EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2017-1 Primeiro Semestre de 2017-25 de Novembro de 2016 LEIA COM ATENÇÃO. (IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.) A PROVA É COMPOSTA DE 5 BLOCOS: Bloco 1: Mecânica Clássica Bloco 2: Ondas, Fluidos e Termodinâmica Bloco 3: Eletromagnetismo Bloco 4: Ondas Eletromagnéticas, Ótica e Física Moderna Bloco 5: Mecânica Quântica Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutorado devem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecânica Quântica). A escolha do bloco que NÃO será corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto do caderno de respostas. Cada bloco contém 3 questões de múltipla escolha (45% da nota) e uma questão discursiva (55% da nota). Duas respostas erradas a questões de múltipla escolha cancelam uma resposta correta a outra questão de múltipla escolha, dentro do universo de 12 questões de múltipla escolha dos 4 blocos escolhidos. Respostas em branco não têm nenhum efeito sobre a correção das outras questões. A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA. 1
BLOCO 1: Mecânica Clássica Múltipla escolha Problema 1: Dois blocos idênticos são conectados com uma mola. Um deles é fixado ao teto com um fio. Inicialmente, o sistema está em equilíbrio. Imediatamente depois de cortar o fio, qual é o módulo da aceleração do bloco superior? g a) 0 b) 2g c) g d) 2g 2
Problema 2: Um pêndulo, composto de uma massa puntiforme presa na extremidade de um fio ideal, é solto no ponto A e balança até o ponto E. Qual dos seguintes diagramas ilustra a aceleração da massa na extremidade do pêndulo? a) b) E A E A D C B D C B c) d) E D C B A E D C B A Problema 3: Dois projéteis são disparados como na figura. O módulo da velocidade inicial é o mesmo para os dois casos (o ângulo θ é em relação à horizontal). Se o projétil do caso A cai no chão a uma distância horizontal x 1, então v 0 h θ h v0 A B a) independentemente do valor de θ, o projétil do caso B cai no chão a uma distância horizontal menor que x 1. b) independentemente do valor de θ, o projétil do caso B cai no chão a uma distância horizontal igual a x 1. 3
c) independentemente do valor de θ, o projétil do caso B cai no chão a uma distância horizontal maior que x 1. d) a relação entre as distâncias nos dois casos depende do ângulo θ. Discursiva Problema 4: Uma haste, rígida e uniforme, de comprimento L e massa M é colocada verticalmente numa superficie. A haste só pode girar em torno do ponto de contato com a superfície, mas não pode se mover horizontalmente. Despreze qualquer atrito. a) Mostre que o momento de inércia para rotações em torno do ponto do contato é I = 1 3 ML2. b) Calcule a energia potencial em função do ângulo θ entre a haste e a vertical. c) Obtenha a energia cinética da haste em função de ω d dt θ. d) Quando a haste cai, a extremidade livre dela bate no chão com que velocidade? Suponha que a velocidade inicial seja zero. 4
BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinâmica Múltipla escolha Problema 5: Um bloco de massa M oscila sob a ação de uma mola ideal, de massa desprezível, em um plano sem atrito. No momento de maior amplitude do movimento um outro bloco de massa m é colado instantaneamente em cima do bloco maior, sem que haja qualquer transferência de momento. Veja a figura abaixo. Podemos afirmar que: a) A amplitude do movimento diminui e a frequência não se altera. b) A amplitude do movimento diminui e a frequência aumenta. c) A amplitude do movimento e a frequência não são alterados. d) A amplitude do movimento não é alterada e a frequência diminui. Problema 6: A água é fundamental para a existência da vida na Terra. Essa importância da água deve-se, entre outros fatores, a comportamentos anômalos dessa substância quando comparada com outras. Na Figura 1 abaixo vemos como a densidade da água varia em função da temperatura. Qual dos itens abaixo está errado? a) Em um dia quente, quando a temperatura das águas de um lago está na faixa de 15 o C a 20 o C de acordo com a profundidade, temos que a água na superfície do lago é mais quente do que a água no fundo do lago; b) Em um dia frio, quando a temperatura das águas de um lago está na faixa de 1 o C a 3 o C de acordo com a profundidade, temos que a água na superfície do lago é mais fria do que a água no fundo do lago; c) Quando uma massa de água inicialmente a 1 o C é aquecida sofrendo uma variação de 5 o C, seu volume diminui e depois aumenta; d) A dilatação volumétrica da água líquida é descrita pela fórmula V/V = β T para qualquer intervalo de temperatura T, onde β é o coeficiente de dilatação volumétrica que independe da temperatura. 5
Figura 1: Os gráficos mostram como a densidade da água varia em função da temperatura. O painel da esquerda mostra a variação da densidade da água para o intervalo de temperatura [ 200 o C, 100 o C], que inclui as fases sólida e líquida da água. O gráfico da direita mostra com detalhe a variação da densidade da água líquida no intervalo de temperatura [0 o C, 10 o C]. Problema 7: Dois líquidos idênticos (mesma densidade) são colocados em recipientes com formas distintas, porém com mesma área A da superfície inferior. Nos dois recipientes o líquido é colocado até atingir uma altura h. Veja a figura abaixo. Qual das afirmações abaixo é incorreta? a) O volume de líquido no recipiente II é maior do que no recipiente I; b) O peso do líquido no recipiente II é maior do que o do recipiente I; c) A força exercida pelo líquido na superfície inferior do recipiente II é maior do que no recipiente I; d) A pressão exercida pelo líquido na superfície inferior do recipiente II é a mesma que no recipiente I. 6
iscursiva Discursiva carro Problema transforma 8: O motor uma de ummistura carro transforma de gasolina uma misturaedear gasolina eme movimento ar em mecânico. Esse motor de combustão interna funciona, usualmente, em 4 tempos que podem ser idealizados como funciona, mostrado usualmente, na figura abaixo. em 4 tempos que podem ser idealizados como mostra Esse ciclo, conhecido como ciclo de Otto, pode ser descrito como segue: hecido como ciclo de Otto, como segue: e combustível: 0-1 Injeção de combustível: nessa parte com oa compartimento válvula da completamente esquerda vazio é (volume abertanulo) e uma a válvulamistur da esquerda é aberta e uma mistura de ar e gasolina é inserida no reservatório, com o pistão o reservatório, expandindocom sem variar o pistão a pressão; expandindo livremente; são: o pistão é comprimido adiabaticamente; 1-2 Compressão: a válvula da esquerda é fechada, e o pistão é comprimido adiabaticamente; 2-3 Ignição: uma faísca é produzida dentro do compartimento. A mistura de gasolina e ar entra em uma faísca combustão, é produzida transformando-se dentro completamente do compartimento. em gás, o volume A mantido mistura constante; de gasolina e ar lume mantido 3-4 Expansão: constante; o pistão expande adiabaticamente; 4-1 Exaustão: a válvula da direita (escape) é aberta e todo o gás é liberado com volume mantido fixo; o: devido ao aumento de pressão o pistão expande adiabaticamente; : a válvula 1-0 Exaustão de escape final: ainda é com aberta a válvula e odegás escape éaberta, liberado o pistãocom é comprimido volume e todomantido o gás dentrofixo; do compartimento é expelido, voltando assim à condição inicial. final: ainda com a válvula de escape aberta, o pistão é comprimido e t entoa) éconsiderando expelido, quevoltando a mistura de ar assim e gasolina a condição se comporta como inicial. um gás ideal, desenhe o diagrama de pressão por volume (PV) para o ciclo descrito acima; b) Quando um gás ideal sofre um processo adiabático observamos que a quantidade P V os diagramas de pressão por volume (p-v) para o ciclo descrito γ é conservada. acima; Essa lei de conservação é denominada Lei de Poisson-Laplace, e o expoente γ é dado pela razão entre e Otto é uma idealização do ciclo do 7motor de 4 tempos. Quais são os pont ir do ideal? Esboce o gráfico p-v nessas condições mais realistas.
os calores específicos (γ c P /c V, onde c P é o calor específico a pressão constante, e c V é o calor específico a volume constante). Mostre que nesse processo a quantidade T V γ 1 também é conservada, onde T é a temperatura. c) Mostre que a eficiência η Trabalho fornecido Calor consumido do ciclo ideal é dada por η = 1 ( ) γ 1 1 r onde r é a razão de compressão volumétrica (entre o volume ao final do estágio 0-1 e o volume ao final do estágio 1-2). d) O ciclo de Otto é uma idealização do ciclo do motor de 4 tempos. Enumere algumas características onde o motor real difere do ideal. 8
BLOCO 3: Eletromagnetismo Múltipla escolha Problema 9: Considere duas distribuições lineares, conforme mostra a figura, com a mesma carga total Q: (I) um anel circular uniformemente carregado, de raio R, e (II) um anel semi-circular uniformemente carregado, de raio também R. Supondo que o potencial é tomado como zero no infinito, assinale a opção que indica corretamente o campo elétrico e o potencial eletrostático, de cada distribuição, no centro P. a) E I = E II ; V I = V II. b) E I = 1 E 2 II ; V I = 0 ; V II 0. c) E I = 0 ; E II 0 ; V I = 0 ; V II 0. d) E I = 0 ; E II 0 ; V I = V II 0. Problema 10: Um elétron (carga e ) penetra na região entre as duas placas de um capacitor de placas paralelas com uma velocidade inicial v 0 = v 0ˆx paralela às placas. Considere as placas como infinitas. Qual o campo magnético externo que deve ser produzido nesta região para que o elétron se mova em linha reta, sabendo que a distância entre as placas é d e a diferença de potencial entre elas é V? 9
a) B = V d ŷ b) B = V dv 0 ŷ c) B = V d ẑ d) B = V dv 0 ẑ Problema 11: Uma casca esférica espessa, condutora, descarregada, tem raios interno a e externo b, estando situada no vácuo. No centro de tal casca, é colocada uma partícula de carga q > 0. Considerando que o potencial eletrostático V é zero no infinito, qual dos diagramas abaixo melhor representa o gráfico de V em função da distância r em relação ao centro da casca? 10
Discursiva Problema 12: Em uma casca cilíndrica circular, espessa, condutora, muito longa, de raios interno a e externo b (b > a), está definida uma densidade de corrente J = Cr 2 ẑ, onde C é uma constante, r é a distância até o eixo da casca e ẑ é um vetor unitário (versor) na direção desse eixo. a) Determine a corrente elétrica total, I tot, que passa através de uma seção transversal da casca. Nos próximos três itens, deduza uma expressão para o vetor campo magnético B (módulo, direção e sentido) em um ponto genérico, a uma distância r do eixo tal que: b) 0 r a c) b r < d) a r b 11
BLOCO 4: Ondas Eletromagnéticas, Ótica e Física Moderna Múltipla escolha Problema 13: Uma lâmpada de xenônio é coberta com um filtro de interferência que deixa passar somente luz de comprimento de onda de 400 nm. Quando a luz transmitida atinge uma superfície de metal, elétrons são ejetados. Se a intensidade da luz atingindo o metal é duplicada, a) mais elétrons são ejetados em um dado intervalo de tempo. b) os elétrons ejetados são mais energéticos. c) ambas situações acima ocorrem. d) nenhuma das situações acima ocorre. Problema 14: O experimento de fenda dupla de Young consiste na iluminação de duas pequenas fendas paralelas e horizontais por uma luz monocromática e coerente. Identifique entre as figuras abaixo o padrão que melhor representa o que é observado neste experimento: Problema 15: Em um ambiente contendo ar (índice de refração n 1) um feixe de luz monocromática incide paralelamente a uma lente convergente de vidro (n 1, 50) fazendo com que o feixe convirja a uma distância f do centro da lente (veja Fig. 2). Ao repetir o processo com a lente submersa em água (n 1, 3) dentro de um aquário, conforme Fig. 3, o feixe irá: a) convergir a uma distância f > f. b) divergir. c) convergir a uma distância f < f. d) convergir a uma distância f = f. 12
Figura 2: Lente de vidro em ar. Figura 3: Lente de vidro em água. Discursiva Problema 16: Considere uma rede undimensional de lâmpadas igualmente espaçadas de uma distância L em um certo referencial inercial (Veja Figs. 4 e 5). A distância L é grande o suficiente para que efeitos relativísticos sejam perceptíveis ao olho humano. Figura 4: Rede de lâmpadas unidimensional e observador em repouso na origem. Figura relativa aos itens a e b. a) Se as lâmpadas piscarem, nesse referencial, no mesmo instante de tempo T, explique qualitativamente porque um observador na origem deste mesmo referencial não vê duas lâmpadas consecutivas piscarem ao mesmo tempo. 13
b) Determine o intervalo de tempo τ que uma lâmpada na posição 1 deve piscar com relação à lâmpada na posição 2 para que um observador em repouso na origem observe ambas piscarem simultaneamente. Figura 5: Rede de lâmpadas unidimensional e observador em movimento. Figura relativa aos itens c, d e e. c) Considere agora que o observador começa a se mover com uma certa velocidade constante v = 3 5 c no sentido positivo do referencial (como ilustrado na Fig. 5). Qual a distância L entre as lâmpadas medida pelo observador nessa nova situação? d) Considere que cada lâmpada emite luz na faixa do vermelho visível (λ = 700 nm), no referencial de repouso das lâmpadas. Calcule os comprimentos de onda no referencial do observador em movimento para a luz que se move nos dois sentidos (positivo e negativo). e) Baseado em seu resultado do item (d) e no espectro eletromagnético (Fig. 6), o observador em movimento verá as luzes à sua frente ou não? E quanto às luzes de trás? Explique. Figura 6: Espectro eletromagnético. 400 750 nm. O comprimento de onda do espectro visível varia na faixa de 14
BLOCO 5: Mecânica Quântica (OBRIGATÓRIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO) Múltipla escolha Problema 17: Uma partícula encontra-se confinada dentro de uma caixa cúbica de aresta L. Dado isto, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) A energia da partícula apresenta um espectro contínuo. b) A incerteza de uma componente do momento é p 2L. c) Uma partícula como a descrita tem incerteza de posição infinita. d) A partícula encontra-se necessariamente em um auto-estado do operador momento. Problema 18: A medida de uma grandeza física Q é feita 1000 vezes em um certo sistema e os resultados observados são, em unidades arbitrárias (u.a.): Q = 10 u.a., obtido 334 vezes; Q = 5 u.a., obtido 165 vezes e Q = 7 u.a., obtido em todo o restante das medidas. Sendo { 10, 7, 5, 1 } uma base ortonormal de autovetores do operador ˆQ com autovalores 10 u.a., 7 u.a., 5 u.a. e 1 u.a., respectivamente, qual dos estados quânticos abaixo mais provavelmente descreve o sistema? a) ψ = 10 + 7 + 5 [ b) ψ = 1 3 10 + 3 7 + 1 5 + 2 2 10 4 1 ] ] c) ψ = 1 3 3 [ 10 + 7 + 1 2 2 5 + 10 3 2 1 [ d) ψ = 1 3 10 + 3 7 + 1 5 ] 2 2 Problema 19: Considere duas partículas independentes em 3 dimensões e os operadores de momento angular associados a cada uma delas, L 1 = (L x 1, L y 1, L z 1) e L 2 = (L x 2, L y 2, L z 2). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Podemos medir simultaneamente L z 1 e L z 2, mas L y 1 e L y 2 não podem ser medidas simultaneamente. b) Podemos medir simultaneamente L z 1 e L y 1, mas L z 1 e L y 2 não podem ser medidas simultaneamente. c) Podemos medir simultaneamente apenas L z e L 2 associados a uma única partícula. d) Podemos medir simultaneamente L z 1, L z 2, L 2 1. 15
Discursiva Problema 20: Considere um sistema quântico de dois níveis de energia, E + = π e E = π /2. Em um instante de tempo inicial (t = 0) o sistema encontra-se em um estado a. Sabendo que o operador Hamiltoniano total do sistema, Ĥ, é independente do tempo e possui autovetores normalizados E ± tais que Ĥ E ± = E ± E ±, E + E = 0 e E ± = a ± b 2, (1) a) Escreva o estado inicial do sistema na base de autovetores de energia. b) Obtenha o estado do sistema em um instante de tempo t > 0. c) É possível que a partícula seja medida no estado b em t = 0? E em t > 0? Justifique e discuta fisicamente a evolução temporal do sistema. d) Calcule a probabilidade mínima de o sistema estar no estado a e em qual(quais) instante(s) de tempo ela acontece. 16