ANÁLISE MULTIVARIADA PARA O CONTROLE DA QUALIDADE MICROBIOLÓGICA DO LEITE CRU

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO ANÁLIE MULTIVARIADA PARA O CONTROLE DA QUALIDADE MICROBIOLÓGICA DO LEITE CRU Jeniffer Fonseca Zanitt (UFJ) jzanitt@gail.co Daniela Carine Raires de Oliveira (UFJ) raires.daniela@gail.co Ua fora eficaz de controlar u processo produtivo é através do controle estatístico da qualidade. A crescente aplicabilidade das ferraentas estatísticas da qualidade te contribuído para as epresas e relação à correção de processos de fabricação, pois o uso das esas garante ua redução da variabilidade dos processos e, coo consequência, elhor qualidade. Dentre estas ferraentas, se destaca os gráficos de controle, que tê coo objetivo detectar causas especiais ou inaceitáveis. E geral, o onitoraento é realizado através de gráficos de controle univariados, as o núero de inforações geradas é grande, tornando difícil sua adinistração. Desta fora, é necessário o onitoraento siultâneo das características da qualidade. Para tais situações, destaca-se o gráfico de controle ultivariado baseado na estatística T de Hotelling e, para a análise de u sinal fora de controle, o étodo da decoposição da estatística T. Este trabalho teve por objetivo elhorar a qualidade do leite cru recebido por u laticínio situado e ão João del-rei-mg, através da análise das características icrobiológicas (contage de células soáticas, contage bacteriana total), utilizando essas ferraentas ultivariadas, co o auxílio do software estatístico livre R, versão 3..3. Através deste trabalho foi possível ostrar ua técnica ais adequada, para possibilitar ua intervenção no processo no oento e que ocorria a causa especial e sugerir elhorias. Cabe ressaltar que co essa nova prática de controle de qualidade, houve ua elhora no produto final, acarretando ua fidelização de clientes e u ipacto significativo nos lucros. Palavras-chave: Gráfico T de Hotelling, decoposição da estatística T, distribuição noral ultivariada

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO. Introdução Ua fora eficaz de controlar u processo produtivo é através do controle estatístico da qualidade. A crescente aplicabilidade das ferraentas estatísticas da qualidade te contribuído para as epresas e relação à correção de processos de fabricação, pois o uso das esas garante ua redução da variabilidade dos processos e, coo consequência, elhor qualidade. Dentre estas ferraentas, se destaca os gráficos de controle, que tê coo objetivo detectar causas especiais ou inaceitáveis. E geral, o onitoraento é realizado através de gráficos de controle univariados, as o núero de inforações geradas é grande, tornando difícil sua adinistração. Alé disso, esse procediento pode ser deficiente, pelo fato de ignorar as correlações que possa existir entre as características de interesse. Desta fora, é necessário o onitoraento siultâneo de duas ou ais características da qualidade. Para tais situações utiliza-se os gráficos de controle ultivariados. Dentre os gráficos ultivariados existentes, pode-se utilizar o gráfico de controle ultivariado (GCM) baseado na estatística T de Hotelling. O gráfico de controle ultivariado baseado nessa estatística apresenta ais sensibilidade do que os gráficos univariados, peritindo ao operador detectar ais rapidaente os possíveis probleas existentes no processo. Henning et al (0), utilizara o gráfico T² de Hotelling para onitorar u processo de usinage e u setor etaloecânico. Esse processo possuía três variáveis, isto é, fora onitoradas três cotas e ua esa peça. Oyeyei (0) apresenta o gráfico T² de Hotelling para o controle do processo de produção de u detergente, considerando quatro características. O T² de Hotteling foi aplicado por ingh e Kuar (0) para coparar a qualidade da água de duas estações de onitoriento utilizando quatro características. Oliveira e ouza (008) utilizara gráficos de controle e a decoposição da estatística T² de Hotelling para o onitoraento no treinaento de natação, verificando a relação entre as variáveis condicionantes do rendiento de atletas na prova de 500. Dentre os trabalhos citados, apenas alguns ostrara o procediento adotado para avaliar os pontos fora de controle no gráfico T² de Hotelling. Montgoery (009) enciona que a aior dificuldade encontrada ao se lidar co qualquer gráfico de controle ultivariado é a interpretação prática de u sinal fora de controle. O eso apresenta alguns autores e seus étodos, as destaca o uso do étodo de decoposição da estatística T, proposto por Runger, Alt e Montgoery (996).

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Co o objetivo de elhorar a qualidade do leite, o Prograa Nacional de Melhoria da Qualidade do Leite (PNQL) quer udar a fora de se produzir o leite no Brasil, garantindo à população o consuo de produtos lácteos ais seguros, nutritivos e saborosos, alé de proporcionar condições para auentar o rendiento dos produtores (DÜRR, 005). Diante disto, a cidade de ão João del-rei - MG possui u laticínio que te trabalhado exaustivaente no controle de qualidade de seus produtos, onde seu produto principal é o leite de saquinho. Para avaliação da atéria-pria (leite cru), co base nas especificações físico-quíicas e icrobiológicas estipuladas pelo Ministério da Agricultura, Pecuária e Abasteciento, o setor responsável faz ensurações de diversas características siultaneaente. Portando, este trabalho te por objetivo elhorar a qualidade do produto coercializado por este laticínio, utilizando as ferraentas ultivariadas (gráfico T de Hotelling e a decoposição da estatística T, para avaliar possíveis pontos fora de controle), co o auxílio do software estatístico livre R, versão 3..3. Cabe ressaltar que a contribuição deste trabalho está na elhoria da qualidade do produto deste laticínio, através do uso de ferraentas estatísticas ultivariadas adequadas.. Revisão bibliográfica.. Coeficiente de autocorrelação Para a verificação da autocorrelação, o ebasaento teórico foi obtido de Montgoery (009) e Morettin e Toloi (008). A suposição ais iportante relativa aos gráficos de controle é a independência das observações, porque alguns gráficos de controle não tê u bo desepenho se as características da qualidade e estudo apresenta níveis de correlação ao longo do tepo, o que é definido por autocorrelação. Nesse contexto, a construção de correlograas auxilia no estudo da autocorrelação entre as variáveis. Desta fora, a regra de decisão adotada foi a verificação da ultrapassage ou não dos pontos nos liites dos correlograas, construídos co u grau de confiança de 95%. Portanto, caso não exista algu ponto que ultrapasse os intervalos, as observações são independentes e os dados não são autocorrelacionados... Verificação da noralidade ultivariada Para a verificação da suposição de noralidade ultivariada foi utilizado o pacote MVN versão 3.9 (KORKMAZ et al., 05). Para este estudo foi adotado u nível de significância de 0,05, e fora utilizados os testes de: Henze-Zirkler, Mardia e o de Royston. 3

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO.3. Gráfico T² de Hotelling Essa seção foi baseada no livro de Montgoery (009) co a adição de detalhes atriciais. Para avaliar processos que apresenta últiplas características da qualidade, pode-se utilizar o gráfico de controle ultivariado (GCM) baseado na estatística T² de Hotelling. É suposto que tais características são forteente correlacionadas e precisa ser onitoradas conjuntaente. O gráfico e questão foi desenvolvido por Hotelling (947), o pioneiro na pesquisa sobre os gráficos de controle ultivariados. Ele utilizou a abordage ultivariada de controle e dados contendo inforações sobre localizações de bobardeios na egunda Guerra Mundial. O desenvolviento teórico proposto por Hotelling é descrito a seguir. E geral, e u processo, o vetor de édias µ e a atriz de variâncias e covariâncias das variáveis envolvidas são desconhecidos. Na prática µ e são estiados por eio de aostras preliinares, quando o processo está sob controle estatístico. Os dados no caso ultivariado possue tabé a suposição de que os esos tenha distribuição noral ultivariada. As observações pode ser organizadas atricialente da seguinte aneira: n n p p np ; n n p p np n k k k k k n k pk pk npk, () e que ijk é a i-ésia observação, da j-ésia característica de qualidade no k-ésio instante e que foi retirado a aostra, co i =,,..., n, j =,,..., p e k =,,...,. A estatística T de Hotelling é definida da seguinte aneira: T n( ) ( ), () e que é a estiativa do vetor de édias de diensão px e é a estiativa da atriz de variâncias e covariâncias do processo co diensão pxp. O vetor é obtido da seguinte fora: k, (3) p jk px k k 4

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO e que, n jk ijk n i, j =,,..., p e k =,,..., (4) O cálculo da expressão (4) é realizado por eio da édia de cada coluna das atrizes apresentadas e (); e seguida, a expressão (3) é obtida da seguinte fora: a prieira linha é a édia das prieiras colunas das k atrizes e (), a segunda linha é a édia das segundas colunas das k atrizes e () e assi por diante, até chegar a p-ésia linha de (3). Já a estiativa de é obtida por: k k k k k p k () k p ( p) k k k k k k pk pp k k k k A covariância entre as características da qualidade j e h na k.ª aostras é dada por: jhk n A expressão da estatística T n ijk jk ihk hk i p p p pxp (5), k =,,..., e j h (6) e () é utilizada coo base para o gráfico de controle ultivariado. egundo Alt (985), há duas fases distintas no uso de u gráfico de controle. A fase é o uso dos gráficos para o estabeleciento do controle, ou seja, testar se o processo estava, ou não, sob controle quando os subgrupos preliinares fora extraídas e as estatísticas aostrais e, calculadas. O objetivo na fase é a obtenção de u conjunto de observações sob controle, de odo que os liites de controle possa ser estabelecidos para a fase, que é o onitoraento da produção futura. Isto é, às vezes, chaado análise retrospectiva. Neste estudo, será abordado apenas a fase. Os liites de controle para o gráfico de controle T² na fase são dados por:.4. Decoposição da estatística T² p( )( n ) LC F, p, n p e LIC = 0, (7). n p Runger et al. (996) propõe a decoposição da estatística T e coponentes. As coponentes originadas pela decoposição reflete a contribuição de cada variável (ou característica de qualidade) individualente. e T é o valor da estatística de todas as 5

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO variáveis e então a expressão: T i é o valor da estatística para todas as variáveis do processo exceto a i-ésia, d i T T i, i =,,..., p (8) é u indicador da contribuição relativa da i-ésia variável para a estatística global. Quando u sinal fora de controle é gerado, é recoendado calcular os valores de d i (i =,,..., p) e concentrar a atenção nas variáveis para os quais os d i são relativaente grandes. 3. Metodologia O estudo de caso foi realizado e u laticínio da cidade de ão João del-rei, Minas Gerais. A epresa realiza as coletas do leite nas fazendas para posterior análise, processaento e produção de seus produtos. O objetivo foi proporcionar à epresa técnicas adequadas de onitoraento de processos para a elhoria contínua da qualidade do produto final oferecido. Portanto, a prieira etapa deste trabalho foi o estudo do banco de dados co os indicadores da qualidade do leite, fornecido pelas análises físico-quíicas e icrobiológicas, realizadas nas aostras do leite dos produtores rurais. O processo de controle da qualidade do leite te coo finalidade anter as características padrões do leite para o consuo huano. Desta fora, os indicadores de qualidade abordados fora a Contage Bacteriana Total (CBT), que indica a containação no leite expressa e Unidade Foradora de Colônia por ililitro (UFC/l), e a Contage de Células oáticas (CC), ua análise laboratorial onde o auento da CC no leite indica se o anial está co astite subclínica, expressa e células/l (DÜRR, 005). Co a análise destas características será possível detectar possíveis causas especiais (variabilidades fora do cou) que esteja influenciando na qualidade do leite, de odo que a investigação e a ação corretiva possa ser realizadas antes que os produtos seja distribuídos inadequadaente. 3.. Área de aplicação e descrição do processo Dentre os serviços realizados pela epresa, foi escolhida pela esa a avaliação do processo de coleta e análise da atéria pria, o leite cru refrigerado. Pois através do controle da qualidade da atéria pria inicial, será agregada aior qualidade às características dos produtos finais. O processo de coleta do leite cru refrigerado nas fazendas é realizado da seguinte fora: Prieiro os carreteiros da epresa vão diariaente até as diferentes fazendas dos produtores rurais e coleta o leite, este é arazenado e tanques de refrigeração nos cainhões. 6

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Quando chega à epresa, são retiradas aostras de cada produtor para posterior análise. Coo essas análises laboratoriais do leite são realizadas ensalente pela EMBRAPA (Epresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária, 04, 05), a coleta das aostras é realizada apenas na prieira seana de cada ês, onde as esas são encainhadas para a EMBRAPA. Na EMBRAPA são realizadas as análises quanto às diversas caraterísticas do leite, coo a quantidade de gordura, proteína, lactose, CC, CBT entre outras, para averiguar se essas características estão dentro dos padrões, para cada produtor. Depois de analisadas, a EMBRAPA encainha para a epresa relatórios co os valores obtidos por cada fornecedor nas diferentes características já citadas. Nestes relatórios, os valores para CC e CBT deve ser ultiplicados por 000, as os gráficos serão gerados co base nos dados originais dos relatórios. Co esses valores a epresa pode averiguar coo cada fornecedor está fazendo sua ordenha, a higiene do anial, do ordenhador e das instalações, ou o próprio arazenaento. Para este trabalho nas fazendas, a epresa conta co o auxílio de u zootecnista para instruir e ajudar os fazendeiros na elhoria da qualidade do leite. 3.. Coleta de dados Para a coleta de dados, foi elaborada ua folha de verificação que conté as principais características do leite - deterinada pela EMBRAPA. Coo o arazenaento do leite cru pelos produtores pode ser realizado de duas aneiras (leite cru e tanques de refrigeração ou e latões iersos e água gelada), neste estudo foi analisado apenas as aostras dos produtores que utiliza o étodo de arazenaento e tanques. A coleta foi feita ensalente, através da aostra de u fornecedor específico. Este fornecedor foi escolhido por apresentar os piores índices édios nas referidas características. Cabe ressaltar que a coleta de dados foi realizada entre os eses de Janeiro de 04 à Março de 05. Coo o leite é u produto perecível, a epresa funciona continuaente, sendo assi, fora coletados dados referentes a quinze aostras de taanho igual a u, totalizando 5 observações para cada característica da qualidade, sendo elas: quantidade de bactérias (CBT) e células soáticas (CC), pois fora as variáveis ais iportantes para a epresa certificar ao cliente u produto dentro das especificações ideais. 3.3. Análise ultivariada Nesta seção, fora apresentados os detalhes etodológicos das rotinas desenvolvidas para a análise ultivariada. O algorito coputacional foi construído adaptando a teoria 7

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO apresentada no Capítulo co os dados disponíveis pela epresa, obtidos confore a descrição na eção 3.. Os dados são referentes as = 5 aostras, co p = características de qualidade. Os procedientos coputacionais fora os seguintes: prieiro foi necessário construir vetores. Por exeplo, o prieiro vetor (de diensão 5x) possuía as 5 observações de CC e o segundo vetor (de diensão 5x) possuía as 5 observações de CBT. E seguida, fora feitos para cada característica os correlograas. Para a verificação da suposição de noralidade ultivariada foi necessário transforar os dois vetores e ua única atriz, de diensão x5, e que a prieira coluna possuía as 5 observações de CC e a segunda possuía as 5 observações de CBT e utilizou-se os três testes citados na eção., através dos coandos hztest, ardiatest e roystontest (instalar o pacote MVN, para ser executado). E seguida, foi gerado o gráfico T de Hotelling, através do coando ult.chart (instalar o pacote MQC, para ser executado). A decoposição da estatística T é ostrada autoaticaente, quando é pedido o gráfico T. 4. Resultados e discussões Após o levantaento das variáveis do processo e estudo (quantidade de bactérias e células soáticas), a prieira etapa consistiu na verificação das suposições necessárias para aplicar o gráfico de controle ultivariado T² de Hotelling. A prieira suposição verificada, através dos três testes encionados na eção., foi a noralidade ultivariada dos dados. E todos os testes executados o p-valor foi aior do que o nível de significância adotado (0,05), indicando que os dados possue distribuição noral ultivariada. Alé disso, confore visualizado nas figuras abaixo (Figuras e ), os dados não apresenta autocorrelação, isto é, as observações são independentes no tepo. Deste odo, o gráfico de controle proposto pode ser aplicado aos dados observados. Figura Correlograa para CC dos 5 eses e estudo. 8

ACF -0.5 0.0 0.5.0 ACF -0.5 0.0 0.5.0 V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO eries CC 0 4 6 8 0 Lag Fonte: oftware livre R 3..3 (05). Figura Correlograa para CBT dos 5 eses e estudo. eries CBT 0 4 6 8 0 Lag Fonte: oftware livre R 3..3 (05). A Figura 3 ilustra o gráfico T² de Hotelling para os dados de CC e CBT correspondentes a fase. É observado que o processo não está sob controle estatístico, pois a aostra (), referente ao ês de fevereiro de 04 saiu do liite superior de controle. Co isso, a próxia etapa foi identificar qual característica da qualidade e estudo causou o descontrole do processo. Para isso, realizou-se a decoposição da estatística T². Figura 3 - Gráfico T² de Hotelling para CC e CBT dos 5 eses e estudo, co α = 5%, fase. 9

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Hotelling Control Chart 8 UCL= 7.8 6 T 4 0 4 6 8 0 4 aple Fonte: oftware livre R 3..3 (05). Observando os valores de d i (ver Tabela ), foi constatado que o problea era co relação à característica CC, pois neste fator o valor de d i era aior. Tabela - Decoposição da estatística T² para a aostra () do ês de Fevereiro de 04. Aostra d i CC 0,038 CBT 7,876 Fonte: oftware livre R 3..3 (05). Ua investigação foi realizada na epresa, e pôde ser constatado que no ês de Fevereiro de 04, o produtor rural analisado não realizou o trabalho de coleta adequadaente. O erro se deu na á higienização, isto é, não refrigerou o leite o ais rapidaente após a ordenha, co isso, coo as bactérias estão presentes na água, na terra, na palha, no capi, nos corpos e pêlos das vacas, nas fezes, na urina, nas ãos do ordenhador e e utensílios de ordenha sujos, a á higienização elevou o grau de bactérias no leite, deixando-o ipuro. É iportante ressaltar que a epresa dá suporte e relação à execução da higienização do anial, as o zootecnista não está diariaente e cada fazenda vistoriando a ordenha de cada produtor, desta fora, eles deve buscar esta higienização e todo o processo independente se vistoriados ou não. Portanto, foi proposto elhorias para elhor desenvolviento do processo. Ua alternativa para a solução deste problea foi transitir para os produtores novas técnicas de higienização, ressaltando que os esos deve introduzi-las no processo 0

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO de ordenha, pois a epresa não trabalha co leite acia dos valores padrões estipulado para esta característica, deste odo eles perderia quantidade considerável de leite, alé de aior vistoria durante o processo. Figura 4 - Gráfico T² de Hotelling para CC e CBT, co α=5%, fase, se aostra. Hotelling Control Chart 8 UCL= 7.7 6 T 4 0 4 6 8 0 4 aple Fonte: oftware livre R 3..3 (05) O próxio passo foi gerar o gráfico T² de Hotelling excluindo a aostra (Figura 4), onde pôde-se perceber que o processo está sob controle estatístico. 4. Conclusões Este trabalho apresentou o gráfico T² de Hotelling coo ua ferraenta ultivariada que foi aplicada e u laticínio. Essa análise ultivariada gerou resultados significativos para a epresa, ou seja, foi possível ostrar ua técnica ais adequada, para possibilitar ua intervenção no processo no oento e que ocorre a causa especial e sugerir elhorias. No estudo de caso a característica que se ostrou a causa dos probleas, foi o CBT. Aqui foi ostrado que essa característica quando não é controlada, iplica e prejuízos para a epresa, pois o seu descontrole acarreta e diinuição da produção. Outra consideração iportante foi que co essa nova prática de controle de qualidade, houve ua elhora no produto final, acarretando ua fidelização de clientes e u ipacto significativo nos lucros. O uso de u software estatístico livre foi iportante, pois coo se trata de ua epresa de pequeno porte, a esa não detinha condições financeiras para investir na copra de licença de outros softwares. Desta fora, a epresa pretende continuar utilizando as ferraentas

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO propostas neste trabalho para onitorar o processo e questão, buscando a elhoria contínua de seus serviços. Outras epresas poderão se beneficiar desta ferraenta, pois o prograa coputacional para a realização do controle de qualidade ultivariado está disponível no Anexo. AGRADECIMENTO Agradeceos a Fapeig (Fundação de Aparo à Pesquisa do estado de Minas Gerais) pelo auxílio fornecido para o desenvolviento desta pesquisa. REFERÊNCIA DÜRR, J. W. Coo produzir leite de qualidade. 4. ed. Brasília: ENAR, 0. 44 p. HENNING, E.; KONRATH A. C.; WALTER, O. M. F. C.; AMOHYL, R. W. Gráficos de controle ultivariados: u estudo de caso no setor eta-loecânico. P&D e Engenharia de Produção, Itajubá, v. 0, n., p. 43-56, 0. HOTELLING, H. Multivariate Quality Control - illustrated by the air testing of saple bobsights. Techniques of tatistical Analysis. McGraw Hill, New York, 947. KORKMAZ,.; GOKULUK, D.; ZARARIZ, G. Multivariate Norality Tests, 05. MONTGOMERY, D. C. Introduction to tatistical Quality Control. 6 ed. United tate of Aerica: John Wiley & ons, Inc., 009, 734p. MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. M. C. Análise de éries Teporais. ed. ão Paulo: Edgard Bliicher, 008. OLIVEIRA, E. B.; OUA, E. V. O. Estudo da eficácia de Gráficos de controle para o onitoraento de treinaento de natação, na Prova de 500. Utilizando Gráficos de Controle e a Decoposição da Estatística T de Hotelling. 008. Monografia (Especialização e Estatísticas Educacionais) - UFPA, Belé, Pará, 008. OYEYEMI, G. M. Principal Coponent Chart For Multivariate tatistical Process Control. The Online Journal of cience and Technology, Turkey, v., n., p. 3, April 0. R Developent Core Tea. R: A language and environent for statistical coputing. Vienna: R Foundation for tatistical Coputing, 04. Disponível e:<http://www.r-project.org>. Acesso e: 4 April 05. RELATÓRIO de Contage... Epresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA), Juiz de Fora. 04, 05.

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO RUNGER, G. C.; ALT, F. B.; MONTGOMERY, D. C. Contributors to a Multivariate tatistical Process Control ignal. Counications in tatistics Theory and Methods, v. 5, n. 0, 996. INGH Y.; KUMAR M. Application of tatistical Methods to Analyze Ground water Quality. Journal of Earth ciences and Geotechnical Engineering, v., n., p. -7, 0. ZVIRTE, L.; ALVE, C. C.; DE ARAUJO, N. G. A.; HENNING, E. Aplicação de gráficos de controle ultivariados baseados na projeção de dados via Análise de Coponentes Principais. Produção e foco, v., n., p.4-66, Jan./Jun. 0. ANEO PROGRAMA COMPUTACIONAL #Dados separados e sequência, para correlograas CC=c(949,4,603,453,65,40,68,04,666,694,83,850,45,374,76) CBT=c(450,38,738,704,776,585,786,758,747,04,4,633,68,39,64) #Correlograa para CC acf(cc) acf(cc,lag.ax=0,ci=0.95) z=acf(cc) #Correlograa para CBT acf(cbt) acf(cbt,lag.ax=0,ci=0.95) z=acf(cbt) #Testes de Noralidade Multivariada install.packages('mvn') require(mvn) #Reorganizando os dados y=data.frae(atrix(c(cc,cbt),ncol=)) #Testes de noralidade ultivariada roystontest(y, qqplot = FALE) hztest(y, cov = TRUE, qqplot = FALE) ardiatest(y, cov = TRUE, qqplot = FALE) #Matriz co os valores das características da qualidade: Dados=atrix(c(949,450,4,38,603,738,453,704,65,776,40,585,68,786,04,758,666,747,694,04,83,4,850,633,45,68,374,39,76,64)) 3

V ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Dados=array(Dados,di=c(5,,)) install.packages('mqc') require(mqc) #Gráfico T² de Hotellig (Fase ): ult.chart(type="t", Dados, phase=,alpha=0.05) #Retirando a aostra do gráfico T²: Dados3=atrix(c(949,603,453,65,40,68,04,666,694,83,850,45,374,76,45 0,738,704,776,585,786,758,747,04,4,633,68,39,64)) Dados4=array(Dados3,di=c(4,,)) ult.chart(type="t", Dados4, phase=,alpha=0.05) 4