ANÁLISE DE PROCEDIMENTO NUMÉRICO ALTERNATIVO AOS MÉTODOS CLÁSSICOS DE SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTO BIFÁSICO EM MEIOS POROSOS HETEROGÊNEOS

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1 ANÁLISE DE PROCEDIMENTO NUMÉRICO ALTERNATIVO AOS MÉTODOS CLÁSSICOS DE SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTO BIFÁSICO EM MEIOS POROSOS HETEROGÊNEOS Passos, Nathalia Christina de Souza Tavares Carbono, Alonso Joaquin Juvinao Vargas Jr., Eurípedes do Amaral Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225, , Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil. Vaz, Luiz Eloy Universidade Federal Fluminense Rua Passo da Pátria, Bloco D - Sala 218, , Niterói, Rio de Janeiro, Brasil. Müller, André Luis muller@tecgraf.puc-rio.br Tecgraf - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225, , Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil Abstract. A modelagem numérica precisa de reservatórios de petróleo ainda é um desafio, devido às heterogeneidades do meio poroso e à existência de estruturas geológicas com geometrias complexas, tais como: fraturas, estratificações e heterogeneidades, que influenciam decisivamente o escoamento dos fluidos através dessas formações. O presente trabalho sugere e analisa a implementação de uma formulação alternativa aos métodos clássicos de simulação de reservatórios, aplicada ao escoamento bifásico em uma célula do meio poroso, de modo que se procura contornar as dificuldades mencionadas acima. Inicialmente, avalia-se uma metodologia que emprega um processo em três passos. Em um primeiro passo utiliza-se o método convencional dos elementos finitos, EF, para a solução da equação da pressão e, em seguida, utiliza-se o método de Raviart-Thomas de mais baixa ordem, RT 0, para melhor aproximação da velocidade. Em um terceiro passo é resolvida a equação da saturação pelo método dos elementos finitos descontínuos, MEFD. A seguir, de modo a validar essa formulação comparou-se com um método que utiliza o método dos

2 elementos finitos mistos e híbridos, EFH, para aproximar a equação da pressão, e o método MEFD para aproximar somente a equação de saturação. Além disso, buscou-se avaliar na formulação sugerida em relação à conservação de massa e analisar o esforço computacional despendido. São apresentados exemplos que avaliam cada uma das formulações em comparação com resultados da literatura, além de exemplos ilustrativos de fluxo em meios de geometria complexa contendo fraturas. Keywords: Escoamento bifásico, Meios porosos heterogêneos, Meios fraturados, Elementos finitos, Elementos finitos descontínuos, Elementos de Raviart-Thomas

3 1 INTRODUÇÃO A injeção de água é o processo de recuperação mais utilizado mundialmente e tem se apresentado eficiente em alguns reservatórios fraturados. Na injeção em malha, o fluido deslocante é injetado na própria zona de óleo, alterando drasticamente a distribuição das saturações e a movimentação natural dos fluidos do reservatório. Esse tipo de injeção é empregado em reservatórios com grandes áreas e pequenas inclinações e espessuras. Segundo Rosa et al (2006), um projeto de injeção de água necessita dos valores, pelo menos aproximados, das vazões e das pressões de injeção. Valores muito altos de pressões de injeção podem acarretar fraturas na formação e prejudicar seriamente o deslocamento do óleo pela água. Por outro lado, é necessária boa injetividade para garantir uma boa produtividade. Apesar de boa parte dos modelos físicos e matemáticos considerarem que o meio poroso que constitui o reservatório é homogêneo e isotrópico (todos os pontos do reservatório não apresentam variações bruscas de porosidade e/ou de permeabilidade ao longo de sua extensão), os reservatórios de petróleo contêm fraturas, sejam naturais e/ou induzidas, e em diferentes escalas. Os reservatórios naturalmente fraturados são constituídos de um meio poroso, sendo formados por uma rocha-matriz e constituídos por um sistema de fraturas ou fissuras naturais. Assim, a descrição clássica de um único meio pode não ser adequada para o modelo de simulação desse tipo de reservatório. O modelo de simulação de reservatórios naturalmente fraturados necessita incorporar os efeitos do sistema de fraturas à modelagem. A descrição explícita das fraturas como células do grid de simulação pode acarretar em um aumento excessivo do número de células. Assim, ao longo do tempo, metodologias têm sido desenvolvidas para superar esses desafios. O modelo discreto de fraturas é um método listado na literatura para a simulação de escoamento em meios porosos fraturados. As fraturas são representadas de forma espacialmente explícita por meio do método de elementos finitos. A formatação em elementos finitos se sustenta pela geometria complexa dos sistemas de fraturas, em que as fraturas são geometricamente simplificadas usando um elemento de malha (n-1) enquanto o domínio possui n dimensões. Em outras palavras, em um espaço 3D as fraturas são representadas pelas interfaces dos elementos da matriz, ou seja, em 2D. Segundo Hoteit & Firoozabadi (2008), esta simplificação elimina o contraste de escala de comprimento causado pela representação explícita da abertura fratura, como resultado, a eficiência computacional é melhorada consideravelmente. No entanto, o modelo de fratura discreto pode manipular apenas um número limitado de fraturas (da ordem dos milhares) por razões relacionadas com os recursos computacionais. Uma abordagem para ultrapassar esta limitação é modelar explicitamente apenas as fraturas principais e utilizar uma técnica de aumento de escala para imitar o efeito das fraturas menores. Um grande número de métodos numéricos foi desenvolvido para o modelo de escoamento bifásico em meios heterogêneos. Nos simuladores comerciais para escoamento multifásico, os métodos das diferenças finitas (FD) e dos volumes finitos (FV) são geralmente usados para a simulação numérica para o estudo de escoamento de fluidos em problemas com geometrias de grande extensão. No entanto, o método FD convencional, é fortemente influenciado pela qualidade e orientação da malha, o que torna o método pouco atraente para malhas desestruturadas. Os métodos baseados em elementos finitos de Galerkin podem não ser suficientemente robustos em meios heterogêneos. Segundo Helmig et al (1997) apud Hoteit & Firoozabadi Proceedings of the

4 (2008), os métodos de discretização de Galekin (padrão e de Petrov-Galerkin) podem produzir soluções não físicas em meios heterogêneos e restrições severas na malha são necessárias para a estabilidade do método Galerkin totalmente upwind no espaço multidimensional. Esses mesmos autores destacam que EF clássico possui dificuldades na captura de ondas de choque e não é localmente conservativo, e que FV, apesar de ser localmente conservativo, exige esquemas adequados de interpolação upwind para a captura de ondas de choque. Outro método empregado na solução de problemas de escoamento bifásico é o método dos elementos finitos descontínuos (MEFD). O MEFD, ou método de Galerkin descontínuo (GD), possui a vantagem de utilizar a mesma malha de elementos dos EF sem a necessidade de passos de construção de FV, ou de empregar esquemas de interpolação para a captura de frente de saturação utilizados no FV, de modo a manter o balanço de massa ao nível do elemento. Nos problemas abordados nesse artigo, o método de Galerkin descontínuo (GD) é atraente por causa de sua flexibilidade na descrição de domínios não estruturados usando funções de ordem superior de aproximação. Sua implementação está em linha com a descontinuidade de saturação. Também conserva a massa localmente no nível do elemento. De acordo com Ribeiro (2011), a representação de escoamento bifásico pode ser equacionada de forma hiperbólica, cujas equações são postas em esquema sequencial na definição de uma equação da pressão, pós-processamento da velocidade e solução da equação da saturação. Vale ressaltar que, quanto melhor avaliada a velocidade de fluxo no passo intermediário, melhor a avaliação da equação da saturação e consequentemente de todo o sistema. Alcoforado (2007) propõe um pós-processamento da velocidade, colocado como um problema de ponderação da lei de Darcy com o equilíbrio de massa, utilizando para isso elementos finitos de Raviart-Thomas de ordem RT. Segundo Chavent et al (1986) apud Galdino (2009), há duas razões básicas para que o método dos elementos finitos tradicionais não seja adequado para a simulação de reservatórios. Primeiramente, porque os elementos finitos foram projetados para problemas com soluções suaves (processos difusivos, mecânica estrutural), enquanto que na simulação de reservatórios, a solução pode apresentar frentes íngremes quando as equações são dominadas por efeitos convectivos. A segunda razão é que a velocidade dos fluidos, que é um importante fator de acoplamento nas equações no reservatório, é pobremente aproximada pelas funções lineares por partes, normalmente utilizadas nas formulações de elementos finitos aplicadas em problemas elípticos e parabólicos suaves. Segundo Hoteit & Firoozabadi (2007), a aproximação precisa das linhas de fluxo e de fluxo, e a baixa dependência da malha são características desejáveis para o sucesso de esquemas de modelagem numérica de escoamento bifásico em meios heterogêneos. Segundo Galdino (2009), as formulações mistas de elementos finitos são uma forma de se obter velocidades realmente conservativas por meio da aproximação em separado da pressão (variável principal) e do seu gradiente, ou da própria velocidade, o que é equivalente. A razão para que as formulações mistas (e híbrida) serem mais adequadas para problemas de fluxo é que elas trabalham com funções vetoriais, e com isso conseguem representar com mais liberdade o real comportamento do fenômeno físico. Nesse trabalho, apresenta-se uma formulação numérica, denominada nesse texto de EF- GD, que emprega um processo em três blocos: o uso de elementos finitos (EF) para a solução da equação da pressão, a obtenção da velocidade pelo pós-processamento da velocidade utilizando Raviart-Thomas de baixa ordem RT e método dos elementos finitos descontínuos

5 (MEFD) para a solução da equação da saturação. A inovação dessa metodologia está em corrigir a deficiência dos elementos finitos na aproximação das velocidades através do cálculo das velocidades pós-processadas por Raviart-Thomas de baixa ordem, de modo a aplicá-las ao MEFD. De modo a mostrar que essa formulação pode se mostrar eficiente e prover resultados equivalentes aos fornecidos com um método validado na literatura comparou-se os resultados desse estudo com os de Hoteit & Firoozabadi (2007), nesse texto denominado EFH-GD. Essa última metodologia emprega o método dos elementos finitos mistos hibridizados (EFH) para a solução da equação da pressão e o método dos elementos finitos descontínuos (MEFD) para a formulação da equação da saturação. Maiores informações a respeito desse trabalho podem ser encontradas em Hoteit & Firoozabadi (2007). Efetiva-se o desenvolvimento desses procedimentos através da implementação de um programa de computador, em Matlab 2010, e da comparação dos resultados obtidos por ambas as formulações. 2 EQUAÇÕES GOVERNANTES DO ESCOAMENTO BIFÁSICO EM MEIOS POROSOS O modelo do escoamento bifásico apresenta um comportamento misto hiperbólicoparabólico. Aziz e Settari (1979), assim como Peaceman (1977), apresentam uma equação para a pressão e outra para a equação de saturação, respectivamente, uma equação parabólica e uma equação hiperbólica-parabólica. As pressões das fases molhante e não molhante são relacionadas pela pressão capilar e as saturações seguem a relação 1. Vale ressaltar que os efeitos causados pela pressão capilar e pelos efeitos gravitacionais foram negligenciados nos métodos estudados, isso porque a inclusão dessas parcelas tornaria a resolução do problema mais complexa. Pois ao desconsiderar a pressão capilar, a equação da saturação se torna hiperbólica, a equação da pressão se mantém parabólica e o modelo como um todo se torna hiperbólico-parabólico. Além disso, nesse trabalho não são considerados os efeitos mecânicos causados pelo escoamento bifásico para se obter a equação da pressão. No entanto, esses itens já estão sendo considerados nos trabalhos em andamento, devido à relevância dos efeitos causados. A equação da pressão para o escoamento de dois fluidos incompressíveis e imiscíveis em um meio poroso, é dada por: 0 (1) E a equação de saturação:. v F, α nw, w (2) Onde é a porosidade do meio, o subscrito n e w denotam as fases não-molhante e molhante, respectivamente, S,F, e v são a saturação, a taxa de fluxo volumétrico externa, a função de fluxo fracionário da fase e a velocidade volumétrica da fase α, respectivamente. Da equação acima se percebe a necessidade da obtenção do vetor velocidade no passo intermediário, sendo que vários procedimentos são apresentados na literatura e esse item será Proceedings of the

6 Passos, Nathalia C.S.T.; Carbono, A.J.J.; Vargas Jr., E.A; Vaz, L.E; Müller, A.L. abordado a seguir. Vale ressaltar que maiores informações podem ser encontradas em Passos (2013). 3 FORMULAÇÃO ALTERNATIVA PROPOSTA PARA SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTO BIFÁSICO EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODOS NUMÉRICOS Esse item visa apresentar uma breve revisão das formulações numéricas consideradas na simulação de escoamento bifásico em meios porosos, considerando os princípios da formulação de meio contínuo, a modelagem matemática e o tratamento utilizando métodos numéricos. Vale destacar que a estrutura dos dados é a nível elementar. Maiores detalhes dos procedimentos numéricos e das discretizações das equações utilizadas podem ser encontradas em Passos (2013). 3.1 Método dos elementos finitos A solução do valor limite requer que a equação governante seja satisfeita em todos os pontos do domínio contínuo (Ω) e que suas condições de contorno sejam satisfeitas no contorno do domínio (Г). Assim, as equações são descritas num domínio Ω R³ com um contorno Г para um tempo t [0, T]. É desejável escolher uma forma que aumentará a acurácia da aproximação usada. Para esse propósito, o procedimento dos resíduos ponderados tem sido aplicado, usando o método de Galerkin. A função a é substituída por um número finito de funções em cada elemento, que no método de Galerkin são idênticos às funções de forma N. Na solução do presente problema, e em muitos outros, esse método é particularmente vantajoso por fornecer matrizes simétricas. N λ λ k NdΩP Ω N λ k ρ gh dω Ω N λ k ρ gh dω N q Ω dг N q Г dг Г N dω 0 (3) Discretização no tempo. O domínio do tempo é dividido em vários passos e a integração é realizada a cada passo para obter as mudanças do parâmetro p. O passo a passo das integrações pode ser então somado para determinar a variação total. Segundo Müller (2007), para a solução de valor inicial, Lewis e Schrefler (1987), sugeriram a utilização de um sistema em diferenças. Sendo q p S para escoamento bifásico e q q q / t. Utiliza-se o método trapezoidal generalizado para discretização no domínio do tempo, assim: q 1 θ q θq (4) Onde Δt é o tamanho do passo de tempo, e correspondem ao vetor nos instantes e, respectivamente, e é um parâmetro de integração limitado por 0 1. Nesse trabalho utilizou-se 1,0.

7 3.2 Pós-processamento das velocidades As aproximações de Raviart-Thomas para o campo de velocidade residem em que é definido como o espaço das funções vetoriais cujo divergente é de quadrado integrável: H div Ω v L Ω, div v L Ω, (5) Com produto interno dado por: u, v u, v div u, div v. (6) Nos espaços de Raviart-Thomas as interpolações para o campo e velocidade são escolhidas de forma que os graus de liberdade representem o fluxo normal sobre cada uma das arestas dos elementos da malha. Segundo Ribeiro (1996), esse espaço de aproximação é composto por três espaços de aproximação distintos: - uma pressão média em todo o elemento; - uma pressão média em cada face do elemento, ou seja um traço de pressão, que pode ser representada como aplicada no centro da face, ou então ao longo de toda a face; - e o fluxo (variável vetorial) no elemento, representado pela expansão em um número de funções de forma (vetoriais) lineares igual ao número de faces: v x v w x (7) As funções de forma lineares de expansão de fluxo devem possuir propriedades características: - a integral do divergente de cada função sobre todo o elemento deve ser unitária: w 1 (8) - a integral do fluxo normal de cada função sobre todas as faces deve resultar na função delta de Kronecker 1 : w n δ (9) A seguir, são apresentadas as funções base para os elementos quadrilaterais e triangulares, respectivamente: w (10) 2 ε ε ϵ 1 w 2 η η 1 η (11) 1 1, Delta de Kronecker tem notação e é definido por 0,. Proceedings of the

8 As funções de aproximação de RT para outros elementos podem ser encontradas em Hoteit & Firoozabadi (2007). Vale ressaltar que o trabalho de Chavent et al (1991), Galdino (2009) e Passos (2013) podem fornecer boa base para a compreensão dos elementos de RT. Figura 1- Elemento quadrilateral e as funções que geram o espaço de Raviart-Thomas neste elemento (à esquerda) ; Elemento triangular e respectivas funções de (à direita). 3.3 Método dos elementos finitos descontínuos O MEFD possui importantes características como: a conservação a nível elementar, flexibilidade para geometrias complexas com aproximações de alta ordem, além de apresentar menor dispersão numérica e ser livre de oscilações espúrias quando um adequado limitador de inclinação é utilizado. Outra vantagem é que o MEFD possibilita a utilização da mesma divisão do domínio por EF clássico, empregado para resolver a equação da pressão, permitindo serem utilizadas as mesmas funções de interpolação, incorporando formulações do método dos volumes finitos nas arestas do elemento. Em relação à conservação de massa, sendo o vetor velocidade, se a densidade é constante ou a derivada do material é zero ( 0), então o fluxo é incompressível e a equação da continuidade é simplificada para. 0. Matematicamente, isso significa que o campo de velocidades para um fluxo incompressível é de divergência livre. Para o problema estudado, o método de Galerkin descontínuo (GD) está em linha com a descontinuidade de saturação. Aproximação da equação da saturação. Esse item visa apresentar a formulação para aproximar somente a solução da equação da saturação com o método GD e a utilização de uma discretização temporal explícita de Runge-Kutta de segunda ordem. A saturação da fase molhante S, em cada célula K é procurada em um espaço de elemento finito descontínuo com polinômios de aproximação de primeira ordem. Então,, é expressa sobre como segue: S, x, t S,, t φ, x (12) Onde,, é a função de forma de primeira ordem, e,, é a saturação no nó j. Na formulação GD, multiplicamos a Eq. (2) pelas funções de forma e integramos por partes, assim:

9 ,, ϕφ, φ, f,, φ, v. φ, f,, φ, φ, v. n φ, F, (13) Onde,, é a função de fluxo fracionário da fase molhante do nó j e,, é o valor upstream da função de fluxo fracionário em j definido a partir da direção da velocidade de campo. A formulação da Eq. 13 conduz a um sistema de equações diferenciais ordinárias de ordem sobre cada elemento K. Após inverter a matriz de massa local, o que corresponde as integrais do lado esquerdo da Eq. 13, obtém-se um sistema no seguinte formato compacto:, f, f, (14) Onde, é um vetor de dimensão contendo as incógnitas nodais,,,, e representa os componentes do lado direito da equação Eq. 13 multiplicados pela inversa da matriz de massa. Um esquema explícito de segunda ordem Runge-Kutta é usado para aproximar o operador do tempo na Eq. (14). Reconstrução de dados da saturação. Para a solução das saturações apresentadas na eq. (14) um procedimento simplificado de inclinação limitadora é aplicado - alternativamente ao método proposto por muitos autores, entre eles Hoteit & Firoozabadi (2007) - para estabilizar o método e reconstruir as saturações modalmente. Na simplificação, considerou-se que a saturação nesse nó é a média das saturações nesse nó, devido a todos os elementos. Assim, em meios porosos homogêneos ou heterogêneos, considera-se que a saturação do nó é a média das saturações daquele nó com relação aos diferentes elementos que compartilham esse nó, conforme a equação a seguir, lembrando que no MEFD um mesmo nó possui distintos valores de saturação para cada elemento. S, (15) É importante ressaltar que a completa implementação do algoritmo limitador de inclinação não havia sido concluída de forma adequada até a finalização desse texto, de modo que a simplificação implementada foi necessária ao prosseguimento dos estudos. Maiores detalhes a respeito do Limitador de inclinação podem ser encontrados em Chavent e Jaffré (1986) apud Hoteit & Firoozabadi (2007). Apesar da simplicidade conceitual utilizada, observou-se que o método conserva massa e fornece resultados muito próximos aos apresentados na literatura. No entanto, é importante frisar que o uso adequado desse limitador de inclinação potencializaria os resultados tornando o método mais preciso. A seguir procede-se o cálculo do balanço de massa, em que se considera que o volume de fluido injetado adicionado do volume de fluido molhante inicialmente presente no reservatório é igual ao volume obtido a partir do cálculo das saturações dos elementos acrescentado do volume fluido molhante produzido no poço produtor. Proceedings of the

10 4 MODELO COMPUTACIONAL Modelagem da superfície. Para o início das simulações, é necessária a definição da superfície inicial que represente o reservatório de petróleo. Neste trabalho, as superfícies serão representadas por conjuntos de pontos na forma de um grid regular ou irregular. Nos algoritmos utilizaram-se inicialmente malhas estruturadas, construídas por rotinas implementadas em Matlab Como esse trabalho objetiva a análise dos efeitos dos procedimentos numéricos, utilizaram-se malhas desestruturadas, construídas com ajuda do software livre Mtool - Tecgraf PUC-Rio. Nesse trabalho, adotou-se as malhas propostas na literatura de modo a poder compará-las com simulações executadas. Modelagem da fratura. Nesse trabalho busca-se avaliar a eficiência e adequação dos métodos mencionados com respeito à aplicação prática, de modo que se modela distintas características do meio de modo simplificado. Desse modo, modela-se uma ou poucas fraturas. Nessa modelagem a matriz é representada por elementos triangulares da malha, enquanto que a fratura é representada por elementos quadrangulares colapsados, conforme demonstrado na Figura 2. Figura 2 Modelagem da fratura. Procedimentos gerais utilizados no algoritmo do Método EF-GD. Sucintamente, o Método EF-GD utiliza o método dos elementos finitos para o cálculo das pressões nos nós da malha, executa-se o pós-processamento das velocidades no centro dos elementos da malha utilizando as funções de aproximação de Raviart-Thomas e, a seguir, calculam-se as saturações pelo MEFD. Discretização temporal. Em termos de discretização temporal o procedimento de se interpolar a equação da pressão implicitamente e a equação da saturação explicitamente, dá-se o nome de IMPES (implict pressure explicit saturation), sendo este o caso das formulações do MEFD apresentadas nesse trabalho. O método IMPES surgiu no início das simulações de reservatórios e tornou-se bastante popular na resolução das equações de fluxo multifásico. Segundo Silva (2008), a grande desvantagem desse método surge devido à aproximação explícita da saturação que impõe uma severa restrição de estabilidade quanto ao tamanho do passo de tempo, o que pode representar um custo computacional elevado tornando-o proibitivo para problemas de grande porte com malhas muito refinadas. No entanto, para problemas de escoamento bifásico incompressíveis, o método IMPES produz bons resultados. Para melhorar a eficiência do método IMPES, métodos adaptativos são utilizados. Neste trabalho utilizou-se um critério de estabilidade numérica para a integração de equações

11 diferenciais parciais definidas por Courant, Fridrichs e Lewy (CFL), de modo a determinar o tamanho dos passos de tempo tratados explicitamente. 5 EXEMPLOS PARA AVALIAÇÃO DA FORMULAÇÃO PROPOSTA PARA SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTO BIFÁSICO EM MEIOS POROSOS São apresentados exemplos clássicos cuja solução obtida é comparada com a solução encontrada na literatura, de modo a demonstrar a potencialidade e a aplicabilidade da formulação desenvolvida. Os problemas estudados foram: um problema bidimensional em um meio poroso estratificado, um exemplo de escoamento bidimensional de cinco poços em meio homogêneo e heterogêneo e um problema de escoamento bifásico em meios porosos incluindo uma fratura. Todos os exemplos foram simulados em Matlab Exemplo 1 - Escoamento bifásico Bidimensional em reservatório estratificado Este exemplo, extraído de Hoteit & Firoozabadi (2007), analisa a condição de escoamento bifásico em um domínio 2D horizontal estratificado, e compara a resolução pelo método proposto EF-GD com o método EFH-GD apresentado em Hoteit & Firoozabadi (2007). Figura 3 Domínio 2D heterogêneo com permeabilidades distintas. (extraído de Hoteit & Firoozabadi (2008)). A Figura 3 apresenta o esquema empregado na análise, em que o domínio é composto por camadas de permeabilidades alternadas (1md, 100md). A água (fase molhante) é injetada uniformemente através do lado a esquerda do domínio em camadas, o qual é inicialmente saturado com óleo (fase não molhante). A produção está do lado direito oposto. A taxa de injeção em volume poroso (PV) é de 0,11 PV/ano. Os efeitos gravitacionais e de capilaridade foram negligenciados. Utilizaram-se as mesmas funções de permeabilidades relativas e saturação normalizada apresentada em Hoteit & Firoozabadi (2007), ou seja, permeabilidades relativas que são função quadrática de saturação de água. Outros dados relevantes ao problema são mostrados na Tabela 1. A malha empregada, em ambas as análises, é formada por 4500 elementos do tipo Q4. Proceedings of the

12 Tabela 1 Dados relevantes do Exemplo 1. Dimensões do domínio Propriedades da rocha Propriedades do fluido 500 m 270 m 1 m ϕ 0,2, k 1md, 100md μ 1cP, μ 0,45 Saturação residual S 0, S 0 ρ 1000 kg m, ρ 660 kg m Taxa de injeção Tamanho da malha 0,11PV/ano 4500 retângulos Discussão dos resultados. A Figura 4 (a) e (b) mostram a configuração final da frente de saturação com o tempo para os métodos EF-GD e EFH-GD, respectivamente. Quando comparadas observa-se que as frentes de saturação nas camadas são bem caracterizadas e se aproximam qualitativamente do resultado encontrado em Hoteit & Firoozabadi (2007). Além disso, conforme esperado, as camadas mais permeáveis possuem frentes mais avançadas. As camadas das bordas apresentam uma frente um pouco retardada, em comparação com a camada central de igual permeabilidade, devido às condições de contorno do domínio. Figura 4 - Perfil de saturação obtido pelo Método EF-GD (à esquerda) e pelo Método EFH-GD (à direita). Pela análise da Figura 5 (a) e (b), observa-se que o erro relativo ao balanço de massa é de 2,315% e de 1,997%, para o Método EF-GD e EFH-GD, respectivamente. Apesar dos resultados finais serem próximos no decorrer do tempo, observa-se que há uma pequena diferença entre os erros relativos obtidos pelos dois métodos no trecho inicial da análise, em média 0,25 anos. Isso pode se dever as instabilidades iniciais do método, bem como, a ausência da implementação do limitador de inclinação completo, inacabado até a data de finalização desse texto. O tempo de simulação do Método EF-GD foi de 4516,1 segundos, enquanto do Método EFH-GD foi de 4513,4 segundos. De modo que os métodos apresentam praticamente o mesmo esforço computacional.

13 Figura 5 - Balanço de massa obtido pelo Método EF-GD (à esquerda) e pelo Método EFH-GD (à direita). 5.2 Exemplo 2 - Escoamento bifásico Bidimensional - Meios porosos heterogêneos Esse exemplo visa estudar a fiabilidade do Método EF-GD em meios porosos heterogêneos. Poucos estudos com ausência de capilaridade e de efeitos gravitacionais, e com o uso de EFH e MEFD estão disponíveis na literatura. De modo que, neste trabalho apresentase um exemplo da literatura para deslocamento de gás por outro gás em meios porosos heterogêneos. Para esse estudo considerou-se dois casos distintos, Caso 1 e Caso 2, descritos a seguir. Vale ressaltar que esse item não visa analisar os efeitos de compressibilidade e mudança de fase que eventualmente podem ocorrer em deslocamentos reais desse tipo. Portanto, considerou-se nessa simplificação que os fluidos desse sistema são incompressíveis, possuem razão de viscosidades igual a 1. Tabela 2 Propriedades e relações constitutivas da matriz porosa. Dimensões do domínio Propriedades da rocha Fluidos Permeabilidades relativas 40 m 40 m 1 m ϕ 0,2, k 10md ρ ρ Linear Saturação residual S 0, S 0,0 Injeção Tempo de simulação Pressão 0,7 PV/dia 160 dias Pa Caso 1. No Caso 1, utilizou-se o modelo proposto em Hoteit & Firoozabadi (2005), e nele considera-se um domínio homogêneo horizontal 2D de área 40 m 40 m, inicialmente saturado com propano. Metano é injetado em um vértice para deslocar o propano até o vértice Proceedings of the

14 oposto, poço produtor. Utilizaram-se as mesmas funções de permeabilidades relativas e saturação normalizada apresentada em Hoteit & Firoozabadi (2008). Demais dados relevantes ao problema são apresentados abaixo. No final da produção, a pressão é mantida constante. Comparou-se o método EF-GD com o método EFH-GD. Esse último tem resultados apresentados em Hoteit & Firoozabadi (2005), reproduzidos nesse texto. A malha utilizada nesse caso foi construída estruturada com elementos Q4. Caso 2. Considera-se o mesmo sistema apresentado no Caso 1, no entanto, o meio poroso é considerado muito heterogêneo. A permeabilidade em cada célula é escolhida de forma aleatória. Esse caso pode ser novamente subdividido em dois casos, Caso 2A e 2B. Basicamente os dois casos diferem pelo tipo de malha utilizada em sua construção. O Caso 2A é construído com uma malha estruturada com elementos quadrilaterais Q4, enquanto que o Caso 2B utiliza uma malha não estruturada cujos elementos são triangulares. A Figura 6 apresenta a distribuição de permeabilidades na malha estruturada e na malha não estruturada, respectivamente, Caso 2A e 2B. O objetivo do estudo desse caso é demonstrar influência da estruturação da malha nos resultados obtidos pelo método de EF-GD. Para isso comparam-se qualitativamente os resultados obtidos com os resultados apresentados em Hoteit & Firoozabadi (2005) utilizando o método EFH-GD, reproduzidos nesse texto, reconhecidos como adequados ao problema estudado. Figura 6 Distribuição de permeabilidades - Caso 2A (à esquerda) e Caso 2B (à direita). Discussão dos resultados Caso 1. O modelo homogêneo com malha estruturada Q4 apresentou uma varredura circular comportada, conforme a Figura 7, mas difere um pouco da solução encontrada por Hoteit & Firoozabadi (2005) que utiliza o método EFH-GD, visto que a distribuição de permeabilidades é randômica e distinta da empregada em Hoteit & Firoozabadi (2005). A frente de saturação é suave, como pode ser visto na Figura 8. Em relação ao equilíbrio de massa, pode-se observar que o Método EF-GD apresentou maiores erros relativos nos tempos iniciais da simulação e se estabilizou na sequência. Os erros relativos finais encontrados estão na ordem de 0,3%, demonstrando que o método estudado pode-se mostrar eficiente. E o tempo de processamento foi de 294,9112 segundos.

15 Figura 7 Varredura calculada pelo Método EF-GD (à esquerda) e varredura calculada em Hoteit & Firoozabadi (2005) pelo método EFH-GD (à direita). Figura 8 Avanço da frente de saturação (à esquerda) e Balanço de massa (à direita) - Método EF-GD - Caso 1. (b) Caso 2: Como o Caso 1 apresentou-se um baixo nível de erro no balanço de massa, estudou-se o atual caso para meios heterogêneos com malhas estruturadas e não estruturadas. Figura 9 Varredura calculada (à esquerda) e Avanço da frente de saturação (à direita) pelo Método EF- GD - Caso 2A Proceedings of the

16 Pode-se observar na Figura 9 e na Figura 10 que, em ambos os casos, a frente de saturação não avança uniformemente em decorrência da heterogeneidade do meio poroso, conforme era esperado. Também se observa que as frentes obtidas são distintas devido às diferentes permeabilidades aleatórias aplicadas à malha. É observada uma maior uniformidade de saturação atrás da frente de saturação na malha estruturada, em decorrência da melhor ordenação dos elementos. De modo que o método EF-GD mostrou-se coerente na representação do avanço da saturação. Figura 10 Varredura calculada (à esquerda) e Avanço da frente de saturação (à direita) pelo Método EF- GD - Caso 2B. Com respeito ao estudo de conservação de massa observaram-se maiores erros relativos no início da simulação no Caso 2B do que no caso 2A. No entanto, ambos os casos alcançaram baixos erros relativos finais. Isso pode se dever as instabilidades iniciais do método, bem como, a ausência da implementação do limitador de inclinação completo, inacabado até a data de finalização desse texto. Figura 11 Balanço de massa - Método EF-GD- Caso 2A (à esquerda) e Caso 2B (à direita). O Caso 2A apresentou um tempo de processamento da simulação muito maior em relação ao Caso 2B, tornando-o mais dispendioso. Isso pode se dever a quantidade de elementos ser superior no Caso 2A, constituído por mais elementos e consequentemente mais nós.

17 Tabela 2 Relação tempo computacional - Caso 1. Método EF-GD Tempo de processamento Erro relativo final (%) Caso 2A 1470, Caso 2B 629, , Exemplo 3 - Escoamento bifásico Bidimensional - problema dos cinco poços em meio com fratura Esse item visa avaliar respostas do método EF-GD considerando meios geológicos complexos, bem como demonstrar a flexibilidade do método EF-GD na modelagem de fraturas e barreiras. O exemplo estudado nesse item é apresentado em Hoteit & Firoozabadi (2008), utilizando EFH-GD. Assim os resultados da literatura são aqui comparados com o método proposto EF-GD. Esse exemplo é constituído de dois poços verticais, um produtor e um injetor de água, posicionados em extremidades opostas do modelo, representando um quarto de uma malha cinco-poços, em um meio poroso inicialmente saturado por óleo. Considerou-se pressão capilar nula. Uma fratura e uma barreira são incorporadas ao meio poroso, em que a fratura cruza e atravessa a barreira. A Figura 12 mostra a representação esquemática do problema, que consiste de um domínio 2D horizontal, com dimensões de 100 m 100 m, inicialmente saturado com óleo, com uma fratura posicionada na direção diagonal que liga os poços. Figura 12 Representação esquemática - Caso 1 (adaptada de Hoteit & Firoozabadi (2008)). O domínio é discretizado em uma malha não estruturada, de modo a permitir acompanhar geometrias complexas. A fratura, bem como a barreira, foram representadas de forma discreta. A matriz é representada por elementos triangulares, enquanto que as fraturas são representadas por elementos quadrangulares colapsados. A malha nesse esquema foi gerada pelo programa Mtool - Tecgraf PUC-Rio e importada para processamento em Matlab A interação da rocha com o fluido nela contido é definida por meio das curvas de permeabilidade relativa. Para reservatórios naturalmente fraturados é necessário descrever a Proceedings of the

18 interação do fluido com os dois meios presentes, matriz e fratura. Para o sistema de fraturas usualmente é adotada uma relação linear de permeabilidades relativas, e atribuída pressão capilar nula. Ao poço injetor de água foi aplicada uma vazão de 0,05PV/dia. Assim como nos exemplos anteriores, considera-se o equilíbrio do balanço de massa, onde há reposição volumétrica, neste caso de água, para repor o volume do fluido que está sendo extraído. As propriedades do fluido e do meio são apresentadas na Tabela 3. Tabela 3 Dados relevantes. Dimensões do domínio Propriedades da matriz Propriedades da fratura 100 m 100 m 1 m ϕ 0,2, k 1 md ϕ 1,0, k 10 md, 1mm Propriedades dos fluidos ρ ρ 1000 kg/m³, μ μ 1 cp Saturação residual S 0, S 0,0 Injeção 0,05PV/dia Discussão dos resultados Um dos grandes problemas encontrados no desenvolvimento de reservatórios fraturados é a mudança na direcionalidade prevista para a água injetada em função da presença fraturas. Em um modelo sem fraturas em meio homogêneo espera-se uma varredura circular da matriz. No entanto, a presença de uma fratura causa uma mudança na direção de fluxo quando a água injetada alcança o caminho preferencial de alta permeabilidade deixando de varrer a matriz, tal qual visto na Figura 13 (a). Figura 13 (a) Perfil de saturação; (b) Erro relativo ao balanço de massa. Observa-se que matriz se comporta como a fonte de fluidos e a presença de uma fratura cria um caminho de preferencial de alta permeabilidade para deslocamento do fluido,

19 chamado de "finger", o que é coerente com o esperado. Em comparação com o resultado obtido e validado pelo método EFH-GD, apresentado em Hoteit & Firoozabadi (2008), observa-se que os resultados encontrados com o método EF-GD são coerentes com a literatura mencionada. O erro relativo ao balanço de massa foi de 1,527%, Figura 13(b), e o processamento durou 2678,5643 segundos. Vale ressaltar que as instabilidades no erro do balanço de massa observadas podem decorrer da ausência da implementação do limitador de inclinação completo, inacabado até a data de finalização desse texto. A respeito do meio fraturado percebe-se que uma boa comunicação entre matriz e fratura é essencial para a produtividade em longo prazo. Esta comunicação entre os meios é dependente da permeabilidade da matriz e definem a força do mecanismo de recuperação atuante. Se a permeabilidade da matriz for baixa, o fluido injetado tente a passar diretamente pela fratura, não varrendo adequadamente a matriz e, assim, produzindo baixos fatores de recuperação. 6 CONCLUSÕES Foi sugerida, implementada e avaliada uma nova metodologia para a solução do problema de escoamento de dois fluidos imiscíveis e incompressíveis em meio porosos. Esse estudo foi decorrente da tentativa de contornar as instabilidades encontradas pelos métodos clássicos de solução do problema de escoamento bifásico em reservatórios, relatadas na literatura. Vale frisar que os estudos a respeito dessa metodologia ainda não foram totalmente finalizados, de maneira que a principal contribuição desse artigo é apresentar os resultados dos estudos iniciais dessa metodologia alternativa para avaliar o potencial da mesma. O Método EF-GD combinou o método dos elementos finitos clássico, EF, com o método dos elementos finitos descontínuos, MEFD. Esse sistema consiste de uma equação da pressão, resolvida pelo EF, um pós-processamento da velocidade por elemento através da utilização das funções de Raviart-Thomas de mais baixa ordem, e a solução da equação da saturação, via MEFD, com a formulação IMPES, cuja equação da pressão é discretizada temporalmente pelo método implícito e a equação da saturação pelo método explícito. Os resultados encontrados com a utilização desse método mostram-se adequados no que se refere à captura da frente de saturação. O balanço de massa da formulação foi calculado de modo que foram encontradas baixas porcentagens de erros relativos. A utilização da técnica de pós-processamento utilizada venceu as limitações mencionadas na literatura, devido as suas características, mostrando-se satisfatória à aplicação em meios heterogêneos e fraturados. Os exemplos analisados e os resultados encontrados sugerem uma boa aproximação com os apresentados na literatura. Vale lembrar que todos os exemplos estudados negligenciaram os efeitos gravitacionais e os causados pela pressão capilar. Isso foi decorrente de uma simplificação do problema, pois a inclusão desses termos deixaria a formulação em EF-GD não linear, aumentando a complexidade do problema. Nos trabalhos em andamento a parcela relativa à pressão capilar já está sendo incluída e também estão sendo desenvolvidos estudos para a linearização do sistema do método EF-GD. Além disso, pretende-se incorporar os efeitos geomecânicos, aqui desconsiderados. É importante ressaltar que a completa implementação do algoritmo limitador de inclinação não havia sido concluída de forma adequada até a finalização desse texto, de modo que a simplificação implementada foi necessária ao prosseguimento dos estudos. No entanto, é importante frisar que o uso adequado do limitador de inclinação potencializaria os resultados tornando o método mais preciso, pois, genericamente em 2D, a ausência de Proceedings of the

20 implementação do limitador de inclinação adequado pode ter sido responsável pelo significativo aumento de erros relativos e instabilidades em relação à conservação de massa. No entanto, apesar da simplicidade conceitual utilizada, observou-se que a metodologia forneceu erros relativos ao balanço de massa finais baixos e forneceu resultados qualitativos coerentes com os apresentados na literatura. Com isso, pode-se dizer que essa metodologia possui potencial para a simulação de uma célula do reservatório desde que a implementação do algoritmo limitador de inclinação, fundamental ao método do MEFD, seja totalmente implementado. REFERÊNCIAS Alcoforado, M.M. (2007). Modelagem computacional de escoamento Bifásico em meios porosos heterogêneos com acoplamento geomecânico. Tese de Doutorado, LNCC, Petrópolis. Aziz, K.; Settari, A. (1979). Petroleum reservoir simulation, environmental engineering. London: Elsevier Applied Science Publishers. Chavent, G.; Roberts, J. E. (1991). A unified physical presentation of mixed, mixed-hybrid finite elements and standard finite difference approximations for the determination of velocities in water flow problems. Advanced in Water Resources, 14, 6: Galdino, P. H. B. (2009). Análise teórica de uma técnica de aproximação da velocidade de Darcy utilizando o método dos elementos finitos mistos e híbridos. Dissertação (mestrado). Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Helmig, R. (1997). Multiphase flow and transport process in the subsurface: a contribution to the modeling of hidrosystems. Springer. Hoteit, H.; Firoozabadi, A. (2005). Multicomponet fluid flow by discontinuous Galerkin and mixed methods in unfractured and fractured media. Water Resources Research, Vol. 41. Hoteit, H.; Firoozabadi, A. (2007). Numerical modeling of two-phase flow in heterogeneous permeable media with different capillarity pressures. Advances in Water Resources, 31: Hoteit, H.; Firoozabadi, A. (2008). An efficient numerical model for incompressible twophase flow in fractured media. Advances in Water Resources, 31: Lewis, R.W.; Schrefler, B.A. (1978). A fully coupled consolidation model of the subsidence of Venice.Wat. Res. Research, 14, Lewis, R.W.; Schrefler, B.A. (1987).The finite element method in the deformation and consolidation of porous media, AWiley Interscience publication. New York. Müller, A. L. (2007). Análise numérica da estabilidade de poços de petróleo considerando a variabilidade espacial e acoplamento fluido-mecânico. Tese de Doutorado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Passos, N. C. S. T. P (2013). Análise de procedimentos numéricos para simulação de escoamento bifásico em meios porosos heterogêneos. Dissertação de Mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Peaceman, D. W. (1977). Fundamentals of numerical reservoir simulation. New York: Elsevier. Ribeiro, R. F. J. M. C. (1996). Cálculo da permeabilidade equivalente em meios heterogêneos pelo método dos elementos finitos híbridos. Dissertação de Mestrado, Campinas-SP.

21 Ribeiro, W. N. (2011). Avaliação de soluções numéricas para análise de escoamento bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos. Tese de Doutorado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rosa, A. J.; Carvalho, R. S.; Xavier, J. A. D. (2006). Engenharia de reservatórios de petróleo, Interciência: PETROBRAS, 832P, Rio de Janeiro. Silva, R.S. (2008). Simulação de escoamento bifásico óleo-água em reservatórios de petróleo usando computadores paralelos de memória distribuída. Tese de Doutorado, Universidade Federal de Pernambuco. Proceedings of the