrevendo uma função do tipo senóide. Esses sinais podem ser produzidos por um gerador de funções (como aquele utilizado no primeiro experimento) e são representados em sua forma mais geral por uma função do tipo V G (t) = V 0 sen(ωt + θ), (3.1) onde V 0 é o que chamamos de amplitude da forma de onda. V 0 é o valor da voltagem quando a função seno é igual à unidade, ou seja, é o valor máximo da voltagem gerada. A amplitude também é chamada de valor de pico da função, e seu valor é sempre positivo. Quando a função seno atinge o valor 1, a voltagem tem seu valor mínimo V 0. Portanto um sinal senoidal oscilará entre os valores extremos V 0 e + V 0 e a diferença entre esses valores é o que chamamos de valor pico-a-pico da voltagem, normalmente repre-

38 3.2 Introdução 37 Figura 3.1: Figura que mostra os parâmetros que definem uma forma de onda senoidal. No exemplo apresentado, temos V 0 = 5 V, (o que significa que V PP = 10 V) e T = 1 ms (o que equivale a dizer que f = 1 khz). Note que θ = 0. sentado por V PP. A partir dessa definição, fica óbvio que V PP = 2 V 0. (3.2) Para determinarmos a amplitude de um sinal senoidal utilizando um osciloscópio, é preciso medir a diferença (em módulo) entre o máximo valor que a voltagem assume e o zero da função (o zero do canal ao qual o sinal está conectado). Alternativamente, pode-se simplesmente medir a diferença (também em módulo) entre os valores máximo e mínimo da função (que vem a ser a tensão pico-a-pico) e dividir o valor por dois. A figura 3.1 ilustra essas definições. O símbolo ω representa a frequência angular da senóide e é definida por ω = 2 πf, (3.3) onde f é a frequência linear (ou simplesmente frequência) da senóide, representando o número de oscilações realizadas por unidade de tempo. Como o período T da onda representa o tempo necessário para a realização de uma oscilação completa, obtemos a relação entre frequência e período: f = 1 T. (3.4) O argumento da função seno (ωt+θ) é chamado de fase da senóide, e θ é denominado de constante de fase. Esta é uma constante arbitrária que é utilizada para determinar o valor

39 3.2 Introdução 38 Figura 3.2: Voltagens que possuem a mesma amplitude e frequência, mas com diferenças de fase entre si. Tomando o sinal representado pela linha contínua como referência, a linha pontilhada (V 1 ) representa um sinal com uma defasagem de π/4 radianos, enquanto o sinal representado pela linha tracejada (V 2 ) possui uma defasagem de +π/4 radianos. da função em t = 0 (a partir da equação 3.1 vê-se imediatamente que V (t = 0) = V 0 sen θ). Em nossos procedimentos experimentais definiremos a função que representa o sinal produzido pelo gerador como aquela representada pela linha sólida da Figura 3.2; esta será nossa função de referência. Isso significa que para esse sinal escolhemos arbitrariamente θ = 0 na equação 3.1. Na prática o valor da constante de fase só é relevante se estivermos comparando duas (ou mais) funções senoidais. Nesse caso a constante de fase θ serve essencialmente para determinar a diferença de tempo que uma senóide leva para chegar à mesma fase de outra senóide tomada como referência. Portanto se representamos o sinal de referência como V 01 sen(ωt), o sinal representado por V 02 sen(ωt+θ) possui uma diferença de fase θ. A título de exemplo, sejam V 1 (t) e V 2 (t) duas voltagens que variam senoidalmente em função do tempo com a mesma frequência. Se elas atingem seus respectivos valores máximos em instantes de tempo diferentes é porque existe uma diferença de fase entre elas. A figura 3.2 mostra duas funções defasadas em relação a um sinal V G (t) tomado como referência, uma apresentando uma defasagem de + π/4 radianos (ou + 45 ) e a outra apresentando uma defasagem de π/4 radianos (ou 45 ) Na figura 3.2 a linha contínua representa a voltagem de referência, que assume o valor zero em t = 0. Quando V G (t) passa pela linha de zero volt com derivada positiva (isto é, crescendo) V 2 (t) tem um valor positivo e V 1 (t) tem um valor negativo. Dizemos então que a fase de V 2 (t) está adiantada, enquanto a fase de V 1 (t) está atrasada (ambas em relação ao sinal de referência). Essas três funções podem ser representadas pelas seguintes

40 3.2 Introdução 39 expressões: com V 0 = 5 V e T = 1 ms. V G (t) = V 0 sen(ωt), (3.5) V 1 (t) = V 0 sen(ωt π/4), (3.6) V 2 (t) = V 0 sen(ωt + π/4), (3.7) Voltagens do tipo senoidal são as mais simples de serem produzidas, e também as mais simples de serem tratadas matematicamente. Por isso são as formas de onda mais comumente encontradas: a voltagem presente nas tomadas das residências é senoidal, e por isso chamada de corrente alternada. A eletricidade produzida por geradores em usinas hidrelétricas é resultado de voltagens induzidas pela rotação de turbinas, voltagens essas descritas por funções senoidais. Uma das grandes vantagens da utilização de senos (ou cossenos) para representar sinais elétricos vem do fato que essa classe de funções são soluções de equações diferenciais que descrevem muitos fenômenos encontrados na natureza, incluindo circuitos elétricos lineares. O instrumento ideal para a observação e medida de sinais elétricos alternados é o osciloscópio. Entretanto voltímetros (ou multímetros digitais) também podem ser utilizados, uma vez que se conheça suas limitações. Como um sinal alternado possui um valor médio nulo, quando utilizamos a opção V a.c. de um voltímetro, o sinal passa por um dispositivo chamado retificador de onda completa, que transfoma a função V 0 sen(ωt) em V 0 sen(ωt), que só assume valores positivos. Nesse caso o valor medido para a voltagem é chamado de valor eficaz, que é definido como a raiz quadrada do valor médio do quadrado de V (t): V ef = { 1 T T 0 } 1 [V 0 sen(ωt)] 2 2 dt = V 0. (3.8) 2 Por exemplo, o valor da voltagem na rede elétrica doméstica é 127 V. Esse é o valor eficaz, o quê significa que a amplitude da tensão na rede é V 0 = 179, 6 V. Multímetros sempre medem valores eficazes de tensão, e são geralmente calibrados para a frequência de 60 Hz (frequência da rede elétrica). Portanto suas medidas só são confiáveis para sinais com frequências próximas deste valor Resistores em corrente alternada Circuitos lineares, como o próprio nome indica, são aqueles nos quais as voltagens e correntes se relacionam de forma linear. É o caso de resistores, para os quais a Lei de Ohm (estudada na primeira aula) mostra que a tensão aplicada é proporcional à corrente, com a constante de proporcionalidade sendo chamada de resistência. Isso foi verificado no ex-

41 3.2 Introdução 40 Figura 3.3: Voltagem (linha sólida) e corrente (linha tracejada) para um resistor de R = 1 kω submetido a uma tensão alternada com 5 V de amplitude e 1 khz de frequência. perimento anterior, para resistores submetidos a tensões constantes; mas a Lei de Ohm também vale para os casos em que os resistores estão sujeitos a tensões alternadas. Considere um resistor com uma resistência R submetido a uma tensão V G (t) = V 0 sen(ωt). Pela Lei de Ohm a corrente no resistor será dada por: i(t) = V G(t) R = V 0 R sen(ωt) = i 0 sen(ωt), (3.9) onde definimos a amplitude da corrente, i 0 V 0 /R. A equação 3.9 mostra alguns fatos interessantes: a corrente que atravessa o resistor também é uma sinal senoidal, e que oscila com a mesma frequência da tensão aplicada. Essas são características de circuitos lineares. Além disso, podemos notar que não há nenhuma diferença de fase entre a voltagem e a corrente. A figura 3.3 mostra os gráficos para corrente e voltagem em função do tempo, para um sinal com amplitude V 0 = 5 V e período T = 1 ms. Note que a partir da definição de i 0, podemos calcular a resistência em termos das amplitudes de tensão e corrente: R = V 0 i 0. (3.10) A equação 3.10 mostra que a amplitude de corrente não depende da frequência do sinal aplicado; este é um resultado extremamente importante, pois nos permite determinar a amplitude de corrente num circuito simplesmente medindo a amplitude de tensão no resistor e dividindo este valor pela resistência.

42 3.3 Procedimentos experimentais 41 Figura 3.4: Circuito a ser utilizado no Procedimento I. 3.3 Procedimentos experimentais Procedimento I: uso do multímetro e do osciloscópio para medidas de tensão alternada Selecione a forma de onda senoidal com amplitude de 4 V no gerador de sinais e conecte sua saída ao canal 1 do osciloscópio. Conecte também o multímetro digital de bancada ao gerador para medir sua voltagem, de acordo com a figura 3.4. Selecione uma frequência próxima de 60 Hz e faça as seguintes medidas com o sinal produzido: 1. meça a frequência do sinal senoidal com o osciloscópio (lembre-se que isso pode ser feito de 2 maneiras: usando o sistema de gratículas para medir o período e utilizar a equação 3.4 ou então utilizar o menu Medidas ); lembre-se também que a frequência mostrada pelo gerador de funções representa apenas uma indicação de frequência; 2. meça a amplitude do sinal senoidal com o osciloscópio (seja utilizando o sistema de gratículas ou o menu Medidas ); 3. meça a voltagem com o multímetro (selecione a opção Voltagem AC ); Repita agora essas medidas para uma frequência de 3 khz, apresente seus resultados na Tabela 1 e comente os resultados obtidos. Ao mudar a frequência, verifique pelo osciloscópio se a amplitude do sinal do gerador continua igual a 4 V e, caso ela tenha mudado, corrija para o valor inicial. Tabela 1 f ± σ f V 0 ± σ V0 (V) V ± σ V (V)

43 3.3 Procedimentos experimentais 42 Figura 3.5: Circuito a ser utilizado no Procedimento II Procedimento II: circuitos resistivos com tensão senoidal Neste procedimento estamos interessados em verificar que a Lei de Ohm de fato se aplica a um resistor quando submetido a voltagens e correntes senoidais. A idéia é realizar com o osciloscópio medidas simultâneas das amplitudes de tensão e corrente e verificar graficamente se existe uma relação linear entre V 0 e i 0, como previsto pela equação Caso essa relação seja observada, será possível obter o valor da resistência e comparar com outra medida (como aquela obtida utilizando um multímetro digital, por exemplo). Lembre-se que o osciloscópio mede voltagens, portanto para medir a amplitude de corrente utilizamos um expediente muito comum, que é inserir um segundo resistor em série, medir a amplitude de tensão sobre ele e calcular a corrente como i(t) = V (t)/r. 1. Monte o circuito da figura 3.5, usando os resistores R 1 = 1 kω e R 2 = 100 Ω. R 1 é o resistor para o qual desejamos verificar a Lei de Ohm enquanto R 2 é utilizado para calcular a amplitude de corrente. Meça os valores das duas resistências com o multímetro, e anote seus valores com as respectivas incertezas. 2. Selecione um sinal senoidal no gerador de funções, com uma frequência próxima de 500 Hz. Você deve observar uma figura semelhante à figura 3.3. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal do gerador, com sua incerteza. O sinal da corrente possui frequência igual ou diferente? Há diferença de fase entre esses dois sinais? 3. Ajuste a amplitude da tensão no gerador de modo que a amplitude de tensão sobre o resistor R 2 (medida no canal 2) seja V 0R2 = 0, 30 V e com esse valor calcule a amplitude de corrente como i 0 = V 0R2 /R 2. Note que o sinal medido no canal 1 é a tensão do gerador (com amplitude V 0G, medida no canal 1) e para construirmos o gráfico desejado precisamos da amplitude de tensão sobre o resistor R 1, que pode ser calculada simplesmente como a diferença V 0R1 = V 0G V 0R2. (3.11)

44 3.3 Procedimentos experimentais Repita agora a medida para outros cinco valores de V 0R2, sempre ajustando a amplitude de voltagem no gerador para que a amplitude V 0R2 aumente em intervalos de 0,10 V. Complete a Tabela 2 com esses dados. 5. Faça um gráfico de V 0R1 versus i 0 e comente sobre o comportamento observado. Obtenha o valor de R 1 a partir desse gráfico e compare com o valor obtido na medida direta com o multímetro, comentando seu resultado. Este resultado seria diferente se a frequência do sinal do gerador fosse diferente de 500 Hz? Tabela 2 V 0R2 ± σ V0R2 i 0 ± σ i0 (A) V 0G ± σ V0G (V) V 0R1 (V) σ V0R1 (V) 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

45 Transientes em circuitos RC: Tempo de carga de um capacitor Material capacitores de 100 nf e 1 µf; resistores de 56 Ω e 10 kω. 4.2 Introdução O objetivo desta aula é estudar o comportamento de capacitores acoplados a circuitos resistivos em tensão constante. Serão realizadas medidas das constantes de tempo para o circuito RC (resistor e capacitor em série). 4.3 Capacitores Sabemos que podemos armazenar energia sob a forma de energia potencial de diversas formas. Podemos armazenar em uma mola estendida, comprimindo um gás ou elevando um objeto com uma determinada massa. Uma outra maneira de armazenar energia na forma de energia potencial é através de um campo elétrico, e isso se faz utilizando um dispositivo chamado capacitor. O capacitor (ou condensador) é um dispositivo formado por duas placas condutoras, contendo um material dielétrico entre elas, cuja característica principal é o fato que quando aplicamos uma dada diferença de potencial entre esta placas, há o acúmulo de uma quantidade de cargas elétricas nelas, positivas (+q) em uma e negativas ( q) na outra. A quantidade de carga elétrica acumulada q é proporcional à diferença de potencial aplicada. A constante de proporcionalidade entre a carga adquirida e a diferença de potencial aplicada é chamada de capacitância e depende das dimensões do capacitor (como a área das placas

46 4.4 Circuitos RC 45 condutoras e a separação entre elas) e da permissividade elétrica do isolante. Podemos então escrever a equação característica do capacitor como: q = CV C. (4.1) Essa definição pode ser considerada como uma definição estática ou instantânea, relacionando a voltagem no capacitor em um dado momento e o módulo da carga acumulada em cada uma de suas placas. Como, em geral, medimos voltagens e correntes, podemos reescrever a equação acima em função da corrente que passa no circuito do capacitor. Basta lembrarmos que i = dq dt. (4.2) Substituindo a equação 4.1 na equação 4.2 temos: i = C dv C dt. (4.3) A equação 4.3 mostra que somente teremos corrente no circuito se houver uma variação da voltagem no capacitor V. Dito em outros termos, se o capacitor estiver se carregando ou descarregando teremos corrente circulando. Num circuito elétrico, usamos dois segmentos de reta paralelos, representando duas placas paralelas condutoras, como símbolo do capacitor (figura 4.1). C Figura 4.1: Representação esquemática de um capacitor. A unidade de capacitância no sistema internacional é o farad, representado pela letra F. O farad é uma unidade muito grande e por isso os dispositivos disponíveis comercialmente são designados por submúltiplos do farad, como o picofarad (1 pf = F), nanofarad (1 nf = 10 9 F), o microfarad (1 µf = 10 6 F) e o milifarad (1 mf =10 3 F). 4.4 Circuitos RC Como foi mencionado anteriormente, se conectarmos uma bateria aos terminais de um capacitor, aparecerá uma corrente elétrica no circuito enquanto a diferença de potencial aplicada ao capacitor estiver variando no tempo, ou seja, enquanto o capacitor estiver se carregando (equação 4.3). Isso ocorrerá durante o breve intervalo de tempo em que a

47 4.4 Circuitos RC 46 bateria estiver sendo conectada. Esse tempo no jargão da eletrônica consiste de um transiente. Após o transiente, a voltagem se torna constante e a corrente será nula. Isso corresponde ao caso ideal. Na prática, um capacitor nunca é utilizado isoladamente. Sempre existe um resistor associado em série com ele, mesmo que seja a resistência interna da bateria ou da fonte de alimentação. Por isso, o capacitor não se carregará instantaneamente, mas levará um certo tempo, que dependerá das características elétricas do circuito. Aliás, a utilidade prática do capacitor baseia-se no fato de podermos controlar o tempo que ele leva para se carregar totalmente e a carga que queremos que ele adquira. Esse controle é obtido associando-se um resistor em série no circuito do capacitor, como mostrado na figura 4.2. A + B R V B - C Figura 4.2: Diagrama de um circuito RC. Se conectarmos a chave na posição A, o capacitor se carregará. Pela lei das tensões de Kirchhoff, que é equivalente à lei da conservação da energia no circuito, teremos: V B = V R + V C. (4.4) Qualitativamente ocorrerá o seguinte: se o capacitor estiver completamente descarregado no instante inicial (o instante em que a chave é virada para a posição A ), V C = 0 V e, portanto, V B = V R = R i 0, onde i 0 é a corrente no circuito no instante t = 0 s. À medida que o tempo passa V C vai aumentando, pois o capacitor estará se carregando, e V R consequentemente vai diminuindo (equação 4.4). Isso significa que no instante inicial (t = 0 s), o valor de V C é mínimo (V C = 0 V) e o valor de V R é máximo (V R = V B ). Essa defasagem entre voltagem e corrente no capacitor tem um papel fundamental na teoria dos circuitos elétricos, o que ficará claro quando estudarmos circuitos com excitação senoidal. Se a chave ficar ligada na posição A por um tempo relativamente longo (o significado de relativamente longo logo ficará claro), ao final desse tempo o capacitor estará totalmente carregado e teremos V C = V B, V R = 0 V e a corrente cessará de passar. Se nesse momento passarmos a chave para a posição B, haverá um refluxo das cargas acumuladas no capacitor, a corrente inverterá o sentido e o capacitor se descarregará. Nesse caso, como não existe bateria ligada no circuito, V B = 0 V e, pela lei das malhas, V R + V C = 0, ou V R = V C. A voltagem no capacitor, no caso, variará de V B até zero.

48 4.4 Circuitos RC 47 Substituindo as expressões para V R e V C por suas equações características, a equação 4.4 se torna: V B = Ri + q C = Rdq dt + q C = RC dv C dt + V C, (4.5) que pode ser integrada, tendo como solução geral V C (t) = V C ( ) + [V C (0) V C ( )] e t τ, (4.6) onde V C ( ) é a voltagem no capacitor quando o tempo tende a infinito (capacitor completamente carregado), V C (0) é a voltagem no capacitor no instante t = 0 e τ = RC. No caso da equação diferencial descrita pela equação 4.5, V C ( ) = V B. Assumindo que a voltagem nas placas do capacitor é nula em t = 0, encontramos ) V C (t) = V B (1 e t τ, (4.7) onde novamente τ = RC. (4.8) A equação 4.7 mostra que o tempo necessário para o capacitor se carregar dependerá do produto RC. Quanto maior for esse produto, mais longo será esse tempo. O produto RC é conhecido como constante de tempo do circuito RC e inclui todas as resistências presentes no mesmo. Usando a lei das tensões de Kirchhoff, obtemos o valor de V R : V R (t) = V B V C = V B e t τ. (4.9) Para o estudo da descarga do capacitor temos que resolver a equação diferencial descrita na equação 4.5, fazendo V B = 0 e assumindo que o capacitor está completamente carregado no instante inicial t = 0. Encontramos: V C (t) = V B e t τ (4.10) e V R (t) = V B e t τ. (4.11) A constante de tempo que caracteriza o circuito pode ser obtida experimentalmente de algumas maneiras diferentes. A primeira delas decorre diretamente da sua definição: é o tempo necessário para o argumento da exponencial se tornar 1, e teremos para a carga: V C (τ) = V B (1 e 1 ) = V B (1 0, 37) = 0, 63 V B, (4.12) ou seja, τ é o tempo necessário para que a voltagem em um capacitor, inicialmente descarregado, atinja 63 % do valor final da tensão da fonte que o carrega.

49 4.4 Circuitos RC 48 Para a descarga, teremos algo semelhante: V C (τ) = V B e 1 = 0, 37 V B. (4.13) Isto significa que na descarga τ é o tempo necessário para o capacitor atingir 37% do valor inicial da voltagem (isto é, em t = 0). Somente podemos determinar a constante de tempo no processo de carga se o capacitor estiver descarregado para t = 0 s e conhecermos a priori o valor de V B. Caso contrário, seria necessário esperar um tempo muito longo para V C chegar até V B, tempo esse que, eventualmente, não dispomos. O processo é bastante simplificado na descarga do capacitor, pois nesse caso podemos definir a origem do tempo (t = 0) e V B é a voltagem que o sistema possui naquele momento. Por isso, em geral usamos a equação 4.13 para a determinação de τ. Uma outra maneira de obtermos τ consiste em determinarmos um outro tempo característico, que ocorre em todos os processos exponenciais, chamado de meia-vida do sistema, t 1/2. Ele é definido como o tempo necessário para a grandeza medida cair à metade do seu valor inicial. No caso presente, será o tempo necessário para a voltagem do capacitor atingir, tanto na carga como na descarga, a metade do valor de V B. Por exemplo, no processo de carga teremos: ou V C (t 1/2 ) = V B 2 = V [ t 1/2 B 1 exp( τ )] (4.14) 1 2 = exp( t 1/2 ). (4.15) τ Aplicando-se logaritmos naturais a ambos os lados dessa equação, encontramos: t 1/2 = τ ln 2. (4.16) A constante de tempo também pode ser obtida no processo de descarga, determinandose o tempo necessário para o valor inicial da voltagem cair à metade, ou seja: ou V C (t 1/2 ) = V B 2 = V B exp( t 1/2 τ ) (4.17) t 1/2 = τ ln 2, (4.18) e a equação 4.16 é novamente obtida, mostrando que tanto na carga como na descarga a constante de tempo pode ser obtida a partir do tempo de meia-vida a partir da equação τ = t 1/2 ln 2. (4.19) Utilizaremos elementos de circuito com valores de capacitância e resistência que levam

50 4.5 Procedimentos experimentais 49 a tempos de relaxação da ordem de milissegundos. Assim, para observarmos a variação da voltagem será necessário chavear o circuito da posição A para a posição B, e vice-versa, com uma frequência muito grande, da ordem de kilohertz. Isso é possível se utilizarmos um gerador de sinais, escolhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento do circuito. Nesse caso, de acordo com a figura 4.2, o patamar superior da onda quadrada (V B = V 0 ) irá representar o circuito com a chave na posição A, e o patamar inferior (V B = 0 V) irá representar o circuito com a chave na posição B. 4.5 Procedimentos experimentais Procedimento I: medidas de τ e t 1/2 1. Monte o circuito da figura 4.3 a seguir com C = 100 nf e R = 10 kω. Ajuste no gerador de sinais uma onda quadrada de frequência f = 200 Hz e tensão pico-a-pico V pp = 6 V. Através da função DC Offset do gerador de sinais, ajuste a onda quadrada para que seu patamar inferior corresponda a 0 V. Você consegue isto somando um sinal constante de 3 V à onda quadrada inicial, que oscila entre 3 V e +3 V. Você deverá obter uma imagem semelhante à da figura 4.4 na tela do osciloscópio. Figura 4.3: Montagem de um circuito RC simples usando um gerador de sinais e um osciloscópio. Essa montagem permite a medida da voltagem na fonte (V G ) e no capacitor (V C ), ambas em relação ao terra. Para isso devemos ligar o canal 1 (CH1) do osciloscópio no ponto A e o canal 2 (CH2) no ponto B do circuito. 2. Ajuste agora as escalas do osciloscópio de modo a colocar na tela um período completo da onda quadrada, e meça os valores de t 1/2 e τ, como indicado na figura 4.5. Vimos que t 1/2 é o tempo necessário para que a voltagem no capacitor durante a descarga atinja a metade do valor que tinha no início do processo, (tempo definido como t = 0 s), enquanto τ é o tempo necessário para V C chegar a 37% desse valor inicial. Você pode fazer estas medidas usando os cursores do osciloscópio. Com os cursores de amplitude meça a voltagem máxima no capacitor, em relação aos 0 V

51 0,5 V 0,37 V V 4.5 Procedimentos experimentais 50 Figura 4.4: Imagem semelhante à que você deve obter na tela do osciloscópio. definidos na onda quadrada. Em seguida, com os cursores de tempo, meça o tempo transcorrido entre o início da queda desta voltagem e o momento em que ela atinge 50% de seu valor máximo para obter t 1/2, e o tempo transcorrido entre o início da queda da voltagem no capacitor e o momento em que a voltagem atinge 37 % de seu valor máximo para obter τ. Note que você deverá medir um tempo relativo a partir do início da descarga conforme indicado na figura 4.5. t 1/2 Figura 4.5: Voltagem no capacitor mostrando, na descarga do capacitor, como medir a constante de tempo τ e o tempo de meia-vida t 1/2. 3. Compare os valores que obteve para a constante de tempo τ, através da medida direta de seu valor e através da medida de t 1/2 (4.19) Procedimento II: tensão no resistor 1. Monte o circuito da figura 4.6, ele corresponde ao circuito da figura 4.3 com as posições do capacitor e do resistor trocadas. Com isto podemos fazer medidas simultâneas da

52 4.5 Procedimentos experimentais 51 tensão no gerador e no resistor. Use os mesmos valores de C = 100 nf e R = 10 kω. Ajuste no gerador de sinais uma onda quadrada semelhante à do procedimento anterior, variando entre 0 V e + 6 V, mas com frequência f = 100 Hz. Nesta configuração medimos no canal 2 do osciloscópio a voltagem V R no resistor. Com o auxílio de um multímetro meça os valores de R e C. Você deverá obter uma imagem semelhante à da figura 4.7 na tela do osciloscópio. Figura 4.6: Montagem de um circuito RC simples usando um gerador de sinais e um osciloscópio. Essa montagem permite a medida da voltagem no resistor em relação ao terra (V R ). Para isso devemos ligar o canal 1 (CH1) do osciloscópio no ponto A e o canal 2 (CH2) no ponto B do circuito. Figura 4.7: Imagem semelhante à que você deve obter na tela do osciloscópio. 2. Para obtermos uma curva de V R em função de t com boa resolução devemos fazê-la ocupar a maior região possível da tela do osciloscópio. Para isso devemos ajustar os controles do osciloscópio e do gerador de sinais para que apareça na tela apenas o intervalo de tempo correspondente à carga do capacitor. Para tanto você deve efetuar os seguintes passos:

53 4.5 Procedimentos experimentais 52 a) desloque a posição horizontal do sinal de voltagem para que o decaimento comece na linha vertical mais à esquerda da tela; b) ajuste o nível zero da voltagem V R de forma que ele coincida com a linha inferior da tela, e diminua a escala do canal 2 para o menor valor em que ainda seja possível ver o máximo da curva. é possível que você tenha que utilizar a opção Ganho variável: fino. Deverá aparecer na tela do osciloscópio uma figura semelhante à figura 4.8. Se for necessário ajuste um pouco a frequência do gerador. Figura 4.8: Maximização na tela do osciloscópio da voltagem V R na carga do capacitor. 3. A partir da curva ajustada no canal 2 do osciloscópio, escolha seis pares de valores de t e V R, usando os cursores ou fazendo leitura direta na tela (método das gratículas). Anote os valores medidos com suas respectivas incertezas. Anote também as escalas de tempo e voltagem utilizadas. Faça um gráfico de V R versus t no retículo milimetrado disponível na folha de seu relatório, marcando os pontos medidos e traçando à mão livre a curva que melhor se ajusta aos pontos experimentais. A partir da curva traçada no retículo milimetrado, obtenha o valor de τ, utilizando o mesmo método do Procedimento I Procedimento III: medida da resistência interna do gerador Além dos parâmetros do sinal de saída, toda fonte de alimentação (como a fonte de tensão DC ou o gerador de funções) é também caracterizada por uma grandeza chamada impedância interna. Seu significado ficará claro na segunda parte do curso, mas por enquanto basta dizermos que trata-se de uma grandeza complexa cujo valor pode variar com a frequência do sinal produzido, com a parte real correspondendo a uma componente resistiva, enquanto a parte imaginária representa o efeito de componentes capacitivas e indutivas. Os geradores de função (como este que utilizamos no curso) normalmente têm uma impedância interna real e independente da frequência, com valor de 50 Ω. Por estas razões

54 4.5 Procedimentos experimentais 53 a impedância interna corresponde a uma resistência interna; o gerador de funcões pode ser representado como um gerador ideal em série com uma resistência R G de 50 Ω. Vamos agora utilizar um circuito RC para medir a resistência interna do gerador, através da medida de τ. Monte um circuito RC com um resistor com R = 56 Ω e um capacitor com C = 1 µf. Calcule qual o valor de τ esperado para este circuito, lembrando que R G = 50 Ω. Para fazer a medida de τ, desejamos que o tempo de aplicação da tensão (isto é, T/2) seja aproximadamente igual a 3 vezes o valor de τ. Utilize o valor esperado para τ para calcular a frequência da onda quadrada. Alimente agora o circuito com uma onda quadrada com amplitude de 4 V (oscilando entre V min = 0 V e V max = 8 V) e com a frequência calculada acima. Utilize um dos métodos descritos acima (no procedimento I ou II) para medir τ e a partir deste valor calcule o valor de R G, comparando com o valor esperado.

55 Circuitos RC com corrente alternada Material resistor de 10 Ω; capacitor de 2,2 µf. 5.2 Introdução Como vimos na aula sobre capacitores, a equação característica do capacitor ideal é dada por i(t) = C d dt V C(t). (5.1) Se aplicarmos uma voltagem alternada V G = V 0 sen(ωt) a este capacitor, ele se carregará com uma corrente i(t) dada por i(t) = C d ( dt [V 0 sen(ωt)] = ωcv 0 cos(ωt) = ωcv 0 sen ωt + π ). (5.2) 2 A corrente então pode ser escrita como ( i(t) = ωcv 0 sen ωt + π ) ( = i 0 sen ωt + π ), (5.3) 2 2 onde definimos a amplitude de corrente i 0 como i 0 ωcv 0. (5.4)

56 5.3 Circuitos RC 55 Dessa forma, a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como V 0 = 1 ωc i 0 = X C i 0. (5.5) A equação 5.5 é o equivalente da Lei de Ohm para capacitores com correntes alternadas. A grandeza definida por X C 1 (5.6) ωc tem dimensão de resistência e é chamada de reatância capacitiva; ela desempenha um papel semelhante à resistência na Lei de Ohm, com a importante diferença de ser inversamente proporcional à frequência. Para frequências muito altas o capacitor se comporta como um curto-circuito (resistência nula), o que significa que sinais de alta frequência passam pelo capacitor sem serem atenuados. Já para frequências muito baixas o valor da reatância aumenta e sinais de baixa frequência serão fortemente atenuados. Esta propriedade dos capacitores é utilizada para a construção de filtros de frequência. A equação 5.3 mostra que em um capacitor ideal, a corrente e a voltagem estão defasadas de π/2 radianos: para uma tensão do gerador dada por V G = V 0 sen(ωt), (5.7) temos a corrente dada pela expressão ( i(t) = i 0 sen ωt + π ), (5.8) 2 mostrando que a corrente está adiantada de π/2 radianos em relação à voltagem da fonte. 5.3 Circuitos RC Para circuitos RC como o mostrado na figura 5.1, a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff leva a V G (t) = V C (t) + V R (t) (5.9) V 0 sen(ωt) = q(t) C sendo V G (t) a tensão produzida pelo gerador. + Ri(t), (5.10) Como este circuito é composto apenas de componentes lineares, espera-se que a corrente também varie senoidalmente com o tempo e com a mesma frequência de V G (t), tendo como forma geral i(t) = i 0 sen (ωt + ϕ), (5.11) onde ϕ representa a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito. Derivando a equação 5.10 em relação ao tempo e fazendo uso da equação 5.11, encontra-

57 5.3 Circuitos RC 56 Figura 5.1: Circuito RC alimentado por uma fonte de tensão senoidal. mos que ωv 0 cos(ωt) = i 0 C sen(ωt + ϕ) + ωri 0 cos(ωt + ϕ). (5.12) A equação 5.12 pode ser reescrita expandindo-se as funções sen(ωt + ϕ) e cos(ωt + ϕ) e em seguida reagrupando os termos que envolvem cos(ωt) e sen(ωt). Após algumas manipulações algébricas obtemos [ cos(ωt) ωv 0 (ωri 0 ) cos ϕ i ] [ 0 C sen ϕ + sen(ωt) (ωri 0 ) sen ϕ i ] 0 C cos ϕ = 0. (5.13) Como a equação 5.13 deve valer para qualquer instante de tempo, os coeficientes dos termos cos(ωt) e sen(ωt) devem ser individualmente nulos, o que significa que duas equações devem ser satisfeitas simultaneamente: ( ) i0 (Ri 0 ) cos ϕ + sen ϕ = V 0, (5.14) ωc e (Ri 0 ) sen ϕ ( ) i0 cos ϕ = 0. (5.15) ωc Da equação 5.15 obtemos diretamente a expressão para o ângulo de fase ϕ: tan ϕ = 1 ωcr = X C R. (5.16) A Figura 5.2 mostra o comportamento da diferença de fase ϕ (em radianos) em função da frequência angular (em rad/s), para um circuito RC com R = 10 Ω e C = 2, 2 µf. O gráfico possui escala semi-logarítmica para permitir uma melhor visualização da de-

58 5.3 Circuitos RC 57 Figura 5.2: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão em função da frequência angular em um circuito RC. pendência de ϕ. Para valores de ω tendendo a zero, a diferença de fase tende a π/2 radianos; já para valores de ω tendendo a infinito, a diferença de fase tende a zero (corrente e tensão em fase). Já a equação 5.14 pode ser resolvida utilizando-se as seguintes relações trigonométricas: sen ϕ = tan ϕ 1 + tan 2 ϕ, (5.17) e cos ϕ = tan 2 ϕ. (5.18) Após utilizarmos as equações 5.17 e 5.18 na equação 5.14 e utilizarmos a equação 5.15, obtemos a relação entre as amplitudes de corrente e de tensão do gerador: V 0 = R i 2 + XC 2. (5.19) 0 Definimos então uma grandeza chamada impedância do circuito RC (Z) como sendo esta razão entre amplitudes: Z V 0 = R i 2 + XC 2. (5.20) 0 Note que Z tem dimensão de resistência e, como V 0 = Zi 0, num circuito com corrente alternada a impedância desempenha um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contínua. Observe também que a impedância do circuito não é simplesmente a soma de R e X C, mas sim a raiz quadrada da soma dos quadrados de R e X C. As equações 5.16 e 5.20 nos permitem imaginar uma representação gráfica na qual a

59 5.3 Circuitos RC 58 Figura 5.3: Representação da impedância Z de um circuito RC como o módulo de um número complexo Z = R jx C. impedância do circuito RC é representada por dois eixos ortogonais no plano: o eixo horizontal representa o valor de R enquanto o eixo vertical representa o valor de X C, como se fossem as duas componentes de um vetor ou as partes real e imaginária de um número complexo (veja figura 5.3). Nesse caso a impedância Z definida na equação 5.20 representa o módulo da impedância complexa Z R jx C. Note que se tivéssemos definido Z como R + jx C a analogia permaneceria válida, mas a razão para termos escolhido o sinal negativo para a parte complexa ficará clara abaixo. Note que utilizamos a letra j para representar o valor 1; isso é feito para que não haja confusão com a corrente no circuito, representada pela letra i. Essa analogia com grandezas complexas tem uma boa razão para ser feita, pois circuitos com correntes alternadas podem ser tratados utilizando o formalismo de números complexos. Considere um circuito composto apenas por um gerador e um capacitor; a tensão do gerador é dada por V G (t) = V 0 sen(ωt). (5.21) De acordo com a fórmula de Euler, qualquer número complexo obedece a relação e jθ = cos θ + j sen θ, e a tensão do gerador pode ser escrita como ] V G (t) = Im[ṼG (t), (5.22) onde definimos a voltagem complexa ṼG(t) como Ṽ G (t) = V 0 e jωt. (5.23) Como vimos na seção 5.2, para este circuito com apenas o gerador e o capacitor a corrente é dada por ( i(t) = i 0 sen ωt + π ), (5.24) 2

60 5.3 Circuitos RC 59 com i 0 = ωcv 0. Da mesma forma que fizemos com a voltagem, podemos representar a corrente em termos de uma grandeza complexa: [ ] i(t) = Im ĩ(t), (5.25) onde a corrente complexa ĩ(t) é dada por ĩ(t) = i 0 e j(ωt+π/2). (5.26) A grande vantagem do uso do formalismo de números complexos é que, uma vez que as grandezas complexas estejam definidas, basta utilizarmos uma relação análoga à Lei de Ohm para resolvermos o circuito: Ṽ (t) = Z ĩ(t). (5.27) Como já temos as expressões para Ṽ (t) e ĩ(t), podemos encontrar a impedância complexa para este circuito puramente capacitivo: Z C = ṼG(t) ĩ(t) = V 0 e jωt ωcv 0 e = 1 j(ωt+π/2) ωce = 1 jπ/2 jωc = jx C. (5.28) Fica clara portanto a razão de termos escolhido a componente capacitiva da impedância complexa do circuito RC como sendo X C : o sinal negativo decorre do comportamento do capacitor, que sempre adianta a corrente em relação à tensão da fonte. A partir das expressões para a amplitude de tensão no circuito RC, podemos expressar a diferença de fase ϕ e a amplitude de tensão do gerador em termos dessas grandezas. Pela Lei de Ohm, sabemos que a amplitude de tensão no resistor é dada por V 0R = R i 0, (5.29) enquanto a amplitude de tensão no capacitor é dada pela equação 5.5: V 0C = X C i 0. (5.30) Portanto as equações 5.14 e 5.15 podem ser re-escritas na forma V 0R cos ϕ + V 0C sen ϕ = V 0, (5.31) e V 0R sen ϕ V 0C cos ϕ = 0. (5.32)

61 5.4 Procedimentos experimentais 60 Figura 5.4: Circuito a ser utilizado no procedimento I. Tomando o quadrado de cada equação e somando membro a membro, obtemos: V 0 2 = V 2 0C + V 2 0R. (5.33) E uma simples manipulação algébrica da equação 5.32 nos permite obter uma expressão alternativa para a diferença de fase: tan ϕ = V 0C V 0R. (5.34) 5.4 Procedimentos experimentais Procedimento I: verificação do análogo da lei de Ohm para capacitores Queremos verificar a validade da relação V 0C = X C i 0, verificando o comportamento da reatância capacitiva com a frequência. 1. Meça com o multímetro digital os valores de R e C e em seguida monte o circuito da figura 5.4; ligue os equipamentos e ajuste o gerador para alimentar o circuito com uma tensão senoidal de frequência próxima de f 1 = 10 khz. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal com sua respectiva incerteza. 2. Ajuste o gerador para que a amplitude de tensão sobre o resistor (V 0R, medida no canal 2 do osciloscópio) seja próxima a 0,3 V. Lembre-se de utilizar no osciloscópio a escala que permita a medida com a maior precisão.

62 5.4 Procedimentos experimentais 61 Figura 5.5: Ilustração da medida da diferença de fase no circuito RC. A linha contínua representa a voltagem da fonte V G e a linha tracejada representa a voltagem no resistor V R. Nessa figura V R (que é um sinal proporcional à corrente, pois num resistor tensão e corrente estão em fase) está adiantada em relação a V G, como deve sempre ser num circuito RC. 3. Observe que existe uma diferença de fase ϕ 1 entre os dois sinais, o que fica claro pela diferença de tempo entre 2 pontos similares em cada forma de onda (veja a figura 5.5). A diferença de fase pode ser medida a partir da medida dessa diferença temporal t 1 : escolha 2 pontos similares em cada forma de onda, meça t 1 e sua incerteza. Como exemplo, na figura 5.5 t é a diferença de tempo entre 2 pontos onde as formas de onda passam pelo zero. Em seguida calcule a diferença de fase entre a tensão no resistor V R e a tensão do gerador V G como ϕ 1 = 2πf 1 t 1 ; calcule também sua incerteza. Não se esqueça de utilizar o valor de f 1 medido no item anterior. 4. A partir do valor obtido para ϕ 1, calcule o valor da reatância capacitiva X C para a frequência f Meça agora a amplitude de tensão sobre o resistor V 0R e sua incerteza. Calcule a amplitude de corrente no circuito, utilizando a Lei de Ohm: i 0 = V 0R /R (lembre-se de utilizar o valor de R medido com o multímetro). Sem alterar o ajuste do gerador, meça a amplitude de tensão do gerador (V 0G, medida no canal 1 do osciloscópio). Com os valores de V 0R e V 0G, calcule o valor da amplitude de tensão no capacitor como: V 0C = V0G 2 V 0R 2. Anote todos os valores na primeira linha da Tabela Ajuste agora a amplitude do gerador de modo que a amplitude de tensão sobre o resistor seja de 0,4 V e repita as medidas do item anterior. Em seguida repita todo este procedimento para todos os valores de V 0R indicados na Tabela 1.

63 5.4 Procedimentos experimentais 62 Tabela 1 Valores sugeridos para V 0R V 0R ± σ V0R i 0 ± σ i0 (A) V 0G ± σ V0G (V) V 0C (V) σ V0C (V) 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 7. A partir dos dados da Tabela 1, faça um gráfico de V 0C vs. i 0 e obtenha o valor da reatância capacitiva X C para a frequência f 1. Compare com o valor obtido a partir da diferença de fase e com o valor nominal. 8. Calcule de maneira alternativa, a partir da equação 5.34 e das amplitudes V 0R e V 0C da primeira linha da tabela, a diferença de fase ϕ 1 e sua incerteza. Compare o valor com o valor obtido na questão 3 deste procedimento. Os valores são compatíveis?

64 Circuitos RC e filtros de frequência Material resistor de 1 kω; capacitor de 100 nf. 6.2 Introdução Vimos que a reatância capacitiva depende da frequência: quanto maior a frequência do sinal que alimenta um capacitor, menor será a resistência que o componente oferecerá à passagem da corrente. Essa propriedade pode ser utilizada para a confecção de filtros de frequência que atenuem sinais com certos valores de frequência num dado circuito elétrico. Os filtros que cortam os sinais com frequências abaixo de um certo valor são chamados de filtros passa-alta, ao passo que aqueles que cortam sinais com frequências acima de um dado valor chamam-se filtros passa-baixa. A combinação dos dois tipos de filtros pode resultar num outro tipo de filtro (chamado de passa-banda) que deixa passar somente sinais com frequências próximas de um certo valor, atenuando todos os sinais com frequências acima e abaixo deste valor; desta forma o filtro define uma banda passante. Aplicando as definições de reatância capacitiva e impedância discutidas anteriormente, as amplitudes das voltagens no capacitor (V 0C ) e no resistor (V 0R ) em um circuito RC em série podem ser escritas como: e V 0C = X C Z V 0 (6.1) V 0R = R Z V 0, (6.2) onde V 0 é a amplitude da voltagem de alimentação do circuito, X C = 1/ωC é a reatância capacitiva, R é a resistência e Z = R 2 + XC 2 a impedância do circuito. Observe que o termo resistência aplica-se somente ao resistor. Para o capacitor utiliza-se o termo reatância

65 6.3 Filtros usando circuitos RC 64 capacitiva e para a resistência total do circuito empregamos o termo impedância. Os filtros deixarão passar certas faixas de frequência dependendo da escolha de qual dispositivo será usado para obter o sinal de saída do filtro, capacitor ou resistor, e de seus valores de capacitância e resistência. 6.3 Filtros usando circuitos RC Quando alimentamos um circuito RC em série com uma voltagem alternada de frequência angular ω e amplitude V 0, as amplitudes das voltagens no capacitor (V 0C ) e no resistor (V 0R ) serão dadas por: e V 0C = X C Z V 0 = V 0R = R Z V 0 = (ωrc) 2 V 0, (6.3) ωrc 1 + (ωrc) 2 V 0. (6.4) Vemos então que V 0C e V 0R dependem da frequência ω, mas de maneira oposta. No capacitor, a amplitude V 0C V 0 quando a frequência angular ω 0. Conforme a frequência aumenta, a razão V 0C /V 0 vai diminuindo, e no limite em que ω, V 0C 0. No resistor observamos o comportamento oposto. Para frequências baixas a amplitude V 0R é baixa. Esta amplitude aumenta com o aumento da frequência, e no limite de frequências muito altas, V 0R V 0. Assim, de acordo com a faixa de frequências que queremos eliminar do sinal de entrada, escolhemos o dispositivo de onde iremos extrair o sinal de saída. Para eliminarmos frequências altas, devemos utilizar o sinal de tensão no capacitor como saída (filtro passa-baixa), e se quisermos eliminar frequências baixas, usamos o sinal do resistor como saída (filtro passa-alta) Filtro passa-baixa Vamos analisar um circuito RC em série atuando como um filtro passa-baixa. Para isto devemos comparar o sinal de entrada, fornecido pelo gerador de funções, com o sinal de saída, extraído do capacitor. Isto é feito montando o circuito mostrado na figura 6.1. Para este circuito apresentado, a amplitude da voltagem no capacitor V 0C é dada pela equação 6.3. A razão entre as amplitudes V 0C e V 0 será chamada de A PB, representando a razão entre as amplitudes de tensão de entrada e saída, e será expressa como: A PB V 0C V 0 = (ωrc) 2. (6.5) A equação 6.5 mostra que para frequências próximas de zero, a voltagem no capacitor tem a mesma amplitude que a voltagem do gerador (A PB = 1), ou seja, o sinal não é

66 6.3 Filtros usando circuitos RC 65 Figura 6.1: Representação esquemática de um filtro passa-baixa construído a partir de um circuito RC em série, alimentado com corrente alternada. atenuado. Por sua vez, à medida que a frequência cresce, a voltagem no capacitor diminui, o que significa que esta voltagem apresenta uma atenuação em relação ao sinal do gerador. Se tomarmos o limite da frequência tendendo a infinito, a amplitude A PB tende a zero e neste caso a voltagem no capacitor é totalmente atenuada. Portanto, somente sinais com frequências muito baixas não terão suas amplitudes diminuídas Filtro passa-alta Figura 6.2: Representação esquemática de um filtro passa-alta construído a partir de um circuito RC em série, alimentado com corrente alternada. Vamos analisar agora um circuito RC em série atuando como um filtro passa-alta. Devemos agora comparar o sinal fornecido pelo gerador de funções com o sinal de saída extraído do resistor. Isto será feito montando o circuito mostrado na figura 6.2. Ele é obtido a partir do circuito da figura 6.1 simplesmente invertendo as posições do resistor e do capacitor. Para este circuito a amplitude da voltagem no resistor V 0R será dada pela equação 6.4.

67 6.3 Filtros usando circuitos RC 66 Definimos a razão entre as amplitudes V 0R e V 0 como sendo A PA, que pode ser expressa na forma: A PA V 0R ωrc = V. (6.6) (ωrc) 2 A equação 6.6 mostra que o filtro passa-alta tem uma dependência com ω oposta àquela observada no caso do filtro passa-baixa. Sinais com frequências baixas são fortemente atenuados enquanto os sinais com frequências muito altas são transmitidas com pequena (ou nenhuma) atenuação Frequência de corte Nas seções anteriores, falamos de frequências muito altas e muito baixas, mas ao utilizarmos este tipo de expressão devemos especificar em relação a qual valor é feita a comparação. É costume definir para estes filtros uma frequência, chamada de frequência angular de corte, que especifica a faixa de frequências a ser filtrada. Esta frequência (ω c ) é definida como aquela que torna a reatância capacitiva igual à resistência do circuito, ou seja, o valor de ω que satisfaz a condição X C = R. Usando esta definição encontramos X C = 1 ω c C = R, (6.7) o que nos leva a: ω c = 1 RC. (6.8) A partir da equação 6.8 obtemos a frequência linear de corte, ou simplesmente frequência de corte, dada por: f c = 1 2πRC. (6.9) Na frequência de corte, tanto A PB quanto A PA tem o mesmo valor: A PA = A PB = 2 2 = 0, 707. (6.10) Na frequência de corte a voltagem do sinal no capacitor ou no resistor atinge 70,7% do seu valor máximo. Isto pode ser visto na figura 6.3 onde mostramos o comportamento de A PA e A PB com a frequência angular para um circuito RC, com R = 1 kω e C = 100 nf. Este tipo de gráfico é denominado curva característica do filtro.

68 6.3 Filtros usando circuitos RC 67 Figura 6.3: Curvas características dos filtros passa-alta (A PA ) e passa-baixa (A PB ) construídos com um circuito RC que utiliza R = 1 kω e C = 100 nf. V B representa V 0R para o filtro passa-altas e V 0C para o passa-baixas. A frequência angular de corte para este caso é ω c = 10 4 rad/s. Note que o eixo x está em escala logarítimica Transmitância e diagrama de Bode O funcionamento de um filtro pode ser descrito por sua curva característica, mas também pode ser representado por uma grandeza chamada função de transferência. Esta é uma função complexa, definida como a razão entre a tensão (complexa) de saída (a voltagem sobre o resistor ou sobre o capacitor, dependendo do filtro utilizado) e a tensão (complexa) de entrada (a voltagem do gerador). Como toda grandeza complexa, há informação tanto em seu módulo (que será simplesmente a razão entre as amplitudes dos sinais) quanto em sua fase (que será a diferença de fase entre os sinais). Muitas das vezes estamos mais interessados nas amplitudes do que na diferença de fase. A partir da função de transferência definimos então a transmitância de um filtro T (ω) (também chamada de resposta em potência) como sendo o quadrado da razão entre as amplitudes de saída (V 0S ) e de entrada (V 0E ): T (ω) = [ ] 2 V0S (ω). (6.11) V 0E (ω) Grandezas como a transmitância (que é uma razão entre voltagens ao quadrado) são comumente expressas em termos de decibéis (db) da seguinte maneira: T db (ω) = 10 log[t (ω)]. (6.12)

69 6.3 Filtros usando circuitos RC 68 Para os filtros passa-baixa e passa-alta baseados no circuito RC, as transmitâncias são dadas respectivamente por: 1 T PB (ω) = 1 + (ωrc), (6.13) 2 e 1 T PA (ω) =. (6.14) (ωrc) 2 Tomemos como exemplo o filtro passa-baixa; este filtro possui transmitância máxima T max = 1 para ω = 0 e cai para zero como 1/(ωRC) 2 na medida em que ω. Na frequência de corte, ω c = 1/RC, a transmitância cai à metade do máximo. Figura 6.4: Diagrama de Bode para filtros passa-baixas. Este comportamento é mais fácil de ser visualizado em um gráfico que apresenta a transmitância em decibéis (ver equação 6.12) em função do logaritmo de ωrc, chamado diagrama de Bode, como o mostrado na figura 6.4. Há três características a serem observadas neste diagrama para um filtro passa-baixas: Para ω ω c, a resposta do filtro é praticamente plana e a transmitância é de 0 db; para ω = ω c, a transmitância é 3 db (10 log(1/2) = 3, 010). Neste ponto temos log(ω c RC) = log(1) = 0; para ω ω c, a transmitância cai a uma taxa de 20 db/dec (decibéis por década), com 10 log[1/(ωrc) 2 ] = 20 log(ω) + const. A faixa de frequências entre 0 e ω c é chamada largura de banda do filtro. No diagrama de Bode a dependência com 1/ω 2 em alta frequência (para o filtro passa-baixas) é muito mais evidente do que em um gráfico em escala linear.

70 6.4 Procedimentos Experimentais 69 Figura 6.5: Diagrama de Bode para filtros passa-altas. Diagramas de Bode para filtros passa-alta terão características semelhantes, mas inversas em relação à frequência de corte. O filtro passa-altas também apresenta transmitância de 3 db em ω = ω c. Para ω ω c a transmitância sobe a uma taxa de 20 db/dec, e para ω ω c ela é aproximadamente constante com valor T db = 0 db (ver figura 6.5). 6.4 Procedimentos Experimentais Procedimento I: filtro passa-alta Neste procedimento vamos montar um filtro passa-alta, realizar medidas para traçar sua curva característica e a partir dela obter o valor da frequência de corte, comparando com seu valor nominal. 1. Monte o circuito da figura 6.2, utilizando um resistor de 1 kω e um capacitor de 100 nf. Meça com o multímetro os valores de R e C. 2. Ligue os equipamentos e ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com um sinal senoidal com uma frequência de cerca de 200 Hz e amplitude próxima a V 0 = 4 V. Meça a frequência do sinal do gerador, anotando o valor na Tabela 1. Lembre-se que o valor de frequência mostrado no gerador é apenas uma indicação, para medí-lo deve ser utilizado o osciloscópio. 3. Meça a amplitude de tensão no resistor (V 0R, medido no canal 2) e a amplitude de tensão no gerador (V 0, medido no canal 1), anotando ambos os valores na Tabela 1. Complete a primeira linha da tabela calculando o valor de log(f) e calculando o valor de A PA (experimental) a partir das amplitudes medidas. Calcule também o valor esperado para A PA (modelo), utilizando os valores de f, R e C medidos.

71 6.4 Procedimentos Experimentais Mude a frequência do sinal do gerador para 500 Hz e verifique se a amplitude de tensão do gerador permanece igual a 4 V. Caso esta amplitude tenha se alterado, ajuste o gerador para que ela volte a ter o valor inicial. Com a amplitude ajustada, repita as medidas e os cálculos realizados no item anterior. 5. Repita este procedimento para as frequências de 1 khz, 2 khz, 5 khz, 10 khz, 20 khz e 50 khz. 6. No retículo milimetrado do seu relatório, faça o gráfico dos valores medidos de A PA vs. log(f/hz) e obtenha o valor da frequência de corte para este filtro. Inclua no gráfico também uma outra curva para os valores esperados de A PA (modelo). Compare os valores experimentais com os valores esperados Procedimento II: filtro passa-baixa Neste procedimento vamos montar um filtro passa-baixa utilizando os mesmos componentes do procedimento I, realizar medidas para traçar sua curva característica e a partir dela obter o valor da frequência de corte, comparando com seu valor nominal e com o valor obtido no procedimento anterior. A partir destes mesmos dados, traçaremos também o diagrama de Bode, obtendo os valores da frequência de corte e da inclinação da curva de transmitância para ω ω c. 1. Monte o circuito da figura 6.1, utilizando os mesmos componentes do procedimento anterior. 2. Ligue os equipamentos e ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com um sinal senoidal com uma amplitude próxima a V 0 = 4 V. 3. Repita o procedimento utilizado com o filtro passa-alta. Para cada frequência sugerida abaixo, meça: a frequência da tensão do gerador (f), a amplitude de tensão no capacitor (V 0C ) e a amplitude de tensão no gerador (V 0 ), e anote os valores na Tabela 2. Calcule o valores de log(f), log(ωrc), de A PB experimental e de T db (eq. 6.12). Lembre-se que toda a vez que a frequência for alterada deve-se verificar que a amplitude de tensão do gerador continua em 4 V, alterando sua tensão de saída se necessário. Valores sugeridos para a frequência: 200 Hz, 500 Hz, 1 khz, 2 khz, 5 khz, 10 khz, 20 khz e 50 khz. 4. No mesmo retículo milimetrado onde foi feito o gráfico de A PA, faça o gráfico de A PB vs. log(f/hz) e obtenha o valor da frequência de corte para este filtro. Compare este valor com seu valor nominal e com o valor obtido para o filtro passa-alta. 5. A partir dos valores de log(ωrc) e de T db da Tabela 2, faça o diagrama de Bode (gráfico de T db vs. log[ωrc]) para este circuito. Obtenha os valores da frequência de corte (comparando com o valor obtido a partir da curva característica) e da inclinação da curva para ω ω c (comparando com o valor esperado).

72 Circuitos RL com onda quadrada e corrente alternada Material resistores de 1 kω e 100 Ω; indutor de 23,2 mh. 7.2 Introdução O objetivo desta aula é estudar o comportamento de indutores acoplados a circuitos resistivos com corrente constante e com corrente alternada. Serão realizadas medidas das constantes de tempo para os circuitos RL (resistor e indutor em série) com CC e medidas da diferença de fase e da reatância indutiva com AC. 7.3 Indutores Um indutor é um solenóide ou bobina, construído por várias voltas (ou espiras) de fio de metal condutor enrolado em uma forma que permite a geração de campos magnéticos axiais. O uso do indutor em circuitos elétricos está baseado na lei de Faraday-Lenz que diz que quando ocorre uma variação do fluxo magnético Φ através das espiras do solenóide, aparece uma voltagem induzida nos seus terminais, de modo a se opor a essa variação de fluxo. Isto é expresso pela equação característica do indutor: V L (t) = dφ dt = Ldi dt. (7.1) Nessa equação V L é a voltagem induzida pela taxa de variação do fluxo Φ(t) = Li(t) no interior do solenóide. Observe que, neste caso, a taxa de variação do fluxo está associada à taxa de variação da corrente que passa pelo indutor. A constante de proporcionalidade en-

73 7.4 Circuitos RL com corrente constante 72 tre Φ(t) e i(t) é chamada de auto-indutância ou simplesmente indutância do indutor. O sinal negativo representa o fato da voltagem induzida gerar um fluxo magnético de forma a se opor à variação do fluxo original. A unidade de indutância no sistema internacional é o henry (H) que, assim como no caso de capacitores, é uma unidade muito grande. Por isso, em geral os indutores que aparecem nos equipamentos do nosso dia-a-dia são representados por sub-múltiplos do henry: mili-henry (mh) e micro-henry (µh). Como pode ser verificado a partir da equação característica do indutor (equação 7.1), a voltagem induzida (também chamada de força eletromotriz) somente estará presente no circuito enquanto a corrente elétrica estiver variando. No caso de correntes alternadas, como veremos mais adiante, o indutor está sempre atuando como tal. Já no caso de correntes contínuas a lei de Faraday atuará apenas durante o transiente correspondente ao tempo que o sistema gasta para entrar em equilíbrio na nova voltagem aplicada. Como os indutores são fabricados com fios condutores, após esse transiente o efeito da indutância desaparece e ele se comporta apenas como um condutor ôhmico, em geral com resistência bastante baixa, correspondendo à resistência do fio condutor com o qual ele é fabricado. Num circuito elétrico representamos o indutor pelo símbolo mostrado na figura 7.1. Figura 7.1: Representação esquemática de um indutor em circuitos elétricos. 7.4 Circuitos RL com corrente constante No caso real, o fato do indutor possuir uma resistência ôhmica, faz com que ele possa ser pensado como um indutor ideal (resistência nula) em série com um resistor. Generalizando, podemos associar qualquer outro resistor em série com a resistência do indutor, e teremos a situação real representada pelo circuito da figura 7.2, onde R pode ter qualquer valor a partir do valor da resistência interna do indutor. No caso representado na figura 7.2, quando ligamos a chave na posição A, a lei das malhas nos diz que V B = V R + V L (7.2) e, utilizando as expressões para a queda de voltagem no resistor e no indutor, obtemos que V B = Ri(t) + L di(t) dt. (7.3)

74 7.4 Circuitos RL com corrente constante 73 Figura 7.2: Diagrama de um circuito RL. Esta equação diferencial para a corrente é semelhante à equação diferencial que encontramos para a carga q nas placas do capacitor (equação 4.5). Sua solução, assumindo que para t = 0 a corrente também é igual a zero (i(0) = 0), é dada por: onde i(t) = V B R ( ) 1 e t τ, (7.4) τ = L R, (7.5) o que nos mostra que a evolução da corrente no circuito depende do valor da razão L/R, que será a constante de tempo do circuito RL. A equação 7.4 é análoga ao caso do capacitor e, portanto, todos os resultados obtidos para os capacitores se aplicam também aos indutores. Também neste caso, τ é o tempo necessário para o argumento da exponencial chegar a 1. Nesse intervalo de tempo, a corrente atinge 63% do seu valor máximo quando a chave da figura 7.2 é comutada para a posição A e a voltagem da fonte passa de zero volt a V B. Em função desses resultados e usando também a lei das tensões de Kirchhoff obtemos: ) V R (t) = V B (1 e t τ (7.6) e V L (t) = V B V R (t) = V B e t τ. (7.7) As equações 7.6 e 7.7 nos mostram que para tempos próximos de zero, a voltagem no resistor é próxima de zero, enquanto no indutor ela tem valor próximo de V B, a voltagem da fonte. Após um intervalo de tempo muito maior que τ, V L cai a zero e V R se torna igual a V B. Se nesse momento, a chave da figura 7.2 for comutada para a posição B, uma nova

75 7.5 Indutores com corrente alternada 74 equação diferencial passa a governar o comportamento do circuito: 0 = R i(t) + L di(t) dt. (7.8) A condição inicial neste caso passa a ser i(0) = V B /R e a solução da equação diferencial descrita na equação 7.8 será dada por: i(t) = V B t R e τ. (7.9) e Teremos então neste caso: V R (t) = V B e t τ (7.10) V L (t) = V B e t τ. (7.11) Como no caso do circuito RC, utilizaremos elementos de circuito com valores de indutância e resistência que levam a tempos de relaxação muito pequenos, da ordem de milissegundos. Assim, para observarmos a variação da voltagem será necessário chavear o circuito da posição A para a posição B, e vice-versa, com uma frequência muito grande, da ordem de kilohertz. Isso é possível se utilizarmos um gerador de sinais, escolhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento do circuito. A determinação dos tempos característicos de um circuito RL pode ser feita de maneira análoga à de um circuito RC. A voltagem no indutor descrita na equação 7.7 tem a mesma expressão que a voltagem no capacitor quando o mesmo está descarregando (equação 4.13). Assim, podemos determinar τ: a) diretamente a partir da tela do osciloscópio, observando o intervalo de tempo que leva para a voltagem no resistor atingir 63% do valor máximo ou a voltagem no indutor cair a 37% de seu valor inicial; b) medindo diretamente o tempo de meia-vida t 1/2 e utilizando sua relação com τ (equação 4.19); c) utilizando medidas de V L em função de t, uma linearização e uma regressão linear. 7.5 Indutores com corrente alternada Para entendermos o papel dos indutores em circuitos RL alimentados com tensões alternadas, seguiremos o mesmo procedimento utilizado no estudo dos circuitos RC com corrente alternada. Veremos que as soluções formais das equações do circuito RL e RC são as mesmas.

76 7.5 Indutores com corrente alternada 75 Considere um circuito composto apenas de um gerador de ondas e um indutor. O indutor é um componente linear, o que significa que se aplicarmos uma voltagem senoidal de uma dada frequência a ele, esperamos que a corrente que o atravessa também seja uma função senoidal, oscilando na mesma frequência da voltagem. Isso significa que se a tensão do gerador for descrita como V G = V 0 sen(ωt), a corrente, em sua forma mais geral, pode ser expressa como i(t) = i 0 sen(ωt + ϕ). (7.12) Note que estamos deixando aberta a possibilidade de haver uma diferença de fase ϕ entre a corrente e a tensão. Substituiremos então essa expressão para i(t) na equação 7.1, lembrando que como só temos esses dois elementos no circuito, V L (t) = V G (t): V 0 sen(ωt) = ωli 0 cos(ωt + ϕ). (7.13) Escrevendo cos(ωt + ϕ) como cos(ωt)cosϕ sen(ωt)senϕ, podemos comparar os dois lados da equação termo a termo, e obtemos duas equações: ωli 0 cosϕ = 0 ; (7.14) V 0 = (ωli 0 ) senϕ. (7.15) A equação 7.14 mostra que ϕ = ± π/2, enquanto que a equação 7.15 indica que ϕ deve ter o valor π/2, uma vez que V 0, L, i 0 e ω são todas grandezas positivas. Portanto a corrente num indutor ideal é dada por i(t) = i 0 sen(ωt π/2), (7.16) com i 0 = V 0 ωl. (7.17) Note que a corrente está atrasada de π/2 radianos em relação à voltagem. A partir da equção 7.17 obtemos que a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como V 0 = ωl i 0 = X L i 0. (7.18) A equação 7.18 é o equivalente da Lei de Ohm para indutores com correntes alternadas. A grandeza chamada de reatância indutiva é definida por X L ωl, (7.19) tem dimensão de resistência e desempenha papel análogo ao da resistência na lei de Ohm, mas com valor diretamente proporcional à frequência angular do sinal. Vamos agora aplicar o formalismo de números complexos a este mesmo circuito, com-

77 7.6 Circuitos RL com corrente alternada 76 posto apenas de um indutor ideal e um gerador. Se a tensão do gerador é dada por V G (t) = V 0 sen(ωt), podemos definir uma tensão complexa ṼG(t) como Ṽ G (t) V 0 e jωt, (7.20) de maneira que a tensão que tem sentido físico (ou seja, a grandeza que pode ser medida) V G (t) pode ser obtida como ] V G (t) = Im[ ṼG (t). (7.21) Para esse circuito vimos que a corrente é dada por i(t) = i 0 sen(ωt π/2), (7.22) com i 0 = V 0 /(ωl). Como no caso da voltagem, podemos definir uma grandeza complexa associada à corrente. Essa corrente complexa é ĩ(t) i 0 e j(ωt π/2), (7.23) e a corrente que tem sentido físico pode ser obtida como [ ] i(t) = Im ĩ(t). (7.24) Assim como vimos no caso dos circuitos capacitivos, este formalismo de números complexos nos permite escrever uma relação análoga à Lei de Ohm, mas para circuitos alimentados com correntes alternadas: Ṽ G (t) = Z ĩ(t), (7.25) onde Z é a impedância complexa. Como já temos as expressões para Ṽ (t) e ĩ(t), podemos encontrar Z para este circuito puramente indutivo: Z L = ṼG(t) ĩ(t) = V 0 e jωt ωl ωl = = (V 0 /ωl) e j(ωt π/2) e jπ/2 j = jx L. (7.26) Vemos portanto que para um indutor a impedância complexa é um número imaginário puro positivo, resultado do comportamento do indutor, que sempre causa um atraso de fase da corrente em relação à voltagem da fonte. 7.6 Circuitos RL com corrente alternada Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito mostrado na figura 7.3 obtemos: V G (t) = V L (t) + V R (t) (7.27) V 0 sen(ωt) = L di(t) dt + Ri(t). (7.28)

78 7.6 Circuitos RL com corrente alternada 77 Figura 7.3: Circuito RL com gerador de sinal senoidal. Como possui apenas componentes lineares, quando este circuito é alimentado por uma tensão V G (t) = V 0 sen(ωt), esperamos que a corrente tenha como forma mais geral i(t) = i 0 sen(ωt + ϕ), (7.29) onde ϕ representa a diferença de fase entre a corrente e a tensão da fonte. Substituindo a expressão para i(t) na equação 7.28 encontramos V 0 sen(ωt) = ωli 0 cos(ωt + ϕ) + Ri 0 sen(ωt + ϕ). (7.30) Mas a equação 7.30 pode ser reescrita após aplicarmos identidades trigonométricas simples, e obtemos ] [ ] sen(ωt) [Ri 0 cosϕ ωli 0 senϕ V 0 + cos(ωt) ωli 0 cosϕ + Ri 0 senϕ = 0. (7.31) Para que a equação seja satisfeita, é necessário que os coeficientes dos termos em sen(ωt) e cos(ωt) sejam nulos, o que nos leva a duas igualdades: (Ri 0 ) cos ϕ (ωli 0 ) sen ϕ = V 0, (7.32) e (ωli 0 ) cos ϕ + (Ri 0 ) sen ϕ = 0. (7.33) Resolvendo a equação 7.33, obtemos que a diferença de fase entre a corrente e a voltagem é dada por tan ϕ = ωl R = X L R. (7.34) A figura 7.4 mostra a variação da diferença de fase com a frequência angular para um certo par de valores R e L. Pode-se observar que ϕ pode assumir valores entre π/2 (frequências mais altas) e 0 (frequências mais baixas), mostrando que num circuito RL a corrente sempre está atrasada em relação à tensão da fonte.

79 7.6 Circuitos RL com corrente alternada 78 Figura 7.4: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão com a frequência angular, para um circuito RL com R = 10 Ω e L = 10 mh. Já a equação 7.29 pode ser simplificada escrevendo sen ϕ e cos ϕ em função de tan ϕ utilizando as relações tan ϕ sen ϕ = 1 + tan 2 ϕ, (7.35) e cos ϕ = tan 2 ϕ. (7.36) Substituindo essas relações na equação 7.32 e fazendo uso de 7.34, obtemos V 0 = R i 2 + X 2 L. (7.37) 0 Esta razão entre as amplitudes de tensão e de corrente é o que definimos como a impedância do circuito RL: Z V 0 = R i 2 + XL 2. (7.38) 0 Assim como no caso do circuito RC, a impedância do circuito RL tem a dimensão de resistência; e novamente vemos que a impedância desempenha, em circuitos com corrente alternada, um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contínua. Por último, note que a relação entre Z, R e X L é uma equação que tem a mesma forma da relação entre o módulo de um número complexo e suas componentes real e imaginária. Isso sugere que postulemos a existência de uma impedância complexa, com a parte real igual à resistência e a parte imaginária igual à reatância indutiva (veja a figura 7.5): Z = R + jx L. (7.39)

80 7.7 Procedimentos experimentais 79 Figura 7.5: Componentes real e imaginária da impedância complexa Z. As equações 7.34 e 7.38 nos permitem obter uma relação entre as amplitudes de tensão nos três componentes do circuito (gerador, resistor e indutor) V 0 2 = V 2 0R + V 2 0L. (7.40) e uma forma alternativa para calcular a diferença de fase a partir das amplitudes de tensão: tan ϕ = V 0L V 0R. (7.41) 7.7 Procedimentos experimentais Procedimento I: medidas de τ e t 1/2 com onda quadrada Vamos estudar um circuito RL con onda quadrada e obter experimentalmente o valor de sua constante de tempo τ. 1. Monte o circuito da figura 7.6 utilizando um resistor R = 1 kω e um indutor de L = 23, 2 mh. Ajuste no gerador de sinais uma forma de onda quadrada de frequência f = 5 khz e com tensão pico-a-pico V pp = 6 V, variando entre V min = 0 V e V max = 6 V. 2. Faça a medida de t 1/2 e τ para o circuito RL montado usando o mesmo método dos circuitos RC, ou seja, através da medida do tempo necessário para a tensão no indutor, V L, cair à metade e a 37% de seu valor inicial, respectivamente. Anote os valores obtidos com suas incertezas. 3. A partir do valor medido de t 1/2 e usando a expressão 4.19, calcule o valor de τ com sua incerteza. Compare com o valor obtido através da medida direta da constante de tempo.

81 7.7 Procedimentos experimentais 80 Figura 7.6: Montagem a ser realizada para medidas da constante de tempo do circuito RL. Observe que o sinal da fonte de tensão, V B, será visualizado no canal 1 do osciloscópio e o sinal da tensão no indutor, V L, será visualizado no canal Procedimento II: medida de τ do gráfico de V L 1. Utilizando o mesmo circuito utilizado para o Procedimento I, figura 7.6, ajuste novamente o osciloscópio para apresentar na tela uma imagem semelhante à que é mostrada na figura Utilize um dos métodos de medida, gratícula ou cursor, para medir sete pares de valores de t e V L. Anote os valores obtidos em uma tabela, com suas respectivas incertezas. Anote também os valores das escalas de tempo e voltagem utilizadas nas medidas. Meça os valores de R e L usando um multímetro. 3. Os pontos obtidos correspondem à função 7.7. Queremos, a partir de um gráfico desta função, obter o valor da constante de tempo τ através de um ajuste. Para facilitar este trabalho, vamos linearizar a equação 7.7, isto é, fazer uma mudança de variáveis que irá torná-la uma equação linear, com a seguinte forma: ln(v L ) = ln(v B ) t τ. (7.42) 4. Faça o gráfico de ln(v L /Volt) versus t e obtenha o valor de τ fazendo um ajuste linear. Os valores de V L são divididos por 1 volt para que o argumento do logaritmo seja uma grandeza adimensional. 5. Compare o valor medido da constante de tempo com seu valor nominal, dado pela equação 7.5.

82 7.7 Procedimentos experimentais Procedimento III: medida da diferença de fase e da reatância indutiva de um circuito RL com corrente alternada Vamos caracterizar um circuito RL, verificando a diferença de fase entre a corrente que flui no circuito e a tensão aplicada pelo gerador. Poderemos então calcular a reatância indutiva para a frequência escolhida e comparar com seu valor esperado. 1. Monte o circuito da figura 7.3 utilizando um resistor R = 100 Ω e um indutor de L = 23, 2 mh. Meça com um multímetro os valores de R e L. 2. Ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com uma tensão senoidal com frequência próxima a f 2 = 500 Hz e uma amplitude próxima a 4 V. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal com sua respectiva incerteza. 3. Observe que existe uma diferença de fase ϕ 2 entre o sinal do canal 1 (tensão do gerador) e o sinal do canal 2 (tensão sobre o resistor). Utilizando o mesmo método empregado no circuito RC, meça a diferença de fase entre a corrente e a tensão do gerador, com sua incerteza. Não esqueça de utilizar o valor de f 2 medido no item anterior. 4. A partir do valor obtido para ϕ 2, calcule o valor da reatância indutiva X L para a frequência f 2 e compare com o valor nominal. 5. Meça no osciloscópio as amplitudes das voltagens do gerador (V 0 ) e do resistor (V 0R ). A partir da equação 7.40 calcule a amplitude da tensão no indutor, V 0L e sua incerteza. 6. Calcule de maneira alternativa, a partir da equação 7.41 e das amplitudes medidas e calculadas na pergunta anterior, a diferença de fase ϕ 2 e sua incerteza. Compare o valor com o valor obtido na questão 3 deste procedimento. Os valores são compatíveis?

83 Circuitos RLC alimentados com onda quadrada Material capacitor de 10 nf; resistores de 100 Ω; indutor de 23,2 mh; potenciômetro. 8.2 Introdução Nos experimentos anteriores estudamos o comportamento da voltagem em circuitos RC e RL quando alimentados por uma voltagem constante que muda subitamente de valor. Vimos que o capacitor e o indutor possuem comportamentos opostos quando um transiente positivo de tensão é aplicado. A voltagem no capacitor (inicialmente descarregado) é zero e vai aumentando à medida que o tempo passa, enquanto que a voltagem no indutor começa com o valor máximo e vai caindo à medida que o tempo passa. A taxa com que a voltagem (ou a corrente) varia em cada circuito depende de sua constante de tempo característica. O que vamos estudar agora é o que se passa quando colocamos um resistor, um capacitor e um indutor em série em um circuito, como o mostrado na figura 8.1 a seguir. No instante que viramos a chave para a posição A, uma voltagem V B é aplicada ao circuito e quando a chave vai para a posição B, a fonte é desconectada. Neste caso, as cargas se movem usando a energia que foi armazenada no indutor e no capacitor, quando a fonte estava ligada.

84 8.2 Introdução 83 Figura 8.1: Circuito RLC em série. Quando a chave é colocada na posição A, pela lei das malhas temos que: V B = L di dt + Ri + q C. (8.1) Substituindo i = dq/dt na equação 8.1, encontramos: L d2 q dt 2 + Rdq dt + q C = V B. (8.2) Como se trata de uma equação diferencial não-homogênea, sua solução geral será a soma da solução geral q h (t) da equação homogênea associada, com uma solução particular q p (t) da equação completa: q(t) = q h (t) + q p (t). (8.3) A solução particular da equação 8.2 é q p = av B, que ao ser substituída na equação 8.2 leva a a = C, ou seja: q p (t) = CV B. (8.4) A equação homogênea associada à equação diferencial 8.2 é: L d2 q dt 2 + Rdq dt + q C = 0. (8.5) Para encontrarmos a solução desta equação diferencial, observemos que ela envolve funções cujas derivadas primeira e segunda são proporcionais a elas mesmas. As funções que satisfazem a essas condições são a função exponencial e as funções seno e cosseno. Como podemos representar as funções seno e cosseno por exponenciais complexas, vamos supor uma solução geral do tipo: q h (t) = b e rt, (8.6)

85 8.2 Introdução 84 onde b e r são constantes, de forma que: e dq h dt = r q h(t) (8.7) d 2 q h dt 2 = r 2 q h (t). (8.8) Assim, para que a equação diferencial descrita na equação 8.5 seja satisfeita devemos ter r 2 + 2αr + ω 2 0 = 0, (8.9) onde definimos os parâmetros α R 2L (8.10) e ω 0 1 LC. (8.11) O parâmetro α é chamado de constante de amortecimento (seu significado se tornará óbvio nas páginas seguintes), enquanto ω 0 é chamado de frequência natural (ou frequência de ressonância) do circuito RLC (sua relevância será compreendida quando estudarmos circuitos RLC alimentados com tensões senoidais). Resolvendo a equação 8.9, encontramos para r os seguintes valores: r 1 = α α 2 ω 2 0 (8.12) e r 2 = α + α 2 ω 2 0. (8.13) Temos, portanto, três regimes diferentes de operação, dependendo dos valores de α e ω 0 : regime super-crítico: neste caso α > ω 0 e a solução corresponde à soma de duas exponenciais que decaem com o tempo; regime crítico: neste caso α = ω 0, r 1 = r 2 e a solução corresponde à soma de uma exponencial que decai com o tempo com uma função linear em t; regime sub-crítico: neste caso α < ω 0, as raízes r 1 e r 2 são complexas, e a solução corresponde a oscilações amortecidas. Para o caso sub-crítico podemos escrever a solução geral da equação 8.2 como: q(t) = CV B + e αt (c 1 e jω t + c 2 e jω t ), (8.14)

86 8.2 Introdução 85 com j = 1 e ω = ω 2 0 α 2. (8.15) Apenas no regime sub-crítico oscilações são observadas no sistema. Na equação 8.14 o termo CV B corresponde ao valor da carga para um tempo muito grande e, portanto, podemos associá-lo à carga máxima que o capacitor pode acumular. As constantes c 1 e c 2 são determinadas a partir das condições iniciais do problema, por exemplo, q(0) = 0 e i(0) = 0. Para t, podemos escrever q = CV B. Tomando a parte real da equação 8.14 e substituindo as condições iniciais, a solução pode ser escrita como: q(t) = CV B [1 e αt cos(ω t)]. (8.16) Como a voltagem V C no capacitor é proporcional à carga (equação 8.1), podemos escrever também: V C (t) = V B [1 e αt cos(ω t)]. (8.17) A equação 8.16 nos mostra que a carga no capacitor é composta de duas partes. Uma parte é oscilante, chamada de transiente, cuja frequência f = ω /2π tem um valor próximo do valor da frequência de ressonância, modulada por uma função exponencial decrescente, que tende a zero. A outra parte é fixa, que é a carga que o capacitor terá após cessado o efeito do transiente. Como no caso dos circuitos RC e RL, para observarmos as oscilações no regime subcrítico devemos usar um gerador de sinais, que ao invés de gerar uma voltagem no circuito variando de V = 0 a V = V B, como assumimos em toda a discussão do problema, gera uma onda quadrada com amplitude variando de V 0 a + V 0. O efeito dessa mudança altera a condição inicial do problema. A nova condição inicial para a carga do capacitor quando o circuito é chaveado para a posição B passa a ser q(0) = CV 0 e não zero, como assumimos na discussão anterior. Isto faz com que a solução descrita pelas equações 8.14 e 8.15 seja modificada para: q(t) = CV 0 [1 2e αt cos(ω t)] (8.18) e V C (t) = V 0 [1 2e αt cos(ω t)]. (8.19) Na figura 8.2 mostramos uma imagem aproximada do que deve ser visto na tela do osciloscópio quando utilizamos uma onda quadrada alimentando um circuito RLC. Percebemos por essa figura que a voltagem oscilante corresponde aos máximos e mínimos das oscilações em torno da voltagem do gerador de sinais. Esta figura mostra um aspecto muito interessante, próprio de circuitos RLC operando em regime sub-crítico. à medida que o capacitor se descarrega, parte de sua energia é transferida para o indutor e parte é dissipada pelo resistor. Depois que o capacitor é completamente descarregado, o indutor descarrega a energia armazenada no ciclo anterior, carregando novamente o capacitor e dissipando parte dessa energia através do resistor. Dessa forma, temos uma transferência

87 8.2 Introdução 86 Figura 8.2: Figura aproximada que deve ser obtida na tela do osciloscópio para um circuito RLC operando em regime sub-crítico com os valores de R, L, C indicados na mesma. periódica de energia entre o capacitor e o indutor, que é amortecida pelo resistor. Durante um certo tempo a carga do capacitor mostra um comportamento oscilante que decai exponencialmente. Após esse tempo, o circuito sai do regime transitório e entra no regime permanente, com o capacitor carregado com o valor máximo de carga. A determinação experimental de α pode ser feita usando-se os mesmos métodos empregados para a determinação dos tempos de decaimento de circuitos RC e RL: quando t = 1/α, a voltagem (em módulo) terá caído a 0,37 de seu valor inicial V. Por isso α é chamado de constante de amortecimento. A parcela da carga total que oscila no tempo, nos pontos de máximo ou mínimo da função cosseno, é dada em módulo por: q oscilante (t) = q 0 e αt, (8.20) onde q 0 = 2CV 0 e os instantes de tempo t n são aqueles que fazem cos(ω t n ) = ±1, ou seja: com t n = n T 2 (n = 0, 1, 2, 3,...), (8.21) T = 2π ω. (8.22) Note que T é o período das oscilações da voltagem no capacitor. Assim, para os instantes de tempo t n, podemos escrever: V C (t n ) = V e αtn, (8.23) com V = 2V 0. A figura 8.3 mostra a representação dos instantes de tempo t n.

88 8.2 Introdução 87 Figura 8.3: Representação esquemática de t n. Um outro parâmetro também é utilizado para caracterizar o comportamento do circuito RLC. Conhecido como fator Q ou fator de mérito. Este fator é definido como sendo: Energia armazenada Q = 2π Energia dissipada por ciclo. (8.24) Quanto maior o fator Q, menor a perda fracionária de energia por ciclo. Para o circuito RLC em série pode ser mostrado que: Q = ω 0 L R ou, escrevendo de outra forma, 1 Q α = ω 0 2α e portanto ω também pode ser definido em função deste fator: ω = (8.25) (8.26) ω 20 α 2 = ω Q 2. (8.27) Se o fator de mérito Q > 1/2 (regime sub-crítico) então o circuito oscila com a frequência natural de oscilação ω. Note que ω é sempre menor que a frequência ω 0. As oscilações são amortecidas exponencialmente com a constante de tempo τ 1/α. Se o fator de mérito Q < 1/2 (regime super-crítico) então ω é imaginário, e não há oscilações. Se Q = 1/2 temos o caso do amortecimento crítico e ω é nulo. A figura 8.4 mostra as voltagens sobre o resistor, capacitor e indutor nos três regimes

89 8.3 Procedimentos experimentais 88 (sub-crítico, super-crítico e crítico). É interessante notar que no caso de amortecimento sub-crítico, o número de oscilações dentro de uma constante de tempo τ é Q/π. Podemos então escrever que Q N = N π, (8.28) onde N é o número de oscilações contadas dentro do intervalo de tempo τ. Este fato é muitas vezes utilizado para estimar rapidamente o Q do circuito. No caso de amortecimento sub-crítico a voltagem no capacitor oscila, excedendo a voltagem da fonte. Para amortecimento crítico o capacitor se carrega em tempo mínimo sem exceder a voltagem de entrada em nenhum instante. A voltagem no indutor é sempre descontínua em t = 0. Esta é uma característica de todo circuito excitado por uma função degrau. Como a soma das voltagens sobre todos os elementos do circuito em série deve ser igual à voltagem da fonte, pelo menos uma das voltagens da soma deve ser descontínua. Figura 8.4: Transientes no circuito RLC em série para os casos de amortecimento sub-crítico (esquerda), amortecimento crítico (direita, Q = 0, 5) e super-crítico (direita Q = 0, 3). ɛ pp é a voltagem pico a pico da onda quadrada. 8.3 Procedimentos experimentais Procedimento I: constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC 1. Monte o circuito da figura 8.5 com um resistor de R = 100 Ω, um capacitor de C = 10 nf e um indutor de L = 23,2 mh. Ajuste no gerador de funções uma onda quadrada com amplitude de V 0 = 4 V e frequência aproximada f = 500 Hz. Você deve ser capaz

90 8.3 Procedimentos experimentais 89 de visualizar na tela do osciloscópio o circuito operando no modo sub-crítico, com ao menos 5 ciclos de oscilações da voltagem no capacitor (semelhante à figura 8.2). Figura 8.5: Circuito RLC a ser montado para o Procedimento I. 2. Ajuste as escalas de tempo e tensão do osciloscópio de modo a maximizar a imagem de meio período da onda quadrada na tela. Coloque o patamar superior da onda quadrada do canal 1 no meio da tela e aumente a sua duração de modo a obter apenas o primeiro semi-ciclo da onda quadrada. 3. Meça o período T das oscilações da voltagem no capacitor. Compare com o valor nominal. 4. Preencha a tabela 1 com os valores de V C (t n ) e t n. Indique as escalas utilizadas. Meça os valores de R e C usando um multímetro e anote o valor nominal de L para a bobina utilizada. Tabela 1 t n ± σ tn V C (t n ) ± σ VC (t n) (V) ln( V C (t n ) /1V ) σ ln( VC (t n) ) 5. Determine a partir das medidas tabeladas os valores dos parâmetros: α e V da equação 8.23; número de oscilações N dentro de um intervalor τ = 1/α e o fator de mérito Q (equações 8.24, 8.25 e 8.26).

91 8.3 Procedimentos experimentais 90 Figura 8.6: Circuito RLC com um potenciômetro a ser montado no Procedimento II Procedimento II: transição do regime sub-crítico para o regime supercrítico. 1. No circuito montado para o Procedimento I, substitua o resistor por um potenciômetro (R pot = 5 kω), como mostrado na figura 8.6. O potenciômetro é um elemento de circuito com resistência variável. Ele é muito utilizado em situações que se deseja variar a corrente e, por conseguinte, a potência fornecida a determinado circuito elétrico. 2. Varie a resistência do potenciômetro de modo a identificar o valor crítico de resistência para o qual o circuito passa do regime sub-crítico ao regime super-crítico. Meça R crítica usando um multímetro. 3. Ajuste o potenciômetro de modo que ele tenha resistência nula. Descreva o que acontece com a voltagem no capacitor. O amortecimento persiste? Neste caso não deveria haver amortecimento e o circuito deveria ser um oscilador hamônico simples. Explique porque isto não ocorre.

92 Circuitos RLC com corrente alternada: ressonância e filtros passa-banda e rejeita-banda Material resistores de 560 Ω e 2,2 kω; capacitor de 10 nf; indutor de 23,2 mh. 9.2 Introdução A ressonância é um fenômeno característico de sistemas oscilatórios sujeitos à uma perturbação periódica. Quando a frequência desta perturbação se aproxima de uma das frequências preferenciais de oscilação do sistema, observa-se um significativo aumento da amplitude de oscilação. As frequências para as quais observa-se este aumento na resposta do sistema são chamadas de frequências de ressonância. Se uma perturbação excita o sistema numa destas frequências, mesmo forças de baixa intensidade são capazes de produzir oscilações de grande amplitude. A ressonância se manifesta em diversos sistemas físicos, sejam eles mecânicos, acústicos ou eletromagnéticos. Neste experimento (dividido em 2 aulas) veremos como a ressonância se apresenta num sistema elétrico em particular, o circuito RLC alimentado com tensão senoidal. Faremos medidas para caracterizar o comportamento ressonante do circuito e mediremos (de diferentes maneiras) sua frequência de ressonância, comparando com as previsões teóricas. Na primeira aula nos concentraremos no comportamento da amplitude dos sinais, e discutiremos como calcular a potência elétrica transmitida em circuitos; veremos também que, dependendo de como o circuito for montado, ele poderá se comportar como um filtro passa-banda ou rejeita-banda. Já na segunda aula o foco será a identificação do comportamento ressonante pela observação das diferenças de fase.

93 9.3 Circuitos RLC em série 92 Figura 9.1: Representação esquemática de um circuito RLC em série. 9.3 Circuitos RLC em série A figura 9.1 mostra o esquema de um circuito RLC em série, ao qual conectamos um osciloscópio para medir a tensão do gerador (no canal 1) e a tensão sobre o resistor (no canal 2). Aplicando a lei das malhas ao circuito, obtemos com V L (t), V C (t) e V R (t) dados por: V G (t) = V L (t) + V C (t) + V R (t), (9.1) V L (t) = L di(t) dt, (9.2) e V C (t) = q(t) C, (9.3) V R (t) = R i(t). (9.4) Com a voltagem de excitação dada por V G (t) = V 0 sen(ωt), (9.5) esperamos que a corrente no circuito seja também uma função senoidal que oscila na frequência angular ω, tendo como forma geral i(t) = i 0 sen(ωt + ϕ). (9.6) Precisamos encontrar i 0 e ϕ a partir da equação do circuito, dada pela equação 9.1. Podemos proceder de duas maneiras: substituir a expressão para i(t) nas equações 9.2, 9.3 e 9.4, e então na equação 9.1, e resolver a equação diferencial resultante; usar o formalismo de números complexos, determinando a impedância do circuito.

94 9.3 Circuitos RLC em série 93 Deixamos como exercício a determinação de i 0 e ϕ a partir da primeira opção, e seguiremos a segunda opção. De acordo com a fórmula de Euler, e jθ = cos θ + jsen θ (lembre que usamos j para representar o complexo 1), e a tensão do gerador pode ser escrita como ] V G (t) = Im[ṼG (t), (9.7) isto é, ela é a parte imaginária de uma tensão complexa dada por Ṽ G (t) = V 0 e jωt. (9.8) A corrente i(t) também pode ser escrita como a parte imaginária de uma grandeza complexa: [ ] i(t) = Im ĩ(t), (9.9) com ĩ(t) = i 0 e j(ωt+ϕ). (9.10) Seguindo esta notação, a expressão análoga à lei de Ohm será onde Z é a impedância total do circuito. Ṽ G (t) = Z ĩ(t), (9.11) No circuito mostrado na figura 9.1 os três elementos estão associados em série. A associação de impedâncias complexas do circuito é feita da mesma forma que a associação de resistências. Assim, lembrando que para o resistor temos Z R = R, para o capacitor Z C = jx C e para o indutor Z L = jx L, temos: Z = Z R + Z C + Z L = R + j(x L X C ) = R + j(ωl 1 ). (9.12) ωc Como a impedância total Z é um número complexo, podemos escrevê-la na forma polar, Z = Ze jθ, onde Z = R 2 + (X L X C ) 2, (9.13) e tan θ = (X L X C ) R Substituindo as equações 9.8 e 9.13 na equação 9.11, encontramos: = ĩ(t) = V 0 e jωt Ze jθ = V 0 Z ej(ωt θ) = (ωl 1/ωC). (9.14) R V 0 e j(ωt θ) ( R 2 + ωl 1 ) (9.15) 2 ωc

95 9.3 Circuitos RLC em série 94 Como a corrente i(t) é a parte imaginária de ĩ(t) (equação 9.9), temos que: e i 0 = V 0 Z, (9.16) ϕ = θ. (9.17) Ou seja, i 0 = V 0 R2 + (X L X C ) 2, (9.18) e tan ϕ = (X L X C ) R = (X C X L ). (9.19) R A equação 9.19 nos dá a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito. O fato novo introduzido pelo circuito RLC é que a impedância terá um comportamento diferente dependendo da frequência: para baixas frequências (ω < 1/ LC), teremos X C > X L, o circuito terá característica predominantemente capacitiva; para altas frequências (ω > 1/ LC), teremos X C < X L, e o circuito terá características indutivas; na frequência em que as reatâncias são iguais (X C = X L ), elas se cancelam mutuamente, fazendo com que o circuito apresente propriedades puramente resistivas; esta frequência é chamada de frequência angular de ressonância e é dada por: ω R = 1 LC. (9.20) A frequência linear de ressonância, ou simplesmente frequência de ressonância, é então escrita como: 1 f R = 2π LC. (9.21) Sabemos que a amplitude da voltagem no resistor está em fase com a corrente. Isto significa que medir V R (t) é observar o comportamento da corrente no circuito. Assim, para este circuito temos: RωC V 0R = V ) 0, (9.22) (RωC) 2 + (1 ω2 2 ω 2 R

96 9.3 Circuitos RLC em série 95 e tan ϕ = 1 RωC (1 ω2 ω 2 R ). (9.23) Quando a frequência angular ω é muito maior ou muito menor do que ω R, a amplitude V 0R também tende a zero. Conforme ω se aproxima de ω R, V 0R se aproxima de V 0. Já para a diferença de fase ϕ, quando a frequência angular tende a zero, a diferença de fase tende a +π/2, ou seja, o circuito tem comportamento capacitivo. Quando a frequência angular tende a infinito, a diferença de fase tende a π/2, ou seja, o circuito tem comportamento indutivo. Finalmente, quando ω = ω R, ϕ = 0, neste caso o circuito assume um caráter puramente resistivo. Na figura 9.2 mostramos o comportamento esperado para a amplitude de V R em função da frequência angular do sinal do gerador. Na figura 9.3 é mostrado o comportamento esperado para a diferença de fase em função da frequência angular. V 0R Figura 9.2: Comportamento esperado para a amplitude de V R em função da frequência angular do sinal do gerador, para um circuito RLC com R = 1 Ω, L = 10 mh, C = 10 nf e a voltagem de pico do gerador V 0 = 5 V. Para este caso temos ω R = 100 krad/s e f R = 15,9 khz Potência média A potência elétrica transmitida num circuito (isto é, a energia transmitida por unidade de tempo) é dada por P = V i. No caso de tensões e correntes constantes, este é o número que nos interessa. Mas no caso de circuitos alimentados por tensões alternadas, teremos P (t) = V (t) i(t) e a potência será um função que oscila (rapidamente, na maioria das vezes) em função do tempo. Ao calcular P (t 0 ) para um dado instante de tempo teremos a potência instantânea, que não traz informação sobre o comportamento periódico do sistema.

97 9.3 Circuitos RLC em série 96 Figura 9.3: Comportamento esperado para a diferença de fase φ em função da frequência angular do sinal do gerador, para o mesmo circuito da figura 9.2. É muito mais instrutivo calcular a potência média trasmitida num ciclo de oscilação P. Para tensões e correntes senoidais que oscilam com frequência angular ω, a potência média transmitida do gerador para o circuito é função de ω e pode ser escrita como P (ω) = V ef i ef cos ϕ, (9.24) onde V ef e i ef são, respectivamente, a tensão eficaz do gerador e a corrente eficaz no circuito, enquanto ϕ é diferença de fase entre a corrente e a tensão no gerador. Num circuito RLC, esta potência transmitida pelo gerador deve ser igual à potência dissipada no resistor (através do efeito Joule), já que não há dissipação no capacitor e no indutor (se desprezarmos a resistência interna deste último). A potência dissipada pode ser escrita como ( P R (ω) = R i 2 Vef ) 2 R (V 0R ) 2 ef = R = R 2R, (9.25) onde utilizamos a expressão para a tensão eficaz no resistor V ef R = V 0R 2. (9.26) A expressão para P R (ω) pode ser escrita em função da resistência R e das reatâncias capacitiva X C e indutiva X L : P R (ω) = R i 2 ef = R Vef 2 R 2 + (X L X C ) = R 2 + R V0 2 ( ωl 1 ) 2. (9.27) ωc

98 9.3 Circuitos RLC em série 97 É fácil verificar que o gráfico de P R (ω), mostrado na figura 9.4, apresenta um máximo em ω = ω R, ao reescrever esta última expressão em termos da frequência de ressonância: P R (ω) = 1 R V0 2 ω 2. (9.28) 2 ω 2 R 2 + L 2 (ω 2 ωr 2 )2 Figura 9.4: Potência média transferida por um gerador de V ef = 1 V para um circuito RLC com diferentes valores de R. Na ressonância o circuito apresenta as seguintes características: um comportamento puramente resistivo; sua impedância é mínima, ou seja a reatância total X = X C X L é nula, isto é Z(ω R ) = R; (9.29) X(ω R ) = 0; (9.30) a corrente que passa no circuito é, portanto, máxima, ou seja, a potência transferida ao circuito é máxima e dada por i 0 (ω R ) = V 0R R ; (9.31) P R max = V 2 0 2R. (9.32)

99 9.3 Circuitos RLC em série 98 A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequências dentro do qual a potência P R (ω) é maior ou igual à metade do valor máximo, ou seja, ω corresponde à amplitude à meia-altura da curva P R vs. ω. Isso significa que pode ser escrita como ω série = R L. (9.33) O fator de mérito Q do circuito em série ressonante caracteriza a curva de ressonância e é dado por: Q série = ω R L = ω R ω R R = 1 L R C. (9.34) A figura 9.5 mostra dois filtros ressonantes em série com as suas respectivas curvas de transmitância. Figura 9.5: Curvas de transmitância para circuitos RLC: (a) transmitância quando a saída é tomada no resistor; (b) transmitância quando a saída é tomada no capacitor. Quando a saída é no resistor (figura 9.5a) temos um filtro passa-banda. Longe da ressonância a transmitância cai a uma taxa de 20 db por década. Quando a saída é no capacitor temos um filtro passa-baixas. Este filtro rejeita as altas frequências melhor que o filtro RC passa-baixa. Para uma melhor comparação entre os filtros passa-baixas RLC e o RC, na linha tracejada da curva inferior da figura 9.5 representamos também a transmitância de um filtro RC com a mesma frequência de corte. No filtro RLC a transmitância cai com o logaritmo da frequência a uma taxa de 40 db/dec, enquanto que no RC a queda é de 20 db/dec.