Cálculo Integral nas Ciências Sociais

Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo Integral nas Ciências Sociais Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2011

Créditos Universidade do Sul de Santa Catarina Campus UnisulVirtual Educação Superior a Distância Avenida dos Lagos, 41 Cidade Universitária Pedra Branca Palhoça SC 88137-900 Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 E-mail: cursovirtual@unisulbr Site: wwwunisulbr/unisulvirtual Reitor Ailton Nazareno Soares Vice-Reitor Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Willian Corrêa Máximo Pró-Reitor de Ensino e Pró-Reitor de Pesquisa, Pós-Graduação e Inovação Mauri Luiz Heerdt Pró-Reitora de Administração Acadêmica Miriam de Fátima Bora Rosa Pró-Reitor de Desenvolvimento e Inovação Institucional Valter Alves Schmitz Neto Diretora do Campus Universitário de Tubarão Milene Pacheco Kindermann Diretor do Campus Universitário da Grande Florianópolis Hércules Nunes de Araújo Secretária-Geral de Ensino Solange Antunes de Souza Diretora do Campus Universitário UnisulVirtual Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Diretor Adjunto Moacir Heerdt Secretaria Executiva e Cerimonial Jackson Schuelter Wiggers (Coord) Marcelo Fraiberg Machado Tenille Catarina Assessoria de Assuntos Internacionais Murilo Matos Mendonça Assessoria de Relação com Poder Público e Forças Armadas Adenir Siqueira Viana Walter Félix Cardoso Junior Assessoria DAD - Disciplinas a Distância Patrícia da Silva Meneghel (Coord) Carlos Alberto Areias Cláudia Berh V da Silva Conceição Aparecida Kindermann Luiz Fernando Meneghel Renata Souza de A Subtil Assessoria de Inovação e Qualidade de EAD Denia Falcão de Bittencourt (Coord) Andrea Ouriques Balbinot Carmen Maria Cipriani Pandini Assessoria de Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord) Felipe Fernandes Felipe Jacson de Freitas Jefferson Amorin Oliveira Phelipe Luiz Winter da Silva Priscila da Silva Rodrigo Battistotti Pimpão Tamara Bruna Ferreira da Silva Coordenação Cursos Coordenadores de UNA Diva Marília Flemming Marciel Evangelista Catâneo Roberto Iunskovski Auxiliares de Coordenação Ana Denise Goularte de Souza Camile Martinelli Silveira Fabiana Lange Patricio Tânia Regina Goularte Waltemann Coordenadores Graduação Aloísio José Rodrigues Ana Luísa Mülbert Ana Paula RPacheco Artur Beck Neto Bernardino José da Silva Charles Odair Cesconetto da Silva Dilsa Mondardo Diva Marília Flemming Horácio Dutra Mello Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janaína Baeta Neves Jorge Alexandre Nogared Cardoso José Carlos da Silva Junior José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Joseane Borges de Miranda Luiz G Buchmann Figueiredo Marciel Evangelista Catâneo Maria Cristina Schweitzer Veit Maria da Graça Poyer Mauro Faccioni Filho Moacir Fogaça Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Fontanella Roberto Iunskovski Rose Clér Estivalete Beche Vice-Coordenadores Graduação Adriana Santos Rammê Bernardino José da Silva Catia Melissa Silveira Rodrigues Horácio Dutra Mello Jardel Mendes Vieira Joel Irineu Lohn José Carlos Noronha de Oliveira José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Luciana Manfroi Rogério Santos da Costa Rosa Beatriz Madruga Pinheiro Sergio Sell Tatiana Lee Marques Valnei Carlos Denardin Sâmia Mônica Fortunato (Adjunta) Coordenadores Pós-Graduação Aloísio José Rodrigues Anelise Leal Vieira Cubas Bernardino José da Silva Carmen Maria Cipriani Pandini Daniela Ernani Monteiro Will Giovani de Paula Karla Leonora Dayse Nunes Letícia Cristina Bizarro Barbosa Luiz Otávio Botelho Lento Roberto Iunskovski Rodrigo Nunes Lunardelli Rogério Santos da Costa Thiago Coelho Soares Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher Gerência Administração Acadêmica Angelita Marçal Flores (Gerente) Fernanda Farias Secretaria de Ensino a Distância Samara Josten Flores (Secretária de Ensino) Giane dos Passos (Secretária Acadêmica) Adenir Soares Júnior Alessandro Alves da Silva Andréa Luci Mandira Cristina Mara Schauffert Djeime Sammer Bortolotti Douglas Silveira Evilym Melo Livramento Fabiano Silva Michels Fabricio Botelho Espíndola Felipe Wronski Henrique Gisele Terezinha Cardoso Ferreira Indyanara Ramos Janaina Conceição Jorge Luiz Vilhar Malaquias Juliana Broering Martins Luana Borges da Silva Luana Tarsila Hellmann Luíza Koing Zumblick Maria José Rossetti Marilene de Fátima Capeleto Patricia A Pereira de Carvalho Paulo Lisboa Cordeiro Paulo Mauricio Silveira Bubalo Rosângela Mara Siegel Simone Torres de Oliveira Vanessa Pereira Santos Metzker Vanilda Liordina Heerdt Gestão Documental Lamuniê Souza (Coord) Clair Maria Cardoso Daniel Lucas de Medeiros Jaliza Thizon de Bona Guilherme Henrique Koerich Josiane Leal Marília Locks Fernandes Gerência Administrativa e Financeira Renato André Luz (Gerente) Ana Luise Wehrle Anderson Zandré Prudêncio Daniel Contessa Lisboa Naiara Jeremias da Rocha Rafael Bourdot Back Thais Helena Bonetti Valmir Venício Inácio Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Janaína Baeta Neves (Gerente) Aracelli Araldi Elaboração de Projeto Carolina Hoeller da Silva Boing Vanderlei Brasil Francielle Arruda Rampelotte Reconhecimento de Curso Maria de Fátima Martins Extensão Maria Cristina Veit (Coord) Pesquisa Daniela E M Will (Coord PUIP, PUIC, PIBIC) Mauro Faccioni Filho (Coord Nuvem) Pós-Graduação Anelise Leal Vieira Cubas (Coord) Biblioteca Salete Cecília e Souza (Coord) Paula Sanhudo da Silva Marília Ignacio de Espíndola Renan Felipe Cascaes Gestão Docente e Discente Enzo de Oliveira Moreira (Coord) Capacitação e Assessoria ao Docente Alessandra de Oliveira (Assessoria) Adriana Silveira Alexandre Wagner da Rocha Elaine Cristiane Surian (Capacitação) Elizete De Marco Fabiana Pereira Iris de Souza Barros Juliana Cardoso Esmeraldino Maria Lina Moratelli Prado Simone Zigunovas Tutoria e Suporte Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação) Claudia N Nascimento (Núcleo Norte- Nordeste) Maria Eugênia F Celeghin (Núcleo Pólos) Andreza Talles Cascais Daniela Cassol Peres Débora Cristina Silveira Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste) Francine Cardoso da Silva Janaina Conceição (Núcleo Sul) Joice de Castro Peres Karla F Wisniewski Desengrini Kelin Buss Liana Ferreira Luiz Antônio Pires Maria Aparecida Teixeira Mayara de Oliveira Bastos Michael Mattar Patrícia de Souza Amorim Poliana Simao Schenon Souza Preto Gerência de Desenho e Desenvolvimento de Materiais Didáticos Márcia Loch (Gerente) Desenho Educacional Cristina Klipp de Oliveira (Coord Grad/DAD) Roseli A Rocha Moterle (Coord Pós/Ext) Aline Cassol Daga Aline Pimentel Carmelita Schulze Daniela Siqueira de Menezes Delma Cristiane Morari Eliete de Oliveira Costa Eloísa Machado Seemann Flavia Lumi Matuzawa Geovania Japiassu Martins Isabel Zoldan da Veiga Rambo João Marcos de Souza Alves Leandro Romanó Bamberg Lygia Pereira Lis Airê Fogolari Luiz Henrique Milani Queriquelli Marcelo Tavares de Souza Campos Mariana Aparecida dos Santos Marina Melhado Gomes da Silva Marina Cabeda Egger Moellwald Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo Pâmella Rocha Flores da Silva Rafael da Cunha Lara Roberta de Fátima Martins Roseli Aparecida Rocha Moterle Sabrina Bleicher Verônica Ribas Cúrcio Acessibilidade Vanessa de Andrade Manoel (Coord) Letícia Regiane Da Silva Tobal Mariella Gloria Rodrigues Vanesa Montagna Avaliação da aprendizagem Claudia Gabriela Dreher Jaqueline Cardozo Polla Nágila Cristina Hinckel Sabrina Paula Soares Scaranto Thayanny Aparecida B da Conceição Gerência de Logística Jeferson Cassiano A da Costa (Gerente) Logísitca de Materiais Carlos Eduardo D da Silva (Coord) Abraao do Nascimento Germano Bruna Maciel Fernando Sardão da Silva Fylippy Margino dos Santos Guilherme Lentz Marlon Eliseu Pereira Pablo Varela da Silveira Rubens Amorim Yslann David Melo Cordeiro Avaliações Presenciais Graciele M Lindenmayr (Coord) Ana Paula de Andrade Angelica Cristina Gollo Cristilaine Medeiros Daiana Cristina Bortolotti Delano Pinheiro Gomes Edson Martins Rosa Junior Fernando Steimbach Fernando Oliveira Santos Lisdeise Nunes Felipe Marcelo Ramos Marcio Ventura Osni Jose Seidler Junior Thais Bortolotti Gerência de Marketing Eliza B Dallanhol Locks (Gerente) Relacionamento com o Mercado Alvaro José Souto Relacionamento com Polos Presenciais Alex Fabiano Wehrle (Coord) Jeferson Pandolfo Karine Augusta Zanoni Marcia Luz de Oliveira Mayara Pereira Rosa Luciana Tomadão Borguetti Assuntos Jurídicos Bruno Lucion Roso Sheila Cristina Martins Marketing Estratégico Rafael Bavaresco Bongiolo Portal e Comunicação Catia Melissa Silveira Rodrigues Andreia Drewes Luiz Felipe Buchmann Figueiredo Rafael Pessi Gerência de Produção Arthur Emmanuel F Silveira (Gerente) Francini Ferreira Dias Design Visual Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord) Alberto Regis Elias Alex Sandro Xavier Anne Cristyne Pereira Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Daiana Ferreira Cassanego Davi Pieper Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Fernanda Fernandes Frederico Trilha Jordana Paula Schulka Marcelo Neri da Silva Nelson Rosa Noemia Souza Mesquita Oberdan Porto Leal Piantino Multimídia Sérgio Giron (Coord) Dandara Lemos Reynaldo Cleber Magri Fernando Gustav Soares Lima Josué Lange Conferência (e-ola) Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord) Bruno Augusto Zunino Gabriel Barbosa Produção Industrial Marcelo Bittencourt (Coord) Gerência Serviço de Atenção Integral ao Acadêmico Maria Isabel Aragon (Gerente) Ana Paula Batista Detóni André Luiz Portes Carolina Dias Damasceno Cleide Inácio Goulart Seeman Denise Fernandes Francielle Fernandes Holdrin Milet Brandão Jenniffer Camargo Jessica da Silva Bruchado Jonatas Collaço de Souza Juliana Cardoso da Silva Juliana Elen Tizian Kamilla Rosa Mariana Souza Marilene Fátima Capeleto Maurício dos Santos Augusto Maycon de Sousa Candido Monique Napoli Ribeiro Priscilla Geovana Pagani Sabrina Mari Kawano Gonçalves Scheila Cristina Martins Taize Muller Tatiane Crestani Trentin

Clarice Borges de Miranda Joseane Borges de Miranda Cálculo Integral nas Ciências Sociais Livro didático Design instrucional Marina Melhado Gomes da Silva Palhoça UnisulVirtual 2011

Copyright UnisulVirtual 2011 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição Edição Livro Didático Professor Conteudista Clarice Borges de Miranda Joseane Borges de Miranda Designer Instrucional Marina Melhado Gomes da Silva ISBN 978-85-7817-373-9 Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Fernanda Fernandes Revisão Smirna Cavalheiro 51533 M64 Miranda, Clarice Borges de Cálculo integral nas ciências sociais : livro didático / Clarice Borges de Miranda, Joseane Borges de Miranda ; design instrucional Marina Melhado Gomes da Silva Palhoça : UnisulVirtual, 2011 214 p : il ; 28 cm Inclui bibliografia ISBN 978-85-7817-373-9 1 Cálculo integral 2 Cálculo diferencial I Miranda, Joseane Borges de II Silva, Marina Melhado Gomes da III Título Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

Sumário Apresentação 7 Palavras da(s) professora(s) 9 Plano de estudo 11 UNIDADE 1 - Integral indefinida 17 UNIDADE 2 - Métodos de integração 39 UNIDADE 3 - Integral definida 63 UNIDADE 4 - Aplicação da integral definida 99 UNIDADE 5 - Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria 127 Para concluir o estudo 169 Referências 171 Sobre as professoras conteudistas 173 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação 175 Biblioteca Virtual 213

Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Cálculo Integral nas Ciências Sociais O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz Lembre que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a distância fica caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão sempre conectados com você Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual 7

Palavras da(s) professora(s) Prezado(a) acadêmico(a), A organização deste material didático se esmerou para chegar ao máximo de seu aproveitamento e, desta forma, incentivar sua aprendizagem autônoma Não é novidade que qualquer disciplina que comece com a palavra cálculo cause certo temor a quem está aprendendo, principalmente aos que estavam afastados das salas de aula há muito tempo Mas não se preocupe! Se você chegou até os estudos de Cálculo Integral nas Ciências Sociais, certamente já superou muitas dificuldades e está pronto para iniciar o estudo dos conteúdos desta disciplina O mundo globalizado requer decisões rápidas e precisas, pois evitarão prejuízos ou custos desnecessários para uma organização produtiva ou para os cofres públicos Minimizando os custos, no entanto, o benefício geral será sempre maior É muito importante o aprendizado de técnicas matemáticas para a resolução de problemas e minimização de custo e de tempo nas Ciências Sociais, envolvendo variáveis macro e microeconômicas que farão parte das decisões estratégicas e desafios da sua profissão Para tanto, são necessárias algumas técnicas e métodos matemáticos que facilitarão essas análises de impactos internos e externos Dentre elas, você estudará integrais definidas e indefinidas, que permitem avaliações de áreas que são aplicadas nas resoluções de problemas tais como investimento de capitais, renda e consumo e desafios do consumidor e do produtor Além disso, uma introdução à álgebra matricial facilitará a compreensão de problemas econométricos Esses ferramentais de cálculo são suporte para a aplicação de teorias nas Ciências Sociais Embarque neste desafio conosco Bons estudos! Profa Clarice Borges de Miranda Profa Joseane Borges de Miranda

Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação São elementos desse processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial Ementa Métodos de integração Integral definida Aplicações da integral definida nas Ciências Sociais

Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivos Geral Possibilitar ao aluno o desenvolvimento de competências e habilidades para compreender e desenvolver ferramentas do cálculo diferencial para resolver problemas inerentes à tomada de decisão nas Ciências Sociais Específicos Compreender a relação entre integral e derivada Calcular a integral de funções reais Reconhecer e aplicar os métodos de integração Compreender a relação entre o cálculo da área sob uma curva e o cálculo da integral definida de funções reais Aplicar as regras de integração a conceitos das Ciências Sociais Compreender as definições e operações Carga Horária A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula 12

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Conteúdo programático/objetivos Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta disciplina e os seus respectivos objetivos Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de estudo Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação Unidades de estudo: 5 Unidade 1 Integral indefinida Esta unidade apresentará a definição de integral, a relação entre cálculo diferencial e cálculo integral, as regras básicas, as propriedades e algumas aplicações utilizando as regras de integração indefinida Unidade 2 Métodos de integração Nesta unidade, estudaremos dois métodos de integração: o método integração por substituição e o método integração por partes, além de algumas aplicações utilizando os métodos de integração Unidade 3 Integral definida A integral definida será abordada através de sua interpretação geométrica e através do teorema fundamental do cálculo Será estabelecida a sua relação com o cálculo diferencial Todas as regras e métodos estudados na unidade 1 serão retomados para calcular as integrais definidas 13

Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 Aplicação da integral definida Todas as ferramentas trabalhadas nas unidades anteriores serão aplicadas aos seguintes conceitos: renda nacional, consumo e poupança, excedente do consumidor, excedente do produtor, investimento e formação de capital Unidade 5 Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria A álgebra matricial é uma ferramenta de resolução de problemas tão importante quanto o cálculo integral Por este motivo, decidimos abordar este assunto aqui nesta disciplina para que você tenha um suporte para as disciplinas posteriores Os conceitos e propriedades de matrizes serão abordados conforme a necessidade de resolução de um problema de econometria que será apresentado 14

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Agenda de atividades/cronograma Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e professor Não perca os prazos das atividades Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina Atividades obrigatórias Demais atividades (registro pessoal) 15

unidade 1 Integral indefinida 1 Objetivos de aprendizagem Compreender a relação entre integral e derivada Introduzir a definição de integral indefinida Calcular integral de funções reais Aplicar a integral indefinida a problemas que envolvem conceitos de Ciências Sociais Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Primitiva Definição de integral indefinida Regras básicas de integração Aplicações da integral indefinida

Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ao estudar cálculo diferencial, você foi apresentado ao conceito e às técnicas de derivação e aplicou essas técnicas a problemas que envolviam as taxas de variação de uma quantidade em relação à outra Agora o nosso objetivo é o inverso, ou seja, o estudo do cálculo integral vai nos possibilitar descobrir a relação entre duas quantidades conhecendo sua taxa de variação Podemos afirmar que há uma relação muito forte entre cálculo diferencial e cálculo integral, bem como podemos dizer que esta relação tem a mesma ideia das operações inversas Duas operações são inversas quando uma desfaz o que a outra faz, como, por exemplo: multiplicação e divisão 5 3 = 15 15 3 = 5 A partir do cálculo diferencial, explicaremos as definições e provaremos as regras e propriedades do cálculo integral Seção 1 Primitiva Para entendermos a definição de integral indefinida, é preciso conhecer outra definição: a de funções primitivas Uma função F é chamada uma primitiva de intervalo I se F (x) = (x) para todo x em I sobre um Temos, então, que uma primitiva F é a função cuja derivada é a Exemplo 1: F (x) = x 3 é uma primitiva de (x) = 3x, pois F (x) = (x 3 ) = 3x = (x) Exemplo 2: F(x) = 2x 2 é uma primitiva de (x) = 4x, pois F (x) = (2x 2 ) = 4x = (x) Exemplo 3: F(x) = 2x + e x é uma primitiva de (x) = 2 + e x, pois F (x) = (2x + e x ) = 2 + e x = (x) 18

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Mas uma função (x) não tem uma única primitiva Para mostrar este fato, vamos considerar (x) = 3x, sua primitiva F(x) = x 3 e analisar duas funções: H(x) = x 3 + 2 e G(x) = x 3 + 5 Observe a derivada de H(x) e G(x): H'(x) = (x 3 + 2)' = 3x + 0 = 3x = (x) G'(x) = (x 3 + 5)' = 3x + 0 = 3x = (x) Pela definição, H'(x) e G'(x) também são primitivas da função (x) = 3x Portanto, podemos concluir que: a partir de F, uma primitiva já conhecida de para encontrar outras primitivas basta adicionar uma constante Note que H(x) = F(x) + 2 e G(x) = F(x) + 5 O teorema a seguir afirma que, dada uma primitiva, para encontrar outra basta adicionar uma constante qualquer (a demonstração será omitida) Teorema: Seja F uma primitiva de uma função Então, qualquer primitiva de G de deve ser da forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante Uma consequência imediata do teorema é que, dada uma função, se existe uma primitiva, existem infinitas, pois basta adicionar uma constante qualquer à primitiva Exemplo 4: Seja a função Mostre que F é uma primitiva de (x) = x 4 + 4x e escreva uma expressão para todas as primitivas de : Solução: Para mostrar basta derivar F e verificar se é igual a : = x 4 + 4x + 0 = x 4 + 4x = (x) Portanto, F é uma primitiva de Como o teorema afirma que basta somar uma constante qualquer, então + C, onde C é uma constante Unidade 1 19

Universidade do Sul de Santa Catarina Para a compreensão dos exemplos, relembre as regras de derivação Exemplo 5: Sejam F(x) = 3x + 2, G(x)= 3x + 8 e H(x) = 3x + C, onde C é uma constante, prove que F, G e H são primitivas da função ƒ, definida por ƒ(x) = 3 Solução: Para provar que F, G e H são primitivas de ƒ, basta derivar cada uma das funções, então: F (x) = (3x + 2) = 3 + 0 = 2 = ƒ(x) G (x) = (3x + 8) = 3 + 0 = 2 = ƒ(x) H (x) = (3x + C) = 3 + 0 = 2 = ƒ(x) Portanto, F, G e H são primitivas de ƒ Exemplo 6: Prove que a função G(x) = 2x é uma primitiva da função ƒ(x) = 2 Escreva uma expressão geral para as primitivas de ƒ: Solução: Derivando G(x), temos: G (x) = (2x) = 2 = ƒ(x) Então, G(x) = 2x é uma primitiva de ƒ(x) = 2 Para encontrar uma expressão geral, basta adicionar uma constante, ou seja, G(x) = 2x + C, onde C é uma constante qualquer Seção 2 Definição de integral indefinida Na seção anterior, apresentamos a definição de primitivas de uma função, mas não foi formalizado o processo para determinar todas as primitivas de uma função, denominado integração Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função, é usado o símbolo, chamado de sinal de integração, da seguinte forma: 20

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Leia-se: [ a integral indefinida ƒ(x) em relação à x é igual a F(x) mais C ], onde ƒ é o integrando, C é a constante de integração, dx indica que a operação é sobre a variável independente x Atenção: Se a variável independente for y, temos, ou seja, a integral indefinida é calculada sobre a variável y A integral indefinida de uma função é a família de primitivas desta função, representada acima por F(x) = C, onde F(x) é uma primitiva particular de ƒ e C é uma constante arbitrária No exemplo 6 da seção 1, o enunciado pede uma expressão geral para as primitivas de ƒ Este problema pode ser rescrito da seguinte forma: Exemplo 1: Encontre a integral indefinida : Solução: Como já conhecemos uma primitiva de ƒ(x) = 2, temos: Utilizando a definição de integrais indefinidas e as informações dos exemplos da seção 1, mesmo sem conhecer as regras, propriedades e os métodos de integração, podemos compreender os seguintes exemplos: Exemplo 2: Exemplo 3: Exemplo 4: Unidade 1 21

Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 Regras básicas de integração Para calcular a integral indefinida não é preciso ficar adivinhando as primitivas do integrando, pois existem regras, propriedades e métodos para facilitar o cálculo integral Nesta seção, estudaremos algumas regras básicas e propriedades de integração Todas as regras serão provadas através do cálculo diferencial e, para melhor compreensão, seguidas de exemplos Em todas as regras e propriedades, vamos considerar o integrando ƒ e a primitiva F(x) Regra 1: Integral indefinida de uma constante (k uma constante) A integral indefinida de uma função constante é igual à constante multiplicada pela variável independente mais uma constante arbitrária Prova: Vamos derivar a primitiva F'(x) = (k + C)' = k + 0 = k Como temos dx, a variável independente é x Note que, dy indica que a integral indefinida é sobre a variável independente y Portanto, é uma integral indefinida de uma constante, então: = ty + C e é um número irracional cujo valor é 2,7182818 Exemplo 1: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) b) c) 22

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Solução: Nas três integrais indefinidas o integrando é uma constante, então basta aplicar a regra 1: a) b) c) Regra 2: Integral indefinida de uma potência (n - 1) A integral indefinida de uma potência é igual a outra função potência com expoente aumentado em uma unidade, dividida pelo novo expoente mais uma constante Prova: Para provar esta regra, vamos relembrar como se deriva uma potência Basta diminuir o expoente em uma unidade e multiplicar a expressão pelo expoente Agora, é só aplicar a regra de derivação: Exemplo 2: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) b) c) Solução: Todos os integrandos são funções potências com expoente Para aplicar a regra 2, aumentaremos em uma unidade o expoente do integrando e dividiremos a expressão pelo novo expoente; ou seja, exatamente o contrário da derivação: a) b) Unidade 1 23

Universidade do Sul de Santa Catarina c) Se você encontrou dificuldade para compreender a resolução dos itens b e c, pesquise sobre soma de frações e propriedade de potência Retome o material visto na disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I ou pesquise na bibliografia listada no saiba mais Regra 3: A integral indefinida de uma função exponencial (a > 0) log e a = ln a, logaritmo de base e é igual a ln A integral indefinida de uma função exponencial é igual à mesma função exponencial, dividida por logaritmo de a (base da função exponencial), na base e mais uma constante Prova: Vamos aplicar a regra de derivação de funções exponenciais: Um caso particular da integral indefinida de uma função exponencial é quando temos como base da potência o número e Note: A integral definida da função exponencial com base e é igual à própria função, isto ocorre porque ln e = 1 24

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Calcule as integrais indefinidas: a) b) Solução: Os integrandos das integrais indefinidas são funções exponenciais Portanto, vamos aplicar diretamente a regra 3: a) b) Regra 4: A integral indefinida de uma potência quando n = 1 A integral indefinida de uma potência, quando n = 1, é igual ao logaritmo do módulo da base da potência na base e mais uma constante Prova: Para provar a regra 4, temos que lembrar como se deriva ln x: Exemplo 4: Calcule a integral indefinida Solução: Como, então basta aplicar a regra 4: Unidade 1 25

Universidade do Sul de Santa Catarina Propriedades Além dessas quatro regras sobre as integrais indefinidas imediatas, temos duas propriedades que facilitam o cálculo das integrais indefinidas São elas: Propriedade 1 A integral indefinida de uma função multiplicada por uma constante: (c é uma constante) Quando um fator constante multiplica o integrando, este fator pode ser passado para fora da integral indefinida Exemplo 5: Calcule as integrais indefinidas: a) b) c) Soluções: a) O integrando é uma função potência multiplicada por uma constante, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 2 onde C = 3K Se K é uma constante arbitrária, multiplicada por outra constante não nula, o resultado é uma constante arbitrária b) O integrando é uma função exponencial multiplicada por uma constante, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 3: Note que omitimos a multiplicação das constantes, pois não é necessário indicar 26

Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) O integrando é uma função potência com expoente n = 1, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 4: Propriedade 2 A integral indefinida da soma e subtração de funções Quando a integral indefinida envolve uma soma ou uma subtração de duas ou mais funções, podemos calcular a soma ou subtração de suas integrais indefinidas Exemplo 6: Calcule as integrais indefinidas: a) b) Soluções: a) Primeiro vamos aplicar a propriedade 2: Temos que a primeira integral indefinida é uma função potência, então se aplica a regra 2 Já a segunda é uma função exponencial com base e, por isso aplica-se a regra 3 A terceira é uma função constante, assim aplica-se a regra 1 Unidade 1 27

Universidade do Sul de Santa Catarina Como C 1, C 2 e C 3 são constantes arbitrárias, o resultado após somá-las e subtraí-las é uma constante arbitrária Portanto, b) Primeiro vamos aplicar a propriedade 2: Note que nas duas primeiras integrais indefinidas o integrando está multiplicado por uma constante, então aplicaremos a propriedade 1: Para cada integral indefinida aplica-se a regra de acordo com o integrando, sendo que a primeira o integrando é uma função potência, a segunda, uma exponencial de base e e, a terceira, uma função constante Como C 1, C 2 e C 3 são constantes arbitrárias, o resultado, após multiplicá-las por constantes não nulas, somá-las e subtraí-las, é uma constante arbitrária Portanto, Para facilitar seu estudo, segue o quadro que contém todas as regras e propriedades apresentadas nesta seção: 28

Cálculo Integral nas Ciências Sociais REGRA/PROPRIEDADE FUNÇÃO INTEGRAL INDEFINIDA Integral indefinida de uma constante Integral indefinida de uma potência A integral indefinida de uma função exponencial ƒ(x) = k k uma constante ƒ(x) = x n ƒ(x) = a x a > 0 n 1 A integral indefinida de uma função exponencial (base e) A integral indefinida de uma potência quando n = 1 A integral indefinida de uma função multiplicada por uma constante A integral indefinida da soma de funções A integral indefinida da subtração de funções ƒ(x) = e x ƒ(x) = x 1 Qualquer função Quaisquer funções Quaisquer funções Quadro 11 Resumo das fórmulas da seção Fonte: Elaboração das autoras (2011) Seção 4 Aplicações da integral indefinida Nosso objetivo em estudar o cálculo integral é saber a relação entre duas quantidades, conhecendo sua taxa de variação Agora que já conhecemos as regras e propriedades de integral indefinida, podemos aplicá-las a alguns problemas, conforme seguem os exemplos de aplicação de integral indefinida: Exemplo 1: A circulação de certa revista é de 2000 exemplares por semana O editor-chefe da revista projeta uma taxa de crescimento de exemplares por semana, daqui a t semanas, pelos próximos dois anos Com base nesta projeção, qual será a circulação da revista daqui a 64 semanas? Unidade 1 29

Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: As duas quantidades, cuja relação queremos determinar, são: a circulação da revista e o tempo em semanas A relação é dada pela função S(t), que é a circulação da revista daqui a t semanas Temos a taxa de crescimento, ou seja, Então, para saber a função S(t), basta integrar : Como a solução de uma integral indefinida é uma família de primitivas, temos infinitas soluções para a integral, mas o problema determina que, no tempo zero, a circulação da revista é de 2000 exemplares Por isso, usaremos este dado para achar uma solução particular do problema Assim: Para t = 0, S(0) = 2000 Então: Portanto, C = 2000 e a solução é: 30

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Assim, a circulação da revista daqui a 64 semanas será de: exemplares por semana Exemplo 2: Suponha que, entre 1999 e 2008, das motos novas vendidas no mercado do Brasil, a porcentagem vendida pela empresa A estava variando à razão de: ƒ(t) = 0,0213t 3 + 0,12t 2 1,6 ( 0 t 8) por cento ao ano t (t = 0 corresponde ao início de 1999) A fatia de mercado da empresa no início de 1999 era de 40,2% Qual era a fatia de mercado da empresa A no início de 2008? Solução: Como a informação dada é sobre a variação da porcentagem em relação ao ano, integrando a função que representa a variação, iremos obter a função da fatia do mercado em relação ao ano t Seja F(t) a função da fatia do mercado da empresa A em relação ao ano t, temos: F(t) = 0,005325t 4 + 0,04t 3 1,6t + C Para determinar o valor da constante C, utilizamos o valor da função no ano zero, ou seja, do ano 1999 F(0) = 0,0053259(0) 4 + 0,04(0) 3 1,6(0) + C = 40,2 Portanto, C = 40,2 e a função é: F(t) = 0,005325t 4 + 0,04t 3 1,6t + 40,2 Unidade 1 31

Universidade do Sul de Santa Catarina Encontramos a função da fatia do mercado da empresa A em relação ao ano t Para o ano 2008 t = 8, então: F(8) = 0,005325(8) 4 + 0,04(8) 3 1,6(8) + 40,2 F(8) = 0,005325(4096) + 0,04(512) 1,6(8) + 40,2 F(8) = 21,8112 + 20,48 12,8 + 40,2 F(8) = 26,06 Assim, a fatia do mercado da empresa A em 2008 era de 26,06% Exemplo 3: As projeções são que a taxa de variação do Produto Interno Bruto (PIB) de certo país é G(t) = 2t + 2 0 t 0 bilhões de reais ao ano t (t = 0 corresponde a 2011) O PIB deste país é de 50 bilhões de reais em 2011 Qual será o produto PIB deste país no ano de 2014? Solução: O problema nos pede o PIB em 2014, ou seja, t = 3, mas não temos a função que determina o PIB em relação ao tempo, e sim a taxa de variação do PIB em relação ao tempo Para encontrar a função, integraremos a taxa de variação e denominar a função que determina o PIB em relação ao tempo de N(t): N(t) = t 2 + 2t + C 32

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a constante C, vamos calcular o valor da função para t = 0, ou seja, N(0) = 50 N(0) = (0) 2 + 2(0) + C = 50 Portanto, C = 50 e a função que determina o PIB em relação ao tempo é: N(t) = t 2 + 2t + 50 em bilhões de reais ao ano Para determinar o PIB em 2014, basta substituir, na função t = 3: N(3) = (3) 2 + 2(3) + 50 N(3) = 9 + 6 + 50 = 65 Então, no ano de 2014, o PIB será de 65 bilhões Dada uma função total na Economia, como, por exemplo, o custo total, para encontrar a função custo marginal é preciso derivar a função custo total, sendo esta uma aplicação de derivada Nosso problema aqui é o inverso: dada uma função marginal (por exemplo, o custo marginal), para encontrar o custo total é preciso integrar a função marginal, sendo esta uma das aplicações de integral Exemplo 4: Em uma fábrica de móveis, o custo marginal diário associado à produção de camas é dado por: C'(x) = 0,008x 3 8x + 20 onde C'(x) é medido em reais/unidade e x denota o número de unidades produzidas O custo fixo diário incorrido na produção das camas é de R$ 600,00 Determine o custo total incorrido pela fabrica ao produzir 80 camas/dia Unidade 1 33

Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: Para determinar a função custo vamos integrar a função custo marginal: Como a função custo é C, determinamos K como constante de integração para não confundir as notações Assim: C(x) = 0,002x 4 4x 2 + 20x + K Encontramos a função custo, falta determinar K, a constante de integração Como o problema informa, o custo fixo diário é de R$ 600,00, ou seja, independentemente da quantidade produzida a fábrica terá este custo Calcularemos o custo através da função para x = 0: C(x) = 0,002(0) 4 4(0) 2 + 20(0) + K = K Para nenhuma cama produzida teremos o custo igual a K Portanto, K é o custo fixo e a função custo que queremos é: C(x) = 0,002x 4 4x 2 + 20x + 600 Assim, na produção de 80 camas/dia o custo incorrido é: C(80) = 0,002(80) 4 4(80) 2 + 20(80) + 600 C(80) = 0,002(40960000) 4(6400) + 1600 + 600 C(80) = 81920 25600 + 1600 + 600 C(80) = 58520 O custo total incorrido pela fábrica ao produzir 80 camas/dia é de R$ 58520,00 34

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Ficou com dificuldade para compreender os problemas? Pesquise sobre funções marginais em economia nos livros de Matemática aplicada à Economia, listados no Saiba Mais Síntese Nesta unidade, você estudou os principais conceitos de integral indefinida e suas primitivas Com esses conceitos baseados em fórmulas, você pode calcular uma integral indefinida, ou seja, encontrar uma expressão ou infinitas funções que são primitivas da função que você deseja integrar Como em cálculo sempre se faz necessário o uso dessas funções, vimos algumas regras de integração que são importantes para aplicações no seu curso E, por fim, aplicamos os conceitos desenvolvidos em exemplos práticos envolvendo decisões nas Ciências Sociais Unidade 1 35

Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação O gabarito está disponível no final do livro didático Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem 1) Em cada alternativa, prove que F é primitiva de ƒ: a) ; ƒ(x) = 2x 5 + 3x 2 + 8 b) F(x) = ln x + e 2x ; c) ; 2) Sejam F(x) = e 5x+1 e G(x) = e 5x+1 + 8, prove que F e G são primitivas da função ƒ definida por ƒ(x) = 5 e 5x+1, e encontre todas as primitivas de ƒ 3)Calcule as integrais indefinidas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 36

Cálculo Integral nas Ciências Sociais m) n) o) 4) A implantação de uma empresa multinacional nos arredores de uma cidade aumentará a população da mesma a uma taxa de pessoas/ano, sendo t o número de anos após a implantação A população, antes da implantação, é de 25000 habitantes Determine a população projetada quatro anos após o início da implantação da empresa Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: TAN, S T Matemática aplicada à Administração e Economia São Paulo: Thomson, 2003 WEBER, J E Matemática para Economia e Administração 2 ed São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1986 Unidade 1 37

unidade 2 Métodos de integração 2 Objetivos de aprendizagem Compreender o método de integração por substituição Relacionar o método de integração por substituição à regra da cadeia do cálculo diferencial Compreender o método de integração por partes Relacionar o método de integração por partes à regra do produto do cálculo diferencial Aplicar a integral indefinida a problemas que envolvem conceitos de ciências sociais usando os métodos de integração Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Método de integração por substituição Método de integração por partes Aplicações de integrais indefinidas usando os dois métodos de integração

Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Na unidade anterior, as integrais indefinidas calculadas eram imediatas e relacionadas diretamente a uma regra do cálculo diferencial Essa relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral é que permitirá compreender os dois métodos abordados nesta unidade Os dois métodos, método de integração por substituição e método de integração por partes, aplicam funções cuja primitiva não é encontrada de imediato, assim como na integral indefinida Não basta saber a regra de diferenciação; é preciso um olhar mais detalhado para a função e, ainda, saber qual dos dois métodos utilizar para integrá-la Como fazer a escolha é o que iremos explicar nesta unidade Seção 1 Método de integração por substituição O método de integração por substituição está relacionado à regra da cadeia do cálculo diferencial Vamos explicar o método e a que funções é aplicado através do seguinte exemplo: Considere a integral indefinida Observando o integrando, notamos que não é possível aplicar as regras vistas, pois não conhecemos a função primitiva do integrado Assim, vamos fazer uma troca de variável, ou seja: u = 5x 2 + 8 o diferencial de u é du = 10xdx Para você entender melhor a substituição, relembre a definição de diferencial de uma função: Definição diferencial de y : y = ƒ(x) é y = ƒ'(x)dx 40

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos substituir na integral, du = 10xdx u = 5x 2 + 8 e Após a substituição, a integral indefinida tem, como integrando, uma função potência, que é facilmente integrável ao utilizar a regra de integral indefinida de uma potência Então, Como a nossa integral indefinida, antes da mudança de variável, era sobre a variável x, para a solução ficar completa basta substituir u = 5x 2 + 8 na solução Portanto, Desta forma, o método de integração por substituição tem como objetivo transformar um integrando complicado, cuja primitiva não conhecemos, em um integrando mais simples, cuja primitiva já é conhecida Para entender como funciona o processo e a relação com a regra da cadeia do cálculo diferencial, vejamos como funciona o método de integração por substituição Unidade 2 41

Universidade do Sul de Santa Catarina Seja, ƒ(x) = x 3 e g(x) = 5x 2 + 8, então nosso integrando, antes da substituição, era da seguinte forma: ƒ(g(x))g'(x) = (5x 2 + 8) 3 10x e nossa integral indefinida A substituição feita foi em que u = g(x) e du = g'(x) Suponha que F é uma primitiva de ƒ, e então, Para provar que F(u) + C é a solução da integral indefinida, vamos derivar F(u) + C utilizando a regra da cadeia do cálculo diferencial: Portanto, Comparando com o nosso exemplo, É assim que o método de integração por substituição funciona e é aplicado a integrando do tipo ƒ(g(x))g'(x) Para compreender melhor o método, seguem alguns exemplos: Exemplo 1: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 3 e g(x) = x 3 + 10 Portanto, podemos resolver usando o método da substituição Para facilitar, definimos a seguir alguns passos para a resolução: Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(x); portanto, u = x 3 + 10 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du=3x 2 dx Passo 3: Fazer a substituição: 42

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: Exemplo 2: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 6 e g(x) = e x + 5 Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x) Portanto, u = e x + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = e x dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência: Passo 5: Retornar à variável x: Unidade 2 43

Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 3: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 2 e g(x) = x 4 15: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x 4 15 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 4x 3 dx Passo 3: Fazer a substituição: Neste caso, a substituição não é imediata Falta uma constante 4 multiplicando x 3 dx para resolver este problema Note que e 1 é o elemento neutro da multiplicação Usando a propriedade agora podemos fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência:, 44

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 5: Retornar à variável x: Exemplo 4: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(y) = e y e g(y) = 2y Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(y); portanto, u = 2y Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2y Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável y: Exemplo 5: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = e x e g(x) = 3x 2 Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 3x 2 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 6xdx Unidade 2 45

Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Fazer a substituição: Como no exemplo 3, a substituição não é imediata Vamos usar a mesma propriedade: Agora podemos fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável x: Exemplo 6: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 2 e g(x) = ln x Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = ln x Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência: 46

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 5: Retornar à variável x: Para facilitar seu estudo, leia no quadro 21 um resumo para aplicação do método de integração por substituição Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Método de integração por substituição Integrando ƒogxg' Fazer a escolha de u, u é sempre a g Calcular o diferencial de u Fazer a substituição Calcular a integral indefinida Retornar à variável inicial Quadro 21 Método de integração por substituição Fonte: Elaboração das autoras (2011) Seção 2 Método de integração por partes O método de integração por partes, assim como o método de integração por substituição, está relacionado a uma regra do cálculo diferencial A regra que correspondente ao método de integração por partes é a regra do produto, e é a partir dela que iremos deduzir a fórmula usada neste método A regra do produto afirma que se ƒ e g são diferenciáveis, então (ƒ(x)g(x)) = ƒ(x)g'(x) + g(x)ƒ'(x) Vamos integrar os dois lados da equação em relação à x: Unidade 2 47

Universidade do Sul de Santa Catarina Como ƒ(x)g(x) é uma primitiva de (ƒ(x)g(x)), então e a equação pode ser escrita desta forma: Esta é a fórmula de integração por partes, que ainda pode ser simplificada da seguinte forma:, u = ƒ(x) du = ƒ'(x)dx dv = g'(x)dx v = g(x) A fórmula de integração por partes é Note que o método não calcula diretamente a integral indefinida, mas a transforma em uma integral indefinida mais simples, que pode ser resolvida usando uma das regras já vistas ou o método de integração por substituição O que é muito importante para a sua eficiência são as escolhas de u, dv Para compreender melhor o método, vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Calcular : Solução: Nenhuma regra de integração já vista pode ser aplicada, pois o integrando não é uma função cuja primitiva já conhecemos O método da substituição não pode ser aplicado porque o integrando não é uma composição de funções Para integrar esta função, usaremos o método de integração por partes Vamos definir dois critérios para a escolha de u e dv para facilitar 48

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Critérios: 1 u tem que ser a função em que du é mais simples; 2 dv tem que ser fácil de integrar Passo 1: Obedecendo aos critérios, vamos escolher u e dv: u = x dv = e x dx Observe que, se escolhermos u = e x, então du = e x dx e não obedece ao critério 1, pois u e du são a mesma função Passo 2: Determinar du e v: u = x ldx = dx de integração) (desconsideramos a constante Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: Unidade 2 49

Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 2: Calcular Solução: Passo 1: Obedecendo aos critérios de escolha definidos para u e dv, vamos escolher u e dv: u = ln x dv = xdx Observe que, se escolhermos dv = ln xdx, a integral é complicada e ainda não sabemos como resolvê-la Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: 50

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Calcular : Solução: Como foi comentado no exemplo 2, ainda não conhecemos a integral indefinida de ln x, mas com o método de integração por partes é possível calcular, como veremos agora: Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv = dx Passo 2: Determinar du e v: integração) (desconsideramos a constante de Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: Exemplo 4: Calcular : Solução: Para calcular esta integral indefinida teremos de aplicar o método de integração por partes duas vezes Para algumas integrais, a repetição da aplicação do método de integração por partes é necessária Unidade 2 51

Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 1: Escolher u e dv: u = (ln x) 2 dv = xdx Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Esta integral foi resolvida no exemplo 2, pelo método de integração por partes Se não fosse conhecido o resultado, teríamos que aplicar o método de integração por partes novamente: Passo 5: Escrever a solução completa: Exemplo 5: Calcular : Solução: Podemos reescrever a integral : Passo 1: Escolher u e dv: u = x 52

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 2: Determinar du e v: u = x du = dx Para que algumas integrais sejam resolvidas, é preciso aplicar os dois métodos de integração Para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo, neste exemplo usaremos o método integração por substituição para determinar v, em que s é a variável de substituição Assim, : Escolher s, s = x 3 Determinar ds, ds = dx Fazer a substituição, Calcular a integral indefinida : Retornar à variável x: Portanto, (desconsideramos a constante de integração) Passo 3: Aplicar a fórmula : Unidade 2 53

Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Resolver Para calcular esta integral, teremos de aplicar novamente o método substituição, em que t é a variável de substituição: Escolher t, t = x 3 Determinar dt, dt = dx Fazer a substituição Calcular a integral indefinida: Retornar à variável x: Passo 5: Escrever a solução completa: Para facilitar seu estudo, segue resumo para aplicação do método de integração por partes, no quadro 22: 54

Cálculo Integral nas Ciências Sociais Método de integração por partes Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Escolher u e dv Determinar du e v Aplicar a fórmula Resolver Escrever a solução completa Quadro 22 Método de integração por partes Fonte: Elaboração das autoras (2011) Seção 3 Aplicações da integral indefinida usando os dois métodos de integração Nesta unidade, os dois métodos de integração serão aplicados a situações práticas Serão apresentados três problemas cujas soluções requerem a utilização dos métodos de integração Exemplo 1: Um estudo feito pelo departamento de marketing de uma fábrica de sapatos estima que o novo lançamento outono inverno 2011 no mercado fará com que as vendas cresçam à taxa de 20000 4000e -2t 0 t 5 pares por mês Encontre uma expressão que forneça o número total de sapatos vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado Quantos pares de sapatos a fábrica venderá nos três primeiros meses? Solução: Como é fornecida a taxa de crescimento, para encontrar a expressão que relaciona tempo em meses com a quantidade de sapatos vendidos, basta integrar a função que representa a taxa de variação: Unidade 2 55