Avaliação de propriedades elásticas de rochas carbonáticas a partir de análise microestrutural

Transcrição

1 Gustavo Henrique Oliveira Sobreira Avaliação de propriedades elásticas de rochas carbonáticas a partir de análise microestrutural Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Sergio Augusto Barreto da Fontoura Rio de Janeiro Janeiro de 2015

2 Gustavo Henrique Oliveira Sobreira Avaliação de propriedades elásticas de rochas carbonáticas a partir de análise microestrutural Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Sergio Augusto Barreto da Fontoura Orientador Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Dr. Erick Slis Raggio Santos CENPES / PETROBRAS Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico / PUC-Rio Rio de Janeiro, 21 de Janeiro de 2015.

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Gustavo Henrique Oliveira Sobreira Graduou-se em Engenharia de petróleo pela Universidade Gama Filho em Ingressou no curso de mestrado em engenharia civil (geotecnia) em 2012 atuando na área de mecânica das rochas e engenharia de petróleo. Desenvolveu pesquisa sobre a caracterização geomecânica de travertinos. Ficha Catalográfica Sobreira, Gustavo Henrique Oliveira Avaliação de propriedades elásticas de rochas carbonáticas a partir de análise microestrutural / Gustavo Henrique Oliveira Sobreira ; orientador: Sergio Augusto Barreto da Fontoura f. : il. (color.) ; 30 cm Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, Inclui bibliografia 1. Engenharia civil Teses. 2. Microestrutura. 3. Imagens digitais. 4. Microtomografia. 5. Análise numérica. 6. Propriedades mecânicas. 7. Módulo de Young. I. Fontoura, Sergio Augusto Barreto da. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

4 Para meus pais, minha irmã e amigos.

5 Agradecimentos Ao meu orientador, professor Sergio Fontoura, pelo seu constante apoio, incentivo e ensinamentos compartilhados durante esse período. Agradeço pela oportunidade de realizarmos este trabalho. Ao professor Sidnei Paciornik pelo ensinamento no processamento de imagem. Aos meus pais pelo apoio durante a minha vida toda, pela confiança nas minhas decisões e por me ensinarem a valorizar a família. A minha irmã Beatriz por sempre estar disposta a me ajudar e ao meus amigos da PUC-Rio que estiveram do meu lado durante essa caminhada. Aos professores da Engenharia Civil da PUC-Rio, pelas excelentes aulas ministradas. Ao GTEP, Grupo de Tecn. de Eng. de Petróleo do departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, e todos os seus funcionários. À CAPES e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado.

6 Resumo Sobreira, Gustavo Henrique Oliveira; Fontoura, Sergio Augusto Barreto da. Avaliação de propriedades elásticas de rochas carbonáticas a partir de análise microestrutural. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Reservatórios carbonáticos contêm entre 50 e 60% de petróleo e gás do mundo. No entanto, estas rochas têm apresentado problemas operacionais consideráveis durante as etapas de perfuração e produção. Tais problemas são originados pelas dificuldades na caracterização adequada destas rochas em função da complexa distribuição espacial de suas micro e macro estrutura. Enquanto ambas as escalas possuem importância no entendimento do comportamento de carbonatos, o presente trabalho trata da análise da microestrutura. Nesse âmbito, a proposta deste trabalho integra o processamento e análises de imagens digitais, elaboração de malhas de elementos finitos e simulação numérica de forma a prever propriedades elásticas, com o objetivo de correlacionar a microestrutura e o módulo de Young. Foram utilizadas imagens digitais de amostras de afloramento (travertinos) considerados como possíveis análogas a rochas carbonáticas de reservatório. A metodologia implementada permitiu obter subamostras que incluem uma gama de microestruturas e porosidades numa única amostra para assim simular numericamente o módulo de Young. Conclui-se neste estudo que os poros maiores (vuggys) são os principais responsáveis pelo comportamento do material quando o mesmo é carregado, e também a influência da estrutura porosa nos resultados, foi possível observar que a posição dos poros afeta o módulo de elasticidade do corpo de prova. Palavras-chave Microestrutura; imagens digitais; microtomografia; análise numérica; propriedades mecânicas; módulo de Young.

7 Abstrac Sobreira, Gustavo Henrique Oliveira; Fontoura, Sergio Augusto Barreto da (Advisor). Evaluation of elastic properties of carbonatic rocks from microstructural analysis. Rio de Janeiro, p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Carbonate reservoirs contain between 50 and 60 % of oil and gas reserves in the world. However, these rocks have presented considerable operating problems during the phases of drilling and production. Such problems are originated by the difficulties in the proper characterization of these rocks due to the complex spatial distribution of its micro and macro structure. While both scales have importance on the carbonate behavior understanding, this paper deals with the analysis of the microstructure. In this context, the aim of this work is part of the processing and digital image analysis, mesh preparation and finite element numerical simulation to predict elastic properties, in order to correlate the microstructure and the Young's modulus. Using digital images of outcrop samples (travertine) considered as possible analogous to carbonate rocks reservoir. The methodology implemented afforded sub-samples that include a range of porosities and microstructures for a single sample well numerically simulate the Young's modulus. It is concluded in this study that the larger pores (vuggys) are mainly responsible for the behavior of the material when it is loaded, and also the influence of the porous structure in the results, it was observed that the position of pores affects the modulus of elasticity of sample. Keywords Microstructure, digital images, microtomography, numerical analysis, mechanical properties, Young's modulus.

8 SUMÁRIO 1 Introdução Objetivo e Motivação Estrutura da dissertação 17 2 Revisão bibliográfica Rochas Carbonáticas Classificação das rochas carbonáticas Processos de Formação Travertinos Porosidade e comportamento mecânico Processamento e Análise Digital de Imagens Aquisição da imagem Pré-processamento Extração de Atributos Métodos dos elementos finitos Geração de malhas tridimensionais Analise de elementos finitos Modelo Elástico Ensaio de compressão simples ou uniaxial Preparação dos corpos de prova Ensaio Efeito de escala 54 3 Materiais e Métodos Materiais utilizados Metodologia utilizada Processamento de imagens Extração da porosidade Geração de malhas Elementos finitos 72

9 4 Resultados Porosidade Malhas geradas Resultados da simulação Simulação com um material Simulação com dois materiais Simulação com quatro materiais Analise e avaliação dos resultados Comparação com outros autores Influência da estrutura porosa no módulo de elasticidade 96 5 Considerações finais Conclusões Recomendações 101 Bibliografia 102 APÊNDICE I 105

10 Lista de Figuras Figura 1.1 Amostras de poço Figura 2.1 Fábrica de carbonatos Figura 2.2 Principais elementos componentes das rochas carbonáticas Figura 2.3 Principais Grãos Figura 2.4 Classificação de Dunham Figura 2.5 Classificação de Embry e Klovan Figura 2.6 Classificação da porosidade de Choquette & Pray (1970). (Fonte: Modificado Scholle & Scholle, 2003) Figura 2.7 Módulo de elasticidade x porosidade (Garder et al, 2010) Figura 2.8 Módulo de elasticidade x porosidade (Pilotto, 2011 e Palchik, 2010). 31 Figura 2.9 Fluxo de trabalho (imagens) Figura 2.10 Matriz de uma imagem Figura 2.11 Pixel e Voxel Figura 2.12 Esquema do sistema Tomográfico Figura 2.13 Princípio da formação da imagem tomográfica Figura 2.14 Microtomógrafo SkysCan 1173 utilizado no programa experimental: a) vista frontal do equipamento e b) porta amostras. ( Pilotto, 2011) Figura 2.15 Resolução Figura 2.16 Resolução e intensidade Figura 2.17 Histograma de imagem Figura 2.18 Operação local Figura 2.19 Operação Geométrica Figura 2.20 Segmentação Figura 2.21 Floodfill Figura 2.22 Conectividade (imagens 2D) Figura 2.23 Ferets a) Ferets mínimo b) Ferets máximo Figura 2.24 Contexto de um problema de MEF adaptado de Bathe, Figura 2.25 Tetraedros e hexaedros Figura 2.26 Ensaio uniaxial Figura 2.27 Corpo de prova no ensaio Figura 2.28 Diagrama tensão (σ) deformação (ε)... 54

11 Figura 2.29 Efeito escala Adaptado de Hoek & Brown (1980) Figura 3.1 Travertino de Itaboraí. a) Real b) Imagem Figura 3.2 Travertino romano. a) Real b) Imagem Figura 3.3 Travertino Turco. a) Real b) Imagem Figura 3.4 Sub amostragem digital: a) Amostra para ensaio de compressão simples. b) Análise digital da geometria da amostra e c) Subamostragem Figura 3.5 Fluxo de trabalho Figura 3.6 Corte Figura 3.7 Mediana e média Figura 3.8 Efeito dos Filtros a) Sem filtro b)mean c)sigma d) Median Figura 3.9 Limiarização manual Figura 3.10 Reamostragem Figura 3.11 Floodfill Figura 3.12Extração da porosidade Figura 3.13 Extração da porosidade Figura 3.14 Informação dos poros Figura 3.15 Visualização 3D Figura 3.16 Definição da quantidade de materiais Figura 3.17 Corte da amostra gerada no Scan IP Figura 3.18 Fluxo de trabalho MEF Figura 3.19 Sistema de unidades Figura 3.20 Módulos Volumétricos, de cisalhamento, Young e coeficiente de Poisson da Calcita Adaptado de: Zhao, et al.( 2009) Figura 3.21 Corte do TR3 (2materiais (a)) Figura 3.22 Corpo de prova MEF Figura 3.23 Corpo de prova antes e depois do deslocamento (figuras em sobrescala) Figura 3.24 Corpo de prova(em corte) antes e depois do deslocamento (figuras em sobrescala) Figura 3.25 Gráfico dos deslocamentos Figura 3.26 Tensões do topo do corpo de prova Figura 3.27 Média das tensões do corpo de prova Figura 3.28 Obtenção do módulo de elasticidade Figura 4.1 Travertino de Itaboraí. Travertino Romano e Travertino Turco... 80

12 Figura 4.2 Travertinos Romanos Figura 4.3 Travertinos Turcos Figura 4.4 Classificação de Knackstedt Figura 4.5 Malha para um material Figura 4.6 Malha para dois materiais (a) e (b) Figura 4.7 Malha para dois materiais (c) Figura 4.8 Malha para quatro materiais Figura 4.9 Tensão- Deformação do Travertino de Itaboraí Figura 4.10 Módulo de Elasticidade x Porosidade (original e reamostragem) Figura 4.11 Gráfico com a influência de cada material Figura 4.12 Gráfico com a influência da proporção dos materiais Figura 4.13 Gráfico comparando resultados de dois materiais com quatro materiais Figura 4.14 Gráfico do coeficiente de Poisson de todas as amostras Figura 4.15 Gráfico do módulo de elasticidade de todas as amostras Figura 4.16 Gráfico com os valores encontrados no presente trabalho e trabalho de Garder (2010) Figura 4.17 Gráfico com valores encontrados em ensaios numéricos e laboratório Figura 4.18 Valores do módulo de elasticidade para a mesma porosidade Figura 4.19 Valores do módulo de elasticidade para uma faixa de porosidade Figura 4.20 Travertino Turco 5 Travertino Turco 4 Travertino Turco Figura 4.21 Variação dos valores encontrados na literatura e no presente trabalho

13 Lista de Tabelas Tabela 2.1 Principais parâmetros utilizados no microtomógrafo para as amostras analisadas. ( Pilotto, 2011) Tabela 2.2 Características das imagens bidimensionais procedentes do processo de microtomografia para os travertinos Tabela 3.1 Dimensões e resolução das subamostras Tabela 3.2 Classificação de poros de Knackstedt Tabela 3.3 Tipos de manhas geradas no Scan IP Tabela 3.4 Número de elementos gerados para cada sub amostra Tabela 3.5 Dados de entrada em relação a intensidade do material Tabela 4.1 Cinco poros com maior volume, média do volume de poros, desvio padrão e menor poro Tabela 4.2 Porosidade encontradas no trabalho de Pico (2013) e no presente trabalho Tabela 4.3 Diferença dos Travertinos Romanos 1 e Tabela 4.4Resumo das simulações com um material Tabela 4.5 Módulo de elasticidade de entrada para simulação com dois materiais Tabela 4.6 Resumo das simulações com dois materiais Tabela 4.7 Módulo de elasticidade de entrada para simulação com quatro materiais Tabela 4.8 Resumo das simulações com quatro materiais Tabela 4.9 Volume total, média, desvio padrão e os dez maiores poros... 97

14 Lista de Equações Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação

15 15 1 Introdução As rochas carbonáticas contêm mais de 60% das reservas de mundiais de petróleo e 40% das reservas de gás. Após a descoberta dos reservatórios carbonáticos do pré-sal essas rochas ganharam maior destaque no Brasil. Elas têm apresentados desafios tanto na perfuração quanto na produção (SCHLUMBERGER, 2013). O estudo dessas rochas representa um grande desafio devido à sua heterogeneidade e anisotropia. Os carbonatos apresentam um sistema de poros complexo e, até agora, de difícil mapeamento de sua ocorrência e previsibilidade sendo afetado por processos como a diagênese, reprecipitação, dolomitização e fraturamento, originando poros de diferente forma e tamanho, os quais podem variar de alguns micrometros a vários metros. Na indústria do petróleo, as propriedades mecânicas são obtidas através de ensaios indiretos, sísmica e perfilagem; e em ensaios diretos, ensaios de laboratório e ensaios no próprio poço. Para os ensaios de laboratório são confeccionados corpos de provas extraídos de testemunhos e possuem alto custo operacional. Além de testemunhos são retirados do poço amostras laterais e amostras de calha. Com a técnica descrita nesse texto, pretende-se guardar os testemunhos, amostras laterais e amostras de calha como imagens digitais para futuros ensaios mecânicos e extração de valores como porosidade e permeabilidade que podem ser comparados com outras técnicas. A vantagem desta técnica é que os ensaios podem ser repetidos várias vezes variando as condições e dados de entrada, podendo ser escolhida qualquer parte do material em qualquer orientação. Como contrapartida, a iniciativa requer o imageamento dos testemunhos em microtomógrafo, o arquivamento deste material de forma rastreável e a necessidade de manipulação de arquivos e sistemas de dados de grandes proporções.

16 16 Figura 1.1 Amostras de poço Objetivo e Motivação O objetivo deste trabalho é entender o comportamento mecânico das rochas carbonáticas a partir de imagens digitais obtidas por microtomografia, dando prosseguimento aos trabalhos iniciados por Pilotto (2011) e Pico (2013) na análise de travertinos seguindo a metodologia do trabalho da última conforme a figura 1.2. O contínuo desenvolvimento da indústria do petróleo incita a realização de pesquisas, as quais envolvem áreas multidisciplinares. Dentre elas o processamento de imagens e mecânicas das rochas por meio de resultados numéricos, que associados às informações de geologia da rocha, permitem a melhor compreensão do comportamento do material. Figura 1.2 Metodologia de trabalho.

17 17 Os travertinos podem ser empregados como rochas análogas aos carbonatos do Pré-Sal, ao menos das fácies mais porosas, conforme apresenta Pilotto (2011) em seu trabalho, considerando características como: textura, composição mineralógica, agentes formadores e resistência. A mesma autora coletou e realizou a microtomografia nas rochas, assim como a realização de diversos ensaios. As imagens obtidas por microtomografia podem ser processadas e analisadas por softwares de que fornecem porosidade, distribuição, tamanho de poros e arquitetura da estrutura do arcabouço. Isso permite uma melhor caracterização do comportamento do material através de simulação numérica onde também podemos obter propriedades elásticas dessas rochas microtomografadas Estrutura da dissertação O presente trabalho se encontra dividido em cinco capítulos, os quais serão brevemente descritos a seguir: No capítulo 1 se faz uma introdução geral do tema em estudo, além dos objetivos e a organização desta dissertação. No capítulo 2 se apresenta a revisão bibliográfica sobre rochas carbonáticas, imagens digitais e elementos finitos. No capítulo 3 são apresentados os materiais e a metodologia de trabalho para caracterizar e analisar o comportamento mecânico dos carbonatos. No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos de analise de imagens e ensaios numéricos, conforme a aplicação da metodologia descrita no capítulo 3. No capítulo 5 são apresentadas as conclusões deste trabalho, e as sugestões para futuras pesquisas que envolvam rochas carbonáticas. Por fim, apresentam-se as referências do material bibliográfico consultado, assim como apêndices contendo os resultados gerados no desenvolvimento desta dissertação.

18 18 2 Revisão bibliográfica 2.1. Rochas Carbonáticas As rochas-reservatório carbonáticas são descritas por Ahr, (2008) como rochas porosas e permeáveis que contém hidrocarboneto, estes reservatórios apresentam características petrofísicas e geológicas complexas. Muitas vezes são naturalmente fraturados e com sistema poroso complexo. Os carbonatos são rochas sedimentares, de origem clástica, química ou bioquímica, composta principalmente por Calcita ( CaCO 3 ), ( 2 Dolomita CaMg ( CO 3 ) ) e Aragonita ( CaCO 3 ), além de minerais secundários não carbotaticos como anidrita, gesso, siderita, quartzo, argilominerais, pirita, óxidos e sulfatos (Arh et al., 2005). Estas rochas são depositadas naturalmente em ambientes marinhos ou continentais de águas claras, quentes e rasas, também podem se formar pela erosão ou lixiviação e posterior transporte do material carbonático de zonas dissolução a zonas de precipitação que leva à sedimentação destas rochas em camadas paralelas e horizontais, conforme a figura 2.1. (Acocella & Turrini, 2010). Pode ser formada também por origem metabólica de microorganismos, dando origem aos carbonatos bioconstruídos.

19 19 Figura 2.1 Fábrica de carbonatos. Para a análise e classificação de muitos tipos de rochas carbonáticas é indispensável à identificação da presença de matriz a definição do tipo de arcabouço - matriz suportado ou grão suportado além dos principais grãos formadores. (Terra et al, 2009). Segundo Terra et al (2009) e Pilotto (2011) a matriz ou micrita, material primário na formação da rocha, é composta por cristais de calcita com dimensões menores a quatro de micrômetro (µm). O cimento ou esparita é um agregado de cristais de carbonato formados principalmente por aragonita, calcita magnesiana, calcita de baixo teor de magnésio ou dolomita com tamanhos maiores a quatro micrômetros (µm), que precipitam nos espaços vazios existentes entre os grãos dos sedimentos carbonáticos. Dentre os grãos chamados também de grãos aloquímicos, encontram-se oólitos, oncolitos, pelóides, pellets, extraclastos, intraclastos e bioclastos.

20 20 Figura 2.2 Principais elementos componentes das rochas carbonáticas. Micrita: Equivale à matriz e é formado por calcita microcristalina (<4 µm). Normalmente de cor pardo. Material de origem primário na formação da rocha. Espato: Cimento carbonático precipitado quimicamente. Agregado de cristais de carbonato (>4 µm), precipitado nos espaços entre grãos de um sedimento carbonático ou nos espaços internos dessas partículas. Oólitos: Partículas esféricas ou ovais de estrutura concêntrica principalmente de carbonato de cálcio, (<2 mm). Forma-se em águas ricas em carbonato de cálcio, por precipitação inorgânica em águas marinas tropicais.

21 21 Oncólitos: Partículas formadas por lâminas micríticas concêntrica geradas por algas azuis que formam crostas descontínuas em águas agitadas e calmas. Tamanho variável até centímetros e com seleção pobre. Bioclastos: Esqueletos e pedaços de esqueletos de organismos de carapaça calcária. Extraclastos: Fragmentos arredondados ou angulosos procedentes da erosão das rochas carbonáticas e fora da bacia. Estrutura interna sofreu processos digenéticos. Evidência de cimentação bem desenvolvida e bordas. Intraclastos: Componente de um calcário como fragmento erodido dentro da bacia de deposição e ré-deposição, na mesma formação. Morfologia geralmente angulosa, de tamanhos variáveis. Peloides: Corpos de > 0,15 mm arredondados ou ovalados resultantes de fragmentos de conchas. Pellets: Pequenos corpos ovalados (< 0,15 mm) sem estrutura interna e origem fecal. Figura 2.3 Principais Grãos.

22 Classificação das rochas carbonáticas Diversas classificações têm sido desenvolvidas como resultado da heterogeneidade presente nas rochas carbonáticas. Estas rochas têm sido classificadas com base em sua textura, composição, mineralogia, parâmetros físicos assim como pelos tipos de poros característicos. Roehl e Choquette, (1985), Folk, (1959 e1962) e Dunham, (1962) apresentam classificações com base nas quantidades relativas à textura e componentes digenéticos (partículas, matriz, cimentos e poros) além das características partículas versus matriz. Uma década mais tarde Embry e Klovan (1972) deram uma nova dimensão à proposta de Dunham, distinguindo mais dois grupos entre calcários alóctones com elementos figurados, de diâmetro superior a dois milímetros Classificação de Dunham (1962) Segundo Terra et al (2009), esta classificação é baseada na textura deposicional, onde são definidos quatro grupos de rocha: carbonatos com matriz (grão-suportado ou não), carbonatos sem matriz (grão suportado), carbonatos relacionados a componentes originais ligados durante a deposição, e carbonatos essencialmente formados por cristais que podem ser calcita e/ou dolomita. Mudstone Rocha carbonática suportada pela matriz com menos de 10% de grãos tamanho areia ou maior. Wackestone Rocha carbonática suportada pela matriz com mais de 10% de grãos tamanho areia ou maior. Packstone Rocha suportada pelos grãos com matriz. Grainstone Rocha carbonática suportada pelos grãos, sem matriz (máximo de 5%). Boundstone Rocha carbonática formada in situ, cujos componentes da trama original foram ligados durante a deposição.

23 23 Cristalline Rocha carbonática totalmente recristalizada, não sendo possível identificar sua textura deposicional original. Figura 2.4 Classificação de Dunham Classificação de Embry e Klovan (1972) Segundo Terra et al (2009), esta classificação é uma ampliação de Dunham (1962) para rochas recifais. Os autores substituíram a categoria Boundstone por cinco novas categorias: Floatstone, Rudstone, Bafflestone, Bindstone e Framestone.

24 24 Figura 2.5 Classificação de Embry e Klovan Processos de Formação As rochas carbonáticas apresentam uma grande variedade de tipos de poros, porosidade heterogênea além de estruturas e distribuição espacial complexa. Isso devido aos processos de formação físicos e químicos que se iniciam logo após a sedimentação, em ambientes marinhos e continentais. Após a sedimentação os sedimentos passam a sofrer processos de litificação ou diagênese. A diagênese compreende uma ampla gama de processos físicos, químicos e biológicos, em estágios, nos quais, os sedimentos e águas preenchendo poros intersticiais, reagem procurando um equilíbrio geoquímico e textural com o ambiente. Isto gera mudanças mineralógicas, geoquímicas, texturais e estruturais. Assim, os mecanismos de diagêneses podem ser mecânicos, biológicos, químicos ou a combinação desses mecanismos. (Ahr, 2008). A diagênese é o processo responsável pela porosidade, permeabilidade e resistência mecânica das rochas carbonáticas. Dentre os fatores ambientais na diagênese, podemos destacar a pressão, temperatura, as propriedades dos fluidos diagenéticos e o tempo. Também fatores intrínsecos ao sedimento como a composição mineralógica, a textura, a porosidade e a permeabilidade. Os principais processos diagenéticos sofridos pelas rochas carbonáticas são a compactação, a cimentação, a dissolução, a recristalização e a dolomitização. A compactação é gerada pelo aumento da carga, gerando uma reorganização de partículas e com isso uma redução na porosidade. Pode ser mecânica, que

25 25 começa ao final da sedimentação e química, como resultado do aumento de solubilidade no contato entre grãos e superfícies de descontinuidade quando é aplicada uma força como a pressão de soterramento ou processos tectônicos em presença da água. A dissolução é o processo de iteração da composição da água dos poros e a mineralogia de partículas. Este processo é o causador da porosidade secundaria dos carbonatos (vugs, caverna, etc.). A recristalização é um processo que compreende transformações de minerais e texturas dando como resultado cristais novos de morfologia e tamanhos diferentes. A dolomitização é o processo que envolve a substituição da calcita e aragonita por dolomita, é um processo geoquímico em que íons magnésio substituem íons cálcios (Ca2+) de calcitas, originando dolomita (CaMg(C03)2). A circulação de águas carregadas de sais magnesianas é responsável pelo processo de dolomitização. Quando chega o ponto em que o calcário está muito enriquecido em carbonato de magnésio, ela passa a constituir um calcário dolomítico. Como o volume dos cristais de dolomita é menor do que o da calcita, o processo de dolomitização é acompanhado por um aumento da porosidade das rochas, bem como o alívio de tensões. Ela se torna cavernosa o suficiente para perder os traços de estratificação primitiva Travertinos Segundo Chafetz & Folk (1984) o termo travertino é italiano, constituindo uma derivação do latim Tiburtinus cuja tradução do latim significa pedra de Tibur, em referência à cidade de Tivoli. Os travertinos são rochas sedimentares não clásticas com microestrutura cristalina. Segundo Folk (1959) originam-se em águas termais e não apresentam nenhum vestígio de plantas ou animais, apenas de atividades microbianas de bactérias tolerantes ao calor. Para Pentecost (2005) o travertino é um calcário continental, quimicamente precipitado e formado no entorno de infiltrações, nascentes, rios e eventualmente lagos. Sua constituição é de calcita ou aragonita, de baixa a moderada porosidade

26 26 intercristalina e elevada porosidade móldica (formada pela remoção seletiva ou dissolução do material sedimentar) ou framework. Para o autor a precipitação resulta principalmente da transferência do dióxido de carbono de ou para as fontes de água subterrânea levando à supersaturação de carbonato de cálcio, com a nucleação e crescimento de cristais que ocorre sobre uma superfície submersa Porosidade e comportamento mecânico A porosidade e como ela se distribui na rocha está diretamente correlacionada com a resistividade, permeabilidade, velocidade acústica e comportamento mecânico. Segundo Arns et al (2002), as propriedades elásticas das duas fases (poros e sólido) do material poroso dependem da geometria natural do espaço poroso e da fase sólida assim como do valor da porosidade. Aspectos relevantes dos materiais porosos podem incluir forma do poro e tamanho, assim como tamanho e tipo de interconexão entre as regiões sólidas Porosidade A porosidade por definição é a razão entre o espaço vazio total e volume total da rocha. Nesta seção serão apresentadas as definições de porosidade. Porosidade absoluta é a relação entre volume total de vazios de uma rocha e o volume total da mesma. Porosidade efetiva é a relação entre espaços vazios interconectados de uma rocha e o volume total da mesma. Do ponto de vista da engenharia de reservatórios a porosidade efetiva é o valor que se deseja quantificar, pois representa o espaço ocupado por fluidos que podem ser deslocados do meio poroso. o Porosidade primária é aquela que se desenvolveu durante a deposição do material sedimentar. o Porosidade secundária é resultante de alguns processos geológicos subsequentes à conversão dos sedimentos em rochas. A porosidade efetiva pode ser determinada através de diferentes métodos:

27 27 Volume de poros medidos por injeção de hélio, utilizando-se o método da lei de Boyle; Porosidade em corpos de prova medida através das técnicas de saturação das amostras e avaliação de pesos seco e saturado; Porosidade obtida de lâminas delgadas através da contagem de poros no microscópio; Choquette & Pray (1970) fizeram uma representação dos diferentes tipos de porosidade, sendo divididas em três grupos, conforme a figura 2.6. A porosidade das rochas é bastante variável. No caso das rochas sedimentares, formadas pelo acúmulo de grãos, fragmentos de rochas ou conchas, geralmente decresce com a idade geológica e com a profundidade. Quanto mais antiga a rocha, maior a presença de minerais estáveis. Os instáveis já foram alterados, lixiviados e substituídos por outros estáveis, conferindo menor espaço vazio ao material (GOODMAN, 1989).

28 28 Figura 2.6 Classificação da porosidade de Choquette & Pray (1970). (Fonte: Modificado Scholle & Scholle, 2003). No primeiro grupo de fábrica seletivo, a responsável da formação do poro são os grãos e cristais ou outras estruturas físicas, sendo que os poros não atravessam seus limites primários (grãos e fábrica de posição). Neste grupo, inclui-se a porosidade: Interpartícula onde o espaço poroso é formado pelas partículas sedimentares, com um diâmetro de poro maior que 10 µm. Intrapartícula, onde o espaço poroso se forma no interior das partículas ou grãos das rochas, com um diâmetro de poro menor que 10 µm. Intercristalina, em que o espaço poroso é formado entre cristais da rocha. Móldica, formada pela remoção seletiva ou dissolução do material sedimentar.

29 29 Fenestral, este termo é usado para definir as aberturas maiores e mais longas que os interstícios formados pelos grãos das rochas, com diâmetros maiores a 100 µm. Shelter ou abrigo, na qual as partículas cobrem a superfície da rocha em formação, deixando um espaço vazio formando o poro e evitando que seja preenchido por material mais fino. Growth Framework ou estrutura de crescimento, que é um tipo de porosidade primária criada a partir do crescimento in situ da estrutura da rocha carbonática. No grupo de fábrica não seletivo, os poros podem atravessar seus limites primários, incluindo-se os seguintes tipos: Fratural, originada pelo faturamento da rocha, que pode induzir à formação de outros tipos de poros e aumentos significativos da permeabilidade. Canal, os poros ou sistema de poros são alongados e há continuidade dos poros em uma ou duas dimensões em relação à terceira dimensão. Vugular, com diâmetros maiores a um mm, não apresentando relação com a textura da rocha, e sendo formados geralmente por dissolução com um baixo grau de comunicação. Caverna, este tipo de porosidade originada por processos de dissolução é caracterizada pelo maior tamanho, que são grandes cavidades ou cavernas. O último grupo de fábrica seletiva ou não; inclui a porosidade: Brecha, que acontece principalmente na zona de falha, dissolução com fluxo de detritos e deslizamento ou deformação tectônica. Boring ou buraco, no qual os poros são criados em sedimentos relativamente rígidos, conchas e outros matérias pela perfuração de organismos. Burrow ou Toca, neste caso os poros também são formados por organismos, porem em sedimentos pouco consolidados. Shrinkage ou gretas de contração, sendo estes vazios originados por processos de secagem que são associados com a ocorrência de gretas e fissuras de tamanho variável, que se apresentam majoritariamente

30 30 em sedimentos finos (Scholle & Scholle, 2003). Estão geralmente associados à exposição da rocha e ao intemperismo Comportamento Mecânico Pico (2013) fez um levantamento das propriedades dos travertinos. A porosidade varia entre 5,18%-24,99%, a densidade de travertinos varia entre 2,02 e 2,7g/cm 3, a resistência encontrada varia na faixa de 36,82 até 49,48 MPa, velocidades de onda de compressão (Vp) entre 4,07 e 5,6 km/s e velocidades de onda de cisalhamento (Vs) entre 2,2 ate 3,06 km/s. Em sua dissertação podemos encontrar uma vasta coleção de trabalhos dos mais variados autores e assuntos sobre caracterização mecânica de carbonatos. Garder et al. (2010) apresentaram um estudo em rochas carbonáticas, retiradas de poços terrestres em Abu Dhabi, comparando o módulo de elasticidade dinâmico obtido através de ensaios de laboratório confinados com a técnica de Física Digital de Rochas. A comparação se encontra na figura 2.7 e mostra resultados satisfatórios na comparação das duas técnicas. Os triângulos abertos são dos ensaios em laboratório e os triângulos fechados de ensaios numéricos. As rochas estudadas em laboratório foram rochas de poços adjacentes ao poço às rochas usadas para análise numérica. Figura 2.7 Módulo de elasticidade x porosidade (Garder et al, 2010).

31 31 Pilotto (2011) e Palchik (2010) apresentaram a comparação entre as correlações do módulo de Young com a porosidade obtida em laboratório para diferentes tipos de rochas carbonáticas. Palchik (2010) coletou amostras em diferentes locais de Israel entre dolomitos e calcários. Pilotto (2011) coletou amostras de travertinos de Itaboraí. Nas rochas estudadas por Palchik (2010), verificou-se que os valores do módulo de Young decresciam com o aumento da porosidade. Nos ensaios realizados por Pilotto (2011) verificou-se o contrário, talvez pela pequena variação da porosidade nos três ensaios e um número limitado de amostras que não são suficientes para se estabelecer uma tendência. A análise digital de imagens pode responder por resultados alheios apenas a porosidade. Figura 2.8 Módulo de elasticidade x porosidade (Pilotto, 2011 e Palchik, 2010). Como mostra a figura 2.8, para a mesma porosidade, existe uma variação do módulo de elasticidade que pode ser explicada tanto pela mineralogia, tanto quanto e pela distribuição de poros. Palchik (2010) apresenta em seu artigo uma tabela com a porosidade e o módulo de elasticidade. Para amostras da mesma região com porosidades iguais, o módulo de elasticidade é diferente.

32 Processamento e Análise Digital de Imagens O Processamento e Análise Digital de Imagens (PADI) é uma ferramenta relativamente recente que cresce acompanhando o desenvolvimento dos recursos computacionais. Consiste na utilização de operações matemáticas para alterar os valores dos pixels de imagens digitais, modificando-as, para facilitar sua visualização e/ou para proceder à extração de dados quantitativos (Gomes, 2001). O Processamento e Análise Digital de Imagens podem ser divididos em três etapas: aquisição, processamento e análise. A aquisição é a obtenção de uma imagem digital. Na etapa de processamento as imagens são tratadas e preparadas para analise que é a etapa de extração de atributos e reconhecimento de padrões. A figura abaixo mostra a sequência do PADI Aquisição da imagem Figura 2.9 Fluxo de trabalho (imagens). O objetivo do bloco de Aquisição é a obtenção de uma imagem digital. Uma imagem digital é um arquivo de computador composto basicamente por um cabeçalho, com informações diversas, e uma matriz de números, onde cada um deles identifica a cor ou intensidade do pixel de posição correspondente na

33 33 imagem. Assim, esta matriz constitui-se num mapa que reproduz a imagem pixel a pixel. Figura 2.10 Matriz de uma imagem. O pixel, abreviação de picture element, é a unidade básica da imagem digital em duas dimensões, para três dimensões a unidade básica é o voxel (combinação de volume e pixel). Figura 2.11 Pixel e Voxel. Existem vários instrumentos para obtenção de imagens digitais como máquinas de fotografia, microscópios eletrônicos e óticos, microtomografia, entre outros. É importante ressaltar que o termo imagem não se restringe apenas ao princípio óptico, podendo ser geradas imagens acústicas, magnéticas, radioativas, etc.

34 Microtomografia A Tomografia Computadorizada (TC) é uma técnica de ensaio não destrutivo que permite a obtenção de imagens de uma seção de um corpo de prova, através de um conjunto de projeções do plano e com o auxílio de um computador com um programa de reconstrução de imagens. Múltiplos raios projetados sobre o corpo de prova, em vários ângulos em um mesmo plano, fornecem uma imagem 3D do objeto. No caso da tomografia de raios-x a principal vantagem é ser uma técnica não invasiva que nos fornece certa proporcionalidade entre os valores de atenuação de raios-x aquisitados em cada voxel e o valor da densidade real do material neste subdomínio. Tal fato dá origem ao termo de radiodensidade aos resultados do equipamento (Machado, 2012). Figura 2.12 Esquema do sistema Tomográfico.

35 35 Figura 2.13 Princípio da formação da imagem tomográfica. A Microtomografia Computadorizada possui o mesmo embasamento da tomografia, tendo sido especialmente desenvolvida para a inspeção de microestruturas. O diferencial desta técnica está relacionado ao tamanho do foco do tubo de raios x e à resolução do detector. Essa metodologia possibilita a caracterização detalhada de propriedades petrofísicas, tais como, porosidade e distribuição de tamanho dos poros e também inferência da permeabilidade. As imagens utilizadas nesta pesquisa correspondem a imagens de três amostras de travertinos (TRI-09, TRR-01 e TRT-01) capturadas no microtomógrafo da marca SkysCan, modelo 1173, (Figura 2.14), no Laboratório de Geologia Sedimentar (Lagesed) do Instituto de Geociências da UFRJ, durante a dissertação de mestrado realizada por Pilotto, (2011).

36 36 Figura 2.14 Microtomógrafo SkysCan 1173 utilizado no programa experimental: a) vista frontal do equipamento e b) porta amostras. ( Pilotto, 2011). A tensão utilizada na aquisição das imagens foi de 80 kv, com uma corrente de 100 μa. O microtomógrafo possui um tubo de raios-x com uma potencia de 8W. A Tabela 2.1 apresenta os parâmetros utilizados no microtómografo para as amostras. Tabela 2.1 Principais parâmetros utilizados no microtomógrafo para as amostras analisadas. ( Pilotto, 2011) Amostra Tensão (KV) Rotação Total ( ) Passo angular ( ) Resoluçã o espacial (um) Tempo de exposição para cada projeção (ms) "Frames" Tempo total de aquisição TRI a 180 0,5 33, TRR a 180 0,5 26, TRT a 180 0,5 26,

37 37 O resultado são pilhas de imagens bidimensionais. Na Tabela 2.2 são apresentadas as informações do número de imagens bidimensionais e sua equivalência em GigaBytes, para as três amostras dos travertinos microtomografadas. Tabela 2.2 Características das imagens bidimensionais procedentes do processo de microtomografia para os travertinos. Amostra Número de imagens bidimensionais Equivalência em GigaBytes TRI ,62 TRR ,47 TRT , Conceitos/ Propriedades/ características da Imagem digital A resolução espacial ou simplesmente resolução consiste no tamanho, na imagem real, que um pixel da imagem digital representa, ou seja, a resolução é a capacidade máxima de discriminação de dois pontos na imagem. Figura 2.15 Resolução. A profundidade, quantização ou resolução espectral de uma imagem digital consiste no número máximo de níveis de intensidade que esta imagem pode apresentar. Em microtomografia as imagens são de 8 bits, geralmente representados opticamente por 256 tons de cinza Assim, este trabalho trata somente de casos onde as imagens adquiridas tem esta profundidade.

38 38 Figura 2.16 Resolução e intensidade. O histograma de uma imagem digital constitui-se na representação gráfica da função distribuição dos tons de cinza de seus pixels. O histograma é um gráfico que tem como eixo horizontal a escala de tons de cinza e cujo eixo vertical representa as probabilidades de ocorrência dos tons de cinza na imagem, o histograma fornece uma descrição global da aparência da imagem, mas nada diz sobre seu conteúdo. Figura 2.17 Histograma de imagem.

39 Pré-processamento O pré-processamento é a etapa que tem por objetivo melhorar a imagem, corrigindo defeitos gerados durante sua aquisição e/ou realçando detalhes de interesse específico. Segundo Gomes (2001), os procedimentos desta etapa podem ser divididos em duas categorias, procedimentos realizados no domínio do espaço real e procedimentos realizados no domínio das frequências. O domínio do espaço real refere-se à imagem propriamente dita e os procedimentos nele realizados são baseados na direta manipulação dos pixels da imagem. Já os procedimentos no domínio das frequências são feitos através da modificação da imagem da transformada de Fourier da imagem original, seguida da obtenção de sua transformada inversa. Existem na literatura vários procedimentos no domínio do espaço e no domínio da frequência, porém neste trabalho serão considerados apenas as operações locais e as operações geométricas que são procedimentos do domínio do espaço. Operações locais são operações onde o tom de cinza de um determinado pixel na imagem de saída é função não apenas de seu tom de cinza na imagem de entrada, mas também dos tons de cinza de seus pixels vizinhos nesta imagem. Figura 2.18 Operação local. As operações geométricas são operações onde a relação de posição entre os pixels é alterada. Consistem em uma transformação espacial, que, caso leve à criação de pixels inexistentes na imagem original, é seguida por uma interpolação das intensidades dos pixels.

40 40 Figura 2.19 Operação Geométrica. A operação geométrica mais comum é certamente a reamostragem (resampling), que consiste numa transformação espacial linear de mudança de escala, definida como: Onde S é o fator de escala. (2.1) (2.2) Segmentação Segundo Gomes (2001), o objetivo da segmentação é reproduzir digitalmente a tarefa de reconhecer regiões de uma imagem como objetos, um processo cognitivo extremamente sofisticado realizado pela visão humana. A segmentação divide a imagem em regiões e distingue essas regiões como objetos independentes uns dos outros e do fundo. A segmentação costuma ser a etapa crítica da sequência padrão de PADI, pois é através dela que se reconhece e se identifica os objetos de interesse, sobre os quais será feita a análise. No caso mais simples de diferenciar objetos de um fundo, a segmentação tem como produto uma imagem binária, onde os pixels pretos representam o fundo e as regiões de pixels brancos contíguos são considerados objetos, ou viceversa. Neste trabalho, fica convencionado que, a notação é: os pixels pretos (0) são os poros e as regiões de pixels brancos (1) representam o arcabouço sólido da rocha.

41 41 A figura 2.20 mostra em exemplo de segmentação. Uma seção de amostra de um travertino em 256 tons de cinza, obtida por microtomografia é segmentada, gerando uma imagem binária onde a calcita (região dos pixels brancos) distinguese dos poros (fundo preto) Limiarização Figura 2.20 Segmentação. Dentre as diversas técnicas de segmentação, a mais utilizada é a segmentação por faixa tonal, também chamada de thresholding. A limiarização usa o tom de cinza dos pixels para distingui-los, considerando como objetos, as regiões de pixels contíguos com tom de cinza dentro de uma faixa tonal delimitada a partir de um limiar ou tom de corte. Limiarização bimodal: discrimina duas fases na imagem, o fundo e os objetos, já a limiarização multimodal: pode ser utilizada para distinguir a imagem em mais de duas fases. A escolha do tom de corte é a etapa mais sensível da limiarização, está escolha é feita a partir do histograma da imagem. Ela pode ser manual, o operador decide o tom de corte, ou automática. Na prática, determinar o exato tom de cinza de uma fronteira não é uma tarefa simples, a escolha manual não é acurada e nem reprodutível, ela depende da experiência do operador. Os métodos automáticos realizam a operação buscando classes no histograma, sendo algumas vezes sensíveis aos ruídos.

42 Floodfill O Floodfill é um algoritmo de crescimento de regiões que considera a similaridade ou conectividade da imagem dentro de um limiar. A função dessa segmentação é eliminar voxels não conectados da limiarização Extração de Atributos Figura 2.21 Floodfill. Extração de Atributos é a etapa da sequência padrão onde se inicia a análise da imagem. Nela são realizadas medidas sobre a imagem segmentada e/ou sobre a imagem em tons de cinza, extraindo-se atributos característicos. Existem basicamente duas classes de medidas, as medidas de campo e as medidas de região. As medidas de campo se referem ao campo como um todo, são elas: número de objetos, área total dos objetos, volume total dos objetos, fração dos objetos e etc. As medidas de região se referem a objetos independentes e podem ser muito sofisticadas, permitindo uma nova separação em classes de similaridade em função dos parâmetros medidos. Conforme sugere Russ (2002) podemos dividir esses parâmetros em quatro grupos (tamanho, forma, posição e intensidade). A contagem de objetos em uma imagem é provavelmente a medida mais comum em análise de imagem. Apesar de ser uma tarefa simples, esta pode não ser uma medida muito fácil de ser feita manualmente, especialmente se o número de objetos for grande. No entanto, digitalmente, é uma das medidas mais fáceis de ser realizada. A partir da imagem segmentada, as regiões de pixels contíguos com a mesma tonalidade, que correspondem aos objetos, são contadas. Os analisadores de imagem geralmente oferecem duas opções de contiguidade,

43 43 também chamada conectividade, denotadas por quatro e oito. Conectividade oito significa que todos os oito pixels adjacentes (em aresta e canto) são considerados contíguos, já conectividade quatro leva em conta somente os quatro pixels adjacentes vertical e lateralmente (adjacentes por aresta), não considerando os quatro pixels diagonalmente adjacentes. Figura 2.22 Conectividade (imagens 2D). A área ocupada por objetos é uma medida fácil e rápida para o computador, ela é obtida pela simples contagem dos pixels brancos na imagem binária. Assim como o volume em uma imagem 3D pode ser obtido pela contagem de voxels brancos da imagem binária. Medidas como a porosidade são derivadas das medidas de volume. Dentre as medidas de região então as medidas de área ou volume de um objeto, assim como o perímetro do mesmo. Outras medidas comuns são os aspectos, também chamados calibres, Feret diameters. Eles equivalem às projeções ou sombras do objeto em diferentes direções, e, assim, caracterizam suas dimensões externas. Os principais ferets são o feret mínimo. Figura 2.23 Ferets a) Ferets mínimo b) Ferets máximo.

44 Métodos dos elementos finitos O método dos elementos finitos (MEF) é uma forma de resolução numérica de um sistema de equações diferenciais parciais. Consiste, basicamente, na discretização de um meio contínuo em pequenos elementos nos quais se define os espaços de funções de solução e teste para o ajuste do equacionamento diferencial da natureza do problema. Entre os elementos enforça-se somente a continuidade do espaço de funções solução. Mantendo as mesmas propriedades do meio original. O método é muito útil em problemas aplicados às áreas de mecânica estrutural, transferência de calor, escoamento de fluidos, eletromagnetismo, entre outras que pretendem analisar deslocamentos, cargas ou tensões. Maiores informações sobre os fundamentos da teoria e o método numérico podem ser encontrados em Bathe (1982). A primeira etapa no processo de modelagem numérica de um fenômeno físico consiste na identificação dos fatores que influenciam de forma relevante o problema. Isto implica na escolha adequada dos princípios físicos e das variáveis dependentes e independentes que descrevem o problema, resultando em um modelo matemático constituído por um conjunto de equações diferenciais. A segunda etapa do problema consiste em obter a solução do modelo matemático, tarefa esta atribuída aos métodos numéricos, como o MEF. Para evitar a solução das equações diferenciais, adota-se um modelo numérico aproximado dito modelo discreto, cujas equações são algébricas e as incógnitas são determinadas em um número finito de pontos. O problema físico geralmente envolve a estrutura real ou componente dela sujeita a um carregamento. A idealização do problema físico por um modelo matemático requer algumas suposições, que conduzem às equações diferenciais governantes do modelo matemático. O MEF resolverá apenas o modelo matemático selecionado e todas as suposições feitas no modelo serão refletidas na solução. Logo, é importante a escolha do modelo matemático apropriado. Após a resolução do problema matemático e avaliações dos resultados, deve-se definir sobre a aceitação ou refinamento do modelo utilizado em função da solução do

45 45 problema físico. Caso necessário, devem-se refinar os parâmetros da solução até que a precisão da solução seja alcançada. Adicionalmente, o problema físico pode ser alterado e isto acarretará em modelos matemáticos e soluções em elementos finitos adicionais. A figura 2.24 resume o processo da análise de elementos finitos. Figura 2.24 Contexto de um problema de MEF adaptado de Bathe, Na solução de problemas pelo MEF algumas suposições são feitas, genericamente: O meio contínuo é subdividido em pequenos elementos interconectados (elementos finitos); Cada elemento tem uma função de aproximação de deslocamentos a ele associada;

46 46 Cada elemento é conectado aos demais através de interfaces, que podem ser nós, linhas e/ou superfícies; É conhecida a relação deslocamento x deformação (equações de compatibilidade); É conhecida a relação tensão x deformação (modelos constitutivos). As suposições gerais do método, acima resumidas, permitem definir algumas etapas de análise: Discretização do meio contínuo; Formulação das propriedades de cada elemento; Montagem dos elementos para se obter o modelo discretizado do continuo; Imposição das condições de contorno do problema; Solução do sistema de equações algébricas resultante, para cálculo dos graus de liberdade desconhecidos; Cálculo das quantidades secundárias Geração de malhas tridimensionais As condições de convergência e exatidão das soluções do MEF dependem não só da formulação dos elementos, mas também da malha gerada para analisar um determinado problema. Ou seja, é preciso que a discretização feita para o domínio do problema em questão também seja adequada, ou o método pode não convergir e a simulação não fornecer o resultado correto. A geração de malhas de elementos finitos consiste em dividir um determinado domínio de interesse em subdomínios. Domínios tridimensionais podem ser divididos em tetraedros, pentaedros (cunha e pirâmide de base quadrada) ou hexaedros. Essa divisão é feita com a aplicação de um método de geração de malhas. Diversos algoritmos de geração foram desenvolvidos, e ainda são desenvolvidos, para atender a diversas finalidades.

47 47 Figura 2.25 Tetraedros e hexaedros. A maioria dos métodos de geração de malhas foram desenvolvidos para problemas de engenharia modelados no sistema CAD, e são baseados em pontos, curvas e superfícies. O avanço em hardware, especialmente memórias mais baratas e maiores, trouxe a atenção para a técnica dos chamados gráficos de volume, onde a menor unidade é o voxel, que são obtidos de medições de imagens em tomografia, ressonância magnética e sísmica. Em malha de volume, os elementos 3D gerados costumam preencher todo o interior do volume. A qualidade dessa malha é medida justamente pelo total preenchimento, sem sobreposição de elementos e sem deixar buracos (holes) na região interna, bem como pela distribuição homogênea dos elementos, isto quer dizer que os elementos devem ser poliedros convexos o mais regular possível, como por exemplo, tetraedros regulares, hexaedros regulares, e assim por diante, dependendo do tipo de malha, e terem dimensões mais próximas quanto possíveis uns dos outros. Segundo Young (2008), os métodos de geração de malhas baseados em grade são um significativo avanço porque esses processos podem ser mais robustos e bastante simplificados. Os métodos baseados em grade são abordados por uma aproximação por voxel e por uma adaptação do marching cubes. A representação de objetos geométricos baseados em voxels tem como principal vantagem à capacidade de representar geometrias complexas, principalmente no interior do objeto. A aproximação voxel foi proposta por Keyak et al (1990) consiste em exportar os voxels diretamente como hexaedros.

48 48 A adaptação do marching cubes adapta a geração de malhas tetraédricas completa do volume de hexaedros através de tabelas pré-calculadas ao invés de determinar triangulações de superfície. Essa técnica supera o problema de superfícies de redes escalonadas da aproximação voxel, porem herda algumas desvantagens do marching cubes Analise de elementos finitos No modelo discretizado obtém-se um sistema de equações para cada elemento. Estas equações relacionam os deslocamentos e forças (em problemas de tensão) nodais através da matriz de rigidez do elemento. A equação 2.3 mostra esta relação. Onde: K e é a matriz de rigidez do elemento; e é o vetor de deslocamentos nodais do elemento; F e é o vetor carregamento do elemento. (2.3) A matriz de rigidez é composta pelos coeficientes das equações de equilíbrio determinados a partir da geometria, propriedade e leis constitutivas adotadas em cada elemento. Escrevendo a equação de equilíbrio de cada elemento, de modo que a matriz de rigidez dos elementos fique associada a todos os graus de liberdade do problema, obtém-se a matriz de rigidez global. A equação 2.4 mostra a relação global. (2.4) Onde: K g é a matriz de rigidez do problema; g é o vetor de deslocamentos nodais do problema; F g é o vetor carregamento do problema.

49 49 O sistema de equações é resolvido para cálculo dos graus de liberdade desconhecidos (por exemplo, deslocamentos). A partir dos campos de deslocamentos obtêm-se as deformações em cada elemento, que juntamente com as deformações iniciais e as leis constitutivas dos materiais definem os estados de tensões. As relações para cálculo das quantidades secundárias (tensões e deformações) são mostradas nas equações 2.5, 2.6, 2.7. (2.5) (2.6) (2.7) Onde: é o vetor de deformações; é o vetor de deslocamentos; [B] é a matriz deformação-deslocamento; é o vetor de tensões; [C] =[D] -1 é a matriz tensão-deformação (matriz constitutiva) Modelo Elástico Pela definição, em um material elástico, vigora o princípio da conservação de energia. Tensões e deformações são biunivocamente interrelacionados e o estado final de tensões ou deformações independe da trajetória de carregamento. A relação entre componentes de tensão e deformação é dada pelas propriedades dos materiais em consideração. As equações que definem esta relação, entre tensão e deformação, são chamadas de equações constitutivas. No caso da elasticidade linear em três dimensões, a lei constitutiva é denominada de Lei de Hooke generalizada. Quando o material é isotrópico as propriedades relativas ao seu comportamento são iguais em todas as direções para um mesmo ponto. Materiais elásticos e isotrópicos são representados por duas constantes elásticas

50 50 independentes: módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson (υ). Para um material elástico e isotrópico, as relações tensões-deformações se escrevem da seguinte forma: (2.8) Onde: G é o módulo cisalhante ou módulo de elasticidade transversal e é definido pela equação 2.9. (2.9) A análise de projetos em rochas seria bastante simplificada caso esse matérias fossem realmente homogêneos, contínuos, elástico, lineares e isotrópicos. Porém, o comportamento das rochas se afasta deste modelo ideal devido à própria natureza e gênese. As rochas raramente são contínuas. A presença de poros e microfissuras (microestruturas) separam grãos e cristais e são responsáveis pelo comportamento não linear a baixas tensões e pela reduzida resistência a tração das rochas. A presença de macroestruturas (vuggys) confere caráter descontinuo a massa rochosa Um único poro grande é capaz de reduzir a resistência ao cisalhamento Ensaio de compressão simples ou uniaxial O ensaio de compressão uniaxial, em função da sua facilidade de execução, simplicidade do equipamento e classificação imediata da rocha, é o ensaio mais utilizado para a determinação da resistência e deformabilidade das rochas. A maioria das classificações de material rochoso intacto é baseada na resistência à compressão uniaxial. Os mecanismos de propagação de fratura e ruptura das rochas, determinados experimentalmente por este ensaio, dependem tanto das propriedades do material

51 51 quanto dos fatores experimentais envolvidos no ensaio, representados principalmente por (NUNES, 1989): Tamanho e forma da amostra; Teor de umidade da amostra; Distribuição uniforme ou não do carregamento; Temperatura e umidade ambientes; Condições de extremidades das amostras; Atrito nos contatos amostra/pratos distribuidores do carregamento; Rigidez da máquina de ensaio. Com o objetivo de se minimizar, controlar ou padronizar os efeitos destes fatores, existem procedimentos padrões para a preparação das amostras e ensaios recomendados pela ISRM (1981) Preparação dos corpos de prova Os corpos de prova dos ensaios mecânicos de compressão uniaxial, triaxial e fluência apresentam geralmente a forma cilíndrica, com uma relação altura/diâmetro que varia entre 2 e 3, conforme as especificações sugeridas pela ISRM (1981) e NUNES (1989). Cuidados especiais devem ser tomados na preparação da superfície dos corpos de prova. As extremidades devem ser polidas, uma vez que a rugosidade superficial pode gerar concentrações de tensões e induzir pequenas fraturas por tração, na região da amostra em contato com os pratos de aço distribuidores do carregamento. As extremidades devem ser paralelas entre si e perpendiculares ao eixo do cilindro da amostra, a fim de garantir a uniformidade de distribuição do carregamento axial. A limpeza completa dos corpos de prova (entenda-se remoção dos fluidos e sais do espaço poroso) pode durar meses, fato que, em muitos casos, inviabiliza este procedimento, quando o objetivo final são ensaios mecânicos. Frequentemente, necessita-se das propriedades mecânicas rapidamente, a fim de apoiar decisões para os problemas apresentados.

52 Ensaio O ensaio uniaxial é de execução simples, consistindo na aplicação de uma carga axial em corpos de prova de relação altura/diâmetro entre 2 e 3. Considerando um corpo de prova submetido à ação de compressão normal σ z uniformemente distribuída sobre uma das faces da amostra, como se pode observar na figura 2.27 deformações axiais e radias (laterais ou circunferenciais) acontecem. Figura 2.26 Ensaio uniaxial. Figura 2.27 Corpo de prova no ensaio.

53 53 Assim a deformação axial ε ax pode ser descrita como a relação entre a variação do comprimento (ΔL), longitude inicial e final e a longitude inicial (L), assim: (2.10) E a deformação lateral ou radial, ε r, como: (2.11) A deformação induzida sobre o corpo pode ser elástica ou plástica. Na deformação elástica o corpo recupera a forma e volume inicial uma vez a tensão aplicada cessa, por outro lado, na deformação plástica o corpo sofre deformações permanentes. As deformações dependem significativamente tanto da temperatura, da velocidade ou taxa de deformação como da estrutura do material. Assim, por exemplo, a temperatura constante, os materiais geralmente se comportam como elásticos quando pequenas tensões são aplicadas. Tornam-se plásticos quando essas tensões superam certo limite, nomeado limite de proporcionalidade. A partir desse limite, fenômenos internos irreversíveis iniciam tais como propagação de fissuras, ocorrência maior de compressão de grãos e dos poros, entre outros. Durante o início do carregamento, onde o corpo de prova esteja no regime elástico, pode- se admitir que exista uma proporcionalidade, entre as tensões e as deformações, considera-se o material em regime elástico linear. Este comportamento constitui a lei de Hooke. O coeficiente de Poisson (ν) mede a deformação transversal em relação à direção longitudinal de aplicação da carga e tem limites matemáticos entre -1 e 0.5, muito embora fisicamente se observe apenas variações entre 0 e 0.5. Os dados obtidos em ensaios de compressão ou tração são plotados em diagramas tensão (σ) deformação (ε) como pode ser observado na figura 2.28.

54 54 Figura 2.28 Diagrama tensão (σ) deformação (ε). No trecho linear no qual o material se comporta segundo a lei de Hooke é possível definir o módulo de elasticidade (E). O módulo de Young corresponde ao coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação obtido, no ensaio. Assim: (2.12) e (2.13) 2.6. Efeito de escala Segundo Hoek & Brown (1980) a resistência da rocha é afetada pelo do tamanho da amostra ensaiada. As rochas são compostas de várias feições, tais como cristais, grãos, microfraturas e fissuras que condicionam o comportamento mecânico. Amostras de tamanho reduzido podem não ser representativas do maciço rochoso por não representar correta e completamente todos estes elementos. Desta forma, há uma tendência geral de aumento da resistência com a diminuição do tamanho da amostra de rocha, uma vez que, fissuras e outros planos de fraquezas podem não estar presentes na amostra.

55 55 A figura 2.29 apresenta o decréscimo de resistência à compressão uniaxial de vários tipos de tocha. Os resultados correspondem aos dados de ensaios normalizados através da divisão de resistência individual de cada amostra pela resistência individual de cada amostra de diâmetro igual a 50 mm (diâmetro usual para ensaio de laboratório). Figura 2.29 Efeito escala Adaptado de Hoek & Brown (1980).

56 56 3 Materiais e Métodos Neste capítulo serão apresentados os materiais usados nessa pesquisa e a metodologia utilizada para tirar as propriedades das amostras microtomografada Materiais utilizados Conforme mostrado na figura 1.2, as etapas de definição de amostras e aquisição de imagem foram realizados por Pilotto, (2011) e a subamostragem realizada por Pico (2013). Para a realização desse trabalho foram utilizados nove corpos de prova retirados de três travertinos de origens diferentes, Travertino de Itaboraí, Travertino Romano e Travertino Turco. Figura 3.1 Travertino de Itaboraí. a) Real b) Imagem.

57 57 Figura 3.2 Travertino romano. a) Real b) Imagem. Figura 3.3 Travertino Turco. a) Real b) Imagem. A subamostragem dos nove corpos de prova cilíndricos realizados por Pico (2013) seguiram a relação diâmetro/altura recomendadas pelas normas da International Society for Rock Mechanics (ISRM). A técnica utilizada permite a extração de várias subamostras a partir de uma amostra microtomografada, em qualquer direção, conforme a figura 3.4. Diferente da realização de corpos de provas reais, os corpos de provas digitais permitem a simulação de vários ensaios e não passam por processos de extração ou corte.

58 58 Figura 3.4 Sub amostragem digital: a) Amostra para ensaio de compressão simples. b) Análise digital da geometria da amostra e c) Subamostragem. As dimensões das subamostras assim como a nomenclatura utilizada estão apresentadas na tabela 3.1. Tabela 3.1 Dimensões e resolução das subamostras. Travertino Subamostra d(mm) H(mm) Resolução (µm) Travertino de Itaboraí TI-1 12,15 24,3 33,84 Travertino Romano TR-1,2,3 19,03 38,06 26,08 Travertino Turco TT-1,2 19,03 38,06 26,08 TT-3,4,5 10,1 20,2 26,08 Para o pré-processamento utilizou-se o software Fiji, para analisar a porosidade, classificar os tipos de poros e para geração de malhas utilizou-se o software Scan IP e pra a realização de ensaios virtuais utilizou-se o software ABAQUS versão 6.9, ano O Fiji é um programa grátis e de código aberto de tratamento de imagens que oferece uma variedade de funções para a manipulação de imagens como filtros, ferramentas de segmentação e extração de atributos. O programa Scan IP é um software comercial desenvolvido pela companhia Simpleware (Exeter, UK, 2000). O programa oferece uma ampla variedade de filtros e ferramentas de processamento de

59 59 imagem para visualizar, medir dados e gerar modelos 3D a partir dados de micro-ct, nano-ct e microscopia. O programa dispõe de um conjunto de instrumentos de medição para fornecer análises quantitativas que permitem o estudo das estruturas dos materiais. O ABAQUS é um pacote de software comercial para análise por elementos finitos desenvolvido pela HKS Inc. de Rhode Island, E.U.A. e agora comercializado sob a SIMULIA marca da Dassault Systemes S.A. Este software de grande aplicação em diversas áreas da engenharia consiste em duas partes: gráfica (ABAQUS/CAE e ABAQUS/Viewer) e solver (ABAQUS/Standard e ABAQUS/Explicit). O ABAQUS/CAE é pré e pós-processador. Como préprocessador, gera o arquivo de entrada de dados que contém a geometria, propriedades do material, condições de contorno, carregamento aplicado e a malha de elementos finitos definidos pelo usuário. O programa ainda permite que o arquivo de entrada de dados seja alterado manualmente pelo usuário. Como pós-processador, o ABAQUS/CAE possibilita a visualização gráfica dos resultados. O ABAQUS/Viewer funciona exclusivamente como pósprocessador. O ABAQUS/Standard e o ABAQUS/Explicit simulam computacionalmente carregamentos estáticos e dinâmicos, respectivamente. Todos os programas foram usados nas dependências do GTEP (Grupo de Tecn. de Eng. de Petróleo) do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, em um computador com processador Intel core i CPU 3,30 GHz (12 CPUs), memória RAM de 64 GB, sistema operacional Windows 7 de 64 Bits Metodologia utilizada O foco desse trabalho é entender como a estrutura porosa dos travertinos influência nas propriedades elásticas seguindo a ordem do fluxograma com as

60 60 etapas de processamento, extração de atributos, geração de malhas, análise de elementos finitos e análise de resultados. Figura 3.5 Fluxo de trabalho Processamento de imagens Nesta etapa iremos abordar as técnicas de processamento de imagem usadas para realização desse trabalho. Essas técnicas permitem que aa imagens sejam preparadas para a obtenção da porosidade e geração de malhas de elementos finitos. As imagens subamostradas tem um excesso de pixels pretos depois da borda, a ferramenta crop do programa Fiji retira esse excesso deixando a imagem otimizada, economizando espaço e tempo de processamento.

61 61 Figura 3.6 Corte Filtros O programa Fiji apresenta uma série de filtros para se trabalhar com imagens. Aqui iremos abordar apenas os três mais comuns: Mean, Median e Sigma Filter Plus. O filtro Mean faz uma média dos valores dos pixels adjacentes, já o Median faz uma mediana. O filtro Sigma realiza uma suavização usando o domínio e uma faixa da sua vizinhança, o resultado é uma imagem que é suavizada nas regiões homogêneas e as bordas são preservadas. Figura 3.7 Mediana e média. Em uma seção 2D traçamos uma linha qualquer sobre a imagem para obtermos um histograma de intensidade por distância. Depois aplicamos os três filtros para comparar os resultados.

62 62 b) c) d) a) b) c) d)

63 63 a) b) c) d) Figura 3.8 Efeito dos Filtros a) Sem filtro b)mean c)sigma d) Median. A figura 3.8 mostra que o filtro Sigma apresenta menor redução da intensidade nas bordas, o resultado disso é uma menor interferência na medição da porosidade Limiarização O programa Fiji permite que o usuário opte por três tipos de limiarização: manual, automática ou por programas de redes neurais. O Scan IP permite apenas a limiarização manual, fazendo com que esta técnica seja usada no decorrer desta dissertação uma vez que a geração de malhas será gerada a partir do módulo de elementos finitos do Scan IP. Figura 3.9 Limiarização manual. O limiar escolhido foi o de 60. O mais correto é que seja analisado caso a caso, porém, para isto, é necessário experiência do operador e comparação com

64 64 medidas físicas reais, tais como porosidade total, por exemplo. O valor único permite uma homogeneização da técnica Reamostragem Caso a imagem fosse para o programa de geração de malhas com 100% de sua resolução original, o número de elementos gerados pelo programa de geração de malhas seria enorme, em torno de cem milhões de elementos. A versão do programa de elementos finitos disponível não consegue calcular essa quantidade de elementos. Para resolver esse problema usamos a ferramenta de Reamostragem que é uma operação geométrica que mantem a escala do objeto e diminui a resolução. O programa Scan Ip oferece quatro opções para a reamostragem: Vizinhança próxima, Maior ganha, Linear e Efeito do volume parcial. Os dois primeiros métodos são recomendados para imagens binárias ou já segmentadas, já os dois últimos são recomendados para imagens em escala de cinza. Neste trabalho usaremos o método da vizinhança próxima. Figura 3.10 Reamostragem Esta técnica afeta a porosidade, isso faz com que a porosidade tenha que ser medida antes e depois desta técnica, para medirmos sua variação e efeito. É importante salientar que se trata de uma operação em três dimensões e a figura mostra apenas o resultado final em uma seção em duas dimensões.

65 Floodfill Como preparação para geração de malhas, usamos a ferramenta floodfill para retirar partes sólidas não conectadas, essas partes não conectadas não atendem o princípio da continuidade em elementos finitos, por isso precisa ser tratada. Caso essa ferramenta não seja utilizada, podemos ter um material flutuando dentro do poro. Figura 3.11 Floodfill Extração da porosidade Após a imagem segmentada o programa Scan IP fornece uma máscara com uma cor (pode ser alterada) que sobrepõe à faixa tonal escolhida na segmentação. Conforme mostra a figura Essa máscara é renomeada como material.

66 66 O próximo passo é a geração da máscara poros, que são os voxels de intensidade abaixo do limiar escolhido para o material. Figura 3.12Extração da porosidade. O programa Scan IP tem uma ferramenta de análise de atributos, dentre as opções fornecidas pelo programa, e usamos a contagem de voxel por máscara para definir a porosidade. Figura 3.13 Extração da porosidade. O programa oferece também a opção de e contagem dos poros e seus respectivos tamanhos.

67 67 Figura 3.14 Informação dos poros. Knackstedt (2006) sugeriu uma classificação de poros em três categorias de acordo com seu diâmetro, conforme mostra a tabela 3.2. Como a resolução da imagem é de 26 micras, não serão encontrados poros intragranulares. Tabela 3.2 Classificação de poros de Knackstedt. Tipo de porosidade Diâmetro do poro Vugular-Fenestral Maior a 200 µm Intergranular Maior ou igual que 10 µm Intragranular Menor de 10 µm Outro ponto importante é a localização desses poros, se estão distribuídos homogeneamente ou se estão concentrados em alguma parte da amostra. Isso pode ser feito através da visualização 3D, conforme a figura 3.15.

68 68 Figura 3.15 Visualização 3D Geração de malhas A geração das malhas tridimensionais é feita no software Scan IP no módulo elementos finitos. As imagens segmentadas são usadas para a aplicação de algoritmos de geração de malhas. A geração de modelos tridimensionais é constituída a partir de uma grade cartesiana de dados em escala de cinza que representam a intensidade relativa do sinal digitalizado em todo o volume da imagem. O módulo de elementos finitos do Scan IP fornece dois métodos ou algoritmos para geração de malhas, os algoritmos FE Grid e o FE Free. O algoritmo FE Grid dispõe de dois tipos de malhas a do tipo voxel e do tipo suavizado. Após a criação da malha, o programa permite ao usuário a opção de inspecionar a qualidade da malha em parâmetros que descrevem a forma e qualidade dos elementos tetraédricos gerados. A tabela 3.3 mostra quatro tipos de malhas geradas no Scan IP. Para escolher qual tipo de malha usar, os parâmetros avaliados foram o número de

69 69 elementos e as medidas dos ângulos do diedro. O FE Grid Voxel apresentou melhor métrica dos elementos. Ângulos grandes ou pequenos distorcem a malha e podem gerar problemas de execução no programa de elementos finitos. Tabela 3.3 Tipos de manhas geradas no Scan IP. Fe Free Num de elem tet: Angulo Min: Angulo Max: FE Grid Smoothed Num de elem tet: Angulo Min: Angulo Max: FE Grid Voxel 4*4*4 Num de elem tet: Angulo Min: Angulo Max: FE Grid Voxel 1*1*1 Num de elem tet: Angulo Min: Angulo Max : Por apresentar melhores métrica, o algoritmo escolhido foi o FE Grid (1*1*1), apesar de esse algoritmo gerar mais elementos que os demais e os algoritmos FE Free e FE Smoothed representarem melhor o contorno dos grãos. Quanto melhor for a resolução da imagem, maior será o número de elementos gerados. Como o número de elementos é um limitante no programa de

70 70 elementos finitos a aplicação da técnica de reamostragem é necessária, diminuindo a resolução da imagem. A malha do Travertino Romano 2 com a resolução original ficou com 101 milhões de elementos. A tabela 3.4 mostra o número de elementos gerados após a reamostragem para cada amostra. Tabela 3.4 Número de elementos gerados para cada sub amostra. Subamostra Nº de elementos TI TR TR TR TT TT TT TT TT Após a escolha do algoritmo de geração de malhas o programa usa a máscara gerada na segmentação para obtenção do número de materiais serem utilizados e a definição de contatos e nós. Cada material é definido por uma faixa de tonalidade no histograma. Na figura 3.16 o primeiro material irá ser o de voxels com faixa tonal entre 60 e 80 (na escala de cinza) e o segundo material entre 80 e 255. Na faixa tonal (60 e 80) foram observadas como as intensidades dos voxels nos contornos dos poros e do corpo de prova. Figura 3.16 Definição da quantidade de materiais.

71 71 Também é necessário inserir no programa as condições de contorno para geração de contatos e nós. Os contornos e nós são definidos a partir dos máximos e mínimos da máscara gerada. Após a definição do tipo de malha, número de materiais, contatos e nós, a malha tetraédrica é gerada e sua qualidade verificada. Caso satisfatória, ela pode ser exportada como arquivo.inp para o programa de elementos finitos. Figura 3.17 Corte da amostra gerada no Scan IP Elementos finitos Com o intuito de simular as propriedades elásticas e obter o módulo de elasticidade do sistema poroso foi usado o método dos deslocamentos que propõe simular a aplicação de deslocamentos uniformes gerando tensões locais. As simulações foram feitas no programa ABAQUS. O Scan IP forneceu a geometria do problema, os elementos, nós e superfícies, no ABAQUS inserimos as condições de contorno, propriedades do material e o deslocamento. No fluxograma da figura 3.18 proposto por Pico (2013) são apresentadas as etapas para a simulação.

72 72 Figura 3.18 Fluxo de trabalho MEF. Como a saída do programa Scan IP é em milímetros, usamos o sistema métrico nomeado pelo manual do ABAQUS como SI (mm), assim a densidade fica em tonelada por milímetro cúbico e as tensões em Mega Pascal. Figura 3.19 Sistema de unidades Introdução das propriedades do material Para os elementos com apenas um material foram usados os valores médios da calcita retirados da compilação de dados Zhao et al.( 2009).

73 73 Figura 3.20 Módulos Volumétricos, de cisalhamento, Young e coeficiente de Poisson da Calcita Adaptado de: Zhao, et al.( 2009). Para as mesmas amostras foram realizados testes com dois materiais e quatro materiais. Conforme mostra a tabela 3.4. Os valores foram atribuídos de acordo com a intensidade do voxel, para intensidades de cores mais claras foi atribuído o valor médio da calcita pura (85GPa) e para intensidades mais escuras o valor do módulo de Young foi diminuído com o objetivo de simular um material alterado. Tabela 3.5 Dados de entrada em relação a intensidade do material. Amostras Materiais Módulo de elasticidade Coeficiente de (MPa) Poison Todas 1 material ,3 TT1,2,3,4,5 Intensidade (60-80) materiais (a) e TR1,2,3 Intensidade (80-255) ,3 TT1,2,3,4,5 Intensidade (60-80) materiais (b) e TR1,2,3 Intensidade (80-255) ,3 TT1,2,3,4,5 Intensidade (60-120) materiais (c) e TR1,2,3 Intensidade ( ) ,3 Intensidade (60-90) TT1,2,3,4,5 Intensidade (90-110) materiais e TR1,2,3 Intensidade ( ) ,3 Intensidade ( ) A faixa tonal (60-80) representa o contorno dos poros e do corpo de prova e os valores de MPa e MPa representam o material alterado próximo ao poro.

74 74 Os valores usados para a simulação com quatro materiais e com dois materiais (c) foram usados como representação de diferentes situações e para comparação dos resultados. Na figura 3.21 o material de cor mais clara representa a calcita enquanto que o material verde representa a calcita alterada próxima dos poros. Geralmente os fluídos contidos nos poros da rocha alteram o mineral constituinte ao longo do tempo, tornando-o menos resistente. Figura 3.21 Corte do TR3 (2materiais (a)) Etapa da criação das condições de contorno e deslocamentos As condições de contorno aplicadas nas amostras foram usadas para simular um ensaio de compressão simples. Assim a base da amostra foi fixada de forma a restringir deslocamento na direção z, ficando livre nas direções x e y. No topo da amostra foi aplicado deslocamento na direção vertical para a amostra atingir uma deformação de aproximadamente 0,5% e deixando livre o deslocamento horizontal.

75 75 Figura 3.22 Corpo de prova MEF Visualização e extração de resultados As figuras abaixo mostram o corpo de prova do Travertino Romano 2 antes e depois do deslocamento. O corpo de prova representado é simulado com dois materiais com 85Gpa (80-255) para o primeiro material e 78Gpa (60-80) para o segundo material.

76 Figura 3.23 Corpo de prova antes e depois do deslocamento (figuras em sobrescala). 76

77 77 Figura 3.24 Corpo de prova(em corte) antes e depois do deslocamento (figuras em sobrescala). No programa Abaqus o deslocamento vertical é chamado de U33, o programa divide o deslocamento em passos de tempo, e o valores são plotados na como figura abaixo e podem ser exportados em forma de tabela. Figura 3.25 Gráfico dos deslocamentos.

78 78 O deslocamento é retirado do topo da amostra, assim como a tensão vertical que no programa é chamada de S33. Para a medição são retiradas a média das tensões no topo da amostra. A figura 3.26 mostra as tensões para cada elemento no topo da amostra e a figura 3.27 a média dessas tensões. Figura 3.26 Tensões do topo do corpo de prova. Figura 3.27 Média das tensões do corpo de prova. Para o valor da deformação axial em cada passo de tempo é utilizada a fórmula do capitulo 2, que é a divisão do deslocamento (U33) pela altura do corpo de prova (38,06mm para o travertino romano 2). Já o módulo de elasticidade é retirado da inclinação da reta do gráfico de tensão x deformação.

79 79 O coeficiente de Poisson é retirado da razão da média da deformação radial (ε r ) pela deformação axial (ε ax ). Figura 3.28 Obtenção do módulo de elasticidade.

80 80 4 Resultados Este capítulo contém os resultados obtidos nos ensaios virtuais e análises efetuadas em cada uma das etapas do desenvolvimento da presente pesquisa Porosidade A Figura 4.1 apresenta as subamostras cilíndricas de cada um dos três travertinos, apesar serem rochas carbonáticas, suas estruturas apresentam diferenças. É importante destacar que a subamostra do travertino de Itaboraí é bem sólida sem a presença de poros. Pode se notar também a diferença da distribuição de poros nas subamostras do travertino Romano e Turco, respectivamente. Figura 4.1 Travertino de Itaboraí. Travertino Romano e Travertino Turco Na figura 4.2 apresenta os modelos 3D pertencentes aos Travertinos Romanos mostrando a visualização externa de rocha e o sistema poroso interno.

81 81 Apesar de serem retirados do mesmo bloco, eles mostram diferentes distribuições no espaço poroso mostrando o grau de heterogeneidade das rochas carbonáticas. Figura 4.2 Travertinos Romanos. Os modelos 3D pertencentes aos Travertinos Turco apresentam menor porosidade em relação aos Travertinos Romanos. Os mesmos, também, apresentam heterogeneidade.

82 82 Figura 4.3 Travertinos Turcos. Conforme mencionado no capítulo anterior, Knackstedt (2006) sugeriu uma classificação com três tipos de poros, porém a resolução da imagem só nos permite classificar em Vugular-Fenestral e intergranular. A figura 4.4 mostra a quantidade de cada tipo de poro por subamostra e a tabela 4.1 mostra dados qualitativos como os cinco poros com maior volume, a média do volume de poros, o desvio padrão e o menor poro.

83 83 Figura 4.4 Classificação de Knackstedt. Tabela 4.1 Cinco poros com maior volume, média do volume de poros, desvio padrão e menor poro. Poros (mm 3 ) TR1 TR2 TR3 TT1 TT2 TT3 TT4 TT ,00 197,00 895,00 96,00 79,5 3,61 3,13 8, ,20 171,00 217,00 23,60 33,3 3,14 2,74 7, ,50 170,00 28,20 22,00 25,2 3,03 2,5 4, ,30 80,10 24,20 17,10 19,9 2,18 1,4 3, ,80 73,30 12,70 14,40 15,8 1,13 1,28 2,87 Média 0,10 0,15 0,2 0,12 9,80E-02 4,64E-02 4,65E-02 9,67E-02 Desvio padrão 9,15 4, ,95 1,57 0,28 0,26 0,63 Menor 1,77E-05 1,77E-05 1,77E-05 1,77E-05 1,77E-05 1,77E-05 1,77E-05 1,77E-05 As porosidades encontram-se na tabela 4.2. O travertino de Itaboraí não apresenta poros. A porosidade dos travertinos Turcos é entre 1 e 3% e dos travertinos Romanos entre 10 e 15%. Quando comparadas às porosidades calculadas por Pico (2013) a diferença nos travertinos romanos é grande e isso se deve, possivelmente, a diferença de limiar (Pico usou 50 e o presente trabalho 60), os filtros utilizados e não inclusão da porosidade nas bordas.

84 84 Conforme mencionado anteriormente, a escolha do limiar depende experiência do operador. Neste trabalho a escolha do limiar foi baseada no histograma global e de testes em seções 2D. Tabela 4.2 Porosidade encontradas no trabalho de Pico (2013) e no presente trabalho. Sub amostras Cilíndrica Pico (2013) CTAN Scan IP Scan IP Porosidade Porosidade Porosidade Total (%) Total (%) Total (%) Presente trabalho Scan IP Reamostragem Reamostragem Porosidade Total (%) TI-1 0,000 0,000 0,000 0,000 13,000 TR-1 5,637 5,683 13,045 10,112 7,000 TR-2 5,244 5,400 9,416 10,847 7,000 TR-3 6,148 5,691 12,813 14,126 7,000 TT-1 3,036 3,117 3,438 2,822 7,000 TT-2 2,522 2,515 3,452 2,024 7,000 TT-3 1,366 1,263 1,519 1,722 13,000 TT-4 1,266 1,217 1,335 2,178 13,000 TT-5 1,087 1,101 2,361 2,040 13,000 A reamostragem apresentou efeitos diferentes para cada tipo de amostra. As subamostras com grandes quantidades de poros pequenos apresentaram diminuição da porosidade após a reamostragem, enquanto as subamostras com poros maiores aumentaram a porosidade. A tabela 4.3 mostra a diferença que ocorreu nos travertinos romanos 1 e 3. O primeiro perdeu em porosidade, já o segundo apresentou um ganho. Tabela 4.3 Diferença dos Travertinos Romanos 1 e 3. Original Reamostragem TR1 TR3 TR1 TR3 Porosidade 13,045 12,813 10,112 14,126 Nº de poros Volume (mm 3 )

85 85 Média volume (mm3) 0,1 0,2 1,26 1,67 Desvio Padrão 9, ,6 33, Malhas geradas Nas figuras 4.5, 4.6,4.7 e 4.8 são mostradas as malhas geradas para um material, dois materiais (a) e (b), dois materiais (c) e quatro materiais respectivamente. Figura 4.5 Malha para um material.

86 86 Figura 4.6 Malha para dois materiais (a) e (b). Figura 4.7 Malha para dois materiais (c).

87 87 Figura 4.8 Malha para quatro materiais. Cabe destacar aqui que os materiais em verde representam a faixa tonal mais baixa e os mesmos se encontram nas bordas das subamostras e nas bordas dos poros, para isso pode haver duas explicações. A primeira estaria relacionada à aquisição da imagem e a segunda na aplicação dos filtros Resultados da simulação O resultado das simulações dos ensaios uniaxiais está apresentado abaixo e estão divididos de acordo com o número de materiais Simulação com um material Na Figura 4.9 é apresentado o resultado da simulação com apenas um material (calcita) para a subamostra cilíndrica do travertino de Itaboraí. O regime elástico linear no gráfico é descrito por uma linha reta com certa inclinação, que indica a proporcionalidade entre os dois parâmetros. O módulo de elasticidade que corresponde ao coeficiente angular foi de 84,83 GPa. Como o Travertino de Itaboraí é maciço, e a imagem homogênea, ele foi simulado apenas com as

88 88 propriedades da calcita, os demais materiais foram simulados com mais de um material e as saídas do simulador estão no apêndice. Figura 4.9 Tensão- Deformação do Travertino de Itaboraí. material. A tabela 4.4 mostra os demais resultados das simulações para apenas um Tabela 4.4Resumo das simulações com um material. Subamostra Porosidade Porosidade reamostragem E (Gpa) 1material Coeficiente de Poisson 1 Material TI ,82 0,2990 TR-1 13,05 10,11 68,59 0,2943 TR-2 9,42 10,85 67,96 0,2076 TR-3 12,81 14,13 51,99 0,1900 TT-1 3,44 2,82 83,16 0,2935 TT-2 3,45 2,02 84,43 0,2348 TT-3 1,52 1,72 82,44 0,2710 TT-4 1,34 2,18 82,89 0,2680 TT-5 2,36 2,04 81,13 0,2884

89 Simulação com dois materiais As simulações com dois materiais foram feitas nos Travertinos Turcos e nos Travertinos Romanos. Para todas as subamostras foram feitas simulações com um material com faixa de intensidade de representando a calcita (E= MPa) e para o segundo material com a faixa de intensidade de foram usados os valores de MPa e MPa. Também foram feitas simulações aumentando a quantidade do segundo material, para isso foi aumentanda a faixa tonal do segundo material de para e usando o módulo de elasticidade do material de MPa com o objetivo de observar resultados com configurações diferentes. Tabela 4.5 Módulo de elasticidade de entrada para simulação com dois materiais. Materiais Intensidade Módulo de elasticidade (Mpa) Coeficiente de Poisson 2 materiais (a) ,3 2materiais (b) ,3 2materiais (c) ,3 A tabela 4.6 mostra o resultado das simulações com dois materiais. Cabe destacar que quanto maior a quantidade do segundo material menor é o módulo de elasticidade da subamostra. Tabela 4.6 Resumo das simulações com dois materiais. Subamostra Porosidade resamostragem Módulo de elasticidade (GPa) 2materiais Coeficiente de Poisson 2 materiais

90 90 (a) (b) (c) (a) (b) (c) TR-1 10,11 67,92 67,11 64,98 0,2903 0,2890 0,2897 TR-2 10,85 67,48 66,89 64,51 0,2213 0,2203 0,2185 TR-3 14,13 51,5 50,91 48,96 0,1940 0,2216 0,2228 TT-1 2,82 82,6 81,95 77,02 0,2987 0,3011 0,2947 TT-2 2,02 83,91 83,30 80,84 0,2472 0,2484 0,3094 TT-3 1, ,47 78,37 0,2834 0,2859 0,2850 TT-4 2,18 82,77 82,15 78,88 0,2878 0,2823 0,2658 TT-5 2,04 80,71 80,22 79,03 0,2878 0,2874 0, Simulação com quatro materiais As simulações com quatro materiais foram feitas nos Travertinos Turcos e nos Travertinos Romanos. Para todas as subamostras foram feitas simulações usando os módulos de elasticidade de cada material em função de intensidades pré-definidas conforme a tabela abaixo. Tabela 4.7 Módulo de elasticidade de entrada para simulação com quatro materiais. Intensidade( ) Intensidade( ) Intensidade(90-110) Intensidade(60-90) 85 GPa (calcita) 78 GPa 70 GPa 65 GPa A tabela abaixo mostra o resumo das simulações com quatro materiais. Tabela 4.8 Resumo das simulações com quatro materiais. Subamostra Porosidade resamostragem Módulo de elasticidade (GPa) 4 materiais Coeficiente de Poisson TR-1 10,11 59,71 0,2875 TR-2 10,85 59,42 0,2148

91 91 TR-3 14,13 44,83 0,2474 TT-1 2,82 71,04 0,2931 TT-2 2,02 72,41 0,2930 TT-3 1,72 70,22 0,2866 TT-4 2,18 70,83 0,2608 TT-5 2,04 69,22 0, Analise e avaliação dos resultados Nesta seção, são comparadas as previsões numéricas obtidas neste trabalho com dados experimentais e teóricos encontrados na literatura e discutidos nos capítulos anteriores. A figura 4.10 mostra a influência da reamostragem. Poros maiores ficam maiores e poros menores tendem a desaparecer. Os pontos quadrados foram obtidos na simulação e os balões foram obtidos a partir das equações da linha de tendência retiradas dos quadrados vermelhos usando a porosidade ( original medida. Para os Travertinos romanos Para os travertinos turcos (4.1) (4.2)

92 92 Figura 4.10 Módulo de Elasticidade x Porosidade (original e reamostragem). O gráfico da figura 4.11 mostra a influência de cada material para as nove subamostras, à medida que o módulo de elasticidade do segundo material foi diminuindo os valores dos módulos de elasticidade das subamostras diminuíram. Figura 4.11 Gráfico com a influência de cada material.

93 93 Quando se aumentou a quantidade do segundo material a influência no módulo de elasticidade foi maior. Uma diminuição média de 5 GPa, conforme mostra a figura 4.12 Figura 4.12 Gráfico com a influência da proporção dos materiais. A figura 4.13 mostra a simulação com quatro materiais, comparando-a com a simulação de dois materiais. A diferença em média foi de 10 GPa. Figura 4.13 Gráfico comparando resultados de dois materiais com quatro materiais.

94 94 A figura 4.14 mostra os valores do coeficiente de Poisson encontrados para cada subamostra. Podemos notar que não existe um padrão no comportamento em todas as simulações. Figura 4.14 Gráfico do coeficiente de Poisson de todas as amostras. A figura 4.15 mostra os valores dos módulos de elasticidade encontrados para cada subamostra. Podemos notar que há um padrão seguido nas simulações. Figura 4.15 Gráfico do módulo de elasticidade de todas as amostras.

95 Comparação com outros autores Os gráficos das figuras 4.16 e 4.17 comparam valores obtidos pelo presente trabalho com valores encontrados por outros autores: Palchik(2010), Pilloto(2011) e Gader(2010). Os valores gerados em simulação numérica neste trabalho aparentam estar alinhados às tendências dos valores da literatura apesar de serem rochas carbonáticas diferentes, de localidades distintas e com fator de escala diferente. Figura 4.16 Gráfico com os valores encontrados no presente trabalho e trabalho de Garder (2010) Figura 4.17 Gráfico com valores encontrados em ensaios numéricos e laboratório.

96 Influência da estrutura porosa no módulo de elasticidade Conforme mencionado no capítulo 2, para o mesmo material e porosidade, amostras testadas em ensaios de laboratório apresentam módulos de elasticidade diferentes. A figura abaixo mostra duas amostras de dolomitos de Aminnadav (centro de Israel sudoeste de Jerusalém) com a mesma porosidade e com uma diferença de 7,04GPa no módulo de elasticidade. Figura 4.18 Valores do módulo de elasticidade para a mesma porosidade Na faixa de porosidade de 2,0-2,2 temos três Travertinos Turcos com um range de aproximadamente 3,3GPa, conforme mostra a figura 4.19.

97 97 Figura 4.19 Valores do módulo de elasticidade para uma faixa de porosidade. A tabela 4.9 mostra dados qualitativos dos poros como o volume total, a média, o desvio padrão, o número de poros, os dez poros maiores e a soma deles em voxel. Tabela 4.9 Volume total, média, desvio padrão e os dez maiores poros (voxel) TT5 TT4 TT2 Volume total Média Desvio padrão nº poros soma dos

98 98 A figura 4.20 mostra a visualização 3D, que traz para o usuário a vantagem do usuário observar o arranjo estrutural, note que o Travertino Turco 5 tem a porosidade concentrada (maiores poros) em apenas um lado da amostra, já o Travertino Turco 4 apresenta uma distribuição mais homogênea enquanto o Travertino Turco 2 apresenta maior concentração distribuída na parte inferior da amostra e apenas um grande poro na parte superior da amostra. Figura 4.20 Travertino Turco 5 Travertino Turco 4 Travertino Turco 2. Os valores retirados da literatura mostram uma grande variação de valores para a mesma porosidade e os resultados gerados neste trabalho mostram que a posição, tamanho e distribuição do poro contribuem para essa diferença. Como este trabalho não dispõe de um grande número de amostras, não foi possível um estudo para se obter as linhas do gráfico da figura 4.22.

99 Figura 4.21 Variação dos valores encontrados na literatura e no presente trabalho. 99

100 100 5 Considerações finais O objetivo principal desta dissertação foi analisar a influência da estrutura porosa nas propriedades elásticas das rochas carbonáticas a partir de imagens digitais obtidas de microtomografia. Para tal foi requerido um estudo multidisciplinar, desde a geologia, microtomografia, processamento de imagens, mecânica das rochas, entre outras para o entendimento do problema e encontrar as possíveis alternativas que permitissem a validação da metodologia Conclusões Para realizar este trabalho foram utilizadas tecnologias de ponta e pacotes de software comerciais como Scan IP e ABAQUS. Durante todo o processo se pode concluir que é possível o estudo de propriedades mecânicas a partir da estrutura porosa de rochas carbonáticas, integrando microtomografia e análises numéricas. Em relação à obtenção da porosidade através de imagens conclui-se que: Em todo o processo apareceram algumas limitações. A primeira delas é a aquisição da imagem. Uma imagem com boa resolução permite melhor compreensão da estrutura porosa, neste trabalho a melhor resolução era de 26 micras, o que não permitia observar a porosidade intrapartícula e possivelmente alguma porosidade interpartícula. Assim existe um erro, pequeno, nas medições de porosidade. Apesar disto, a técnica de microtomografia e processamento de imagem apresentaram-se como uma boa alternativa para medição de porosidade, sua maior vantagem é a possibilidade da visualização da estrutura porosa em 3D. Um ponto que se mostrou crítico na técnica é a limiarização da imagem, separar poros e materiais, este valor pode variar dependendo do operador, gerando diferenças no resultado final. A decisão do limiar exige conhecimento e experiência multidisciplinar em geologia e processamento de imagens. Em relação à obtenção do módulo de elasticidade com o uso de simulação conclui-se que:

101 101 Foi possível observar ao longo do trabalho que os poros maiores (vuggys) são os principais responsáveis pelo comportamento do material quando o mesmo é carregado, também cabe destacar a influência da estrutura porosa nos resultados e observar que a posição dos poros afeta o módulo de elasticidade da amostra. A capacidade do programa de elementos finitos limita a utilização máxima da resolução das subamostras e é o principal responsável pela reamostragem. Os dados de entradas de material na análise de elementos finitos, que são retirados da intensidade da imagem, exigem o conhecimento da geologia. Neste trabalho os valores foram arbitrados com o objetivo de testar a técnica nas simulações com mais de um material. O programa de geração de malhas se provou bastante útil. Na etapa de geração de malhas foi utilizada uma abordagem baseada em construção de elementos a partir de voxels gerando tetraedros. Uma abordagem simples, robusta que fornece malhas de boa qualidade Recomendações Recomenda-se para os trabalhos futuros utilizar as mesmas amostras testadas em laboratório para poder obter uma calibração dos resultados da simulação numérica. Se possível, aumentar o número de amostras com maior range de porosidade. Para trazer maior confiabilidade à técnica, os valores encontrados nas simulações numéricas devem ser obtidos antes dos resultados de laboratório, para evitar mácula. Ou usar uma amostra para calibração e as demais depois da simulação numérica. Caso se consiga um bom número de amostras com a mesma porosidade, criar um modelo onde obtenha curvas de módulo de elasticidade relacionadas com a porosidade e estrutura porosa. Outros ensaios podem ser realizados a partir da técnica estudada neste trabalho, Sugere-se a realização de ensaios brasileiros e triaxiais e dinâmicos. Neste último o controle da resolução e a reamostragem devem ser mais rígidos, uma vez que a microporosidade terá uma representatividade maior nos cálculos.

102 102 Bibliografia ABAQUS. (2010). ABAQUS User s Manual. Providence, Rohde Island, USA. Acocella, A., & Turrini, D. (2010). Formation, appearance and characterization of travertine. Acesso em 22 de janeiro de 2014, disponível em issuu.com: Ahr, W. M., Allen, D., A., B., Bachman, H. N., Clerke, E. A., Smithson, T., et al. (2005). Confronting the carbonate conundrum. Schlumberger Oil Field, Arh, W. M. (2008). Geology of Carbonate reservoirs. New Yersy: John Wiley & sons, Inc., ISBN Arns, C. H., Knackstedt, M. A., Pinczewski, W. V., & Garboczi, E. J. (2002). Computation of linear elastic properties from microtomographic images: Methodology and agreement between theory and experiment. Journal of Geophysics, Vol. 67, No. 5, , Sept.-Oct Bathe, K. J. (1982). Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice. Hall, Inc. Chafetz, H. S., & Folk, R. L. (1984). Travertines: depositional morphology and the bacterially constructed constituents. Journal of Sedimentology Petrology, V.54 p Choquette, P. W., & C., P. L. (1970). Geologic nomenclature and classification of porosity in sedimentary carbonates. American Association of Petroleum Geologist Bulletin, V. 54, p FOLK, R. L. (1959). Pratical petrographic classification of limestones. American Association Petroleum Geology Bulletim, V.43, p Gomes, O. F. (2001). Processamento e Análise de Imagens Aplicados à Caracterização Automática de Materiais. Rio dejaneiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (669G633p). Goodman, R. E. (1989). Introduction to Rock Mechanics. New York: John Wiley & Sons.

103 103 Grader, A., Kalam, M., Toelke, J., Mu, Y., Derzhi, C., Baldwin, M., et al. (4-7 de Outubro de 2010). A COMPARATIVE STUDY OF DIGITAL ROCK PHYSICS AND LABORATORY SCAL EVALUATIONS OF CARBONATE CORES. International Symposium of the Society of Core. Keyak, J. M., Skinner, H. B., & Mote, C. D. (1990). Automated three-dimensional finite element modelling of bone: a new method. Journal of Biomedical Engineering, p KNACKSTEDT, M. A., ARN C, H., GHOUS, A., SAKELLARIOU, A., SENDEN, T. J., SHEPPARD, A. P., et al. (2006). 3D imaging and characterization of the pore space of carbonate core; implications to single and two phase flow properties. SPWLA 47th annual logging sysposium, p.15. LTD, S. (Exeter, UK.). Reference Guide. version : Simpleware Ltd., LTD., S. (2012). Tutorial Guide. Version 5.1. ScanIP, +FE Module, +CAD Module, +NURBS Module. Exerter, UK: Simpleware Ltd., Machado, A. C. (2012). ESTUDO DE PARÂMETROS MICROESTRUTURAIS DE ROCHAS-RESERVATÓRIO PARA DIFERENTES RESOLUÇÕES UTILIZANDO MICROTOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA 3D. Rio de Janeiro: INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS- GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE). Palchik, V. (2010). Technical note: On the Ratios between Elastic Modulus and Uniaxial Compressive Strength of Heterogeneous Carbonate Rocks. Rock. Mech. Rock. Eng. Springer, v. 44, p Pentecost, A. (2005). Travertine. Netherlands: Springer. Pico, R. L. (2013). Influência da microestrutura nas propriedades mecânicas de rochas carbonáticas usando imagens 3D de microtomografia de raios-x. Rio de Janeiro. Pilotto, D. (2011). Caracterização Geológica e Geomecânica de Travertinos. Rio de Janeiro: ( /CB). Russ, J. C. (2002). The Image Processing Handbook 4nd. Boca Raton: CRC Press.

104 104 SCHLUMBERGER. (2013). Carbonate Reservoirs. Acesso em maio de 17 de 2014, disponível em Site da Schlumberger: SCHOLLE, P. A., & ULMER-SCHOLLE, D. S. (2003). A Color Guide to the Petrography of Carbonate Rocks: Grains, Textures, Porosity, Diagenesis. Tulsa: AAPG Memoir 77. Terra, G. J., Spadini, A., França, A., Sombra, C., Zambonato, E., Juschaks, L. C., et al. (novembro de 2009). Classificação de rochas carbonáticas aplicável ás bacias sidimentares brasileiras. B. Geoci. Petrobras, pp

105 105 APÊNDICE I simulações. O apêndice apresenta as tabelas, gráficos e módulo de elasticidade das Para um material (E=85 Gpa)

106 106

107 107

108 Para os Travertinos Turcos invertidos 108

109 Para dois materiais (85GPa( GS) e 78GPa(60-80 GS)) 109

110 110

111 111

112 Para dois materiais (85GPa ( GS) e 70GPa (60-80 GS)) 112

113 113

114 114

115 Para dois materiais 85GPa ( GS) e 78GPa ( GS) 115

116 116

117 117 Para quatro materiais 85GPa( GS) 78GPa ( GS) 70GPa ( GS) e 65GPa (60-90 GS)

118 118

119 119

120 120