Aplicação da Técnica de Busca em Vizinhança de Grande Porte para Otimizar a Frota de Empresas de Transporte Público

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1 Aplicação da Técnica de Busca em Vizinhança de Grande Porte para Otimizar a Frota de Empresas de Transporte Público Gustavo Peixoto Silva Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) Departamento de Computação gustavo@iceb.ufop.br Cláudio Barbieri da Cunha Universidade de São Paulo (USP) Departamento de Engenharia de Transportes cbcunha@usp.br RESUMO Este artigo apresenta uma abordagem inédita para a resolução do Problema de Programação de Veículos no Sistema de Transporte Público (PPV). O modelo se baseia na metaheurística GRASP cuja busca local é realizada pelo método da pesquisa em vizinhança de grande porte, conhecida na literatura como very large-scale neighborhood search. O grande diferencial da aplicação desta técnica de busca para o PPV é que, além de incorporar os movimentos de realocação e troca de viagens, realizados tradicionalmente, ela também permite considerar trocas do tipo 3-optimal, 4-optimal, até o limite de n-optimal, para uma solução com n veículos. A implementação da heurística proposta foi testada com dados de problemas reais de empresas que operam na região metropolitana de Belo Horizonte, e os resultados foram comparados com a solução ótima obtida por um método exato baseado em algoritmos de fluxo em redes. PALAVRAS CHAVE. Programação de veículos, busca em vizinhança de grande porte, transporte público. Área: Logística. ABSTRACT This paper presents a new approach to solve the Vehicle Scheduling Problem (VSP) for public mass transport. The proposed model is based on the GRASP metaheuristic, where the local search is performed by the Very Large-scale Neighborhood Search (VLNS) technique. The great differential of this search technique applied to the VSP is that, in addition to trip reassigning and swapping movements, adopted in previous work, it also allows to consider 3-optimal, 4-optimal, up to n-optimal trip movements, for a solution with n vehicles. The implementation of the proposed heuristic was tested with data from real problems of companies operating in a metropolitan area of Belo Horizonte city, and the results were compared with the optimal solution obtained by an exact method based on network flow algorithm. KEYWORDS. Vehicle scheduling, Very Large-scale Neighborhood Search, Mass Transit. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1051

2 1. Introdução O Problema de Programação de Veículos (PPV) é bem conhecido na literatura e consiste em definir a frota mínima necessária para realizar um conjunto de viagens pré-determinadas, das quais são conhecidos os horários e ponto de partida, o tempo de duração e o ponto de chegada de cada viagem. A solução deste problema também envolve a definição do conjunto de viagens a ser realizado por cada veículo da frota mínima, assim como possíveis retornos temporários à garagem ou pátio de estocagem existente nos terminais. Este problema surge, por exemplo, no contexto do transporte coletivo urbano por ônibus. A programação dos horários das viagens de cada uma das linhas de ônibus que atendem a uma localidade é atribuição do poder público municipal, cabendo a cada empresa operadora determinar a melhor forma de alocar seus veículos a fim de realizar todas as viagens programadas, buscando minimizar a frota necessária e também o percurso ocioso para reposicionamento dos veículos. Nesse caso, a importância do PPV se deve ao fato de que, no Brasil, o transporte coletivo urbano por ônibus é o principal meio de transporte público utilizado pelas pessoas nos seus deslocamentos para realização das suas atividades diárias cotidianas, englobando trabalho, escola, compras, lazer, etc. Segundo dados do IBGE (2007), cerca de 135 milhões de pessoas vivem nas cidades, o que corresponde a três em cada quatro habitantes de uma população que atinge 180 milhões de habitantes. Destes, cerca de 75% vive em áreas urbanas de médio e grande porte, com mais de 100 mil habitantes, servidas pelo sistema de transporte coletivo por ônibus. O PPV pode ser resolvido com métodos exatos que utilizam principalmente algoritmos de fluxo em redes, como pode ser verificado nos trabalhos de revisão bibliográfica de Bodin et al. (1983), de Carraresi e Gallo (1984) e de Daduna e Paixão (1995). Isto se deve pela eficiência de tais modelos em representar o problema e na simplicidade de implementação dos algoritmos de fluxo em redes, os quais na sua maioria apresentam complexidade polinomial. Além disso, uma vez consideradas apenas unidades de fluxo inteiras, a solução ótima será necessariamente inteira, evitando problemas com erros de arredondamento numérico. Dentre os modelos de fluxo em redes, destaca-se o modelo de pseudo-designação (Gavish et al., 1978), o qual foi utilizado por Silva e Gualda (2002) para receber a estratégia de geração de arcos, no sentido de Freling et al. (1995). Desta forma, os autores obtiveram soluções exatas de problemas reais de grande porte por meio do método dito ArcGen. Por outro lado, os métodos exatos não são capazes de incorporam restrições de ordem operacional que surgem na prática. Exemplos dessas restrições são: ao número máximo de trocas de linhas que um veículo pode realizar durante a operação, e o tempo máximo que um veículo permanece em operação. Ao incluir tais restrições no modelo exato ele se torna NP-Completo, o que impossibilita a sua resolução em tempo hábil de processamento computacional. Neste sentido, as metaheurísticas se aplicam perfeitamente à resolução do problema. O modelo heurístico contido no sistema BOOST (Kwan e Rahin, 1999), desenvolvido e largamente utilizado em empresas do Reino Unido, assim como a utilização da heurística Iterated Local Search (ILS) para resolver o PPV na realidade brasileira (Souza et al., 2007), estão baseados na busca local do tipo 2-optimal. Ou seja, os movimentos considerados são de realocação de uma viagem de um veículo para outro ou a troca de viagens realizada entre dois veículos. Diferentes heurísticas baseadas neste preceito podem ser encontradas na literatura (Baita et al., 2000). A utilização da heurística ILS para resolver o PPV da realidade brasileira foi bem sucedida, apresentando resultados significativos (Souza et al., 2007). Entretanto, nesta implementação não há um controle no número de troca que os veículos podem realizar, mas sim uma penalização no número de trocas indesejáveis. Além disso, a função objetivo utilizada para avaliar uma solução não está de acordo com os preceitos práticos e sugeridos pela empresa gestora do sistema de transporte público estudado. Neste trabalho é proposta uma abordagem inédita para a resolução do PPV baseada na metaheurística GRASP, cuja busca local se baseia no método da pesquisa em vizinhança de grande porte, conhecida na literatura como very large-scale neighborhood search (Ahuja et al, XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1052

3 2000). O grande diferencial da aplicação desta técnica de busca para o PPV é que, além de incorporar os movimentos de realocação e troca de viagens, realizados tradicionalmente, ela também permite considerar trocas encadeadas do tipo 3-optimal, 4-optimal, até o limite de n- optimal, para uma solução do PPV com n veículos. Na prática isso significa que a busca considera movimentos que envolvem a realocação e/ou a troca de viagens entre 2, 3, 4 veículos, ou mesmo todos os veículo da solução corrente. Desta forma, é realizada uma busca em uma vizinhança mais ampla a partir de uma solução, o que pode levar a resultados melhores do que aqueles obtidos com apenas dois tipos de movimento. A implementação da heurística GRASP com busca local realizada pela técnica de pesquisa em vizinhança de grande porte foi testada com dados de problemas reais, fornecidos pela BHTRANS, de empresas que operam na região metropolitana de Belo Horizonte. Os resultados foram comparados com a solução ótima obtida pelo método exato ArcGen, e se mostram muito próximo da otimalidade. Este artigo está organizado da seguinte forma: a próxima seção trata da modelagem do PPV como um problema de particionamento de conjuntos, enquanto na seção 3 é detalhado o método de busca em vizinhança de grande porte proposto para o PPV. Já a seção 4 fornece os detalhes da heurística baseada em GRASP para a solução do PPV, e na seção 5 são descritos os experimentos computacionais realizados, apresentados e discutidos os resultados obtidos. Por fim, as conclusões e recomendações são apresentadas na seção O PPV como um Problema de Particionamento de Conjuntos O Problema da Programação de Veículos (PPV) consiste em definir a escala dos veículos que irão realizar o conjunto de viagens, ou tabela de horários, sob responsabilidade de uma determinada empresa operadora. Como resultado, determina-se a menor frota necessária e o conjunto de viagens designadas a cada veículo, iniciando e terminando na garagem, incluindo também os eventuais deslocamentos ociosos para conectar viagens. Esta escala deve satisfazer um conjunto de restrições lógicas e operacionais vigentes na empresa, o que faz com que a sua realização de forma manual leve a uma solução distante do ótimo global. Este problema trata de uma frota homogênea, sendo conhecidas todas as características do veículo. A tabela de horários, dado de entrada para o PPV, assim como as decisões sobre a estrutura dos serviços, isto é, as linhas que compõem cada serviço, seus respectivos itinerários e freqüências, são de atribuição do poder público. Como resultado, define-se uma Ordem de Serviço de Operação (OSO) para cada linha, contendo todas as informações operacionais, incluindo itinerários por sentido (ida e volta), pontos terminais, frota a ser alocada e tabela de viagens, que indica as viagens correspondentes a cada horário e respectivos locais de partida e de chegada. Com base nas programações das viagens a serem cumpridas diariamente, cabe à empresa operadora a programação dos veículos. O PPV tem como dados de entrada, além da tabela das viagens a serem realizadas, contendo o horário e ponto de partida, o tempo de duração e o ponto de chegada de cada viagem, o tempo mínimo de embarque no início de cada viagem e o tempo de deslocamento ocioso realizado partindo e chegando à garagem, assim como entre os pontos terminais das diferentes linhas da empresa, estando o veículo fora de operação. Desta forma é possível verificar a possibilidade de um veículo operar em duas linhas distintas ao longo do período. Neste trabalho foram consideradas as seguintes restrições para o problema: a) cada uma das viagens da tabela deve ser realizada por um único veículo, respeitando o tempo mínimo de embarque; b) um veículo não pode realizar duas viagens ao mesmo tempo; c) cada veículo não pode realizar mais do que um dado número de trocas de linha durante a operação; d) cada veículo da frota inicia e termina suas atividades na garagem permanecendo aí um período mínimo para limpeza, manutenções rápidas e abastecimento; e) se o intervalo entre duas viagens for maior do que duas horas, o veículo deve retornar temporariamente à garagem, acarretando um custo adicional à operação. Uma solução do problema pode ser vista como um particionamento factível das viagens a serem atribuídas aos diferentes veículos da frota. Este particionamento deve ser viável, ou seja, XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1053

4 cada partição deve satisfazer as restrições do problema e tem como objetivo utilizar o menor número de veículo e, em segundo lugar, minimizar o tempo total de deslocamentos ociosos da frota mínima. Portanto, cada partição corresponde a um conjunto de viagens a serem executadas por um dado veículo, chamado de bloco de viagens do veículo. Em outras palavras, o objetivo é minimizar os custos fixos, dados pelo número de veículos e os custos variáveis calculados em função dos deslocamentos fora de operação e tempos de tempo de terminal ociosos. Para formular o PPV como um problema de particionamente, considere A = {a 1, a 2, a 3,, a n } um conjunto de n viagens sob a responsabilidade de uma empresa de transporte público. Os subconjuntos S 1, S 2, S 3,, S K, para algum inteiro K, podem ser vistos como uma escala com K veículos em operação, e definem uma partição factível de A se os mesmos são viáveis, disjuntos e a sua união resulta em A. Essa partição pode ser representada como S = {S 1, S 2, S 3,, S K }. Seja c k (S k ) o custo mínimo de um subconjunto S k, calculado em função do custo fixo e do custo variável do veículo k. Assim, o problema de particionamento pode ser formalizado da seguinte forma: K Minimizar c(s) = c k= 1 k(s k ), tal que S = (S 1, S 2, S 3,, S K ) é uma partição de A (1) Um problema de particionamento (1) normalmente é solucionado por um processo de decisão em duas fases: inicialmente, os elementos de A devem ser alocados aos subconjuntos S 1, S 2, S 3,, S K ; em seguida, cada subconjunto S k deve ser configurado de maneira ótima em relação ao seu custo c k (S k ). Para aplicar o método de busca em vizinhança de grande porte, considera-se que a função objetivo possa ser calculada separadamente para cada subconjunto, isto é, o custo c k (S k ) não depende da maneira como os demais elementos de S são alocados aos demais subconjuntos, nem tampouco depende de como os demais subconjuntos são configurados. Isso ocorre para o caso do PPV, uma vez que as viagens alocadas a cada um dos K veículos define a ordem ou seqüência em que as mesmas são executadas, assim como os eventuais percursos ociosos, de maneira independente dos demais veículos. 3. O Método de Busca em Vizinhança de Grande Porte Nesta seção são apresentadas as adaptações que possibilitaram a utilização do método de busca em vizinhança de grande porte para resolver o PPV. Esse método de busca local foi incorporado à heurística GRASP para resolver o PPV relacionado a empresas de pequeno, médio e de grande porte. Em linhas gerais, algoritmos de busca em vizinhança, também conhecidos como algoritmos de busca local, pertencem a uma classe geral de algoritmos de melhoria. Tais algoritmos partem de uma solução inicial viável e tentam melhorá-la iterativamente, sendo que a cada iteração varre-se a vizinhança da solução corrente em busca de uma solução melhor. Os chamados Métodos de Busca em Vizinhança de Grande Porte (BVGP), conhecido na literatura com Large Scale Neighborhood Search Methods, correspondem a algoritmos de busca em vizinhança em que o tamanho da vizinhança é muito grande, possivelmente exponencial, tornando virtualmente impossível a enumeração de todas as soluções vizinhas de uma solução corrente e a sua avaliação (Ahuja et al., 2000). 3.1 Vizinhança de Troca Cíclica Uma dada solução para o PPV só pode ser melhorada através de mudanças nas viagens atribuídas aos K veículos da frota, uma vez que cada sequência em que as viagens são realizadas fica perfeitamente definida em função dos horários de partida. Assim, um método de busca em vizinhança pode se basear em trocas aos pares, no qual duas viagens são trocadas entre os dois veículos aos quais elas pertencem. Essa vizinhança de trocas em pares tem ordem de complexidade O(n 2 ). Uma troca cíclica ( cyclic exchange ) pode ser definida por uma sequência de viagens a 1 -a 2 -a 3 - -a r -a 1, sendo que as viagens a 1, a 2, a 3,, a r pertencem a diferentes veículos. Seja S[a k ] o veículo ao qual pertence a viagem a k. Dessa forma, a troca cíclica a 1 -a 2 -a 3 - -a r -a 1 representa as seguintes alterações: a viagem a 1 é movida do veículo S[a 1 ] para o veículo S[a 2 ], a viagem a 2 de S[a 2 ] para S[a 3 ], e assim por diante. Finalmente, a viagem a r é movida de XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1054

5 S[a r ] para S[a 1 ]. Uma troca de caminho ( path exchange ) é definida por uma sequência de viagens a 1 -a 2 -a 3 - -a r e difere da troca cíclica pelo fato de que o último elemento a r não é movido de S[a r ] para S[a 1 ]. Para um dado valor de K, o tamanho da vizinhança definida através de múltiplas trocas corresponde a Θ(n K ) vizinhos, que é significativamente maior do que Θ(n 2 ) para K > 2. Assim, é de se esperar que soluções ótimas locais obtidas por meio de múltiplas trocas sejam, em média, superiores às soluções obtidas por trocas aos pares. Entretanto, uma vez que o tamanho da vizinhança em trocas múltiplas cresce exponencialmente com o tamanho do problema, torna-se necessário um método eficiente para encontrar um vizinho de menor custo na vizinhança. Thompson e Psaraftis (1993) desenvolveram um método que utiliza o conceito de grafos de melhoria para contornar tal problema Estrutura de Vizinhança Para uma dada partição factível S, definimos uma outra partição S' como vizinha de S se: i) S' é uma partição factível e ii) S' pode ser obtida a partir de S realizando uma troca cíclica. Definimos uma vizinhança S como a coleção de todas as partições que são vizinhas de S. Como foi visto anteriormente, esta vizinhança cresce exponencialmente com K, portanto, examiná-la completamente para identificar uma troca cíclica que melhore o custo da solução é ineficiente do ponto de vista computacional. Entretanto podemos utilizar o conceito de grafo de melhoria, descrito a seguir, para realizar implicitamente a pesquisa da vizinhança. 3.3 O Grafo de Melhoria Um grafo de melhoria ( improvement graph ) para uma vizinhança com múltiplas trocas é definido para uma partição viável S, sendo representado por G(S). Como anteriormente, seja S[a j ] o veículo que contém a viagem a j. O grafo G(S) é um grafo direcionado com n nós, onde cada nó i corresponde à viagem ai S. Um arco direcionado (i, j) em G(S) significa que a viagem a i deixa seu veículo atual S[a i ] e é movido para o veículo contendo a viagem a j, ou seja, o veículo S[a j ]; simultaneamente, a viagem a j deixa o veículo S[a j ]. Para se construir G(S) são considerados todos os pares de elementos a i e a j de veículos distintos em S. Assim, o arco (i, j) é adicionado a G(S) se: i) as viagens a i e a j pertencerem a diferentes veículos; ii) o veículo {a i } S[a j ]\{a j } for viável. Nesse caso, o custo c ij no arco (i, j) é definido como c({a i } S[a j ]\{a j }) c(s[a j ]). 3.4 Identificando um Ciclo Válido Denomina-se um ciclo direcionado W no grafo de melhoria G(S) se as viagens em S correspondentes aos nós em W pertencem a diferentes veículos. Define-se um ciclo válido como um ciclo de custo negativo de um subconjunto desconexo em G(S). Um ciclo válido na grafo G(S) corresponde a uma troca cíclica que leva a uma melhoria no valor da função objetivo do problema de particionamento descrito em (1). Esta é uma forma eficiente de realizar buscas por soluções que melhoram o valor objetivo na vizinhança de S. Portanto, é necessário encontrar ciclos válidos no grafo de melhoramentos G(S). Diversos algoritmos são propostos na literatura para identificar ciclos válidos (Ahuja et al., 2001, 2003). Nos testes realizados pelos autores, as melhores heurísticas são capazes de identificar ciclos válidos em subconjuntos desconexos, correspondentes a redes com milhares de arcos, em tempos de processamento inferiores a um segundo (Ahuja et al., 2001). Nesse trabalho foi utilizado o algoritmo do rotulamento modificado com a disciplina de fila primeiro que entra primeiro que sai para identificar um ciclo válido. Para implementar este algoritmo, é computado o número de vezes que cada nó é examinado. Se a rede não tiver ciclos válidos, cada nó será examinado no máximo (n 1) vezes. Entretanto, se um nó for examinado mais do que (n 1) vezes, então a rede contém um ciclo. Para reconstruir o ciclo basta partir do nó identificado e percorrer o vetor de nós predecessores até retornar ao nó. Para maiores detalhes sobre o procedimento o leitor deve recorrer a Ahuja et al (1993). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1055

6 4. GRASP com Busca em Vizinhança de Grande Porte para resolver o PPV A heurística GRASP (Greedy Adaptive Search Procedure), proposta por Feo e Resende (1995), consiste em uma combinação de algoritmos construtivos para uma solução inicial com algoritmos que realizam busca local em uma vizinhança desta solução. Ela usa uma heurística construtiva gulosa com um dado grau de aleatoriedade para obter múltiplas soluções iniciais de boa qualidade. A partir de cada uma destas soluções é aplicado um algoritmo de busca local e finalmente é escolhida a melhor solução local obtida pelo processo. Esta heurística permite implementações que podem diferir em função do processo de geração das soluções aleatórias e do método de busca local empregado. O GRASP básico para problemas de minimização é descrito no Algoritmo 1. procedimento GRASP(Max_Iterações, Semente); início Ler_Entrada(); para k = 1 até Max_Iterações faça Solução Greedy_Randomized_Construction(Semente); Solução Local_Search(Solução); Atualiza_Solução(Solução, MelhorSolução); fim Retorna MelhorSolução; fim GRASP; Algoritmo 1. GRASP básico para minimização. Nesse algoritmo é necessário definir como é realizada a construção randômica da solução e o método de busca a ser empregado, caracterizando assim a implementação GRASP para um dado problema. As definições adotadas neste trabalho são apresentadas a seguir Solução Randômica Gulosa O procedimento guloso usado para gerar a solução inicial do PPV tem as seguintes características: i) inicialmente as viagens da empresa são ordenadas pelo horário de início e fim e um veículo é disponibilizado; ii) a cada iteração, a próxima viagem ainda não alocada deve ser inserida no veículo que incorrer no menor custo possível, segunda a função objetivo de (1). Se for necessário deve-se disponibilizar um novo veículo e alocar a viagem a ele. Na primeira iteração do GRASP a solução é a totalmente gulosa. Nas iterações seguintes foi considerado o fator de aleatoriedade α que, para cada viagem a ser alocada, escolhendo-se um entre os α veículos com custo de inserção mais baratos. 4.2 Busca Local A busca local foi feita pelo método de pesquisa em vizinhança de grande porte. O primeiro passo consiste em construir o grafo de melhoramento associado ao problema, que requer algumas adaptações em relação ao que foi apresentado na seção 3. Para tanto, considere um problema com n viagens A = {a 1, a 2, a 3,, a n } e uma solução S = {S 1, S 2,..., S k } com k veículos. Seja S = {s 1, s 2,..., s k } nós representando os k veículos da solução S. Então o grafo G(S) = (N, E) terá o conjunto de nós dado por N = A S {t}, ou seja, um nó para cada viagem, um nó para cada veículo e um nó extra, dito super-nó. Os arcos do conjunto E são dos seguintes tipos: a) de uma viagem para outra (a i, a j ) que representa a substituição da viagem j pela viagem i no veículo que contém a viagem j. O custo deste tipo de arco é dado por c({a i } S[a j ]\{a j }) c(s[a j ]); XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1056

7 b) de uma viagem para um veículo (a i, s j ) que representa a inclusão da viagem i no veículo j sem que qualquer viagem seja retirada do veículo j. Neste caso, o custo do arco é calculado pela expressão c({a i } S[a j ]) c(s[a j ]); c) do super-nó para cada viagem (t, a j ) que considera a retirada da viagem j de seu veículo sem que qualquer outra viagem seja inserida nesse veículo. Ao custo deste arco é atribuído o valor c(s[a j ]\{a j }) c(s[a j ]); d) de cada veículo que recebe viagem sem a retirada de qualquer uma de suas viagens originais para o super-nó, para permitir a formação de ciclos. Esse tipo de arco tem custo zero. São considerados somente os arcos descritos no item a) cuja substituição da viagem j pela viagem i resulta em um veículo viável segundo as restrições impostas ao problema. O mesmo procedimento se aplica aos arcos descritos no item b). A Figura 1 mostra a construção da rede de melhoria para os veículos contidos na Tabela 1. Tabela 1. Bloco de viagens referentes a três veículos com partida e chegada no mesmo ponto. <Bloco do Veículo > <Bloco do Veículo > <Bloco do Veículo > Vg Partida Chegada Viagem Partida Chegada Vg Partida Chegada 1 04:30 05: :00 06: :00 09: :00 07: :20 07: :40 09: :20 09:29 a 6 S 3 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 7 S 1 S 2 Figura 1. Rede de melhoramento para os veículos apresentados na Tabela 1. A rede G(S) = (N, E), gerada conforme descrito anteriormente, permite realizar movimento de realocação e troca 2-optimal, 3-optimal,..., n-optimal. Sobre esta rede é aplicado o algoritmo do rotulamento modificado, considerando apenas os ciclos de partições disjuntas. Ao encontrar um ciclo válido, a rede é atualizada tendo em vista as trocas representadas pelo ciclo. A seguir o algoritmo do rotulamento é novamente aplicado. A busca só é interrompida quando nenhum ciclo válido for encontrado. O Algoritmo 2 sintetiza o procedimento adotado. t XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1057

8 procedimento BuscaLocal(Solução_Corrente x); início Rede Gera_Rede(x); Ciclo_Valido Procura_Ciclo_Valido(Rede); enquanto(existe Ciclo_Valido) faça Atualiza_Dados(Ciclo_Valido, Rede, x); Ciclo_Valido Procura_Ciclo_Valido(Rede); fim Retorna solução melhorada x; fim BuscaLocal; Algoritmo 2. Busca em vizinhança de grande porte. 4.3 Função de Custo A função objetivo utilizada para avaliar uma solução é apresentada a seguir. Considere S K uma partição do conjunto de viagens associada ao veículo k. O custo deste veículo é calculado pela expressão (2). c k (S k ) = Custo Capital + K 1 VO(S k ) + K 2 TE(S k ) + K 3 RT(S k ) (2) Onde o Custo Capital é o valor associado à utilização de um veículo, VO(S k ) o tempo total que o veículo realiza de viagens ociosas, como por exemplo o deslocamento da garagem até o ponto inicial da linha e do ponto final de volta à garagem, possíveis deslocamentos entre terminais e retornos temporários à garagem durante a operação; TE(S k ) é o tempo total que o veículo k permanece ocioso no terminal entre duas viagens, e RT(S k ) é o número de retornos temporários que o veículo realiza durante a operação. As constantes K 1, K 2 e K 3 são dados definidos pelo usuário ajustados de tal forma a adequar as soluções obtidas aos interesses práticos da empresa. 5. Experimentos Computacionais A heurística implementada neste trabalho foi testada com um conjunto de dados de quatro empresas de transporte público da região metropolitana de Belo Horizonte e os resultados foram comparados com a solução ótima obtida para cada problema. Para cada empresa foram utilizados os dados de domingo, sábado e segunda-feira, sendo este último conjunto de dados o representante dos dias úteis. Cada uma das empresas com o respectivo número de viagens é apresentada na Tabela 2. Foram feitas essas escolhas por representarem empresas de pequena, média e grande porte. Tabela 2. Total de viagens de cada empresa estudada. G02 G48 G69 G61 Domingo Sábado Segunda Para obter a solução ótima de cada caso foi utilizado o método ArcGen para a programação de veículos, o qual se baseia em algoritmo de fluxo em redes (Silva, 2001). Esse método foi confrontado com o sistema BOOST (Kwan e Rahin, 1999) mostrando ser consistente e mais eficiente do que tal heurística (Silva et al., 1999). Para cada problema abordado, foram realizadas 10 rodadas da heurística, cada uma com tempo de duração de 15 minutos para a empresa G02, 45 minutos para as empresas G48 e G69 e de 60 minutos para a empresa G61. O método exato é extremamente rápido, variando entre 3 e 18 segundos para resolver os problemas G61 domingo e G61 segunda. Todos os testes foram XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1058

9 executados em um PC com processador Intel Core 2 Duo, com 2.13 GHz, 2 GB de memória RAM e sistema operacional Windows XP. 5.1 Resultados Obtidos Os parâmetros utilizados na função objetivo de ambos os métodos de resolução foram: Custo Capital = 1.000, peso para viagem ociosa K 1 = 2, peso para o tempo de espera no terminal K 2 = 1, peso para cada retorno temporário à garagem K 3 = 60, tempo mínimo na garagem = 60 minutos que o veículo permanece na garagem em um dia de operação. Para aplicar o método exato ArcGen, foi considerado que os veículos pudessem realizar um número indeterminado de trocas de linha durante a operação. Os testes foram realizados com tais características para se ter uma base de comparação com uma solução exata. Desta forma, foi possível confrontar a qualidade das soluções obtidas pela heurística proposta com as soluções ótima encontradas por um método exato. Uma vez validada a eficiência da heurística, ela pode ser aplicada ao PPV com restrições adicionais, que é um problema NP-completo. Desta forma é possível inferir sobre o quão distante do ótimo podem estar as soluções obtidas para o problema intratável por meio de métodos exatos. A seguir são apresentadas as soluções com suas respectivas características operacionais. Nas Tabelas 3 a 5, correspondentes à programação para domingo, sábado e dia útil (2ª feira), respectivamente, foram adotados as seguintes abreviações: FO para o valor da função objetivo, VO para o total de horas que a frota realiza de viagens ociosas, TE para o tempo total da frota parada nos terminais entre duas viagens e RT para o número de retornos temporários da frota. Tabela 3. Detalhamento das soluções exatas e heurísticas para o domingo. Empresa Método FO Veículos VO TE RT G02 ArcGen :04 15:01 4 GRASP_VL :04 16:20 4 % do ótimo 0,61% G48 ArcGen :43 41:14 4 GRASP_VL :01 41:55 4 % do ótimo 1,00% G69 ArcGen :14 45:05 5 GRASP_VL :32 49:09 4 % do ótimo 2,07% G61 ArcGen :39 69:07 5 GRASP_VL :14 69:07 3 % do ótimo 1,44% Tabela 4. Detalhamento das soluções exatas e heurísticas para o sábado. Empresa Método FO Veículos VO TE RT ArcGen :48 18:50 5 G02 GRASP_VL :48 20:17 6 % do ótimo 0,56% ArcGen :36 50:53 1 G48 GRASP_VL :24 49:04 2 % do ótimo 1,67% ArcGen :52 52:47 8 G69 GRASP_VL :50 54:54 8 % do ótimo 1,34% ArcGen :53 63:48 8 G61 GRASP_VL :45 64:29 7 % do ótimo 1,78% XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1059

10 Tabela 5. Detalhamento das soluções exatas e heurísticas para dia útil. Empresa Método FO Veículos VO TE RT G02 ArcGen :28 18:48 24 GRASP_VL :00 21:51 24 % do ótimo 0,28% G48 ArcGen :40 51:21 13 GRASP_VL :49 52:46 13 % do ótimo 1,23% G69 ArcGen :18 43:15 29 GRASP_VL :37 46:38 29 % do ótimo 1,64% G61 ArcGen :13 65:57 34 GRASP_VL :24 65:24 34 % do ótimo 1,74% 5.2 Discussão dos Resultados Conforme pode-se observar nas Tabelas 3 a 5, e também na Tabela 6, que apresenta a média entre os três dias, o percentual médio da diferença entre as soluções obtidas pela heurística GRASP e a solução ótima de cada empresa é muito baixa, variando entre 0,48% e 1,68%. Para os dados de segunda-feira, que representa os problemas de maiores dimensões e portanto aqueles que envolvem os maiores custos, os percentuais de diferença são menores do que suas respectivas médias nas três primeiras empresas, estando acima da média somente no caso da empresa G61, justamente o problema de maior dimensão. De qualquer maneira, as soluções estão muito próximas do ótimo, o que coloca a heurística em um patamar de competitividade com métodos exatos, mesmo porque, a heurística tem capacidade de resolver problemas que não podem ser resolvidos por métodos exatos, em particular considerando a restrição de que cada veículo não pode realizar mais do que um dado número de trocas de linha durante a operação. Tabela 6. Percentual médio das soluções heurísticas em relação à solução ótima. Empresa G02 G48 G69 G61 % médio do ótimo 0,48% 1,30% 1,68% 1,65% A qualidade dos resultados se deve à eficiência do método de busca em vizinhança de grande porte. Entretanto sua implementação não é trivial uma vez que envolvem a criação e manutenção de uma rede que reflete o problema, bem como a utilização algoritmos de fluxo em redes para detectar ciclos válidos. Neste trabalho foi possível verificar que uma das limitações do método de busca consiste na restrição de que os nós do ciclo viável devem pertencer a partições diferentes. Isso significa que duas viagens de um mesmo veículo não podem pertencer a um mesmo ciclo. Se por um lado esta restrição garante a viabilidade da solução que resulta da atualização segundo o ciclo válido, ela interrompe a exploração da vizinhança e ainda restringe a possibilidade de explorar espaços ainda mais abrangentes. Esta é uma hipótese para justificar o fato do GRASP não atingir a solução ótima nem mesmo em problemas de pequeno porte. Em contrapartida, a taxa de aproximação da solução ótima se mantém praticamente mesmo para problemas de grande porte. Tendo em mente a qualidade operacional das soluções heurísticas e exatas, elas são muito semelhantes, apresentando pequenas diferenças nos tempos de viagens ociosas e nos tempos que os veículos permanecem parados nos terminais. Em alguns casos há uma diferença entre as soluções quanto ao número de retornos temporários à garagem. Mas o número de veículos, ou seja, a frota mínima coincide em todos os casos estudados. Uma forma de aproximar ainda mais as soluções heurísticas da exata é a realização de mudanças com coeficientes K 1, K 2 e K 3 na expressão (2). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1060

11 6. Conclusões Neste trabalho foi apresentada uma utilização inédita da técnica de Busca em Vizinhança de Grande Porte para resolver o Problema de Programação de Veículos de empresas que atuam no sistema de transporte público. A técnica de busca foi combinação com a heurística GRASP na sua forma básica. Ainda assim, foi possível produzir resultados de qualidade para um tipo de problema cujas dimensões, para casos reais, são intratáveis pelos métodos convencionais. Para aplicar a técnica de busca, foi concebida uma rede de melhoria ainda inédita para o PPV. Tal rede permitiu melhorar a qualidade de uma solução por meio da detecção de ciclos válidos. Uma vez encontrado um ciclo desta natureza, a solução corrente sofre necessariamente uma melhoria ao serem realizadas as realocações e trocas inerentes ao ciclo. A técnica de busca em vizinhança de grande porte permite realizar não só movimentos de realocação e troca de viagens, como também movimentos 3-optimal, 4-optimal,..., n-optimal, onde n corresponde ao número de veículos na frota mínima. Desta forma, explora-se um espaço de busca muito mais complexo do que aqueles pesquisados na maioria das heurísticas implementadas para o problema, que contam apenas com movimentos de realocação e troca de viagens. O tempo de busca na vizinhança é minimizado com a construção do grafo de melhoria e a utilização de algoritmos de fluxo em redes para encontrar ciclos negativos. A principal conclusão deste trabalho é que a heurística GRASP associada à técnica de busca em vizinhança de grande porte se aplica perfeitamente à resolução do PPV, uma vez que as soluções se mostraram robustas e muito próximas do ótimo. Assim, é possível utilizá-la para resolver o PPV com restrições adicionais, e mesmo problemas correlatos que são NP-completo, podendo inferir sobre o quão distante do ótimo podem estar as soluções obtidas para problemas intratáveis por meio de métodos exatos. O trabalho abre uma série de possibilidades para explorar diferentes heurísticas, pois foi observado que o resultado de uma busca é fortemente dependente da solução inicial. Sendo assim, uma continuidade do trabalho consiste em combinar a técnica de busca com outras heurísticas construtivas que, periodicamente, realizam perturbações na solução corrente através de movimentos diversos. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq, à FAPEMIG e à BHTRANS pelo apoio recebido durante o desenvolvimento deste trabalho. Referências Bibliográficas Ahuja, R. K., Magnanti, T.L. e Orlin, J.B. (1993). Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, N. J. Ahuja, R.K., Orlin, J.B. e Sharma, D. (2000) Very large scale neighborhood search. International Transactions in Operations Research v.7, p Ahuja, R.K., Orlin, J.B. e Sharma, D. (2001) Multi-exchange neighborhood search algorithms for the capacitated minimum spanning tree problem. Mathematical Programming 91, p Baita, F., Pesenti, R., Ukovich, W. e Favaretto, D. (2000) A comparison of different solution approaches to the vehicle scheduling problem in a practical case. Computers and Operations Research, v.27, p Bodin, L., Golden, B., Assad, A. e Ball, M. (1983) Routing and scheduling of vehicle and crews: The state of the art. Computers and Operations Research, v. 10, p Carraresi, P. e Gallo, G. (1984) Network models for vehicle and crew scheduling. European Journal of Operational Research, v. 16, p Daduna, J. R. e Paixão, J. M. P. (1995) Vehicle scheduling for public mass transport- an overview. In: Computer-Aided Transit Scheduling, Daduna, J. R.; I. Branco e J. M. P. Paixão (eds.), Springer Verlag, Berlin, p Feo, T.A. e Resende, M.G.C. (1995) Greedy randomized adaptive search procedures. Journal of Global Optimization, v. 6, p XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1061

12 Freling, R., Paixão, J. M. P. e Wagelmans, A. P. M. (1995) Models and algorithms for vehicle scheduling. Disponível no endereço Gavish, B., Schweitzer, P. e Shlifer, E. (1978) Assigning buses to schedules in a metropolitan area. Computers and Operations Research, v.5, p Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2007). Disponível na internet via www. URL: Kwan, R. K. e Rahin, M. A. (1999) Object oriented bus vehicle scheduling - the BOOST system. In: Computer-Aided Transit Scheduling, N. H. M. Wilson (ed.), Springer-Verlag, Berlin, p Silva, G. P. (2001) Uma metodologia baseada na técnica de geração de arcos para o problema de programação de veículos. Tese de doutorado. Escola Politécnica da USP, São Paulo. Silva, G. P. e Gualda, N. D. F. (2002) - O Método ArcGen para Programação de Veículos: Um Estudo de Caso da Cidade de Belo Horizonte. Transporte em Transformação VI. Editora Universidade de Brasília, p Silva, G. P., Wren, A., Kwan, R. S. K. e Gualda, N. D. F. (1999) An Arc Generation Approach to Solving the Bus Scheduling Problem. Research Report Series, Report 99.01, School of Computer Studies, Leeds University, Leeds, UK. Souza, M. J. F., Silva, G. P. e Simões, E. M. L. (2007) Programação de ônibus urbano: uma abordagem heurística In: Transporte em transformação XI. Brasília: Editora Positiva, v.1, p Thompson, P.M. e Psaraftis, H.N. (1993) Cyclic transfer algorithms for multivehicle routing and scheduling problems. Operations Research v.41, p XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1062