FRANC3D: Idéias Básicas, Conceitos Fundamentais e Utilização

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1 FRANC3D: Idéias Básicas, Conceitos Fundamentais e Utilização Célio Oda Moretti Túlio Nogueira Bittencourt Laboratório de Mecânica Computacional Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Escola Politécnica - USP 1. Introdução Neste trabalho, será apresentado o programa de análise de estruturas tridimensionais fissuradas FRANC3D (3D FRacture ANalysis Code), procurando-se mostrar as idéias e conceitos existentes por trás do programa e a sua utilização e capacidades. Assim, a primeira parte do trabalho apresentará as idéias básicas do sistema, relacionadas aos modelos empregados para representar tanto os sólidos tridimensionais como as fissuras e sua propagação. A seguir, os conceitos específicos do sistema, como a forma de discretização e geração de malha e a metodologia utilizada para a propagação de fissuras tridimensionais, são descritos. Em seguida, a execução de um exemplo simples ilustrará o uso e as capacidades do programa ao analisar estruturas fissuradas. O programa FRANC3D encontra-se em contínuo desenvolvimento, servindo de plataforma para diversos projetos envolvendo a análise de estruturas tridimensionais fissuradas. Um desses projetos, que está sendo desenvolvido pelos autores, envolve a integração do FRANC3D com o programa de análise pelo Método dos Elementos Finitos FEMOOP (Finite Element Analysis - Object Oriented Programming). Essa integração permitirá a realização da análise estrutural em um ambiente de Computação de Alto Desempenho, fazendo-se uso do processamento paralelo. 2. Idéias Básicas do Sistema O programa FRANC3D [Wawrzynek,88] [Martha,89] foi concebido com o objetivo principal de se obter um sistema eficiente para a realização da simulação numérica do comportamento de estruturas tridimensionais fissuradas. A simulação de estruturas envolve, além da análise numérica, todos os aspectos do processo de modelagem, desde a preparação dos dados iniciais até a visualização dos resultados finais. O ambiente de trabalho deve ser intuitivo e simples, procurando-se ocultar a maior parte da complexidade do processo de modelagem, permitindo ao usuário concentrar sua atenção no comportamento da estrutura, sem se preocupar com detalhes da representação do modelo, especificação de atributos e geração da malha. Para se obter esses objetivos, o programa FRANC3D incorpora: ferramentas de modelagem de sólidos; uma estrutura de dados topológicos que permite que a topologia seja separada da geometria; 1

2 a associação de atributos do modelo com as primitivas topológicas; uma hierarquia de modelos topológicos para organizar e guiar o processo de discretização; uso de computação gráfica interativa em estações de trabalho de alta desempenho; uma interface amigável com o usuário. 2.1 Um Modelo Conceitual de Simulação de Propagação de Fissuras O processo de simulação de uma fissura é um processo incremental, onde uma série de passos são repetidos para a progressão dos modelos. Cada iteração do processo utiliza resultados já obtidos, e representa uma configuração da fissura. Há quatro conjunto de dados primários requeridos para cada iteração. O primeiro é o conjunto representacional de dados (R i ), onde o índice i indica o número de iterações. Este conjunto contém todas as informações necessárias para a descrição de uma estrutura fissurada, incluindo a descrição da geometria (com as fissuras), forças aplicadas, deslocamentos e constantes do material. Por meio de um processo de discretização, os dados representacionais são transformados nos dados de análise de tensão (A i ), que contêm uma descrição aproximada da estrutura, apropriada para a análise de tensão por meio de um programa específico. Um procedimento de solução é utilizado para transformar os dados de análise em dados de equilíbrio (E i ), que consistem nos carregamentos e deslocamentos que definem o equilíbrio do modelo de análise A i. O procedimento de solução é usualmente um programa de análise pelo método dos elementos de contorno ou finitos. Em uma simulação de propagação de fissuras, o modelo em equilíbrio deve conter também os valores dos fatores de intensidade de tensão ao longo do fronte da fissura. Os dados de equilíbrio são usados conjuntamente com os dados representacionais para criar uma nova representação, R i+1. O novo modelo representa um passo incremental na propagação do fronte da fissura baseado nos resultados anteriormente calculados. O processo é então repetido até que uma condição de término da simulação é satisfeita. O processo de simulação da propagação de fissuras pode ser descrito simbolicamente. Uma função de geração de malha M transforma a descrição de uma estrutura fissurada em um modelo discreto, apropriado para a análise de tensão: M(R i ) A i Um procedimento de análise de tensão S, calcula as incógnitas e os parâmetros de fratura F i : S(A i ) E i, F i Uma função U que atualiza o modelo representacional, utiliza os dados de equilíbrio, a representação atual, e uma função C que prevê a evolução da forma da fissura, e cria um novo conjunto de dados representacional: U(E i,r i,c(f i )) R i+1 O processo é repetido de maneira incremental até que uma condição de término é satisfeita (Figura 1). 2

3 Figura 1: Simulação incremental de propagação de fissura Antes que simulações possam ser feitas, os conjuntos de dados abstratos R i, A i, E i e F i, e as funções abstratas M, S, C e U, devem ser redefinidas em termos de estruturas de dados e algoritmos. Nas próximas seções serão mostrados os mecanismos e as metodologias utilizadas pelo FRANC3D, incluindo a modelagem geométrica, o uso da topologia computacional, hierarquias de modelos e especificação de atributos. 2.2 Representação do Modelo Modelagem de Sólidos A modelagem de sólidos refere-se à representação e ao processamento de informações geométricas de objetos sólidos tridimensionais. A simulação no FRANC3D utiliza uma hierarquia de modelos. Esses modelos vão de um modelo sólido da estrutura real até um modelo analítico da estrutura. O modelo sólido possui os aspectos geométricos da estrutura real necessários para representar o comportamento de interesse, e o modelo analítico (elementos finitos ou de contorno) aproxima o comportamento mecânico. No passado, a maioria das simulações eram feitas em um único modelo analítico, consistindo em uma malha e seus atributos associados. Assim, a malha era o modelo e todas as informações geométricas eram obtidas a partir da malha. Atualmente, técnicas de modelagem de sólidos possibilitam a representação dos aspectos geométricos da estrutura explicitamente. Uma eventual discretização é feita mapeandose o modelo sólido original, e os atributos podem ser automaticamente especificados aos elementos componentes da discretização. Também, se a simulação requer a geração de uma nova malha, o modelo sólido permanece válido e a nova malha pode ser mapeada e os atributos especificados automaticamente. Duas faces coincidentes de uma fissura fechada representam superfícies distintas que são geometricamente coincidentes, uma situação que não pode ser representada por alguns tipos de modelagem de sólidos. Uma forma de contornar essa dificuldade é supor que as fissuras têm uma abertura arbitrária. Mas a introdução de pequenas aberturas fictícias das fissuras podem levar a resultados computacionais ambíguos devido aos erros de arredondamento. Faces de fissuras são duas superfícies que compartilham uma descrição geométrica comum. Isso pode ser modelado de maneira quase completa com uma representação do contorno (B-rep, Boundary representation), que armazena as superfícies e a geometria das superfícies explicitamente. Neste caso, a superfície da fissura deve ser marcada para indicar que, na realidade, representa duas superfícies. No entanto, tendo-se as informações das adjacências topológicas explicitamente facilita-se a implementação de outras tarefas como a geração de malhas. 3

4 2.2.2 Estrutura de Dados Topológicos A representação interna de dados do FRANC3D foi desenvolvida para facilitar o armazenamento e a manipulação de objetos tridimensionais cuja topologia e geometria podem variar ao longo da simulação. Para isso, foi adotada a utilização de uma hierarquia de modelos, cada um sendo uma representação topológica da estrutura a ser analisada Topologia Topologia é uma abstração de alto nível da informação geométrica. Há vários tipos de topologia, e o tipo utilizado pelo FRANC3D é a topologia adjacente, a qual descreve a adjacência das primitivas topológicas. Essas primitivas podem ser, por exemplo, vértices, arestas e faces. Qualquer objeto físico pode ser completamente descrito pela sua geometria, que dá a localização espacial exata de todas as partes do objeto. A topologia é um subconjunto da geometria, ou seja, a topologia pode ser derivada da geometria, mas a geometria não pode ser reconstruída a partir da topologia. A utilização da topologia na simulação da propagação de fissuras é útil devido à quatro razões principais: a informação topológica pode ser armazenada de maneira exata, sem aproximações ou ambiguidade; há uma rica base teórica que dá suporte aos conceitos da topologia de grafos de contorno ( por exemplo, [Mantyla,88] e [Weiler,86] ); uma configuração topológica pode representar um número infinito de configurações geométricas. Vários problemas podem ser resolvidos de maneira genérica em um espaço topológico, e então mapeados em uma geometria específica; na simulação de propagação de fissuras, a geometria de um objeto muda a cada incremento da fissura. A topologia do objeto, entretanto, muda muito menos freqüentemente. Modificações locais podem ser feitas sem a necessidade de uma reorganização global do resto dos dados Geometria separada da topologia As informações topológicas apenas não são sufucientes para descrever um objeto sólido tridimensional. Informações geométricas devem também ser associadas a cada primitiva topológica. Assim, coordenadas cartesianas são associadas aos vértices; equações de curvas tridimensionais são associadas às arestas; e equações de superfícies são associadas às faces (Figura 2). 4

5 Figura 2: Relação entre a topologia e a geometria Estrutura de dados topológicos do tipo Radial-Edge Há vários tipos de estruturas de dados que podem ser utilizados para descrever a adjacência entre primitivas topológicas. A maioria consegue modelar objetos que possuem no máximo duas superfícies compartilhando a mesma aresta (two-manifold surfaces), como por exemplo as superfícies externas de um poliedro. Mas quando se deseja trabalhar com objetos tridimensionais complexos, que possuam, por exemplo, superfícies internas (non-manifold surfaces) e diferentes tipos de materiais, uma estrutura de dados mais sofisticada é necessária. A estrutura de dados topológicos do tipo radial-edge [Weiler,86] satisfaz essas exigências. A Figura 3 ilustra o mecanismo pelo qual a estrutura radial-edge representa condições de superfícies non-manifold. Suponha que se deseja representar um hexaedro sólido composto de dois materias separados. Esse modelo pode ser construído a partir de um sólido único, adicionando-se uma superfície interna (topologicamente equivalente a uma face) que divide esse objeto em duas regiões, atribuindo-se então o tipo de material apropriado para cada região. A adição da interface resulta na divisão de uma região, quatro faces e quatro arestas, além da adição da própria interface (face). Há uma condição de superfícies non-manifold ao longo de cada nova aresta, por exemplo, a aresta A-B da Figura 3. A estrutura radial-edge armazena as informações da adjacência das faces em torno dessa aresta. Assim, a lista de superfícies adjacentes a essa aresta é: {f8, f7, f1}. Figura 3: Representação radial-edge 5

6 2.2.6 Associação de atributos do modelo com entidades topológicas Existem vários atributos a serem associados com o modelo numérico. Tais atributos incluem: condições de contorno, propriedades dos materiais, etc. Em um programa convencional de elementos finitos ou de contorno, os atributos são associados com a malha. No FRANC3D, todos os atributos são associados com entidades topológicas. Por exemplo, forças de superfície são associadas com faces, propriedades do material com regiões, e deslocamentos com vértices e arestas Hierarquia de modelos topológicos Ao longo de uma simulação, o FRANC3D mantém uma hierarquia de modelos, sendo que cada um é uma representação topológica do tipo radial-edge da estrutura (Figura 4). Cada nível da hierarquia corresponde aos vários estágios do processo de discretização, de um modelo sólido para uma eventual malha com os atributos associados. A hierarquia é composta por cinco modelos: Modelo Geométrico Modelo de Decomposição de Volume Modelo de Decomposição de Faces Modelo de Decomposição de Arestas Modelo de Discretização da Malha Figura 4: Hierarquia de modelos, (a) Geométrico, (b) Decomposição de Volume, (c) Decomposição de Faces, (d) Decomposição de Arestas. e (e) Malha 6

7 Os modelos são associados entre si por meio das informações dos atributos. Por exemplo, as faces do Modelo de Malha herdam as condições de contorno das faces correspondentes do Modelo Geométrico. A hierarquia é feita de tal forma que cada modelo herda todas as informações dos modelos acima dele, podendo conter também informações adicionais especificadas pelo usuário durante o processo de discretização. A hierarquia também facilita a localização de danos ao modelo durante a análise incremental. Dano localizado é um conceito útil em simulações incrementais. Quando uma parte do modelo é alterado, uma certa quantidade de informações torna-se obsoleta. O conceito de dano local diz que a quantidade de informação perdida deve ser minimizada. Por exemplo, no caso da propagação de fissura, pequenas modificações na geometria são feitas na região próxima do fronte da fissura (Figura 5). Isso invalida a malha nessa região, mas partes do modelo afastadas da fissura não são afetadas, não necessitando então gerar nova malha. Figura 5: Dano localizado durante a propagação de fissura 2.3 Representação topológica de fissuras e de propagação de fissuras A propagação de fissuras afeta todos os níveis da hierarquia, mudando a geometria do modelo original. Entretanto, somente as entidades diretamente adjacentes ao fronte da fissura são afetados. Fissuras são formadas por um conjunto de faces, arestas e vértices (Figura 6). Uma fissura é geralmente formada por um lado principal e um lado secundário (uma fissura simétrica é modelada utilizando-se apenas o lado principal). Todas as faces possuem faces secundárias, todas as arestas, exceto as arestas pertencentes ao fronte da 7

8 fissura, possuem arestas secundárias, e todos os vértices, exceto aqueles no fronte da fissura, possuem vértices secundários.os vértices da ponta da fissura são aqueles que definem a fronteira entre as arestas do fronte da fissura e a abertura da fissura. Figura 6: Topologia de uma fissura típica As fissura em uma estrutura tridimensional podem ser classificadas como interna ou de superfície. Uma fissura interna não intersecta a superfície da estrutura enquanto que uma fissura de superfície pode intersectar uma ou mais superfícies de fronteira da estrutura. Uma fissura interna pode tornar-se uma fissura de superfície a medida em que ocorre a propagação, podendo-se chegar até a ocorrência de uma descontinuidade completa da estrutura. Assim, uma fissura tridimensional ou descontinuidade pode ter nenhum, um ou múltiplos frontes de propagação Representação topológica da propagação de fissuras Para propagar, pelo menos um dos frontes da fissura deve mover-se. Se a fissura possue múltiplos frontes, cada fronte deve ser analisado separadamente. Com o movimento, ocorrem mudanças na forma, tamanho e orientação da fissura, podendo ocorrer intersecção da fissura com a superfície externa da estrutura e com outras fissuras presentes no corpo. Frontes de fissuras adjacentes podem se juntar, formando uma única fissura. Além disso, todos os frontes de fissura podem desaparecer, se a fissura se torna uma descontinuidade completa. Assim, as rotinas de simulação da propagação de fissuras devem ser capazes de lidar com todos os casos citados acima Propagação de fissuras com operadores de rasgamento A estrutura de dados do tipo radial-edge, implementada no FRANC3D, é capaz de representar a topologia de geometrias fissuradas complexas. Com a adição de rotinas para a criação de vértices, arestas e faces, e a adição de operadores de Euler para realizar o rasgamento de entidades topológicas, as fissuras mais complexas podem ser criadas interativamente. Os operadores de rasgamento foram implementados para criar fissuras. Os operadores de rasgamento permitem que uma face (ou um conjunto de faces e de arestas e vértices adjacentes) seja particionada, criando uma nova fissura ou aumentando uma fissura já existente. A seqüência de operações para criar uma fissura a partir de um conjunto de faces é (Figura 7): (a) Particionar as faces, criando-se novas faces que usam as mesmas arestas das faces originais. 8

9 (b) Particionar as arestas que estão nas superfícies livres ou são adjacentes a duas faces particionadas. (c) Particionar todos os vértices que são adjacentes a duas arestas particionadas, mas não pertencente ao fronte da fissura. Esses operadores de rasgamento podem ser usados para criar qualquer tipo de fissura ou descontinuidade. Figura 7: Criação de uma fissura interna a partir de quatro faces 3. Conceitos específicos do sistema FRANC3D 3.1 Discretização e geração da malha No FRANC3D, as malhas podem ser construídas utilizando-se elementos triangulares ou quadrilaterais, ou uma combinação dos dois tipos. Se a malha está sendo construída com elementos quadrilaterais mas a superfície não pode ser inteiramente coberta por esse tipo de elemento, elementos triangulares são utilizados. Se a malha está sendo construída com elementos triangulares, toda a malha será composta por triângulos. O padrão utilizado na formação dos triângulos também pode ser especificado Subdivisão de arestas Antes de gerar a malha em superfícies, as arestas devem ser subdivididas em segmentos de linha. Os nós da subdivisão da aresta tornam-se nós da malha. Assim, a densidade da subdivisão das arestas controlam a densidade da malha, podendo-se alterar o número de subdivisões ou mudar a razão entre os pontos das arestas para aumentar o número de elementos num local específico da superfície. Em geral, pontos de singularidade exigem um número maior de pequenos elementos. Assim, nas pontas e ao longo do fronte de fissuras, um número maior de pequenos elementos produzirá resultados mais precisos. Uma boa idéia é criar uma linha de elementos quadrilaterais de tamanho uniforme ao longo do fronte da fissura. 9

10 3.1.2 Geração de malhas mapeadas Uma malha mapeada é aquela na qual uma malha regular específica, como por exemplo uma malha m x n sobre uma região de quatro lados, é construída sobre uma superfície. O mapeamento pode ser aplicado quando (a) a região pode ser tratada como se tivesse exatamente três ou quatro lados, e (b) o número de nós ao longo dos vários lados corresponde ao número de nós do método de mapeamento utilizado. Respeitadas essas condições, esses métodos resultam em malhas de boa qualidade. O mapeamento não pode ser aplicado em regiões de transição. No FRANC3D, existem três esquemas para a geração de malha mapeadas: bilinear, bi-linear colapsado e tri-linear. Ao se utilizar o algoritmo de mapeamento bilinear, a face deve ser decomposta em quatro super-arestas de tal forma que superarestas opostas tenham o mesmo número de subdivisões. É gerada então uma malha regular com elementos quadrilaterais, a não ser quando o usuário escolhe elementos triangulares: nesse caso os elementos quadrilaterais são divididos em triângulos. O algoritmo de mapeamento bi-linear colapsado decompõe a face em três super-arestas, com duas delas possuindo o mesmo número de subdivisões. Nesse caso, os elementos triangulares irão emanar do vértice de conexão das duas super-arestas que possuem o mesmo número de vértices. Já o algoritmo de mapeamento tri-linear divide a face em três super-arestas com o mesmo número de vértices. Tanto o algoritmo bi-linear colapsado quanto o tri-linear geram uma malha com elementos quadrilaterais e triangulares (a não ser quando o usuário especifica a utilização de apenas elementos triangulares) Geração de malhas em superfícies arbitrárias O algoritmo de geração de malhas em superfícies arbitrárias permite que uma face de formato arbitrário seja coberta usando elementos triangulares ou quadrilaterais. Uma descrição completa do algoritmo pode ser encontrada em [Potyondy,93]. Pontos internos adicionais podem ser definidos ou gerados automaticamente para produzir a malha. Vários parâmetros podem ser especificados em uma caixa de diálogo (Figura 8) para controlar a densidade e a aparência da malha. Figura 8: Caixa de diálogo do algoritmo de geração de malha em superfícies arbitrárias 10

11 3.2 Especificação de atributos Os atributos da simulação podem ser organizados em cinco categorias: propriedades dos materiais, propriedades geométricas, informações de controle da análise, informações de controle da discretização e condições de contorno. Todos os atributos de simulação são associados a entidades topológicas únicas do Modelo Geométrico no FRANC3D. Cada nó ou elemento da malha pode encontrar a sua entidade correspondente no Modelo Geométrico e herdar os seus atributos Propriedades dos materiais As propriedades dos materiais presentes na Versão 1 do FRANC3D consistem das constantes elásticas lineares, módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson, além da tenacidade e densidade. Essas propriedades são atribuídas a regiões e faces do Modelo Geométrico Propriedades geométricas Propriedades geométricas são necessárias apenas para estruturas de cascas e consiste da espessura da casca. Essas informações são atribuídas a faces do Modelo Geométrico Informações de controle da discretização As informações de controle da discretização são usadas pelos algoritmos de geração de malha para determinar a densidade dos elementos e a topologia da malha Condições de contorno Todas as condições de contorno são associadas às faces, arestas e vértices topológicos do Modelo Geométrico. São especificados provendo-se ou um valor de deslocamento ou um valor de força para cada uma das três direções ortogonais (em termos do sistema de coordenadas global ou local). Na análise de cascas, valores para rotações e momentos também devem ser fornecidos. 3.3 Metodologia da propagação de fissuras tridimensionais A propagação de fissuras tridimensionais requer o acoplamento da física e matemática que governam a propagação de múltiplas e não-planas fissuras com a representação topológica e geométrica presente no FRANC3D. O FRANC3D é capaz de criar fissuras múltiplas e não-planas. Entretanto, a física e a matemática envolvidas na propagação de fissuras tridimensionais arbitrárias ainda não está bem compreendida. No FRANC3D, atualmente, os fatores de intensidade de tensões são calculados usando a técnica de correlação de deslocamentos (displacement correlation). A direção da propagação é calculada em pontos discretos ao longo do fronte da fissura usando equações de deformação plana (2D). O incremento na fissura é calculado utilizando-se expressões simples, como o Modelo de Paris, com a extensão máxima fornecida pelo usuário. Os principais problemas associados com a simulação numérica da propagação de fissuras tridimensionais não-planas são: 11

12 (1) precisão do cálculo dos fatores de intensidade de tensão ao longo do fronte de uma fissura tridimensional arbitrária; (2) determinação da direção da propagação e o incremento do comprimento da fissura, baseado nos fatores de intensidade de tensão acima; (3) o efeito da vizinhança como bordas livres, outras fissuras e interfaces de materiais no cálculo dos fatores de intensidade de tensão e na propagação. Os três modos de propagação de fissuras incluem abertura, deslizamento e rasgamento, chamados respectivamente de Modos I, II e III. Os fatores de intensidade de tensão correspondentes aos três modos (K I, K II e K III ) definem o campo de tensões no fronte da fissura para uma dada condição de geometria e de contorno. Há vários métodos para se calcular os fatores de intensidade de tensão em uma simulação numérica de propagação de fissuras; como já mencionado, o FRANC3D utiliza o método de correlação de deslocamentos, que é uma técnica simples e de fácil implementação para geometrias de fissuras não-planas. Os deslocamentos na superfície da fissura (abertura, deslizamento e rasgamento) podem ser diretamente relacionados com os fatores de intensidade de tensão. Os deslocamentos são baseados em valores interpolados calculados em pontos que estão a uma distância específica do fronte da fissura (Figura 9). Figura 9: Relação entre os deslocamento em um ponto específico na superfície da fissura e os fatores de intensidade de tensão A propagação de fissuras bidimensionais em modos mistos tem sido estudada por vários anos, resultando em vários modelos que descrevem a direção e a extensão da fissura. Entre essas teorias estão a Teoria da Máxima Tensão Principal de Tração [Erdogan,63], a Máxima Taxa de Liberação de Energia [Hussain,74], a Mínima Densidade de Energia de Deformação [Sih,74], e outras. Entretanto, uma regra geral para a propagação de fissuras tridimensionais em modos mistos, envolvendo os três modos simultaneamente, ainda não foi formulada. Alguns trabalhos nesta área já foram realizados, como [Hodgdon,92] e [Leblond,93]. A propagação de fissuras bidimensionais é controlada pelos valores relativos dos fatores de intensidade de tensão no fronte da fissura. A direção é usualmente determinada usando uma das teorias citadas acima. O tamanho da extensão é geralmente baseada em relações simples entre o fator de intensidade de tensão e o comprimento da fissura, como o Modelo de Paris. No FRANC3D, a direção é calculada usando uma das 12

13 teorias citadas acima e a máxima extensão é controlada pelo usuário. As equações são aplicadas em pontos discretos ao longo do fronte da fissura, no plano normal à tangente ao ponto estudado, para se determinar a direção da propagação. A extensão ao longo de todo o fronte da fissura é determinada baseando-se em valores relativos do fator de intensidade de tensão e da máxima extensão fornecida pelo usuário. O novo fronte da fissura é então obtido combinando-se a direção e a extensão da propagação ao longo dos pontos discretos do fronte da fissura existente (Figura 10). Figura 10: Propagação de fissura tridimensional baseada em pontos discretos ao longo do fronte da fissura existente 4. Utilização A seguir, será apresentada uma simulação de fissura tridimensional arbitrária utilizando o sistema descrito anteriormente. O programa FRANC3D é o responsável, a partir da geometria do modelo, pela atribuição das propriedades, geração da malha, introdução e propagação das fissuras. Para a geração do modelo geométrico, utiliza-se o programa OSM (Object Solid Modeler) e a análise da estrutura é realizada pelo programa BES (Boundary Element System) que realiza a análise utilizando-se o Método dos Elementos de Contorno. 4.1 Criação do modelo geométrico usando o OSM A interface gráfica do programa OSM é mostrada na Figura 11 e o modelo a ser construído e analisado é mostrado na Figura

14 Figura 11: Menus e janelas componentes da interface do programa OSM Figura 12: Modelo sólido, eixos e dimensões Passo 1: Geração do conjunto de pontos chaves no plano xy (Figura 13). Os pontos podem ser gerados manualmente (Type in Points), um a um, ou lidos a partir de um arquivo texto (Read Points from File). Passo 2: Geração das arestas da fronteira (Figura 14), ligando-se os pontos chaves. A ligação pode ser feita selecionando-se os pontos desejados e utilizando-se o comando Create a Curve, ou também pode-se criar arcos de circunferência através do comando Create a Circular Arc. 14

15 Figura 13: Pontos chaves no plano xy Figura 14: Pontos chaves e arestas no plano xy Passo 3: Deslizar os pontos e arestas no plano xy ao longo da direção z (Sweep Cartesian Sweep), criando-se assim um outro conjunto de pontos e arestas, e também superfícies conectando essas arestas (Figura 15). Passo 4: Criação das superfícies frontal e traseira (Create Patch by Corners), finalizando-se assim a geração do modelo geométrico. A Figura 16 mostra o modelo final com a indicação das normais às superfícies, as quais devem estar orientadas para fora do sólido. Esse modelo deve ser salvo em um arquivo (.dat), através do comando Write FRANC3D File. Figura 15: Deslizamento de pontos e arestas e geração de superfícies Figura 16: Modelo geométrico completo 4.2 Análise do fraturamento utilizando o FRANC3D A Figura 17 mostra a interface gráfica do programa FRANC3D, cujo ambiente de trabalho é baseado na utilização de um conjunto de menus altamente interativo. Também faz parte do ambiente a janela e um painel de controle da visualização. A primeira etapa da análise utilizando-se o FRANC3D consiste na leitura do arquivo de geometria gerado pelo OSM, pelo comando Read Geometry File. 15

16 Figura 17: Interface gráfica do programa FRANC3D Passo 1: Atribuição das propriedades dos materiais. O modelo em análise é composto de apenas um tipo de material e foi utilizado o material padrão, o qual é atribuído automaticamente a todas as regiões pertencentes ao modelo. As propriedades podem ser mudadas selecionando Edit Material Select from List, ou Add New Material. Passo 2: Atribuição das condições de contorno. Nesse modelo, fixou-se a superfície extrema da parte estreita e aplicou-se um carregamento uniforme de tração na superfície oposta (Figuras 18 e 19). Essas atribuições são feitas por meio de uma mesma caixa de diálogo, acessada pelos comandos Show Individual Entity Show Face. Figura 18: Superfície engastada 16

17 Figura 19: Superfície onde é aplicado o carregamento uniforme Passo 3: Tem início então o processo de discretização do modelo. Como a análise a ser feita utiliza o Método dos Elementos de Contorno, será realizada a geração da malha na superfície do modelo. Assim, é realizada primeiramente a subdivisão das arestas (Subdivide Edges), a qual servirá de base para a geração da malha (Figura 20). Procura-se concentrar os pontos nas regiões de concentração de tensões. Passo 4: Geração da malha (Figura 21). Devido à regularidade das superfícies e da subdivisão das arestas, utiliza-se o algoritmo automático de geração de malhas (Mesh Surfaces Automatic). Figura 20: Subdivisão das arestas Figura 21: Malha gerada automaticamente Passo 5: É feita então uma primeira análise para verificar se as condições de contorno estão corretas e o comportamento da estrutura é o esperado. Para isso, é gerado um arquivo de análise (Write BES File), o qual servirá como dados de entrada para o programa de análise BES. Esse programa é acessado pelos comandos Numerical Analysis Run BES. Passo 6: Terminada a análise, pode-se visualizar os resultados pelos comandos Visualize/Analyze Results Deformation & Contour. A Figura 22 mostra a deformada e o contorno de tensões principais. Passo 7: Baseado na análise de tensões ou no conhecimento da existência de uma fissura, introduz-se então uma fissura no modelo. Nesse exemplo, a fissura plana de superfície, de formato de um quarto de círculo, será introduzida na junção entre o arco e a parte estreita do modelo. A primeira etapa consiste em adicionar vértices (Figura 23) para definir as arestas da fissura sobre a superfície livre do modelo (Modify Geometry Add Vertex). 17

18 Figura 22: Deformada e contorno de tensões Figura 23: Vértices que definem as arestas da fissura na superfície livre Passo 8: Através do comando Nucleate Cracks Three-D Cracks Penny- Shape Crack, introduz-se a fissura no modelo (Figura 24). O fronte da fissura foi determinado utilizando-se um arquivo texto onde estão listados os pontos que definem exatamente o fronte da fissura. Passo 9: Geração da malha da fissura (Figura 25). Nessa etapa, primeiramente realiza-se a subdivisão da face da fissura e a seguir a subdivisão das arestas. Procura-se manter ao longo do fronte da fissura uma linha de elementos quadrilaterais de tamanho similar. Figura 24: Fissura de superfície inicial Figura 25: Malha da superfície da fissura Passo 10: Geração da malha nas superfícies afetadas pela adição da fissura. A Figura 26 mostra as superfícies que tiveram sua malha apagada com a introdução da fissura. Essa geração consiste nas etapas já descritas, ou seja, a subdivisão das arestas e geração automática da malha. Nessa geração, aparecem elementos triangulares nas regiões onde não é possível a utilização de apenas elementos quadrilaterais (Figura 27). 18

19 Figura 26: Malhas apagadas com a adição da fissura Figura 27: Malha completa do modelo Passo 11: Com a nova malha, realiza-se a análise novamente, podendo-se visualizar os resultados, como a deformada mostrada na Figura 28. Figura 28: Detalhe da deformada da estrutura Passo 12: Pode-se então realizar a análise do fraturamento. Para se obter os valores do fator de intensidade de tensões ao longo do fronte da fissura, utiliza-se o comando Fracture Analysis Stress Intensity Factor. São então mostrados, em forma de gráficos, os valores dos fatores de intensidade de tensão para os Modos I, II e III. A Figura 29 mostra o gráfico do fator de intensidade de tensão para o Modo I. Figura 29: Fator de intensidade de tensão (Modo I) 19

20 Passo 13: Conhecidos os fatores de intensidade de tensão, pode-se realizar a propagação tridimensional da fissura. Para isso, utiliza-se o comando Propagate Crack Front Determine New Front Points. São apresentadas então duas caixas de diálogo, por meio das quais o usuário escolhe a teoria a ser utilizada e a extensão máxima da propagação (Figura 30); nesse exemplo, a extensão máxima utilizada foi de 0,1 polegadas. Definidos os parâmetros, são apresentados os novos pontos pertencentes ao novo fronte da fissura (Figura 31). Utilizando-se o comando Propagate Crack Front Add and Tear Edges and Faces, é realizada a propagação e a definição da nova superfície da fissura (Figura 32). Figura 30: Caixas de diálogos de definição da teoria e extensão máxima Figura 31: Pontos do novo fronte da fissura Figura 32: Nova superfície da fissura Passo 14: Repete-se então o processo, a partir do passo 9, reconstruindo-se a malha da fissura e do modelo, e fazendo a reanálise. Com os novos resultados da análise, é possível realizar um novo passo de propagação da fissura. A Figura 33 mostra o modelo após três passos de propagação com a extensão máxima de 0,1 pol em cada passo. Observe que o valor significante do fator de intensidade de tensão do Modo II torna a fissura não-plana. Figura 33: Modelo após três passos de propagação da fissura 20

21 5. Observações Finais Foi apresentado aqui um sistema computacional para a simulação numérica da propagação tridimensional de fissuras arbitrárias, com características específicas para enfrentar as dificuldades que aparecem nesse tipo de análise. Entre essas características, destacam-se: a forma de representação do modelo sólido, baseada em uma estrutura de dados topológicos, mostrou-se eficiente para a análise de propagação de fissuras; a utilização de uma hierarquia de modelos topológicos facilita, principalmente, a atribuição de propriedades aos elementos da malha, constantemente alterada pelos passos de propagação da fissura; a utilização do conceito de dano localizado, que minimiza a quantidade de informações perdidas a cada incremento; a utilização de teorias bidimensionais de propagação, já que a teoria para a determinação da propagação tridimensional da fissura não está completamente definida. Mesmo assim, o programa se mostra capaz de realizar a propagação de fissuras tridimensionais múltiplas e não-planas com eficiência; uma interface gráfica interativa, que facilita a visualização do modelo nas diversas etapas de sua definição; a possibilidade de realizar facilmente a simulação de problemas não triviais de propagação de fissuras tridimensionais, como o exemplo mostrado neste trabalho. Por fim, está sendo desenvolvido pelos autores um trabalho que envolve a integração do FRANC3D com o programa FEMOOP (Finite Element Method Object Oriented Programming), fazendo com que a análise numérica passe a utilizar o Método dos Elementos Finitos, em um ambiente de Computação de Alto Desempenho. O FEMOOP, que já é capaz de realizar a análise em paralelo para alguns tipos de elementos, terá suas capacidades ampliadas para que funcione em diversos ambientes computacionais e com outros tipos de elementos. 6. Referências Bibliográficas [Erdogan,63] Erdogan F. and Sih, G. C., 1963, On the Crack Extension in Plates Under Plane Loading and Transverse Shear, A.S.M.E J. Basic Engr., Vol. 85, pp [Hodgdon,92] Hodgdon, J. e Sethna, J.P., Beyond the Priciple of Local Symmetry: Derivation of a General Crack Propagation Law, Phys. Ver. B., 47, 4831, [Hussain,74] Hussain, M. A., Pu, S. L., and Underwood, J. H., 1974, Strain Energy Release Rate for a crack Under Combined Mode I and Mode II, Fracture Analysis, ASTM, STP 560, pp [Leblond,93] Leblond, J.B., Crack Kinking and Curving in Three-Dimensional Elastic Solids Application to the Study of Crack Path Stability in Hydraulic Fracturing, Mixed-mode Fatigue and Fracture. H.P. Rossmanith and K.J. Miller, eds., European Structural Integrity Society, Mech. Engng. Publ., ,

22 [Mantyla,88] Mantyla, M., An Introduction to Solid Modeling, Computer Science Press, Rockville, Maryland, [Martha,89] Martha, L. F., Topological and Geometrical Modeling Approach to Numerical Discretization and Arbitrary Fracture Simulation in Three Dimensions, PhD. Thesis, Cornell University, Ithaca, N.Y., 1989 [Potyondy,93] Potyondy, D.O., A Software Framework for Simulating Curvilinear Crack Growth in Pressurized Shells, Ph.D. Thesis, Cornell University, Ithaca, NY, [Sih,74] Sih, G. C., 1974, Strain-Energy-Density Factor Applied to Mixed-Mode Crack Problems, Int. J. Fracture Mech., Vol. 10, pp [Wawrzynek,88] Wawrzynek, P.A., Martha, L.F., Ingraffea, A.R., A Computational Environment for the Simulation of Fracture Processes in Three Dimensions, The Joint ASME/SES Applied Mechanics and Engineering Sciences Conference, Vol.91, pp , [Weiler,86] Weiler, K., Topological Structures for Geometrical Modeling, Ph.D. Dissertation, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY,