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Anexo 1 Funções para Medida de Desempenho Função Sphere Deslocada f 1 (x)= D z i+ bias 1 z=x o, x=[x 1, x,, x D ] Função f 1 6 x 1 4 4 1 5 5 1 1 5 5 1 Figura 5.3: Mapa 3D da função f 1. Unimodal Separável x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F 1 (x )=bias 1 = 45
Referências Bibliográficas 9 Função Schwefel Deslocada f (x)= D i z j j=1 + bias z=x o, x=[x 1, x,, x D ] Função f 8 x 1 4 6 4 1 5 5 1 1 5 5 1 Figura 5.4: Mapa 3D da função f. Unimodal Não-separável x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F (x )=bias = 45
Referências Bibliográficas 93 Função Elíptica Rotacionada e Deslocada f 3 (x)= D ( 1 6 ) i 1 D 1 z i+ bias 3 z=(x o) M, x=[x 1, x,, x D ] Função f 3 4 x 1 1 3 1 1 5 5 1 1 5 5 1 Figura 5.5: Mapa 3D da função f 3. Unimodal Rotacionada Não-separável M é uma matriz ortogonal qualquer pré-definida x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F 3 (x )=bias 3 = 45
Referências Bibliográficas 94 Função Schwefel 1. Deslocada com Ruído D f 4 (x)= i z j (1+.4 N(, 1) )+bias 4 j=1 z=x o, x=[x 1, x,, x D ] Função f 4 5 x 1 4 4 3 1 1 5 5 1 Figura 5.6: Mapa 3D da função f 4. Unimodal Não-separável Ruído aleatório x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F 4 (x )=bias 4 = 45
Referências Bibliográficas 95 Função Schwefel.6 f 5 (x)=max{ A i x B i }+bias 5 A é uma matriz DxD, onde a i j são números inteiros aleatórios no intervalo [ 5, 5], det(a), A i é a i-ésima linha de A. B i = A i o, o é um vetor Dx1, onde o i é um número aletório no intervalo [ 1, 1]. Função f 5 4 x 1 4 3 1 1 1 1 1 1 Figura 5.7: Mapa 3D da função f 5. Unimodal Não-separável Ótimo global na borda do domínio x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F 5 (x )=bias 5 = 31
Referências Bibliográficas 96 Função Rosenbrock Deslocada f 6 (x)= D (1 ( z i ) + ) z i+1 (zi 1) + bias 6 z=x o+1, x=[x 1, x,, x D ] Função f 6 4 3 1 46 48 5 5 78 79 8 81 8 Figura 5.8: Mapa 3D da função f 6. Não-separável Esta função tem um vale muito estreito entre o mínimo local e o mínimo global x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F 6 (x )=bias 6 = 39
Referências Bibliográficas 97 Função Ackley Rotacionada e Deslocada f 8 (x)= exp. 1 D D z i exp 1 D D cos (πz i ) + +e+bias 8 z=(x o) M, x=[x 1, x,, x D ] 1. M é uma matriz de transformação linear com um número de condição igual a Função f 8 115 1 15 13 135 14 4 4 4 4 Figura 5.9: Mapa 3D da função f 8. Rotacionada Não-separável Ótimo global na borda do domínio x [ 3, 3] D, Ótimo global: x = o, F 8 (x )=bias 8 = 14
Referências Bibliográficas 98 Função Rastrigin Deslocada f 9 (x)= D ( z i 1 cos (πz i )+1 ) + bias 9 z=x o, x=[x 1, x,, x D ] Função f 9 5 3 35 5 5 5 5 Figura 5.1: Mapa 3D da função f 9. Separável Grande número de ótimos locais x [ 5, 5] D, Ótimo global: x = o, F 9 (x )=bias 9 = 33
Referências Bibliográficas 99 Função Rastrigin Deslocada e Rotacionada f 1 (x)= D ( z i 1 cos (πz i )+1 ) + bias 1, [ 5, 5] D z=(x o) M, x=[x 1, x,, x D ]. M é uma matriz de transformação linear com um número de condição igual a Função f 1 1 1 3 4 5 5 5 5 Figura 5.11: Mapa 3D da função f 1. Rotacionada Não-Separável Grande número de ótimos locais x [ 5, 5] D, Ótimo global: x = o, F 1 (x )=bias 1 = 33
Referências Bibliográficas 1 Função Weierstrass Deslocada e Rotacionada f 11 (x)= D k= [.5 k cos ( π3 k (z i +.5) )] D [.5 k cos ( π3 k.5 )] + bias 11 k= z=(x o) M, x=[x 1, x,, x D ] 5. M é uma matriz de transformação linear com um número de condição igual a Função f 11 98 96 94 9.5 9.5.5.5 Figura 5.1: Mapa 3D da função f 11. Rotacionada Não-Separável Função contínua mas diferenciável apenas em alguns pontos x [.5,.5] D, Ótimo global: x = o, F 11 (x )=bias 11 = 9
Referências Bibliográficas 11 Função Schwefel.13 f 1 (x)= D (A i B i (x)) + bias 1 A i = D ( ) ai j sinα j + b i j cosα j j=1 B i (x)= D ( ) ai j sin x j + b i j cos x j,,, D j=1 Função f 1 6 x 1 4 4 4 4 4 4 Figura 5.13: Mapa 3D da função f 1. Não-Separável x [ π,π] D, Ótimo global: x =α, F 1 (x )=bias 1 = 46
Referências Bibliográficas 1 Função Griewank e Rosenbrock Expandida e Deslocada Considerando-se as funções: F8 - Função Griewank : F8(x)= D F - Função Rosenbrock : F(x)= D 1 x i D 4 cos( ) x i I + 1 (1 ( x i ) + ) x i+1 (xi 1) f 13 (x)=f8(f(z 1, z ))+ F8(F(z, z 3 ))+ + F8(F(z D 1, z D ))+ F8(F(z D, z 1 ))+bias 13 z=x o+1, x=[x 1, x,, x D ] Função f 13 8 9 1 11 1 13 1 1.5 1.5 1 Figura 5.14: Mapa 3D da função f 13. Não-separável x [ 5, 5] D, Ótimo global: x = o, F 13 (x )=bias 13 = 13
Referências Bibliográficas 13 Função F6 Expandida, Rotacionada e Deslocada Considerando-se a função: ( ( sin x + y ).5 ) F(x, y)=.5+ ( ( 1+.1 x + y )) f 14 (x)=f(z1, z)+f(z, z 3 )+ + F(z D 1, z d )+F(z D, z 1 )+bias 14 z=(x o) M, x=[x 1, x,, x D ] 5. M é uma matriz de transformação linear com um número de condição igual a Função f 14 98 98.5 99 99.5 3 1 3 4 9 8 7 6 5 Figura 5.15: Mapa 3D da função f 14. Não-separável x [ 1, 1] D, Ótimo global: x = o, F 14 (x )=bias 14 = 3
Anexo Funções para Medida de Desempenho Função Sphere f S phere (x)= D x i Função f 3 x 1 4 1.5 1.5 1 5 5 1 1 5 5 1 Figura 5.16: Mapa 3D da função f S phere. Unimodal x [ 1, 1] D, Ótimo global: x =, f S phere (x )=
Referências Bibliográficas 15 Função Ackley f Ackley (x)= exp. 1 D D x i exp 1 D D cos (πx i ) + +e Função f 31 15 1 5 4 4 4 4 Figura 5.17: Mapa 3D da função f Ackley. x [ 3, 3] D, Ótimo global: x =, f Ackley (x )=
Referências Bibliográficas 16 Função Griewank f Griewank (x)= 1 4 D x i D ( xi cos )+1 i Função f 3.5 1.5 1.5 1 5 5 1 1 5 5 1 Figura 5.18: Mapa 3D da função f Griewank. x [ 6, 6] D, Ótimo global: x =, f Griewank (x )=
Referências Bibliográficas 17 Função Rastrigin f Rastrigin (x)= D [ x i 1 cos (πx i )+1 ] Função f 33 1 8 6 4 1 5 5 1 1 5 5 1 Figura 5.19: Mapa 3D da função f Rastrigin. x [ 5.1, 5.1] D, Ótimo global: x =, f Rastrigin (x )=
Referências Bibliográficas 18 Função Schwefel.6 f S chwe f el (x)= D ( xi sin ( x i )) + 1569.5 Função f 34 1 5 5 1 5 5 5 5 Figura 5.: Mapa 3D da função f S chwe f el. x [ 5, 5] D, Ótimo global: x = 4.9687, f S chwe f el (x )=
Referências Bibliográficas 19 Função Rosenbrock D 1 [ f Rosenbrock (x)= 1 ( ) + ] x i+1 x i (xi 1) Função f 35 1 x 1 7 8 6 4 4 4 4 4 Figura 5.1: Mapa 3D da função f Rosenbrock. x [ 3, 3] D, Ótimo global: x = 1, f Rosenbrock (x )=