RISCO SOBERANO E PROBABILIDADE DE DEFAULT IMPLÍCITA EM SWAPS DE CRÉDITO

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1 Fundação Getúlio Vargas Escola de Pós-Graduação em Economia RISCO SOBERANO E PROBABILIDADE DE DEFAULT IMPLÍCITA EM SWAPS DE CRÉDITO Bruno Melo Caratori Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida, D.Sc. Rio de Janeiro 2008

2 i RISCO SOBERANO E PROBABILIDADE DE DEFAULT IMPLÍCITA EM SWAPS DE CRÉDITO Bruno Melo Caratori Dissertação submetida ao corpo docente da Escola de Pós-Graduação em Economia, da Fundação Getúlio Vargas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Aprovada por: - Presidente da Banca Caio Ibsen Rodrigues de Almeida, D. Sc. - Orientador (EPGE/FGV) José Valentim Vicente, D. Sc. (Banco Central do Brasil) Alexandre Lowenkron, D. Sc. (Banco BBM) Rio de Janeiro 2008

3 ii AGRADECIMENTOS A Alexandre Lowenkron e José Valentim, pelo interesse em meu trabalho e por cordialmente aceitarem participar da minha banca de avaliação. Ao meu orientador Caio Ibsen, pelo direcionamento que me foi dado no início deste estudo, pelas contribuições valiosas ao longo do desenvolvimento e, acima de tudo, pela enorme confiança que sempre demonstrou em meu trabalho. A todos os meus amigos, pela profunda demonstração de amizade ao entenderem a ausência ocasionada por este trabalho e por continuarem sempre me incentivando. À RiskControl, por ter sido para mim uma verdadeira escola, contribuindo enormemente para esta e outras conquistas. À toda minha família, pela torcida e apoio neste desafio e por serem minha maior inspiração. À minha namorada, Maricota, que em uma feliz coincidência encarou seu projeto de dissertação de mestrado junto comigo. Agradeço profundamente pelo carinho, apoio, companheirismo e principalmente por me dar a chance de ser objeto do seu orgulho, este certamente o meu maior incentivo.

4 iii RESUMO CARATORI, Bruno Melo. Risco Soberano e Probabilidade de Default Implícita em Swaps de Crédito. Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida. Rio de Janeiro: FGV/EPGE, Dissertação. Este trabalho propõe um modelo de forma reduzida livre de arbitragem para a extração de probabilidades de default a partir de spreads de Swaps de Crédito e aplica-o realizando uma análise da percepção de risco da dívida soberana brasileira confrontando dois momentos com contextos econômicos distintos. É utilizada uma modelagem paramétrica da estrutura temporal das probabilidades condicionais de default para a qual se testa duas formas funcionais distintas: Constante por Partes e Linear por Partes. Os resultados fornecem evidências que corroboram a aplicabilidade do modelo e indicam uma clara vantagem da modelagem Linear por Partes, por se ajustar melhor aos dados e possuir implicações convenientes na estrutura a termo das taxas de juros ajustadas ao risco de default.

5 iv ABSTRACT CARATORI, Bruno Melo. Risco Soberano e Probabilidade de Default Implícita em Swaps de Crédito. Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida. Rio de Janeiro: FGV/EPGE, Dissertação. The present study introduces a reduced-form and arbitrage-free model for extracting default probabilities from Credit Default Swap spreads and applies it by analyzing the risk perception of Brazil s sovereign debt comparing the model s implications in two distinct economic moments. A parametric approach is used for the term structure of conditional default probabilities in which two different function shapes are tested: Piecewise Constant and Piecewise Linear. The results present evidences supporting the model s applicability and highlight a clear advantage in the Piecewise Linear approach for its estimates yield a better fit to the data and its convenient implications on the term structure of risk-adjusted interest rates.

6 v LISTA DE TABELAS Tabela 1: Taxas de Swaps e Spreads de CDS Tabela 2: Taxas de Juros Livres de Risco Tabela 3: Resultados... 27

7 vi LISTA DE FIGURAS Figura 1: Probabilidades Condicionais de Default Figura 2: Estrutura a Termo dos Spreads Figura 3: Resultados - Probabilidades Condicionais de Default Figura 4: Resultados - Probabilidades Acumuladas de Default Figura 5: Resultados - Estrutura a Termo dos Spreads... 29

8 vii LISTA DE SIGLAS CDS ISDA Libor Credit Default Swap International Swaps and Derivatives Association London Interbank Offer Rate RMSE Root Mean Squared Error

9 viii SUMÁRIO 1 Introdução Motivação e objetivos Modelagem na forma reduzida do risco de crédito Swaps de Crédito e probabilidades de default Organização da Dissertação Referencial Teórico Apreçamento de ativos sujeitos a risco de crédito Utilização de spreads de CDS na estimação da estrutura temporal de probabilidades condicionais de default A forma funcional da estrutura temporal de probabilidades condicionais de default O modelo Constante por Partes O modelo Linear por Partes Dados e Metodologia Processo de estimação Conjunto de dados Resultados Comparação entre modelos Comparação entre datas Conclusão... 22

10 ix Referências Bibliográficas Apêndices... 26

11 1 1 Introdução 1.1 Motivação e objetivos Nos primeiros anos da década de 90 os mercados internacionais de capitais novamente acolheram as economias emergentes e o mercado de títulos de dívida soberana destes países cresceu consideravelmente, tornando estes ativos uma das alternativas de investimento mais populares. Acompanhando esta popularidade estava a necessidade de identificar as fontes de risco deste tipo de investimento e fazer desta informação um insumo central nas tomadas de decisões de investidores, emissores e órgãos reguladores. Nos últimos anos os fatos e tendências deste mercado sofreram algumas mudanças. Conforme publicado pela The Economist (2007), nunca a percepção de risco embutida nos preços dos títulos de dívida soberana foi tão favorável às economias emergentes. Muitos governos engajaram-se em campanhas de recompra de seus títulos, com a intenção de reduzir seus prêmios de risco e atrair ainda mais o capital externo. Outra tendência é a desdolarização das dívidas. No intuito de protegerem-se da contaminação de crises cambiais em suas dívidas, governos de países emergentes têm dado preferência a emissões em suas próprias moedas. Esta redução do estoque disponível de dívidas de emergentes retirou dos investidores o acesso abundante a esta opção de investimento. Por conseqüência, estes passaram a utilizar cada vez mais os derivativos de crédito em suas estratégias de risco de países emergentes. No entanto, não há evidências fortes o bastante de que esta tendência seja permanente (The Economist, 2007) 1. A 1 O movimento de aumento dos prêmios de risco destes ativos observado após agosto de 2007 corrobora o argumento.

12 2 possibilidade de retorno a uma situação em que países emergentes precisem de maior crédito internacional, perdendo os poderes de barganha que permitiram a diminuição de seus prêmios de risco e a desdolarização de suas dívidas não pode ser ignorada. Neste contexto de mudanças consideráveis no mercado de dívida soberana de economias emergentes acompanhadas pela sofisticação dos instrumentos utilizados e pelo aumento da demanda por ativos que ofereçam maiores rentabilidades, tornase oportuno revisitar o tema da análise de risco destes mercados, na tentativa de fornecer modelos e ferramentas cada vez mais precisos, com abordagens simples e intuitivas e que se apliquem a todas as particularidades aqui mencionadas. Este trabalho propõe um modelo de estrutura a termo de taxas de juros que permite a extração de probabilidades de default implícitas em spreads de Swaps de Crédito. A modelagem proposta baseia-se em uma estrutura introduzida por Duffie e Singleton (1999) que é compatível com ausência de possibilidades de arbitragem, em contraste com outros modelos tradicionais de taxas de juros como os formulados por Nelson e Siegel (1987) e Svensson (1994). A utilização de Swaps de Crédito (ou simplesmente CDS, do termo em inglês Credit Default Swap) vem crescendo consideravelmente desde o final da década de 90 e o valor nocional total de contratos em aberto superava 40 trilhões de dólares em junho de Conforme observado por Blanco, Brennan e Marsh (2005), os títulos de dívida soberana são destaque entre os ativos que recentemente se beneficiaram da comercialização destes contratos. As probabilidades de default 2 Segundo dados divulgados pelo Bank for International Settlements.

13 3 associadas aos emissores de dívida são insumo essencial para o apreçamento e o monitoramento do risco de Swaps de Crédito. No modelo proposto, as probabilidades condicionais de default e a fração de recuperação na ocasião do default são fixas. As intensidades 3 de default são descritas por estruturas temporais que tomam a forma de funções (i) constantes por partes, seguindo a abordagem proposta por Meres e Almeida (2006) em um estudo similar aplicado a títulos de dívida, e (ii) lineares por partes, objetivando flexibilizar ainda mais o modelo 4. Há evidências concretas de que esta flexibilização torna o modelo ainda mais adequado à análise, além de implicar em formas mais suaves da estrutura a termo dos spreads sobre a taxa de juros livre de risco 5. O modelo é aplicado em um exercício empírico utilizando dados de Swaps de Crédito da dívida soberana brasileira. No intuito de se testar a aplicabilidade do mesmo, o exercício de extração de probabilidades de default é feito para duas datas, permitindo a comparação dos parâmetros implicados em contextos econômicos distintos. 1.2 Modelagem na forma reduzida do risco de crédito Conforme proposto por Chako et al. (2006), modelos de forma reduzida (em contraste com os modelos estruturais) abordam o risco de crédito tratando a 3 Os termos intensidade de default e probabilidade condicional de default são utilizados ao longo do texto de forma equivalente. Para maiores informações, consultar Hull (2005). 4 Ao longo desta redação o termo linear é utilizado em um sentido mais amplo, designando funções representadas por retas que não necessariamente passam pela origem. 5 O spread entre duas taxas de juros é a diferença absoluta entre elas. Na comparação entre duas curvas de juros torna-se conveniente utilizar uma curva de spreads. Deve-se atentar para o uso deste termo ao longo do texto, que pode também estar representando o prêmio dos contratos CDS, que os participantes do mercado comumente denominam de spread CDS.

14 4 ocorrência de defaults como exógena, ou seja, independente de informações estruturais dos emissores. Nesta abordagem, defaults são, por definição, eventos aleatórios abruptos e suas ocorrências atribuídas a sinais arbitrários. A literatura a respeito da modelagem na forma reduzida do risco de crédito é bastante vasta e foi introduzida nos trabalhos de Litterman e Iben (1991), Jarrow e Turnbull (1995) e Jarrow et al. (1997). Duffie e Singleton (1999) apresentam resultados gerais em modelos de forma reduzida aplicados a estruturas a termo de títulos sujeitos a risco de crédito. 1.3 Swaps de Crédito e probabilidades de default Conforme documentado por Hull e White (2000), um Swap de Crédito é um contrato que fornece um seguro contra o risco de default de uma dada referência. Swaps de Crédito são firmados com uma grande variedade de características, sendo as mais importantes a definição dos eventos de crédito que caracterizam a ocorrência de um sinistro e os termos e condições das devidas transferências na eventual ocorrência dos eventos (entrega física de títulos ou cash settlement 6 ). Chako et al. (2006) exploram detalhadamente as variações mais comuns de contratos CDS (Digital CDS, Basket CDS, Portfolio CDS, CDS Indices e etc.). Oportunamente, Pan e Singleton (2006) constatam a utilidade dos dados provenientes de informações de mercado de spreads CDS na análise do risco de crédito de emissores soberanos. Menciona-se a contribuição da padronização dos contratos promovida pela International Swaps and Derivatives Association (ISDA), tornando os dados mais uniformes, assim como a existência significativa de 6 Denomina-se cash settlement a simples transferência monetária que produza o mesmo efeito líquido da entrega do título.

15 5 negociações de CDS de referências soberanas para vários prazos. Estes vários prazos fornecem uma estrutura a termo completa de spreads CDS para países emergentes, contribuindo na inferência da estrutura temporal de probabilidades de default e taxas de recuperação. Naturalmente, os modelos de forma reduzida se apresentam como uma alternativa para o apreçamento e análise do risco de contratos CDS. No mesmo estudo, Pan e Singleton (2006) exploram as propriedades econométricas da intensidade dos eventos de crédito. A análise fornece fortes evidências empíricas de que há nos spreads CDS um prêmio de risco associado a variações futuras da intensidade dos eventos de crédito. O exercício foi realizado com dados de spreads CDS de três referências emergentes (México, Rússia e Turquia). Em um estudo com algumas similaridades, Christensen (2007) explora a separação entre taxas de recuperação e intensidades de default utilizando dados de contratos CDS. Construindo um modelo que permite variação estocástica destes dois parâmetros assim como da taxa de juros livre de risco e aplicando-o aos spreads CDS da referência Ford Motor Co., é encontrada evidência de que uma estimação conjunta destes parâmetros é sim possível. Em outra aplicação de modelos de forma reduzida no apreçamento de contratos CDS, Houweling e Vorst (2005) propõem que esta abordagem domina com folga a que se utiliza de spreads de títulos. 1.4 Organização da Dissertação A dissertação está estruturada da seguinte forma: O Capítulo 2 contém o referencial teórico empregado na obtenção dos resultados. Ele inclui a apresentação do modelo de extração de probabilidades de

16 6 default a partir de dados de títulos de dívida. Em seguida, são abordadas a adaptação do modelo para a utilização de dados de Swaps de Crédito e a parametrização da estrutura temporal de intensidades de default. O Capítulo 3 apresenta a metodologia de estimação dos parâmetros de interesse e a descrição detalhada dos dados utilizados. No Capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos no exercício empírico acompanhados da análise de suas implicações. O Capítulo 5 conclui com uma síntese da dissertação e apresenta as observações finais.

17 7 2 Referencial Teórico 2.1 Apreçamento de ativos sujeitos a risco de crédito O modelo utilizado deriva da estrutura proposta por Duffie e Singleton (1999), mais especificamente do modelo motivacional discreto no tempo apresentado no início do artigo, assumindo parâmetros não-estocásticos. Considere um ativo que fornece ao detentor o direito de receber em um instante no futuro um valor fixo, sujeito ao risco de crédito. Assuma que denota o instante presente e que para qualquer instante : é a probabilidade condicional, sob uma medida de probabilidade neutra ao risco, da ocorrência de um default entre os instantes e 1 (condicional a informação disponível em e a não ocorrência de um default até ); é o valor recuperado, no numerário de, na ocorrência de um default em ; é a taxa de juros livre de risco vigente entre os instantes e 1. Neste contexto, é intuitivo propor que o valor em de um ativo sujeito ao risco de crédito, como função de seu valor no instante 1, pode ser escrito como uma soma de dois termos: O primeiro correspondendo ao valor de recuperação na ocorrência de um default entre e 1; e o segundo sendo seu valor em 1 descontado pela taxa de juros livre de risco, na não-ocorrência de um default no período, conforme a expressão a seguir: 1 (1) Duffie e Singleton (1999) demonstram que expandindo recursivamente esta equação até a data de vencimento do ativo, seu valor pode ser equivalentemente expressado pela seguinte equação:

18 8 1 1 (2) Motivados pela dificuldade de se utilizar a Equação 2 eles obtêm um importante resultado: A Equação 2 pode ser simplificada ao assumir-se que o valor esperado, sob a medida, do valor de recuperação no instante, na ocorrência de um default em 1 é uma fração do valor do ativo no instante 1, na não-ocorrência de um default 7. Eles propõem que: 1 (3) Onde é a fração de perda do valor do ativo na ocorrência de um default entre e 1. Substituindo-se a Equação 3 na 2, pode-se escrever o valor do ativo no instante como: 1 1 (4) Onde 1 1 (5) Simplificando ainda mais o modelo, os autores observam que para taxas anualizadas e intervalos de tempo pequenos, a taxa de juros ajustada pelo risco pode ser escrita como a soma da taxa de juros livre de risco r e do produto entre a taxa de perda e a probabilidade condicional de default no instante : 7 O apreçamento através da Equação 2 requer a modelagem da distribuição conjunta de, e, tarefa bastante complicada em geral.

19 9 (6) Duffie e Singleton (1999) salientam a contribuição deste modelo ao propor que o valor de um ativo com risco de default pode ser expresso como o valor presente de um pagamento futuro, tratado como se estivesse imune ao risco de default, descontado por uma taxa de juros ajustada pelo risco. 2.2 Utilização de spreads de CDS na estimação da estrutura temporal de probabilidades condicionais de default A adaptação do modelo apresentado na Seção 2.1 objetivando a utilização de dados de Swaps de Crédito é realizada de forma bastante intuitiva. Neste ponto o leitor deve estar ciente de que o modelo proposto na seção anterior permite o apreçamento de títulos com pagamentos pré-fixados dadas as estruturas temporais da intensidade de default e da taxa de perda aplicáveis aos ativos. Utiliza-se um modelo de apreçamento livre de arbitragem de CDS que relaciona seus spreads a preços de títulos de dívida com pagamentos de juros flutuantes 8 e através de swaps de taxas de juros 9 transformam-se estes em títulos pré-fixados. 8 No mercado de renda fixa americano, estes títulos são indexados a Libor em dólares e pagam juros periódicos (geralmente a cada 3, 6 ou 12 meses) fixados no decorrer da vida do título. A taxa de juros aplicável a um pagamento é determinada na ocasião do pagamento anterior (ou na emissão do título, no caso do primeiro pagamento). Para mais informações, consultar Fabozzi (2005). 9 Swaps de taxas de juros convencionais são contratos financeiros em que as partes concordam em trocar uma seqüência de pagamentos pré-fixados por pagamentos indexados a alguma taxa de juros de referência. As finalidades mais comuns destes contratos são a imunização de exposições às taxas de juros e a especulação sobre o movimento das taxas. No mercado americano, estes swaps prevêem a troca de pagamentos fixos por pagamentos indexados a taxa Libor em dólares. Para mais informações, consultar Fabozzi (2005).

20 10 Schönbucher (2003) aborda este tema de forma detalhada. O autor propõe as seguintes simplificações: (i) Na ocorrência de um default, todos os devidos pagamentos e transferências ocorrem no mesmo instante; (ii) a influência da opção de entrega nos spreads de CDS pode ser ignorada; (iii) um evento de crédito ocorre em todos os defaults da referência do CDS (e somente nestes casos), não havendo risco legal 10 ; e (iv) todos os ativos envolvidos no modelo têm datas de pagamento coincidentes, abstraindo-se de convenções de contagem de dias. Nestas condições, Schönbucher (2003) propõe que na ausência de possibilidades de arbitragem, um título remunerando os investidores a taxa de juros flutuante livre de risco acrescida do spread do CDS 11 para o mesmo vencimento do título deverá estar ao par, ou seja, seu valor justo é seu valor de face somado aos juros acumulados. 2.3 A forma funcional da estrutura temporal de probabilidades condicionais de default Uma questão central no desenvolvimento desta dissertação diz respeito à forma paramétrica atribuída à estrutura temporal de probabilidades de default. Esta definição deve atender a alguns requisitos de forma a tornar sua aplicação adequada. 10 Neste caso, por risco legal deve-se entender o risco de especificação que pode prevenir que algum default seja considerado um evento de crédito. 11 Em um CDS convencional, na ocorrência de um default o comprador do seguro recebe apenas o principal nocional do contrato, desconsiderando juros acumulados em títulos da entidade de referência. Schönbucher (2003) introduz um ajuste no principal nocional do CDS com o objetivo de minimizar a imprecisão desta relação de arbitragem.

21 11 A forma assumida para estas curvas deve ser passível de ser intuitivamente associada à dinâmica de acontecimentos do mercado de títulos de dívida sujeitos ao risco de crédito, podendo ser associada aos fundamentos dos emissores das dívidas 12. Outro requisito importante é que a forma da estrutura a termo das taxas de juros ajustadas ao risco implicadas pela escolha nas intensidades sejam razoáveis. Mais um requisito do qual não se pode prescindir é a viabilidade da adoção da forma paramétrica nos exercícios de estimação, ressaltando-se a importância da simplicidade sempre que possível. Os gráficos da Figura 1 contêm exemplos de curvas de intensidades de default que atendem a todos os requisitos mencionados e que são justamente as formas utilizadas neste estudo. O exercício de estimação é realizado para curvas de intensidades Constantes por Partes e Lineares por Partes O modelo Constante por Partes Conforme proposto por Meres e Almeida (2006), no modelo Constante por Partes a estrutura temporal das intensidades de default é parametrizada de acordo com a expressão a seguir: (7) Onde denota a função indicador, que assume valor unitário se pertencer ao intervalo indicado e zero no caso contrário. 12 A título de exemplo, uma curva que apresente a forma de uma senóide dificilmente pode ser associada a fundamentos de emissores de dívida enquanto que uma curva com intensidades menores no início e maiores no final pode ser facilmente associada a incertezas a respeito da postura um governo futuro com relação à sua dívida soberana.

22 12 Eles conduzem uma análise interessante ao questionarem a implicação da escolha desta forma funcional na estrutura a termo das taxas de juros ajustadas ao risco. Os autores respondem a questão considerando o valor presente de um ativo com valor unitário em seu vencimento :,, (8) Onde é tal que e, denota o preço no instante de um ativo livre de risco de crédito com valor unitário em. Meres e Almeida (2006) observam que esta modelagem da curva de intensidades de default implica em um modelo paramétrico para a estrutura a termo das taxas de juros ajustadas pelo risco de default, conforme definido pela expressão a seguir: (9) Eles constatam que a estrutura a termo é composta por uma curva de juros livre de risco somada de uma constante e uma função hiperbólica que tem sua curvatura alterada de acordo com os diferentes níveis de probabilidades condicionais de default. No primeiro gráfico da Figura 2 é apresentado um exemplo de estrutura a termo dos spreads sobre a curva de juros livre de risco para uma taxa de perda fixa 0,5 e para níveis de probabilidades condicionais de default 0,06; 0,10 e 0,12 vigentes em intervalos definidos por 0; 5; 10 e 20.

23 O modelo Linear por Partes No modelo Linear por Partes a expressão paramétrica da estrutura temporal das intensidades de default é dada por: (10) Onde é tal que. Conforme apresentado no gráfico da Figura 1, neste modelo a curva de intensidades de default é uma função contínua composta por uma seqüência de retas com inclinações diferentes, definidas pelos, com um termo constante,, permitindo que a função assuma em 0 um valor diferente de zero. Em uma análise equivalente à realizada por Meres e Almeida (2006), é possível constatar a implicação desta escolha de forma funcional da estrutura de probabilidades condicionais de default na estrutura a termo das taxas de juros ajustadas ao risco. Constata-se que o modelo paramétrico desta estrutura é dado pela seguinte expressão 13 : 2 2 (11) 2 2 Onde é tal que. 13 Para se obter esta expressão basta colapsar o somatório presente no último termo da Equação 4 em uma integral e usar as áreas dos trapézios sob a curva de intensidades de default no cálculo desta.

24 14 Neste modelo o spread sobre a taxa de juros livre de risco é dado pela soma de uma constante, uma função linear e uma função hiperbólica cuja curvatura se altera de acordo com as diferentes inclinações da estrutura a termo das intensidades de default. No segundo gráfico da Figura 2 é apresentado um exemplo de curva de spreads para este modelo, para um taxa de perda fixa 0,5; 0,05 e inclinações 0,0080; 0,0040 e 0,0015 vigentes em intervalos definidos por 0; 5; 10 e 20. A simples inspeção visual do segundo gráfico da Figura 2 sugere que a estrutura a termo dos spreads seja uma curva suave, definida por uma função contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio. Uma análise mais detalhada da Equação 11 confirma este fato. A função apresentada no gráfico é uma reta até o instante 5. A alteração da inclinação da intensidade de default neste ponto altera a inclinação da reta e soma a esta uma hipérbole de forma que a derivada da função no ponto 5 não deixe de existir 14. Isto garante a suavidade da curva de spreads tornando esta escolha de forma para a estrutura temporal das probabilidades condicionais de default bastante razoável. 14 As alterações subseqüentes nas inclinações da estrutura de intensidades de default produzem a mesma dinâmica na curva de spreads, de alteração da inclinação da reta e da curvatura da hipérbole, de forma que a curva permaneça suave. O mecanismo pelo qual isto ocorre é simples: As alterações nas inclinações das retas são localmente anuladas pelas alterações nas curvaturas das hipérboles de forma que a função que representa os spreads mantenha-se diferenciável em todos os pontos.

25 15 3 Dados e Metodologia 3.1 Processo de estimação Utilizando a adaptação proposta na Seção 2.2, constroem-se, a partir de taxas de swaps de juros e de spreads de CDS para vencimentos, títulos sintéticos com pagamentos periódicos de juros pré-fixados com valores justos ao par por construção. A fórmula a seguir exprime esta igualdade:,, 1, 2,, 1 (12) Onde é a quantidade de pagamentos de juros do é título sintético, definida pelo seu vencimento e pela quantidade de pagamentos por ano ;, é a taxa do swap de juros para o vencimento no instante ;, é o spread de CDS também para o vencimento no instante ;, é o instante do é pagamento de juros do é título sintético (, ); e, é a taxa de juros ajustada ao risco de inadimplência da entidade de referência do CDS para o instante,. O termo 1, que multiplica o spread de CDS está associado à correção devida ao fato de o CDS não proteger juros acumulados 15. Assumindo que os spreads de CDS e as taxas de swaps de juros são observados com erro e que. é parametrizada pelas equações 9 e 11, aplica-se uma minimização não-linear do somatório dos erros quadráticos dos preços dos títulos sintéticos para se estimar os valores dos parâmetros de interesse:, 15 Consultar Schönbucher (2003).

26 16 1,, para a modelagem de intensidades Constantes por Partes; e e, 1,, para a modelagem Linear por Partes. Foram adotados três intervalos de vigência de cada parâmetro nos dois modelos estimados, definidos por 0; 5; 10 e 20 (ou seja, 3). Com esta escolha, busca-se dar ao modelo a capacidade de capturar percepções diferentes sobre as probabilidades de default de acordo com os prazos. No que concerne o parâmetro que representa a fração de perda na ocorrência de um default, o modelo apresenta uma deficiência clara por não permitir a estimação conjunta deste e das probabilidades condicionais de default, deficiência esta que é compartilhada por outros modelos relacionados. Os praticantes do mercado superam esta limitação assumindo que a fração de perda na ocasião do default é um valor constante associado à classificações mais genéricas do emissor (mercados emergentes ou desenvolvidos, emissores com ou sem grau de investimento e etc). Para a dívida soberana brasileira, geralmente se assume frações de perda entre 70% e 80% do valor de face. Tendo em vista que a determinação precisa deste parâmetro foge do escopo deste estudo, decidiu-se utilizar uma fração de perda constante no tempo 0,5, resultante de uma hipótese fraca a respeito do valor de mercado do título na ocorrência de um default (assumindo que um título valha metade de seu valor de face às vésperas de um default, uma fração de perda de 50% implicaria em uma perda de 75% do valor de face, em linha com os valores comumente utilizados). 3.2 Conjunto de dados No intuito de testar a capacidade do modelo para revelar a percepção dos agentes do mercado com relação ao risco da dívida soberana do Brasil, os

27 17 exercícios foram realizados para duas datas em momentos economicamente distintos para o país. Em maio e junho de 2007 o Brasil experimentava indicadores de risco em seus níveis históricos mais baixos e em apenas alguns meses, estes indicadores sofreram pioras significativas refletindo a degradação do cenário econômico mundial que se seguiu após o estouro da crise das hipotecas de alto risco nos Estados Unidos e a incerteza a respeito da saúde da economia americana e mundial de forma geral. Em fevereiro de 2008 os indicadores de risco do Brasil se encontravam em patamares inéditos desde 2006, ano em que o Brasil ainda estava no final de sua recuperação da crise de 2002 e em que ocorreu um evento de nervosismo na economia mundial (durante os meses de maio e junho) com efeito significativo sobre os preços de ativos arriscados. As datas escolhidas para os exercícios foram 31 de maio de 2007 e 11 de fevereiro de Foram utilizados spreads de CDS com referência nos títulos globais da dívida soberana brasileira 16 e taxas de swaps de juros pré-fixados contra a taxa Libor em dólares com dois pagamentos anuais para 13 prazos diferentes entre um e vinte anos 17. As curvas de juros livres de risco foram obtidas através das taxas Libor para prazos até um ano e pelas taxas de swaps de Libor para prazos entre um e vinte 16 Títulos Globais (Global Bonds) são títulos de dívida soberana emitidos por governos centrais para diversos prazos negociados nos mercados americano e europeu. 17 Swaps de Libor e CDS emitidos na mesma data possuem datas de pagamentos coincidentes. Um ajuste adicional se fez necessário nos valores dos spreads de CDS dado que nestes contratos o cálculo dos prêmios aplicáveis a cada pagamento utiliza o calendário ACT/360 enquanto os swaps utilizam o calendário 30/360.

28 18 anos 18. Todos os dados foram coletados em um terminal Bloomberg, sendo utilizadas as cotações dos provedores padrão para cada classe de informações 19. A Tabela 1 apresenta os valores de spreads CDS e de taxas de swaps de juros utilizados. A Tabela 2 contém as curvas de juros livres de risco. 18 A extração de taxas spot a partir de taxas de swaps foi realizada através de um bootstrapping. Para mais informações, consultar Fabozzi (2005). 19 Consultar o sítio para mais informações.

29 19 4 Resultados O exercício empírico consistiu na realização de quatro estimações diferentes, combinando as duas datas e os dois modelos paramétricos da estrutura temporal das intensidades de default. A Tabela 3 apresenta os resultados em um arranjo conveniente para a análise dos mesmos. Para a estimação de cada modelo são apresentados os parâmetros estimados e a raiz dos erros médios quadrados (RMSE). Acompanhando os parâmetros estão as probabilidades acumuladas de default implicadas pelas estimativas, para os intervalos selecionados 20. Os gráficos da Figura 3 apresentam as estruturas a termo das probabilidades condicionais de default dos modelos Constante por Partes e Linear por Partes respectivamente, para ambas as datas. Os gráficos da Figura 4 apresentam as probabilidades acumuladas de default implicadas pelas estimativas de cada modelo, também para ambas as datas. Fornecendo ainda mais informações a fim de se proceder com a análise dos resultados, são apresentados na Figura 5 gráficos das estruturas temporais dos spreads sobre as curvas de juros livres de risco implicados pelos parâmetros estimados no exercício. 4.1 Comparação entre modelos As estimações de ambos os modelos convergiram quando as alterações nos parâmetros de interesse foram superadas pela tolerância definida. Os RMSE obtidos no intervalo 0,12%; 0,59% podem ser considerados satisfatórios. 20 A probabilidade acumulada de default até o instante,, é calculada através da fórmula 1 consultar Hull (2005)., onde λ t é a probabilidade condicional de default. Para mais informações,

30 20 A comparação entre os modelos através dos RMSE sugere que a modelagem Linear por Partes fornece resultados mais precisos principalmente no exercício para o dia 11 de fevereiro de 2008 quando esta apresentou um RMSE de 0,12% contra um RMSE de 0,59% da modelagem Constante por Partes. Esta vantagem do modelo Linear por Partes é explicada pela maior flexibilidade que o mesmo fornece para a estrutura a termo dos spreads sobre curva de juros livres de risco. Os gráficos das estruturas temporais destes spreads evidenciam esta vantagem (Figura 5). Conforme mencionado na Seção 2.3.2, é possível observar que a curva de spreads implicada pelo modelo Linear por Partes apresenta um padrão suave, intuitivamente mais razoável e capaz de capturar com maior precisão as propriedades destes spreads. 4.2 Comparação entre datas Os gráficos das figuras 3, 4 e 5 fornecem claras evidências a respeito da distinção entre as percepções do risco da dívida soberana brasileira em maio de 2007 e fevereiro de Na análise das curvas de intensidades de default, chama a atenção não somente a diferença de patamar entre as datas como também a percepção mais elevada do risco de default no médio prazo, entre 5 e 10 anos, quando comparada ao longo prazo, entre 10 e 20 anos, para a estimação de fevereiro de As curvas de probabilidades acumuladas implicadas pelos parâmetros estimados também salientam a diferença entre as percepções. As curvas obtidas através das duas modelagens são bastante similares e indicam que a probabilidade da ocorrência de um evento de crédito em até 20 anos passou do nível de 0,48 para 0,63 de maio de 2007 para fevereiro de 2008.

31 21 As curvas de spreads sobre as taxas de juros livres de risco fornecem uma quantificação bastante conveniente do aumento do risco de crédito da dívida soberana brasileira de uma data para a outra. Concentrando a análise nos resultados obtidos através do modelo Linear por Partes, constata-se que o prêmio de risco exigido pelos investidores elevou-se para todos os prazos da curva, com aumentos de aproximadamente 30 bps na parte curta da curva até aumentos ao redor de 90 bps na parte longa, passando por aumentos no patamar de 120 bps para os prazos próximos de 8 anos.

32 22 5 Conclusão O objetivo principal do estudo foi propor um modelo livre de arbitragem para extração de probabilidades de default implícitas em spreads de Swaps de Crédito. Para tanto foi utilizado um modelo de forma reduzida que é uma adaptação do modelo discreto no tempo proposto por Duffie e Singleton (1999). Esta dissertação tem como contribuição a utilização de dados de CDS e a introdução de uma modelagem paramétrica mais flexível para a estrutura a termo das probabilidades condicionais de default, permitindo que estas tomem a forma de retas com inclinações não-nulas em intervalos arbitrários. Demonstrou-se que esta escolha possui uma implicação bastante conveniente na curva dos spreads sobre as taxas de juros livres de risco, fazendo com que a mesma apresente uma forma funcional suave e, principalmente, mais flexível. Foi realizado um exercício empírico no qual foram feitas estimações dos parâmetros de cada modelo (Constante por Partes e Linear por Partes) para duas datas com contextos distintos no que tange o risco da dívida soberana do Brasil. Os resultados evidenciaram uma clara vantagem da modelagem Linear por Partes da curva de intensidades de default e se mostraram capazes de fornecer bases de fácil interpretação para a avaliação dos riscos (probabilidades de default e spreads sobre as taxas de juros livres de risco). Ao prover um modelo simples de extração de probabilidades de default de um dado emissor de dívida utilizando somente dados de CDS este estudo se revela como uma alternativa no processo de apreçamento destes contratos. Os modelos mais utilizados pelos praticantes do mercado demandam informações de títulos de dívida na realização desta tarefa ou dependem da realização de um bootstrapping,

33 23 um procedimento eminentemente mais impreciso que a estimação paramétrica das probabilidades acumuladas 21. Uma extensão natural deste estudo seria a aplicação do modelo de apreçamento específico para CDS proposto por Duffie e Singleton (2003) na extração paramétrica das probabilidades de default, de forma similar ao que fora realizado nesta dissertação, mas relaxando a hipótese de recuperação de fração do valor de mercado. Esta atividade forneceria uma alternativa ainda mais precisa para a extração das probabilidades acumuladas de default implícitas em spreads de CDS permitindo a utilização da recuperação do valor de face, prática comumente utilizada pelos participantes do mercado. 21 O modelo de apreçamento de CDS do JP Morgan desempenha esta tarefa realizando um bootstrapping com a curva de spreads (para mais informações, consultar o material disponível em obrigando o usuário a interpolar spreads para vértices sem dados e ignorando o erro contido nos spreads de mercado. O modelo de Hull e White (2000) utiliza preços de títulos de dívida para calcular as probabilidades de default necessárias no processo de apreçamento de CDS, realizando também um processo de bootstrapping. Ambos os modelos são amplamente utilizados pelos participantes do mercado.

34 24 Referências Bibliográficas Blanco, R., Brennan S. e Marsh, I. W. (2005), An Empirical Analysis of the Dynamic Relation between Investment-Grade Bonds and Credit Default Swaps, Journal of Finance, Vol. 60, No. 5. Chacko, G., Sjöman, A., Motohashi, H. e Dessain, V. (2006), Credit Derivatives: A Primer on Credit Risk, Modeling and Instruments. Christensen, J. (2007), Joint Default and Recovery Risk Estimation: An Application to CDS Data, Working Paper. Duffie, D. (1999), Credit Swap Valuation, Financial Analysts Journal, Jan./Feb. Duffie D. e K. Singleton (1999), Modeling Term Structure of Defaultable Bonds. Review of Financial Studies, 12, 4, Duffie D. e Singleton K. (2003), Credit Risk. Princeton: Princeton University Press. 91. Fabozzi, F. e Mann, S. (2005), The Handbook of Fixed Income Securities, 7a ed., pp , , Houweling, P. e Vorst, T. (2005), Pricing Default Swaps: Empirical Evidence, Journal of International Money and Finance, Vol. 24, No. 8. Hull, J. (2005), Options, Futures and Other Derivatives, 6a ed., Hull, J. e White, A. (2000), Valuing Credit Default Swaps: No Counterparty Default Risk, Journal of Derivatives, Vol. 8, No. 1, (Fall 2000), pp Jarrow et al. (1997), A Markov Model for the Term Structure of Credit Risk Spreads, Review of Financial Studies. v Jarrow, R. A. e Turnbull, S. M. (1995), Pricing Derivatives on Financial Securities Subject to Credit Risk, Journal of Finance, Vol. L, No. 1, Cornell University, and Queen's University (Canada) (Mar-1995), pp Litterman, R. e Iben, T. (1991), Corporate Bond Valuation and the Term Structure of Credit Spreads, Journal of Portfolio Management, Spring, Meres, B. e Almeida, C. (2006), Extracting Default Probabilities and Recovery Rates Values from Sovereign Bonds, Working Paper, Fundação Getúlio Vargas. Nelson, C. R. e Siegel, A. F. (1987), Parsimonious Modeling of Yield Curves, Journal of Business, 60, 4, Pan, J. e Singleton, K. (2005), Default and Recovery Implicit in the Term Structure of Sovereign CDS Spreads, Working Paper, Sloan School of Management.

35 25 Schönbucher, P. (2003), Credit Derivatives Pricing Models: Models, Pricing and Implementation. Svensson, L. (1994), Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden , CEPR Discussion Paper Series n o 1051 The Economist. Bye-bye EMBI. Edição de 24 de fevereiro de 2007.

36 26 Apêndices Tabela 1: Taxas de Swaps e Spreads de CDS 31-Mai Fev-08 Prazo [Anos] Taxa de Swap Spread CDS [bps] Taxa de Swap Spread CDS [bps] % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 220 Tabela 2: Taxas de Juros Livres de Risco Prazo [Anos] 31-Mai Fev-08 Prazo [Anos] 31-Mai Fev % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

37 27 Tabela 3: Resultados Parâmetros 31-Mai Fev-08 Constante por Partes Linear por Partes Estimações Probabilidades Acumuladas Estimações Probabilidades Acumuladas RMSE 0.30% 0.59% 0-5 anos anos anos RMSE 0.23% 0.12% 0-5 anos anos anos Figura 1: Probabilidades Condicionais de Default 0.13 Constante por Partes 0.13 Linear por Partes Intensidade anualizada Intensidade anualizada Maturidade [Anos] Maturidade [Anos]

38 28 Figura 2: Estrutura a Termo dos Spreads 550 Constante por Partes 550 Linear por Partes Spread [bps] 400 Spread [bps] Maturidade [Anos] Maturidade [Anos] Figura 3: Resultados - Probabilidades Condicionais de Default 0.07 Constante por Partes 31-Mai Fev Linear por Partes 31-Mai Fev Intensidade Anualizada Intensidade Anualizada Maturidade [Anos] Maturidade [Anos]

39 29 Figura 4: Resultados - Probabilidades Acumuladas de Default 0.7 Constante por Partes 31-Mai Fev Linear por Partes 31-Mai Fev Prob. Acumulada de Default Prob. Acumulada de Default Maturidade [Anos] Maturidade [Anos] Figura 5: Resultados - Estrutura a Termo dos Spreads 300 Constante por Partes 31-Mai Fev Linear por Partes 31-Mai Fev Spread [bps] 150 Spread [bps] Maturidade [Anos] Maturidade [Anos]