Matemática - Ensino Fundamental Exercícios - Lista 2-8o. Ano Exercícios sobre equações de 1o. grau em questões de geometria 1. Exemplos Resolvidos: 1- Encontre o valor de x, dado o segmento de reta AB, e o ponto médio M (isto é, o ponto M divide a reta AB em duas partes iguais: AM e MB), como na Figura 1 abaixo, onde: Medida de AB = x + 3; Medida de AM = 2x. Figura 1: Solução: AM + MB = AB Mas AM = MB, logo: 2x + 2x = x + 3 = 4x = x + 3 = 4x x = 3 = 3x = 3 = x = 3 3 x = 1. 1 O post associado a este documento se encontra no blog http://matematicareplay.wordpress.com, na categoria de Matemática do Ensino Fundamental. 1
2- a) Encontre o valor de x, de acordo com as informações dadas na Figura 2. Note que o tamanho do segmento de reta AM não é o mesmo do segmento MB. b) Qual o valor do segmento de reta AM? E o de MB? Figura 2: Solução: a) AM + MB = AB x + 1 + 5x + 2 = 15 = 6x + 3 = 15 = 6x = 15 3 = 6x = 12 = x = 12 6 x = 2. b) AM = x + 1 = 2 + 1 AM = 3. MB = 5x + 2 = 5 2 + 2 = 10 + 2 MB = 12. 2
3- a) Encontre o valor de x e de y, de acordo com as informações dadas na Figura 3. O segmento de reta AB é dividido pelo ponto médio M em duas partes iguais: AM e MB. b) Quanto vale o comprimento total AB? Figura 3: Solução: a) Primeiro, há duas condições a se observar: I) AM + MB = AB II) AM = MB Começando pela condição I: 2x + 6 + 4y + 2 = 3x + 3y + 3 Vamos deixar o x e o y em lados separados da equação, assim: 4y 3y = 3x + 3 2x 6 2 y = x 5 Ainda não determinamos nem x nem y, mas note que agora sabemos muito bem como o x e y estão relacionados. Para descobrirmos os valores de x e y, precisamos de mais uma equação. Note: Para se determinar um certo número de incógnitas, é necessário pelo menos o mesmo número de equações. Por exemplo, no caso acima, temos 2 incógnitas, x e y, então precisamos pelo menos 2 equações para determiná-las completamente! 3
Então vejamos a condição II: 2x + 6 = 4y + 2 2x = 4y + 2 6 = 2x = 4y 4 = x = 4y 4 2 = x = 4y 2 4 2 x = 2y 2 Agora, basta inserirmos a equação para x acima na outra equação que havíamos encontrado para y, isto é, o resultado da condição I, anteriormente. Ou seja: Condição I: y = x 5 Condição II: x = 2y 2 = y = (2y 2) 5 y = 2y 7 = y = 7 y = 7 Achamos o y! E para achar o x? Ora, basta pegar qualquer uma das relações encontradas anteriormente e inserir o valor encontrado para y. Por exemplo: Condição II: x = 2y 2 = x = 2 7 2 = x = 14 2 x = 12 b) Para acharmos o valor total do segmento de reta, basta inserir os valores encontrados na expressão para AB, isto é: AB = 3x + 3y + 3 = AB = 3 12 + 3 7 + 3 = 36 + 21 + 3 AB = 60 4
Exercícios: 1) Encontre o valor de x, dadas as informações de cada figura. a) Nota: M é o ponto médio da semi-reta AB. Figura 4: b) Nota: M é o ponto médio da semi-reta AB. Figura 5: c) Nota: M é o ponto médio da semi-reta AB. Figura 6: 5
d) Nota: M não é o ponto médio da semi-reta AB. Figura 7: e) Nota: M não é o ponto médio da semi-reta AB. Figura 8: 2) Desafio! Encontre o valor de x e de y, dadas as informações da figura abaixo. Nota: M é o ponto médio da semi-reta AB. Quanto vale o segmento AB? Figura 9: 6
Respostas: 1) a) x = 3. b) x = 10. c) x = 1. d) x = 5 e) x = 1 2 2) Há duas condições a se observar: I) AM + MB = AB II) AM = MB De I): 3x + 1 + 2y + 8 = 2x + 10y + 4 = x = 8y 5 De II): 3x + 1 = 2y + 8 = x = 2 3 y + 7 3 Inserindo a expressão para x da Condição II naquela encontrada para a Condição I, temos: 2 3 y + 7 3 = 8y 5 = y = 1 Inserindo o valor de y acima mais uma vez na equação para a Condição II, temos: 3x + 1 = 2 1 + 8 = x = 3 7
O segmento AB vale: 2x + 10y + 4 = 2 3 + 10 1 + 4 = 20. 8
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