Canguru de Matemática Brasil 2017 Prova Nível E Respostas Problemas de 3 pontos Questão 1 Carlinhos olha pela janela e vê metade dos cangurus do parque, como mostra o quadro ao lado. Quantos cangurus há no parque? (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20 1. Alternativa A Podemos contar 6 cangurus na figura. Se 6 cangurus é a metade, então o número de cangurus do parque é 6 + 6 = 2 3 6 = 12. Questão 2 Apenas uma das peças abaixo pode ser encaixada entre as duas peças ao lado. Qual é ela? (A) (C) (D) (E) (B) 2. Alternativa E Na peça à esquerda, temos 8 3 = 5. Nas opções, há três peças intermediárias com a indicação = 5. Temos que escolher a peça contendo a operação 1 + 1 que resulta 2. É a peça 1
Questão 3 Duas folhas quadriculadas transparentes tiveram alguns de seus quadrados pintados de preto. As duas folhas foram colocadas sobre o tabuleiro de mesmo tamanho no centro, de modo que as fi guras cobertas pelos quadrados pretos não podem ser vistas. Somente uma das fi guras do tabuleiro pode ser vista através das folhas. Qual é a fi gura? 3. Alternativa E Questão 4 Sobrepondo as duas peças das extremidades e colocando-as sobre a fi gura do centro, obtemos o conjunto com uma única janela transparente, fi cando visível apenas a borboleta. Girando o quadro da esquerda e apagando duas pegadas, temos o quadro da direita. Quais são as pegadas que foram apagadas? 4. Alternativa C No quadro à esquerda há dois pares de pegadas:. No quadro à direita, as pegadas viram de ponta cabeça e há apenas um par dessas pegadas: 2
Questão 5 Qual número está escondido pela fi gura do urso panda? (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 28 5. Alternativa A Fazendo as operações indicadas da esquerda para a direita, temos: 10 + 6 = 16 16 + 8 = = 24 24 6 = 18 18 + 8 = 26 26 10 = 16. Questão 6 As casas da tabela ao lado mostram as somas dos números de fora. Qual número está escrito na casa com o ponto de interrogação? (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 15 (E) 16 6. Alternativa E Os números de fora de cada linha se somam aos números de fora de cada coluna. Assim, 6 soma-se a 11, 7 e 2, produzindo os resultados 17, 13, 8. Então o número borrado de fora, na segunda linha, soma-se a 11, 7 e 2, resultando dois números borrados e o 11. Portanto, o número borrado do lado de fora é 11 2 = 9. Logo, o número borrado na casa com o ponto de interrogação é 9 + 7 = 16. Questão 7 Dina quebrou sem querer o espelho do seu banheiro em vários pedaços. Quantos desses pedaços têm exatamente quatro lados? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 7. Alternativa C Vemos, na fi gura, somente os quatro pedaços coloridos têm quatro lados. 3
Questão 8 Na fi gura à direita vemos um colar com seis bolinhas, algumas brancas e outras pretas. Qual das seguintes fi guras representa o mesmo colar? 8. Alternativa A Seguindo a ordem das bolinhas na fi gura dada, podemos desenrolar o fi o de modo a observar a confi guração que identifi ca a fi gura que representa corretamente o colar: Problemas de 4 pontos Questão 9 Sabemos que a igualdade ao lado é verdadeira. Qual das igualdades abaixo também é verdadeira? (A) (C) (E) (B) (D) 9. Alternativa E Se retirarmos um quadrado de cada lado da igualdade, a nova igualdade também será verdadeira: Vemos então que quatro círculos equivalem a dois quadrados, ou seja, dois círculos valem um quadrado. Logo, 4
Questão 10 A fi gura ao lado mostra a frente da casa de Ana. Porém, o fundo da casa tem três janelas e nenhuma porta. O que Ana vê quando olha para o fundo de sua casa? 10. Alternativa E Há duas alternativas representando o fundo sem nenhuma porta e com três janelas somente. Temos que observar apenas a posição da chaminé, que é contrária quando vista de frente. Isto é, vista do fundo, a chaminé fi ca à esquerda. Questão 11 Bolinhas de gude são vendidas em pacotes de 5, 10 e 25 bolinhas. Mário compra exatamente 70 bolinhas. Qual é o menor número de pacotes que ele poderia levar? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 11. Alternativa B Se Mário quer ter 70 bolinhas e também levar o menor número possível de pacotes, então ele deve escolher os pacotes contendo mais bolinhas. Ele não pode escolher três de 25, pois 25 3 3 = 75. Escolhendo dois, são 2 3 25 = 50. Para as 70 50 = 20 bolinhas restantes, ele deve escolher dois pacotes de 10. Portanto, irá levar dois pacotes de 25 e dois pacotes de 10, totalizando 2 + 2 = 4 pacotes. Questão 12 Roberto fez dobras numa folha de papel. Depois disso, fez um furo na folha. Então ele desdobrou a folha e viu o resultado, representado ao lado. De que forma Roberto havia feito as dobras na folha de papel? 5
12. Alternativa C Como uma dobra no papel funciona como uma refl exão de espelho, a distância de dois furos a uma mesma dobra é a mesma. Além disso, o furo deve aparecer em todas as regiões separadas pelos vincos, quando o papel é desdobrado. Depois de desdobrada a folha, os quatro furos aparecem como vértices de um retângulo. Como dois lados são horizontais, a dobra que passa pelo meio dos lados é perpendicular a eles; como dois lados são verticais, a dobra passa pelo meio deles é perpendicular a eles. Consequentemente, há duas dobras perpendiculares e cada uma delas paralela a dois lados da folha. Questão 13 Foi criado um campeonato de natação num clube e no início inscreveram-se 13 nadadores. Em seguida, mais 19 nadadores inscreveram-se. Para o campeonato, seis equipes com números iguais de atletas são necessários. Pelo menos quantos atletas a mais precisam inscrever-se para que as seis equipes possam ser formadas? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 13. Alternativa D Como são seis equipes com números iguais de atletas, o número de atletas deve ser um múltiplo de 6. Como já há 13 + 19 = 32 atletas inscritos, o número deve ser maior que 32. O menor número inteiro nessas condições é 36. Logo, faltam inscrever-se 36 32 = 4 atletas. Questão 14 Foram escritos números em cada uma das casas de um quadrado 4 3 4, conforme mostrado na fi gura. Maria achou a soma de todos os quatro números de cada um dos quadrados 2 3 2. Qual foi a maior soma que ela achou? (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15 1 2 1 3 4 1 1 2 1 7 3 2 2 1 3 1 14. Alternativa D Há nove quadrados 2 3 2 contidos no tabuleiro. O maior número que aparece nas casas é o 7. Devemos testar os quadrados contendo o 7: 4 + 1 +1 + 7 = 13, 1 + 1 + 3 + 7 = 12, 1 + 7 + + 2 + 1 = 11 e 7 + 3 + 3 + 1 = 14. Os demais quadrados têm somas menores e isso pode ser verifi cado com mais cinco somas. Questão 15 Dulce quer cozinhar cinco comidas diferentes num fogão de duas bocas. Os tempos de que ela precisa para cozinhar os pratos são 40 min, 15 min, 35 min, 10 min e 45 min. Dulce só pode tirar uma comida do fogo quando ela estiver pronta. Qual é o tempo mínimo que Dulce precisa para fazer todos os pratos? (A) 60 min (B) 70 min (C) 75 min (D) 80 min (E) 85 min 6
15. Alternativa C Temos 40 + 15 + 35 + 10 + 45 = 145. Devemos distribuir o cozimento dos pratos nas duas bocas do fogão se possível em tempos iguais, mas 145 dividido por 2 resulta um número próximo de 73. Devemos então distribuir os tempos em números ao redor de 73. Como 40 + 35 = 75 e 15 + 10 + 45 = 70, o tempo mínimo será o maior desses dois, ou seja, 75 minutos. Questão 16 Qual número deve ser escrito no círculo com o ponto de interrogação? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 16. Alternativa D Qualquer que seja o número escrito no círculo com o ponto de interrogação, ao ser multiplicado por zero, resulta zero na casa assinalada em vermelho. Então, teremos 0 + 6 = 6, 6 3 4 = 24, 24 15 = 9 e 9 + 4 = 13. Portanto, na casa com?, o número será forçosamente 13. Problemas de 5 pontos Questão 17 Na fi gura temos uma construção feita com cubinhos e uma planta indicando a posição e a altura das colunas de cubinhos. Alguém derrubou tinta sobre a planta, borrando duas casas. Qual é a soma dos números da planta que foram borrados? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 17. Alternativa C Encaixando o bloco sobre a planta, vemos que a última coluna do fundo tem três cubinhos e na fi leira adiante a segunda coluna da esquerda para a direita tem dois cubinhos. Logo, a soma dos números da planta que foram borrados é 3 + 2 = 5. 7
Questão 18 As fi guras mostram quando o trem entra na ponte e quando termina de entrar na ponte. Qual é o comprimento do trem? (A) 55 m (B) 115 m (C) 170 m (D) 220 m (E) 230 m 18. Alternativa B Na fi gura à esquerda vemos que o comprimento da ponte mais o comprimento do trem é 340 metros e na figura à direita o comprimento da ponte menos o comprimento do trem é 110 metros. Somando os dois resultados, obtemos o número 340 + 110 = 450. Esse número representa o comprimento da ponte dobrado, pois o comprimento do trem foi somado e subtraído, não entrando no resultado. Logo, o comprimento da ponte é 450 : 2 = 225. Assim, o comprimento do trem é 340 menos o comprimento da ponte, ou seja 340 225 = 115 metros. Questão 19 George começa seu treino às cinco da tarde. Para ir de casa até a quadra, ele caminha cinco minutos de casa até o ponto de ônibus, que leva 15 minutos para ir até o ponto perto da quadra. Novamente ele leva cinco minutos para ir do ponto de ônibus até a quadra. Os ônibus passam a cada dez minutos, a partir das seis horas da manhã, no primeiro ponto. No máximo, a que horas George deve sair de casa para chegar à quadra em tempo? 19. Alternativa A Para ir de sua casa até a quadra, George gasta 5 + 15 + 5 = 25 minutos. Saindo de casa faltando 25 minutos para as cinco, ou seja, às 16h 35min, ele consegue pegar o ônibus às 16h 40min. O ônibus chega ao outro ponto perto da quadra às 16h 40min + 15min = 16h 55min. Mais cinco minutos de caminhada, chega à quadra às 16h 55min + 5min = 17h. 8
Questão 20 Num zoológico há uma girafa, um elefante, um leão e uma tartaruga, cada qual no seu lugar. Suzana pretende ir ao zoológico e ver somente dois desses animais. Ela não quer começar sua visita pelo leão. De quantas formas diferentes ela pode planejar seu passeio no zoológico? (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 12 20. Alternativa D Suzana tem três escolhas para ver o primeiro animal: girafa, elefante ou tartaruga, pois não quer ver o leão primeiro. Visto o primeiro animal, para ver o segundo animal, ela tem três escolhas novamente, incluindo o leão e deixando de fora apenas o primeiro animal visitado. Por exemplo, escolhendo ver primeiro a girafa, depois ela pode ver o elefante, a tartaruga ou o leão. Portanto, o número possível de escolhas que ela tem para fazer seu passeio no zoológico é 3 3 3 = 9. Questão 21 Quatro irmãos comeram um total de 11 bolinhos. Cada um dos irmãos comeu pelo menos um bolinho e todos comeram quantidades diferentes. Três deles comeram nove bolinhos no total e um dos irmãos comeu exatamente três bolinhos. Quantos bolinhos comeu o irmão que mais comeu bolinhos? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 21. Alternativa C Se três irmãos juntos comeram 9 bolinhos e os quatro irmãos juntos comeram 11, então o quarto irmão comeu exatamente 2 bolinhos. Entre os três irmãos que comeram 9 bolinhos, está o que comeu 3 bolinhos. Portanto, os outros dois juntos comeram 9 3 = 6 bolinhos. O número 6 pode ser escrito como a soma de dois números inteiros positivos de três maneiras diferentes: 1 + 5, 2 + 4 ou 3 + 3. A única forma possível, no caso dos bolinhos, é 1 + 5, porque 2 e 3 foram quantidades de bolinhos comidos pelos outros dois irmãos. Assim, os irmãos comeram 1, 2, 3 e 5 bolinhos. O que mais comeu, comeu 5. Questão 22 No tabuleiro 4 3 4 ao lado as casas cinzentas escondem a carinha ou um número. O número escrito numa casa indica quantas casas vizinhas têm a carinha. 2 3 3 2 Duas casas são vizinhas quando têm um lado ou um canto comum. Na figura, 1 aparecem algumas casas numeradas. A casa com o número 1, por exemplo, tem somente uma casa vizinha com a carinha. Quantas carinhas estão escondidas no tabuleiro? (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 11 9
22. Alternativa B Na primeira linha, a primeira casa à esquerda com o número 3 tem cinco casas 3 3 vizinhas. Duas delas têm números, logo as outras três casas têm que ter a 2 carinha. Na primeira casa da segunda linha, com o número 2, já há duas casas 2 3 3 vizinhas com a carinha e uma com o número 3. Logo, as outras 1 2 X X 2 duas casas vizinhas devem ter números, que representamos por X. Vemos então que a casa da terceira linha, com o número 2, já tem duas casas vizinhas 1 com carinhas. Logo, as demais casas vizinhas têm um nú- 3 3 mero X. Com isso, fi ca claro que há mais uma carinha em cada uma das casas que restaram. Concluímos que foram colocadas escondidas carinhas em cinco casas. 2 X X 1 2 X X X X Questão 23 3 3 2 X X X 2 X 1 X X Dez sacos contêm quantidades diferentes de bombons, de 1 a 10. Cinco meninos pegaram dois sacos cada um. No fi nal, Alexandre fi cou com cinco bombons, Roberto com sete, Carlos com nove e Dênis com 15. Com quantos bombons o Eric fi cou? (A) 9 (B) 11 (C) 13 (D) 17 (E) 19 23. Alternativa E Primeira solução: podemos obter uma distribuição que satisfaz as condições do enunciado. Por exemplo, Alexandre 1 + 4, Roberto 2 + 5, Carlos 3 + 6 e Dênis 7 + 8. Os números não utilizados foram 9 e 10. Logo, Eric fi cou com 9 + 10 = 19 bombons. Segunda solução: a soma de todos os números de 1 a 10 é igual a 55. Logo, Eric fi cou com 55 (5 + 7 + 9 + 15) = 55 36 = 19. Questão 24 Carla tem quatro fl ores, uma com seis pétalas, uma com sete pétalas, uma com oito pétalas e uma com 11 pétalas. Ela tira uma pétala de três fl ores e faz isso várias vezes, escolhendo três fl ores ao acaso a cada vez. Ela para quando não consegue mais tirar uma pétala de três fl ores. Qual é a menor quantidade de pétalas que poderão sobrar? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 10
24. Alternativa B Há um total de 6 + 7 + 8 + 11 = 32 pétalas. Supondo que a retirada de três pétalas possa ser feita até o final, basta observar que ao dividir 32 por 3, obtemos o quociente 10 e o resto 2. Isto significa que teoricamente poderão ser feitas 10 retiradas de três pétalas, sobrando o mínimo de duas pétalas. Isso de fato pode ser feito segundo o esquema abaixo, dado como exemplo da estratégia: 6 7 8 11 6 6 7 10 6 5 6 9 5 5 5 8 4 4 5 7 4 3 4 6 3 3 3 5 2 2 3 4 2 1 2 3 1 1 1 2 0 0 1 1 11