TRANSFORMAÇÕES MULTIESPECTRAIS (GLOBAIS) Se incluem todas aquelas transformações destinadas a criação de imagens a partir da combinação de bandas da imagem original. A imagem resultante depende de toda a imagem original e não apenas dos níveis digitais de cada pixel ou de seu entorno (utiliza-se estatísticas globais). O objetivo bj ti é evidenciar id i alguma l característica t í ti importante i t t ou isolar i l algum l ti de tipo d informação i f ã de mais interesse que na imagem original estava oculta. Análise de Componentes p Principais p Geralmente existe grande redundância na informação obtida pelas diversas bandas da imagem, referendada pela alta correlação entre os dados proporcionados. Imagem Landsat 5 TM 21/01/2099 Órbita 223 Ponto 81.
Assim, mediante a combinação linear das bandas originais da imagem, a transformação a componentes principais gera novas bandas, que são linearmente independentes entre si, ou seja, sem redundância entre elas. A ACP busca os eixos de variabilidade da imagem, de grande utilidade para estudos multitemporais ou para construir 3 novas bandas e a partir delas formar uma combinação colorida q que concentre mais informação ç q que q qualquer q das bandas originais. g Diagramas de Dispersão 2D:
Diagramas de Dispersão 2D: Diagramas de Dispersão 3D:
Imagem: Variável Aleatório Multivariante Os ND multiespectrais de uma imagem digital podem ser considerados como uma variável aleatória l tó i vetorial t i l (cada ( d banda b d é um componente t do d vetor). t ) A função de distribuição multivariante constitui o histograma multiespectral da imagem. A função de densidade de cada histograma pode ser considerada uma distribuição gaussiana, ficando então caracterizada pela média e variância de seus dados e pela relação entre elas mediante os correspondentes coeficientes de correlação. A imagem multiespectral será: onde n representa o número de bandas da imagem. p g Para a banda k, a média pode ser calculada: e a variância: sendo que zij é o ND de cada píxel (i,j) e N o número de píxeis da imagem.
Imagem: Variável Aleatório Multivariante A relação existente entre duas bandas quaisquer pode ser definida pela covariância: Resolvendo a equação teremos:
Imagem: Variável Aleatório Multivariante ou seja: além disso, temos: e O coeficiente de correlação entre as bandas k e l se define como: onde o mesmo estará no intervalo:
Imagem: Variável Aleatório Multivariante Considerando as n bandas da imagem e tratando-a como uma variável aleatória multivariante lti i t podemos d d fi i as matrizes definir ti d di de dimensão ã n X n de d variância-covariância iâ i iâ i (Σ) e correlação (R). A matriz de variância-covariância de um conjunto de bandas linearmente independentes será diagonal, principal pelas variâncias das combinações e g, ou seja, j, a diagonal g p p estará ocupada p p ç os elementos fora da diagonal principal (covariâncias) serão nulos (zero), já que a soma de todos os produtos positivos será igual a soma de todos os produtos negativos (equação da covariância). Por tanto, a transformação que consiga diagonalizar a matriz de variância-covariância é aquela que deve ser aplicada para obter novas bandas linearmente independentes.
Imagem: Variável Aleatório Multivariante Correlação entre bandas: Correlação Positiva: As bandas i e j estão correlacionadas positivamente, ou seja, seja quando os valores da banda i crescem os valores da banda j também crescem. Sem Correlação: As bandas não estão correlacionadas ou seja, correlacionadas, seja não mostram dependência uma da outra. Co elação Negativa: Negati a Correlação As bandas i e j estão correlacionadas negativamente, ou seja, quando os valores da banda i crescem os valores da banda j também decrescem.
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal: A partir de uma transformação A se denominam vetores próprios ou autovetores (eigenvectors i t ) aqueles l que são ã colineares li com seus transformados, t f d ou seja, j aqueles l que cumprem a condição: sendo A a matriz que caracteriza a transformação e λ o valor próprio ou autovalor (eigenvalues). P d Podemos escrever também: t bé onde I representa a matriz unitária, isto é, uma matriz diagonal tal que aii = 1 e aij = 0. Igualando a zero teremos: Na equação acima devemos incluir a resolução de uma equação de características φ(λ), que proporciona os autovalores para a matriz A:
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal: No caso da matriz de variância-covariância teremos: onde podemos obter n soluções λ1, λ2,, λn, que são os autovalores da matriz, ordenandose habitualmente habit almente da seguinte seg inte maneira: manei a λ1 λ2 λn. Os autovetores da matriz de variância-covariância Σ se obtem mediante a resolução da equação: seguinte g q ç isto é:
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal: sendo: d A transformação em diagonal da matriz de variância-covariância é dada por: onde: d P matriz auxiliar formada pelos autovetores colocados por colunas na mesma ordem da matriz diagonal.
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal: No caso de: Precisamente por ser um vetor próprio, posso colocar da seguinte forma: desta forma teremos: A matriz auxiliar P define uma mudança de base no espaço dos reais ℜn de tal forma que se a imagem original tinha uma matriz de variância-covariância, a imagem final terá uma matriz de variância-covariância Λ. Isto é, as bandas da nova imagem são linearmente independentes ou sem correlação.
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal: A transformação a componentes principais consiste na multiplicação da imagem original pela matriz t i de d autovetores t t d sua matriz da t i de d variância-covariância. iâ i iâ i ou seja: j Sendo xij os elementos da matriz P, isto é, os componentes dos autovetores postos por colunas o desenvolvimento da equação acima fica:
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal: Por outro lado a transformação é ortogonal, razão pela qual o somatório das variâncias ( ) é i igual l ao somatório tó i dos d autovalores t l (Λ) (Λ): Isto significa que a variância se distribui sem perdas sobre os componentes principais. A Primeira Componente corresponde a maior parte da variância da imagem (mais informação). A variância restante se distribui nos seguintes componentes de forma decrescente. A variância original explicada por cada componente principal se calcula como a proporção do autovalor correspondente em relação a soma total de autovalores:
Resultado da Análise de Componentes Principais Correlação Positiva: Sem Correlação: Correlação Negativa: O resultado da ACP é que as bandas novas não tem correlação entre si. Os autovalores da transformação indicam o tamanho dos eixos das elipses e os autovetores a direção dos mesmos.
Resultado da Análise de Componentes Principais A ACP encontra um novo sistema de referência que explica melhor a variabilidade da imagem. A elipse correspondente a representação bidimensional dos valores de duas bandas quaisquer q q fica agora g orientada com seus eixos p paralelos ao novo sistema,, explicando p o eixo de coordenadas paralelo ao eixo maior da elipse a maior parte da informação contida entre as bandas comparadas (figura abaixo).
Aplicações Melhora a visualização da imagem ao concentrar em apenas 3 bandas (as necessárias para f formar a cor)) quase toda t d a informação i f ã da d imagem. i Estudos multitemporais: Podemos reduzir a apenas um componente as bandas da imagem em cada uma das datas de trabalho. Posteriormente faz-se a classificação dos CPs isolando os fenômenos que mostraram mudanças entre duas datas sucessivas. Detecção de mudanças entre duas datas: Se transforma em CP todas as bandas de ambas datas As primeiras componentes principais explicarão a maior parte da variância da imagem e portanto incluirão todos os aspectos comuns das duas datas. As componentes principais secundárias conterão informações sobre fenômenos que não podem explicar-se em duas datas simultâneas e portanto indicam uma mudança.
Transformação Tasseled Cap Desenvolvida por Kauth e Thomas é uma transformação mais geral que a ACP mediante a qual se obtém diversos índices com significado físico concreto que constituirão as novas bandas da imagem. O procedimento tem base na evolução espectral dos cultivos ao longo de seu período vegetativo. Analisando a variação dos ND dos píxeis das áreas cobertas por vegetação em um espaço tridimensional o caminho da nuvem de pontos no transcurso do tempo deixa um rastro que adquire a forma de uma toca (tasseled cap). Considerando a banda do vermelho e do infravermelho próximo, a base da toca está definida pela linha de solos nus, ao longo da qual se distribuem os diferentes tipos de solo, de acordo ao seu estado de umidade e iluminação, principalmente. ç,p p A medida que o cultivo se desenvolve e chega ao pleno vigor, os pontos tendem a aproximar-se do infravermelho próximo, retirando-se da linha do solo nu. Quando se inicia o período de senescência a nuvem de pontos vai convergindo a um ponto único, que corresponde ao ponto de murcha permanente do cultivo e cuja posição tende a regressar g novamente a linha de solo nu.
Transformação Tasseled Cap (continuação...)
Transformação Tasseled Cap (continuação...) A TTC pretende encontrar novos eixos de variação que ressalte o comportamento biológico dos cultivos, em concreto separar a variação dos ND das áreas de cultivo daquela associada ao solo, no qual ocorre a seguinte combinação linear: onde: é a imagem multibanda obtida com a transformação; é a imagem original; é uma matriz de coeficientes que caracteriza a transformação; é uma constante vetorial para evitar valores negativos (geralmente = 32). A expressão acima ajustada para o Landsat TM é a seguinte: p j p g
Transformação Tasseled Cap (continuação...) Para o Landsat TM: O componente brilho é a soma ponderada dos ND correspondentes a todas as bandas excluindo l i d o infravermelho i f lh termal. t l O verdor destaca o contraste existente entre as bandas visíveis e as pertencentes ao infravermelho especialmente p o infravermelho p próximo. O componente umidade contrasta a refletância da cobertura no visível e o infravermelho médio, onde a água apresenta várias bandas de absorção. Os três eixos transformados formam um espaço vetorial no qual podemos diferenciar três planos característicos: A vegetação formado pelos eixos brilho e verdor; O solo formado entre os eixos brilho e umidade; O plano de transição formado pelos eixos verdor e umidade.
Índices de Vegetação São transformações que buscam realçar as áreas cobertas de vegetação, reforçando a contribuição espectral devido a vegetação e minimizando os distorções, tais como o solo, a irradiância solar, o ângulo de elevação do Sol e a própria atmosfera. Podemos agrupar os IV existentes em duas categorias: a)) Transformações ç ortogonais g similares as realizadas em ACP. b) Índices com base em quocientes entre bandas. Índices com base em transformações t ansfo mações Se rota os eixos no espaço bidimensional originalmente formado g pelas bandas do vermelho e infravermelho próximo para o novo eixo formado entre a linha que define os solos e sua perpendicular perpendicular.
Índices de Vegetação (continuação...) Índice de Vegetação Perpendicular (PVI Perpendicular Vegetation Index): O PVI mede a distância espectral existente entre o ND dos píxeis de Vegetação e Solo nas bandas b d do d Vermelho V lh e Infravermelho I f lh Próximo Pó i (d (desenvolvido l id por Richardson Ri h d e Wiegand). onde: o subíndice v indica o ND da banda considerada para a vegetação e o s para a linha de solo. P Para o Landsat L d t MSS teremos: t Estendendo o conceito a um espaço multidimensional podemos gerar o Índice de Vegetação Verde (GVI Green-Vegetation Index), que pode ser aplicado para quatro bandas, como desenvolvido por Kauth e Thomas; a seis bandas, bandas como o de Crist e Cicone ou a n bandas, desenvolvido por Jackson.
Índices de Vegetação (continuação...) Índices com base em quocientes Os quocientes são divisões entre os ND de uma banda por outra. O caso mais geral pode ser expressado d como segue: onde: z é a nova imagem formada pelo quociente das bandas k e l; a e b são constantes, geralmente de valor 1, para evitar qualquer divisão por zero. P d Podemos utilizar tili um logaritmo l it para corrigir i i o escurecimento i t da d imagem i resultante, lt t assim: i Em muitos caso é difícil separar entre duas coberturas vegetais diferentes por seus NDs estarem muito próximos. Os quocientes entre bandas pode proporcionar um melhor critério de separação. O relevo do terreno origina diferentes graus de iluminação que são independentes do tipo de cobertura vegetal. A redução da reflectância em áreas de sombra afeta por igual as diferentes bandas da imagem. g A vantagem g do q quociente entre bandas é o fato de q que o resultado independe p da irradiância. Portanto, é uma transformação muito indicada para reduzir o efeito radiométrico do relevo na imagem final.
Índices de Vegetação (continuação...) Índices com base em quocientes Os mais utilizados combinam bandas do infravermelho próximo com as do visível. Isso se deve a alta reflectância no IRp e baixa no VIS, especialmente no vermelho.
Índices de Vegetação (continuação...) Índices com base em quocientes Razão Simples (SR Simple Ratio): Índice de Vegetação de Diferença Normalizada (NDVI Normalized Difference Vegetation Index): ou Índice de Vegetação Transformed Vegetation Index): g ç Transformado (TVI ( g ) Índice de Umidade por Diferença Normalizada ou Índice de Água (NDMI ou NDWI Water Index):
Índices de Vegetação (continuação...) Índices com base em quocientes Índice de Conteúdo Relativo de Água Foliar (LWCI): Índice de Vegetação Ajustado ao Solo (SAVI): ENTRE OUTROS.