Introdução à Matemática Cuneiforme e O6icina de Tabletes Carlos Gonçalves (EACH- USP) Programa de Pós- Graduação em Estudos Culturais (EACH- USP) Laboratório do An@go Oriente Próximo (USP) Laboratoire SPHERE (Universidade Paris 7, CNRS) hhp://www.each.usp.br/bgcarlos bgcarlos@usp.br
Ficha Técnica O obje'vo deste minicurso é levar aos par'cipantes uma visão abrangente e atual da história da matemá'ca na An'ga Mesopotâmica, especialmente do período paleo- babilônico (c. 2000-1600 AEC). Os temas abordados trarão uma visão geral da matemá'ca cuneiforme, tratando dos 'pos de texto que ela nos legou e do contexto social em que era produzida. Essa visão geral será seguida de um estudo das tabelas chamadas aritmé'cas e metrológicas, elementos chaves nas prá'cas de cálculo mesopotâmicas. A u'lização dessas tabelas será exemplificada com a análise de um problema matemá'co do período paleo- babilônico. Na parte final do curso, os inscritos par'ciparão de uma oficina de tabletes, com o obje'vo de pra'car em tabletes de argila a produção de textos matemá'cos da an'ga tradição mesopotâmica. Palavras- chave: An'ga Mesopotâmia, Matemá'ca Cuneiforme, Período Paleo- Babilônico Este minicurso é derivado dos seguintes projetos de pesquisa: Textos Cuneiformes e a Escrita da História da Matemá'ca, projeto de pesquisa no exterior, com apoio da FAPESP (Processo 2009/XXXXX- X). Mathema'cal Cuneiform Tablets from the Ancient Mesopotamian Kingdom of Eshnunna A Contribu'on to a Geography of Mathema'cal Prac'ces (Bolsa Prefeitura de Paris, 2012) Tabelas Numéricas na Matemá'ca da An'ga Mesopotâmia: um novo estudo geral, um apanhado historiográfico e a edição de três tabletes inéditos do Museu do Louvre, com o apoio da FAPESP (Processo 2012/19909-6).
Ficha Técnica - continuação A presente versão deste minicurso foi apresentada no 1º Simpósio Nacional de Formação de Professores de Matemá'ca, realizado pela Sociedade Brasileira de Matemá'ca, em Brasília, de 26 a 29 de setembro de 2013. Versões anteriores foram apresentadas na IV Jornada de História da Ciência e Ensino, realizada pela PUC- SP, em julho de 2013, no programa de Pós- graduação em Ensino de Matemá'ca da UFRJ e na Semana da Licenciatura do IME- USP em 2012.
TERRITÓRIO E CRONOLOGIA
(Black & Green 1992)
Período Sumério, Estabelecimento do reino de Acade, Renascimento Sumério (3500)- (3000) Expansão da vida urbana. Principalmente na cidade de Uruk, desenvolvimento da escrita cuneiforme, das técnicas de contabilidade e de administração. Vários idiomas podem ter sido falados, mas somente o sumério foi registrado na forma escrita. 2334 Sargão I de Acade estabelece- se como rei e inicia o primeiro estado capaz de submeter outras cidades a seu poder. Seu descendente Naram- Sin expande esse domínio. O idioma falado é o acadiano, uma língua da família de línguas semí'cas. O sumério persiste em ambiente sagrado e no emprés'mo de termos e expressões para os textos acadianos. 2112-2004 Retomada da cultura suméria na cidade de Ur. É o período da chamada terceira dinas'a de Ur, ou Ur III. (Mieroop 2007) Para a história da matemá.ca na An.ga Mesopotâmia, estes períodos são muito bem documentados, contendo o estabelecimento de vocabulário e técnicas que serão as caracterís.cas básicas da matemá.ca cuneiforme. (Høyrup 2002)
Período Paleo- Babilônico (2000)- (1750) Tensão e equilíbrio na polí'ca internacional, entre Mari, Ashur, Eshnunna, Babilônia, Isin e Larsa ao sul. 1763 Hammurabi de Babilônia conquisa o sul da região babilônica 1762 Hammurabi saqueia Eshnunna 1761 Hammurabi conquista Mari 1650 Criação do an'go estado hi'ta 1595 O rei hi'ta Mursili saqueia Babilônia (Mieroop 2007) A grande maior parte dos tabletes matemá.cos cuneiforme provém deste período. Os textos de problemas mais an.gos, em par.cular, são atestados neste momento. (Høyrup 2002)
Império Neo- Assírio (880)- (830) Expansão militar da Assíria, sob Assurnasirpal II e Shalmaneser III 823-745 Declínio assírio 704 Senaqueribe transfere a capital assíria para Nínive 689 Senaqueribe saqueia Babilônia 671 Esarhaddon da Assíria captura Mênfis, no Egito 664-2 Assurbanipal captura Tebas, no Egito 652-49 Rebelião babilônica contra o domínio assírio (Mieroop 2007)
Dinastia Neo- Babilônico 616 Nabopolassar unifica a região da Babilônia 612 Saque de Nínive pelos Medas e pelos Babilônios 587 Saque de Jerusalém por Nebuchadnezzar II (Nabucodonosor II) (559) Ciro, rei da Pérsia, ascende ao poder 539 Ciro captura Babilônia (Mieroop 2007)
O Império Persa, Domínio Macedônico, Dinastia Selêucida (559) Ciro, rei da Pérsia, ascende ao poder 539 Ciro captura Babilônia 525 Cambises conquista o Egito 521 Dario usurpa o trono 331 Derrota de Dario III por Alexandre da Macedônia 323 Morte de Alexandre em Babilônia (300)- (60) Dinas'a Selêucida (Mieroop 2007) Os tabletes matemá.cos cuneiformes também são atestados no período selêucida. Embora em pequeno número, são representa.vos das técnicas matemá.cas cuneiformes, atestando a longa duração da tradição e a inclusão de variantes. (Høyrup 2002)
EDUCAÇÃO ESCRIBAL
Planta da Casa F, Nippur, um local de educação escribal (Robson 2008) 12
Reconstituição do Currículo de Nippur (Proust 2007) 13
TABELAS ARITMÉTICAS E TABELAS METROLÓGICAS
TABELAS ARITMÉTICAS
Tabelas de Recíprocos Tabela de recíprocos igi- 2 gal 2 - bi 30 igi- 3 gal 2 - bi 20 igi- 4 gal 2 - bi 15
HS201 tabela de recíprocos, transliteração (Proust 2008)
HS201 tabela de recíprocos, cópia (Proust 2008)
HS201 tabela de recíprocos (Proust 2008)
Tabelas de Multiplicação 50 a- ra 2 1 50 a- ra 2 2 1 40 a- ra 2 3 2 30
Tabelas de quadrados 1 a- ra 2 1 1 2 a- ra 2 2 4 3 a- ra 2 3 9
Tabelas de raízes quadradas 1- e 1 ib 2.sa 2 4- e 2 ib 2.sa 2 9- e 3 ib 2.sa 2
Tabelas de raízes cúbicas 1- e 1 ba.sa 2 8- e 2 ba.sa 2 27- e 3 ba.sa 2
TABELAS METROLÓGICAS
Tabelas As tabelas são instrumentos muito importante na matemá'ca cuneiforme. São auxílios de cálculo para os escribas e é através das tabelas metrológicas que o escriba controla a ordem de grandeza dos números com que trabalha (Gonçalves 2013) Uma apresentação bastante abrangente das tabelas numéricas pode ser encontrada em (Proust 2008).
Estrutura da tabela de capacidades (Gonçalves 2013)
Estrutura da tabela de comprimentos (Gonçalves 2013)
Estrutura da tabela de superxícies e volumes (Gonçalves 2013)
Estrutura da tabela de pesos (Gonçalves 2013)
Estrutura da tabela de alturas e profundidades (Gonçalves 2013)
Exemplo de Texto Matemá'co O PROBLEMA 1 DO TABLETE HADDAD 104
Problema Haddad 104. Problema 1 1 O procedimento de uma tora/cilindro. 5, um kus 3, seu diâmetro. Para um granário de 2 quanto ele é conveniente? Em teu fazer, quantas vezes o diâmetro, tantas vezes 3 estabelece a profundidade. Rebaixa 5, e 1, a profundidade, aparece. 4 Triplica 5, o diâmetro, e 15 aparece. 15, a circunferência da tora/cilindro. 5,6 Causa que 15 combine consigo mesmo, e 3 45 aparece. Levanta 3 45 a 5, o coeficiente da circunferência, e 18 45, a área, aparece. 7 Levanta 18 45 a 1, a profundidade, e 18 45, o volume, aparece. 8 Levanta 18 45 a 6, (o coeficiente) de granário, e 1 52 30 aparece. 9 A tora/cilindro contém 1 barig 5 ban 2 2 ½ sila 3 de grão. Eis o procedimento. (Gonçalves 2013; Al- Rawi and Roaf 1984)
Pré- requisito: O CoeXiciente do granário Esse coeficiente transforma volume metrológico em capacidade. A base para a transformação pode ser qualquer uma das relações seguintes: (Gonçalves 2013)
Os passos da solução e sua relação com as tabelas metrológicas (Gonçalves 2013)
OFICINA DE TABLETES CUNEIFORMES
1 o Passo: moldando o cálamo Usando a lixa de madeira, transformamos as arestas arredondadas do pali'nho em cantos. O obje'vo é fazer com que a extremidade do pali'nho com que se escreve seja um prisma de base retangular.
2 o Passo: preparando um tablete Tomamos um pedaço de argila e o moldamos na forma de um tablete. O tablete não deve ser maior do que a palma da mão e não pode ser muito fino.
3 o Passo: começando a escrever Com um dos cantos do cálamo, pressionamos a argila (a escrita cuneiforme é feita pressionando- se o cálamo, ao contrário de nossa escrita em que arrastamos o instrumento de escrita). Experimente escrever os números de 1 a 10. Veja um filme em hzp:// www.youtube.com/ watch?v=lsppx6flzlk
4 o Passo: produzindo uma tabela numérica Agora vire o tablete. No verso dele, vamos produzir uma tabela numérica. Você pode escolher qualquer uma das tabelas estudadas. Nas tabelas numéricas, além dos sinais para números, aparecem também, como vimos, sinais que indicam palavras. Está aqui uma lista de sinais cuneiformes que você pode precisar. Veja alguns exemplos de tabletes produzidos em Oficinas como esta nos próximos slides.
OXicina de Tabletes Cortando a argila Escrevendo
OXicina de Tabletes Números Números
OXicina de Tabletes Algumas raízes quadradas Alguns recíprocos
BibliograXia al- Rawi, F. N. H. e Roaf, M. 1984. Ten Old Babylonian Mathema'cal Problems From Tell Haddad, Himrin. Sumer, vol. XLIII, 175-218. Black, J & Green, A. 1992. Gods, Demons and Symbols of Ancient Mesopotamia. An Illustrated Dic.onary. Aus'n: Texas University Press. Gonçalves, C.H.B. 2013. Metrological e Regulatory Prac.ces on Mathema.cal Tablets from the Diyala. Pôster. LIXe Rencontre Assyriologique Interna'onale. Ghent. Høyrup, Jens. 2002. Lengths, widths, surfaces. A Portrait of Old- Babylonian Algebra. New York, Berlin: Springer. Mieroop, Marc Van De. 2007. A History of the Ancient Near East ca. 3000-323 BC. Second Edi'on. Malden (USA), Oxford, Victoria (Australia): Blackwell Publishing. Proust, Chris'ne. 2007. TableYes mathéma.ques de Nippur. Varia Anatolica XVIII. Paris: Ins'tut Français d'études Anatoliennes Géorges- Dumézil, De Broccard Édi'on- Diffusion. Proust, Chris'ne. 2008. TableYes mathéma.ques de la collec.on Hilprecht. Wiesbaden: Harassowitz Verlag. Robson, Eleanor. 2008. Mathema.cs in Ancient Iraq: A Social History. Princeton, Princeton University Press.