Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos métodos de simulação GVW e MQMC

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1 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza Banco Central do Brasil Setor Bancário Sul (SBS), Quadra 3, Bloco B Cep: Brasília DF Brasil giuliano.iorio@bcb.gov.br Carlos Patricio Samanez Departamento de Engenharia Industrial/PUC-Rio Rua Marquês de São Vicente, 225, Gávea Cep: Rio de Janeiro RJ Brasil cps@ind.puc-rio.br Gustavo Santos Raposo Companhia Vale do Rio Doce - Gerência de Risco Operacional Av. Graça Aranha, 26, Centro Cep: Rio de Janeiro RJ Brasil gustavo.raposo@cvrd.com.br Resumo O presente trabalho consiste na avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda através da aplicação de duas das mais modernas e eficientes metodologias de simulação para avaliação de derivativos: Mínimos Quadrados de Monte Carlo (MQMC) e Grant, Vora e Weeks (GVW). Buscou-se analisar a eficiência da metodologia de Simulação de Monte Carlo considerando suas inovações mais recentes aplicáveis à avaliação de derivativos. Um grande desafio do trabalho consistiu na adaptação das duas metodologias consideradas de forma a permitir avaliar um título conversível complexo, já que ambas foram desenvolvidas e aplicadas pelos autores para o apreçamento de opções americanas tradicionais. Assim, os dois modelos foram aplicados, realizando-se a comparação entre seus resultados e aqueles apresentados por McConnell e Schwartz (1986) e por Samanez et al. (2002), demonstrando-se a aplicabilidade e versatilidade dos dois modelos para a avaliação de títulos como o considerado no trabalho. Palavras-chave: Títulos conversíveis; Derivativos; Opções; Simulação de Monte Carlo; Métodos numéricos. Abstract The present paper values callable and redeemable convertible bonds by means of two of the most modern and efficient simulation methodologies for derivative pricing: Least Squares Monte Carlo (LSM) and Grant, Vora & Weeks (GVW). An attempt was made at the evaluation of the efficiency of the Monte Carlo Simulation Methodology considering its more recent features applicable to derivative pricing. A major challenge in this paper was the use of these two models in the valuation of complex convertible bonds, given that both were originally developed and used by their authors for regular American options. Therefore, the models were applied, and their results were compared to those Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

2 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. presented by McConnell and Schwartz (1986) and Samanez et al. (2002), demonstrating the models reasonable applicability and versatility for pricing bonds of the type considered in the paper. Keywords: Convertible securities; Derivatives; Options; Monte Carlo simulation; Numerical methods. 1. Introdução Conforme Mayers (1998), uma alternativa interessante para a captação de recursos é a emissão de títulos conversíveis com opções implícitas no contrato que, além de apresentar-se como instrumento de captação mais flexível em relação a um título convencional, apresenta custos mais baixos, dentre outras coisas, devido a economias de escala e conversibilidade. Assim, pelas suas particularidades inerentes, títulos conversíveis como o LYON (Liquid Yield Option Note), objeto deste artigo, podem se transformar em meios importantes de captação de recursos para as empresas, sendo interessantes tanto para instituições emissoras quanto para os investidores de maneira geral. Além desta introdução, o presente artigo está dividido em quatro seções. A primeira detalha aspectos gerais inerentes ao LYON, descrevendo seu funcionamento, suas características e particularidades. Na segunda seção, são apresentadas as metodologias e os passos a serem seguidos quando da definição dos dois modelos de simulação usados no apreçamento do título em questão. A terceira seção consiste na aplicação dos modelos e na comparação dos resultados obtidos com aqueles apresentados por Samanez et al. (2002) cuja solução do problema se deu a partir da discretização da equação diferencial do título e de sua resolução pelo Método de Diferenças Finitas Implícito - e McConnell e Schwartz (1986). A última seção é dedicada aos comentários e conclusões finais. 2. Detalhamento do título Lançados inicialmente em 1985, os LYONs vêm despertando atenção por parte dos investidores internacionais, os quais se mostram atraídos pelas peculiaridades destes contratos. Dentre as principais características destes títulos, podemos destacar: Sem pagamento de cupom - No caso de não haver a conversibilidade ou o exercício das opções embutidas no título, só haverá ocorrência de fluxo de caixa na data de vencimento. Conversível em um número específico de ações - De acordo com a taxa de conversão definida no contrato, o LYON pode ser convertido, a qualquer instante de tempo, em um determinado número de ações da empresa emissora. Prazo - Geralmente de 15 a 20 anos. Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

3 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Opção de venda - São previstas em contrato datas nas quais os investidores poderão se desfazer de suas posições originais por um determinado preço de exercício. Opção de compra - O emissor tem o direito de chamada sobre o ativo emitido, a qualquer instante, e não somente nas datas em que os preços de exercício estão previstos no contrato. Esta opção mostra-se interessante para o emissor, uma vez que confere maior flexibilidade em relação ao passivo adquirido quando do lançamento dos títulos, tornando possível a adequação da dívida em relação a novas condições de mercado. Proteção à opção de compra - Quando suave, estabelece que a opção de compra só poderá ser exercida após um determinado período, ou até que o preço da ação, referenciada neste contrato como ativo-base, ultrapasse determinado patamar. Alguns contratos consideram apenas o período em que a opção de compra não poderá ser exercida, não importando o nível no qual esteja cotado o ativo-base ou seja, neste caso diz-se que a proteção é rígida. Prêmio sobre o valor de conversão - Representa a diferença percentual entre o valor atual do título conversível e o valor de conversão corrente (mede o ganho obtido pela utilização do LYON como ferramenta de captação, em detrimento do lançamento/emissão de ações). Respondendo por uma parcela razoável do mercado americano de títulos conversíveis, os LYONs apresentam inúmeras vantagens em relação às ferramentas usuais de captação. Dentre elas, merecem destaque a inexistência de desembolsos antes do vencimento do título (exceto no exercício da opção de venda ou na conversão por parte do investidor) e o perfil de longo prazo do ativo (os prazos variam de 15 a 20 anos). 3. Os modelos Alguns modelos atuais para apreçamento de derivativos baseados em simulações de Monte Carlo apresentam maior flexibilidade e aplicabilidade, derrubando a crença de que os métodos de simulação seriam muito complexos na avaliação de opções americanas. Dois modelos que se destacam neste sentido são os modelos de Grant, Vora e Weeks (1996) e o modelo dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo, de Longstaff e Schwartz (2001). Este se fundamenta na estimação dos valores de manter a opção viva, o chamado valor de continuação, que é estimado por um modelo de regressão por mínimos quadrados ordinários. Já aquele se baseia na determinação das curvas de gatilho de forma recursiva (backward), para que então o preço do derivativo seja encontrado a partir de simulações de Monte Carlo ou Quase-Monte Carlo O método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo (MQMC) O Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo, desenvolvido por Longstaff e Schwartz, baseia-se na técnica de programação dinâmica, na qual, a Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

4 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. cada instante anterior à data de vencimento da opção americana, o proprietário compara o valor obtido a partir do exercício antecipado com o seu valor de continuação, para então tomar a decisão ótima. A estratégia de exercício ótimo da opção americana é determinada fundamentalmente pela expectativa condicional do seu valor de continuação. A grande contribuição dos autores foi identificar que a expectativa condicional poderia ser estimada a partir de informações obtidas na simulação, usando o método dos mínimos quadrados ordinários. Desta forma, o método MQMC de apreçamento de opções fundamenta-se na estimação dos valores de manter a opção viva em cada instante, que são obtidos por aproximação através de uma função de regressão (mínimos quadrados ordinários), resultando em uma função de expectativa condicional para cada instante. O valor da opção em qualquer data será então o maior entre o valor obtido através da função de expectativa condicional e os valores da opção nos casos em que houver o seu exercício nesta data. Após identificar a matriz de fluxos de caixa gerada a partir das decisões ótimas de exercício, o valor do derivativo será então obtido descontando-se todos os fluxos a valor presente, e obtendo-se a média de todas as trajetórias Avaliação do LYON através do método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo O LYON envolve opções de venda e conversibilidade por parte do investidor, além de opção de compra por parte do emissor. Desta forma, o procedimento para apreçamento deste título, a partir do Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo (MQMC), deve abordar conjuntamente todas as opções presentes no título, considerando as estratégias ótimas do emissor e do investidor. Seguindo o procedimento utilizado por Brennan e Schwartz (1977), a premissa adotada aqui diz que cada parte possui a seguinte estratégia ótima: os emissores seguem a estratégia de compra que minimiza o valor do título em cada instante; os investidores seguem as estratégias de venda e conversão que maximizam o valor do título. Assim, o investidor busca sempre maximizar o valor do título a todo instante, já que o derivativo em questão representa um investimento para o mesmo. Por outro lado, o emissor busca sempre minimizar o valor do derivativo, já que a partir da emissão este representa uma dívida para o mesmo. Este padrão de comportamento do investidor e do emissor definirá as estratégias ótimas de conversão e exercício das opções de compra e venda, determinando as quatro estratégias fundamentais para o apreçamento do título, que são a estratégia de compra, a estratégia de venda, a estratégia de conversão e a estratégia no vencimento: Estratégia de conversão - A conversibilidade é um direito do investidor que, no objetivo de maximizar o valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor deste seja inferior ao valor de conversão. Consequência: em nenhum Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

5 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos instante o valor do título poderá ser menor que o valor de conversão, pois, neste caso, o mesmo seria convertido em ações. Estratégia de compra - A opção de compra é um direito do emissor que, no objetivo de minimizar o valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor deste exceda o preço de exercício da opção de compra. Vale lembrar que o exercício da opção de compra pode ocorrer fora das datas previstas no contrato, sendo o preço de exercício ajustado à taxa de juros implícita entre as datas de exercício. Consequência: em nenhum instante o valor do título poderá exceder o maior entre o preço de exercício da opção de compra e o valor de conversão, pois, neste caso, a opção de compra seria exercida. Estratégia de venda - A opção de venda é um direito do investidor que, no objetivo de maximizar o valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor deste seja inferior ao preço de exercício da opção de venda. Conseqüência: em qualquer data de exercício de opção de venda prevista, o valor do título não poderá ser menor que o preço de exercício desta, pois, neste caso, a mesma seria exercida. Estratégia no vencimento No vencimento do título, o investidor pode escolher entre receber o valor de face do mesmo, ou convertê-lo em ações e ficar com o valor de conversão. Como se trata de uma escolha do investidor, este irá escolher a opção que lhe gerar o maior valor. Conseqüência: na data de vencimento, o valor do título será o maior entre o valor de face e o valor de conversão. Assim, após se gerar a matriz com os preços do ativo-objeto para cada trajetória simulada, deve-se então verificar o exercício ótimo das opções e da conversibilidade no vencimento. De acordo com a definição das estratégias ótimas, o valor do título será o maior entre o valor de face e o valor de conversão. A primeira variável da regressão que definirá a função de continuação será representada pelos valores do ativo-objeto no instante T-1 em cada uma das trajetórias simuladas, mas tomados somente os casos em que a trajetória tenha gerado o exercício de uma das opções ou a sua conversão nesta data. Os valores para o título no vencimento, referentes a estas trajetórias, são então descontados até a data anterior ao vencimento, T-1. Estes valores descontados são tomados então para se efetuar a regressão com os preços do ativo-objeto na data T-1 encontrados na simulação correspondente, e o resultado será a função que representa o valor de continuação, ou seja, a função de expectativa condicional. O valor da opção na data anterior ao vencimento é obtido substituindo-se os valores do ativo-objeto, em T-1, de cada trajetória na função de continuação, e comparando-se o resultado encontrado com os preços de exercício das opções de compra e venda, além do valor de conversão, todos referentes ao instante T-1. Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

6 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. Como a estratégia do investidor é sempre a de maximizar o valor do título, tem-se que: Se for uma data em que há a possibilidade de exercício da opção de venda, o valor do título será então o maior entre o valor obtido através da função de expectativa condicional e o preço de exercício da opção de venda nesta data. Como a conversão é permitida em qualquer instante, o valor do título será o maior entre o valor obtido através da função de expectativa condicional e o valor de conversão. Como a estratégia do emissor é sempre a de minimizar o valor do título temse que: Quando o emissor exerce a opção de compra, o investidor recebe o maior entre o preço de exercício da opção e o valor de conversão. Assim, o valor do título será o menor entre o valor obtido através da função de expectativa condicional e o máximo entre o valor de conversão e o preço de exercício da opção de compra. A avaliação do derivativo prossegue recursivamente. O passo seguinte é examinar os exercícios ótimos no instante T-2, e o procedimento utilizado é semelhante ao aplicado no instante T-1. Observando-se a matriz que contém as trajetórias de preços do ativo, o primeiro parâmetro da regressão (X) será representado pelos valores do ativoobjeto em T-2, mas tomados somente os casos em que tenha sido gerado o exercício de uma das opções ou a conversão do título. O segundo parâmetro da regressão (Y) será definido novamente como o valor descontado dos fluxos de caixa futuros do derivativo referentes a estas trajetórias, caso não haja o exercício das opções ou a conversão em T-2. Cabe destacar que os valores usados para Y correspondem aos fluxos de caixa subseqüentes aos instantes T-1 ou T, e não especificamente aos valores estimados em T-1 através da função de continuação. Assim, como as opções e o direito de conversão presentes no derivativo só podem ser exercidos uma única vez, os fluxos de caixa futuros poderão ocorrer em T-1 ou em T. Obviamente, os fluxos de caixa referentes ao instante T-1 deverão ser descontados por um período, e aqueles recebidos em T-2 deverão ser descontados por dois períodos. Após encontrar a nova função de continuação - função de expectativas condicionais - através da regressão, obtém-se o valor de continuação para cada trajetória de preços substituindo-se nesta os valores do ativo-objeto em T-2 de cada trajetória. O passo seguinte é comparar o resultado encontrado com os preços de exercício das opções de compra e venda, além do valor de conversão, conforme realizado para o instante T-1. Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

7 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Este procedimento deve ser então realizado recursivamente até o instante imediatamente seguinte à data de emissão. Após identificar a matriz de fluxos de caixa gerada a partir das decisões ótimas do investidor e do emissor, o valor do título será então obtido descontando-se todos os fluxos a valor presente, e obtendo-se a média de todas as trajetórias O método de Grant, Vora e Weeks (GVW) Com base nas decisões ótimas do investidor, o modelo de Grant, Vora e Weeks (1996) (GVW) determina as curvas de gatilho com o uso de simulações de Monte Carlo ou Quase-Monte Carlo. A identificação dos valores críticos do ativo-objeto é realizada de forma recursiva (backward), quando então o preço do derivativo é encontrado através de novas simulações pela média dos fluxos de caixa gerados em cada trajetória. De forma a identificar o preço de exercício crítico para cada instante discretizado, as simulações iniciais são realizadas do instante imediatamente anterior ao vencimento, passando de período a período, até que se chegue à data de emissão. Após esta etapa, ou seja, uma vez determinada a curva que representa os preços críticos para exercício antecipado em cada instante, o valor da opção é computado através de novas simulações, desta vez a partir do instante inicial, de maneira análoga à estimação do valor de uma opção européia Avaliação do LYON através do método de Grant, Vora e Weeks (GVW) Tal como na aplicação do método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo, o procedimento para apreçamento deste título a partir do método de Grant, Vora e Weeks (GVW) deve abordar as opções de compra e venda e a conversibilidade conjuntamente, considerando as estratégias ótimas do emissor e do investidor, definidas a partir das mesmas premissas adotadas no método MQMC. O método GVW depende da determinação das curvas de gatilho através do uso de simulações de Monte Carlo ou Quase-Monte Carlo. Tratando-se da avaliação do LYON, torna-se necessário identificar os preços críticos do ativoobjeto, tanto para o exercício da opção de compra por parte do investidor, quanto para o exercício da opção de venda e da conversão em ações por parte do investidor. Assim, haverá neste caso três curvas de gatilho representando cada opção e a conversibilidade, que deverão ser encontradas em conjunto. Portanto, supondo as estratégias ótimas do emissor e do investidor, a análise recursiva a partir da data de vencimento da opção, realizada por um modelo de programação dinâmica, deve ser feita de forma a avaliar a alternativa mais atraente. Isto equivale à alternativa que minimiza o valor do título do ponto de vista do emissor, no que diz respeito ao exercício da opção de compra ou à manutenção do título no mercado. Do ponto de vista do investidor, deverá ser observada qual é a alternativa mais atraente (isto é, a que maximiza o valor do título em cada Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

8 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. instante), entre exercer a opção de venda, converter o título em ações do emissor ou mantê-lo em operação. O processo de otimização se inicia na data imediatamente anterior ao vencimento, que representa a última data de possível exercício antecipado anterior ao vencimento do título. O emissor e o investidor devem tomar a decisão de exercer seus direitos neste instante ou manter o título vivo até a data do próximo exercício, quando se deverá tomar uma nova decisão 1. Repetindo-se este procedimento recursivamente, após identificar os preços críticos para todos os instantes, formando as curvas de gatilho, realizam-se novas simulações a partir do instante inicial, e o valor do título será a média aritmética dos fluxos de caixa obtidos em cada trajetória, descontados para a data de emissão. Assim, apresenta-se a seguir a descrição dos passos necessários para a avaliação do LYON de acordo com o método Grant, Vora e Weeks: 1º Passo - Na data de vencimento (T) o investidor pode escolher entre receber o valor de face do título e convertê-lo em ações do emissor. As decisões ótimas no vencimento são definidas na condição de contorno de vencimento, que mostra que o valor do título será o maior entre o valor de face e o valor de conversão. Desta forma, após discretizar o tempo até o vencimento do título em um número finito de intervalos, adota-se como preço crítico do ativo-objeto na data de vencimento (S * T) aquele que gera um valor de conversão igual ao valor de face do título (F). Onde: CR T = taxa de conversão no instante de tempo T F = valor de face do título S * T = preço crítico do ativo-objeto na data de vencimento 2º Passo Para o instante imediatamente anterior ao vencimento do título (T 1), adota-se como sendo o preço inicial do ativo-objeto um valor igual ou próximo ao preço crítico do ativo-objeto no vencimento, S * T, ou seja, S * T 1 S * T. Iniciam-se então as simulações a partir de S * T 1, chegando-se a diversos valores para o título no instante T. O valor final do título em T-1 será a média desses valores descontados por um período. Dá-se início ao processo de busca dos valores críticos do ativo-objeto em T-1, referentes às opções de compra e venda e à conversibilidade: 1. Na data de vencimento o emissor não possui direitos, e o investidor tem a opção de escolher entre ficar com o valor de face do título ou convertê-lo em ações. Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

9 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos a) Se o valor encontrado para o título em T-1 atender à condição de indiferença entre exercer o direito de conversão e manter o título no mercado, ou seja, se atender à equação CR T 1 S * T 1,CV = e r t E T 1 [L(S * T )], ter-se-á o valor crítico do ativo-objeto no instante T-1, no que se refere ao exercício do direito de conversão. Caso a condição anterior não seja atendida, deve-se realizar um decréscimo no valor de S * T e reiniciar o processo de busca com S ** T 1 = S * T 1 ε. b) Se o valor encontrado para o título em T-1 atender à condição de indiferença entre exercer a opção de compra ou manter o título, ou seja, se atender à equação S * T 1,C X C = e r t E T 1 [L(S * T )], ter-se-á o valor crítico do ativo-objeto no instante T-1, no que se refere ao exercício da opção de compra. Caso a condição anterior não seja atendida, deve-se realizar um acréscimo no valor de S * T e reiniciar o processo de busca com S ** T 1 = S * T 1 + ε. c) Se o valor encontrado para o título em T-1 atender à condição de indiferença entre exercer a opção de venda ou manter o título, ou seja, se atender à equação X P S * T 1,P = e r t E T 1 [L(S * T )], ter-se-á o valor crítico do ativo-objeto no instante T-1, no que se refere ao exercício da opção de venda. Caso a condição anterior não seja atendida, deve-se realizar um decréscimo no valor de S * T e reiniciar o processo de busca com S ** T 1 = S * T 1 + ε. Onde: X C = preço de exercício da opção de compra; X P = preço de exercício da opção de venda; E T 1 [L(S * T )] = valor esperado em T-1 do valor do Lyon dados os preços críticos (opção de compra, venda e conversibilidade) do ativo-objeto em T. Cabe destacar que em T só há o preço crítico da conversibilidade; CR T 1 = taxa de conversão; S * T 1,C = preço crítico do ativo-objeto em T-1 relativo ao exercício da opção de compra; S * T 1,P = preço crítico do ativo-objeto em T-1 relativo ao exercício da opção de venda; S * T 1,CV = preço crítico do ativo-objeto em T-1 relativo ao exercício da conversibilidade. Assim, após a realização dos dois primeiros passos, ter-se-á os valores críticos do ativo-objeto em T-1, no que se refere ao exercício das opções de compra, venda e conversão. 3º Passo Encontrados os três valores críticos do ativo-objeto em T-1: S * T 1,C, S * T 1,P, S * T 1,CV, deve-se então continuar o processo de busca de preços críticos repetindo o 2º passo recursivamente até o instante inicial, ou seja, refazendo-o Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

10 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. desde o instante T-2 até a data seguinte à de emissão do título. Para o instante T- 2, o título deverá ser avaliado em cada momento posterior ao tempo em questão, ou seja, nos instantes T-1 e T, respeitando sempre o processo decisório de exercer as opções ou convertê-lo quando o preço simulado do ativo ultrapassar uma das curvas de gatilho representadas até então pelos preços críticos obtidos para T-1 e T. 2 O valor final da opção em T-2 será a média dos valores encontrados da opção em cada simulação, descontados para a data T-2. Assim, procedendo conforme os itens a, b e c do 2º passo, a partir das condições de indiferença entre exercer cada opção e converter ou manter o título no mercado, ter-se-á os valores críticos do ativo-objeto no instante T-2. Seguindo este procedimento de forma recursiva, o processo de busca dos valores críticos do ativo-objeto em T-2 referentes às opções de compra e venda e à conversibilidade é apresentado abaixo: a) Após iniciarem-se as simulações em T-2 partindo de um preço crítico para o exercício do direito de conversão em T-2 igual àquele encontrado para T-1 (S * T 2,CV = S * T 1,CV), o valor final do título em T-2 será a média dos valores encontrados para o título em cada simulação, descontados para a data T-2. Se o valor encontrado para o título em T-2 atender à condição de indiferença entre exercer o direito de conversão e manter o título, ou seja, se atender à equação CR T 2 S * T 2,CV = e r t E T 1 [L(S * T )], ter-se-á o valor crítico do ativo-objeto no instante T-2, no que se refere ao exercício do direito de conversão. b) Após iniciarem-se as simulações em T-2 partindo de um preço crítico para o exercício da opção de compra em T-2 igual àquele encontrado para T-1 (S * T 2,C = S * T 1,C), o valor final do título em T-2 será a média dos valores encontrados do título em cada simulação, descontados para a data T-2. Se o valor encontrado para o título em T-2 atender à condição de indiferença entre exercer a opção de compra e manter o título, ou seja, se atender à equação S * T 2,C X C = e r t E T 2 [L(S * T, S * T 1)], ter-se-á o valor crítico do ativo-objeto no instante T-2, no que se refere ao exercício da opção de compra. c) Após iniciarem-se as simulações em T-2 partindo de um preço crítico para o exercício da opção de venda em T-2 igual àquele encontrado para T-1 (S * T 2,P = S * T 1,P), o valor final do título em T-2 será a média dos valores encontrados do título em cada simulação, descontados para a data T-2. Se o valor encontrado para o título em T-2 atender à condição de indife- 2. Lembrando que a curva de gatilho da opção de compra representa um limite superior contra o exercício antecipado; ou seja, se em uma trajetória for gerado um valor para o ativo-objeto superior aos preços críticos da opção de compra, esta será exercida imediatamente. Já as curvas de gatilho da opção de venda e da conversibilidade representam limites inferiores; ou seja, se em uma trajetória for gerado um valor para o ativo-objeto inferior aos preços críticos da opção de venda ou da conversibilidade em um determinado instante, estas serão exercidas imediatamente. Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

11 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Onde: rença entre exercer a opção de venda e manter o título, ou seja, se atender à equação X P S * T 2,P = e r t E T 2 [L(S * T, S * T 1)], ter-se-á o valor crítico do ativo-objeto no instante T-2, no que se refere ao exercício da opção de venda. E T 2 [L(S * T, S * T 1)] = valor esperado do Lyon em T-2, dados os preços críticos (opção de compra, venda e conversibilidade) do ativo-objeto em T-1 e em T. 4º passo - Após a construção das curvas de gatilho a partir dos três passos anteriores, o passo seguinte consiste em realizar nova simulação a partir da data de emissão do título, considerando o preço inicial do ativo-objeto S 0. O preço final do título será o valor médio de cada trajetória trazido a valor presente. 4. Aplicação do modelo Para avaliar os resultados obtidos pelos modelos aplicados neste artigo, torna-se necessário um parâmetro de comparação. Assim, a comparação será feita com os resultados obtidos por McConnell e Schwartz (1986), que avaliaram uma emissão no mercado norte-americano usando métodos numéricos tradicionais, a mesma metodologia utilizada por Samanez et al. (2002). Para a aplicação dos métodos de simulação propostos neste trabalho, utilizaram-se os mesmos valores adotados por Samanez et al. (2002) como parâmetros de entrada: volatilidade anual do preço do ativo-objeto - 30% a.a., taxa de juros livre de risco - 11,21% a.a., e taxa de dividendos (dividend yield) - 1,6% a.a. Os valores reais de fechamento do título entre a data de emissão (t) e alguns dias posteriores a essa data são apresentados na Tabela 1. A Tabela 2 mostra os erros de previsão dos modelos, ou seja, as diferenças entre valores observados no mercado e valores previstos pelo método. Pode-se observar na Tabela 2 que o erro de previsão foi sempre menor no método de Samanez et al. (2002) do que naqueles utilizados como parâmetro de comparação. Ainda assim, o erro apresentado no método GVW foi sempre menor do que aquele apresentado por Schwartz e McConnell e obtido com o MQMC. O maior erro apresentado pelo método de Samanez et al. (2002) foi de 1,76%, contra 2,52% dos métodos de Schwartz e McConnell e GVW. Quanto ao método MQMC, este também apresentou resultados satisfatórios, e seu maior erro de previsão foi de 3,96%. Além do apreçamento propriamente dito, os métodos utilizados neste artigo permitem que se realizem análises de sensibilidade do valor do título frente a mudanças nos valores usados para os parâmetros de entrada no chamado cenário-base, possibilitando melhor visualização dos riscos envolvidos no contrato. Essas variações podem ter origem tanto em uma mudança repentina destes parâmetros quanto em uma má estimativa dos mesmos. Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

12 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. Tabela 1. Resultados. Data Preço de Preço de Preço Preço Preço Preço fechamento fechamento calculado calculado calculado calculado da ação do LYON pelo pelo pelo pelo modelo de modelo de modelo modelo Schwartz Samanez MQMC GVW e McConnell et al. t 52,25 258,75 262,70 260,56 266,10 262,30 t+1 53,00 258,75 264,60 262,57 268,26 263,23 t+2 52,63 257,50 263,70 261,61 267,11 261,89 t+3 52,00-262,10 260,02 264,65 260,85 t+4 52,38 257,50 263,00 261,02 266,32 262,15 t+5 52,75 257,50 264,00 262,04 267,69 263,99 t+8 52,50 257,50 263,30 261,42 267,08 261,98 t+9 53,25 260,00 265,30 263,43 268,05 264,65 t+10 54,25 265,00 267,90 266,14 270,92 267,80 t+11 54,25 265,00 267,90 266,18 271,46 266,96 t+12 54,00 265,00 267,20 265,53 271,09 266,01 Tabela 2. Erros de previsão dos vários métodos. Data Erro do modelo Erro do modelo Erro do modelo Erro do modelo de Schwartz de Samanez MQMC GVW e McConnell et al. t 3,95 1,53% 1,81 0,70% 7,35 2,84% 3,55 1,37% t+1 5,85 2,26% 3,82 1,48% 9,51 3,67% 4,48 1,73% t+2 6,20 2,41% 4,11 1,60% 9,61 3,73% 4,39 1,71% t t+4 5,50 2,14% 3,52 1,37% 8,82 3,42% 4,65 1,81% t+5 6,50 2,52% 4,54 1,76% 10,19 3,96% 6,49 2,52% t+8 5,80 2,25% 3,92 1,52% 9,58 3,72% 4,48 1,74% t+9 5,30 2,04% 3,43 1,32% 8,05 3,10% 4,65 1,79% t+10 2,90 1,09% 1,14 0,43% 6,26 2,36% 2,80 1,06% t+11 2,90 1,09% 1,18 0,45% 5,71 2,16% 1,96 0,74% t+12 2,20 0,83% 0,53 0,20% 6,09 2,30% 1,01 0,38% A seguir são apresentados os resultados de algumas análises de sensibilidade realizadas, as quais tomaram por base a volatilidade do preço da ação e a taxa de juros empregada no modelo de apreçamento. Sensibilidade em relação a mudanças na volatilidade da ação Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

13 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Tabela 3. Sensibilidade do valor do título na emissão frente a mudanças na volatilidade. Volatilidade da ação Método 0,270 0,285 0,300 0,315 0,330 MQMC 262,48 264,26 265,87 267,29 268,57 GVW 258,94 260,69 261,44 263,89 265,71 Tabela 4. Variação percentual do valor do título na emissão em função de mudanças na volatilidade. Volatilidade da ação Método 0,270 0,285 0,300 0,315 0,330 MQMC -1,27% -0,61% 0,00% 0,54% 1,02% GVW -0,96% -0,29% 0,00% 0,94% 1,63% As Tabelas 3 e 4 ilustram a sensibilidade do valor do título na data de emissão frente a mudanças na volatilidade do preço da ação (ativo-objeto), de acordo com os dois métodos propostos. Elevações na volatilidade provocam aumentos tanto no valor da opção de compra (direito do emissor) quanto no da opção de venda e no do direito de conversão (direitos do investidor). Identificar o efeito final de mudanças na volatilidade sobre o preço do título é particularmente interessante. A Tabela 3 exibe os preços, enquanto a Tabela 4 fornece a variação percentual em relação ao cenário-base (volatilidade igual a 0,3). Pode-se observar que o valor do título aumenta monotonicamente com aumentos na volatilidade da ação (ativo-objeto). Sensibilidade em relação a mudanças na taxa de juros Uma das características presentes no LYON é a possibilidade do investidor exercer a opção de compra de acordo com as datas e os preços de exercício relacionados no contrato. A opção de venda será especialmente valiosa para o investidor se a taxa de juros aumentar de forma acentuada (e inesperada) durante o prazo do título. Neste caso, o investidor exerceria a opção de venda e aplicaria o valor recebido à nova taxa. Por outro lado, a opção de compra se mostrará especialmente valiosa se a taxa de juros cair de forma abrupta em algum momento anterior ao vencimento do título. Neste caso, o emissor exerceria a opção de compra e emitiria um novo título a um custo mais baixo. Assim, percebe-se que as variações da taxa de juros podem produzir diversos efeitos sobre o preço do título, tornando imprescindível a análise de sensibilidade do mesmo frente a este parâmetro. A seguir são apresentadas as tabelas comparativas: Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

14 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. Tabela 5. Sensibilidade do valor do título na emissão em função de mudanças na taxa de juros. Taxa de juros Método 10,089 10,650 11,210 11,771 12,331 MQMC 271,42 268,66 265,87 263,53 260,37 GVW 269,47 265,83 261,44 258,51 255,82 Tabela 6. Variação percentual do valor do título na emissão em função de mudanças na taxa de juros. Taxa de juros Método 10,089 10,650 11,210 11,771 12,331 MQMC 2,09% 1,05% 0,00% -0,88% -2,07% GVW 3,07% 1,68% 0,00% -1,12% -2,15% A Tabela 5 ilustra a sensibilidade do valor do LYON frente a mudanças na taxa de juros, de acordo com os dois métodos (o valor da taxa de juros no cenário base é de 11,21% a.a.). Observa-se que o valor do LYON cai à medida que a taxa de juros sobe. Observando-se as variações no valor do título em termos percentuais na Tabela 6, percebe-se o quão sensível o método se mostra a oscilações neste parâmetro, evidenciando a importância de uma estimativa acurada da taxa de juros. Sensibilidade em relação a mudanças nas opções de compra e venda Além das análises apresentadas, os métodos propostos possibilitam avaliar a sensibilidade do valor do LYON frente a mudanças nas datas e/ou preços de exercício das opções de compra e venda. Como existem infinitas possibilidades de mudanças nas opções, a Tabela 7 procura ilustrar esse efeito através dos dois métodos mediante comparação entre o valor do LYON, que possui opção de compra e venda, com três títulos hipotéticos similares ao LYON: o primeiro sem a opção de compra, o segundo sem a opção de venda, e o terceiro sem nenhuma das duas opções. Tabela 7.- Análise dos valores do título na emissão em relação às opções. Método LYON LYON sem a LYON sem a LYON sem as opção de compra opção de venda opções MQMC 265,87 282,24 258,42 264,52 GVW 261,44 276,31 249,91 262,71 Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

15 Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda: uma aplicação dos Como era esperado, ao retirar-se a opção de compra do título seu valor aumenta, pois este estaria sendo negociado com um benefício a menos para o emissor. Já ao excluir-se a opção de venda, seu valor diminui, pois neste caso o investidor não teria a proteção que a opção de venda proporciona. Observando-se as duas colunas que apresentam o valor do LYON quando se retiram as duas opções, nota-se um fato já esperado: o valor encontrado não é o simples somatório dos valores das opções individualmente, pois além da presença da conversibilidade, existe sinergia entre as opções embutidas no contrato. 5. Conclusões O LYON é um título que envolve certa complexidade, dentre outras coisas devido à existência de opções. O uso da Simulação de Monte Carlo para apreçamento de derivativos envolvendo a possibilidade de exercício antecipado teve avanços significativos nos últimos anos. Duas das principais referências são os trabalhos de Grant, Vora e Weeks (1996) e Longstaff e Schwartz (2001), tomados como base para o desenvolvimento dos métodos aplicados neste trabalho. A aplicação dos modelos demonstrou a flexibilidade e aplicabilidade dos métodos de simulação para a análise de um título com a complexidade do LYON, já que os resultados mostraram-se bastante eficientes, tanto em termos de convergência e precisão dos resultados, como em termos de tempo de processamento. Além da valoração do título, os métodos permitem também avaliar o comportamento do valor do título frente a mudanças nos parâmetros do contrato e nas variáveis de mercado, fato interessante tanto para o emissor quando para o investidor, já que, devido às particularidades do título, a geração de novos negócios depende do entendimento adequado do mesmo. O comportamento do preço do título frente às mudanças aplicadas nos parâmetros do contrato e nas variáveis de mercado foi semelhante ao observado por Samanez et al. (2002). Em relação aos modelos de Samanez et al. (2002) e McConnell e Schwartz (1986), utilizados como parâmetro de comparação, os resultados aqui encontrados mostraram-se também eficientes, reafirmando a idéia de que a utilização de taxa de juros determinística não traz nenhum tipo de problema que justifique o desenvolvimento de um modelo mais sofisticado, em que a taxa de juros tenha comportamento estocástico. As simulações realizadas no trabalho usaram números pseudo-aleatórios, já que as seqüências de baixa discrepância (quasi-aleatórias) tornam-se ineficientes na avaliação de opções americanas ou de derivativos que permitam exercício antecipado - Marins (2006), Frota (2003) e Nascimento (2005). Desta forma, uma sugestão para aprimoramento futuro dos modelos de simulação apresentados seria a utilização do método Quasi-Monte Carlo Híbrido, que surge como alternativa à Simulação de Quasi-Monte Carlo tradicional aplicada em altas dimensões - Frota (2003) e Nascimento (2005). Adicionalmente, outras técnicas de Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez

16 Giuliano Carrozza Uzêda Iorio de Souza et al. amostragem e de redução de variância poderiam ser exploradas, já que a opção nos dois modelos de simulação aplicados o foi com o uso da técnica de Variáveis Antitéticas, por sua simplicidade e comprovada redução no tempo de processamento - Frota (2003) e Marins (2006). Segundo Araújo (2004), esta é uma das técnicas mais usadas em finanças devido à sua simplicidade. Assim, uma referência interessante no sentido de explorar outras técnicas de redução de variância seria o trabalho de Marins (2006), que analisa as diversas técnicas de simulação aplicadas ao apreçamento de opções, além do trabalho de Frota (2003). 6. Referências ARAÚJO, R. O. Avaliação de opções reais através do método dos mínimos quadrados de Monte Carlo f. Dissertação. (Mestrado em Engenharia de Produção) - Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, BRENNAN, M. J.; SCHWARTZ, E. Convertible bonds: valuation and optimal strategies for call and conversion. The Journal of Finance, v. 32, n. 5, Dec. 1977, p FROTA, A. E. F. Avaliação de opções americanas tradicionais e complexas f. Dissertação. (Mestrado em Engenharia de Produção) - Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, GRANT, D.; VORA, G.; WEEKS, D. Simulation and early-exercise of option problem. Journal of Financial Engineering, v. 5, n. 3, 1996, p LONGSTAFF, F. A.; SCHWARTZ, E. S. Valuing American options by simulation: a simple least-square approach. The Review of Financial Studies, v. 14, n. 1, Spring 2001, p MARINS, JAQUELINE T. M. Ensaios sobre a Aplicação de Técnicas de Redução de Variância em Simulação de Monte Carlo para Avaliação de Opções e de Risco de Crédito f. Tese. (Doutorado em Administração de Empresas) - Instituto Coppead de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, MAYERS, D. Why firms issue convertible bonds: the matching of financial and real investment options. Journal of Financial Economics, v. 47, n. 1, Jan. 1998, p MCCONNELL, J.; SCHWARTZ, E. LYON Taming. The Journal of Finance, v. 41, n. 3, July 1986, p NASCIMENTO, A. F. Avaliação de Investimentos em Tecnologia da Informação: Uma Perspectiva de Opções Reais f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) - Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, SAMANEZ, C. P.; IORIO, G.; RAPOSO, G. S.; PALMEIRA, M. Avaliação de títulos conversíveis com opções de compra e venda. Revista de Economia e Administração, v.1, n. 4, out./dez. 2002, p Revista de Economia e Administração, v.5, n.4, p, out./dez