Coltec/UFMG Física 1º Ano 2015 1 ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES Introdução Nesta atividade, você aprenderá a prever a resistência total oferecida por um circuito que contém uma associação de resistores conectados a uma fonte de tensão elétrica por meio de fios de ligação. Para isso, retomaremos várias ideias-chave que foram introduzidas nas seguintes atividades: (i) Chaves interruptoras e curtos-circuitos ; (ii) Controle dos fluxos de carga elétrica ; (iii) Medidas de resistência elétrica em lâmpadas incandescentes e resistores. A última dessas atividades foi feita no laboratório e nos deu a oportunidade de configurar um multímetro de maneira a transformá-lo em um Ohmímetro, ou medidor de resistência elétrica. Eis as ideias-chave que serão retomadas agora: (i) a resistência é uma grandeza que mede a dificuldade oferecida por um elemento de circuito à passagem da corrente elétrica; (ii) a unidade de medida da resistência é o Ohm (símbolo Ω); (iii) fios de ligação feitos de cobre têm resistência desprezível em relação à resistência oferecida por filamentos de lâmpadas incandescentes e por fios de níquel-cromo usados em diversos tipos de aquecedores elétricos; (iv) a resistência depende das características do condutor elétrico e, por isso, fios diferentes podem oferecer diferentes valores de resistência elétrica, quando submetidos à mesma tensão; (v) existem elementos conhecidos como resistores que são feitos para oferecer uma resistência de valor praticamente constante mesmo quando submetidos a diferentes valores de tensão. Exploração 1 Resistência equivalente de uma associação de resistores em série A medida da resistência elétrica, tanto pode ser utilizada para caracterizar um único elemento de circuito isolado, quanto para identificar o comportamento de um circuito feito a partir da associação de vários elementos ligados em série ou em paralelo. Para compreender esse aspecto importante do conceito de resistência, faça o que se pede a seguir. Utilize o aplicativo em Java Circuit Construction Kit DC (https://phet.colorado.edu/pt_br/simulation/circuitconstruction-kit-dc) para montar um circuito simples, com apenas uma lâmpada, ao lado de um circuito que contém duas lâmpadas ligadas em série. Lembre-se de inserir amperímetros nos dois circuitos para medir as correntes elétricas em um dos polos da fonte de tensão. Feito isso, altere a resistência elétrica da lâmpada inserida no circuito simples, da seguinte forma: (i) clique com o botão direito do mouse sobre o ícone que representa a lâmpada e escolha a opção Alterar Resistência; (ii) observe o valor da corrente elétrica que é exibido pelo amperímetro conectado ao circuito simples e altere a resistência da lâmpada até que a corrente no circuito simples coincida com a corrente no circuito com duas lâmpadas em série. a) Quantos ohms de resistência apresenta a lâmpada inserida no circuito simples, quando a corrente nesse circuito se iguala àquela estabelecida no circuito com as duas lâmpadas associadas em série? b) Clique com o botão direito em cada uma das duas lâmpadas ligadas em série e acione a função Alterar Resistência apenas para descobrir qual é a resistência elétrica de cada uma delas. A soma dessas resistências possui alguma relação com a resistência apresentada pela lâmpada inserida no circuito simples depois que as correntes elétricas nos dois circuitos tornaram-se iguais? c) Seria apropriado dizer que a resistência apresentada pelo filamento da lâmpada inserida no circuito simples, após ser alterada, tornou-se equivalente à resistência apresentada pela associação das duas lâmpadas em série? Exploração 2 Resistência equivalente de uma associação de resistores em paralelo Quando associamos resistores em série, tal como no caso do circuito montado na exploração 1, nós aumentamos a resistência equivalente do circuito e reduzimos a corrente nos polos da fonte de tensão. Mas, e quando associamos resistores (ou lâmpadas) em paralelo? Mesmo que você já saiba responder qualitativamente essa questão nós pretendemos ensiná-lo como prever, matematicamente, o efeito do acréscimo de resistores em paralelo sobre a resistência equivalente do circuito, isto é, sobre a intensidade da corrente elétrica nos polos da fonte de tensão. Para dar mais esse passo no estudo dos circuitos elétricos, reinicie o aplicativo usado na Exploração 1 para montar, novamente, um circuito simples, com apenas uma lâmpada, que, desta vez, deverá estar ao lado de um circuito que contém duas lâmpadas associadas em paralelo. Mais uma vez, insira amperímetros nos dois circuitos, de modo a medir as correntes elétricas em um dos polos das fontes de tensão. Feito isso, altere a resistência elétrica da lâmpada do circuito simples até que o valor da corrente elétrica nesse circuito se iguale à corrente no circuito com a associação de duas lâmpadas em paralelo. a) Quantos ohms de resistência apresenta a lâmpada inserida no circuito simples, quando a corrente nesse circuito se iguala àquela estabelecida no circuito com as duas lâmpadas associadas em paralelo?
Coltec/UFMG Física 1º Ano 2015 2 b) Clique com o botão direito em cada uma das duas lâmpadas ligadas em paralelo e acione a função Alterar Resistência apenas para descobrir qual é a resistência elétrica de cada uma delas. Como se comparam a resistência de cada lâmpada individual e a resistência da lâmpada colocada no circuito simples? c) Seria apropriado dizer que a resistência apresentada pelo filamento da lâmpada inserida no circuito simples, após ser alterada, tornou-se equivalente à resistência apresentada pela associação em paralelo de duas lâmpadas? Exploração 3 Parâmetros que determinam a resistência de um condutor Nas explorações 1 e 2, nós alteramos a resistência dos filamentos das lâmpadas. Nesta exploração usaremos o aplicativo Resistência em um Condutor (https://phet.colorado.edu/sims/html/resistance-in-a-wire/latest/ resistance-in-a-wire_en.html) para compreender que características do filamento de uma lâmpada devem ser modificadas para que possamos alterar sua resistência. O uso do novo aplicativo pressupõe a compreensão dos símbolos que ele reúne e apresenta. A FIG. 1 mostrada ao lado foi gerada a partir de uma captura da tela da interface do aplicativo e nos ajudará a alcançar tal compreensão. Na parte inferior da janela do aplicativo aparece a imagem de um condutor cilíndrico, cujas características podem ser alteradas com o acesso aos botões deslizantes que aparecem no lado direito da interface do aplicativo. Acima dos botões deslizantes vemos o valor da resistência do condutor, dada em ohms. No lado esquerdo da janela vemos uma equação que relaciona o valor da resistência elétrica (R) com as seguintes características do condutor que determinam esse valor: ρ (resistividade)_ A resistividade é uma característica que identifica, tanto o tipo de material utilizado na confecção do condutor, quanto a temperatura que o material apresenta. O tipo de material é um fator importante porque materiais diferentes apresentam diferentes formas de organizar microscopicamente os seus átomos. Assim, por exemplo, a organização microscópica dos átomos em objetos feitos de alumínio (Al) possui a geometria mostrada na FIG. 2 ao lado. As bolinhas de cor cinza identificam átomos situados em segundo plano. Esse tipo de geometria é denominada cúbica de face centrada. As geometrias características de outros metais podem ser obtidas na internet. Alguns tipos de organização microscópica facilitam o fluxo de cargas elétricas no interior do material, enquanto dificultam esse. Os autores do aplicativo que estamos usando decidiram não representar os átomos. Ao invés disso, eles utilizaram pontinhos pretos cuja concentração sugere o aumento ou a diminuição da concentração de obstáculos ao fluxo de elétrons no interior do material. L _ Essa letra, retirada da palavra LENGTH (comprimento, em inglês), representa o comprimento do condutor cilíndrico mostrado no lado inferior esquerdo da janela do aplicativo fio que apresenta resistência elétrica interfere diretamente no valor da resistência. A _ Essa letra, retirada da palavra AREA (área, inglês), identifica a área de seção transversal, uma medida que identifica a grossura do condutor. Levando em consideração todas essas informações, faça o que se pede a seguir: a) No aplicativo, manipule os botões deslizantes para variar os parâmetros ρ, L e A. Descreva, por escrito, as mudanças que essa manipulação provoca: (i) no tamanho das letras que representam os parâmetros e a resistência do condutor; (ii) no valor da resistência, dado em ohm, bem como nos valores dos parâmetros, dados em suas respectivas unidades; (iii) nas características visuais do fio representado na parte inferior da tela. Figura 1 Figura 2
Coltec/UFMG Física 1º Ano 2015 3 b) Deixe a resistividade do condutor em seu valor máximo. Nesta exploração nós iremos supor que o filamento das lâmpadas dos circuitos manipulados nas explorações 1 e 2 possuem esse valor de resistividade (1,00 Ω.cm). Feita essa escolha, mexeremos no botão deslizante que altera o valor do parâmetro L até que o fio apresente um comprimento, aproximadamente, igual a 10 cm. Como passo seguinte, alteraremos o valor do parâmetro A até que a resistência do condutor cilíndrico representado na parte inferior da janela do aplicativo fique próximo a 10 Ω. Note que esse era o valor da resistência de cada uma das lâmpadas associadas em série no circuito construído na Exploração 1. Naquela exploração, nós constatamos que a associação de filamentos em série, aumenta a resistência equivalente do circuito. Considerando dois filamentos idênticos, podemos interpretar esse fato racionando do seguinte modo: dois filamentos (ou resistores) idênticos, associados em série, apresentam uma resistência igual àquela apresentada por um único filamento de mesmo material e espessura, mas com o dobro do comprimento dos filamentos individuais. Esse raciocínio está representado, visualmente, na FIG. 3, a seguir. Reproduza-o ao mexer no botão deslizante do comprimento até que a resistência do condutor mostrado na parte inferior da janela mostrado no aplicativo apresente uma resistência próxima a 20 Ω. Note que esse é o valor da resistência equivalente da associação de duas lâmpadas em série que manipulamos na Exploração 1. c) Volte a resistência do condutor cilíndrico para um valor próximo a 10 Ω. Note que esse era o valor da resistência de cada uma das lâmpadas associadas em paralelo no circuito construído na Exploração 2. Naquela exploração, nós constatamos que, embora a resistência elétrica de cada filamento continue a ser uma medida da dificuldade oferecida por esse elemento à passagem da corrente elétrica, a ligação de dois filamentos em paralelo aumentou a facilidade de circulação de corrente pelo circuito como um todo e, por isso, diminuiu a resistência oferecida pela associação. Considerando dois filamentos idênticos, podemos interpretar esse fato racionando do seguinte modo: dois filamentos (ou resistores) idênticos, associados em paralelo, apresentam uma resistência duas vezes menor do que aquela apresentada por um único filamento de mesmo material e comprimento, mas com o dobro da área de seção reta de um único filamento individual. Esse raciocínio está representado, visualmente, na FIG. 4, a seguir. Reproduza-o ao mexer no botão deslizante da área de seção reta até que a resistência do condutor mostrado na parte inferior da janela mostrado no aplicativo apresente uma resistência aproximadamente igual a 5 Ω. Note que esse é o valor da resistência equivalente da associação de duas lâmpadas em paralelo que manipulamos na Exploração 2. FIG. 4 FIG. 3 Exploração 3 Leitura de textos e realização de exercícios sobre associação de resistores 3.1- Associação em série Na associação em série, ao desligarmos uma das lâmpadas, as outras se apagam. Isso acontece porque, para se estabelecer uma corrente elétrica, é preciso um circuito fechado, incluindo uma fonte de energia elétrica. Ao desligarmos uma lâmpada, o caminho é interrompido, e o circuito se abre. Você deve ter notado que as lâmpadas acendem com menor brilho ligadas em série do que em paralelo. Isso significa que a corrente do circuito em série é menor, comparativamente à ligação em paralelo. A diferença de brilho ocorre porque a tensão em cada lâmpada é uma parte da tensão total, fornecida pelas pilhas. Se as três lâmpadas forem iguais, cada uma estará sujeita a 1/3 da tensão da fonte. Se forem diferentes, a tensão será maior naquela que possuir maior resistência. Em ambos os casos, porém, a soma das tensões em cada lâmpada será igual à tensão total das pilhas: U = U1+ U2+ U3, tal como indicado na figura 5 ao lado.
Coltec/UFMG Física 1º Ano 2015 4 Na associação em série, nós temos a mesma corrente em todos os resistores. O que podemos dizer é que, quanto maior o número de resistores iguais na associação em série, menor a corrente em todos eles. No circuito da figura 4, é possível substituir os resistores R1, R2 e R3 por um único resistor R, desde que com a inserção de R tenhamos, no circuito, a mesma corrente elétrica. Esse resistor equivalente está representado na figura 6. O valor de sua resistência é calculado por: R = U/i, onde U representa a tensão aplicada à associação e i, a corrente estabelecida no circuito. Podemos descrever a tensão elétrica aplicada em cada resistor da associação da seguinte forma: U = R i U1 = R1 i1, U2 = R2 i2 e U3 = R3 i3 Nesta última expressão U é a tensão das pilhas, U1 é a tensão aplicada em R1, U2 é a tensão aplicada em R2, e U3 a tensão aplicada em R3. Como U = U1 + U2 + U3 e tendo em vista também a relação i = i1 = i2 = i3, nós podemos afirmar que: R i= R1 i+ R2 i+ R3 i Dividindo toda a expressão por i, verificamos que a resistência equivalente (Req) é igual à soma das resistências R1, R2 e R3 ou Req = R1 + R2 + R3 Exemplo de exercício resolvido Uma associação em série de resistores está representada na FIG. 7. Vamos calcular, para este circuito: a) a resistência equivalente; b) a corrente em cada resistor; c) a tensão sobre cada resistor. Resposta da letra (a): R = R 1 + R 2 R = 2,0 Ω + 3,0 Ω ou R= 5,0 Ω Esse resultado quer dizer que um resistor de 5,0 Ω estabelece no circuito a mesma corrente que a associação em série das resistências de 2,0 Ω. e 3,0 Ω. Resposta da letra (b): Como a corrente é a mesma para Req, R1 e R2, nós podemos utilizar a relação U = R i para descobrir o valor dessa corrente: U = R i 6,0 = 5,0 i. Então i = i1 = i2 = 6,0/5,0 = 1,2 A Resposta da letra (c): Agora, utilizaremos a relação U = R i para cada resistor, encontrando a tensão a que cada um está submetido: U1 = R1 i U1 = 2,0 Ω 1,2 A = 2,4 V U2 = R2 i U2 = 3,0 Ω X 1,2 A = 3,6 V Note que esse resultado é coerente com a afirmação de que U = U1 + U2 + U3 3.2- Associação em paralelo Nas ligações em paralelo, tal como é o caso do circuito da FIG. 8, todos os resistores estão submetidos ao mesmo valor de tensão, sejam suas resistências iguais ou diferentes. Além disso, como a corrente se divide nas bifurcações a soma dos valores da corrente estabelecida em cada resistor (i 1, i 2, i 3 ) corresponde à corrente que sai e entra na pilha (i), isto é: i = i 1 + i 2 + i 3 Dado que R = U/i, podemos definir cada corrente elétrica como: i = U/R i1 = U/R1, i2 = U/R2 e i3 = U/R3 Como i = i 1 + i 2 + i 3 temos: U/R = U/R1 + U/R2 + U/R3
Coltec/UFMG Física 1º Ano 2015 5 Dividindo toda a expressão por U, constatamos que o inverso de uma resistência R é igual à soma dos inversos das resistências R1, R2 e R3, isto é, 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 Essa equação indica que os três resistores de resistências R1, R2 e R3 podem ser substituídos por um único resistor R, que, introduzido no mesmo circuito, isto é, conectado à mesma fonte, permite estabelecer a mesma corrente total i. Por esse motivo, recebe o nome de resistência equivalente. Um exemplo numérico nos permitirá entender o conceito de resistência equivalente em associações de resistores em paralelo. Considere dois resistores com resistências iguais a 2,0 Ω e 3,0 Ω que estão conectados em paralelo, como mostrado na figura 9 ao lado. a Podemos determinar a resistência equivalente dessa associação de resistores utilizando o seguinte desenvolvimento matemático: 1 1 1 1 2,0 1 3,0 FIG. 9 1 5,0 6,0 R 1,2 Ω O resultado para o cálculo de Req indica que, se os dois resistores forem substituídos por outro, de resistência elétrica igual a 1,2 Ω, a corrente total i no circuito continuará a mesma. Esse resultado também está apresentado na figura ao lado. Para calcular as correntes i 1 e i 2 estabelecidas nos resistores R1 e R2 precisamos nos lembrar de que, em uma associação em paralelo a tensão é a mesma para todos os resistores. Utilizando novamente a relação i = U/R, teremos: 6,0 2,0 Ω 3,0 e 6,0 3,0 Ω 2,0 Esses resultados são coerentes com o valor da corrente que podemos calcular a partir do circuito equivalente mostrado na,, FIG. 10, onde: 5,0, Ω Note que todos esses resultados confirmam a expressão i = i 1 + i 2 FIG. 10 Exercícios 1) O que é a resistência equivalente de uma associação em série de resistores e como calculá-la? 2) O que é a resistência equivalente de uma associação em série de resistores e como calculá-la? 3) No circuito elétrico mostrado na FIG. 11 ao lado, o amperímetro indica 6,0 A. Analisando o circuito, determine: a) O valor da resistência equivalente do circuito. b) O valor da corrente elétrica em cada resistor. c) O valor da corrente estabelecida na resistência equivalente. d) A tensão estabelecida entre os terminais dos resistores. e) A tensão da fonte de energia elétrica ligada ao circuito. FIG. 11
Coltec/UFMG Física 1º Ano 2015 6 4) No circuito elétrico em série ilustrado na figura 12 ao lado, o voltímetro ideal indica 24 V. Determine: a) o valor da resistência equivalente do circuito; b) o valor da corrente elétrica em cada resistor; c) o valor da corrente estabelecida na resistência equivalente; d) a tensão entre os terminais dos resistores; e) a tensão da fonte que alimenta o circuito. 5) Nos três circuitos representados a seguir temos lâmpadas idênticas, cada uma com resistência elétrica igual a 10 Ω. As fontes de tensão são idênticas e aplicam tensões iguais a 10,0 V. FIG. 12 Figura: três circuitos com diferentes associações de lâmpadas a) Determine a resistência equivalente nos três circuitos. b) Determine a corrente elétrica nos polos das fontes de tensão nos três circuitos. c) Determine a corrente que passa pelas cinco lâmpadas (A, B, C, D, E). 6) A figura ilustra a forma como três lâmpadas estão ligadas a uma tomada. A corrente elétrica no ponto P do fio é ip e no ponto Q é iq. Em um determinado instante, a lâmpada L2 se queima. Pode-se afirmar que a) a corrente ip se altera e iq não se altera. b) a corrente ip não se altera e iq se altera. c) as duas correntes se alteram. d) as duas correntes não se alteram.