Roberto Juan Quevedo Quispe. Implementação Numérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens

Roberto Juan Quevedo Quispe Implementação umérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de concentração: Geotecnia. Orientador: Celso Romanel Rio de Janeiro Fevereiro de 2008

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Roberto Juan Quevedo Quispe Implementação umérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Celso Romanel Orientador PUC-Rio Christianne de Lyra ogueira UFOP Anna Paula Lougon Duarte Petrobrás José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico da PUC-Rio Rio de Janeiro 22 de Fevereiro de 2008.

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade do autor e do orientador. Roberto Juan Quevedo Quispe Graduou-se em Engenharia Mecânica de Fluidos na especialidade de Hidráulica e Hidrologia pela Universidad acional Mayor de San Marcos UMSM de Lima Peru em 2000. Quevedo Quispe Roberto Juan Ficha Catalográfica Implementação numérica para análise de fluxo transiente 3D em barragens / Roberto Juan Quevedo Quispe ; orientador: Celso Romanel. 2008. 09 f. : il.col. ; 30 cm Dissertação Mestrado em Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2008. Inclui bibliografia. Engenharia civil Teses. 2. Fluxo transiente. 3. Modelagem 3D. 4. Barragens. 5. Elementos finitos. I. Romanel Celso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

Aos meus queridos pais e irmãos.

Agradecimentos Aos meus queridos pais e irmãos pelo amor e apoio moral mesmo à distância. Aos meus queridos tios Juan Fanny Victor e Silvia por sempre terem acreditado em mim. Ao Professor Celso Romanel pela orientação e conhecimentos transmitidos durante a elaboração deste trabalho. Ao Anderson Rezende que muito me ajudou no início deste trabalho pela paciência e apoio. Aos meus amigos Julio Macias e Wagner ahas pelas inúmeras respostas às minhas questões e pela amizade brindada. À Priscila Tapajós por ter me mostrado a cidade maravilhosa do Rio de Janeiro e o encanto de seu povo. Aos meus amigos Enrrique Carla e Gladys por terem compartilhado comigo muitos momentos inesquecíveis. Aos meus amigos e colegas da PUC-Rio pelo carinho e amizade. A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Ao Conselho acional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CPq pela concessão da bolsa de estudos que possibilitou suporte financeiro a esta pesquisa.

Resumo Quevedo Quispe Roberto Juan; Romanel Celso Orientador. Implementação umérica para Análise de Fluxo Transiente 3D em Barragens. 2008. 09 p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Esta dissertação tem por objetivo a implementação de uma ferramenta numérica para avaliação do fluxo transiente 3D saturado-não saturado em barragens de terra e enrocamento baseado no método dos elementos finitos e no programa GEOFLUX implementado por Machado Jr. 2000 para análise de problemas 2D. esta nova versão foram incluídos elementos triangulares de 3 nós para análises 2D e elementos tetraédricos de 4 nós para análises 3D. Implementam-se também subrotinas que oferecem a possibilidade de variação das condições de contorno com o tempo. A equação de Richards é solucionada considerando a formulação mista e o método iterativo de Picard Modificado para solução do sistema de equações não-lineares. Para a solução do sistema de equações utiliza-se um armazenamento especial para matrizes esparsas associado com o método do gradiente bi-conjugado tornando o processo muito rápido mesmo em sistemas de grande porte. Utilizam-se dois modelos para representar as curvas características: o modelo exponencial proposto por Srivastava e Yeh 99 e o modelo proposto por van Genuchten 980. O programa computacional desenvolvido GEOFLUX3D foi aplicado na análise de fluxo na barragem de enrocamento de Gouhou China e na barragem de terra Macusani Peru. Os resultados numéricos indicam a necessidade de análises numéricas 3D em barragens situadas em vales estreitos onde os efeitos de geometria nas condições de fluxo são significativos e não podem ser ignorados. Palavras-chave Fluxo transiente; modelagem 3D; barragens; elementos finitos.

Abstract Quevedo Quispe Roberto Juan; Romanel Celso advisor. umerical Implementation for 3D Analysis of Transient Flow in Dams. 2008. 09 p. M.Sc. Thesis - Department of Civil Engineering Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The main objective of this thesis is to implement a numerical tool for the evaluation of 3D saturated / unsaturated transient flow through earth and rockfill dams with basis on the finite element method and a computer program written by Machado Jr. 2000 for analysis of similar 2D flow problems. In the 3D version developed in this thesis four-nodes tetrahedral elements were implement as well as special subroutines that make possible to vary in time the boundary conditions. The Richards equation is solved through a mixed formulation for the solution of the non-linear system of equations a Modified Picard s method is employed. A special algorithm is used to store the sparse matrices which in association with the bi-conjugated gradient method rend the solver computationally very efficient even for a large number of equations. Two different models were used to represent the characteristic curves: the exponential curve proposed by Srivastava and Yeh 99 and the formulation suggested by van Genuchten 980. The improved computer program thereafter named GEOFLUX3D was then applied for flow analysis of the Gouhou rockfill dam China and the Macusani earth dam Peru. umerical results point out that 3D numerical analyses are necessary for dams situated in narrow valleys where the influence of the terrain geometry on the flow conditions are quite significant and cannot be just ignored. Keywords Transient flow 3D model dams finite elements.

Sumário. Introdução 20 2. Fluxo em meios porosos não saturados 23 2.. Meios porosos saturado e não saturado 23 2.2. Curva característica de sucção 25 2.2.. Modelo de Srivastava e Yeh 99 27 2.2.2. Modelo de van Genuchten 980 28 2.3. Curva de condutividade hidráulica 29 2.3.. Modelo de Srivastava e Yeh 99 30 2.3.2. Modelo de van Genuchten 980 3 2.4. Equação governante do fluxo em meio poroso não saturado 32 2.5. Solução númerica da equação de Richards pelo MEF 35 3. GEOFLUX3D - Implementação computacional 39 3.. Consideraçãoes gerais 39 3.2. O programa GEOFLUX3D 40 3.2.. Macro-comandos 40 3.2.2. Fluxograma básico 42 3.2.3. Comando DATBOUI 44 3.2.4. Comando SEEPAGE 45 3.2.5. Comando CALCOEFS 45 3.3. Discretização no espaço 48 3.3.. Elemento TRI3 48 3.3.2. Elemento TETR4 48 3.4. Discretização no tempo 49 3.5. Metodo de Picard modificado 50 3.6. Critério de convergência 53 3.7. Matrizes e vetores 55 3.7.. Matriz B 55 3.7.2. Matriz H 57

3.7.3. Matriz F 58 3.7.4. Vetor Q 58 3.7.5. Vetor Q ' 59 3.7.6. Vetor F θ 59 3.7.7. Matriz de conductividade hidráulica K ψ 60 3.7.8. Capacidade de retenção específica C ψ 6 3.8. Armazenamento de dados e solução do sistema de equações 62 4. Exemplos de verificação 66 4.. Fluxo transiente unidimensional 66 4... Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída por um único material 67 4..2. Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais 7 4.2. Fluxo transiente bidimensional 75 5. Estudo de casos 79 5.. Fluxo através da barragem de enrocamento Gouhou China com face de concreto 79 5... Descrição da barragem Gouhou 80 5..2. Condições iniciais e de contorno 8 5..3. Propriedades dos materiais 82 5..4. Modelagem no espaço e no tempo 84 5..5. Análise e discussão dos resultados 85 5.2. Fluxo através da barragem de terra Macusani 89 5.2.. Descrição da barragem Macusani 90 5.2.2. Casos de simulação 9 5.2.3. Propriedades dos materiais 84 5.2.4. Modelagem no espaço e no tempo 85 5.2.5. Análise e discussão dos resultados 95 5.2.5.. Caso I: Primeiro enchimento do reservatório K dreno = 4x0-5 m/s 95

5.2.5.2. Caso II: Primeiro enchimento do reservatório K dreno = 4x0-4 m/s 97 5.2.5.3. Caso III: Rebaixamento rápido do reservatório 99 5.2.6. Comparação de resultados com o programa computacional Seep3D 00 6. Conclusões e sugestões 03 7. Referências bibliográficas 06

Lista de figuras Figura 2. Distribuição de poro-pressão típica em um horizonte de solo 23 Figura 2.2 Curva característica de retenção típica de um solo Siltoso Fredlund e Xing 994 26 Figura 2.3 Forma típica da curva característica de retenção conforme modelo exponencial 27 Figura 2.4 Forma típica da curva característica de retenção de acordo com o modelo de van Genuchten 980 29 Figura 2.5 Forma típica da curva da função de condutividade hidráulica para o modelo exponencial 30 Figura 2.6 Forma típica da curva da função de condutividade hidráulica para o modelo de van Genuchten 980 3 Figura 2.7 Volume elementar sujeito a fluxo nas direções x y e z 32 Figura 3. Fluxograma básico do programa GEOFLUX3D 42 Figura 3.2 Exemplo de aplicação da variação de condição de contorno primária 44 Figura 3.3 Exemplo de aplicação da condição de contorno de fluxo livre Seepage 45 Figura 3.4 Resultados do GEOFLUX3D aplicando condição de contorno SEEPAGE 46 Figura 3.5 Fluxograma básico do comando CALCOEFS 47 Figura 3.6 Elemento TRI3 48 Figura 3.7 Elemento TETR4 49 Figura 3.8 Malha de elementos finitos simplificada 63 Figura 3.9 Matriz Posic montada a partir da malha simplificada 64 Figura 3.0 Matriz MatVal montada a partir da malha simplificada 64 Figura 4. Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno 67

Figura 4.2 Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material análise preliminar 68 Figura 4.3 Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material resultados numéricos e analíticos 69 Figura 4.4 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de um único material malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno 70 Figura 4.5 Drenagem em uma coluna de solo constituída de um único material resultados numéricos e analíticos 7 Figura 4.6 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de dois materiais malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno 72 Figura 4.7 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais resultados numéricos e analíticos 73 Figura 4.8 - Drenagem de uma coluna de solo constituída de dois materiais malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno 74 Figura 4.9 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais resultados numéricos e analíticos 75 Figura 4.0 Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado numa faixa da superfície com indicação das condições iniciais e de contorno 76 Figura 4. Malha de elementos finitos utilizada para simulação da infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado em uma faixa da superfície 77 Figura 4.2 - Evolução das cargas de pressão computadas pelo GEOFLUX3D 77 Figura 4.3 - Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado numa faixa da superfície comparação dos resultados numéricos e analíticos em a 36 min; b 72 min 78 Figura 5. - Localização da barragem Gouhou na China 79 Figura 5.2 - Barragem Gouhou: a seção transversal A-A de altura máxima; b seção longitudinal B-B vista desde montante 80

Figura 5.3 - Modelo geométrico 3D e condições de contorno para a simulação de fluxo transiente na barragem Gouhou China 8 Figura 5.4 - Curvas granulométricas dos materiais empregados nas zonas de enrocamento da barragem Gouhou. 82 Figura 5.5 - Curvas características de retenção para os materiais correspondentes nas zonas de enrocamento e 2. 83 Figura 5.6 - a Modelo geométrico 2D da barragem Gouhou b malha de elementos finitos tipo TRIA3 84 Figura 5.7 - a Modelo geométrico 3D da barragem Gouhou b malha de elementos finitos tipo TETR4 84 Figura 5.8 - Evolução no tempo da superfície freática na barragem Gouhou 85 Figura 5.9 - Evolução no tempo dos contornos das isóbaras kpa na seção transversal máxima da barragem Gouhou 86 Figura 5.0 - Evolução no tempo dos contornos de poropressão kpa na seção longitudinal da barragem em x = 56m 87 Figura 5. - Distribuição de cargas de pressão m na barragem Gouhou depois de 04 dias 88 Figura 5.2 - Distribuição de cargas totais m na barragem Gouhou depois de 04 dias 88 Figura 5.3 - Localização da barragem Macusani no Peru 89 Figura 5.4 - Barragem Macusani: a Seção transversal A-A de altura máxima; b Seção longitudinal. 90 Figura 5.5 - Modelo geométrico simplificado e condições de contorno para análise de fluxo 3D na barragem de terra Macusani Peru 9 Figura 5.6 - a Modelo geométrico 2D da barragem Macusani b malha de elementos finitos tipo TRIA3 94 Figura 5.7 - a Modelo geométrico 3D da barragem Macusani b malha de elementos finitos tipo TETR4 94 Figura 5.8 - Evolução da superfície freática na barragem Macusani para o caso I sob diferentes tempos 95 Figura 5.9 - Evolução no tempo dos contornos de poropressão kpa na seção transversal em z = 290 m para o caso I 96 Figura 5.20 - Contornos de poro pressão kpa na secção de corte em

z = 290 m para o caso II 97 Figura 5.2 - Distribuição final de cargas de pressão m na barragem Macusani depois de 000 dias condição de regime permanente para o caso II 98 Figura 5.22 - Distribuição final das cargas totais m na barragem Macusani depois de 000 dias condição de regime permanente para o caso II 98 Figura 5.23 - Evolução da posição da superfície freática com o tempo após rebaixamento rápido do reservatório 99 Figura 5.24 - Evolução no tempo dos contornos de poropressão kpa na superfície de talude de montante após o rebaixamento rápido 00 Figura 5.25 - Comparação das posições das superfícies freáticas na seção máxima A A determinadas pelo GEOFLUX3D e pelo programa comercial Seep3D v..5 em análises tridimensionais na condição de fluxo em regime permanente para o caso I 0 Figura 5.26 - Comparação das posições das superfícies freáticas na seção máxima A A determinadas pelo GEOFLUX3D e pelo programa comercial Seep3D v..5 em análises tridimensionais na condição de fluxo em regime permanente para o caso II 0

Lista de tabelas Tabela 3. Incidência nodal dos elementos da malha simplificada 63 Tabela 3.2 Montagem da matriz Posic 63 Tabela 4. Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material - parâmetros do modelo exponencial 67 Tabela 4.2 Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais - parâmetros do modelo exponencial 73 Tabela 4.3 - Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado a uma faixa da superfície parâmetros do modelo exponencial. 76 Tabela 5. Parâmetros do modelo de van Genuchten 980 nos materiais da barragem Gouhou China 83 Tabela 5.2 Função de variação de carga hidráulica na superfície do talude de montante primeiro enchimento do reservatório 92 Tabela 5.3 - Função de variação de carga hidráulica na superfície do talude de montante rebaixamento rápido do reservatório...92 Tabela 5.4 Materiais empregados na barragem Macusani e seus respectivos coeficientes de condutividade hidráulica na condição saturada. CISMID 93 Tabela 5.5 Tabela 5.5 - Materiais empregados na barragem Macusani e respectivos parâmetros do modelo de van Genuchten 980 utilizado para análise sob regime transiente CISMID 93 Tabela 5.6 - Comparação de vazões totais calculadas pelos programas GEOFLUX3D e SEEP3D em análises 3D na barragem de terra Macusani 02

Lista de símbolos A Área [L 2 ] a ij Cosseno do ângulo entre a direção principal i e o eixo j do sistema de coordenadas globais [-] B Matriz que relaciona o gradiente hidráulico com a carga hidráulica total C ψ Capacidade de retenção específica [L - ] D e Matriz de coeficientes Vetor de componente unitaria na direção da aceleração da gravidade F Matriz de capacidade de retenção ou matriz de massa F θ Vetor empregado na formulação de Picard modificado H H J Carga hidráulica total [L] Matriz de fluxo Matriz Jacobiana J Inversa da matriz Jacobiana J Determinante da matriz Jacobiana K K ψ Matriz de condutividade hidráulica [L 2 T - ] K S K 2S K 3S Condutividades hidráulicas nas direções principais [L 2 T - ] M w m Massa de água [M] Iteração anterior m+ Iteração corrente Matval Matriz que armazena os valores das posições não nulas da matriz esparsa D i n Matriz das funções de interpolação Funções de interpolação Passo do tempo anterior

n+ Passo de tempo corrente n Vetor unitario em direção normal ao contorno de um elemento finito n Porosidade [-] e ne úmero de nós de uma malha de elementos finitos igual ao número de elementos da matriz nne esparsa D úmero de elementos não nulos da matriz esparsa D p Parâmetro do modelo de van Genuchten 980 [-] Posic Matriz que armazena as posições não nulas da matriz esparsa D q Parâmetro do modelo de van Genuchten 980 [-] Q Vazão [L 3 T - ] Q Q ' R Vetor de vazões nodais equivalente ao fluxo prescrito [L 3 T - ] Vetor de vazões nodais que traduz uma parcela da vazão relativa a efeitos gravitacionais [L 3 T - ] Vetor de Respostas * R ψ Resíduo do método de Galerkin [L 3 T - ] S Grau de saturação [-] t Tempo [T] u Pressão do ar [MT -2 L - ] ar u Pressão da água [MT -2 L - ] w V Volume de água [L 3 ] w V Volume do elemento [L 3 ] e x y z Coordenadas globais [L] y ψ ψ ψ 0 Carga de elevação [L] Carga de pressão [L] Vetor de cargas de pressão [L] Vetor de cargas de pressão iniciais [L]

i Gradiente hidráulico [-] {q} Vetor de vazões específicas [L 2 T - ] Coordenadas locais dos elementos [-] φ Potencial total da água [ML 2 T -2 ] φ Energia potencial gravitacional da água [ML 2 T -2 ] g φ Potencial matricial da água [ML 2 T -2 ] m φ Potencial osmótico da água [ML 2 T -2 ] o φ Potencial de pressão da água [ML 2 T -2 ] p φ Potencial térmico da água [ML 2 T -2 ] t θ Teor de umidade volumétrica [L 3 L -3 ] θ θ r θ s ' θ S Vetor de teor de umidade volumétrica [L 3 L -3 ] Teor de umidade volumétrica residual [L 3 L -3 ] Teor de umidade volumétrica saturada em processos de infiltração [L 3 L -3 ] Teor de umidade volumétrica saturada em processos de drenagem [L 3 L -3 ] θ Teor de umidade volumétrica relativa [L 3 L -3 ] e ρ Massa específica da água [ML -3 ] w γ Peso específico da água [ML - T -2 ] w α Coeficiente que define o tipo de marcha no tempo [-] α Parâmetro do modelo de van Genuchten 980 vg [L - ] α Parâmetro do modelo do modelo exponencial exp 994 [L - ] H ψ t Ω Ω e Γ Vetor gradiente de carga total [L] Vetor gradiente de carga de pressão [L] Tamanho do passo de tempo [T] Domínio do modelo Domínio do elemento Contorno do modelo

Γ e Γ Γ 2 δ ij Contorno do elemento Contorno com condição de Dirichlet Contorno com condição de eumann Delta de Kronecker v Vetor de velocidade superficial de fluxo [LT - ]

Introdução 20 Introdução Uma das principais etapas no projeto e monitoramento de barragens de terra e de enrocamento é a avaliação da vazão dos gradientes hidráulicos e das poropressões em diversos pontos e regiões da barragem a fim de se estimar os riscos decorrentes do fluxo de água através do corpo da barragem de sua fundação e/ou ombreiras. a engenharia geotécnica a análise deste problema normalmente requer a utilização de modelos bi-dimensionais por meio da seleção de uma seção transversal da barragem e de sua fundação que seja considerada a mais representativa ou crítica do problema. Esta metodologia tem vários apelos a favor como a tradição do projeto de barragem considerando um problema de fluxo no plano a maior rapidez de processamento numérico em microcomputadores maior facilidade na construção do modelo e na imposição de condições de contorno menor dificuldade na obtenção dos relevantes parâmetros de engenharia através de ensaios de campo ou de laboratório etc. Entretanto a adoção da representação no plano de um problema inerentemente tridimensional pode causar a obtenção de respostas incorretas como no caso de barragens de terra construídas em vales profundos e estreitos em forma de V situação típica de regiões montanhosas como ao longo da cordilheira dos Andes na América do Sul. Programas computacionais baseados no método dos elementos finitos para análise de fluxo de água 3D através de maciços de solo incluindo a resposta transiente e aspectos relativos ao comportamento de materiais parcialmente saturados são raramente encontrados e quando disponíveis comercialmente revelam-se ainda bastante caros ou com limitações. O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta numérica GEOFLUX3D com base no método dos elementos finitos escrito na linguagem Fortran para a análise das condições de fluxo transiente em barragens

Introdução 2 com geometrias tridimensionais irregulares a partir do programa computacional GEOFLUX elaborado por Machado 2000 para situações de fluxo bidimensional. Os efeitos 3D no comportamento hidráulico de barragens de terra podem ser então verificados pelas diferenças de resultados obtidos na simulação computacional do mesmo problema através da utilização simultânea de malhas de elementos finitos bi e tridimensionais respectivamente. Conforme será observado os erros introduzidos pela simplificação 2D podem ser importantes justificando a realização de análises 3D a despeito da maior dificuldade na modelagem geométrica do problema e do maior tempo necessário para processamento e análise dos resultados. A estrutura desta dissertação está dividida em 6 capítulos: o segundo capítulo são introduzidos conceitos básicos associados ao fluxo não saturado das curvas características de sucção com os modelos utilizados para sua implementação numérica bem como é apresentada a equação geral governante do problema de fluxo 3D transiente equação de Richards em forma matricial tendo em vista a solução deste problema de valor inicial através da aplicação do método dos elementos finitos. O terceiro capítulo refere-se às implementações computacionais executadas durante o desenvolvimento do programa GEOFLUX3D as discretizações feitas nos domínios do espaço e do tempo a solução da não-linearidade da equação de Richards pelo método de Picard Modificado os critérios de convergência adotados e finalmente as matrizes e vetores característicos para a solução numérica do problema. O quarto capítulo apresenta os exemplos de verificação do programa desenvolvido nesta dissertação comparando os resultados analíticos determinados em algumas análises uni e bidimensionais com os correspondentes valores numéricos calculados com base no programa GEOFLUX3D. O quinto capítulo trata dos exemplos de aplicação da ferramenta numérica em barragens projetadas em vales estreitos com a ocorrência de efeitos 3D no fluxo de água. o primeiro exemplo analisa-se o comportamento da barragem de enrocamento Gouhou localizada na China comprando-se os resultados numéricos da análise transiente com aqueles reportados por Chen e Zhang 2006. o segundo analisam-se as condições de fluxo sob regime transiente e permanente

Introdução 22 na barragem de terra Macusani também se comparando os resultados na condição permanente com aqueles obtidos por Huertas 2006 que utilizou o programa comercial SEEP3D v..5. Em ambos os exemplos a potencialidade do programa computacional GEOFLUX3D é demonstrada e justificada como ferramenta de projeto para análise de problemas de fluxo 3D em barragens de terra. Finalmente o sexto capítulo resume as principais conclusões obtidas neste trabalho e apresenta também algumas sugestões para pesquisas futuras nesta área.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 23 2 Fluxo em meios porosos não saturados 2.. Meios porosos saturado e não saturado O fluxo através de um meio poroso não-saturado é nada mais do que um caso especial de fluxo simultâneo de fluidos não miscíveis BEAR 972. Para o caso mais comum em solos não saturados esses fluidos são denominados molhante e não-molhante sendo estes a água e o ar respectivamente. Assim o fluxo em um meio poroso não-saturado ocorre quando a água se movimenta através de um solo com grau de saturação S inferior a 00% com relação ao fluido molhante com partes dos espaços vazios ocupados pelo ar considerado aqui estagnado isto é que não se encontra em movimento. a figura 2. são ilustradas as distribuições da pressão de água abaixo da superfície do solo. Figura 2. Distribuição de poro-pressão típica em um horizonte de solo. A zona saturada é a região na qual os vazios do solo estão totalmente preenchidos por água e a carga de pressão é positiva. A franja capilar por sua vez é a região de ascensão capilar na qual o solo ainda se encontra saturado porém sujeito a uma carga de pressão negativa.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 24 A zona não-saturada é a região na qual os vazios do solo são preenchidos por ar e água também submetida a uma poropressão negativa. essa zona a distribuição inicial de poropressões é incerta dependendo das características do meio poroso sendo necessário para sua determinação medições em campo. A pressão u ar indicada na Figura 2. é chamada pressão de entrada de ar; que caracteriza a interface entre a franja capilar e a zona não-saturada surgindo assim uma propriedade própria dos solos não-saturados denominada sucção definida pela diferença entre a pressão de entrada de ar u ar e a pressão da água u w nos vazios do solo como definido pela equação abaixo. sucção = u ar u w 2. Com a diminuição do grau de saturação os vazios maiores responsáveis em grande parte pela condutividade hidráulica do meio poroso são os primeiros a serem drenados interrompendo o canal de fluxo com o volume de água neles remanescente se concentrando sob forma de meniscos no contato com as partículas. A maior parte do fluxo se transfere para os vazios menores diminuindo assim o coeficiente de permeabilidade do meio em até 00 mil vezes em relação ao seu valor na condição saturada. Para baixos teores de umidade ou altas sucções o coeficiente de permeabilidade pode ser tão pequeno que podem ser necessários gradientes hidráulicos elevados ou intervalos de tempo muito grandes para que seja possível detectar a ocorrência de fluxo no meio. Se por simplicidade for desconsiderado o valor da pressão de entrada de ar a sucção seria então expressa apenas em função da pressão negativa de água nos vazios: sucção = γ ψ 2.2 = u w w em que γ w é o peso especifico da água e ψ a carga de pressão. ote que como ψ < 0 então a sucção assume sempre um valor positivo que se torna nulo quando a carga de pressão for maior ou igual a zero. os solos não-saturados as propriedades hidráulicas tais como a condutividade hidráulica K e o teor de umidade volumétrica θ variam com as

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 25 mudanças da carga de pressão ψ devido à presença de ar no meio poroso. A variação dessas propriedades pode ser representada pelas curvas características θ = θψ chamada de curva de retenção de água ou curva característica de sucção e K = Kψ denominada curva de condutividade hidráulica. 2.2. Curva característica de sucção O teor de umidade volumétrica θ é definido pela equação 2.3 como a razão entre o volume de água V w presente no interior do meio poroso e seu volume total V. θ = V w /V 2.3 os solos não-saturados a sucção está relacionada com o teor de umidade volumétrica θ através da curva característica de sucção ou curva de retenção de água ilustrada na figura 2.2 onde são exibidos três pontos de destaque. O primeiro é constituído pelo valor da pressão de entrada de ar u ar que corresponde ao valor da sucção para a qual o ar começa penetrar nos poros de maior diâmetro no solo. O segundo ponto é aquele correspondente ao teor de umidade volumétrica residual θ r a partir do qual tem que se acrescentar em um grande valor à sucção para produzir pequenas variações na umidade volumétrica. O terceiro finalmente corresponde ao teor de umidade volumétrica de saturação teoricamente igual à porosidade do solo já que neste ponto todos os vazios estão preenchidos pela água. Porém como observado na figura 2.2 este ponto pode ser diferente nos processos de umedecimento θ s e de secagem θ s sendo maior neste último. Esse tipo de comportamento está associado à não uniformidade dos poros à presença de bolhas de ar que permanecem no solo durante o processo de umedecimento e a possíveis mudanças estruturais Gerscovich 994; Reichardt e Timm 2000.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 26 Figura 2.2 Curva característica de retenção típica de um solo siltoso Fredlund e Xing 994. A curva característica de retenção pode ser determinada através de ensaios de laboratório ou aplicação de relações empíricas. As técnicas experimentais consagradas para a medição da sucção são as de papel filtro e da placa de sucção diferenciando-se principalmente quanto ao nível de sucção aplicada a partir das quais podem ser obtidos pontos da citada curva Villar 2002. o método do papel filtro padronizado pela norma ASTM D5298-92 o solo é colocado em contato com o papel filtro de menor umidade que absorve certa quantidade de água até que o sistema solo + papel entre em equilíbrio hidráulico. Dispondo-se da curva de calibração do papel a sucção então pode ser determinada em função da quantidade de água do solo absorvida pelo papel. A curva característica de sucção é muito afetada pela estrutura do solo sendo indispensável a utilização de amostras indeformadas Soares 999. Quanto a relações empíricas na literatura encontram-se as proposições sugeridas por van Genuchten 980 Srivastava e Yeh 99 Fredlund e Xing 994 dentre outros. este trabalho foram adotados para a representação da curva característica de retenção os modelos propostos por van Genuchten 980 e por Srivastava e Yeh 99 apresentados a seguir.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 27 2.2.. Modelo de Srivastava e Yeh 99 Srivastava e Yeh 99 utilizaram a seguinte função exponencial para modelagem da curva característica de retenção em solos não saturados: α ψ exp θ ψ = θ + θ θ e 2.4 r s r na qual θ r é o teor de umidade volumétrica residual θ s o teor de umidade volumétrica saturado ψ a carga de pressão e α exp é um parâmetro que varia de acordo com o tipo de solo e que representa a taxa de redução do teor de umidade volumétrica a medida que a carga de pressão diminui. O formato típico da curva de retenção de acordo com esta relação é apresentado na figura 2.3. Figura 2.3 Forma típica da curva característica de retenção conforme modelo exponencial. Esse modelo apresenta um valor de capacidade de retenção específica θ C ψ = diferente de zero para a situação de saturação a uma pressão nula. ψ Em uma situação real desprezando-se as variações de volume isso não poderia acontecer. Assim pode-se considerar que a aplicação do modelo de Srivastava e Yeh 99 seria adequada para problemas que envolvam fluxo

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 28 somente na zona não-saturada. Cabe ainda ressaltar que esse modelo não é capaz de reproduzir a zona de ascensão capilar caracterizada pela pressão de entrada de ar e também não representa a histerese mostrada na figura 2.2 α exp é o mesmo para ciclos de umedecimento ou de secagem. 2.2.2. Modelo de van Genuchten 980 A equação 2.5 foi proposta por van Genuchten 980 para representação da relação entre o teor de umidade volumétrico e a carga de pressão em solos nãosaturados θ ψ = θ + r θ θ s [ ] q p + α vg ψ r 2.5 em que α vg p e q são parâmetros a serem ajustados de acordo com o tipo de solo. Valores de p e q são dependentes entre si de acordo com a relação abaixo van Genuchten 980: p = 2.6 q Segundo Miller et al 998 o parâmetro α vg está relacionado com a dimensão média dos poros e o parâmetro q com a uniformidade da distribuição dos poros de diferentes dimensões. O formato típico de uma curva de acordo com a equação 2.5 é ilustrado na figura 2.4. Este modelo ao contrário do anterior apresenta uma capacidade de retenção nula para a condição de saturação e ainda é capaz de caracterizar a zona de ascensão capilar. Com essas características o modelo de van Genuchten tornou-se o mais utilizado para simulação do comportamento hidráulico de solos nãosaturados tendo sido incorporados em vários softwares comerciais como o programa computacional PlaxFlow. Entretanto este modelo também não considera a histerese observada entre processos de umedecimento e secagem.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 29 Figura 2.4 Forma típica da curva característica de retenção de acordo com o modelo de van Genuchten 980. 2.3. Curva de condutividade hidráulica A outra curva característica na investigação do comportamento hidráulico de solos não-saturados se refere à que relaciona a permeabilidade com a carga de pressão. Segundo Soares 999 os métodos para a determinação da permeabilidade não saturada dos solos tanto em campo como no laboratório podem ser divididos em duas categorias: Métodos de Regime Permanente Permeâmetro de Guelph - campo e Métodos de Regime Transiente Método do perfil Instantâneo campo e laboratório. Porém esses métodos são muito difíceis de serem aplicados geralmente devido a fenômenos de difusão do ar e em virtude das pequenas quantidades de fluxo medidas. Deste modo pesquisadores propuseram métodos indiretos para a determinação da curva de condutividade hidráulica com base na curva característica de sucção surgindo desta forma modelos estatísticos e modelos empíricos Fredlund et al. 994; van Genuchten 980; Srivastava e Yeh 99 dentre outros. este trabalho foram novamente implementados os modelos propostos por van Genuchten 980 e Srivastava e Yeh 99 descritos a seguir.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 30 2.3.. Modelo de Srivastava e Yeh 99 Para a utilização desta formulação empírica é necessário conhecer-se diversos pontos da curva característica de sucção do solo não-saturado bem como o valor da condutividade hidráulica na condição saturada. O exponencial de Srivastava e Yeh 99 para a curva de condutividade hidráulica consiste basicamente na equação 2.7 onde α exp representa o mesmo parâmetro empregado no ajuste da curva característica de sucção equação 2.4 e K s denota o valor da condutividade hidráulica saturada [LT - ]. α ψ exp K ψ = K e 2.7 s Uma forma esquemática da curva de condutividade hidráulica saturada não saturada para o modelo exponencial é mostrada na figura 2.5. Figura 2.5 Forma típica da curva da função de condutividade hidráulica para o modelo exponencial.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 3 2.3.2. Modelo de van Genuchten 980 Dentre os modelos estatísticos utilizados para descrever a função de condutividade hidráulica pode-se destacar o modelo proposto por Mualem 976 baseado na dimensão e distribuição estatística dos vazios de um meio poroso. A partir deste modelo estatístico van Genuchten 980 propôs a seguinte formulação empírica para representação da função de condutividade hidráulica: / 2 e / p p θ 2 e K θ = θ 2.8 K s em que a umidade volumétrica relativa θ e é definida por: θ θ r θ e = θ θ s r = [ ] q p + α vg ψ 2.9 na qual p q e α vg são os mesmos parâmetros empregados nas equações 2.5 e 2.6 para estabelecimento da curva característica de sucção sendo que ψ representa o valor da carga de pressão. Figura 2.6 Forma típica da curva da função de condutividade hidráulica para o modelo de van Genuchten 980.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 32 2.4. Equação governante do fluxo em meio poroso não-saturado Considerando um volume elementar submetido a um fluxo de água nas direções x y e z como indicado na figura 2.6. A equação diferencial que governa o fluxo pode ser escrita como: T M w ρ w v dx dy dz = 2.0 t em que ρ w é a massa específica da água v é o vetor de velocidade superficial de fluxo e T um operador diferencial que depende da dimensão do problema. O termo do lado esquerdo da equação 2.0 representa o balanço de massa nas três direções cartesianas enquanto que o termo do lado direito representa a taxa de variação no tempo da massa de água M w armazenada no volume elementar. Figura 2.7 Volume elementar sujeito a fluxo de água nas direções x y e z. A massa de água pode ser escrita em termos da massa especifica ρ w do grau de saturação S da porosidade do meio n e e do volume diferencial dx.dy.dz como sendo: M w ρ S n dx dy dz 2. = w e

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 33 Substituindo a equação 2. na equação 2.0 e eliminando os termos comuns chega-se em T ρ w S ne ρ w v = 2.2 t Observando-se que θ = n e S 2.3 e considerando-se que o fluido e o meio são incompressíveis então a equação 2.2 pode ser re-escrita como: T θ v = t 2.4 Admitindo-se condições de fluxo laminar do fluido através do meio poroso vem pela lei de Darcy: v = K ψ z + ψ 2.5 na qual Kψ é a matriz da condutividade hidráulica que para problemas de fluxo não-saturado depende da carga de pressão e z+ψ é o vetor dos gradientes hidráulicos observando-se que z e ψ são respectivamente as cargas de elevação e de pressão no ponto considerado. Substituindo a equação 2.5 na equação 2.4 resulta em: T θ ψ [ K ψ e + K ψ ψ ] = 2.6 t em que e é um vetor unitário na direção da aceleração da gravidade z. Tendo em vista que na equação 2.6 o teor de umidade volumétrico é função da carga de pressão curva de retenção:

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 34 θ = θ ψ 2.7 aplica-se a regra da cadeia na obtenção da derivada em relação ao tempo do lado direito da equação 2.6 θ ψ θ ψ = t ψ t 2.8 relação: Introduzindo-se a capacidade de retenção específica Cψ definida pela θ C ψ = 2.9 ψ obtém-se da equação 2.8 θ ψ ψ = C ψ t t 2.20 Substituindo-se finalmente a equação 2.20 em 2.6 a equação governante do fluxo em meio poroso não-saturado pode ser escrita como: T ψ [ K ψ e + K ψ ψ ] = C ψ 2.2 t Esta equação 2.2 é conhecida como equação de Richards classificada como equação diferencial parcial de segunda ordem não-linear. A não linearidade surge devido à variação da condutividade hidráulica do meio poroso em função dos valores da carga de pressão. a formulação apresentada o efeito da fase do ar no movimento da água foi desconsiderado simplificando-se o problema. O caso mais geral seria o de fluxo bifásico água-ar onde os movimentos de ambas as fases e conseqüentemente sua interação devem ser considerados simultaneamente ielsen et al.986.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 35 A solução da equação de Richards deverá atender às condições de contorno que podem ser expressas em termos de carga de pressão prescrita condição de Dirichlet: ψ x t = ψ em Γ 2.22 ou em fluxo prescrito condição de ewman: n T [ K ψ e K ψ ψ ] + = v em Γ 2 2.23 na qual Γ = Γ +Γ 2 define o contorno do domínio Ω do problema. A solução da equação 2.2 deverá ainda atender à condição inicial do problema: ψ x 0 = ψ 0 x 2.24 Observe finalmente que para a solução numérica da equação 2.2 é necessária a determinação das curvas características K = Kψ e θ = θψ que como foi destacado anteriormente são propriedades intrínsecas do material para um determinado fluído. 2.5. Solução numérica da equação de Richards pelo método dos elementos finitos A equação de Richards equação 2.2 apresenta uma grande nãolinearidade já que tanto a condutividade hidráulica K quanto a capacidade de retenção específica C são funções da carga de pressão ψ variável que se busca determinar Miqueletto 2007. ão existindo soluções analíticas da equação para análise de problemas com geometrias complexas as aproximações numéricas são as mais recomendadas para este tipo de problema. Dentre os métodos numéricos mais utilizados podem ser citados o Método das Diferencias Finitas MDF e o método dos Elementos Finitos MEF.

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 36 Para a solução aproximada da equação de Richards foi adotado neste trabalho o Método dos Elementos Finitos MEF onde o contínuo Ω é dividido em elementos Ω e que se encontram ligados entre si através de nós distribuídos aos longo de seus contornos. Considerando-se ψ* uma solução aproximada de ψ no domínio do elemento Ω e a equação 2.2 pode ser escrita como: * T * ψ * [ K ψ e + K ψ ψ ] C ψ = R ψ 2.25 t em que Rψ * representa o resíduo da solução aproximada. A solução aproximada de ψ no domínio do elemento Ω e é usualmente escrita no método dos elementos finitos considerando-se: * ψ = ψ 2.26 na qual denota a matriz das funções de interpolação definidas em função do tipo de elemento finito adotado e ψ representa o vetor das cargas de pressão nodais. Assim re-escreve-se a equação 2.25 como: T ψ * [ K ψ e + K ψ ψ ] C ψ = R ψ 2.27 t Aplicando-se o método dos resíduos ponderados Huyakorn e Pinder 983 a minimização do resíduo Rψ * é obtida através da introdução de funções de ponderação que no método de Galerkin são as próprias funções de interpolação. Ω e T T ψ { [ K ψ e + K ψ ψ ] C ψ } dω e = 0 2.28 t Integrando-se por partes os dois primeiros termos de equação 2.28 vem:

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 37 Γ Ω Γ Γ + Ω Γ e e e e T T e T e T T d e K n d K d K n ] [ ] [ ψ ψ ψ ψ ψ 0 = Ω Ω Ω Ω e e e T e T d t C d e K ψ ψ ψ 2.29 na qual Γ e representa o contorno do elemento e n o vetor unitario externo normal ao contorno. Considerando-se = B 2.30 e agrupando-se os termos resulta: Ω Ω = Ω + Ω e e t d C d B K B e T e T ψ ψ ψ ψ Ω Γ Ω Γ + e e e T e T T d e K B d B K e K n ] [ ψ ψ ψ ψ 2.3 que é a solução aproximada da equação de Richards pelo método dos elementos finitos. Esta equação para efeitos de simplificação pode ser definida como a nível do elemento finito: Q' Q t F H = + ψ ψ 2.32 Com a matriz de fluxo Ω Ω = e e T d B K B H ψ 2.33 o vetor de vazão nodal equivalente ao fluxo prescrito na face do elemento Γ Γ + = e e T T d B K e K n Q ] [ ψ ψ ψ 2.34

Fluxo em Meios Porosos ão Saturados 38 o vetor de vazão nodal equivalente relacionado aos efeitos gravitacionais carga de elevação T Q ' = B K ψ e dω Ωe e 2.35 e a matriz de capacidade de retenção que traduz as variações do teor de umidade em relação à poropressão em cada elemento. T F = Cψ dω Ωe e 2.36 Celia et al. 990 observaram que os resultados do MEF apresentam oscilações na previsão da carga de pressão concluindo que a diagonalização da matriz F equação 2.36 é condição necessária e suficiente para a eliminação desse problema. Atribuíram esse comportamento oscilatório ao fato de que no MEF as derivadas no tempo são distribuídas espacialmente quando se considera a formulação da matriz consistente ou seja quando as mesmas funções de interpolação são usadas para a construção de todas as matrizes e vetores da formulação numérica. Fisicamente a diagonalização representa que a propriedade relativa à capacidade de retenção não está mais distribuída nos elementos mas concentrada em seus nós resultando em uma matriz diagonal lumping. este trabalho adotou-se o seguinte esquema de diagonalização da matriz F proposto por Milly 985 expresso pela equação 2.37. F = δ C i j i ψ Ω e dω i e 2.37 em que δ ij é o delta de Kroenecker C ψ é a capacidade de retenção específica do nó i e liberdade i. i i representa as funções de interpolação associadas ao grau de

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 39 3 GEOFLUX3D - Implementação computacional 3.. Considerações gerais Um dos principais objetivos desta dissertação foi o desenvolvimento de um programa computacional para solução de problemas de fluxo através de meios porosos saturados e não-saturados em domínios tridimensionais. Para esta finalidade foi escrito em linguagem Fortran e com base no método dos elementos finitos o programa computacional GEOFLUX3D. O programa foi desenvolvido a partir do programa GEOFLUX Machado Jr. 2000 para análise de fluxo através de meios porosos não-saturados em análises bidimensionais. Foram efetuadas as adaptações necessárias para a resolução de problemas tridimensionais mantendo-se a mesma estrutura de macro-comandos do programa original. esta nova versão adotaram-se elementos triangulares de 3 nós TRI3 para análises bidimensionais e elementos tetraédricos de 4 nós TETR4 para estudos tridimensionais. A razão da escolha destes elementos foi a facilidade na construção de malhas que se adaptam bastante bem a domínios com contornos irregulares bem como por não apresentarem necessidade da execução de integrações numéricas diminuindo assim o tempo de processamento mas exigindo malhas com maior refinamento de discretização. Cabe ressaltar também que no programa GEOFLUX3D foram implementadas novas subrotinas para a variação das condições de contorno no tempo tanto em termos das variáveis primárias cargas hidráulicas quanto secundárias velocidades. Para a solução da não linearidade foram empregados os métodos de Picard e de Picard modificado utilizando para esta última a formulação mista é dizer a equação de Richards baseada na carga de pressão e no teor de umidade volumétrico diminuindo desta forma erros por balanço de massa como apontado antes por Celia et al. 99.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 40 Para a geração das malhas de elementos finitos trabalhou-se com o préprocessador do programa GID v.8.0 desenvolvido pelo Centro Internacional de Métodos uméricos em Engenharia CIME com sede em Barcelona Espanha. Optou-se pelo GID devido à facilidade de se operar com distintos tipos de materiais e elementos assim como devido à flexibilidade na prescrição das condições de contorno em geometrias 3D complexas. Os arquivos contendo as informações das malhas possuem extensão *.flavia.msh e têm um formato de saída muito parecido com os arquivos do tipo neutral file. O código do GEOFLUX3D foi desenvolvido utilizando-se a versão 6.6 do compilador Compaq Visual FORTRA Professional. O programa não exige recursos computacionais especiais porém dependendo do problema a ser simulado é fundamental que se trabalhe com uma máquina atualizada e com boa capacidade de memória e velocidade de processamento. Para a realização das simulações descritas no Capítulo 5 foram utilizados desde computadores com capacidade de processamento de GHz e GB de memória RAM a computadores com capacidade de processamento de 340 GHz e 325GB de memória RAM. Os tempos de processamento em termos gerais foram bastante rápidos alcançando em malhas de grandes tamanhos menos de um minuto por iteração. Para a visualização dos resultados utilizou-se também o pós-processador do GID v.8.0. Os arquivos contendo as informações dos resultados do GEOFLUX3D têm a extensão *.flavia.res sendo um formato de entrada muito fácil de implementar tanto em relação a grandezas escalares cargas hidráulicas quanto vetoriais velocidades e gradientes. 3.2. O programa GEOFLUX3D 3.2.. Macro-comandos O programa é capaz de interpretar macro-comandos utilizados para acionar um conjunto de sub-rotinas responsáveis por uma tarefa computacional específica. O programa GEOFLUX3D possui oito macro-comandos principais descritos a seguir de forma sintética:

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 4 MAAGER: Macro-comando responsável pelo gerenciamento de todos os outros macro comandos. DADOS: responsável pela entrada de dados ativando as subrotinas que efetuam a leitura dos dados gerais da geometria do problema. MATMSH: responsável pela leitura das distribuições e propriedades dos materiais do modelo. DATBOU: macro-comando que realiza a leitura das condições iniciais a partir de um arquivo-texto independente que contem valores iniciais de carga de pressão ou de carga hidráulica para todos os nós da malha de elementos finitos. DIRICHLET: controla a leitura das condições de contorno primárias também chamadas de Dirichlet as quais podem ser admitidas constantes ou variáveis no tempo. EWMA: controla a leitura dos valores de fluxo normal prescrito no contorno condições de contorno de ewman e também calcula a correspondente vazão nodal equivalente se a vazão for distribuída. SOLVE_T: ativa a subrotina COEFS para a solução do sistema de equações do problema e apresentação dos resultados assim calculados. FEXEC: responsável pela finalização do programa.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 42 3.2.2. Fluxograma básico A figura 3. mostra um fluxograma básico do programa GEOFLUX3D desenvolvido nesta dissertação: Figura 3. Fluxograma básico do programa GEOFLUX3D. Apresentam-se a seguir as características das principais subrotinas empregadas pelo programa:

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 43 ABRE: responsável pela abertura dos arquivos do tipo texto de entrada *.D. DADOS: responsável pela leitura dos dados gerais via arquivo texto *.D; DATMSH: responsável pela leitura dos dados geométricos coordenadas dos nós e conectividades dos elementos via arquivo texto *.flavia.msh; DATMAT: responsável pela leitura de dados e distribuição dos materiais no domínio do problema via arquivo texto *.D; DATBOU: responsável pela leitura das condições iniciais via arquivo texto *.II contendo a distribuição das cargas de pressão ou das cargas hidráulicas totais no tempo t = 0; DATBOUI: responsável pela leitura das condições de contorno via arquivo texto *.D em termos de cargas de pressão prescritas cujos valores podem ou não variar com o tempo. Esta subrotina foi modificada em relação à versão inicial do GEOFLUX e será discutida em detalhe no próximo item desta seção; SEEPAGE: responsável pela leitura via arquivo texto *.D dos nós inicialmente sem condição de contorno prescrita mas que com o tempo e sob determinadas circunstâncias podem sofrer a imposição de cargas de pressão prescritas valores nulos com o propósito de definir uma superfície de fluxo livre em problemas não-confinados. Esta nova subrotina implementada no GEOFLUX3D será também apresentada em detalhe no item 3.2.3; Q_DIST: responsável pela leitura das condições de contorno em termos de fluxo normal prescrito via arquivo texto *.D e pelo cálculo do vetor de vazão nodal equivalente cujos valores podem ou não variar com o tempo; Q_POI: responsável pela leitura da vazão nodal prescrita via arquivo texto *.D;

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 44 CALCOEFS: responsável pelo gerenciamento do processo de solução no tempo e no espaço considerando iterações para obtenção da solução não-linear. Esta subrotina é considerada a principal do programa e será discutida com suas respectivas modificações em detalhe no item 3.2.4; GIDVIEW: responsável pela impressão dos resultados: cargas nodais gradientes e velocidades no formato exigido para o pós-processamento através do utilitário GID *.flavia.res; FEXEC: responsável pela finalização da análise. 3.2.3. Comando DATBOUI O comando DATBOUI define as condições de contorno em termos da variável primária carga hidráulica. a versão original do GEOFLUX estas condições eram consideradas fixas durante a simulação. O GEOFLUX3D oferece a alternativa de mudar essas condições de contorno no tempo. Os nós pertencentes ao contorno com suas respectivas cargas hidráulicas iniciais e a função que define sua variação no tempo tem que ser listados na utilização deste comando. Esta mudança das condições de contorno primárias pode ser aplicada por exemplo quando se deseja simular o enchimento ou o rebaixamento rápido do reservatório de uma barragem. este caso os nós com condição de contorno variável são aqueles pertencentes à face do talude da montante como mostrado na figura 3.3 onde as condições de contorno variam no tempo de acordo com a posição do nível de água no reservatório. Figura 3.2 Exemplo de aplicação da variação de condição de contorno primária.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 45 3.2.4. Comando SEEPAGE O comando SEEPAGE refere-se a valores de contorno que variam de acordo com as condições de fluxo durante a simulação. Devem ser listados os nós que definem as superfícies através das quais a água possa fluir para o exterior do domínio do problema. Esta condição SEEPAGE pode ser acionada por exemplo quando ocorre fluxo através do talude de jusante de uma barragem onde a posição final da linha freática é desconhecida figura 3.3. esta figura admitem-se conhecidas as cargas hidráulicas no talude da montante 45 m e no talude da jusante 0 m procurando-se então determinar a posição da linha freática em um determinado instante de tempo com auxílio da condição de contorno SEEPAGE aplicada na face de jusante. Figura 3.3 Exemplo de aplicação da condição de contorno de fluxo livre SEEPAGE. os segmentos de superfície sob a condição SEEPAGE o programa GEOFLUX3D assume uma carga de pressão nula quando tais segmentos estão na condição saturada SEEPAGE ATIVO ou um fluxo normal nulo quando estes estão na condição não-saturada SEEPAGE IATIVO. a figura 3.4 são mostrados os nós que formam os segmentos de superfície considerados sob condições de contorno SEEPAGE ATIVO / IATIVO assim como as linhas equipotenciais na condição de fluxo permanente no caso da barragem mostrada na figura 3.3. Como o número de segmentos de superfície sob condição SEEPAGE ATIVO sofre variação durante a simulação transiente do problema de fluxo o processo de cálculo é necessariamente de natureza não-linear.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 46 Figura 3.4 Resultados do GEOFLUX3D aplicando condição de contorno SEEPAGE. 3.2.5. Comando CALCOEFS O comando CALCOEFS esquematizado na figura 3.5 é responsável pela resolução do problema de fluxo no espaço e no tempo e pelo tratamento da nãolinearidade do processo utilizando as seguintes subrotinas: PSIO: Constrói o vetor global de cargas de pressão ψ 0 iniciais; COEFS: Monta os termos da equação 2.32 iniciando um processo iterativo de acordo com o método de Picard atualizando as variáveis primárias cargas de poropressão até atingir um critério de convergência. Maiores detalhes desta subrotina nos itens 3.5 3.6 e 3.7; SOLVE: Resolve o sistema representado pela equação matricial 2.32 iniciando com um esquema de armazenamento espacial da matriz esparsa e em seguida resolvendo pelo método de gradiente bi-conjugado. Maiores detalhes desta subrotina no item 3.8; RESULT: Controla a saída dos resultados para o pós-processamento;

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 47 Figura 3.5 Fluxograma básico do comando CALCOEFS.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 48 3.3. Discretização no espaço 3.3.. Elemento TRI3 O elemento TRI3 de aproximação linear para as cargas de pressão é utilizado nas análises bidimensionais. Como mencionado anteriormente optouse por este tipo de elemento por ser de fácil implementação numérica e extrema flexibilidade de adaptação na construção de qualquer malha de elementos finitos 2D. Figura 3.6 Elemento TRI3. O elemento TRI3 é ilustrado na figura 3.3 e suas respectivas funções de interpolação i em relação ao sistema de coordenadas locais são apresentadas nas expressões abaixo: = = 2 = 3 3. 3.3.2. Elemento TETR4 O elemento TETR4 também de aproximação linear da variável primária cargas de pressão é utilizado nas análises de fluxo tridimensionais.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 49 Figura 3.7 Elemento TETR4. O elemento TETR4 é ilustrado na figura 3.4 e suas respectivas funções de interpolação i em relação ao sistema de coordenadas locais são expressas na equação 3.2; : = = = = 4 3 2 3.2 3.4. Discretização no tempo Reescrevendo-se a equação 2.32 com o termo dependente do tempo à esquerda do sinal de igualdade Q' Q H t F + = ψ ψ 3.3 Assumindo-se que nessa equação ψ =ψ t e integrando-se no elemento dt Q Q H d F t + = ] ' [ ψ ψ ψ 3.4

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 50 Aplicando-se o método das diferenças finitas onde o tempo total é subdividido em intervalos de tempo t = t n+ - t n e supondo ainda uma variação linear das matrizes F H Q e Q dentro desse intervalo t pode-se então adotar as seguintes aproximações para cada um dos termos na equação 3.4. Hageman e Young 98 ψ n + ψ n F dψ = F ψ n+ n ψ 3.5 tn + tn H ψ dt = t [ α H n+ ψ n+ + α H n n ψ ] 3.6 tn + tn n+ n+ n Q Q' dt = t [ α Q Q' + α Q Q' ] 3.7 n Introduzindo-se na equação 3.4 as expressões 3.5 3.6 e 3.7 resulta a seguinte equação após rearranjo dos termos: F n+ n+ F n n n+ n+ n n + α H ψ = [ α H ] ψ + α Q Q' + α Q Q' ] 3.8 t t onde n representa o passo de tempo anterior resultados conhecidos e n+ o passo de tempo corrente variável primária desconhecida. O coeficiente α é aquele que define o tipo de algoritmo no tempo poendo variar entre os valores 0 a. Para α = 0 tem-se um esquema explícito para α = 0.5 resulta no esquema de Crank- icolson e para α = tem-se o esquema puramente implícito diferenças finitas descendentes. 3.5. Método de Picard modificado De acordo com Paniconi 99 a equação de Richards é altamente nãolinear devido às características das funções de condutividade hidráulica e da

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 5 capacidade de retenção específica que por sua vez são dependentes das cargas de pressão e dos teores de umidade volumétricos. Segundo euman 973 o esquema puramente implícito α = é o que melhor se aplica a problemas que possuem no seu domínio fluxo em condições não-saturada e saturada. Adotando esse critério na equação 3.8; chega-se à seguinte equação: F + H t n+ n+ n n+ n+ ψ ψ 3.9 F = t + Q Q' para cuja solução são utilizados métodos iterativos dentre os quais os mais conhecidos são os métodos de ewton-raphson e o de Picard. O método de Picard conhecido também como método das aproximações sucessivas tem entre suas principais vantagens a facilidade de implementação bem mais simples do que o método de ewton-raphson a manutenção da simetria do sistema de equações e um menor custo computacional para cada iteração. Porém pode apresentar problemas de convergência em problemas altamente não lineares conforme reportado por Paniconi et al.99. O método de Picard é definido de acordo com o seguinte algoritmo baseado na equação 3.9 onde m representa à iteração anterior e m+ à iteração corrente. F n+ m n+ m n+ m n+ m+ F n n+ m n+ m t + H ψ = ψ + Q Q' 3.0 t Célia et al. 990 introduziram o método de Picard Modificado escrito de forma mista e considerando na equação de fluxo termos de carga de pressão e de teor de umidade volumétrico já que a solução numérica baseada na equação de Richards expressa somente em termos de carga de pressão geralmente produz resultados insatisfatórios caracterizados por erros na conservação de massa. A formulação mista por outro lado minimiza os erros no balanço de massa ainda que este fato por si só não seja suficiente para garantir a obtenção de uma boa solução numérica.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 52 Adotou-se no desenvolvimento do GEOFLUX3D o método de Picard Modificado cuja formulação é similar ao algoritmo da equação 3.0 acrescentada de mais um termo dependente do teor de umidade volumétrico no lado direito precisamente aquele que procura minimizar os erros de conservação de massa como mostrado a seguir: t F Q Q t F H t F n m n m n m n m n m n m n m n m n + + = + + + + + + + + + + θ θ ψ ψ θ ' 3. em que Ω Ω = e e i d Fθ. 3.2 Como pode ser observado na equação 3. diferentemente do método de Picard da equação 3.0 o vetor de cargas de pressão não é mais aquele vetor que era conhecido no passo de tempo anterior e sim o vetor de cargas de pressão calculado na iteração anterior tendo que ser atualizado em todas as iterações até atingir a solução dentro do limite de erro relativo previamente estabelecido. euman 973 sugere que o cálculo dos coeficientes F H Q e Q seja efetuado no ponto médio do intervalo de tempo resultando em t F Q Q t F H t F n m n m n m n m n m n m n m n m n + + = + + + + + + + + + + θ θ ψ ψ θ 2 2 2 2 2 2 2 ' 3.3 Definindo-se 2 2 2 m n m n m n H t F D + + + + = 3.4 t F Q Q t F R n m n m n m n m n m n m n + + = + + + + + + θ θ ψ θ 2 2 2 2 2 2 ' 3.5

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 53 e substituindo-as na equação matricial 3.3 obtém-se então a equação 3.6 que constitui o sistema de equações a ser resolvido em cada iteração até que seja atingido o critério de convergência. D n+ m n+ m+ n+ m 2 ψ 2 3.6 = R 3.6. Critério de convergência este trabalho foi adotado como critério de convergência o algoritmo proposto por Gerscovich 994 que utiliza o método de Picard baseado nas propostas de euman 973 e de Huyakorn e Pinder 983. Este critério foi também empregado por Machado Jr. 2000 na versão original do GEOFLUX. este algoritmo uma primeira aproximação para a carga de pressão é calculada a partir da condição inicial: n m n+ m 0 2 3.7 ψ = ψ = ψ Em seguida uma segunda aproximação extrapolação linear : n + m ψ é cálculada através de uma n+ m n n+ m n ψ = ψ + 2 ψ 2 ψ 3.8 Com o vetor de carga de pressão da equação 3.8 entra-se na equação n+ m+ 3.6 e calcula-se um novo vetor de cargas de pressão representado por ψ que em seguida é verificado pelo critério de convergência definido por: ψ n+ m+ ψ ψ n+ m+ n+ m Tolerância 3.9

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 54 na qual: = ψ 3.20 2 i denota a norma Euclidiana do vetor ψ i. n+ m+ Se o critério de convergência não for satisfeito então o valor de ψ 2 é atualizado através de ψ n+ m+ 2 = ψ n+ m+ + ψ 2 2 n + ψ n+ m 2 3.2 n+ m+ Com este novo valor de ψ 2 reavaliam-se os coeficientes da equação 3.6 obtém-se uma nova aproximação para ψ n+ m+ e mais uma vez o critério de convergência na equação 3.9 é verificado. Esse processo é repetido até que o critério de convergência seja satisfeito quando então o valor de finalmente calculado como n+ m+ 2 ψ é ψ n+ m+ 2 = ψ n+ m+ ψ + n+ m+ ψ 2 n 3.22 Concluído o ciclo iterativo atualiza-se o valor de ψ n n n+ m+ ψ = ψ 3.23 e continua-se à marcha no tempo.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 55 3.7. Matrizes e vetores este item são apresentadas as matrizes B H e F assim como os vetores Q ' Q e θ F utilizados na equação 3.3. Apresentam-se ainda o processo de determinação da matriz de condutividade hidráulica ψ K e do coeficiente de retenção específica Cψ. Todas as matrizes e vetores foram avaliados para análises tridimensionais utilizando o elemento tetraédrico TETR4. e modo análogo mas simplificado podem ser obtidas as correspondentes matrizes e vetores para o elemento triangular TRIA3 utilizado em análises de fluxo 2D. 3.7.. _ Matriz B O operador diferencial para problemas tridimensionais pode ser escrito como: = z y x 3.24 e a matriz das funções de interpolação para elementos tetraédricos como = 4 3 2 4 3 2 4 3 2 3.25 Substituindo as equações 3.24 e 3.25 na equação 2.30 tem-se:

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 56 = z y x B 4 3 2 4 3 2 4 3 2 3.26 Fazendo-se uma transformação de coordenadas globais para coordenadas locais com a aplicação da regra da cadeia do cálculo diferencial e rearranjando-se os termos resulta em = 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 z z z y y y x x x B 3.27 Aplicando o conceito da matriz Jacobiana responsável pela transformação das derivadas espaciais em relação do sistema de coordenadas global para o natural de coordenadas vem: = 4 4 4 3 3 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 3 3 z y x z y x z y x z y x J 3.28 onde x i y i z i representa as coordenadas globais dos nós do tetraedro mostrado na figura 3.4. A inversa da matriz Jacobiana é dada pela equação:

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 57 = z z z y y y x x x J 3 3 3.29 que substituída na equação 3.27 produz: = 4 3 2 4 3 2 4 3 2 3 3 4 3 J B 3.30 Aplicando-se finalmente as correspondentes funções de interpolação para o elemento TETR4 definidas na equação 3.2 tem-se finalmente = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 3 3 3 2 2 2 4 3 z y x z y x z y x z y x B 3.3 onde se nota que a matriz B é função única das coordenadas globais dos nós do elemento. 3.7.2. _ Matriz H A matriz H denominada matriz de fluxo resulta da integral apresentada na equação 2.33. Efetuando-se a transformação do sistema de coordenadas tem-se ψ d d d J B K B H T = 4 3 3 3 3 4 0 0 0 4 4 3.32

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 58 onde J é o determinante da matriz jacobiana e K ψ é a matriz de condutividade hidráulica cuja determinação será discutida posteriormente. A integração da equação 3.32 pode ser obtida analiticamente para tetraedros com 4 nós pois a matriz B é constante no elemento. Logo J H 4 T 4 = B4 3 K ψ 3 3 B3 4 6 3.33 3.7.3. _ Matriz F A matriz F resulta da integral apresentada na equação 2.37 que em coordenadas locais é expressa por: F = δ i j Ci ψ i J d d d 3.34 4 4 e 0 0 0 onde δ i j é o delta de Kroenecker e C i ψ é a capacidade de retenção específica avaliada no nó i cuja determinação também será discutida posteriormente. F J = δ i j Ci 3.35 24 4 4 ψ 3.7.4. _ Vetor Q Vetor que representa às vazões nodais impostas como condição de contorno prescritas condição de ewman expresso pela integral apresentada na equação 2.34. O vetor Q pode ser especificado diretamente como entrada de valor nodal ou facilmente calculado quando representado de forma distribuída sobre a face do elemento. o GEOFLUX3D quando o fluxo for distribuído e imposto na direção normal à face do elemento o valor da vazão nodal será dado pela taxa de fluxo

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 59 L 3 /T/L 2 multiplicada pela área da respectiva face L 2 e dividido finalmente pelo numero de nós 3 ligados à face em questão do elemento TETR4. 3.7.5. _ Vetor Q O vetor Q ' incorpora uma parcela de vazão relacionada com efeitos gravitacionais carga de elevação e é definido pela integral apresentada na equação 2.35. Com a transformação do sistema de coordenadas a equação em termos de coordenadas locais é escrita como : T 4 4 3 3 3 0 0 0 Q' = B K ψ e3 J d d d 3.36 cuja solução é dada por: T J Q' 4 = B4 3 K ψ 3 3 e3 3.37 6 Onde: = 0 e 3 3.38 0 3.7.6. _ Vetor F θ Vetor definido pela integral apresentada na equação 3.2 cuja solução analítica é dada por: J Fθ 4 = 3.39 24

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 60 3.7.7. _ Matriz de condutividade hidráulica K ψ Para o caso mais geral na análise de fluxo 3D em um meio anisotrópico K ψ representa uma matriz 3x3 com nove componentes não-nulas. Assumindo o tensor como simétrico é possível definir em qualquer ponto do domínio de fluxo um sistema de coordenadas locais para o qual K ψ é diagonal. O GEOFLUX3D permite variar a orientação das direções principais de fluxo nos elementos aplicando-se uma rotação nos eixos locais de coordenadas de modo que se tornem coincidentes com as direções principais do tensor de condutividade hidráulica. As componentes principais na condição saturada K s K 2s K 3s junto com os co-senos dos ângulos formados entre as direções principais do tensor de condutividade e os eixos do sistema global de coordenadas devem ser especificados. As componentes principais K K 2 e K 3 são avaliadas em cada elemento em função das componentes principais saturadas K s K 2s K 3s e da carga de pressão ψ caso o meio se encontre não-saturado. Para essa avaliação o GEOFLUX3D incorporou duas formas de análise; na primeira utiliza-se a função de condutividade hidráulica apresentada por Srivastava e Yeh 99 dada pela equação 2.7 enquanto que na segunda faz-se uso da função de condutividade hidráulica proposta elo modelo de van Genuchten 980 expressa pela equação 2.8. Assim as componentes principais são transformadas para o sistema de coordenadas globais xyz no início das simulações através das seguintes relações: K x x Kaa + K2a2a2 + K3a3a3 = 3.40a K y y Ka2 a2 + K2a22a22 + K3a23a23 = 3.40b K z z Ka3a3 + K2a23a23 + K3a33a33 = 3.40c K x y Kaa 2 + K2a2a22 + K3a3a23 = 3.40d K x z Kaa 3 + K2a2a23 + K3a3a33 = 3.40e K y z Ka2a 3 + K2a22a23 + K3a23a33 = 3.40f

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 6 onde a i j representa o co-seno do ângulo formado entre a direção principal i da matriz K ψ e o eixo j do sistema de coordenadas globais. 3.7.8. Capacidade de retenção específica Cψ Para o tratamento da capacidade de retenção específica na zona nãosaturada apresentam-se também duas alternativas: a primeira obtendo-se a capacidade de retenção específica a partir do modelo de Srivastava e Yeh 99 dθ α exp ψ C ψ = = θ s θ r α exp e 3.4 dψ a segunda alternativa definindo-se a capacidade de retenção específica com base no modelo de van Genuchten 980 q dθ α vg p q θ s θ r α vg ψ C ψ = = p+ 3.42 dψ q + α ψ vg Para a zona saturada e para a zona de ascensão capilar a capacidade de retenção específica é normalmente nula. Porém é conveniente considerar um valor de Cψ diferente de zero para estas regiões mas bastante baixo com o propósito de evitar dificuldades de origem numérica. Paniconi et al. 99 destacam que numericamente uma capacidade de retenção específica diferente de zero preserva o caráter parabólico da equação diferencial superando portanto dificuldades na convergência que podem surgir caso a equação se torne elíptica tanto na região residual quanto na de saturação e as condições de contorno naturais não forneçam uma solução única. Valores de capacidade de retenção específica não nulos são necessários para evitar uma singularidade na interface entre as regiões saturada e não-saturada conforme observado por Machado Jr. 2000. Portanto adota-se para a zona saturada para a zona de ascensão capilar e ainda para a região de saturação residual um valor de Cψ bastante pequeno mas diferente de zero. os exemplos estudados nesta dissertação considerou-se um valor da ordem de 0-0.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 62 3.8. Armazenamento de dados e solução do sistema de equações A equação matricial 3.6 tem que ser resolvida em cada iteração. Para análises 3D são geradas uma enorme quantidade de equações dependendo da quantidade de nós que compõem a malha de elementos finitos e do tipo de elemento empregado. o caso do elemento TETR4 conforme já mencionado é necessário uma discretização espacial e temporal bastante pormenorizada. A matriz dos coeficientes representada por D na equação 3.6 é esparsa visto que nem todos os nós são interconectados entre si sendo a maioria dos elementos desta matriz nulos. Procura-se então um sistema de armazenamento eficiente a fim de economizar espaço na memória e agilizar o tempo de processamento. o programa GEOFLUX3D implementou-se um sistema de armazenamento bastante versátil onde a matriz de coeficientes D constituída por um número de coeficientes igual ao quadrado do número de nós ne x ne foi armazenada em outras duas matrizes denominadas Posic nne x 50 e MatVal nne x 50 onde nne denota o número de coeficientes não nulos. A matriz Posic contém os indicadores das posições dos coeficientes não nulos nne da matriz D enquanto que a matriz MatVal contem propriamente os valores dos coeficientes. Após o preenchimento de ambas as matrizes se procede então à solução do sistema de equações pelo método do gradiente bi-conjugado. constatando-se que os tempos para a solução do sistema de equações são muito rápidos mesmo com sistemas de equações de grande porte. Com a finalidade de esquematizar a técnica de implementação do algoritmo e as vantagens da opção de armazenamento da matriz esparsa nas matrizes Posic e MatVal apresenta-se a seguir um exemplo com a malha simplificada da figura 3.8 que contém 6 nós denotados por Ο formando 4 elementos triangulares denotados por. A tabela 3. apresenta as incidências nodais de todos os elementos.

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 63 Figura 3.8 Malha de elementos finitos simplificada. Tabela 3. Incidência nodal dos elementos da malha simplificada. Elementos Incidências nodais 3 2 2 4 3 3 4 5 3 4 4 6 5 Observando-se as incidências nodais a tabela 3.2 pode ser construída para a montagem da matriz Posic onde a primeira coluna representa os nós principais em ordem ascendente e as colunas seguintes representam os nós com os quais aqueles são interligados. Tabela 3.2 Montagem da matriz Posic. ó principal ós ligados ao nó principal 3 2 4-2 3 - - 3 2 4 5 4 5 3 6 5 4 3 6-6 4 5 - -

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 64 Assim com base na tabela 3.2 a matriz Posic da figura 3.9 pôde ser obtida onde a primeira coluna indica o número de posições não-nulas nessa linha da matriz a segunda coluna representa os nós principais da malha e as colunas seguintes os nós interligados com os nós principais. Cabe apontar que neste exemplo a quantidade de nós ne é igual ao número de coeficientes não-nulos da matriz esparsa nne já que não foram prescritas condições de contorno nulas em nenhum dos nós. Figura 3.9 Matriz Posic construída para a malha simples da figura 3.8 A matriz MatVal figura 3.0 armazena os valores da variável nos pontos nodais principais segunda coluna e interligados colunas sucessivas indicados na matriz Posic figura 3.9. Figura 3.0 Matriz MatVal construída para a malha simples a figura 3.8

GEOFLUX3D - Implementação Computacional 65 ota-se que para este exemplo seriam reservados na memória do computador um total de 2 ne 50 posições enquanto que armazenando-se toda a matriz esparsa D seriam necessárias ne ne posições. Assim é possível determinar-se o valor de ne para o qual armazenamento apresentada é a mais indicada e eficiente a técnica de 2 ne 50 = ne ne 3.43 Resolvendo obtém-se ne = 00 o que significa que para malhas contendo uma quantidade de nós superior a 00 o método de armazenamento em duas matrizes otimiza as posições ocupadas de memória e resultando num processamento mais rápido do sistema de equações.

Exemplos de Verificação 66 4 Exemplos de verificação este capitulo são apresentados exemplos para verificar o programa computacional desenvolvido para fluxo 3D em meios porosos saturados ou nãosaturados nas condições de regime de fluxo transiente ou permanente. Esses exemplos foram testados por Machado 2000 para validação do GEOFLUX na sua versão original utilizando malhas bidimensionais. São também feitas comparações entre resultados numéricos e valores analíticos da solução da equação de Richards estes últimos obtidos por Srivastava e Yeh 99 para situação D e Warric e Lomen 976 para situação 2D. Cabe observar aqui que não se validou o código com domínios genéricos tridimensionais já que não foi possível encontrar na literatura soluções analíticas para domínios 3D. o próximo capítulo resultados de exemplos de aplicação são comparados com soluções numéricas 3D obtidos pelo programa computacional GEOFLUX3D e similares. As evoluções dos contornos de poropressão no espaço e no tempo determinados pelo programa GEOFLUX3D mostraram-se bastante próximas às soluções analíticas indicando que a solução do problema não-linear pelo método de Picard modificado é algoritmo bastante eficiente para este tipo de problema. 4.. Fluxo transiente unidimensional São apresentados exemplos de fluxo em regime transiente unidimensional através de colunas formadas por um e dois materiais cujas soluções analíticas foram obtidas por Srivastava e Yeh 99. Para as simulações numéricas no GEOFLUX3D empregou-se o modelo exponencial para a descrição das curvas características dos solos não-saturados.

Exemplos de Verificação 67 4... Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída por um único material A primeira análise corresponde ao processo de infiltração devido a uma condição de fluxo D prescrito no valor de 0009 m/h no topo de uma coluna de solo de um metro de altura constituída de um único material como mostrado na figura 4.. Também é apresentada nesta figura a malha de elementos finitos adotada 222 nós e 668 elementos do tipo TETR4 juntamente com as condições de contorno e a condição inicial do problema. Os valores selecionados para as propriedades do material são os apresentados na Tabela 4.. Tabela 4. Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material - parâmetros do modelo exponencial. Srivastava e Yeh 99. α exp K s m/h θ r θ s.0 00 020 045 Figura 4. - Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno.

Exemplos de Verificação 68 A condição inicial desse processo de infiltração indicada na Figura 4. é igual à condição estacionária estabelecida a partir de uma análise preliminar indicada na figura 4.2. Esta análise preliminar consiste na simulação de um processo de infiltração devido a um fluxo de 000m/h prescrito no topo da coluna sendo a mesma sujeita inicialmente a uma distribuição de carga hidráulica total nula como indicado na Figura 4.2. Figura 4.2 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material - análise preliminar. O tempo foi discretizado em 000 passos de tempo de 0 horas de duração até atingir a condição de regime permanente depois de 00 horas. Adotou-se para o tratamento da não-linearidade uma tolerância de % e um máximo de 50 iterações para atingir esta convergência. A velocidade de processamento foi muito rápida com toda a simulação executada em menos de minuto de processamento. Os resultados computados pelo GEOFLUX3D são apresentados na figura 4.3 em termos da distribuição da carga de pressão no tempo e no espaço. A partir desta figura pode-se notar que a

Exemplos de Verificação 69 solução numérica apresentou uma excelente concordância com a solução analítica Srivastava e Yeh 99 para todos os instantes de tempo avaliados. A condição estacionária para este problema foi observada em aproximadamente 00 horas. Cabe ressaltar que a camada de solo não atingiu a saturação completa ou seja a velocidade de fluxo imposta não foi suficiente para saturar a camada de solo. Para isto seria necessária a aplicação de uma velocidade de fluxo prescrita maior do que o valor da condutividade hidráulica saturada. Figura 4.3 Infiltração em uma coluna de solo constituída de um único material resultados numéricos e analíticos. O segundo exemplo analisado corresponde ao processo de drenagem da mesma coluna de solo desta vez prescrevendo-se um fluxo de 000 m/h no topo da camada como indicado na figura 4.4. A condição inicial corresponde à distribuição das pressões finais obtidas para condição estacionária no processo anterior de infiltração. O material a discretização do tempo o tipo de marcha no tempo e os parâmetros para o tratamento da não-linearidade são iguais aos do primeiro exemplo.

Exemplos de Verificação 70 Figura 4.4 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de um único material malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno. Os resultados obtidos são apresentados na figura 4.5 em termos da distribuição no tempo e no espaço da carga de pressão. Observa-se novamente uma boa concordância entre os resultados das soluções numérica e analítica Srivastava e Yeh 99 em todos os instantes de tempo avaliados. A condição estacionária foi obtida em aproximadamente 00 h. Ou seja a drenagem da camada de solo ocorreu no mesmo período de tempo que o processo de infiltração. A distribuição das cargas de pressão no regime permanente é praticamente a distribuição inicial de pressões utilizada no processo de infiltração.

Exemplos de Verificação 7 Figura 4.5 Drenagem em uma coluna de solo constituída de um único material resultados numéricos e analíticos. 4..2. Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída por dois materiais O exemplo adota a mesma estratégia de solução do exemplo anterior único solo ou seja analisa-se inicialmente o processo de infiltração devido a um fluxo prescrito no topo da coluna de solo e em seguida investiga-se o processo de drenagem desta coluna devido à variação do fluxo imposto. A diferença com os exemplos do item 4.. é que desta vez o solo é constituído por dois materiais com diferentes condutividades hidráulicas. A primeira situação estudada é o processo de infiltração devido a um fluxo prescrito de 0009 m/h imposto no topo da coluna de dois metros de altura formada por dois materiais como indicado na figura 4.6. Apresenta-se também nesta figura a malha de elementos finitos utilizada 429 nós e 34 elementos tipo

Exemplos de Verificação 72 TETR4 juntamente com as condições de contorno e a condição inicial do problema. Esta condição inicial foi definida de maneira análoga à apresentada no item 4.. sendo igual à condição em regime permanente obtida a partir da simulação prévia de um fluxo prescrito de 0.00 m/hr no topo da coluna. Figura 4.6 - Infiltração em uma coluna de solo constituída de dois materiais malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno. Os valores adotados para as propriedades dos materiais são apresentados na tabela 4.2. Cabe observar que Srivastava e Yeh 99 empregaram uma única curva de retenção de água para materiais diferentes. O fato aparentemente não traz inconvenientes numéricos porém é fisicamente inconsistente.

Exemplos de Verificação 73 Tabela 4.2 Infiltração e drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais - parâmetros do modelo exponencial. Srivastava e Yeh 99 Material α exp K s m/h θ r θ s camada superior 00 00 006 040 2 camada inferior 00 00 006 040 O tempo foi discretizado em 000 passos com 0 horas de duração até atingir a condição de regime permanente após 00 horas. Adotou-se para o tratamento da não-linearidade uma tolerância de % com número máximo de iterações igual a 50. Os resultados fornecidos pelo programa GEOFLUX3D são apresentados na figura 4.7. Mais uma vez uma concordância satisfatória entre resultados das soluções numérica e analítica Srivastava e Yeh 99 foi observada para todos os instantes de tempo analisados. Figura 4.7 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais resultados numéricos e analíticos.

Exemplos de Verificação 74 Cabe observar que a velocidade de fluxo 0009m/h imposta no topo da coluna é aproximadamente um décimo do valor da condutividade hidráulica saturada 0m/h do material da camada superior de solo. Isso indica que esta camada mesmo ao atingir o regime de fluxo permanente não se encontrará totalmente saturada enquanto que a camada inferior com condutividade hidráulica saturada de 00m/h aproximadamente igual à velocidade de fluxo prescrito atingirá o regime de fluxo permanente com saturação bastante próxima a 00%. A segunda situação analisada corresponde ao processo de drenagem desta mesma coluna de solo devido à variação do fluxo prescrito no topo da camada de 0009 m/h para 000 m/h. A condição inicial indicada na figura 4.8 é igual à distribuição de poropressões obtida na condição estacionária do processo de infiltração. Os materiais a discretização do tempo o tipo de marcha no tempo e os parâmetros para o tratamento da não-linearidade são também iguais. Figura 4.8 - Drenagem de uma coluna de solo constituída de dois materiais malha de elementos finitos e valores das condições iniciais e de contorno.

Exemplos de Verificação 75 Os resultados obtidos são apresentados na figura 4.9 em termos da distribuição no espaço e no tempo da carga de pressão. A partir dessa figura pode-se observar que existe uma boa concordância entre a solução numérica e a solução analítica obtida por Srivastava e Yeh 99 para todos os instantes de tempo considerados chegando-se em regime permanente na condição inicial do processo de infiltração analisado no item anterior. Figura 4.9 - Drenagem em uma coluna de solo constituída de dois materiais resultados numéricos e analíticos. 4.2. Fluxo transiente bidimensional Este exemplo tem como propósito validar o programa para condições bidimensionais de fluxo comparando-se os resultados numéricos com soluções analíticas obtidas por Warrick e Lomem 976. Investiga-se o processo de infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado sobre uma faixa da superfície da camada como ilustrado

Exemplos de Verificação 76 na figura 4.0. a solução analítica do problema Warrick e Lomen 976 adotaram funções exponenciais semelhantes àquelas utilizadas por Srivastava e Yeh 99. Deste modo na solução numérica pelo programa GEOFLUX3D o modelo exponencial foi utilizado na representação do comportamento hidráulico dos solos não-saturados. Figura 4.0 Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado numa faixa da superfície com indicação das condições iniciais e de contorno. A figura 4. apresenta a malha de elementos finitos adotada 87 nós e 90 elementos do tipo TETR4 e a tabela 4.3 lista os valores das propriedades dos materiais. Tabela 4.3 Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado a uma faixa da superfície parâmetros do modelo exponencial. Warrick e Lomen 976 α exp K s m/min θ r θ s 4.0 0000694 000 050 O tempo foi discretizado em 72 intervalos de minuto. o tratamento da não-linearidade adotou-se uma tolerância de % e um número máximo de 50 iterações.

Exemplos de Verificação 77 Figura 4. Malha de elementos finitos utilizada para simulação da infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado em uma faixa da superfície. Os resultados fornecidos pelo programa GEOFLUX3D em termos das curvas com mesma carga de pressão isóbaras para dois instantes representativos da simulação 36 e 72 minutos são ilustrados na figura 4.2. a 36 minutos b 72 minutos Figura 4.2 - Evolução das cargas de pressão computadas pelo GEOFLUX3D.

Exemplos de Verificação 78 Finalmente a figura 4.3 faz uma comparação entre as isóbaras obtidas analítica e numericamente para os mesmos intervalos de tempo 36 min e 72 min. Conforme pode ser verificado a solução numérica obtida pelo programa computacional desenvolvido nesta dissertação apresentou uma excelente concordância com a solução analítica tanto no espaço quanto no tempo. a b Figura 4.3 - Infiltração em uma camada de solo sujeita a um fluxo constante aplicado numa faixa da superfície comparação dos resultados numéricos e analíticos em a 36 min; b 72 min.

Estudo de casos 79 5 Estudo de casos 5.. Fluxo através da barragem de enrocamento Gouhou China com face de concreto A barragem Gouhou estava localizada em Gonghe na província de Qinghai China como ilustrado na figura 5.. Esta barragem de enrocamento com face de concreto colapsou em 993 devido à erosão interna durante a etapa de enchimento inicial do reservatório. Figura 5. Localização da Barragem Gouhou na China. este item é analisado o processo de infiltração de água através do corpo da barragem inicialmente em condições não-saturadas sendo considerada a estratificação em uma zona do enrocamento. Os resultados fornecidos pelas análises 3D na Barragem Gouhou empregando o GEOFLUX3D são comparados com aqueles obtidos por Chen e

Estudo de casos 80 Zhang 2006 que utilizaram o programa computacional SVFLUX mostrando uma boa concordância entre ambos. Estes resultados também permitem apontar uma série de importantes aspectos que não podem ser modelados em análises tradicionais mais simples executadas no plano. 5... Descrição da barragem Gouhou A barragem estava projetada para armazenar um volume de água de 3 milhões de metros cúbicos contava com uma altura máxima de 7 metros e um comprimento de crista de 265 metros na altitude de 3.280 metros acima do nível do mar como mostrado na figura 5.2. O corpo da barragem estava formado por quatro regiões: a região I era de material de transição e suportava a face de concreto as regiões II e IV eram os enrocamentos principais sendo a região III o núcleo da barragem. Figura 5.2 - Barragem Gouhou: a seção transversal A-A de altura máxima; b seção longitudinal B-B vista desde montante. Unidades em metros. Chen e Zhang 2006

Estudo de casos 8 De acordo com a equipe da investigação da ruptura da barragem 996 o nível de água do reservatório se elevou continuamente de 3260 m para 32773 m 63m em 45 dias. A água então começou a fluir dentro do corpo da barragem através de uma junta entre o parapeito e a face de concreto ver detalhe na figura 5.2a e em apenas algumas horas mais tarde a água começou a emergir pela superfície de talude de jusante na elevação de 3260 m ocasionando o colapso da estrutura. 5..2. Condições iniciais e de contorno Uma das características da barragem de Gouhou e possível causa do colapso foi a estratificação existente em uma zona do enrocamento. Para representar esta influência na modelagem numérica considerou-se a barragem subdividida em 3 zonas de enrocamento sendo a zona 2 formada por material com condutividade hidráulica saturada muito superior às das zonas de enrocamento e 3. A figura 5.3 mostra o modelo geométrico 3D com a posição das zonas de enrocamento e as condições de contorno utilizadas na simulação computacional do fluxo pelo método dos elementos finitos. Figura 5.3 - Modelo geométrico 3D e condições de contorno para a simulação de fluxo transiente na barragem Gouhou China. Chen e Zhang 2006 O nível de água inicial foi assumido na base da barragem 32200m permanecendo assim a zona 3 submersa. Como condições iniciais considera-se que a sucção aumenta linearmente com a elevação do nível de água porém

Estudo de casos 82 limitada ao valor máximo de 42 kpa à sucção média do enrocamento compactado com um teor de umidade de 3.5% durante a fase de construção. Admite-se que a face de concreto é impermeável abaixo da elevação 3.2600 m mas é ineficiente acima dessa elevação fato que justifica a condição de contorno na superfície do talude da montante definida em duas partes. A parte superior elevação acima de 3.2600 m tem carga total prescrita como condição de contorno enquanto a parte inferior elevação abaixo de 3260 m tem a restrição de fluxo nulo impermeabilidade como condição de contorno imposta no modelo. A carga total é definida em relação ao nível de água na elevação 32773 m correspondente à base do parapeito. A condição de fluxo nulo é também aplicada ao longo da crista da barragem e na face de jusante da barragem se a pressão na superfície da face de jusante for negativa. Caso positiva é aplicada uma condição de fluxo livre por meio da subrotina SEEPAGE comentada no capítulo 3. 5..3. Propriedades dos materiais Para esta simulação empregaram-se materiais de enrocamento diferenciados apenas pela distribuição granulométrica como mostrado na figura 5.4. Desta forma foram empregados na simulação materiais com tamanhos de distribuição correspondente à curva média zona e materiais com tamanhos de distribuição correspondente à curva limite inferior zona 2. Para a fundação zona 3 foram empregados materiais disponíveis no leito do rio. Figura 5.4 Curvas de granulometria dos materiais empregados nas zonas de enrocamento da barragem Gouhou. Chen e Zhang 2006

Estudo de casos 83 As curvas de retenção para as zonas e 2 necessárias para as análises transientes são apresentadas na figura 5.5. A curva de retenção correspondente ao material da zona 3 leito do rio não foi considerada porque esta zona permanece saturada durante toda o processo de simulação. a b Figura 5.5 - Curvas características de retenção para os materiais correspondentes nas zonas de enrocamento a e 2 b. Chen e Zhang 2006 O modelo empregado para o ajuste das curvas foi o de van Genuchten 980 com auxílio do programa RETC v.6 Simunek et al. 985 desenvolvido para determinação dos parâmetros das curvas características de sucção e de condutividade hidráulica de solos não-saturados. A tabela 5. lista os valores obtidos para os parâmetros requeridos pelo modelo de van Genuchten. Tabela 5. - Parâmetros do modelo de van Genuchten 980 nos materiais da barragem Gouhou China. Material Zona θ s θ r α vg q K s x0-5 m/s Distribuição média dos grãos de enrocamento Distribuição limite inferior dos grãos do enrocamento 02 005 756 88 6 2 02 004 3277 70 230 Leito do rio 3 027 002 624 3 74

Estudo de casos 84 5..4. Modelagem no espaço e no tempo As figuras 5.6 e 5.7 mostram os modelos geométricos empregados nas análises 2D e 3D junto com suas respectivas malhas de elementos finitos. a análise bidimensional empregou-se uma malha com 526 nós e 885 elementos triangulares do tipo TRIA3. a análise tridimensional foram utilizados 2.979 nós conectados a 2.77 elementos do tipo tetraedro TETR4. Em ambas as simulações os intervalos de tempo foram iguais a 0000 dias de duração. Para o tratamento da não-linearidade adotou-se uma tolerância de % e um número máximo de 40 iterações. Os tempos de simulação computacional foram muito rápidos mostrando uma capacidade de resolução bastante efetiva do programa GEOFLUX3D. a b Figura 5.6 - a Modelo geométrico 2D da barragem Gouhou b malha de elementos finitos tipo TRIA3. a b Figura 5.7 - a Modelo geométrico 3D da barragem Gouhou b malha de elementos finitos tipo TETR4.

Estudo de casos 85 5..5. Análise e discussão dos resultados Pela consideração dos efeitos de estratificação obteve-se como esperado maiores velocidades de fluxo no enrocamento da zona 2 do que na zona. A figura 5.8 mostra a evolução no tempo da superfície freática na barragem. A infiltração de água se dá gradualmente a partir da parte superior do talude de montante onde a face de concreto é defeituosa. 004 dias 0 dias 02 dias 04 dias Figura 5.8 - Evolução no tempo da superfície freática na barragem Gouhou Distinguem-se duas zonas: uma escura onde os vazios estão completamente preenchidos por água e a poro-pressão é positiva região saturada e a outra mais clara onde a poro-pressão é negativa região não saturada. Observa-se que a região saturada alcança a superfície do talude de jusante em 0 dias e que o fluxo é mais rápido próximo das ombreiras laterais. Contudo a frente de saturação não alcança o nível de água inicial na base da barragem após 04 dias. A figura 5.9 mostra os contornos de poropressão na seção transversal localizada em z = 50 m em diferentes instantes de tempo comparando os resultados obtidos pelo GEOFLUX3D com aqueles estimados por Chen e Zhang 2006 usando o programa computacional SVFLUX3D.

Estudo de casos 86 Figura 5.9 - Evolução no tempo dos contornos das isóbaras kpa na seção transversal máxima da barragem Gouhou. Observa-se que a frente de saturação chega em 0 dias na superfície do talude de jusante na análise executada com o programa SvFlux3D enquanto que na modelagem através do GEOFLUX esta condição é atingida em 0 dias. A velocidade horizontal de fluxo é ligeiramente mais rápida nos resultados obtidos com o programa SVFLUX3D enquanto que a componente vertical parece ser ligeiramente maior nos resultados computados com o programa GEOFLUX3D. Estas pequenas diferenças podem estar relacionadas diretamente com a discretização da malha de elementos finitos e com o fato de que no SVFLUX3D o modelo de Fredlung e Xing 994 é empregado para representação das curvas características dos solos não-saturados enquanto que no GEOFLUX3D optou-se pelo modelo de van Genuchten 980.

Estudo de casos 87 Em ambas simulações a frente de umedecimento avança principalmente ao longo da interface entre as camadas de enrocamento comportamento consistente com o observado antes do colapso da barragem e do afloramento de água no talude jusante acima dos 3.2600m. Em comparação com os resultados obtidos pela análise 2D a frente de umedecimento atinge o talude de jusante em 05 dias tempo maior de aquele determinado na simulação 3D 0 dias. A figura 5.0 mostra os contornos de poropressão em diferentes instantes de tempo na seção longitudinal localizada em x = 56 m. As áreas escuras correspondem às regiões saturadas. A frente de umedecimento avança lentamente para baixo e quase atinge o lençol freático na base da barragem perto das ombreiras após 04 dias. A parte central da barragem no entanto até este instante de tempo permanece ainda não-saturada. 0.04 dias 0. dias 0.2 dias 0.4 dias Figura 5.0 Evolução no tempo dos contornos de poropressão kpa na seção longitudinal da barragem em x = 56m. Conforme também pode ser notado as cargas de pressão são maiores perto das ombreiras ocasionando maiores gradientes hidráulicos e conseqüentemente o fluxo avança com maior velocidade perto dos contornos laterais formando assim regiões de mais alto risco quando a água flui no interior do corpo da barragem. ão é de se surpreender portanto que rupturas por erosão em várias barragens do mundo como na barragem Teton EUA tenham acontecido junto às ombreiras USCOLD 988. Apresentam-se finalmente as figuras 5. e 5.2 contendo as distribuições de carga de pressão e de carga total respectivamente para o tempo t = 04 dias.

Estudo de casos 88 Como pode ser observado na figura 5. na superfície do talude da jusante correspondente à zona 2 as cargas de pressão tornam-se nulas devido à condição de contorno SEEPAGE que simula a saída livre de água através dessa superfície. Já na figura 5.2 os contornos de carga total tornam-se quase verticais e a direção de fluxo quase horizontal dentro da zona 2. Portanto a ruptura devido ao fluxo horizontal deve ter sido iniciada ao longo dessa camada como suposto inicialmente. Figura 5. - Distribuição de cargas de pressão m na barragem Gouhou depois de 04 dias. Figura 5.2 - Distribuição de cargas totais m na barragem Gouhou depois de 04 dias.

Estudo de casos 89 5.2. Fluxo através da barragem de terra Macusani A barragem de terra Macusani está projetada para ser construída em um vale estreito do rio Macusani na província de Carabaya departamento de Puno Peru como ilustrado na figura 5.3. São investigados os processos de fluxo transiente e permanente durante o enchimento e rebaixamento rápido do nível do reservatório comparando-se os resultados numéricos obtidos por análises 2D e 3D do fluxo os quais evidenciam a necessidade de se executar análises 3D nas barragens projetadas em vales estreitos onde os efeitos da variação da geometria nas condições de fluxo podem ser significativos. Figura 5.3 - Localização da barragem Macusani no Peru. o final os resultados obtidos pelo GEOFLUX3D na condição de regime permanente em análises 3D são comparados com aqueles obtidos por Huertas 2006 através do programa computacional SEEP3D v..5; mostrando-se algumas diferenças na posição final da linha freática entre ambos resultados

Estudo de casos 90 devido à condição de contorno SEEPAGE implementada no GEOFLUX3D e imposta na superfície do talude de jusante da barragem. 5.2.. Descrição da barragem Macusani Do tipo zonada a barragem terá uma altura máxima de 7 metros e um comprimento de crista de 40 metros situando-se a uma altitude de 4.3040 metros acima do nível do mar. O reservatório formado pela barragem terá um espelho de água de 475 km 2 devendo armazenar um volume máximo de 2 milhões de metros cúbicos garantindo uma vazão constante para a usina hidroelétrica de San Gabán. a figura 5.4 são apresentados uma seção transversal simplificada da barragem correspondente à seção de altura máxima A-A e um perfil da seção longitudinal vista desde a montante. Figura 5.4 - Barragem Macusani: a Seção transversal A-A de altura máxima; b Seção longitudinal. Unidades em metros. Fonte: Huertas 2006.

Estudo de casos 9 5.2.2. Casos de simulação Considerando a geometria e as condições de contorno ilustradas na figura 5.5 três casos de simulação de fluxo através da barragem de terra foram simulados. Em ambos os casos I e II investiga-se as condições de fluxo devido ao enchimento inicial do reservatório. o caso I a análise é feita considerando-se um valor do coeficiente de permeabilidade saturada k dreno = 4x0-5 m/s estabelecido para o dreno de acordo com o projeto original da barragem baseado em modelagem do problema 2D enquanto que no caso II o material do dreno foi admitido com coeficiente de permeabilidade saturada k dreno = 4x0-4 m/s. Finalmente no caso III simula-se o rebaixamento rápido do reservatório de água e as condições de fluxo assim geradas. Figura 5.5 - Modelo geométrico simplificado e condições de contorno para análise de fluxo 3D na barragem de terra Macusani Peru. os casos I e II a posição da superfície freática inicial é obtida a partir da condição de fluxo permanente na base da barragem devido à diferença de cargas nas superfícies livres de montante 4.2440m e de jusante 4.2360 metros. Assume-se que a sucção é incrementada linearmente com a carga de elevação acima da superfície freática alcançando valores muito elevados da ordem de.000 kpa na crista da barragem solos muito secos. Para o caso III as condições iniciais são aquelas obtidas quando o regime permanente é estabelecido na análise do caso II.

Estudo de casos 92 Para os três casos assume-se uma condição de contorno sob forma de carga hidráulica variável prescrita na superfície do talude da montante representando dessa forma as etapas de primeiro enchimento ou de rebaixamento rápido do reservatório. A função de variação da carga hidráulica prescrita na simulação do enchimento aplicável nas análises dos casos I e II empregando a subrotina DATBOUI está apresentada na tabela 5.2. A variação da carga para representar o rebaixamento rápido do reservatório da barragem no caso III é apresentada na tabela 5.3. Uma condição de contorno de fluxo nulo impermeável é aplicada na crista da barragem e no talude de jusante quando as cargas de pressão são negativas neste talude; na hipótese de positivas é imposta então a condição de fluxo livre utilizando a subrotina SEEPAGE conforme descrito anteriormente no capítulo 3. a região de saída sobre a superfície da fundação de jusante a carga hidráulica é considerada constante no valor de 36m. Também é assumido que as superfícies das ombreiras da barragem são impermeáveis i.e. admite-se que não haja fluxo através das fundações laterais da barragem. Tabela 5.2 - Função de variação de carga hidráulica na superfície do talude de montante primeiro enchimento do reservatório. Etapa Tempo dias Carga total H m Altitude m -- 0 440 42440 5 490 42990 2 0 60 4260 3 5 700 42700 4 20 830 42830 5 25 920 42920 6 30 000 43000 Tabela 5.3 - Função de variação de carga hidráulica na superfície do talude da montante rebaixamento rápido do reservatório. Etapa Tempo dias Carga total H m Altitude m -- 0 000 43000 02 920 42920 2 04 830 42830 3 06 700 42700 4 08 60 4260 5 0 440 42440

Estudo de casos 93 5.2.3. Propriedades dos materiais as análises foram considerados quatro materiais para o corpo da barragem e um material para a fundação os quais estão apresentados junto aos seus respectivos coeficientes de condutividade hidráulica na tabela 5.4. Os valores foram obtidos a partir de ensaios de laboratório executados no CISMID - Centro de Pesquisas da Universidade acional de Engenharia de Lima Peru. Tabela 5.4 - Materiais empregados na barragem Macusani e seus respectivos coeficientes de condutividade hidráulica na condição saturada. CISMID Zona da Barragem Material k s m/s Corpo da Barragem Espaldar 2x0-5 Corpo da Barragem úcleo x0-7 Corpo da Barragem Dreno 4x0-5 Corpo da Barragem Depósito fluvio glacial x0-5 Fundação Tufa vulcânica x0-7 As curvas de retenção de água foram as mesmas empregadas por Huertas 2006 e para sua representação empregou-se também o modelo de van Genuchten 980 com utilização do programa computacional RETC v.6 Simunek et al. 985. Tais parâmetros são listados na tabela 5.5 abaixo. Tabela 5.5 - Materiais empregados na barragem Macusani e respectivos parâmetros do modelo de van Genuchten 980 utilizado para análise sob regime transiente. CISMID Material Zona θ s θ r α vg q úcleo 04 005 047 78 Dreno 2 039 0020 2670 229 Espaldar 3 038 005 077 30 Depósito fluvio glacial 4 030 0035 035 93 Turfa vulcânica 5 038 0024 0400 374 5.2.4. Modelagem no espaço e no tempo As figuras 5.6 e 5.7 mostram os modelos geométricos empregados nas simulações 2D e 3D assim como suas respectivas malhas de elementos finitos. as análises bidimensionais empregou-se uma malha com 2.40 nós conectados a

Estudo de casos 94 4.025 elementos triangulares do tipo TRIA3. as análises 3D foram empregados 26.69 nós conectando 33.826 elementos tetraédricos do tipo TETR4. Em todos os casos empregaram-se passos de tempo de 0 dias de duração no início das simulações incrementados para 05 dias após 00 dias. Para o tratamento da não-linearidade adotou-se uma tolerância de % e um máximo número de iterações para convergência da solução numérica igual a 40. Os tempos de simulação computacional foram muito rápidos nos três casos para a análise 2D enquanto que nos casos 3D pela maior quantidade de equações os tempos de processamento chegaram a durar até 5 dias. a b Figura 5.6 - a Modelo geométrico 2D da barragem Macusani b malha de elementos finitos com o tipo TRIA3. a b Figura 5.7 - a Modelo geométrico 3D da barragem Macusani b malha de elementos finitos com o tipo TETR4.

Estudo de casos 95 5.2.5. Análise e discussão dos resultados 5.2.5.. Caso I: Primeiro enchimento do reservatório k dreno = 4x0-5 m/s A figura 5.8 mostra a evolução no tempo da superfície freática da barragem para o caso de fluxo 3D durante o primeiro enchimento do reservatório utilizando um coeficiente de permeabilidade do dreno na condição saturada igual a 4x0-5 m/s. Assim como no caso dos estudos feitos na barragem Gouhou podem ser distinguidas duas regiões: uma escura na qual a poropressão é positiva zona saturada e uma região mais clara onde a poropressão é negativa zona nãosaturada. Observa-se que a frente de umedecimento alcança o núcleo da barragem em 25 dias a partir dos quais o fluxo torna-se mais lento tendo em vista a baixa condutividade hidráulica do material do núcleo demorando 300 dias para atingir o dreno e estabelecer condições de fluxo permanente em.000 dias. esta condição nota-se que a superfície freática encontra-se acima do dreno evidenciando um aspecto de comportamento hidráulico da barragem não previsto com base na utilização de modelos bidimensionais pelo método dos elementos finitos. 5 dias 30 dias 300 dias.000 dias Figura 5.8 - Evolução da superfície freática na barragem Macusani para o caso I sob diferentes tempos

Estudo de casos 96 A figura 5.9 mostra os contornos de poropressão na seção transversal A-A em z = 290m para diferentes instantes de tempo com o propósito de comparar as condições de fluxo obtidas através de modelagens 2D e 3D. Observa-se que a frente de umedecimento avança ligeiramente mais rápida na simulação 3D o que pode ser atribuído em comparação com os resultados computados da análise 2D à contribuição das componentes de velocidade fora do plano que obviamente não podem ser representadas em modelos bidimensionais do problema. ota-se também que a frente de umedecimento avança rapidamente através da zona do espaldar da montante até chegar ao núcleo onde o fluxo tornase então muito lento. Análise 3D Análise 2D 5 dias 30 dias 300 dias.000 dias Figura 5.9 Evolução no tempo dos contornos de poropressão kpa na seção transversal em z = 290 m para o caso I. Quando a frente se estabelece no regime permanente no tempo t=.000 dias observa-se que na análise 3D a condutividade hidráulica do dreno não é suficiente para transportar toda a quantidade de água que percola pela barragem e conseqüentemente a superfície freática termina estabelecendo-se acima da face

Estudo de casos 97 superior do dreno. Dos resultados da análise 2D o dreno parece no entanto funcionar perfeitamente. Finalmente constatou-se certas oscilações na definição da superfície freática na interface entre o núcleo e o dreno tais oscilações podem ser explicadas devido a que não se considerou uma zona de transição apropriada nos modelos ocasionando mudanças bruscas de propriedades entre um material e outro porém sem significativa influência nos resultados gerais do problema. 5.2.5.2. Caso II: enchimento do reservatório k dreno = 4x0-4 m/s o caso II simula-se o primeiro enchimento do reservatório considerando-se um coeficiente de permeabilidade do material do dreno k dreno = 4x0-4 m/s na condição saturada dez vezes maior do que no caso I. A figura 5.20 mostra os contornos de poropressão na seção transversal A-A para o caso II. Observa-se uma semelhança de comportamento com o caso I até o tempo t = 300 dias necessário para que a frente de umedecimento atinja o dreno. o entanto devido à mudança no valor do coeficiente de condutividade hidráulica do dreno desta vez a superfície freática se estabelece no interior da região do dreno indicando que a mudança na permeabilidade do dreno assegurou que o mesmo funcione perfeitamente dentro de limites de segurança adequados inclusive incorporando a quantidade de água adicional gerado pelos efeitos 3D das condições de fluxo. 5 dias 30 dias 300 dias 000 dias Figura 5.20 Evolução dos contornos de poro pressão kpa na secção de corte em z = 290 m para o caso II.

Estudo de casos 98 Apresentam-se nas figuras 5.2 e 5.22 as distribuições finais de carga de pressão e de carga total respectivamente na condição de regime permanente no caso II. ota-se que na superfície do talude da jusante tem-se uma re-distribuição das cargas hidráulicas em conseqüência do afloramento de água pelo pé do dreno. Figura 5.2 - Distribuição final das cargas de pressão m na barragem Macusani depois de 000 dias condição de regime permanente para o caso II. Figura 5.22 - Distribuição final das cargas totais m na barragem Macusani depois de 000 dias condição de regime permanente para o caso II.

Estudo de casos 99 5.2.5.3. Caso III: Rebaixamento rápido do reservatório o caso III simula-se o rebaixamento rápido do reservatório considerando a função de rebaixamento mostrada anteriormente na tabela 5.5. A figura 5.23 mostra a evolução da superfície freática na barragem Macusani. ota-se que logo após a ocorrência do rebaixamento rápido o nível da superfície freática na região de montante desceu muito pouco não tendo havido tempo suficiente para a dissipação dos excessos de poropressão no espaldar de montante que em quase a sua totalidade apresenta-se saturado. Este aspecto do problema hidráulico aliás evidencia os cuidados com que devem ser feitas as análises de estabilidade de taludes de montante de barragens considerando-se a possibilidade de ocorrência de rebaixamentos rápidos do nível de água do reservatório. dia 200 dias 400 dias 000 dias Figura 5.23 - Evolução da posição da superfície freática com o tempo após rebaixamento rápido do reservatório. A figura 5.24 mostra a evolução da superfície freática assim como os contornos de poropressão negativos na superficie do talude de montante após o rebaixamento do reservatório. Observa-se aqui que após o rebaixamento total do reservatório em um dia a superfície freática desce ligeiramente mais próximo da zona da seção transversal máxima A-A enquanto que se retarda na direção das

Estudo de casos 00 ombreiras laterais principalmente da ombreira esquerda região mais afastada da seção máxima A-A. dia 200 dias 400 dias 000 dias Figura 5.24 Evolução no tempo dos contornos de poropressão kpa na superfície de talude de montante após o rebaixamento rápido. 5.2.6. Comparação de resultados com o programa computacional Seep3D Os resultados obtidos nas análises 3D pelo programa GEOFLUX3D na condição de regime permanente são aqui comparados com aqueles obtidos por Huertas 2006 através da utilização do programa comercial SEEP3D v..5. Compararam-se em primeiro lugar as posições finais das superfícies freáticas obtidas para o caso I como mostrado na figura 5.25. Como apreciado nesta figura as linhas freáticas são estabelecidas acima do nível superior do dreno porém aprecia-se diferencias à saída no talude da jusante. A linha freática estabelecida no SEEP3D é fixada à saída do pé do dreno elevação de 36m devido à condição de contorno imposta nessa posição enquanto que para o GEOFLUX3D a linha freática á saída termina estabelecendo se acima do nível superior do dreno elevação de 49m devido à condição de contorno SEEPAGE imposta na superfície do talude de jusante.