Redes Complexas Aula 3 Aula passada Caracterizando redes grandes Grau Distâncias Clusterização Aula de hoje Características de redes reais Centralidade de vértices Betweeness, Closeness
Três Importantes Características Observed in various real networks ᴏ beginning of modern empirical studies (98, 99) Small world effect My friends are also friends effect Down with democracy effect
Small World It's a small world, after all Average distance is very small, diameter is also small Even for very large networks Web 2x10 8 nodes Collaboration network 10 6 nodes Global social network - 10 9 nodes six degrees of separation and many, many others networks! 7.5 4.9 6 Orders of magnitude smaller, seems logarithmic
My Friends are Also Friends If A is related to B and C, then B and C are much more likely to be related Triangles tend to form in networks high clustering coefficient Density: # edges / # nodes = chance of two nodes being related AS Graph: density 0.00056 Neural net C. Elegans: density 0.05 Biology coauthorship: density 0.00001 0.39 0.28 0.67 Orders of magnitude larger!
Down with Democracy Node degree is very unequal Many have small degree, few have very large degree Similar to wealth distribution! AS Graph 10 4 nodes avg degree: 5.9 Max degree: ~2100 Citations 10 6 nodes Avg degree: 8.6 Max degree: ~9000 Degree distribution is heavy tail Spans several orders of magnitude Well modeled by power laws in some cases
Curiosity and Knowledge Fact I: Many networks have peculiar structural properties (characteristics not expected) Degree, distances, clustering, etc Fact II: Many different networks have similar structural properties Web, Facebook, AS Graph, Neural network, etc. Million dollar question Why? Some answers, but in large we are still trying to understand it
Why this Network Structure? Structure as a result of network formation ᴏ Evolution in biological networks (eg. your brain) ᴏ Optimizations in man made network (eg. Internet) But what are is being optimized? ᴏ Desirable network functions, desirable network properties (implicitly or explicitly) Network function determines influences Network structure Co-evolution of function and structure!
Centralidade Como medir a importância de um vértice? Utilizando apenas a estrutura Grau do vértice Betweeness Closeness Autovetor Random walks etc. Métricas locais dependem apenas da vizinhança do vértice (Ex. grau) Métrica globais Dependem do grafo inteiro (Ex. Closeness)
Centralidade de Grau Grau do vértice Grau do vértice normalizado valor entre 0 e 1 C v = d v n 1 Grafo direcionado, grau de entrada/saída Duas centralidades em grau por vértice
Centralidade de Betweeness Considerar todos os caminhos mínimos do grafo Número de caminhos mínimos que passam pelo vértice Exemplo 1 4 2 3 5 6 Grafo completo, K n? Grafo estrela, com n folhas?
Centralidade de Betweeness Problema: Como definir métrica quando mais de um caminho mínimo existe entre um par origem/destino? empate no custo do caminho mínimo Exemplo 1 4 2 3 Caminho mínimo entre 2 e 4? 2,1,4 ou 2,3,4? Centralidade do vértice 1 e 3?
Centralidade de Betweeness Duas abordagens Cada caminho mínimo conta 1 vez Carga dividida pelos caminhos mínimos (cada caminho mínimo conta 1/k para a métrica, para k caminhos) Exemplo B 1 = 1 B 1 = 0.5 1 4 2 3 Para muitas redes, diferença é pequena Mas nem sempre!
Calculando Betweeness Mais precisamente C v = s, t V ; s, t v v s,t s, t Número de caminhos mais curtos entre s e t que passam por v ou C v = s, t V v s,t Número de caminhos mais curtos entre s e t Pode ser normalizada pelo número total de pares origem/destino (sem contar v) métrica entre 0 e 1
Exemplo Cores indicam betweeness Vermelho = 0, azul = máximo Ilustra vértices mais centrais
Centralidade de Closeness Utiliza noções de distancia com ou sem pesos Distancia média entre vértice e o resto do grafo C v = capturar o quão central é o vértice t V {v} d v,t n 1 Velocidade com a qual informação se propara de um vértice para o resto da rede
Centralidade de Closeness Outras definições Maior distancia a qualquer outro vértice do grafo ecentricidade (eccentricity) do vértice C v =max t V {v } d v, t