3 Representação e Reconstrução de ADFs em GPU

Transcrição

1 3 Representação e Reconstrução de ADFs em GPU A estrutura clássica de uma ADF [24, 17] consiste de uma octree baseada em ponteiros, que armazena oito voxels por célula. Cada voxel corresponde a um valor de distância amostrado em um dos vértices da célula. Esta abordagem tem dois grandes problemas para uma implementação em GPU: 1. Uma vez que cada vértice da octree é compartilhado por várias células, a estrutura acaba por armazenar muitos voxels redundantes. Como a memória das GPUs é bastante limitada, redundâncias podem impedir que uma ADF caiba em memória de vídeo. 2. Percorrer octrees baseadas em ponteiros na GPU é complexo e ineficiente. Visto que as GPUs não têm suporte a recursão e nem operações de escrita livre em memória, é impraticável utilizar uma pilha para percorrer a octree. Mesmo que fosse viável implementar uma pilha, provavelmente o desempenho viria a sofrer por conta da baixa coerência do algoritmo. Para extrair o máximo do poder de processamento paralelo das GPUs, as próximas seções propõem soluções para reduzir a redundância de voxels e permitir que a octree seja percorrida sem uma pilha. 3.1 A Textura de Voxels A replicação de voxels pode fazer com que ADFs minimamente complexas excedam a capacidade de memória das GPUs modernas (em torno de 768 MB). Para controlar a redundância, é preciso desacoplar o armazenamento de voxels da estrutura da octree. Há várias soluções possíveis para este problema, com variados níveis de complexidade e eficiência. Uma solução muito simples que elimina toda redundância foi sugerida por Bærentzen [2]: utilizar uma tabela de dispersão 3-D para armazenar os voxels indexados pela posição do vértice. Porém, nessa solução cada célula acessada exigiria oito consultas à tabela de dispersão, o que afligiria o desempenho da estrutura e provavelmente tornaria seu uso inviável em aplicações interativas. Como o acesso aos voxels tem papel /crucial/ no desempenho, ele deve ser tão simples e coerente quanto possível.

2 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 30 Este trabalho propõe uma abordagem alternativa: armazenar os voxels em uma textura separada da octree, e fazer com que as células guardem ponteiros para os seus voxels. Apesar de soar como uma solução óbvia, na realidade é muito difícil empacotar todos os voxels em uma textura compacta sem replicá-los. Naturalmente, não faz sentido armazenar oito ponteiros em cada célula, já que os ponteiros tomariam quase tanta memória quanto oito amostras de distância. Para que esta abordagem faça sentido, os voxels pertencentes a uma célula precisam ser organizados em blocos contíguos, de maneira que cada célula possa guardar apenas um ponteiro (para o bloco) ao invés de oito. Em última análise, busca-se nesta abordagem: 1. Empacotar todos os voxels em uma textura 3-D compacta, com um único componente do tipo float. 2. Garantir que os voxels pertencentes à mesma célula estejam adjacentes em um bloco de texels. 3. Minimizar a replicação de voxels sempre que possível, empacotando juntos os voxels vizinhos de mesmo nível. A construção de uma textura de voxels pelos critérios acima não é uma tarefa trivial. Apesar de existirem algoritmos baseados em heurísticas capazes de produzir resultados com pouca redundância, encontrar a solução ótima é notoriamente um problema combinatorial NP-difícil, uma vez que o problema se trata de uma variante complexa do problema da mochila (0, 4) (1, 4) (3, 4) (4, 4) (0, 3) (1, 3) (3, 3) (4, 3) (0, 0) (1, 0) Textura de Voxels Voxel único. Voxel replicado. Figura 3.1: Uma quadtree (esquerda) e a sua textura de voxels (direita). Por simplicidade, a solução adotada nesta dissertação elimina apenas a redundância entre células irmãs. Isto é feito facilmente, armazenando os voxels de cada grupo de oito células irmãs em um bloco de 3x3x3 texels.

3 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 31 Uma vez que as octrees das ADFs são árvores cheias, todas as células, exceto a raiz, pertencem a um grupo de oito irmãs. As redundâncias permanecem entre outros tipos de células adjacentes (e.g. células primas) e entre células descendentes, mas esta solução simples reduz consideravelmente (em 57%) o tamanho da textura de voxels, e é suficiente para permitir que ADFs razoavelmente complexas caibam em memória de vídeo. Além disso, já que os voxels das células são organizados em blocos de 2x2x2 texels, é possível explorar a unidade de filtragem de textura das GPUs para obter praticamente de graça valores de distância interpolados trilinearmente. A Figura 3.1 ilustra esta solução em 2-D, com uma quadtree e a sua textura de voxels correspondente. Os voxels são numerados de um a dezoito, e voxels replicados são sombreados em cinza. A posição do bloco de voxels correspondente de cada célula é indicada entre parênteses, no centro das células. 3.2 Visão Geral da Representação das ADFs O espaço de uma ADF é um cubo unitário com o primeiro vértice na origem, como ilustrado na Figura 3.2. A reconstrução do campo de distância e o endereçamento de células é sempre feito neste espaço. A mesma convenção é usada para o espaço local das células da octree. y 1 x Bloco de Voxels Espaço da ADF z Célula Interna Espaços das Células Filhas Voxels para as Oito Células Filhas Figura 3.2: Visão geral da representação de ADF utilizada neste trabalho. As ADFs propostas neste trabalho são representadas em memória de vídeo através de três texturas tridimensionais: Textura de Voxels: armazena os voxels de cada grupo de oito células irmãs em blocos de 3x3x3 texels, como detalhado na Seção 3.1. A textura garante que os oito voxels de cada célula estão sempre juntos, em blocos de 2x2x2 texels.

4 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 32 Textura de Células: armazena cada célula da ADF em um texel. Cada texel guarda duas informações: o identificador da célula, e o endereço para o bloco de voxels da célula, na textura de voxels. Textura de Dispersão: descreve a hierarquia das células. As Seções 3.3 e 3.4 fornecem mais detalhes sobre esta textura. Como as octrees de ADFs são árvores cheias, as células-folha podem ser mantidas implícitas, o que reduz drasticamente (em até 87%) o tamanho da textura de células. Neste esquema, a textura de células armazena somente as células não-folha. Cada célula, ao invés de guardar um ponteiro para seu próprio bloco de voxels, passa a guardar um ponteiro para um bloco de 3x3x3 texels, que contém os voxels dos seus oito filhos (Figura 3.2). 3.3 Octrees Baseadas em Dispersão Espacial Tipicamente, as octrees de ADFs são implementadas com ponteiros. Porém, na arquitetura atual das GPUs, percorrer octrees com ponteiros é complexo e ineficiente. Para superar estas limitações, propõe-se o uso de uma octree que permita acesso aleatório às células. Dado um nível l da octree e um ponto p pertencente ao domínio, a célula de nível l que contém o ponto p deve ser obtida em tempo constante. Esta representação permite que a octree seja percorrida sem uma pilha, e com maior coerência. A solução baseia-se na idéia de uma octree definida implicitamente em uma textura 3-D. Semelhante à maneira como uma árvore binária completa pode ser representada implicitamente em um vetor 1-D, uma octree completa pode ser representada implicitamente em um vetor 3-D. É possível, então, formular uma função que calcula em tempo O (1) a posição de qualquer célula dentro do vetor 3-D. Evidentemente, o custo para se representar ADFs com octrees completas é impraticável, já que as ADFs são inerentemente esparsas e o espaço tomado pelas octrees completas é exponencial na altura da árvore. Como solução, um mecanismo de dispersão espacial 3-D é usado para compactar o vetor 3-D esparso onde a octree implícita é definida. Dados uma octree completa no cubo C = [0, 1) 3, um nível l e um ponto p C, a função S(l, p) = 2 l + 2 l p (3-1) retorna o índice 3-D da célula de nível l que contém o ponto p, e assim define implicitamente a octree no espaço U N 3 U = [ 1, 2 (sup l+1) 1 ] 3 (3-2)

5 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 33 onde sup l é o nível máximo da octree. Uma octree baseada em dispersão espacial é criada combinando-se a função S(l, p) com uma função de dispersão tridimensional H(k U). O acesso a uma célula é sempre feito em dois passos: 1. A função S(l, p) é usada para gerar uma chave k = S(l, p) para a célula que deseja-se acessar. 2. A função H(k) recebe como entrada a chave e calcula o endereço real da célula em um vetor compacto, usando como base um algoritmo de dispersão espacial. Esta função também pode indicar um erro, caso a chave não corresponda a nenhuma célula da octree. Já que a função S(l, p) é claramente O(1), o acesso às células poderá ser feito em tempo constante se H(k) também for O(1). A Seção 3.4 mostra como é possível garantir que a função de dispersão espacial seja de fato O(1). A Figura 3.3 ilustra os passos necessários para que os voxels nos vértices de uma célula sejam acessados. Inicialmente, a função S(l, p) gera uma chave k U, que identifica a célula de nível l que contém o ponto p. Esta chave é passada à função de dispersão 3-D H(k), que utiliza uma textura de dispersão auxiliar para calcular a posição real da célula em uma textura de células compacta. A partir do texel da célula obtém-se a posição v do bloco de voxels da célula na textura de voxels. Finalmente, o acesso aos voxels é representado na figura pela função A(v). S(l, p) Textura de Dispersão q Textura de Voxels k H(k) Domínio U v Textura de Células A(v) A(H(S(l, p))) Figura 3.3: Ilustração em 2-D do acesso aos voxels nos vértices de uma célula de uma octree baseada em dispersão espacial. Qualquer algoritmo que precise percorrer a octree deve trabalhar com o conceito de uma posição p e um nível l correntes. Através da função S(l, p), esses valores indicam qual é a célula corrente. Desse modo, cada passo de um algoritmo de percorrimento pode:

6 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 34 a) Pular para uma célula adjacente, somando-se ±2 l a um ou mais componentes do vetor 3-D p. b) Subir ou descer na hierarquia através do decremento ou incremento de l, respectivamente. Por exemplo, a chamada S ( l, p + ( 2 l, 0, 0) ) fornece a chave para a célula à esquerda da célula corrente. 3.4 Dispersão Espacial Perfeita A escolha do algoritmo de dispersão 3-D é determinante na eficiência de uma octree baseada em dispersão espacial. Infelizmente, os algoritmos de dispersão tradicionais são inapropriadas para arquiteturas SIMD (Single- Instruction, Multiple-Data) como as GPUs. No artigo [20], Lefebvre e Hoppe apontam que os algoritmos de dispersão costumam resolver colisões realizando uma seqüência de acessos (probes) na tabela de dispersão. O número desses acessos pode variar para cada consulta, em função do número de colisões ocorridas para cada chave. Este tipo de tratamento para as colisões é ineficiente nas GPUs, porque o paralelismo SIMD faz com que todos os dados de um mesmo bloco esperem sempre pelo maior número de acessos. Por exemplo, em um bloco de 16 chaves que devem ser consultadas, se 15 das 16 consultas fizerem menos de 3 acessos e apenas uma consulta fizer 10 acessos, todas as 16 consultas levarão o tempo de 10 acessos. Nas GPUs, o paralelismo SIMD ocorre no processamento de fragmentos, após a rasterização. Geralmente a tela é dividida em blocos com tamanhos que variam entre 4x4 até 16x16 fragmentos, e cada bloco é processado de forma independente por um grupo de processadores. Até a introdução das GeForce 8, no final de 2006, todas as GPUs eram equipadas com processadores vetoriais especializados no processamento de fragmentos. Desde então, as novas GPUs abandonaram os processadores vetoriais e adotaram uma arquitetura escalar baseada em processadores de fluxo (stream processors) [18]. A nova arquitetura traz um aumento de desempenho de até dez vezes, ao permitir maior paralelismo. No entanto, o modelo de processamento para fragmentos continua sendo SIMD. Para tirar bom proveito do paralelismo SIMD, todas as consultas devem realizar o mesmo número de acessos à tabela de dispersão. Isto pode ser conseguido se uma função de dispersão for pré-calculada de forma a garantir

7 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 35 que não existam colisões entre as chaves de uma octree. Neste caso, todas as consultas seriam feitas com um único acesso, através de uma função de dispersão perfeita. As funções de dispersão perfeitas são funções injetoras para um certo domínio (e.g. conjunto de chaves). Quando a cardinalidade do contradomínio (a tabela de dispersão) é igual à cardinalidade do domínio, a função de dispersão perfeita é mínima. Infelizmente, as funções de dispersão perfeitas mínimas são extremamente raras. Por isso, na prática utilizam-se funções não-mínimas com um contradomínio de tamanho aceitável, que desperdice pouca memória. Este trabalho utiliza dispersão 3-D perfeita para representar octrees através da técnica exposta na Seção 3.3. Neste esquema, a função H(k) é gerada para um conjunto estático de células, de forma que cada chave k seja mapeada para um texel diferente da textura de células. As subseções seguintes oferecem uma visão geral de como as funções de dispersão 3-D perfeitas são geradas, e como elas são utilizadas em GPU Função de Dispersão Espacial Perfeita O esquema de dispersão espacial perfeita utilizado neste trabalho é baseado no método proposto por Lefebvre e Hoppe [20]. Este método, projetado especialmente para GPUs, permite armazenar um conjunto de dados esparsos em uma textura compacta através de uma função de dispersão 2-D ou 3-D. A função funciona com um número fixo de operações aritméticas e um único acesso a textura, o que a torna extremamente eficiente. No artigo [20], Lefebvre e Hoppe relatam que o método é capaz de compactar elementos espalhados por uma textura de em uma textura densa de As funções de dispersão espacial são definidas em um domínio U uma grade d-dimensional com u = ū d elementos, denotada por Z d ū = [0, ū 1] d. Toda função de dispersão perfeita h(p) é restrita a um subconjunto S U de n elementos, onde cada posição p S possui um valor associado D(p). O objetivo da função de dispersão é mapear o conjunto de valores esparsos D(p) em uma textura compacta H[h(p)], onde: A textura H é um vetor d-dimensional, de tamanho m = m d n, que contém todos os valores {D(p) : p S}. A função h(p) : U H é injetora quando restrita a S. Ou seja, cada ponto p S é mapeado para uma posição única em H.

8 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 36 A função de dispersão espacial perfeita proposta por Lefebvre e Hoppe [20] é dada por onde: h(p) = (h 0 (p) + Φ [h 1 (p)]) mod m (3-3) A textura Φ, denominada textura de solução, é um vetor d-dimensional, de tamanho r = r d, que contém vetores d-dimensionais. A função h 0 (p) mapeia o ponto p do domínio U para a textura H, utilizando apenas endereçamento modular (p mod m). A função h 1 (p) mapeia o ponto p do domínio U para a textura Φ, também utilizando endereçamento modular (p mod r). Para que este método de dispersão espacial funcione, é preciso encontrar uma textura Φ de tamanho r = r d que resolva todas as colisões de h(p), p S. Como ilustrado na Figura 3.4 (à direita), cada elemento de Φ guarda uma translação que é aplicada aos pontos {h 1 1 (q) S}. Para uma textura Φ suficientemente grande, essa translação pode resolver todas as colisões da função de dispersão. A idéia é que o tamanho m da textura H seja sempre o menor possível para acomodar os n elementos de S, mas que a textura Φ possa crescer até um tamanho que permita uma solução para todas as colisões. Como um texel de Φ tem normalmente um custo de memória menor que um texel de H, é geralmente preferível que r cresça, e não m. Não obstante, quase sempre a textura Φ permanece menor que H. p p S U S = n Domínio U (tamanho u = u d ) h h 1 (p) 1 q Textura de Solução Ф (tamanho r = r d ) h 1 Ф[q] h h 0 (p) 0 + D(p) = H[h(p)] s = h(p) Textura H (tamanho m = m d ) 1 h 1 (q) S U Domínio U h 0 Ф[q] q Textura H Textura Ф Figura 3.4: Método de dispersão perfeita proposto por Lefebvre e Hoppe [20]. A implementação da função de dispersão h(p) em GPU requer um número fixo de instruções e um único acesso a textura. Todas as operações de módulo podem vir de graça se as texturas forem configuradas para o modo de endereçamento wrap. Observe que, neste esquema, a textura de células referida na Seção 3.3 seria H, enquanto que a textura de dispersão seria Φ. Apesar de funcionar relativamente bem para a compactação de texturas onde os domínios são geralmente menores que este método não

9 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 37 escala bem para domínios maiores, que possam conter qualquer inteiro. Em particular, esta limitação compromete o uso do método para a representação de octrees (Seção 3.3), já que o domínio de uma octree baseada em dispersão espacial cresce muito rápido e.g para uma octree de altura 10 e para uma octree de altura 12. A razão da baixa escalabilidade da função de dispersão proposta por Lefebvre e Hoppe é que, sempre que dois pontos p 1, p 2 S forem divisíveis simultaneamente por m e r, não existirá instância de Φ com tamanho r que torne a função injetora. Nesses casos, a estratégia proposta seria aumentar r, mas para domínios grandes e com muitos elementos, é comum que não exista valor de r aceitável que satisfaça este critério. Lefebvre e Hoppe mencionam no trabalho [20] que domínios grandes, onde ū > m r, podem gerar problemas; mas argumentam que, na prática, r é sempre grande o suficiente para que ū m r. No entanto, este problema foi observado na prática ao se tentar gerar funções de dispersão perfeitas para octrees esparsas de altura superior a 8. Para a grande maioria das octrees, o algoritmo despendia horas procurando uma instância válida de Φ, sem sucesso. Esta dissertação propõe duas alterações simples na função h(p), para permitir que ela funcione mesmo quando duas chaves p 1, p 2 S forem simultaneamente divisíveis por m e r. A saber: A textura de solução Φ passa a armazenar um valor w (escalar) a mais por texel. No caso 3-D, a textura passaria a ter quatro canais. A função h 0 (p), responsável por mapear p U em H utilizando (p mod m), é substituída pela operação (p mod w). Com as alterações, a função fica da seguinte forma: h(p) = ((p mod w) + (x, y, z)) mod m, onde (x, y, z, w) = Φ [h 1 (p)] Esta nova função concede um grau de liberdade adicional para o mecanismo de dispersão. A chance de encontrar uma função injetora aumenta consideravelmente, enquanto que o custo da função mantém-se praticamente o mesmo. Quando dois pontos p 1, p 2 S forem simultaneamente divisíveis por m e r, o valor w pode ser escolhido de forma que p 1 e p 2 não colidam. Com este novo método, o tempo médio de geração para as funções de dispersão perfeitas das octrees baixou, de horas, para menos de um minuto.

10 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica Geração da Função de Dispersão Espacial Perfeita A geração de uma função de dispersão espacial perfeita pelo método descrito na Seção envolve encontrar tamanhos m e r, e valores adequados para a textura Φ, de maneira a tornar a função h(p) injetora quando restrita a S. Naturalmente, deseja-se que m e r sejam tão pequenos quanto possível. A estratégia sugerida por Lefebvre e Hoppe [20] é que H seja sempre a menor textura regular capaz de comportar os n elementos de S; ou seja, o menor tamanho m tal que m = m d n. Já o tamanho da textura Φ é estabelecido como o menor valor r para o qual o algoritmo de geração (da função de dispersão perfeita) consegue encontrar uma função injetora. O problema de encontrar valores para a textura Φ é equivalente ao problema de compressão de matrizes esparsas, que é NP-completo. Por isso, o algoritmo proposto por Lefebvre e Hoppe [20] baseia-se em uma heurística gulosa e probabilística. A geração de uma textura Φ de tamanho r pode requerer várias tentativas, especialmente quando r é próximo do tamanho ótimo. Uma abordagem possível para a geração da textura Φ consiste em começar com um valor de r pequeno, fazer múltiplas tentativas para cada r, e caso uma textura de solução válida não seja encontrada, selecionar um valor de r maior e repetir o processo. O algoritmo guloso sugerido por Lefebvre e Hoppe [20] para preencher a textura Φ ainda sem considerar o componente adicional w, proposto nesta dissertação segue aos seguintes passos: 1. Uma grade d-dimensional Φ, com o mesmo tamanho da textura Φ, é criada. Cada célula guarda uma lista de pontos e uma translação. 2. Todos os pontos p S são mapeados para Φ através da função h 1 (p). 3. As células da grade Φ são ordenadas de acordo com o número de pontos mapeados para cada uma delas; ou seja, h 1 1 (q). 4. Uma grade d-dimensional H, com o mesmo tamanho da textura H, é criada. Cada célula guarda um booleano que indica se ela já foi ocupada. Todas as células são inicialmente marcadas vazias. 5. Para cada célula de Φ, em ordem decrescente de pontos mapeados, busca-se uma translação t que, quando aplicada ao pontos {h 1 1 (q)} através da função h(p), mapeie-os para células vazias de H. A busca começa por um t aleatório e depois prossegue linearmente.

11 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 39 Caso uma translação válida seja encontrada, ela é salva na célula. As células de H ocupadas pelos pontos são marcadas ocupadas. Caso nenhuma translação seja válida, o algoritmo falha. 6. A textura Φ é preenchida com as translações salvas em Φ. A idéia deste algoritmo guloso é tentar resolver os casos mais difíceis primeiro; ou seja, achar valores para as células de Φ que têm mais pontos. No último estágio, quando h 1 1 (q) = 1, a solução é trivial e o algoritmo não pode mais falhar. Esta heurística aumenta consideravelmente as chances de sucesso, apesar de o algoritmo ainda depender da sorte para que as translações escolhidas nos primeiros passos se encaixem. Observe que, em geral, ao aumentar r, o número de pontos mapeados em cada célula de Φ diminui, e a chance de sucesso do algoritmo aumenta. Quando o componente w é adicionado à textura Φ, um novo passo precisa ser acrescentado ao algoritmo que gera Φ. Para que as translações de Φ sejam calculadas, as células já devem ter um valor de w associado. Por isso, o novo passo deve ser introduzido imediatamente após o passo 3. Para cada célula, o valor de w deve ser determinado pelo seguinte algoritmo: Algoritmo 3.1 Cálculo do componente w da textura Φ. 1: function compute w(c Φ ) calcula w para uma célula C Φ 2: if not contain collisions(c Φ, m) then testa um w neutro 3: return m a célula não contém colisões 4: end if 5: w 1 procura por um valor de w que resolva as colisões 6: repeat 7: w next coprime(w, m, r) 8: if w > m then 9: error( nenhum valor de w pode resolver as colisões ) 10: end if 11: until not contains collisions(c Φ, w) 12: return w 13: end function A função contains collisions(c Φ, w) testa se, utilizando um certo valor de w na função de dispersão, uma certa célula de Φ contém colisões. Já a função next coprime(c, a, b) retorna o primeiro número maior que c que não seja divisível nem por a nem por b. Os valores de w que podem resolver as colisões dentro de uma célula são sempre co-primos de m e r; por isso, a função só testa valores que satisfaçam este critério.

12 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica Reconhecimento de Células Inexistentes A função de dispersão espacial h(p), definida na Seção 3.4.1, é injetora somente quando restrita ao conjunto de pontos para o qual ela foi gerada. Caso a função seja usada com qualquer outro ponto v / S, o mapeamento é feito para a posição de um ponto p S aleatório. Este esquema é suficiente quando se tem garantia de que as chaves consultadas serão sempre válidas. Porém, na implementação de uma octree baseada em dispersão espacial, deve ser possível consultar se uma determinada célula da octree existe ou não. Infelizmente, a função h(p) não dispõe de informação suficiente para gerar esta resposta. Este problema pode ser solucionado de forma simples se os elementos do domínio forem armazenados no contradomínio da função. Ou seja, se os pontos p S forem armazenados nos texels correspondentes da textura H. Desta forma, é possível verificar se um ponto p consultado pertence ou não a S, testando se o texel H[h(p)] contém p. Na implementação de uma octree baseada em dispersão espacial, a solução análoga seria armazenar as chaves das células, geradas pela função S(l, p), na textura de células. Porém, para poupar memória, ao invés de armazenar as chaves diretamente, a solução adotada armazena identificadores que são gerados a partir das chaves das células. Esta técnica requer 4 bytes por célula da octree, ao invés dos 12 necessários para armazenar uma chave. 3.5 Reconstrução do Campo de Distância O primeiro passo no sentido de reconstruir o campo de distância em um certo ponto p é encontrar a menor célula da ADF que contenha p. Uma vez encontrada esta célula, o valor de distância no ponto pode ser obtido trivialmente através de interpolação trilinear com os voxels da célula. Esta interpolação pode ser feita praticamente de graça, pela GPU, se a opção de filtragem trilinear estiver habilitada para a textura de voxels. Encontrar a menor célula da ADF que contenha p envolve uma busca na octree. Graças à representação baseada em dispersão espacial que permite acesso aleatório às células esta busca pode ser feita de múltiplas formas. Em todos os casos, a função S(l, p) é usada para obter a célula de nível l que contém p. O objetivo é encontrar o maior valor de l para o qual exista uma célula. Três alternativas foram testadas: 1. Busca linear. 2. Busca binária.

13 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica Busca linear com coerência. Abaixo encontram-se pseudo-códigos para estes algoritmos. Por questões de simplicidade, os códigos desprezam o fato de que as células-folha da octree são mantidas implicitamente. Busca Linear: começa pelo primeiro nível da octree (l = 1) e vai descendo um nível de cada vez, até encontrar a menor célula que contenha p. 1: function query(p) busca a menor célula que contém p 2: v menor célula encontrada até o momento 3: for l 1, do 4: k S(l, p) chave para a célula de nível l que contém p 5: v H(k) acesso à textura de células 6: if not exists(v, k) then verifica se a célula existe 7: break caso não existam mais células, pára 8: end if 9: v v atualiza a menor célula 10: end for 11: return v retorna a menor célula 12: end function Este é o mais simples dos três algoritmos testados. Alternativamente, este algoritmo poderia começar a busca pelo nível máximo da octree, e retornar a primeira célula encontrada de baixo para cima. Busca Binária: realiza uma busca binária entre o primeiro nível e o nível máximo da octree, em busca do nível da menor célula. 1: function query(p) busca a menor célula que contém p 2: v menor célula encontrada até o momento 3: l min 1 menor nível válido da ADF 4: l max maxlevel maior nível válido da ADF 5: while l min l max do 6: l 1(l 2 min + l max ) 7: k S(l, p) chave para a célula de nível l que contém p 8: v H(k) acesso à textura de células 9: if exists(v, k) then verifica se a célula existe 10: v v célula existe; atualiza a menor célula 11: l min l + 1 busca por células abaixo do nível l 12: else nenhuma célula encontrada neste nível 13: l max l 1 busca por células acima do nível l 14: end if

14 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 42 15: end while 16: return v retorna a menor célula 17: end function A busca binária pode oferecer bom desempenho para árvores muito altas. Porém, como as ADFs dificilmente ultrapassam o nível 12, constatou-se que não há vantagem na busca binária. Testes com ADFs de nível 8 mostraram que, em CPU, a busca binária é tão rápida quanto a busca linear. Em GPU, porém, a busca binária foi mais lenta que a linear. Busca Linear com Coerência: realiza uma busca linear a partir de um nível l qualquer. Se uma célula existir no nível l, a busca continua a descer até encontrar a menor célula. Caso contrário, a busca sobe nível a nível e retorna a primeira célula encontrada de baixo para cima. 1: function query(p, l) 2: k S(l, p) chave para célula de nível l que contém p 3: v H(k) acesso à textura de células 4: if exists(v, k) then verifica se a célula existe 5: while l < maxlevel do a célula existe; tenta descer mais 6: k S(l + 1, p) tenta obter a célula um nível abaixo 7: v H(k) 8: if exists(v, k) then 9: l l + 1 atualiza último nível válido 10: v v atualiza menor célula 11: else 12: break não existem mais células abaixo 13: end if 14: end while 15: else a célula não existe 16: while l > 0 do busca a menor célula de baixo para cima 17: l l 1 tenta obter uma célula um nível acima 18: k S(l, p) 19: v H(k) 20: if exists(v, k) then 21: break menor célula encontrada 22: end if 23: end while 24: end if 25: return v, l retorna a menor célula e o último nível válido 26: end function

15 Campos de Distância Amostrados Adaptativamente com Aceleração por Placa Gráfica 43 Esta técnica permite que os algoritmos explorem coerência espacial. Por exemplo, considere um algoritmo de lançamento de raios para visualização volumétrica que precise amostrar o campo de distância em intervalos regulares ao longo de um raio. Este algoritmo pode guardar o nível da célula utilizada em cada passo, e no passo seguinte recomeçar a busca a partir desse nível. Para ADFs de nível 9, esta estratégia mostrou ser em torno de 30% mais rápida que uma busca linear comum. A implementação real desta função é feita em GLSL (OpenGL Shading Language) e encontra-se disponível nos apêndices. As funções acima retornam o endereço v do bloco de voxels da menor célula que contém um ponto p. Esse endereço é um vetor 3-D, e indica a posição central do primeiro texel do bloco de voxels da célula. Com a opção de filtragem trilinear habilitada para a textura de voxels, o seguinte comando GLSL pode ser utilizado para reconstruir o valor de distância no ponto p: ( ) v + p cell texture3d voxelt exture, voxeltexturedim (3-4) onde p cell é o ponto p transformado para o espaço local da célula, e voxeltexturedim são as dimensões da textura de voxels.