Um Esquema de Codificação Homofônica Universal Utilizando o Algoritmo LZW

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1 Um Esquema de Codificação Homofônica Universal Utilizando o Algoritmo LZW Daniel da R. Simões e Valdemar C. da Rocha Jr. Resumo Este artigo pretende analisar uma aplicação da codificação de fonte em criptografia, sugerida por James L. Massey em [1]: um esquema de codificação homofônica universal, ou seja, que não necessita do conhecimento a priori da estatística da fonte, o que é uma realidade na maioria das aplicações práticas em comunicações. Além de uma análise teórica, serão mostrados alguns resultados encontrados em simulações envolvendo arquivos de texto e de imagem no formato BMP. Palavras-Chave Criptografia, Codificação Homofônica, Codificação de Fonte. Abstract This article intends to analyze one application of source coding in cryptography, suggested by James L. Massey in [1]: one universal homophonic coding scheme, i. e., that doesn t need the previous knowledge of the source statistics, that is a reality in most of practical applications in communications. Beyond one theoretic analyze, we present some results found in simulations evolving text archives and BMP format images. Keywords Cryptography, Homophonic Coding, Source Coding. I. INTRODUÇÃO A criptografia é atualmente uma poderosa ferramenta para a proteção de dados sigilosos como fichas médicas de pacientes, resultados de experimentos genéticos, cadastros bancários, etc. A substituição ou codificação homofônica é uma técnica utilizada na criptografia para combater os ataques que exploram desvios na estatística do texto claro como, por exemplo, a análise da freqüência relativa dos símbolos. A excessiva redundância do texto cifrado resultou na quebra de alguns sistemas de cifragem, motivando assim o aparecimento da substituição homofônica. Essa técnica consiste na substituição de cada símbolo da mensagem original por um ou mais símbolos, denominados homofonemas (palavra de origem grega, significando do mesmo som ), pertencentes a um alfabeto maior, de forma a produzir símbolos uniformemente distribuídos e estatisticamente independentes, reduzindo assim a redundância da mensagem. Na sua forma clássica, esse procedimento necessita do conhecimento prévio da estatística do texto claro para realizar a codificação. Em [2], C. Günther descreve um algoritmo para a realização desse tipo de codificação homofônica. Na maioria das aplicações práticas, não se tem a priori o conhecimento da estatística da fonte, de modo que, para realizar a contagem dos símbolos e obter suas freqüências relativas, é necessário um tempo precioso de processamento, o que torna o sistema de comunicação mais lento. O sistema Daniel da R. Simões e Valdemar C. da Rocha Jr. Departamento de Eletrônica e Sistemas, Centro de Tecnologia e Geociências, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Brasil, s: dansim@click21.com.br, vcr@ufpe.br. Este trabalho foi financiado pela FACEPE (IBPG /08). proposto em [1] por James L. Massey realiza uma codificação homofônica aplicando um esquema de codificação de fonte universal, o qual não precisa do conhecimento a priori da estatística da fonte. Na Seção 2, serão vistas algumas noções básicas sobre codificação de fonte e também algumas propriedades de códigos unicamente decodificáveis. A seção 3 trata do algoritmo de compressão de Lempel-Ziv-Welch utilizado no sistema. A seção 4 trata da teoria que envolve o sistema, bem como alguns detalhes da sua implementação. Finalmente, na seção 5, serão apresentados alguns resultados envolvendo textos e imagens. II. ALGUNS FUNDAMENTOS DA CODIFICAÇÃO DE FONTE A idéia principal da codificação de fonte é representar a saída de uma fonte de informação com o mínimo possível de dígitos por símbolo da fonte. Seja U 1, U 2,, a seqüência de saída de uma fonte discreta de informação. Essa fonte é dita estacionária se, para todo inteiro positivo L e toda seqüência u 1, u 2,, u L de símbolos do alfabeto fonte, temos P (U 1, U 2,, U L = u 1, u 2,, u L ) = P (U i+1, U i+2,, U i+l = u 1, u 2,, u L ), para todo i 0. Uma fonte estacionária é denominada ergótica se o número de vezes que a seqüência u 1, u 2,, u L ocorre na seqüência, de comprimento N + L 1, de saída da fonte U 1, U 2,, U N+L 1, quando dividido por N, é igual a P (U 1, U 2,, U L = u 1, u 2,, u L ), com probabilidade 1 quando N [1]. Serão consideradas, sem perda de generalidade, apenas fontes discretas estacionárias e ergóticas (DSES), uma vez que em geral elas são suficientes para modelar qualquer fonte real de informação. Os códigos de fonte utilizados em esquemas de codificação sem perdas são chamados códigos unicamente decodificáveis. Uma condição suficiente para que uma concatenação de palavras-código seja unicamente decodificável é que o código seja livre de prefixo (prefix-free), ou seja, nenhuma palavra código é a primeira parte (ou prefixo) de outra palavra-código. Esta condição é equivalente à condição de um decodificador ser capaz de imediatamente reconhecer o final de uma palavracódigo sem precisar ler o começo da próxima palavra-código. Códigos com essa propriedade são chamados de códigos instantâneos [3]. Seja W i o comprimento da palavra-código X i e Y i o comprimento, em símbolos da fonte, da mensagem correspondente V i. A taxa, dada em bits por símbolo da fonte, do esquema de codificação é definida como: ( ) W1 + W W n R = lim (1) n Y 1 + Y Y n

2 A taxa de informação de uma fonte DSES é a sua entropia da extensão infinita da fonte (em bits por símbolo da fonte) definida como H (U) = lim n H n (U), em que H n (U) = 1 n H(U 1U 2 U n ) (2) O teorema da codificação sem perdas [4] estabelece que códigos com R < H (U) são impossíveis, mas, para qualquer ɛ > 0, existem códigos com R < H (U) + ɛ. Um esquema ótimo de codificação de fonte é aquele em que a taxa R é essencialmente igual a H (U). Para qualquer fonte DSES, temos H (U) H (U 1 ) com igualdade se e somente se a fonte é sem memória, ou seja, a sua saída é uma seqüência de símbolos independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.).para uma fonte binária sem memória, temos H(U 1 ) 1bit, com igualdade se e somente se P (U 1 = 0) = P (U 1 = 1) = 1 2. Neste caso, a fonte é denominada de fonte binária simétrica (BSS). Assim, a fonte BSS é a única fonte binária que não pode ser comprimida. Então, podemos ver a tarefa da codificação de fonte, idealmente, como a tarefa de transformar de forma reversível a saída da fonte numa seqüência de saída de uma fonte BSS, o que a torna bastante atrativa do ponto de vista criptográfico. III. O CÓDIGO DE LEMPEL-ZIV-WELCH (LZW) O algoritmo de Lempel-Ziv é um esquema de codificação universal de fonte pertencente à família dos códigos de dicionários adaptativos. Variantes desse algoritmo foram utilizadas em programas como compress (UNIX), gzip (GNU) e pkzip (DOS). O princípio básico desse algoritmo é dividir os dados a serem transmitidos em segmentos de comprimento variável, que são as menores subseqüências de símbolos não encontradas previamente na seqüência a ser transmitida. A cada segmento é associado um código que é transmitido. O último símbolo de cada frase nova é codificado como o primeiro símbolo da próxima frase. Um dicionário contém as associações entre os códigos e os segmentos. Em implementações práticas, é comum limitar o tamanho máximo do dicionário a um valor que garanta um bom desempenho e utilize uma porção adequada de memória. Existem diversas versões do algoritmo de Lempel-Ziv, todas baseadas nas idéias propostas em [5]. Será considerada a versão descrita por Welch em [6], também conhecida como algoritmo LZW. Este algoritmo é uma extensão do algoritmo LZ78 proposto por A. Lempel e J. Ziv, com a diferença de que o dicionário não está vazio no início, contendo todos os caracteres individuais possíveis. Como exemplo, considere uma fonte com alfabeto composto pelos símbolos a e b. Seja L 1 = (a, b) o dicionário inicial. Para cada i = 1, 2,, marca-se o final da i-ésima frase no ponto em que, incluindo o próximo símbolo, resulte em uma seqüência não listada em L i, e então coloca-se esta seqüência adicionada do próximo símbolo no final do dicionário L i, formando assim o dicionário L i+1. O dicionário L i contém exatamente i + 1 seqüências. Considere a saída dessa fonte como sendo aabababaaa. A Figura 1 ilustra a segmentação da seqüência, o preenchimento do dicionário e a saída resultante da codificação. Fig. 1. Codificação da seqüência aabababaaa utilizando o algoritmo LZW. Sejam V 1, V 2, V 3, as frases da seqüência segmentada da fonte. Cada frase V i é codificada como o código binário W i = log(i + 1) para o índice do dicionário L i. Para i > 1, como a última seqüência da lista L i só é colocada depois da segmentação de V i 1, o que requer o primeiro símbolo de V i, então a decodificação da palavra-código X i para a frase V i, não pode ser feita percorrendo o dicionário pois ele terá formado apenas a lista L i 1. Assim, quando i > 1 e X i aponta para a última seqüência de L i, o primeiro símbolo de V i deve ser o mesmo do primeiro dígito de V i 1, permitindo o decodificador formar prematuramente o dicionário L i necessário para decodificar X i. Como o comprimento W i da i-ésima palavra código X i não depende da seqüência da fonte, o código LZW é livre de prefixo (prefix-free). Nesse código, para qualquer fonte DSES, a taxa R definida pela Equação 1 satisfaz R = H (U) (3) ou seja, o código LZW é universal para a classe de todas as fontes DSES [5]. IV. A CODIFICAÇÃO HOMOFÔNICA UNIVERSAL Em 1988, C. G. Günther idealizou um esquema de codificação homofônica que faz a seqüência de texto claro resultante uma seqüência de saída de uma fonte BSS, também conhecida como codificação homofônica perfeita [2]. Entretanto, tal codificação requer o conhecimento a priori da estatística da fonte de informação. Para evitar tal conhecimento prévio, J. L. Massey sugere [1] um esquema de codificação homofônica que utiliza um código de fonte universal. A Figura 2 ilustra esse esquema. Fig. 2. Codificador homofônico universal. O bloco denominado BSS é um gerador de símbolos aleatórios. Para a realização desse sistema, foi utilizado o gerador de números pseudo-aleatórios de Park-Miller-Carta,

3 bastante analisado em [7], [8] e [9]. O multiplexador (m, n) considerado é um dispositivo que tem como saída m símbolos aleatórios da fonte BSS, depois n símbolos da fonte de informação, depois mais m símbolos da fonte BSS, depois mais n símbolo da fonte de informação, e assim por diante, não necessariamente nessa ordem. Considerando a fonte DSES, a seqüência de saída do multiplexador não será inteiramente DSES, uma vez que a multiplexação introduz não estacionaridade. A seqüência V 1, V 2, V 3, de blocos de mensagens forma a saída de uma fonte DSES toda vez que o comprimento desses blocos é m + n. Assim, cada bloco de m + n símbolos é denominado ciclo estacionário. A saída do codificador homofônico é obtida processando os ciclos estacionários com o código universal de fonte, sendo escolhido o código LZW para a realização. A seqüência da fonte de informação pode ser recuperada facilmente a partir da saída do codificador homofônico sem o conhecimento do gerador de símbolos aleatórios, simplesmente passando essa saída num esquema de decodificação de fonte e então descartando os símbolos aleatórios. A fonte de mensagens possui uma entropia dada por H (V ) = m + nh (U), em que H (U) é a entropia da fonte de informação. Tome uma imagem como fonte de informação. Considere que o multiplexador insere primeiro n p pixels da fonte de informação e depois m p pixels de uma imagem BSS. Os valores de n e m em bytes, chamados de n b e m b, são dados por: sendo a entropia de primeira ordem, obtida utilizando as freqüências relativas dos bytes, uma boa medida da eficácia do sistema. Para realizar as análises, foi escolhida, como fonte de informação, a imagem de Lenna, mostrada na Figura 3.A Figura 4 ilustra a imagem de Lenna codificada pelo sistema com n = 10 e m = 5, com um dicionário de 1000 bytes para o LZW. Como existem 256 bytes possíveis, idealmente, a seqüência de saída terá uma entropia dada por H(V ) = log 2 (256) = 8. Fig. 3. Imagem de Lenna. n b = n p b m b = m p b em que b é o número de bytes necessários para representar um pixel da fonte de informação. Em imagens no formato RGB, por exemplo, um pixel é representado por 3 bytes, enquanto em uma imagem em escala de cinza, um pixel é representado por 1 byte. Dividindo-se o número de pixels da imagem fonte NP F onte por n p, obtemos NP F onte = q p n p + r p. Desta forma, o número de pixels da imagem gerada pelo multiplexador NP MUX será: NP MUX = (n p + m p ) q p + r p (4) O número de bytes da imagem gerada pelo multiplexador NB MUX pode ser encontrado fazendo-se: NB MUX = NP MUX b (5) Chamando-se de NB UHC o número de bytes da sequência de saída do sistema, define-se, em porcentagem, a compressão ρ relativa à fonte de informação como: ( ) NBUHC q p m b ρ = 100 (6) NB F onte Na Equação 6, desconsideram-se, no numerador da fração, todos os bytes aleatórios oriundos da fonte BSS, pois estes não são comprimidos quando passam pelo codificador de fonte. Devido ao fato de que o codificador de fonte elimina a redundância da seqüência de saída do multiplexador, considerase os pixels da imagem de saída do sistema independentes, Fig. 4. Imagem de Lenna codificada com n = 10, m = 5 e um dicionário de 1000 bytes para o LZW. Considerando-se que o multiplexador tem como saída primeiro n p pixels da imagem, depois m p pixels aleatórios, o objetivo dos ensaios realizados foi analisar duas estratégias de utilização do sistema: manter, a cada ciclo estacionário processado, o dicionário gerado no ciclo anterior, ou descartar o dicionário gerado anteriormente, inicializando-o a cada ciclo. Serão mostrados na próxima seção os resultados desses ensaios.

4 V. RESULTADOS Para encontrar uma relação de n m com uma boa entropia de saída, fixaram-se o tamanho máximo do dicionário em 8000 bytes e m p = 10. As Figuras 5 e 6 ilustram ρ e a entropia da seqüência de saída para as duas estratégias, para 1 n p 100. ρ (%) n/m Observando as Figuras 5 e 6, nota-se um melhor desempenho, tanto para a compressão relativa à fonte tanto quanto para a entropia, da estratégia que mantém o dicionário a cada ciclo estacionário. A entropia tende ao ideal quanto maior é a relação de n m. Escolhendo-se uma taxa n m = 30, cuja compressão e entropia valem, respectivamente, ρ = 39, 705% e H(V ) = 7, 972, manteve-se novamente o tamanho máximo do dicionário em 8000 bytes. Fazendo-se n p = 30 e m p = 1, multiplicou-se esses dois parâmetros por 1 a 1000 para novamente observar o comportamento das duas estratégias. As Figuras 7 e 8 ilustram ρ e a entropia da seqüência de saída obtidos. ρ (%) Fig. 5. Compressão relativa à fonte ρ para um dicionário de 8000 bytes e m p = a H(V) (bits/símbolo) 8,0 7,9 7,8 7,7 7,6 7,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 6,9 6, n/m Fig. 7. H(V) (bits/símbolo) Compressão relativa à fonte ρ para um dicionário de 8000 bytes. 8,0 7,8 7,6 7,4 7,2 Fig. 6. Entropia da seqüência de saída para um dicionário de 8000 bytes e m p = 10. 7, a Fig. 8. Entropia da seqüência de saída para um dicionário de 8000 bytes.

5 Observando as Figuras 7 e 8, nota-se que não há alterações significativas na compressão e na entropia quando a estratégia adotada é manter o dicionário entre ciclos estacionários. Entretanto, para a estratégia de descartar o dicionário entre ciclos estacionários, há uma significativa melhora no desempenho do sistema, nos dois parâmetros considerados, à medida em que a cresce, atingindo resultados bastante próximos àqueles da outra estratégia. Finalmente, mantendo-se a taxa n m = 30, procurou-se observar o comportamento do sistema variando-se o tamanho máximo do dicionário de 300 a bytes. Para a estratégia que descarta o dicionário entre ciclos estacionários, consideraram-se n p = 300 e m p = 10 (ρ = 39, 666% e H(v) = 7, 972), enquanto que para a estratégia que mantém o dicionário entre ciclos estacionários, consideraram-se n p = e m p = 500 (ρ = 54, 089% e H(V ) = 7, 935). As figuras 9 e 10 ilustram o comportamento das duas estratégias. Fig. 9. ρ (%) k 10k 100k Dicionário (Bytes) Compressão relativa à fonte ρ variando-se o dicionário. H(V) (bits/símbolo) Fig ,00 7,95 7,90 7,85 7,80 7,75 7, k 10k 100k Dicionário (Bytes) Entropia da seqüência de saída variando-se o dicionário. Observando as figuras 9 e 10, nota-se que a estratégia de manter o dicionário entre ciclos estacionários possui vantagem em relação a outra, conseguindo uma melhor compressão à medida em que o tamanho máximo do dicionário aumenta. Para a outra estratégia, a compressão ρ possui resultados semelhantes até um tamanho de aproximadamente 2000 bytes para o dicionário. A partir daí, observa-se uma piora na compressão para tamanhos maiores do dicionário, pois não dá tempo para o LZW aprender a estatística em um ciclo estacionário. Em relação à entropia, nota-se um comportamento semelhante entre as duas estratégias, com uma ligeira vantagem para a estratégia que mantém o dicionário entre os ciclos estacionários. Não foram observadas mudanças significativas invertendo a ordem no multiplexador: tendo como saída primeiro m p pixels aleatórios, depois n p pixels da imagem. VI. CONCLUSÃO Como foi mostrado nas seções anteriores, podemos realizar uma codificação homofônica universal eficiente utilizando o codificador LZW, que possui uma segmentação de comprimento variável. Os resultados obtidos para a imagem considerada mostram que podemos ter uma entropia da seqüência de saída próxima do ideal e, ao mesmo tempo, ter uma boa compressão da seqüência, em relação à seqüência de entrada. Isso torna o sistema analisado bastante atrativo, sobretudo devido à sua simplicidade de implementação. AGRADECIMENTOS Agradecemos a todos os colegas que ajudaram a tornar possível a realização deste trabalho.

6 REFERÊNCIAS [1] J. L. Massey, Some Applications of Source Coding in Criptography, European Transactions on Telecommunications, vol.5, no. 4, pp. 7/421-15/429, Julho-Agosto de [2] C. Günther, A Universal Algorithm for Homophonic Coding, Advances in Cryptology - Eurocypt 88, (Ed. C.G.Günther) LNCS no 330, Springer-Verlag, pp , [3] N. Abramson, Information Theory and Coding, McGraw Hill, New York, [4] R. G. Gallager, Information Theory and Reliable Communications, John Wiley and Sons, Inc., New York, [5] J. Ziv e A. Lempel, A Universal Algorithm for Sequential Data Compression, IEEE Trans. Inform. Th., Vol. IT-23, pp , Maio [6] T. A. Welch, A Technique for High Performance Data Compression, IEEE Computer, Vol. 17, pp. 8-19, Junho [7] Stephen K. Park e Keith W. Miller, Random Number Generators: Good ones are Hard to Find, Communications of ACM, Vol. 31, No. 10, Outubro 1988 [8] David G. Carta, Two Fast Implementations of the Minimal Standard Random Number Generator, Communications of ACM, Vol. 33, No. 1, Janeiro [9] G. S. Fishman e L. R. Moore, An Exhaustive Analysis of Multiplicative Congruential Random Number Generators With Modulus , SIAM J. Sci. Stat. Comput., vol. 7, Janeiro de 1986, pp