Cálculo Integral nas Ciências Sociais

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1 Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo Integral nas Ciências Sociais Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2011

2 Créditos Universidade do Sul de Santa Catarina Campus UnisulVirtual Educação Superior a Distância Avenida dos Lagos, 41 Cidade Universitária Pedra Branca Palhoça SC Fone/fax: (48) e cursovirtual@unisulbr Site: wwwunisulbr/unisulvirtual Reitor Ailton Nazareno Soares Vice-Reitor Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Willian Corrêa Máximo Pró-Reitor de Ensino e Pró-Reitor de Pesquisa, Pós-Graduação e Inovação Mauri Luiz Heerdt Pró-Reitora de Administração Acadêmica Miriam de Fátima Bora Rosa Pró-Reitor de Desenvolvimento e Inovação Institucional Valter Alves Schmitz Neto Diretora do Campus Universitário de Tubarão Milene Pacheco Kindermann Diretor do Campus Universitário da Grande Florianópolis Hércules Nunes de Araújo Secretária-Geral de Ensino Solange Antunes de Souza Diretora do Campus Universitário UnisulVirtual Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Diretor Adjunto Moacir Heerdt Secretaria Executiva e Cerimonial Jackson Schuelter Wiggers (Coord) Marcelo Fraiberg Machado Tenille Catarina Assessoria de Assuntos Internacionais Murilo Matos Mendonça Assessoria de Relação com Poder Público e Forças Armadas Adenir Siqueira Viana Walter Félix Cardoso Junior Assessoria DAD - Disciplinas a Distância Patrícia da Silva Meneghel (Coord) Carlos Alberto Areias Cláudia Berh V da Silva Conceição Aparecida Kindermann Luiz Fernando Meneghel Renata Souza de A Subtil Assessoria de Inovação e Qualidade de EAD Denia Falcão de Bittencourt (Coord) Andrea Ouriques Balbinot Carmen Maria Cipriani Pandini Assessoria de Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord) Felipe Fernandes Felipe Jacson de Freitas Jefferson Amorin Oliveira Phelipe Luiz Winter da Silva Priscila da Silva Rodrigo Battistotti Pimpão Tamara Bruna Ferreira da Silva Coordenação Cursos Coordenadores de UNA Diva Marília Flemming Marciel Evangelista Catâneo Roberto Iunskovski Auxiliares de Coordenação Ana Denise Goularte de Souza Camile Martinelli Silveira Fabiana Lange Patricio Tânia Regina Goularte Waltemann Coordenadores Graduação Aloísio José Rodrigues Ana Luísa Mülbert Ana Paula RPacheco Artur Beck Neto Bernardino José da Silva Charles Odair Cesconetto da Silva Dilsa Mondardo Diva Marília Flemming Horácio Dutra Mello Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janaína Baeta Neves Jorge Alexandre Nogared Cardoso José Carlos da Silva Junior José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Joseane Borges de Miranda Luiz G Buchmann Figueiredo Marciel Evangelista Catâneo Maria Cristina Schweitzer Veit Maria da Graça Poyer Mauro Faccioni Filho Moacir Fogaça Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Fontanella Roberto Iunskovski Rose Clér Estivalete Beche Vice-Coordenadores Graduação Adriana Santos Rammê Bernardino José da Silva Catia Melissa Silveira Rodrigues Horácio Dutra Mello Jardel Mendes Vieira Joel Irineu Lohn José Carlos Noronha de Oliveira José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Luciana Manfroi Rogério Santos da Costa Rosa Beatriz Madruga Pinheiro Sergio Sell Tatiana Lee Marques Valnei Carlos Denardin Sâmia Mônica Fortunato (Adjunta) Coordenadores Pós-Graduação Aloísio José Rodrigues Anelise Leal Vieira Cubas Bernardino José da Silva Carmen Maria Cipriani Pandini Daniela Ernani Monteiro Will Giovani de Paula Karla Leonora Dayse Nunes Letícia Cristina Bizarro Barbosa Luiz Otávio Botelho Lento Roberto Iunskovski Rodrigo Nunes Lunardelli Rogério Santos da Costa Thiago Coelho Soares Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher Gerência Administração Acadêmica Angelita Marçal Flores (Gerente) Fernanda Farias Secretaria de Ensino a Distância Samara Josten Flores (Secretária de Ensino) Giane dos Passos (Secretária Acadêmica) Adenir Soares Júnior Alessandro Alves da Silva Andréa Luci Mandira Cristina Mara Schauffert Djeime Sammer Bortolotti Douglas Silveira Evilym Melo Livramento Fabiano Silva Michels Fabricio Botelho Espíndola Felipe Wronski Henrique Gisele Terezinha Cardoso Ferreira Indyanara Ramos Janaina Conceição Jorge Luiz Vilhar Malaquias Juliana Broering Martins Luana Borges da Silva Luana Tarsila Hellmann Luíza Koing Zumblick Maria José Rossetti Marilene de Fátima Capeleto Patricia A Pereira de Carvalho Paulo Lisboa Cordeiro Paulo Mauricio Silveira Bubalo Rosângela Mara Siegel Simone Torres de Oliveira Vanessa Pereira Santos Metzker Vanilda Liordina Heerdt Gestão Documental Lamuniê Souza (Coord) Clair Maria Cardoso Daniel Lucas de Medeiros Jaliza Thizon de Bona Guilherme Henrique Koerich Josiane Leal Marília Locks Fernandes Gerência Administrativa e Financeira Renato André Luz (Gerente) Ana Luise Wehrle Anderson Zandré Prudêncio Daniel Contessa Lisboa Naiara Jeremias da Rocha Rafael Bourdot Back Thais Helena Bonetti Valmir Venício Inácio Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Janaína Baeta Neves (Gerente) Aracelli Araldi Elaboração de Projeto Carolina Hoeller da Silva Boing Vanderlei Brasil Francielle Arruda Rampelotte Reconhecimento de Curso Maria de Fátima Martins Extensão Maria Cristina Veit (Coord) Pesquisa Daniela E M Will (Coord PUIP, PUIC, PIBIC) Mauro Faccioni Filho (Coord Nuvem) Pós-Graduação Anelise Leal Vieira Cubas (Coord) Biblioteca Salete Cecília e Souza (Coord) Paula Sanhudo da Silva Marília Ignacio de Espíndola Renan Felipe Cascaes Gestão Docente e Discente Enzo de Oliveira Moreira (Coord) Capacitação e Assessoria ao Docente Alessandra de Oliveira (Assessoria) Adriana Silveira Alexandre Wagner da Rocha Elaine Cristiane Surian (Capacitação) Elizete De Marco Fabiana Pereira Iris de Souza Barros Juliana Cardoso Esmeraldino Maria Lina Moratelli Prado Simone Zigunovas Tutoria e Suporte Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação) Claudia N Nascimento (Núcleo Norte- Nordeste) Maria Eugênia F Celeghin (Núcleo Pólos) Andreza Talles Cascais Daniela Cassol Peres Débora Cristina Silveira Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste) Francine Cardoso da Silva Janaina Conceição (Núcleo Sul) Joice de Castro Peres Karla F Wisniewski Desengrini Kelin Buss Liana Ferreira Luiz Antônio Pires Maria Aparecida Teixeira Mayara de Oliveira Bastos Michael Mattar Patrícia de Souza Amorim Poliana Simao Schenon Souza Preto Gerência de Desenho e Desenvolvimento de Materiais Didáticos Márcia Loch (Gerente) Desenho Educacional Cristina Klipp de Oliveira (Coord Grad/DAD) Roseli A Rocha Moterle (Coord Pós/Ext) Aline Cassol Daga Aline Pimentel Carmelita Schulze Daniela Siqueira de Menezes Delma Cristiane Morari Eliete de Oliveira Costa Eloísa Machado Seemann Flavia Lumi Matuzawa Geovania Japiassu Martins Isabel Zoldan da Veiga Rambo João Marcos de Souza Alves Leandro Romanó Bamberg Lygia Pereira Lis Airê Fogolari Luiz Henrique Milani Queriquelli Marcelo Tavares de Souza Campos Mariana Aparecida dos Santos Marina Melhado Gomes da Silva Marina Cabeda Egger Moellwald Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo Pâmella Rocha Flores da Silva Rafael da Cunha Lara Roberta de Fátima Martins Roseli Aparecida Rocha Moterle Sabrina Bleicher Verônica Ribas Cúrcio Acessibilidade Vanessa de Andrade Manoel (Coord) Letícia Regiane Da Silva Tobal Mariella Gloria Rodrigues Vanesa Montagna Avaliação da aprendizagem Claudia Gabriela Dreher Jaqueline Cardozo Polla Nágila Cristina Hinckel Sabrina Paula Soares Scaranto Thayanny Aparecida B da Conceição Gerência de Logística Jeferson Cassiano A da Costa (Gerente) Logísitca de Materiais Carlos Eduardo D da Silva (Coord) Abraao do Nascimento Germano Bruna Maciel Fernando Sardão da Silva Fylippy Margino dos Santos Guilherme Lentz Marlon Eliseu Pereira Pablo Varela da Silveira Rubens Amorim Yslann David Melo Cordeiro Avaliações Presenciais Graciele M Lindenmayr (Coord) Ana Paula de Andrade Angelica Cristina Gollo Cristilaine Medeiros Daiana Cristina Bortolotti Delano Pinheiro Gomes Edson Martins Rosa Junior Fernando Steimbach Fernando Oliveira Santos Lisdeise Nunes Felipe Marcelo Ramos Marcio Ventura Osni Jose Seidler Junior Thais Bortolotti Gerência de Marketing Eliza B Dallanhol Locks (Gerente) Relacionamento com o Mercado Alvaro José Souto Relacionamento com Polos Presenciais Alex Fabiano Wehrle (Coord) Jeferson Pandolfo Karine Augusta Zanoni Marcia Luz de Oliveira Mayara Pereira Rosa Luciana Tomadão Borguetti Assuntos Jurídicos Bruno Lucion Roso Sheila Cristina Martins Marketing Estratégico Rafael Bavaresco Bongiolo Portal e Comunicação Catia Melissa Silveira Rodrigues Andreia Drewes Luiz Felipe Buchmann Figueiredo Rafael Pessi Gerência de Produção Arthur Emmanuel F Silveira (Gerente) Francini Ferreira Dias Design Visual Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord) Alberto Regis Elias Alex Sandro Xavier Anne Cristyne Pereira Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Daiana Ferreira Cassanego Davi Pieper Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Fernanda Fernandes Frederico Trilha Jordana Paula Schulka Marcelo Neri da Silva Nelson Rosa Noemia Souza Mesquita Oberdan Porto Leal Piantino Multimídia Sérgio Giron (Coord) Dandara Lemos Reynaldo Cleber Magri Fernando Gustav Soares Lima Josué Lange Conferência (e-ola) Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord) Bruno Augusto Zunino Gabriel Barbosa Produção Industrial Marcelo Bittencourt (Coord) Gerência Serviço de Atenção Integral ao Acadêmico Maria Isabel Aragon (Gerente) Ana Paula Batista Detóni André Luiz Portes Carolina Dias Damasceno Cleide Inácio Goulart Seeman Denise Fernandes Francielle Fernandes Holdrin Milet Brandão Jenniffer Camargo Jessica da Silva Bruchado Jonatas Collaço de Souza Juliana Cardoso da Silva Juliana Elen Tizian Kamilla Rosa Mariana Souza Marilene Fátima Capeleto Maurício dos Santos Augusto Maycon de Sousa Candido Monique Napoli Ribeiro Priscilla Geovana Pagani Sabrina Mari Kawano Gonçalves Scheila Cristina Martins Taize Muller Tatiane Crestani Trentin

3 Clarice Borges de Miranda Joseane Borges de Miranda Cálculo Integral nas Ciências Sociais Livro didático Design instrucional Marina Melhado Gomes da Silva Palhoça UnisulVirtual 2011

4 Copyright UnisulVirtual 2011 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição Edição Livro Didático Professor Conteudista Clarice Borges de Miranda Joseane Borges de Miranda Designer Instrucional Marina Melhado Gomes da Silva ISBN Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Fernanda Fernandes Revisão Smirna Cavalheiro M64 Miranda, Clarice Borges de Cálculo integral nas ciências sociais : livro didático / Clarice Borges de Miranda, Joseane Borges de Miranda ; design instrucional Marina Melhado Gomes da Silva Palhoça : UnisulVirtual, p : il ; 28 cm Inclui bibliografia ISBN Cálculo integral 2 Cálculo diferencial I Miranda, Joseane Borges de II Silva, Marina Melhado Gomes da III Título Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

5 Sumário Apresentação 7 Palavras da(s) professora(s) 9 Plano de estudo 11 UNIDADE 1 - Integral indefinida 17 UNIDADE 2 - Métodos de integração 39 UNIDADE 3 - Integral definida 63 UNIDADE 4 - Aplicação da integral definida 99 UNIDADE 5 - Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria 127 Para concluir o estudo 169 Referências 171 Sobre as professoras conteudistas 173 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação 175 Biblioteca Virtual 213

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7 Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Cálculo Integral nas Ciências Sociais O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz Lembre que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a distância fica caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão sempre conectados com você Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: telefone, e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual 7

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9 Palavras da(s) professora(s) Prezado(a) acadêmico(a), A organização deste material didático se esmerou para chegar ao máximo de seu aproveitamento e, desta forma, incentivar sua aprendizagem autônoma Não é novidade que qualquer disciplina que comece com a palavra cálculo cause certo temor a quem está aprendendo, principalmente aos que estavam afastados das salas de aula há muito tempo Mas não se preocupe! Se você chegou até os estudos de Cálculo Integral nas Ciências Sociais, certamente já superou muitas dificuldades e está pronto para iniciar o estudo dos conteúdos desta disciplina O mundo globalizado requer decisões rápidas e precisas, pois evitarão prejuízos ou custos desnecessários para uma organização produtiva ou para os cofres públicos Minimizando os custos, no entanto, o benefício geral será sempre maior É muito importante o aprendizado de técnicas matemáticas para a resolução de problemas e minimização de custo e de tempo nas Ciências Sociais, envolvendo variáveis macro e microeconômicas que farão parte das decisões estratégicas e desafios da sua profissão Para tanto, são necessárias algumas técnicas e métodos matemáticos que facilitarão essas análises de impactos internos e externos Dentre elas, você estudará integrais definidas e indefinidas, que permitem avaliações de áreas que são aplicadas nas resoluções de problemas tais como investimento de capitais, renda e consumo e desafios do consumidor e do produtor Além disso, uma introdução à álgebra matricial facilitará a compreensão de problemas econométricos Esses ferramentais de cálculo são suporte para a aplicação de teorias nas Ciências Sociais Embarque neste desafio conosco Bons estudos! Profa Clarice Borges de Miranda Profa Joseane Borges de Miranda

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11 Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação São elementos desse processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial Ementa Métodos de integração Integral definida Aplicações da integral definida nas Ciências Sociais

12 Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivos Geral Possibilitar ao aluno o desenvolvimento de competências e habilidades para compreender e desenvolver ferramentas do cálculo diferencial para resolver problemas inerentes à tomada de decisão nas Ciências Sociais Específicos Compreender a relação entre integral e derivada Calcular a integral de funções reais Reconhecer e aplicar os métodos de integração Compreender a relação entre o cálculo da área sob uma curva e o cálculo da integral definida de funções reais Aplicar as regras de integração a conceitos das Ciências Sociais Compreender as definições e operações Carga Horária A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula 12

13 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Conteúdo programático/objetivos Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta disciplina e os seus respectivos objetivos Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de estudo Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação Unidades de estudo: 5 Unidade 1 Integral indefinida Esta unidade apresentará a definição de integral, a relação entre cálculo diferencial e cálculo integral, as regras básicas, as propriedades e algumas aplicações utilizando as regras de integração indefinida Unidade 2 Métodos de integração Nesta unidade, estudaremos dois métodos de integração: o método integração por substituição e o método integração por partes, além de algumas aplicações utilizando os métodos de integração Unidade 3 Integral definida A integral definida será abordada através de sua interpretação geométrica e através do teorema fundamental do cálculo Será estabelecida a sua relação com o cálculo diferencial Todas as regras e métodos estudados na unidade 1 serão retomados para calcular as integrais definidas 13

14 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 Aplicação da integral definida Todas as ferramentas trabalhadas nas unidades anteriores serão aplicadas aos seguintes conceitos: renda nacional, consumo e poupança, excedente do consumidor, excedente do produtor, investimento e formação de capital Unidade 5 Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria A álgebra matricial é uma ferramenta de resolução de problemas tão importante quanto o cálculo integral Por este motivo, decidimos abordar este assunto aqui nesta disciplina para que você tenha um suporte para as disciplinas posteriores Os conceitos e propriedades de matrizes serão abordados conforme a necessidade de resolução de um problema de econometria que será apresentado 14

15 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Agenda de atividades/cronograma Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e professor Não perca os prazos das atividades Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina Atividades obrigatórias Demais atividades (registro pessoal) 15

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17 unidade 1 Integral indefinida 1 Objetivos de aprendizagem Compreender a relação entre integral e derivada Introduzir a definição de integral indefinida Calcular integral de funções reais Aplicar a integral indefinida a problemas que envolvem conceitos de Ciências Sociais Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Primitiva Definição de integral indefinida Regras básicas de integração Aplicações da integral indefinida

18 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ao estudar cálculo diferencial, você foi apresentado ao conceito e às técnicas de derivação e aplicou essas técnicas a problemas que envolviam as taxas de variação de uma quantidade em relação à outra Agora o nosso objetivo é o inverso, ou seja, o estudo do cálculo integral vai nos possibilitar descobrir a relação entre duas quantidades conhecendo sua taxa de variação Podemos afirmar que há uma relação muito forte entre cálculo diferencial e cálculo integral, bem como podemos dizer que esta relação tem a mesma ideia das operações inversas Duas operações são inversas quando uma desfaz o que a outra faz, como, por exemplo: multiplicação e divisão 5 3 = = 5 A partir do cálculo diferencial, explicaremos as definições e provaremos as regras e propriedades do cálculo integral Seção 1 Primitiva Para entendermos a definição de integral indefinida, é preciso conhecer outra definição: a de funções primitivas Uma função F é chamada uma primitiva de intervalo I se F (x) = (x) para todo x em I sobre um Temos, então, que uma primitiva F é a função cuja derivada é a Exemplo 1: F (x) = x 3 é uma primitiva de (x) = 3x, pois F (x) = (x 3 ) = 3x = (x) Exemplo 2: F(x) = 2x 2 é uma primitiva de (x) = 4x, pois F (x) = (2x 2 ) = 4x = (x) Exemplo 3: F(x) = 2x + e x é uma primitiva de (x) = 2 + e x, pois F (x) = (2x + e x ) = 2 + e x = (x) 18

19 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Mas uma função (x) não tem uma única primitiva Para mostrar este fato, vamos considerar (x) = 3x, sua primitiva F(x) = x 3 e analisar duas funções: H(x) = x e G(x) = x Observe a derivada de H(x) e G(x): H'(x) = (x 3 + 2)' = 3x + 0 = 3x = (x) G'(x) = (x 3 + 5)' = 3x + 0 = 3x = (x) Pela definição, H'(x) e G'(x) também são primitivas da função (x) = 3x Portanto, podemos concluir que: a partir de F, uma primitiva já conhecida de para encontrar outras primitivas basta adicionar uma constante Note que H(x) = F(x) + 2 e G(x) = F(x) + 5 O teorema a seguir afirma que, dada uma primitiva, para encontrar outra basta adicionar uma constante qualquer (a demonstração será omitida) Teorema: Seja F uma primitiva de uma função Então, qualquer primitiva de G de deve ser da forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante Uma consequência imediata do teorema é que, dada uma função, se existe uma primitiva, existem infinitas, pois basta adicionar uma constante qualquer à primitiva Exemplo 4: Seja a função Mostre que F é uma primitiva de (x) = x 4 + 4x e escreva uma expressão para todas as primitivas de : Solução: Para mostrar basta derivar F e verificar se é igual a : = x 4 + 4x + 0 = x 4 + 4x = (x) Portanto, F é uma primitiva de Como o teorema afirma que basta somar uma constante qualquer, então + C, onde C é uma constante Unidade 1 19

20 Universidade do Sul de Santa Catarina Para a compreensão dos exemplos, relembre as regras de derivação Exemplo 5: Sejam F(x) = 3x + 2, G(x)= 3x + 8 e H(x) = 3x + C, onde C é uma constante, prove que F, G e H são primitivas da função ƒ, definida por ƒ(x) = 3 Solução: Para provar que F, G e H são primitivas de ƒ, basta derivar cada uma das funções, então: F (x) = (3x + 2) = = 2 = ƒ(x) G (x) = (3x + 8) = = 2 = ƒ(x) H (x) = (3x + C) = = 2 = ƒ(x) Portanto, F, G e H são primitivas de ƒ Exemplo 6: Prove que a função G(x) = 2x é uma primitiva da função ƒ(x) = 2 Escreva uma expressão geral para as primitivas de ƒ: Solução: Derivando G(x), temos: G (x) = (2x) = 2 = ƒ(x) Então, G(x) = 2x é uma primitiva de ƒ(x) = 2 Para encontrar uma expressão geral, basta adicionar uma constante, ou seja, G(x) = 2x + C, onde C é uma constante qualquer Seção 2 Definição de integral indefinida Na seção anterior, apresentamos a definição de primitivas de uma função, mas não foi formalizado o processo para determinar todas as primitivas de uma função, denominado integração Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função, é usado o símbolo, chamado de sinal de integração, da seguinte forma: 20

21 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Leia-se: [ a integral indefinida ƒ(x) em relação à x é igual a F(x) mais C ], onde ƒ é o integrando, C é a constante de integração, dx indica que a operação é sobre a variável independente x Atenção: Se a variável independente for y, temos, ou seja, a integral indefinida é calculada sobre a variável y A integral indefinida de uma função é a família de primitivas desta função, representada acima por F(x) = C, onde F(x) é uma primitiva particular de ƒ e C é uma constante arbitrária No exemplo 6 da seção 1, o enunciado pede uma expressão geral para as primitivas de ƒ Este problema pode ser rescrito da seguinte forma: Exemplo 1: Encontre a integral indefinida : Solução: Como já conhecemos uma primitiva de ƒ(x) = 2, temos: Utilizando a definição de integrais indefinidas e as informações dos exemplos da seção 1, mesmo sem conhecer as regras, propriedades e os métodos de integração, podemos compreender os seguintes exemplos: Exemplo 2: Exemplo 3: Exemplo 4: Unidade 1 21

22 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 Regras básicas de integração Para calcular a integral indefinida não é preciso ficar adivinhando as primitivas do integrando, pois existem regras, propriedades e métodos para facilitar o cálculo integral Nesta seção, estudaremos algumas regras básicas e propriedades de integração Todas as regras serão provadas através do cálculo diferencial e, para melhor compreensão, seguidas de exemplos Em todas as regras e propriedades, vamos considerar o integrando ƒ e a primitiva F(x) Regra 1: Integral indefinida de uma constante (k uma constante) A integral indefinida de uma função constante é igual à constante multiplicada pela variável independente mais uma constante arbitrária Prova: Vamos derivar a primitiva F'(x) = (k + C)' = k + 0 = k Como temos dx, a variável independente é x Note que, dy indica que a integral indefinida é sobre a variável independente y Portanto, é uma integral indefinida de uma constante, então: = ty + C e é um número irracional cujo valor é 2, Exemplo 1: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) b) c) 22

23 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Solução: Nas três integrais indefinidas o integrando é uma constante, então basta aplicar a regra 1: a) b) c) Regra 2: Integral indefinida de uma potência (n - 1) A integral indefinida de uma potência é igual a outra função potência com expoente aumentado em uma unidade, dividida pelo novo expoente mais uma constante Prova: Para provar esta regra, vamos relembrar como se deriva uma potência Basta diminuir o expoente em uma unidade e multiplicar a expressão pelo expoente Agora, é só aplicar a regra de derivação: Exemplo 2: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) b) c) Solução: Todos os integrandos são funções potências com expoente Para aplicar a regra 2, aumentaremos em uma unidade o expoente do integrando e dividiremos a expressão pelo novo expoente; ou seja, exatamente o contrário da derivação: a) b) Unidade 1 23

24 Universidade do Sul de Santa Catarina c) Se você encontrou dificuldade para compreender a resolução dos itens b e c, pesquise sobre soma de frações e propriedade de potência Retome o material visto na disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I ou pesquise na bibliografia listada no saiba mais Regra 3: A integral indefinida de uma função exponencial (a > 0) log e a = ln a, logaritmo de base e é igual a ln A integral indefinida de uma função exponencial é igual à mesma função exponencial, dividida por logaritmo de a (base da função exponencial), na base e mais uma constante Prova: Vamos aplicar a regra de derivação de funções exponenciais: Um caso particular da integral indefinida de uma função exponencial é quando temos como base da potência o número e Note: A integral definida da função exponencial com base e é igual à própria função, isto ocorre porque ln e = 1 24

25 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Calcule as integrais indefinidas: a) b) Solução: Os integrandos das integrais indefinidas são funções exponenciais Portanto, vamos aplicar diretamente a regra 3: a) b) Regra 4: A integral indefinida de uma potência quando n = 1 A integral indefinida de uma potência, quando n = 1, é igual ao logaritmo do módulo da base da potência na base e mais uma constante Prova: Para provar a regra 4, temos que lembrar como se deriva ln x: Exemplo 4: Calcule a integral indefinida Solução: Como, então basta aplicar a regra 4: Unidade 1 25

26 Universidade do Sul de Santa Catarina Propriedades Além dessas quatro regras sobre as integrais indefinidas imediatas, temos duas propriedades que facilitam o cálculo das integrais indefinidas São elas: Propriedade 1 A integral indefinida de uma função multiplicada por uma constante: (c é uma constante) Quando um fator constante multiplica o integrando, este fator pode ser passado para fora da integral indefinida Exemplo 5: Calcule as integrais indefinidas: a) b) c) Soluções: a) O integrando é uma função potência multiplicada por uma constante, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 2 onde C = 3K Se K é uma constante arbitrária, multiplicada por outra constante não nula, o resultado é uma constante arbitrária b) O integrando é uma função exponencial multiplicada por uma constante, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 3: Note que omitimos a multiplicação das constantes, pois não é necessário indicar 26

27 Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) O integrando é uma função potência com expoente n = 1, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 4: Propriedade 2 A integral indefinida da soma e subtração de funções Quando a integral indefinida envolve uma soma ou uma subtração de duas ou mais funções, podemos calcular a soma ou subtração de suas integrais indefinidas Exemplo 6: Calcule as integrais indefinidas: a) b) Soluções: a) Primeiro vamos aplicar a propriedade 2: Temos que a primeira integral indefinida é uma função potência, então se aplica a regra 2 Já a segunda é uma função exponencial com base e, por isso aplica-se a regra 3 A terceira é uma função constante, assim aplica-se a regra 1 Unidade 1 27

28 Universidade do Sul de Santa Catarina Como C 1, C 2 e C 3 são constantes arbitrárias, o resultado após somá-las e subtraí-las é uma constante arbitrária Portanto, b) Primeiro vamos aplicar a propriedade 2: Note que nas duas primeiras integrais indefinidas o integrando está multiplicado por uma constante, então aplicaremos a propriedade 1: Para cada integral indefinida aplica-se a regra de acordo com o integrando, sendo que a primeira o integrando é uma função potência, a segunda, uma exponencial de base e e, a terceira, uma função constante Como C 1, C 2 e C 3 são constantes arbitrárias, o resultado, após multiplicá-las por constantes não nulas, somá-las e subtraí-las, é uma constante arbitrária Portanto, Para facilitar seu estudo, segue o quadro que contém todas as regras e propriedades apresentadas nesta seção: 28

29 Cálculo Integral nas Ciências Sociais REGRA/PROPRIEDADE FUNÇÃO INTEGRAL INDEFINIDA Integral indefinida de uma constante Integral indefinida de uma potência A integral indefinida de uma função exponencial ƒ(x) = k k uma constante ƒ(x) = x n ƒ(x) = a x a > 0 n 1 A integral indefinida de uma função exponencial (base e) A integral indefinida de uma potência quando n = 1 A integral indefinida de uma função multiplicada por uma constante A integral indefinida da soma de funções A integral indefinida da subtração de funções ƒ(x) = e x ƒ(x) = x 1 Qualquer função Quaisquer funções Quaisquer funções Quadro 11 Resumo das fórmulas da seção Fonte: Elaboração das autoras (2011) Seção 4 Aplicações da integral indefinida Nosso objetivo em estudar o cálculo integral é saber a relação entre duas quantidades, conhecendo sua taxa de variação Agora que já conhecemos as regras e propriedades de integral indefinida, podemos aplicá-las a alguns problemas, conforme seguem os exemplos de aplicação de integral indefinida: Exemplo 1: A circulação de certa revista é de 2000 exemplares por semana O editor-chefe da revista projeta uma taxa de crescimento de exemplares por semana, daqui a t semanas, pelos próximos dois anos Com base nesta projeção, qual será a circulação da revista daqui a 64 semanas? Unidade 1 29

30 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: As duas quantidades, cuja relação queremos determinar, são: a circulação da revista e o tempo em semanas A relação é dada pela função S(t), que é a circulação da revista daqui a t semanas Temos a taxa de crescimento, ou seja, Então, para saber a função S(t), basta integrar : Como a solução de uma integral indefinida é uma família de primitivas, temos infinitas soluções para a integral, mas o problema determina que, no tempo zero, a circulação da revista é de 2000 exemplares Por isso, usaremos este dado para achar uma solução particular do problema Assim: Para t = 0, S(0) = 2000 Então: Portanto, C = 2000 e a solução é: 30

31 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Assim, a circulação da revista daqui a 64 semanas será de: exemplares por semana Exemplo 2: Suponha que, entre 1999 e 2008, das motos novas vendidas no mercado do Brasil, a porcentagem vendida pela empresa A estava variando à razão de: ƒ(t) = 0,0213t 3 + 0,12t 2 1,6 ( 0 t 8) por cento ao ano t (t = 0 corresponde ao início de 1999) A fatia de mercado da empresa no início de 1999 era de 40,2% Qual era a fatia de mercado da empresa A no início de 2008? Solução: Como a informação dada é sobre a variação da porcentagem em relação ao ano, integrando a função que representa a variação, iremos obter a função da fatia do mercado em relação ao ano t Seja F(t) a função da fatia do mercado da empresa A em relação ao ano t, temos: F(t) = 0,005325t 4 + 0,04t 3 1,6t + C Para determinar o valor da constante C, utilizamos o valor da função no ano zero, ou seja, do ano 1999 F(0) = 0, (0) 4 + 0,04(0) 3 1,6(0) + C = 40,2 Portanto, C = 40,2 e a função é: F(t) = 0,005325t 4 + 0,04t 3 1,6t + 40,2 Unidade 1 31

32 Universidade do Sul de Santa Catarina Encontramos a função da fatia do mercado da empresa A em relação ao ano t Para o ano 2008 t = 8, então: F(8) = 0,005325(8) 4 + 0,04(8) 3 1,6(8) + 40,2 F(8) = 0,005325(4096) + 0,04(512) 1,6(8) + 40,2 F(8) = 21, ,48 12,8 + 40,2 F(8) = 26,06 Assim, a fatia do mercado da empresa A em 2008 era de 26,06% Exemplo 3: As projeções são que a taxa de variação do Produto Interno Bruto (PIB) de certo país é G(t) = 2t t 0 bilhões de reais ao ano t (t = 0 corresponde a 2011) O PIB deste país é de 50 bilhões de reais em 2011 Qual será o produto PIB deste país no ano de 2014? Solução: O problema nos pede o PIB em 2014, ou seja, t = 3, mas não temos a função que determina o PIB em relação ao tempo, e sim a taxa de variação do PIB em relação ao tempo Para encontrar a função, integraremos a taxa de variação e denominar a função que determina o PIB em relação ao tempo de N(t): N(t) = t 2 + 2t + C 32

33 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a constante C, vamos calcular o valor da função para t = 0, ou seja, N(0) = 50 N(0) = (0) 2 + 2(0) + C = 50 Portanto, C = 50 e a função que determina o PIB em relação ao tempo é: N(t) = t 2 + 2t + 50 em bilhões de reais ao ano Para determinar o PIB em 2014, basta substituir, na função t = 3: N(3) = (3) 2 + 2(3) + 50 N(3) = = 65 Então, no ano de 2014, o PIB será de 65 bilhões Dada uma função total na Economia, como, por exemplo, o custo total, para encontrar a função custo marginal é preciso derivar a função custo total, sendo esta uma aplicação de derivada Nosso problema aqui é o inverso: dada uma função marginal (por exemplo, o custo marginal), para encontrar o custo total é preciso integrar a função marginal, sendo esta uma das aplicações de integral Exemplo 4: Em uma fábrica de móveis, o custo marginal diário associado à produção de camas é dado por: C'(x) = 0,008x 3 8x + 20 onde C'(x) é medido em reais/unidade e x denota o número de unidades produzidas O custo fixo diário incorrido na produção das camas é de R$ 600,00 Determine o custo total incorrido pela fabrica ao produzir 80 camas/dia Unidade 1 33

34 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: Para determinar a função custo vamos integrar a função custo marginal: Como a função custo é C, determinamos K como constante de integração para não confundir as notações Assim: C(x) = 0,002x 4 4x x + K Encontramos a função custo, falta determinar K, a constante de integração Como o problema informa, o custo fixo diário é de R$ 600,00, ou seja, independentemente da quantidade produzida a fábrica terá este custo Calcularemos o custo através da função para x = 0: C(x) = 0,002(0) 4 4(0) (0) + K = K Para nenhuma cama produzida teremos o custo igual a K Portanto, K é o custo fixo e a função custo que queremos é: C(x) = 0,002x 4 4x x Assim, na produção de 80 camas/dia o custo incorrido é: C(80) = 0,002(80) 4 4(80) (80) C(80) = 0,002( ) 4(6400) C(80) = C(80) = O custo total incorrido pela fábrica ao produzir 80 camas/dia é de R$ 58520,00 34

35 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Ficou com dificuldade para compreender os problemas? Pesquise sobre funções marginais em economia nos livros de Matemática aplicada à Economia, listados no Saiba Mais Síntese Nesta unidade, você estudou os principais conceitos de integral indefinida e suas primitivas Com esses conceitos baseados em fórmulas, você pode calcular uma integral indefinida, ou seja, encontrar uma expressão ou infinitas funções que são primitivas da função que você deseja integrar Como em cálculo sempre se faz necessário o uso dessas funções, vimos algumas regras de integração que são importantes para aplicações no seu curso E, por fim, aplicamos os conceitos desenvolvidos em exemplos práticos envolvendo decisões nas Ciências Sociais Unidade 1 35

36 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação O gabarito está disponível no final do livro didático Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem 1) Em cada alternativa, prove que F é primitiva de ƒ: a) ; ƒ(x) = 2x 5 + 3x b) F(x) = ln x + e 2x ; c) ; 2) Sejam F(x) = e 5x+1 e G(x) = e 5x+1 + 8, prove que F e G são primitivas da função ƒ definida por ƒ(x) = 5 e 5x+1, e encontre todas as primitivas de ƒ 3)Calcule as integrais indefinidas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 36

37 Cálculo Integral nas Ciências Sociais m) n) o) 4) A implantação de uma empresa multinacional nos arredores de uma cidade aumentará a população da mesma a uma taxa de pessoas/ano, sendo t o número de anos após a implantação A população, antes da implantação, é de habitantes Determine a população projetada quatro anos após o início da implantação da empresa Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: TAN, S T Matemática aplicada à Administração e Economia São Paulo: Thomson, 2003 WEBER, J E Matemática para Economia e Administração 2 ed São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1986 Unidade 1 37

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39 unidade 2 Métodos de integração 2 Objetivos de aprendizagem Compreender o método de integração por substituição Relacionar o método de integração por substituição à regra da cadeia do cálculo diferencial Compreender o método de integração por partes Relacionar o método de integração por partes à regra do produto do cálculo diferencial Aplicar a integral indefinida a problemas que envolvem conceitos de ciências sociais usando os métodos de integração Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Método de integração por substituição Método de integração por partes Aplicações de integrais indefinidas usando os dois métodos de integração

40 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Na unidade anterior, as integrais indefinidas calculadas eram imediatas e relacionadas diretamente a uma regra do cálculo diferencial Essa relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral é que permitirá compreender os dois métodos abordados nesta unidade Os dois métodos, método de integração por substituição e método de integração por partes, aplicam funções cuja primitiva não é encontrada de imediato, assim como na integral indefinida Não basta saber a regra de diferenciação; é preciso um olhar mais detalhado para a função e, ainda, saber qual dos dois métodos utilizar para integrá-la Como fazer a escolha é o que iremos explicar nesta unidade Seção 1 Método de integração por substituição O método de integração por substituição está relacionado à regra da cadeia do cálculo diferencial Vamos explicar o método e a que funções é aplicado através do seguinte exemplo: Considere a integral indefinida Observando o integrando, notamos que não é possível aplicar as regras vistas, pois não conhecemos a função primitiva do integrado Assim, vamos fazer uma troca de variável, ou seja: u = 5x o diferencial de u é du = 10xdx Para você entender melhor a substituição, relembre a definição de diferencial de uma função: Definição diferencial de y : y = ƒ(x) é y = ƒ'(x)dx 40

41 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos substituir na integral, du = 10xdx u = 5x e Após a substituição, a integral indefinida tem, como integrando, uma função potência, que é facilmente integrável ao utilizar a regra de integral indefinida de uma potência Então, Como a nossa integral indefinida, antes da mudança de variável, era sobre a variável x, para a solução ficar completa basta substituir u = 5x na solução Portanto, Desta forma, o método de integração por substituição tem como objetivo transformar um integrando complicado, cuja primitiva não conhecemos, em um integrando mais simples, cuja primitiva já é conhecida Para entender como funciona o processo e a relação com a regra da cadeia do cálculo diferencial, vejamos como funciona o método de integração por substituição Unidade 2 41

42 Universidade do Sul de Santa Catarina Seja, ƒ(x) = x 3 e g(x) = 5x 2 + 8, então nosso integrando, antes da substituição, era da seguinte forma: ƒ(g(x))g'(x) = (5x 2 + 8) 3 10x e nossa integral indefinida A substituição feita foi em que u = g(x) e du = g'(x) Suponha que F é uma primitiva de ƒ, e então, Para provar que F(u) + C é a solução da integral indefinida, vamos derivar F(u) + C utilizando a regra da cadeia do cálculo diferencial: Portanto, Comparando com o nosso exemplo, É assim que o método de integração por substituição funciona e é aplicado a integrando do tipo ƒ(g(x))g'(x) Para compreender melhor o método, seguem alguns exemplos: Exemplo 1: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 3 e g(x) = x Portanto, podemos resolver usando o método da substituição Para facilitar, definimos a seguir alguns passos para a resolução: Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(x); portanto, u = x Passo 2: Calcular o diferencial de u, du=3x 2 dx Passo 3: Fazer a substituição: 42

43 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: Exemplo 2: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 6 e g(x) = e x + 5 Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x) Portanto, u = e x + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = e x dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência: Passo 5: Retornar à variável x: Unidade 2 43

44 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 3: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 2 e g(x) = x 4 15: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x 4 15 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 4x 3 dx Passo 3: Fazer a substituição: Neste caso, a substituição não é imediata Falta uma constante 4 multiplicando x 3 dx para resolver este problema Note que e 1 é o elemento neutro da multiplicação Usando a propriedade agora podemos fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência:, 44

45 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 5: Retornar à variável x: Exemplo 4: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(y) = e y e g(y) = 2y Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(y); portanto, u = 2y Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2y Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável y: Exemplo 5: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = e x e g(x) = 3x 2 Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 3x 2 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 6xdx Unidade 2 45

46 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Fazer a substituição: Como no exemplo 3, a substituição não é imediata Vamos usar a mesma propriedade: Agora podemos fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável x: Exemplo 6: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 2 e g(x) = ln x Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = ln x Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência: 46

47 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 5: Retornar à variável x: Para facilitar seu estudo, leia no quadro 21 um resumo para aplicação do método de integração por substituição Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Método de integração por substituição Integrando ƒogxg' Fazer a escolha de u, u é sempre a g Calcular o diferencial de u Fazer a substituição Calcular a integral indefinida Retornar à variável inicial Quadro 21 Método de integração por substituição Fonte: Elaboração das autoras (2011) Seção 2 Método de integração por partes O método de integração por partes, assim como o método de integração por substituição, está relacionado a uma regra do cálculo diferencial A regra que correspondente ao método de integração por partes é a regra do produto, e é a partir dela que iremos deduzir a fórmula usada neste método A regra do produto afirma que se ƒ e g são diferenciáveis, então (ƒ(x)g(x)) = ƒ(x)g'(x) + g(x)ƒ'(x) Vamos integrar os dois lados da equação em relação à x: Unidade 2 47

48 Universidade do Sul de Santa Catarina Como ƒ(x)g(x) é uma primitiva de (ƒ(x)g(x)), então e a equação pode ser escrita desta forma: Esta é a fórmula de integração por partes, que ainda pode ser simplificada da seguinte forma:, u = ƒ(x) du = ƒ'(x)dx dv = g'(x)dx v = g(x) A fórmula de integração por partes é Note que o método não calcula diretamente a integral indefinida, mas a transforma em uma integral indefinida mais simples, que pode ser resolvida usando uma das regras já vistas ou o método de integração por substituição O que é muito importante para a sua eficiência são as escolhas de u, dv Para compreender melhor o método, vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Calcular : Solução: Nenhuma regra de integração já vista pode ser aplicada, pois o integrando não é uma função cuja primitiva já conhecemos O método da substituição não pode ser aplicado porque o integrando não é uma composição de funções Para integrar esta função, usaremos o método de integração por partes Vamos definir dois critérios para a escolha de u e dv para facilitar 48

49 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Critérios: 1 u tem que ser a função em que du é mais simples; 2 dv tem que ser fácil de integrar Passo 1: Obedecendo aos critérios, vamos escolher u e dv: u = x dv = e x dx Observe que, se escolhermos u = e x, então du = e x dx e não obedece ao critério 1, pois u e du são a mesma função Passo 2: Determinar du e v: u = x ldx = dx de integração) (desconsideramos a constante Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: Unidade 2 49

50 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 2: Calcular Solução: Passo 1: Obedecendo aos critérios de escolha definidos para u e dv, vamos escolher u e dv: u = ln x dv = xdx Observe que, se escolhermos dv = ln xdx, a integral é complicada e ainda não sabemos como resolvê-la Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: 50

51 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Calcular : Solução: Como foi comentado no exemplo 2, ainda não conhecemos a integral indefinida de ln x, mas com o método de integração por partes é possível calcular, como veremos agora: Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv = dx Passo 2: Determinar du e v: integração) (desconsideramos a constante de Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: Exemplo 4: Calcular : Solução: Para calcular esta integral indefinida teremos de aplicar o método de integração por partes duas vezes Para algumas integrais, a repetição da aplicação do método de integração por partes é necessária Unidade 2 51

52 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 1: Escolher u e dv: u = (ln x) 2 dv = xdx Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Esta integral foi resolvida no exemplo 2, pelo método de integração por partes Se não fosse conhecido o resultado, teríamos que aplicar o método de integração por partes novamente: Passo 5: Escrever a solução completa: Exemplo 5: Calcular : Solução: Podemos reescrever a integral : Passo 1: Escolher u e dv: u = x 52

53 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 2: Determinar du e v: u = x du = dx Para que algumas integrais sejam resolvidas, é preciso aplicar os dois métodos de integração Para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo, neste exemplo usaremos o método integração por substituição para determinar v, em que s é a variável de substituição Assim, : Escolher s, s = x 3 Determinar ds, ds = dx Fazer a substituição, Calcular a integral indefinida : Retornar à variável x: Portanto, (desconsideramos a constante de integração) Passo 3: Aplicar a fórmula : Unidade 2 53

54 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Resolver Para calcular esta integral, teremos de aplicar novamente o método substituição, em que t é a variável de substituição: Escolher t, t = x 3 Determinar dt, dt = dx Fazer a substituição Calcular a integral indefinida: Retornar à variável x: Passo 5: Escrever a solução completa: Para facilitar seu estudo, segue resumo para aplicação do método de integração por partes, no quadro 22: 54

55 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Método de integração por partes Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Escolher u e dv Determinar du e v Aplicar a fórmula Resolver Escrever a solução completa Quadro 22 Método de integração por partes Fonte: Elaboração das autoras (2011) Seção 3 Aplicações da integral indefinida usando os dois métodos de integração Nesta unidade, os dois métodos de integração serão aplicados a situações práticas Serão apresentados três problemas cujas soluções requerem a utilização dos métodos de integração Exemplo 1: Um estudo feito pelo departamento de marketing de uma fábrica de sapatos estima que o novo lançamento outono inverno 2011 no mercado fará com que as vendas cresçam à taxa de e -2t 0 t 5 pares por mês Encontre uma expressão que forneça o número total de sapatos vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado Quantos pares de sapatos a fábrica venderá nos três primeiros meses? Solução: Como é fornecida a taxa de crescimento, para encontrar a expressão que relaciona tempo em meses com a quantidade de sapatos vendidos, basta integrar a função que representa a taxa de variação: Unidade 2 55

56 Universidade do Sul de Santa Catarina Na primeira integral, o integrando é uma função constante, simples de integrar A segunda será calculada usando o método de integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(t); portanto, u = 2t Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2t Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável t: Voltando à resolução do problema, S(t) representa a expressão que relaciona tempo em meses à quantidade de sapatos vendidos; assim: S(t) = 20000t e 2t + C Para definir a constante C, assumimos que, no instante t = 0, nenhum sapato foi vendido, então S(0) = 0 Usando esta informação: S(0) = 20000(0) e 20 + C = e 0 + C = 0 Lembre que e 0 = 1 56 C = 2000

57 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, a expressão desejada é: S(t) = 20000t e 2t 2000 Vamos calcular a venda nos três primeiros meses: S(3) = e = e = = Desta forma, a fábrica espera vender pares de sapatos nos três primeiros meses Exemplo 2: Em abril de 2011, certo instituto de pesquisa afirmou que a taxa de variação da audiência do programa diário de TV A, de uma emissora aberta B era de 0 t 45 por cento ao dia pelos próximos t dias (t = 0 corresponde ao primeiro dia de abril de 2011) Em primeiro de abril de 2011, a audiência era de 40% Qual seria a audiência do programa de TV no trigésimo dia de abril de 2011? Solução: Seja N(t) a função que relaciona o tempo em dias, e a audiência do programa de TV A, então: Para calcular esta integral, usaremos o método de integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(t); portanto, u = 15t 0,1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 15dt Passo 3: Fazer a substituição: Unidade 2 57

58 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável t: Portanto, a função N(t) é: Para definir a constante C,usamos a informação dada no problema que, no instante t = 0, N(0) = 40 Usando esta informação: 10 + C = 40 C = = 30 A função que satisfaz o problema é: No trigésimo dia de abril t = 29; então: N(29) = 29,99 A audiência do programa de TV A no trigésimo dia de abril de 2011 foi de 29,99% 58

59 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Uma fábrica de bolsas femininas investiu em novos maquinários Com esta reforma, os proprietários estimam que a taxa de produção será de P(t) = 20te t mil bolsas por mês Encontre uma função que descreva a produção de bolsas nesta fábrica em t meses Solução: Como é fornecida a taxa de produção, para encontrar a função p(t) que relaciona a produção com o tempo t basta integrar a função que representa a taxa de produção: Para calcular esta integral indefinida, vamos usar o método de integração por partes: Passo 1: Fazer a escolha de u e dv: u = t dv = e t dt Passo 2: Determinar du e v: u = t du = 1dt = dt Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: Unidade 2 59

60 Universidade do Sul de Santa Catarina Então, nossa função é: Para definir a constante C, assumimos que quando t = 0 não temos produção, ou seja: 20 (0 1) + C = C = 0 C = 20 A função que satisfaz o problema é: Síntese As funções abordadas nesta unidade são um pouco mais complexas que as vistas anteriormente, e a utilização dos dois métodos que você aprendeu são as únicas alternativas que você dispõe para entregar funções desta forma Além dos dois métodos de integração que foram abordados nesta unidade, você também pode verificar, mais uma vez, como o cálculo integral está relacionado com o cálculo diferencial e aplicar os dois métodos de integração a situações práticas importantes para o seu curso 60

61 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação O gabarito está disponível no final do livro didático Mas, esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem 1) Calcule as integrais indefinidas usando o método de integração por substituição: a) b) c) d) e) f) 2) Calcule as integrais indefinidas usando o método de integração por partes: a) b) c) d) Unidade 2 61

62 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Uma empresa estima que a partir de março de 2011 sua produção cresça a uma taxa de 20e 2t 0 t 5 por mês Em março de 2011, sua produção era de 80 unidades Encontre uma expressão que forneça o número total de produção, t meses após estimativa Qual a produção total após dois meses da estimativa? Saiba mais CHIANG, A C Matemática para economista São Paulo: McGraw-Hill/Edusp, 1982 WEBER, J E Matemática para economia e administração 2 ed São Paulo: Harper & Row do Brasil,

63 unidade 3 Integral definida 3 Objetivos de aprendizagem Compreender a relação entre a área limitada por uma curva e a integral definida Entender a definição de integral definida Calcular as integrais definidas Calcular a área sob uma curva Calcular a área entre duas curvas Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Área sob uma curva Integral definida Cálculo da integral definida Cálculo de área usando integral definida

64 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade você compreenderá a necessidade, através de problemas, de estudar a área sob uma curva, e a relação entre o cálculo da área e a integral definida A partir desses cálculos da área sob uma curva, vamos apresentar a definição da integral definida Neste processo, você compreenderá como calcular a integral definida a partir de definições e fórmulas, relacionando o cálculo a todas as regras, propriedades e métodos estudados até este momento Seção 1 Área sob uma curva Para compreender a definição da integral definida é importante conhecer como se calcula a área sob uma curva e a relação que ela tem com a integral definida Para começar, vamos explorar dois exemplos práticos para que você compreenda a necessidade de calcular a área sob uma curva e a integral definida Nesta seção, todas as funções são contínuas e não negativas no intervalo determinado em cada caso Vamos supor que a taxa mensal de consumo de água de um bairro durante cinco meses seja de 12 mil metros cúbicos, então a função que representa esta taxa de consumo é: ƒ(t) = 12 0 t 5 em que é medido em meses e ƒ(t) mil metros cúbicos por mês O gráfico desta função é 64

65 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 31 Gráfico da função ƒ(t) = 12 Fonte: Elaboração das autoras (2011) O consumo de água no bairro no primeiro mês é de 12 mil metros cúbicos, e até o quinto mês este consumo se mantém o mesmo a cada mês Assim, o consumo total, no período, é 60 mil metros cúbicos A área abaixo do gráfico da função é um retângulo, uma forma geométrica muito simples de calcular: basta multiplicar comprimento por altura Calculando esta área, temos A = 5 12 = 60 que é exatamente o consumo total de água no bairro durante os cinco meses Logo, para saber o consumo total de água do bairro basta calcular a área sob o gráfico da função limitada pelas retas t = 0 e t = 5 O problema de cálculo de área sob uma curva seria muito simples se, nas situações práticas, todas as funções fossem constantes, pois todas as curvas seriam retas paralelas ao eixo x Mas, em geral, nessas situações, as funções não são constantes e, consequentemente, as áreas não serão retângulos, o que torna o cálculo da área sobre a curva mais complicado Para compreender como se calcula área não retangular, vamos modificar o exemplo dado sobre o consumo de água: Unidade 3 65

66 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 1: Suponha que a taxa mensal de consumo de água de um bairro durante 5 meses é dado pela seguinte função: ƒ(t) = t 2 0 t 5 em que t é medido em meses e ƒ(t) mil metros cúbicos por mês O gráfico desta função é Gráfico 32 Gráfico da função ƒ(t) = t 2 Fonte: Elaboração das autoras (2011) A área A representa o consumo total de água consumida nos cinco meses no bairro Mas como a função não é uma função constante, a área A não é mais um retângulo e sim uma forma geométrica para a qual não existe uma fórmula para calcular Como não é possível calcular a área através de uma fórmula, usaremos uma aproximação, dividindo a área A em pequenos retângulos de mesmo comprimento, como mostra a figura abaixo A ideia é simplificar o cálculo da área 66

67 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 33 Gráfico da divisão da área A em 5 retângulos iguais Fonte: Elaboração das autoras (2011) Dividimos em retângulos porque, como já vimos, o retângulo é uma forma geométrica cuja área é fácil de calcular Uma vez calculada a área de cada retângulo e depois somadas, obteremos um valor aproximado da área total Chamamos esse tipo de aproximação de aproximação por excesso, pois estamos calculando uma área um pouco maior que a área A que representa o consumo de água do bairro nos cinco meses Vamos calcular a área de cada retângulo e depois somar para obter uma aproximação de A 1º retângulo, intervalo [0;1] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 1 na função, ou seja, ƒ(1) = 1 2 = 1 Área: 1 1 = 1 2º retângulo, intervalo [1;2] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 2 na função, ou seja, ƒ(2) = 2 2 = 4 Área: 1 4 = 4 Unidade 3 67

68 Universidade do Sul de Santa Catarina 3º retângulo, intervalo [2;3] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 3 na função, ou seja, ƒ(3) = 3 2 = 9 Área: 1 9 = 9 4º retângulo, intervalo [3;4] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, ƒ(4) = 4 2 = 16 Área: 1 16 = 16 5º retângulo, intervalo [4;5] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 5 na função, ou seja, ƒ(5) = 5 2 = 25 Área: 1 25 = 25 Seja A 1 a soma das áreas de todos os retângulos, então A 1 = = 55, temos que A 1 > A Mas esta não é a única aproximação possível: podemos subdividir os intervalos de forma que ainda fiquem com comprimentos iguais para encontrar outra aproximação mais precisa, conforme mostra o gráfico da figura 34 a seguir: 68

69 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 34 Gráfico da subdivisão A 1 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Quanto menores os retângulos, menor é o excesso no cálculo da área Dividimos os retângulos de A 1 em dois, mantendo sempre, na divisão, retângulos de mesmo comprimento Quando o comprimento de cada retângulo passa a ser já podemos notar que a aproximação é um pouco melhor, conforme demonstra o gráfico 34 Novamente vamos calcular a área de cada retângulo para depois somarmos as áreas e obtermos uma aproximação de A Observe que de t = 0 até foi desconsiderado 1º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 1 na função, ou seja, ƒ(1) = 1 2 = 1 Área: Unidade 3 69

70 Universidade do Sul de Santa Catarina 2º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 3º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 2 na função, ou seja, ƒ(2) = 2 2 = 4 Área: 4º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 5º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 3 na função, ou seja, ƒ(3) = 3 2 = 9 Área: 70

71 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 6º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 7º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 4 na função, ou seja, ƒ(4) = (4) 2 = 16 Área: 8º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 9º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 5 na função, ou seja, ƒ(5) = (5) 2 = 25 Área: Unidade 3 71

72 Universidade do Sul de Santa Catarina Seja a soma das áreas de todos os retângulos, então temos que A 1 > A 2 > A que é uma boa aproximação para nosso problema Assim, o consumo total de água no bairro nos cinco meses é aproximadamente mil metros cúbicos Para o nosso problema, esta aproximação é uma boa solução, mas é possível subdividir A 2 em retângulos do mesmo tamanho dividindo sempre na metade do intervalo Essas divisões podem ser feitas infinitamente até que a soma das áreas dos retângulos seja praticamente a área sob a curva Agora que você entendeu a ideia do cálculo da área sob uma curva, vamos aplicá-la a um caso geral, como mostra o gráfico 35: Gráfico 35 Gráfico de caso geral Fonte: Elaboração das autoras (2011) A é a área sob o gráfico de ƒ(x), ƒ(x) é contínua em todo o intervalo A está limitada à esquerda pela reta x = a à direita por x = b e subdividida em n retângulos com o mesmo comprimento, chamado de Δx Para calcular Δx usamos a seguinte fórmula: No exemplo 1, para obter a área de cada retângulo, calculamos o valor da função no extremo direito do intervalo e depois multiplicamos pelo o comprimento do intervalo No entanto, não é necessário calcularmos o valor da função no extremo direito do intervalo para saber a altura, podemos escolher qualquer ponto no intervalo 72

73 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Por exemplo, no intervalo define-se que representa qualquer número entre a e x 1 no intervalo define-se que representa qualquer número entre x 1 e x 2 Fazendo sempre as escolhas desta forma, calculamos o valor da função nos números,,,,, Logo, a área A é aproximadamente a soma das áreas dos n retângulos com comprimento Δx e alturas,,, Portanto: A soma das áreas dos n retângulos é chamada de soma de Riemann, para qualquer escolha de quando n for um número arbitrariamente grande; ou seja, quando o intervalo for dividido em um número muito grande de retângulos, a soma de Riemann deve convergir para um único número que definimos como área A Se você entendeu a ideia do cálculo da área sob uma curva no exemplo 1 e conseguiu assimilar a aplicação ao caso geral para qualquer função não negativa em um intervalo qualquer, podemos, enfim, enunciar a definição de área sob uma curva Definição de área sob uma curva: Seja ƒ função contínua não negativa em área sob a curva do gráfico de ƒ é Então, a que são pontos arbitrários pertencentes aos subintervalos de de igual comprimento Unidade 3 73

74 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 Integral definida Nesta seção você irá conhecer a definição de integral definida e o teorema fundamental do cálculo Porém, não faremos demonstração porque nosso objetivo neste livro é aplicar os conceitos e técnicas do cálculo integral a problemas relativos às Ciências Sociais Tendo lido a seção anterior, você já tem o suporte para que possa compreender a definição de integral definida, conforme segue: Definição de integral definida Seja ƒ função contínua e definida em dividirmos o intervalo comprimentos iguais Se em n subintervalos de e para qualquer escolha de pontos arbitrários,,,, nos n subintervalos, então a integral definida de é Em algumas literaturas também encontramos a como extremo inferior de integração e b superior de integração O símbolo de integração é o mesmo para integral definida e integral indefinida A diferença é que, na integral definida, existem dois números a e b que são os limites de integração, a sendo o limite de integração inferior e b sendo o limite de integração superior Outra diferença é que a integral indefinida de ƒ representa infinitas primitivas, como vimos na unidade anterior, e a integral definida representa um número Quando a função do integrando é uma função contínua e não negativa no intervalo então a integral definida é a área sob a curva do gráfico do integrando O gráfico 36 mostra a representação geométrica da integral definida quando a função do integrando assumir valores positivos e negativos no intervalo 74

75 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 36 Gráfico de interpretação geométrica da integral definida Fonte: Elaboração das autoras (2011) Portanto, quando o integrando assumir valores positivos e negativos no intervalo a integral definida será a soma das áreas que estão sobre o eixo x no intervalo e sob a função do integrando, menos as áreas que estão sob o eixo x no intervalo e sobre a função do integrando Exemplo: Vamos aplicar as definições de soma de Reimann e integral definida a um exemplo: Considerando a função ƒ(x) = x e o intervalo Solução: a) Calcular a soma de Riemann, tomando como pontos arbitrários os extremos direitos de cada intervalo, para n = 6; b) Calcular tomando como pontos arbitrários os extremos direitos de cada intervalo a) Primeiro vamos calcular Δx que é o comprimento dos subintervalos: Os seis subintervalos são,,,, e então os pontos arbitrários são x 1 = 0,5, x 2 = 1, x 3 = 1,5, x 4 = 2, x 5 = 2,5 e x 6 = 3 Unidade 3 75

76 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, a soma de Riemann é calculada por: R = (0, ) 0,5 + ( ) 0,5 + (1, ) 0,5 + ( ) 0,5 + (2, ) 0,5 + ( ) 0,5 R = (0,25 + 3) 0,5 + (1 + 3) 0,5 + (2,25 + 3) 0,5 + (4 + 3) 0,5 + (6,25 + 3) 0,5 + (9 + 3) 0,5 R = 3,25 0, ,5 + 5,25 0, ,5 + 9,25 0, ,5 R = 1, , ,5 + 4, ,5 = 19,875 Resposta: a soma de Riemann é 19,875 a) Primeiro vamos calcular Δx que é o comprimento dos subintervalos Lembre-se de que a integral definida n um número muito grande, ou seja, n Temos n subintervalos que podemos escrever da seguinte forma:,,,,,,, em que é o i-ésimo intervalo Então, os pontos arbitrários são,,,,, x n = 3 76

77 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para calcular este limite, teremos de organizar a expressão dentro dos colchetes Como está multiplicando todas as parcelas, podemos colocar este fator em evidência: Note que Então, Como temos n parcelas da soma, então o 3 está somando n vezes Portanto, Nas n da soma, vamos colocar em evidência: Usaremos a fórmula da soma dos quadrados dos n primeiros termos positivos: Unidade 3 77

78 Universidade do Sul de Santa Catarina Substituindo esta fórmula em nossa expressão, obtemos: Enfim, podemos calcular o limite Lembre-se de que e Portanto, Note que a soma de Riemann apresentou um valor bem próximo da integral definida, e como a função do integrando é não negativa no intervalo a integral definida representa a área sob a curva da função no intervalo Achou complicado calcular a integral usando a definição? Uma boa notícia é que o teorema que veremos agora nos poupa deste trabalho árduo e pouco prático de calcular a integral definida O teorema, que se chama teorema fundamental do cálculo, mostra como calcular a integral definida conhecendo uma primitiva do integrando, fazendo novamente uma relação com o cálculo diferencial 78

79 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Teorema fundamental do cálculo: Seja função contínua e definida em, então, em que F é uma primitiva de ƒ Para calcular a integral definida de uma função contínua e definida em basta saber a primitiva e aplicar o limite superior na primitiva Em seguida, é preciso aplicar o limite inferior na primitiva e subtrair o segundo resultado do primeiro Usamos a seguinte notação: Para verificar como ficou fácil, vamos resolver alguns exemplos usando o teorema: Exemplo 1: Calcular Solução: Primeiro, vamos encontrar uma primitiva para ƒ(x) = x 2, que é o mesmo que encontrar a integral indefinida de ƒ(x) = x 2, ou seja,, em que C é uma constante arbitrária, usando o teorema fundamental do cálculo: Portanto, Exemplo 2: Calcular Solução: Primeiro, vamos encontrar uma primitiva para ƒ(x) = x, que é o mesmo que encontrar a integral indefinida de ƒ(x) = x, ou seja,, em que C é uma constante arbitrária, usando o teorema fundamental do cálculo: Portanto, Unidade 3 79

80 Universidade do Sul de Santa Catarina Note que, na integral definida, a constante arbitrária sempre será cancelada, pois vamos somar e subtrair a mesma constante Portanto, para a integral definida vamos desconsiderar a constante arbitrária Exemplo 3: Calcular a área sob o gráfico da função ƒ(x) = 2x no intervalo Solução: Como a função ƒ(x) = 2x é positiva no intervalo então a área sob o gráfico de ƒ(x) = 2x é igual à integral definida Portanto, Logo, a área sob o gráfico de ƒ(x) = 2x é igual a 39 unidades de área Seção 3 Cálculo da integral definida Estudamos que, para calcular a integral definida, fica muito simples aplicar o teorema fundamental do cálculo Mas, para aplicá-lo, é preciso conhecer uma primitiva da função do integrando Nesta seção, iremos aprender como se encontra a primitiva da função do integrando, as propriedades das integrais definidas e como se aplicam os dois métodos de integração nas integrais definidas: o método de integração por substituição e o método de integração por partes Acompanhe! Primitivas Para encontrar as primitivas da função do integrando podemos utilizar as mesmas regras aplicadas para encontrar as primitivas na integral indefinida Conhecendo a primitiva para calcular a integral definida, usamos o teorema fundamental do cálculo, como mostra o exemplo a seguir: 80

81 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo: Calcular as integrais definidas abaixo: a) b) c) Solução: a) O integrando é uma função constante, então a primitiva de ƒ(x) = 5 é F(x) = 5x Lembramos que a constante de integração será desconsiderada porque ela se anula no cálculo da integral definida Portanto, a integral definida é: b) O integrando é uma função potência, então a primitiva de ƒ(x) = x 5 é Portanto, a integral definida é: c) O integrando é uma função exponencial de base, então a primitiva de ƒ(x) = e x é F(x) = e x Portanto, a integral definida é: Note que não há nenhuma diferença entre encontrar as primitivas na integral indefinida e na integral definida, a não ser que a solução da integral definida é um número e a solução da integral indefinida são infinitas funções Unidade 3 81

82 Universidade do Sul de Santa Catarina Propriedades da integral definida Para facilitar o cálculo das integrais definidas, vamos conhecer suas propriedades: Propriedade 1: Esta propriedade garante que a integral definida em um ponto seja igual a zero Se analisarmos a definição, notamos que mas a = b então Como Δx multiplica todas as parcelas da soma, portanto: Exemplo 1: Calcular Solução: Como o limite superior é igual ao limite inferior, não é preciso encontrar a primitiva do integrando, pois a propriedade 1 garante que Propriedade 2: Esta propriedade garante que, se trocarmos os limites de integração, inverteremos o sinal da integral definida Como assumimos que a < b se invertermos os limites de integração, que é um número negativo, teremos: Exemplo 2: Calcular Solução: Vamos usar a propriedade 2 e o resultado da integral definida já conhecida em exemplo anterior Neste exemplo, calculamos Assim, usando a propriedade 2, obtemos: 82

83 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Propriedade 3: (c uma constante) Esta propriedade é semelhante à propriedade 1 da integral indefinida, pois garante que, quando um fator constante multiplica o integrando da integral definida, ele corresponderá à integral definida vezes este fator constante Exemplo 3: Calcular Solução: Vamos usar a propriedade 3, ou seja, vamos encontrar a primitiva do integrando e aplicar o teorema fundamental do cálculo: Logo, Outra forma de resolver de maneira mais direta seria: Propriedade 4: Esta propriedade é semelhante à propriedade vista na integral indefinida, ou seja, garante que a integral definida da soma ou subtração seja igual à soma ou à subtração das integrais definidas Unidade 3 83

84 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 4: Calcular as integrais definidas abaixo: a) b) Solução: a) Vamos aplicar a propriedade 4, encontrar a primitiva de cada função e aplicar o teorema fundamental do cálculo: Portanto, b) Vamos aplicar as propriedades 4 e 3 para encontrar a primitiva de cada função e aplicar o teorema fundamental do cálculo: 0 84

85 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, Propriedade 5: (a < c < b) Esta propriedade garante que, se é um número entre e então a integral definida no intervalo é igual à soma da integral definida no intervalo e da integral definida no intervalo Exemplo 5: Se e qual é o valor de? Solução: Mesmo não sabendo qual é o integrando, podemos aplicar a propriedade 5: Como a integral definida é um número, podemos manipular a equação acima da seguinte forma: Agora, basta substituir os valores dados no enunciado: Portanto, Os métodos de integração por substituição para integral definida Os métodos de integração por substituição e por partes foram aplicados à integral indefinida para encontrar a primitiva do integrando Vimos que para calcular a integral definida temos primeiro que encontrar uma primitiva As propriedades vistas são muito úteis para encontrar as primitivas, mas não são suficientes, pois alguns integrandos são complexos Nesses casos, antes na integral indefinida, podemos usar os dois métodos de integração, encontrando as primitivas, e aplicar o teorema fundamental do cálculo Unidade 3 85

86 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos ver como funcionam os métodos de integração para integral definida através de dois exemplos: Exemplo 6: Calcular Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x 2 e g(x) = 8x + 5 Portanto, podemos resolver usando o método da substituição Para a integral definida, há duas formas de resolver usando o método da substituição: Primeira forma: Resolver a integral indefinida para encontrar a primitiva, depois calcular a integral definida: Passo 1: Fazer a escolha de u sendo que u é sempre a g(x) portanto, u = 8x + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 8dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo que o interando é uma função potência: Passo 5: Retornar à variável x: Conhecendo a primitiva do integrado, podemos calcular a integral definida: 86

87 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Segunda forma: Junto com a mudança de variável também se faz a mudança dos limites de integração: Passo 1: Fazer a escolha de u, sendo que u é sempre a g(x), portanto, u = 8x + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 8dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 4 então u = = 37 Limite inferior x = 1 então u = = 13 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo que o interando é uma função potência: Note que na segunda forma de resolver não é necessário retornar à variável e o resultado não se altera, então você pode escolher uma das duas formas para resolver Exemplo 7: Calcular Solução: Já conhecemos este integrando quando estudamos método de integração por partes aplicado à integral indefinida Para a integral definida, calcularemos a integral indefinida usando o método de integração por partes, e a seguir iremos aplicar o teorema fundamental do cálculo: Unidade 3 87

88 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv = xdx Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver : Passo 5: Escrever a solução completa: Conhecendo a primitiva do integrado, podemos calcular a integral definida: 88

89 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 4 Cálculo de área usando integral definida No início desta unidade, introduzimos a definição de integral definida usando o cálculo de áreas e concluímos que a área sob uma curva é igual à integral definida para funções contínuas, não negativas e definidas no intervalo Nesta seção, calcularemos a área sob uma curva e entre duas curvas para integrais contínuas e definidas em A hipótese de a função ser não negativa não será mais necessária Cálculo de área Se a função for contínua, não negativa e definida no intervalo, para calcular a área sob a curva no intervalo calcula-se a integral definida no intervalo Veja nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Calcular a área limitada pela curva de ƒ(x) = 2x 2 pelo eixo x e as retas x = 0 e x = 8: Solução: Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: Gráfico 37 Gráfico da área do exemplo 1 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Como toda a área desejada está sobre o eixo portanto, toda a área é positiva Para calcular a área, calcularemos a integral definida no intervalo Unidade 3 89

90 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, a área é igual unidades de área Se a função for negativa em uma parte ou em todo intervalo a integral definida da função na parte negativa será negativa Neste caso, a área será o valor absoluto da integral, ou seja, o valor da integral sem considerar o sinal Exemplo 2: Calcular a área limitada pela a curva de ƒ(x) = x 3 pelo eixo x e as retas x = 2 e x = 2 Solução: Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: y 2 2 x Gráfico 38 Gráfico da área do exemplo 2 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Note que a área no intervalo está sob o eixo x portanto é negativa Usando a propriedade 5 da seção anterior, conseguimos separar a áreas em duas para calcular separadamente, como segue: O valor absoluto da primeira integral definida é o valor da área no intervalo Então, 90

91 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Como o valor da área é o valor absoluto da integral no intervalo, então a área é ( 4) de área Vamos calcular a área no outro intervalo, ou seja, a integral definida em : A área total é: Logo, o valor da área delimitada é de 8 unidades de área Área entre duas curvas Suponha que as projeções do consumo de água de certo bairro em 5 meses cresça a uma taxa de ƒ(t) mil metros cúbicos e este crescimento seja insustentável Por este motivo, será necessário implementar medidas de conscientização para não haver racionamento de água Após essas medidas, a taxa de crescimento passou a ser de g(t) mil metros cúbicos O consumo de água, no primeiro momento, é dado pela área sob o gráfico de ƒ(t) como mostra o gráfico 39 Após a implementação de medidas de conscientização, o consumo de água será dado pela área sob o gráfico de g(t) como mostra o gráfico 310 y f(t) t Gráfico 39 Gráfico do consumo de água previsto para 5 meses Fonte: Elaboração das autoras (2011) 5 Unidade 3 91

92 Universidade do Sul de Santa Catarina y g(t) 5 t Gráfico 310 Gráfico do consumo de água após a implementação de medidas de conscientização Fonte: Elaboração das autoras (2011) O importante nesta situação é saber quanto foi economizado de água após a implementação de medidas de conscientização do consumo de água e, para isto, é preciso saber a diferença do consumo Uma vez que a área abaixo do gráfico de ƒ(t) representa o consumo na primeira projeção e o gráfico de g(t) representa o consumo após a implementação de medidas de conscientização, o gráfico a seguir mostra a quantidade de água economizada Gráfico 311 Gráfico da quantidade de água economizada após a implementação de medidas de conscientização Fonte: Elaboração das autoras (2011) A área entre as duas curvas representa a quantidade de água economizada O cálculo desta área é simples: subtraia a área que está sob a curva de g(t) da área que está abaixo da curva de ƒ(t) Depois, vamos definir a área entre as duas curvas por A Assim, usando integrais definidas, temos: 92

93 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Definição de área entre duas curvas: Sejam ƒ e g funções contínuas tais que ƒ(x) g(x) no intervalo, então a área da região limitada superiormente por y = ƒ(x) e inferiormente por y = g(x) em é dada por: Note que na nossa situação inicial as funções eram não negativas, mas esta condição não é necessária para o cálculo de área entre duas curvas Veja no exemplo 3: Exemplo 3: Calcular a área que é limitada pelos gráficos das funções ƒ(x) = 3x 3 e g(x) = x 2 3 Solução: Dividiremos a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções Para encontrar estes pontos, devemos igualar as duas funções: 3x 3 = x 2 3 3x x 2 = x x 2 = 0 x (3 x) = 0 x = 0 e x = 3 Para x = 0 y = 3 e x = 3 y = 6 Portanto, os pontos de intersecção são (0 3) e (3, 6) Unidade 3 93

94 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: Gráfico 312 Gráfico da área limitada pelas funções ƒ(x) = 3x 3 e g(x) = x2 3 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função ƒ(x) = 3x 3 é a limitante superior da área, e a função g(x) = x 2 3 é a limitante inferior da área no intervalo Usando a definição: Logo, a área limitada por ƒ(x) = 3x 3 e g(x) = x 2 3 é 4,5 unidades de área 94

95 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Síntese Nesta unidade, você teve a oportunidade de compreender a necessidade de aprender o cálculo da integral definida no seu curso, através de exemplos aplicados e de fácil compreensão Ao finalizar esta unidade, você deve estar apto a aplicar a definição, as regras e propriedades da integral definida e do cálculo de área sob uma curva, bem como a aplicação desses conceitos a outras definições do seu curso, que veremos na unidade seguinte Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação O gabarito está disponível no final do livro didático Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem 1) Para as funções abaixo, use a soma de Riemann para encontrar uma aproximação para a área sob o gráfico usando as informações indicadas: a) ƒ(x) = x 2 + 2; ; n = 4; pontos arbitrários: os extremos direitos b) ƒ(x) = 3x 3 ; ; n = 5; pontos arbitrários: os extremos esquerdos c) ; ; n = 3; pontos arbitrários: os extremos direitos Unidade 3 95

96 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) A gerência de uma fabrica de lápis determinou que o custo marginal diário associado à produção é dada por: C'(x) = 0,000023x 2 0,01x + 2 em que C'(x) é medido em reais por unidade e x é o número de unidades produzidas A gerência também determinou que o custo fixo diário envolvido na produção destes lápis é de R$ 90,00 Determine o custo total diário para produzir: a) As primeiras 300 unidades b) Da unidade 250 à unidade 354 3) Dado que e, calcule: a) b) c) 4) Calcule as integrais definidas: a) b) c) d) e) f) g) h) 96

97 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 5) Calcule a área limitada pela curva de ƒ(x) = x 2 3x 4 pelo eixo x e as retas x = 0 e x = 4 6) Calcule a área limitada pela curva de ƒ(x) = 3x + 3 pelo eixo x e as retas x = 1 e x = 1 7) Calcule a área limitada pela curva de ƒ(x) = x pelo eixo x e as retas x = 1 e x = 2 8) Nos itens abaixo, esboce o gráfico da função ƒ e g e determinar a área da região delimitada pelos mesmos: a) e b) e c) e Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: TAN, S T Matemática aplicada à Administração e Economia São Paulo: Thomson, 2003 WEBER, J E Matemática para Economia e Administração São Paulo: Habra, 1986 Unidade 3 97

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99 unidade 4 Aplicação da integral definida 4 Objetivos de aprendizagem Aplicar a definição e as regras de integração a variáveis macroeconômicas, tais como os conceitos de renda nacional, consumo e poupança Aplicar a definição e as regras de integração a variáveis microeconômicas, tais como os conceitos de excedente do consumidor e excedente do produtor Aplicar a definição e as regras de integração a variáveis financeiras, tais como os conceitos de investimento e formação do capital Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Renda nacional, consumo e poupança Excedente do consumidor e do produtor Investimento e formação do capital

100 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Para fazer sentido estudar o cálculo integral nos cursos de Ciências Sociais é de fundamental importância conhecer as aplicações do cálculo integral a conceitos de Ciências Sociais Em todas as unidades, você teve contato com as aplicações do cálculo integral a problemas que envolvem conceitos de seu curso, mas nesta unidade daremos ênfase a alguns conceitos muito importantes nas áreas de Economia, Administração e Contábeis: renda nacional, consumo e poupança, excedente do consumidor, excedente do produtor, investimento e formação do capital A renda nacional relaciona tudo o que foi produzido no país e afeta o planejamento tanto do setor público quanto do privado; o consumo, ou seja, o montante que as pessoas ou famílias gastam ou compram afeta o crescimento do país e outras variáveis, como renda e emprego Para aqueles consumidores que não gastam toda sua renda, uma das opções é poupar para consumir no futuro A poupança de cada indivíduo da sociedade aumenta o montante de renda nacional, o que, por consequência, permite ao sistema financeiro ofertar mais recursos (dinheiro) para projetos de investimentos produtivos, ou seja, na formação de capital da nação Esses conceitos envolvem as variáveis macroeconômicas e variáveis exógenas, que dificilmente você ou a organização em que você trabalha ou gerencia podem influenciar (e por isso dizemos que essas variáveis são dados na economia) Os conceitos e os problemas abordados nesta unidade são de fácil entendimento e resolução utilizando a integral definida e indefinida que você aprendeu nas unidades anteriores É muito importante que, neste momento, todas as regras, propriedades e conceitos abordados nas unidades anteriores estejam compreendidas Note que o desenvolvimento das funções e métodos foi feito através de vários exemplos e exercícios justamente porque acreditamos que é com a prática que aprendemos a desenvolver e aplicar cálculos 100

101 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 1 Renda nacional, consumo e poupança Para compreender a aplicação do cálculo integral aos conceitos de renda nacional, consumo e poupança, vamos relembrar, primeiramente, que esses são variáveis macroeconômicas, para então buscarmos compreender como estão relacionados De forma geral, apresentamos os conceitos: Renda nacional Corresponde à soma da remuneração de todos os fatores que participam da produção Em termos gerais, é o Produto Interno Bruto (PIB) de uma nação No Brasil, assim como nos demais países, é uma medida de crescimento da nação Quanto maior for esta variável, que é medida anualmente, maior será o bem-estar da sociedade Consumo Corresponde à despesa em bens e serviços com vista à satisfação de necessidades e desejos dos consumidores O consumo é uma variável que tem impacto positivo na renda da nação; ou seja, quanto maior o consumo, maior o PIB O consumo é a soma da demanda dos três agentes econômicos: governo, empresas e famílias Poupança Corresponde à diferença entre a renda nacional disponível (renda disponível é a renda menos os impostos) e os gastos com bens e serviços Reflete na riqueza das famílias e da nação Por exemplo: um país que tem um nível elevado de poupança interna tem maiores possibilidades de financiar seus investimentos produtivos, como fábricas e prestadoras de serviços Quanto mais unidades produtivas (empresas), mais empregos e mais renda Esses conceitos são mais detalhados nos livros didáticos indicados no Saiba Mais Procure o livro de seu curso que aborda este conteúdo e aprofunde seus conhecimentos! Unidade 4 101

102 Universidade do Sul de Santa Catarina Com base nos conceitos acima e fazendo uma análise simplificada da renda nacional, podemos dizer que esta tem dois destinos: o consumo e a poupança, que podem ser representados através da seguinte equação: Y = C + S, em que y é a renda nacional, c é o consumo e s é a poupança Existe uma relação entre o consumo e a renda nacional: quando a renda nacional aumenta ou diminui, o consumo aumenta ou diminui, mas não na mesma intensidade Chamamos a relação entre consumo e renda nacional de função consumo, que é dada por: C = ƒ(y), em que y é a renda nacional e c é o consumo À variação do consumo, que ocorre à medida que a renda nacional varia, chamamos de propensão marginal a consumir (PMg) A PMg nada mais é que a taxa de variação do consumo em relação à renda nacional, ou seja, a derivada do consumo em relação à renda nacional Portanto, temos: Propensão Marginal a Consumir: C mg = ƒ (x) Da mesma forma, existe também uma relação da poupança com a renda nacional, que é dada por s = g(y), em que Y é a renda nacional e s é a poupança Considerando que Y = c + s e fazendo uma manipulação simples na equação, obtemos s = y c Derivando a poupança em relação à renda, temos: g (y) = 1 ƒ (y), que representa a variação da poupança à medida que a renda nacional varia (propensão marginal a poupar) Substituindo C mg = ƒ (x) na equação acima, deduzimos a seguinte fórmula para propensão marginal a poupar: Propensão Marginal a Poupar: S mg = 1 C mg 102

103 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, o consumo total é igual à integral em relação a x da propensão marginal a consumir, pois A constante de integração é definida com uma condição inicial, como veremos nos exemplos a seguir Exemplo 1: A propensão marginal a consumir é em bilhões de reais Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo é de 8 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança Solução: Para determinar a função consumo, temos que integrar a propensão marginal a consumir em relação à y Portanto, Para determinar C, vamos usar a condição inicial Quando a renda é zero, o consumo é de 8 bilhões, ou seja, temos que para y = 0 c(0) = 8, então: 8 = 0 + C C = 8 Logo, Para determinar a função poupança, temos que y = c + s Manipulando a equação, ficamos com s = y c ou s(y) = y c(y) Unidade 4 103

104 Universidade do Sul de Santa Catarina Substituindo a função consumo, temos: Logo, Exemplo 2: A propensão marginal a consumir é em bilhões de reais Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo é de 6 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança Solução: Para determinar a função consumo, temos que integrar a propensão marginal a consumir em relação à y Assim: Portanto, Para determinar C, usaremos a condição inicial Quando a renda é igual a zero, temos o consumo igual a 6 bilhões, ou seja, temos que para y = 0 c(0) = 6, então: 6 = 0 + C C = 6 Logo, 104

105 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a função poupança, temos que y = c + s Manipulando a equação, ficamos com s = y c ou s(y) = y c(y) Substituindo a função consumo, temos: Logo, Exemplo 3: A propensão marginal a poupar é s mg = 0,25 Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo é igual a 15 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança Solução: Para determinar a função consumo, primeiro vamos determinar a propensão marginal a consumir: s mg = 1 c mg c mg = 1 s mg c mg = 1 0,25 c mg = 0,75 Integrando a propensão marginal a consumir em relação à y, temos a função consumo dada por: Portanto, c(y) = 0,75y + C Para determinar C, vamos usar a condição inicial Quando a renda é igual a zero o consumo é de 15 bilhões, ou seja, temos que para y = 0 c(0) = 15, então: c(0) = 0, C 15 = 0 + C C = 15 Logo, c(y) = 0,75y + 15 Unidade 4 105

106 Universidade do Sul de Santa Catarina Para determinar a função poupança, temos s(y) = y c(y) Vamos substituir a função consumo: s(y) = y (0,75y + 15) = y 0,75y 15 = 0,25y 15 Logo, s(y) = 0,25y 15 Exemplo 4: A propensão marginal a poupar é Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo igual a 5 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança Solução: Para determinar a função consumo, primeiro vamos determinar a propensão marginal a consumir: s mg = 1 c mg c mg = 1 s mg Integrando a propensão marginal a consumir em relação à y, temos a função consumo dada por: Portanto, Para determinar C, vamos usar a condição inicial Quando a renda é igual a zero o consumo é de 5 bilhões, ou seja, temos que para y = (0) c(0) = 5, então: c(0) = 0, C 5 = 0 + C C = 5 Logo, 106

107 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a função poupança, temos s(y) = y c(y) Vamos, então, substituir a função consumo: Logo, Quando determinamos a propensão marginal a consumir de um país, podemos ter uma previsão de quando as empresas daquele país poderão vender no ano em questão O outro indicativo derivado, que é a poupança, pode ajudar o governo a planejar seus investimentos, principalmente de infraestrutura Como em economia todas as variáveis estão interligadas, o lado real da economia, ou seja, o que envolve produção, consumo, etc, afeta o lado monetário No que se refere à decisão do governo sobre o valor da taxa de juros, esta tanto pode ser usada para atrair poupança externa como para frear o consumo, caso o aumento de demanda reflita em aumento de inflação Taxas de juros elevadas, por exemplo, também inibem os investimentos produtivos e, como consequência, os empresários poderão deixar de fazer um projeto de implementação de uma nova unidade ou até de expansão da unidade produtiva atual Por outro lado, taxas de juros elevadas refletem em maiores retornos em investimentos financeiros Seção 2 Excedente do consumidor e do produtor Os conceitos de excedente do consumidor e do produtor estão relacionados à Microeconomia, mais particularmente à teoria da firma Desta teoria tiramos que, em termos gerais, as firmas procuram maximizar seus lucros, dado sua tecnologia, preço do trabalho, preço do capital, preço dos recursos naturais, e preço da terra Em resumo, entendemos que o objetivo maior da empresa é maximizar seus lucros Unidade 4 107

108 Universidade do Sul de Santa Catarina Excedente do consumidor A teoria da demanda é derivada de hipóteses da teoria do consumidor Parte-se do pressuposto de que o consumidor tenha orçamento limitado e acesso a uma determinada cesta de produtos, assim a teoria da demanda visa a explicar as possibilidades de escolha do consumidor O consumidor fará escolhas com seu orçamento limitado e tentará alcançar a melhor combinação de bens e serviços consumidos, ou seja, aquela que lhe trará maior nível de satisfação Diferentemente da empresa, o objetivo maior do consumidor é maximizar seu bem-estar Por isso, a Microeconomia parte do pressuposto de que o consumidor tenha orçamento limitado e acesso a uma determinada cesta de produtos Assim, a teoria da demanda visa a explicar as possibilidades de escolha do consumidor O consumidor fará escolhas com seu orçamento limitado e tentará encontrar os bens e serviços que lhe trarão maior grau de satisfação e, em última instância, maior bem-estar Para obter a satisfação desejada, o consumidor está disposto a pagar um preço Mas o preço que ele se dispõe a pagar não corresponde necessariamente ao que efetivamente pagará, e a essa diferença damos o nome de excedente do consumidor Nesta seção, veremos uma aplicação da integral definida a esse conceito Primeiro, leia a definição de excedente do consumidor Em seguida, vamos entender como a integral definida é utilizada para calcular o excedente do consumidor Excedente do consumidor mede o benefício obtido pelo consumidor numa determinada transação É a diferença entre o que ele está disposto a pagar por um determinado produto e o que efetivamente pagará A integral definida é utilizada na fórmula que se calcula o excedente do consumidor Vamos desenvolver a fórmula e compreender a necessidade de utilizar a integral definida Para isso, suponha que p = D(x) é uma função de demanda que relaciona o preço unitário p de um determinado bem à quantidade demandada x Função de demanda representa as quantidades de um bem que pode ser comprado a vários preços 108

109 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Se o preço de mercado é p 0 e a quantidade demandada correspondente é x 0, então o consumidor que estiver disposto a pagar um preço superior a p 0 tem um ganho pelo fato de o preço ser inferior ao que ele está disposto a pagar Por exemplo, se o consumidor está disposto a pagar R$ 60,00 por uma camisa e a camisa custa R$ 55,00, isto significa que o consumidor economizará R$ 5,00, que representa o excedente do consumidor O gráfico 41 mostra a função de demanda correspondente ao preço de mercado p 0 em relação à quantidade demandada correspondente x 0 : Preço p p 0 A p = D(x) x 0 Gráfico 41 Gráfico da função de demanda Fonte: Elaboração das autoras (2011) x Quantidade Analisando o gráfico, podemos notar que, se o consumidor estiver disposto a pagar qualquer valor acima de p 0, ele estará economizando Portanto, a área sob a curva do gráfico de p = D(x) e sobre a reta p = p 0 no intervalo representa o excedente do consumidor Para calcular o excedente do consumidor, basta calcular a área A destacada no gráfico no intervalo Na unidade anterior, calculamos esta área usando integral definida É o que vamos fazer para encontrar a fórmula que calcula o excedente do consumidor Unidade 4 109

110 Universidade do Sul de Santa Catarina A área que desejamos calcular está limitada inferiormente por p = p 0 e superiormente por p = D(x) Usando a definição de cálculo de área já apresentada, encontramos: Definição de área entre duas curvas: Sejam f e g funções contínuas tais que f(x) g(x) no intervalo, então a área da região limitada superiormente por y = f(x) e inferiormente por y = g(x) em é dada por Logo, para calcular o excedente do consumidor, usamos a fórmula Vamos, a seguir, aplicar essa fórmula nos exemplos apresentados: Exemplo 1: Se a função demanda de uma marca de secador de cabelo é p = x 2 4x + 32, determine o excedente do consumidor: Soluções: a) Se a demanda de mercado for de 3 unidades b) Se o preço de mercado for de R$ 27,00 a) Se a demanda de mercado for 3, temos que é x 0 = 3 Com o valor de x 0 e a função demanda, vamos calcular o valor de p 0 : 110

111 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: p x Gráfico 42 Gráfico da função de demanda p = x 2 4x + 32 com x 0 = 3 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Para encontrar o excedente do consumidor, vamos aplicar a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é R$ 36,00 b) Se o preço de mercado é de R$ 27,00, temos que é p 0 = 27 Com o valor de p 0, vamos calcular o valor de x 0 : Resolvendo a equação do segundo grau, chegamos ao valor de x 0 = 5 e x 0 = 1 Como x 0 é quantidade, x 0 tem que ser um valor positivo Assim, a solução da equação do segundo grau, que é também solução do problema, é x 0 = 1 Unidade 4 111

112 Universidade do Sul de Santa Catarina Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: p x Gráfico 43 Gráfico da função demanda p = x 2 4x + 32 com p 0 = 27 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Para encontrar o excedente do consumidor, vamos aplicar a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 2,70 Exemplo 2: Se a função de demanda de um produto é e a demanda de mercado é 9 unidades, determine o excedente do consumidor Solução: Se a demanda de mercado é 9, temos que é x 0 = 9 Com o valor de x 0 e com a função de demanda dados, vamos calcular o valor de p 0 : 112

113 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: p x Gráfico 44 Gráfico da função de demanda com x 0 = 9 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Para encontrar o excedente do consumidor, vamos aplicar a fórmula: Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g (x) Portanto, u = 25 x Passo 2: Calcular o diferencial de u, sendo du = dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 9, então u = 25 9 = 16 Limite inferior x = 0, então u = 25 0 = 25 Unidade 4 113

114 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Fazer a substituição: Como o limite superior é menor que o limite inferior, podemos modificar usando a propriedade que garante que, se trocarmos os limites de integração, inverteremos o sinal da integral definida, estudada anteriormente Assim: Passo 5: Calcular a integral definida: Voltando à fórmula do excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 4,70 Excedente do produtor A integral definida também é usada na fórmula que calcula o excedente do produtor Para compreender como e por que, vamos conhecer o conceito de excedente do produtor e depois desenvolver a fórmula 114

115 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Excedente do produtor: corresponde ao montante (em unidades monetárias) de que o produtor se beneficia por produzir as quantidades que lhe proporcionam a maximização do seu lucro É, ainda, a diferença entre o preço da mercadoria negociada e o custo marginal do produtor O excedente do produtor surge por que os custos marginais estão abaixo do atual preço que as firmas recebem por seus bens no mercado Suponha que y = S(x) é uma função de oferta que relaciona o preço unitário y de um bem com a quantidade x que o produtor tornará disponível no mercado Função oferta: representa as respectivas quantidades de um bem que pode ser ofertado a vários preços Se o preço de mercado é p 0 e a quantidade ofertada de mercado correspondente é x 0, então os produtores que podem ofertar produtos com preço inferior a p 0 têm lucro Por exemplo: Se um produtor de camisas consegue produzir camisas para serem comercializadas a R$ 45,00, mas o preço de mercado é de R$ 50,00 reais, então o produtor vai ganhar, a cada camisa, R$ 5,00 a mais, e este ganho representa o excedente do produtor Custo marginal (CMg): representa quanto os custos totais aumentam pela produção de uma unidade adicional do produto Consideramse como custos totais: gastos com máquinas, equipamentos e outros capitais produtivos, custos com mão de obra e insumos necessários para produzir bens Matematicamente, o custo marginal corresponde à derivada primeira da função de custo O gráfico 45, a seguir, mostra a função oferta o preço de mercadop 0 e a quantidade x 0 ofertada: Preço p p = S( x) p 0 A x 0 x Quantidade Gráfico 45 Gráfico da função oferta Fonte: Elaboração das autoras (2011) Unidade 4 115

116 Universidade do Sul de Santa Catarina O gráfico mostra que os produtores que estiverem em condições de ofertar o produto a qualquer valor abaixo de p 0 estarão ganhando Portanto, a área sobre a curva do gráfico de p = S(x) e sob a reta p = p 0 no intervalo representa o excedente do produtor Para calcular o excedente do produtor, basta calcular a A destacada no gráfico no intervalo Como fizemos no caso do cálculo do excedente do consumidor, vamos também usar a definição de cálculo vista na unidade anterior e relembrada nesta seção A área que desejamos calcular está limitada superiormente por p = p 0 e inferiormente por p = S(x), novamente aplicando a definição de cálculo de área, temos: Logo, para calcular o excedente do produtor usamos a fórmula Vamos, a seguir, aplicar a fórmula acima nos exemplos apresentados: Exemplo 1: Se a função de oferta de um produto é p = x , e o preço de mercado é R$ 36,00, determine o excedente do produtor Solução: Se o preço de mercado de um produto é R$ 36,00, então y 0 = 36 Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0 : 116

117 Cálculo Integral nas Ciências Sociais A equação tem como solução x 0 = 4 e x 0 = 4 Mas como x 0 representa quantidade, e quantidade é positiva, a solução da equação e também solução do problema só pode ser x 0 = 4 Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da oferta: p x Gráfico 46 Gráfico da função oferta p = x com x 0 = 4 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Para encontrar o excedente do produtor, vamos aplicar a fórmula: Logo, o excedente do produtor é de aproximadamente R$ 42,70 Exemplo 2: Se a função de oferta de um produto é p = 2x 2 + 8, e o preço de mercado é R$ 58,00, determine o excedente do produtor Solução: Se o preço de mercado de um produto é R$ 58,00, então y 0 = 58 Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0 : Unidade 4 117

118 Universidade do Sul de Santa Catarina A equação tem como solução x 0 = 5 e x 0 = 5 Mas como x 0 representa quantidade, e quantidade é positiva, a solução da equação e também solução do problema só pode ser x 0 = 5 Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da oferta: Preço p p = S(x) p 0 A x x 0 Quantidade Gráfico 47 Gráfico da função oferta p = 2x com x 0 = 5 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Para encontrar ao excedente do produtor, aplicamos a fórmula: Logo, o excedente do produtor é de aproximadamente R$ 166,70 118

119 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Se a função de oferta de uma marca de aparelho de DVD é p = (x + 1) 2 e o preço de mercado é de R$ 225,00, determine o excedente do produtor Solução: Se o preço de mercado de um produto é R$ 225,00, então y 0 = 225 Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0 : Consideramos a quantidade o valor positivo porque x 0 é Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da oferta: p x Gráfico 48 Gráfico da função oferta p = (x + 1) 2 com x 0 = 16 Fonte: Elaboração das autoras (2011) Unidade 4 119

120 Universidade do Sul de Santa Catarina Para encontrar ao excedente do produtor, aplicamos a fórmula: Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x) Portanto, u = x + 1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, sendo du = dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 16, então u = = 17 Limite inferior x = 0, então u = = 1 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida: Voltando à fórmula de excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do produtor é de aproximadamente R$ 1962,70 120

121 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 3 Investimento e formação do capital A formação do capital está diretamente ligada ao investimento e esta ligação é fácil de ser notada através da integral indefinida e da integral definida Para compreender esta ligação, primeiro vamos entender os conceitos de formação de capital e investimento Formação de capital É o processo de adição a um determinado estoque de capital Investimento Investimento é toda e qualquer ação que visa à obtenção de uma determinada rentabilidade Em economia, ele está relacionado ao investimento produtivo, ou seja, a bens de capital que geram outros bens No caso aqui apresentado estamos falando do mundo financeiro, que envolve matemática financeira, análise de investimento e engenharia econômica Ou seja, estamos falando de investimento no mercado financeiro Vamos considerar que o processo de formação de capital, definido acima, é contínuo no tempo, então o estoque de capital varia a cada instante Podemos expressar o estoque de capital através de uma função do tempo definida por k(t) Assim, a cada instante t temos um novo estoque de capital Já a taxa de variação com que este estoque de capital varia é determinada pela derivada da função k(t) Então, a taxa de formação de capital é k'(t) A taxa de formação de capital no instante t é idêntica ao fluxo de investimento líquido no instante t, definido por I(t) Portanto, a ligação existente entre a formação de capital e o investimento é que a derivada da formação de capital é igual ao investimento; ou seja, a função que representa a formação de capital no instante t é primitiva da função que representa o fluxo de investimento no instante t Unidade 4 121

122 Universidade do Sul de Santa Catarina Conhecendo a função que representa o fluxo de investimento no instante t e o valor do capital inicial no instante t = 0, podemos determinar a função que representa a formação do capital no instante t, que é a trajetória temporal do capital k Exemplo 1: Suponhamos que o fluxo de investimento seja descrito pela função I(t) = 4t 3 e que o capital inicial no tempo t = 0 seja R$ 5000,00, determine a trajetória temporal do capital k Solução: Para encontrar a trajetória temporal do capital k, basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento Assim: Portanto, O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é Exemplo 2: Suponhamos que o fluxo de investimento seja descrito pela função e que o capital inicial no tempo t = 0 seja R$ 2000,00, determine a trajetória temporal do capital k Solução: Para encontrar a trajetória temporal do capital k, basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento Assim: Portanto, 122

123 Cálculo Integral nas Ciências Sociais O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é Quando se quer saber o valor do montante da formação do capital durante um intervalo de tempo, usamos o conceito da integral definida, da seguinte forma: dado um intervalo de tempo, o valor do montante da formação do capital durante é dado por: Exemplo 3: Se em milhões de reais por ano, calcule qual será o montante da formação de capital durante o intervalo Solução: Para saber o montante da formação de capital durante o intervalo, vamos calcular a seguinte integral definida: Logo, o montante da formação de capital durante o intervalo é R$ ,00 Exemplo 4: Suponhamos que o fluxo de investimento seja descrito pela função em milhões de reais por ano, e que o capital inicial no tempo t = 0 seja de R$ 6000,00, determine: a) A trajetória temporal do capital k b) O montante da formação de capital durante o intervalo Unidade 4 123

124 Universidade do Sul de Santa Catarina Soluções: a) Para encontrar a trajetória temporal do capital k, basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento Assim: Portanto, O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é b) Para saber o montante da formação de capital durante o intervalo, vamos calcular a seguinte integral definida: Logo, o montante da formação de capital durante o intervalo é R$ ,00 Esses conjuntos de ferramentas ajudam a calcular o capital no futuro ou o deslocamento do capital no tempo a partir do custo, ou seja, a taxa de juros 124

125 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Síntese Nesta unidade, você teve contato com alguns conceitos importantes de variáveis macro e microeconômicas e financeiras Compreendeu que o cálculo integral é uma grande ferramenta para resolver esses problemas, pois mostramos o porquê de usar a integral nas fórmulas que solucionam tais problemas Em Macroeconomia, você aprendeu a aplicação de problemas envolvendo a renda nacional, consumo e poupança Já na Microeconomia você estudou os excedentes do produtor e do consumidor, aplicando a integração dessas áreas Para as análises gráficas desses conceitos, são muito importantes as técnicas de integração No que tange às variáveis financeiras, destacamos nesta unidade o investimento e a formação de capital Esperamos que você tenha notado a importância de estudar cálculo no seu curso Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação O gabarito está disponível no final do livro didático Mas, esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem 1) A propensão marginal a consumir é em bilhões de reais Quando a renda é igual a zero, o consumo é 11 bilhões de reais Determine a função consumo e a função poupança 2) A propensão marginal a poupar é Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 5 bilhões de reais Determine a função consumo e a função poupança Unidade 4 125

126 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Se a função demanda de um produto é y = 20 x 2, determine o excedente do consumidor: a) Se a demanda de mercado é de 2 unidades b) Se o preço de mercado é R$ 4,00 4) Se função oferta de um produto é e o preço de mercado é igual a R$ 6,00, determine o excedente do produtor 5) Se a função oferta de um produto é e a quantidade ofertada é 4 unidades, determine o excedente do produtor 6) Suponha que o fluxo de investimento seja descrito pela função em mil reais por ano, e que o capital inicial no tempo t = 0 é de R$ 2000,00 Determine: a) A trajetória temporal do capital k b) O montante da formação de capital durante o intervalo Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: CHIANG, A C Matemática para economistas São Paulo: Edusp-McGraw-Hill, 1982 WEBER, J E Matemática para Economia e Aministração São Paulo: Habra,

127 unidade 5 Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria 5 Objetivos de aprendizagem Utilizar matrizes para modelar problemas de Economia Resolver soma de matrizes, multiplicação de matriz por escalar e multiplicação de matrizes Conhecer a definição de matrizes e entender algumas operações com matrizes Determinar a inversa de uma matriz e a solução de um sistema Aplicar as operações com matrizes a problemas de previsão com variáveis econômicas Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 O problema e a modelagem matricial Resolução de sistemas Aplicação a um problema que envolve previsão de variáveis econômicas

128 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo É importante que, no seu curso, você tenha um contato com a álgebra matricial, pois muitos problemas são resolvidos através de matrizes Levando isso em consideração, elaboramos esta unidade em que trataremos deste tema Nesta unidade, apresentaremos um exemplo simples de econometria sobre regressão linear múltipla, com o objetivo de abordar alguns conceitos importantes de álgebra matricial, sem se preocupar em citar e demonstrar as propriedades Seção 1 O problema e a modelagem matricial Nesta seção, você conhecerá o problema de econometria sobre regressão linear múltipla Para isso, vamos relembrar o conceito de econometria: Econometria é o ramo do conhecimento humano que aplica a Matemática e a Estatística à Teoria Econômica, objetivando dar-lhe conteúdo empírico (CAPITÃO, 2009) Serão apresentadas algumas definições sobre matrizes que são úteis para modelar o problema na forma matricial Nosso objetivo, aqui, não é aprofundar o conceito de regressão linear múltipla, mas simplesmente apresentar o problema através de alguns conceitos e propriedades para que você possa usar a álgebra matricial para modelá-lo Para compreender regressão linear: Imagine duas variáveis Y e X (que poriam ser, por exemplo, investimento e juros), ou quaisquer duas variáveis que, supostamente, tenham relação entre si, em que X é a variável independente e Y a variável dependente, isto é, Y que é afetado por X, e não o contrário 128

129 Cálculo Integral nas Ciências Sociais O processo de encontrar a relação entre Y e X é chamado de regressão Se esse processo for uma reta, é uma regressão linear Se houver apenas uma variável independente (só tem um X), é uma regressão linear simples E quando tiver dois ou mais X explicativos, temos uma regressão múltipla O problema econômico para essas várias hipotéticas poderia ser a receita total nos últimos doze dias, representando o Y, X 2 (gastos com propaganda) e X 3 (preços)(adaptado de SARTORIS, 2003) Com os dados do quadro 51, estimar a regressão Y em função X 2 e X 3 e fazer os testes da regressão e de cada um dos parâmetros: I Y X 2 X , , , , , , , , , , , ,4 Quadro 51 Valores de Y, X 2 e X 3 Fonte: SARTORIS (2003) Unidade 5 129

130 Universidade do Sul de Santa Catarina Modelo de regressão linear múltipla: Em que: Y é a variável explicativa são coeficientes de regressão são variáveis explicativas ε é o erro residual i é o índice referente à linha da tabela, podendo ser tempo ou quantidade Usando o modelo de regressão linear múltipla, podemos reescrever o quadro através de equações Para isso, primeiro reescrevemos as equações de acordo com os índices i apresentados no quadro, depois, usando os valores, da seguinte forma: Neste caso, Y é uma variável que depende dos valores de X 2 e X 3 e o objetivo é encontrar os valores de β 1, β 2 e β 3 Como Y 1 é o Y que está na primeira linha, X 21 é o X 2 que está na primeira linha, e X 31 é o X 3 que está na primeira linha Note que o mesmo acontece para as demais linhas Portanto, na segunda linha todos têm o índice 2, na terceira linha todos têm tem o índice 3, e assim sucessivamente Desta forma, podemos escrever as equações acima com os valores do quadro 51: 130

131 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Essas equações podem ser escritas em forma de matriz, mas, para isso, precisamos entender o que é uma matriz e conhecer algumas operações, para depois voltarmos ao problema Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas Os elementos podem ser números reais ou complexos Analisemos os seguintes exemplos de matriz: Exemplo 1: A matriz A tem 3 linhas e 3 colunas, a matriz B tem 2 linhas e 3 colunas e a matriz C tem uma linha e 4 colunas Unidade 5 131

132 Universidade do Sul de Santa Catarina Uma matriz é sempre denotada por letra maiúscula e seus elementos por letras minúsculas Então, se quisermos representar uma matriz A de m e n colunas, ou seja, de ordem m n a representação é feita da seguinte forma: Uma matriz com m e 1 coluna também é chamada de vetor Para localizar um elemento da matriz, precisamos indicar a linha e a coluna que ele se encontra Por exemplo: o elemento a 23 da matriz A do exemplo 1 é o elemento que está na segunda linha e terceira coluna; então, a 23 = 10 Podemos fazer algumas operações com as matrizes, como: Soma de matriz: Para somar duas matrizes, elas têm que ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e mesmo número de colunas Para efetuar a operação, somamos elemento a elemento Exemplo 2: 132

133 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Multiplicação por escalar: Para multiplicar uma matriz por um escalar, um número qualquer, basta multiplicar cada elemento pelo escalar Exemplo 3: Multiplicação de matrizes: Para multiplicar duas matrizes a primeira tem que ter o número de colunas igual ao número de linhas da segunda, e os elementos da matriz produto são obtidos como mostra o exemplo a seguir Para multiplicar as matrizes, temos de multiplicar os elementos da primeira linha pelos elementos da primeira coluna e somar os resultados, assim temos o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz produto, como no exemplo 4: Exemplo 4: Unidade 5 133

134 Universidade do Sul de Santa Catarina Devemos proceder assim sucessivamente até determinar todos os elementos Agora que você conhece algumas operações básicas, podemos inserir o conceito de sistema que usa essas definições Sistema de equações: É um conjunto de m equações com n incógnita e é representado genericamente da seguinte forma: Podemos escrever o sistema acima na forma matricial: ou A X = B Em que e A é a matriz dos coeficientes numéricos do sistema 134

135 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 5: Escrever o sistema abaixo, na forma matricial: Solução: ou A X = B Em que e Modelando o problema de regressão linear múltipla Depois de ver a definição de matriz, a definição de sistema e aprender algumas operações, podemos reescrever o problema usando matrizes, pois este é um sistema de 12 equações e 3 variáveis, a saber: Unidade 5 135

136 Universidade do Sul de Santa Catarina Este sistema de equação é um pouco diferente do visto no exemplo 5, pois tem a soma de uma matriz que representa o erro, como podemos ver a seguir: ou Y = X β + ε Em que,, e Agora, nosso problema já está escrito de forma matricial, e é um sistema de equações Na próxima seção, veremos como resolver sistemas 136

137 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 2 Resolução de sistemas O problema de regressão linear múltipla é um sistema de equações que, na seção anterior, escrevemos de duas formas matriciais Nesta seção, o objetivo é mostrar como resolver este sistema usando algumas definições de matrizes Primeiramente, vamos definir o que é solução de um sistema e, após, trabalharemos algumas definições importantes para resolver o sistema Depois desta seção já estaremos prontos para resolver o nosso problema de Econometria Solução de sistema: Dado o sistema: Uma solução desse sistema é n-upla de números (x 1, x 2, x 3,, x n ) que satisfazem simultaneamente todas as m equações Veja o exemplo a seguir: Exemplo 1: Uma solução é (2,4), pois Para encontrar a solução de sistemas lineares existem algumas técnicas Vamos apresentar apenas uma, a que é mais utilizada nas literaturas de econometria para resolver os problemas de regressão linear múltipla Mas antes precisamos compreender outras propriedades que irão nos auxiliar na resolução de sistemas Unidade 5 137

138 Universidade do Sul de Santa Catarina Se você ficou interessado em saber como resolver de outra forma, consulte o livro de álgebra linear que está listado no Saiba Mais desta unidade Outra definição fundamental a ser entendida para resolver sistemas é a transposição de matriz, conceituada e exemplificada a seguir Transposição de matriz: Dada uma matriz A podemos obter uma matriz transposta trocando as linhas pelas colunas, a que chamamos de transposta de A Denotamos a transposta de A por A'; então se A m n, a transposta de é A' n m Exemplo 2: Dada a matriz, determinar A': Solução: Basta trocar a linha pela coluna Se multiplicarmos a transposta de uma matriz pela matriz a partir da qual foi feita a transposição, obteremos uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, chamada de matriz quadrada Matriz quadrada é a matriz que tem o mesmo número de linhas e de colunas Vamos acompanhar o exemplo a seguir: Exemplo 3: Dada a matriz o produto de B por B, determinar B e Solução: Vamos obter primeiro a transposta de B, 138

139 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Agora vamos determinar o produto de B por B e verificar se o produto é uma matriz quadrada A matriz produto é uma matriz quadrada Se multiplicarmos a matriz por sua transposta também teremos uma matriz quadrada, conforme segue: A matriz produto também é uma matriz quadrada Observe que B B B B Portanto, nas matrizes, a ordem dos fatores altera o produto Unidade 5 139

140 Universidade do Sul de Santa Catarina Existem algumas matrizes quadradas especiais, denominadas identidade, como veremos a seguir: Matriz identidade: É uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos Observe o exemplo a seguir: Exemplo 4: a) b) c) A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes, ou seja, I n A n = A n e A n I n = A n Mais um conceito importante para resolução de sistemas é o conceito de determinante: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada, o qual denotamos por det A Calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3 é simples, como mostraremos a seguir: 140

141 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinante de matriz de ordem 1, 2 e 3 Matriz de ordem 1: então det A = a 11 Matriz de ordem 2: então det A = a 11 a 22 a 12 a 21 Matriz de ordem 3:, então det A = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 32 + a 13 a 21 a 11 a 13 a 22 a 31 Mas antes de calcular o determinante de matrizes de ordem n, onde n é um número maior ou igual a 3, é preciso conhecer outras definições, como a de cofator, utilizada no desenvolvimento de Laplace, que é o método que iremos usar para resolver o determinante de matrizes de ordem n Seja uma matriz A de ordem n com n 2, o cofator do elemento a ij é o produto ( 1) i + j det A ij, em que A ij é a submatriz da matriz A, e onde a i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas Denotamos o cofator por Δ ij = ( 1) i + j det A ij Veja um exemplo do cálculo de cofatores: Exemplo 5: Seja, determinar o cofator dos elementos a 11, a 21 e a 31 Solução: Cofator do elemento a 11, Δ 11 = ( 1) 1 +1 det A 11 Para determinar det A 11, temos de calcular o determinante da submatriz, que é a matriz original sem a primeira linha e sem a primeira coluna Unidade 5 141

142 Universidade do Sul de Santa Catarina, det A 11 = = = 11 Δ 11 = ( 1) = ( 1) 2 11 = 1 11 = 11 Cofator do elemento a 21, Δ 21 = ( 1) 2+1 det A 21 Para determinar det A 21, temos que calcular o determinante da submatriz, que é a matriz original sem a segunda linha e sem a primeira coluna, det A 21 = = = 2 Δ 21 = ( 1) = ( 1) 3 2 = 1 2 = 2 Cofator do elemento a 31, Δ 31 = ( 1) 3+1 det A 31 Para determinar det A 31 temos que calcular o determinante da submatriz, que é a matriz original sem a terceira linha e sem a primeira coluna, det A 31 = = = 3 Δ 31 = ( 1) = ( 1) 4 2 = 1 3 = 3 Matriz de ordem n Desenvolvimento de Laplace Com a definição de cofator podemos compreeender o desenvolvimento de Laplace:, det A n = a 1i Δ 1i + a 2i Δ 2i + + a ni Δ ni Note que o determinante foi desenvolvido pela i-ésima coluna, mas nada mudaria se fosse pela i-ésima linha No próximo exemplo calcularemos o determinante de uma matriz de ordem 3, pelo desenvolvimento de Laplace definido acima 142

143 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 6: Seja matriz A, encontrar o determinante da Solução: Vamos usar os dados do exemplo 5, já que a matriz é a mesma det A 3 = a 11 Δ 11 + a 21 Δ 21 + a 31 Δ 31 det A 3 = ( 2) + ( 1) ( 3) det A 3 = det A 3 = 4 Portanto, o determinante de A é 4 O desenvolvimento de Laplace é aplicado a qualquer matriz quadrada com ordem superior a 3 Para resolver um sistema, além da definição de determinantes, precisamos conhecer mais três definições: a de matriz de cofatores, matriz adjunta e matriz inversa, que é o que veremos agora Matriz dos cofatores: Se para cada elemento de uma matriz A for calculado um cofator Δ ij = ( 1) i + j det A ij temos o número de cofatores igual ao número de elementos de A e a matriz desses cofatores é denotada por Veja a aplicação desta definição no exemplo abaixo: Exemplo 7: Seja cofatores de A determinar a matriz de Solução: Os cofatores dos elementos a 11, a 21 e a 31 já foram calculados no exemplo 5 Δ 11 = 11, Δ 21 = 2 e Δ 31 = 3 Unidade 5 143

144 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos calcular os cofatores para os outros elementos: Cofator do elemento a 12 :, det A 12 = 5 7 ( 1) 6 = = 41 Δ 12 = ( 1) = ( 1) 3 41 = 1 41 = 41 Cofator do elemento a 22 :, det A 22 = 1 7 ( 1) 3 = = 10 Δ 22 = ( 1) = ( 1) 4 10 = 1 10 = 10 Cofator do elemento a 32 :, det A 32 = = 6 15 = 9 Δ 32 = ( 1) = ( 1) 5 9 = 1 9 = 9 Cofator do elemento a 13 :, det A 13 = 5 4 ( 1) 5 = = 25 Δ 13 = ( 1) = ( 1) 4 25 = 1 25 = 25 Cofator do elemento a 23 :, det A 23 = 1 4 ( 1) 2 = = 6 Δ 23 = ( 1) = ( 1) 5 6 = 1 6 = 6 Cofator do elemento a 33 :, det A 33 = = 5 10 = 5 Δ 33 = ( 1) = ( 1) 6 5 = 1 5 = 5 Portanto, a matriz de cofatores de A é 144

145 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos, a seguir, entender o conceito de matriz adjunta Matriz adjunta: Dada uma matriz quadrada A, a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A Denotaremos a matriz adjunta por Veja no exemplo: Exemplo 8: Seja de A, determinar a matriz adjunta Solução: Como no exemplo 7 já calculamos a matriz dos cofatores, para ter a matriz adjunta temos de transpor a matriz Portanto, Em seguida, entenda mais um conceito importante no cálculo de matrizes: o de matriz inversa, que tem uma importante função na resolução de sistemas Matriz inversa: Dada uma matriz A quadrada de ordem n, a matriz inversa de A é uma matriz B, tal que A B = B A = I n, em que I n é a matriz identidade de ordem n Denotamos A 1 para a inversa de A Para determinar a inversa de A usamos a seguinte fórmula: Note que a inversa de A existe se o determinante de A for diferente de zero Unidade 5 145

146 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta não é única forma de calcular a inversa de uma matriz Se você ficou interessado, procure no livro de álgebra linear do saiba mais desta unidade ou no livro Matemática para Economia e Administração, de J E Weber, que está na bibliografia Vamos calcular a matriz inversa do exemplo seguinte, usando as definições acima e os resultados encontrados nos exemplos anteriores Exemplo 9: Seja inversa de A, determinar a matriz Solução: No exemplo 6, calculamos o determinante de A: det A 3 = 4 No exemplo 8, determinamos a matriz adjunta de A: Para calcular a inversa de A, basta aplicar a fórmula: Portanto, 146

147 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Resolução de sistemas Vamos analisar o sistema do exemplo 5 da seção 1: O sistema na forma matricial é da seguinte forma, como já vimos: ou A X = B em que, e Resolver o sistema A X = B é encontrar os valores de x 1, x 2 e x 3 que tornam a igualdade verdadeira Para isso, vamos trabalhar com o sistema na forma matricial, como se fosse uma equação, e na resolução usaremos algumas das definições que vimos nesta unidade Primeiramente, vamos multiplicar a inversa de A em ambos os lados da equação: A 1 A X = A 1 B Como pela definição de inversa A 1 A = I, então A 1 A X = A 1 B IX = A 1 B A identidade é o elemento neutro da multiplicação, portanto X = A 1 B Logo, para encontrar os valores de x 1, x 2 e x 3, basta multiplicar a inversa de A pela matriz B Unidade 5 147

148 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta resolução é válida quando estamos trabalhando com a matriz A quadrada Lembre-se de que definimos inversa de matriz para matrizes quadradas, ou seja, de ordem n Vamos a um novo exemplo: Exemplo 10: Resolver o sistema Solução: O sistema na forma matricial é: ou A X = B em que, e Para resolver o sistema, temos de encontrar a inversa de A, e para encontrar a inversa primeiro temos de encontrar a matriz de cofatores de A Cofator do elemento a 11 :, det A 11 = ( 2) ( 0,5) 6 5 = 1 30 = 29 Δ 11 = ( 1) = ( 1) 2 29 = 1 29 = 29 Cofator do elemento a 21 :, det A 21 = 6 ( 0,5) 6 7 = 3 42 = 45 Δ 21 = ( 1) = ( 1) 3 45 = 1 29 = 45 Cofator do elemento a 31 :, det A 31 = 6 5 ( 2) 7 = = Δ 31 = ( 1) = ( 1) 4 44 = 1 44 = 44

149 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos calcular o determinante para verificar se a matriz tem inversa, mas lembre-se de que o determinante tem que ser diferente de zero para que a inversa exista Como o determinante é diferente de zero, a matriz A tem inversa Vamos continuar calculando os cofatores: Cofator do elemento a 12 :, det A 12 = 7 ( 0,5) 0,3 5 = 3,5 1,5 = 5 Δ 12 = ( 1) = ( 1) 3 5 = 1 5 = 5 Cofator do elemento a 22 : 4,6, det A 22 = 5 ( 0,5) 0,3 7 = 2,5 2,1 = Δ 22 = ( 1) 2+2 ( 46) = ( 1) 4 ( 4,6) = 1 ( 4,6) = 4,6 Cofator do elemento a 32 :, det A 32 = = = 24 Δ 32 = ( 1) 3+2 ( 24) = ( 1) 5 ( 24) = 1 24 = 24 Cofator do elemento a 13 :, det A 13 = 7 6 0,3 ( 2) = ,6 = 42,6 Δ 13 = ( 1) ,6 = ( 1) 5 42,6 = 1 42,6 = 42,6 Cofator do elemento a 23 :, det A 23 = 5 6 0,3 6 = 30 1,8 = 28,2 Δ 23 = ( 1) ,2 = ( 1) 5 28,2 = 1 28,2 = 28,2 Unidade 5 149

150 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento a 33 :, det A 33 = 5 ( 2) 7 6 = = 52 Δ 33 = ( 1) = ( 1) 6 52 = 1 52 = 52 Portanto, a matriz de cofatores de A é Agora, com a matriz de cofatores de A podemos determinar a matriz adjunta de A: Para encontrar a inversa, aplicamos a fórmula: Logo, Com a matriz inversa, podemos encontrar os valores de x 1, x 2 e x 3 150

151 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, x 1 = 30,0776, x 2 = 15,5024 e x 3 = 35,916 Unidade 5 151

152 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 Aplicação a um problema que envolve previsão de variáveis econômicas Até este momento, todas as definições necessárias para modelar o problema de Econometria já foram apresentadas Além disso, você aprendeu a resolver sistemas de equações quando a matriz de coeficientes do sistema é uma matriz quadrada O nosso problema de Economia é que a matriz dos coeficientes numéricos não é uma matriz quadrada, portanto não podemos resolver diretamente, como vimos na seção anterior No entanto, existe uma forma de transformá-la em uma matriz quadrada, como mostraremos nesta seção O sistema da seção anterior é: ou Y = X β + ε 152

153 Cálculo Integral nas Ciências Sociais em que, e Obs: Vamos desconsiderar por enquanto o ε pois sobre ele será feita uma análise mais adiante no livro Note que a matriz X tem 12 linhas e 3 colunas Como você já estudou, o produto da multiplicação de uma matriz por sua transposta é uma matriz quadrada Assim, vamos usar a transposta da matriz X para transformá-la em uma matriz quadrada Usaremos primeiro a notação matricial, depois entraremos com os números do problema para descrever a solução Acompanhe Unidade 5 153

154 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução matricial Y = X β X'Y = X'X β Agora que a matriz do nosso sistema é uma matriz quadrada, podemos resolver o problema, como foi mostrado na seção anterior: Então, para determinar os valores de β 1, β 2 e β 3, precisamos determinar a transposta de X, multiplicar a transposta de X por X e por Y, determinar a inversa do produto X 'X e, finalmente, multiplicar a inversa (X 'X) 1 por X 'Y para encontrar os valores de β 1, β 2 e β 3 Acompanhe a solução do problema: Determinar a transposta de X: 154

155 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinar o produto Por questão de espaço e para melhor compreensão, vamos calcular cada elemento da matriz produto x'x 11 = = = 12 x'x 12 = = = 87 x'x 13 = 1 0, , , , , , , , , , , ,4 = 0,8 + 0,7 + 0,5 + 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,8 + 0,7 + 0,6 + 0,1 + 0,5 + 0,4 = 5,9 x'x 21 = = = 87 Unidade 5 155

156 Universidade do Sul de Santa Catarina x'x 22 = = = 731 x'x 23 = 2 0, , , , , , , , , , , ,4 = 1,6 + 2, ,2 + 1,4 + 2,4 + 8, ,4 + 0, ,6 = 41 x'x 31 = 0, , , , , , , , , , , ,4 1 = 0,8 + 0,7 + 0,5 + 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,8 + 0,7 + 0,6 + 0,1 + 0,5 + 0,4 = 5,9 x'x 32 = 0, , , , , , , , , , , ,4 4 = 1,6 + 2, ,2 + 1,4 + 2,4 + 8, ,4 + 0, ,6 = 41 x'x 33 = 0,8 0,8 + 0,7 0,7 + 0,5 0,5 + 0,4 0,4 + 0,2 0,2 + 0,2 0,2 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 + 0,6 0,6 + 0,1 0,1 + 0,5 0,5 + 0,4 0,4 = 0,64 + 0,49 + 0,25 + 0,16 + 0,04 + 0,04 + 0,64 + 0,49 + 0,36 + 0,01 + 0,25 + 0,16 = 3,53 Logo, 156

157 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinar o produto X'X: Por questão de espaço e para melhor compreensão, vamos calcular cada elemento da matriz produto: x'y 11 = = = x'y 21 = = = x'y 31 = 0, , , , , , , , , , , , = = 9309 Unidade 5 157

158 Universidade do Sul de Santa Catarina Determinar a inversa (X'X) 1 : Primeiro vamos determinar a matriz de cofatores: Cofator do elemento x'x 11 : = 2580, = 899,43, det X'X 11 = 731 3, = Δ 11 = ( 1) ,43 = ( 1) 2 899,43 = 1 899,43 = 899,43 Cofator do elemento x'x 21 : 307,11 241,9 = 65,21, det X'X 21 = 87 3, ,9 = Δ 21 = ( 1) ,21 = ( 1) 3 65,21 = 1 65,21 = 65,21 Cofator do elemento x'x 31 : ,9 = 745,9, det X'X 31 = ,9 = Δ 31 = ( 1) ,9 = ( 1) 4 745,9 = 1 745,9 = 745,9 Vamos calcular o determinante para verificar se a matriz tem inversa Lembre-se de que o determinante tem que ser diferente de zero para que a inversa exista 158

159 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Como o determinante é diferente de zero, a matriz X'X tem inversa Assim, vamos continuar calculando os cofatores: Cofator do elemento x'x 12 : 307,11 241,9 = 65,21, det X'X 12 = 87 3,53 5,9 41 = Δ 12 = ( 1) ,21 = ( 1) 3 65,21 = 1 65,21 = 65,21 Cofator do elemento x'x 22 : 42,36 34,81 = 7,55, det X'X 22 = 12 (3,53) 5,9 5,9 = Δ 22 = ( 1) 2+2 7,55 = ( 1) 4 7,55 = 1 7,55 = 7,55 Cofator do elemento x'x 32 : ,3 = 21,3, det X'X 32 = ,9 = Δ 32 = ( 1) 3+2 ( 21,3) = ( 1) 5 ( 21,3) = 1 ( 21,3) = 21,3 Cofator do elemento x'x 13 : ,9 = 745,9, det X'X 13 = ,9 731 = Δ 13 = ( 1) ,9 = ( 1) 5 745,9 = 1 745,9 = 745,9 Cofator do elemento x'x 23 : ,3 = 21,3, det X'X 23 = ,9 87 = Δ 23 = ( 1) 2+3 ( 21,3) = ( 1) 5 ( 21,3) = 1 ( 21,3) = 21,3 Unidade 5 159

160 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento x'x 33 :, det X'X 33 = = = 1203 Δ 33 = ( 1) = ( 1) = = 1203 Portanto, a matriz de cofatores de X'X é Agora, com a matriz de cofatores de X'X, podemos determinar a matriz adjunta de X'X: Para encontrar a inversa, aplicamos a fórmula: Logo, a inversa é 160

161 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinar a solução β 1, β 2 e β 3 O objetivo de resolver o sistema é encontrar os valores de β 1, β 2 e β 3 Encontramos estes valores, mas para resolver o problema, falta analisar ε que é o vetor erro residual da regressão linear múltipla Para isso, vamos voltar ao problema na forma de equações, substituindo os β 1, β 2 e β 3 pelos valores encontrados na resolução do sistema, e calcular cada elemento do vetor erro residual Unidade 5 161

162 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos relembrar as equações da seção 1: Vamos, então, calcular os elementos do vetor erro residual: Cálculo do elemento ε 1 : Cálculo do elemento ε 2 : 162

163 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cálculo do elemento ε 3 : Cálculo do elemento ε 4 : Cálculo do elemento ε 5 : Cálculo do elemento ε 6 : Unidade 5 163

164 Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo do elemento ε 7 : Cálculo do elemento ε 8 : Cálculo do elemento ε 9 : Cálculo do elemento ε 10 : 164

165 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cálculo do elemento ε 11 : Cálculo do elemento Portanto, o vetor erro residual é Logo, o modelo estimado de regressão linear múltipla é Desconsiderando os devidos testes econométricos, esta equação representaria quanto a receita total de uma determinada empresa iria variar, dependendo do preço e do gasto com a propaganda Podemos perceber que, quanto maior o gasto com propagada maior será a receita, e quanto maior o preço menor será a receita, o que indica que a demanda deste bem é inelástica Unidade 5 165

166 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Através de um exemplo de Econometria, você teve contato com algumas definições importantes de álgebra matricial e operações com matrizes, tais como: inverter uma matriz; achar o determinante; resolver um sistema Essas definições são aplicadas a este exercício de Econometria, que representa apenas um exemplo inicial dos métodos econométricos que serão desenvolvidos ao longo do curso de Ciências Econômicas Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação O gabarito está disponível no final do livro didático Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem 1) Sejam, e, determinar: a) A + B b) 2A c) AC d) A 3B 2) Dada a matriz, calcular o determinante 166

167 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 3) Determinar a matriz de cofatores e a matriz adjunta das seguintes matrizes: a) b) 4) Determinar a matriz inversa da matriz A do exercício anterior 5) Dado o sistema a) Escrever na forma matricial b) Resolver o sistema Unidade 5 167

168 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: BOLDRINI, J S; COSTA, S I R; FIGUEIREDO, V L; WETZLER, H G Álgebra linear 3 ed São Paulo: Harbra, 1986 SARTORI, A Estatística e introdução à Economia São Paulo: Saraiva,

169 Para concluir o estudo Parabéns por mais esta etapa concluída! Para chegar aqui, você estudou sobre os principais conceitos de integral indefinida e suas primitivas, que o(a) ajudaram a compreender a relação entre integrais e derivadas Para isso, foi necessário introduzir algumas regras que possibilitassem aprender e aplicar as definições em problemas característicos das Ciências Sociais Você estudou, também, os métodos de integração, entre os quais temos como principais os métodos por substituição e de integração por partes Outro ponto importante que você estudou foi a definição de integral definida e o cálculo das integrais definidas de funções Quando falamos em integral definida, estamos falando de cálculo de área sob uma curva, tema importante para várias aplicações de conceitos de macro e microeconomia, e finanças em geral Além disso, você estudou a aplicação das teorias desenvolvidas ao longo do livro, envolvendo algumas variáveis fundamentais para a economia de um país, tais como renda nacional, que afeta o crescimento econômico, o consumo e a poupança; e investimentos, que movimentam o mercado financeiro Outra razão importante do aprendizado dos métodos de integração é o cálculo dos excedentes, tanto do consumidor quanto do produtor, ambos variáveis da microeconomia Você também conheceu algumas regras básicas ou mínimas para a compreensão de álgebra linear, que serão muito úteis na resolução de problemas que envolvam estudos de probabilidades avançadas e

170 Universidade do Sul de Santa Catarina econometria; além da aplicação de matrizes para o cálculo da relação entre renda, preços e gastos em marketing, fenômenos bem factíveis em Ciências Sociais Grande abraço! Profa Clarice Borges de Miranda Profa Joseane Borges de Miranda 170

171 Referências ANTON, H B; DAVIS, I S Cálculo 8 ed Porto Alegre: Bookman, 2007 v 1 ARTORIS, A Estatística e introdução à Economia São Paulo: Saraiva, 2003 BOLDRINI, J S; COSTA, S I R; FIGUEIREDO, V L; WETZLER, H G Álgebra linear 3 ed São Paulo: Harbra, 1986 CAPITÃO, A C de O Estatística Econometria Regressão potencial; exponencial; hiperbólica; regressão linear múltipla Disponível em: < econometria regressao linear> Acesso em: 4 ago 2011 CHIANG, A C Matemática para economistas São Paulo: McGraw Hill/Edusp, 1982 LEITHOLD, L O cálculo com geometria analítica São Paulo: Harbra, 1982 v 1 SARTORI, A Estatística e introdução à Economia São Paulo: Saraiva, 2003 SILVA, S M da et al Matemática para os cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis 5 ed São Paulo: Atlas, 1999 v 1 SIMMONS, G F Cálculo com geometria analítica São Paulo: Makron Books, 1987 v I STEWART, J Cálculo 6 ed São Paulo: Cengage Learning, 2009 v 1 TAN, S T Matemática aplicada à Administração e Economia São Paulo: Thomson, 2003 WEBER, J E Matemática para Economia e Administração 2 ed São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1986

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173 Sobre as professoras conteudistas Clarice Borges de Miranda é natural de Imbituba, cidade litorânea de Santa Catarina É licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), em 2003 Seu TCC analisou as Equações do 2º grau e técnicas de resolução: um estudo didático da classe 8ª, demonstrando técnicas mais amigáveis para cativar os alunos É pós graduada em Matemática Aplicada e Computacional pela Universidade Federal de Santa Catarina (2006), com o trabalho Usando o MATLAB para Resolução de Problema de Minimização com Restrições Lineares de Igualdade, que objetivou usar técnicas computacionais na resolução de problemas; e mestre em Matemática também pela UFSC Ajudou na coordenação e organização de vários cursos de aperfeiçoamento para professores de Matemática do Ensino Médio no Estado de Santa Catarina, ofertados pela UFSC Foi professora substituta desta universidade entre 2003 e 2005, ministrando disciplinas como Cálculo I e Matemática Financeira, principalmente nos cursos de Ciências Sociais Desde 2008, leciona na Cooperativa Educacional de Imbituba Joseane Borges de Miranda também é natural de Imbituba É bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC, 1998) Seu TCC analisou o impacto da política cambial sobre os preços agrícolas em Santa Catarina É especialista e mestre em Economia Industrial também pela Universidade Federal de Santa Catarina (2000) Sua dissertação foi um estudo focado nos aspectos macroeconômicos da competitividade sistêmica no setor de revestimento de

174 Universidade do Sul de Santa Catarina Santa Catarina Atualmente, é doutoranda do programa de pós graduação em Engenharia e Gestão do Conhecimento da UFSC, com foco na área de Engenharia do Conhecimento Sua tese versará sobre indicadores de capital intelectual da modalidade EaD e indicadores de desempenho Além da EaD, seu foco de pesquisa é o e gov no Brasil É professora há mais de nove anos da disciplina de Econometria nos cursos de Economia Na Unisul, é professora dos cursos de Engenharias de Produção, Civil e Ambiental, ministrando disciplinas como Probabilidade e Estatística, Introdução à Economia e Macroeconomia Na UnisulVirtual, é professora das disciplinas de Gestão do Conhecimento, Gestão da Informação, Finanças Internacionais, Estatística e Econometria É autora do livro Engenharia Econômica e coordenadora do curso de bacharelado em Ciências Econômicas da UV 174

175 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Unidade 1 1) Para provar é necessário derivar F e lembrar se das regras de derivação a) Portanto, F é primitiva de ƒ b) Portanto, F é primitiva de ƒ c) Portanto, F é primitiva de ƒ 2) Para provar é necessário derivar F e G, Então, as duas funções são primitivas de ƒ Usando o teorema, todas as primitivas de ƒ são da seguinte forma: H(x) = e 5x+1 + C em que C uma constante

176 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Para cada item aplicar a regra adequada: a) b) c) d) e) f) g h) i) j) k) l) m) n) 176

177 Cálculo Integral nas Ciências Sociais o) 4) Para determinar a população projetada após 4 anos da implantação da empresa, usaremos a taxa de crescimento para encontrar a função (P(t)) que relaciona a população e o tempo usando integral indefinida: Como a solução de uma integral indefinida é infinita, para determinar a solução única que satisfaz o problema temos que determinar C Para isso sabemos que no tempo t = 0 (início da implantação da empresa) a população é de habitantes, então: 177

178 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, C = e nossa função é: E a população, após quatro anos da implantação, é: Logo, a população projetada para quatro anos após o início da implantação da empresa é de habitantes Unidade 2 1) a) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 5x + 8 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 5dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: b) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x 3 + 3x Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = (3x 2 + 3)dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: 178

179 Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 3x Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 6xdx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: d) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 5x + 1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 5dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: e) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x + 10 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: 179

180 Universidade do Sul de Santa Catarina f) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = ln6x Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: 2) a) Passo 1: Escolher u e dv: u = x dv = e 2x dx Passo 2: Determinar du e v: Para determinar v, usaremos o método de integração por substituição em que s é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo Escolher s, s = 2x Determinar ds, ds = 2dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Portanto, 180

181 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver: Observe que a integral já foi resolvida no início do exercício usando o método de integração por substituição Passo 5: Escrever a solução completa: b) Passo 1: Escolher u e dv: u = x + 4 dv = (x + 5) 3 dx Passo 2: Determinar du e v: Para determinar v, usaremos o método de integração por substituição em que s é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher s, s = x + 5 Determinar ds, ds = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Portanto, 181

182 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver: Para determinar, usaremos o método de integração por substituição em que t, é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher t, t = x + 5 Determinar dt, dt = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Passo 5: Escrever a solução completa: c) Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv= x 2 dx Passo 2: Determinar du e v: Passo 3: Aplicar a fórmula (desconsideramos a constante de integração) 182

183 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: d) Passo 1: Escolher u e dv: Passo 2: Determinar du e v: Para determinar v, usaremos o método de integração por substituição em que s é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher s, s = x + 3 Determinar ds, ds = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Passo 3: Aplicar a fórmula : 183

184 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Resolver Para determinar usaremos o método de integração por substituição em que t é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher t, t = x + 3 Determinar dt, dt = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Passo 5: Escrever a solução completa: 3) Como é fornecida a taxa de produção, para encontrar a expressão que relaciona tempo em meses com a produção, basta integrar a função que representa a taxa de variação: Vamos calcular usando o método de integração por substituição: 184

185 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(t); portanto, u = 2t Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2dt Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida em que o interando é uma função exponencial de base e : Passo 5: Retornar à variável t : Voltando à resolução do problema, Denotando por S(t) a expressão que relaciona tempo em meses com quantidade produzida, temos: S(t) = 10e 2t + C Para definir a constante C usamos que no instante t = 0, S(0) = 80; usando esta informação, temos: Portanto, a expressão desejada é: S(t) = 10e 2t + 70 Vamos calcular a produção nos dois primeiros meses: Assim, a empresa espera produzir aproximadamente 609 unidades até o segundo mês após a estimativa 185

186 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 3 1) a) Vamos calcular Δx, que é o comprimento dos subintervalos: Os quatros subintervalos são,, e, então os pontos arbitrários são x 1 = -0,25, x 2 = 0,5, x 3 = 1,25 e x 4 = 2 Portanto, a soma de Riemann é: Logo, a área aproximada sob o gráfico de 10,41 unidades de área é de b) Vamos calcular Δx, que é o comprimento dos subintervalos: Os cinco subintervalos são,,, e, então os pontos arbitrários são x 1 = 0, x 2 = 0,4, x 3 = 0,8, x 4 = 1,2 e x 5 = 1,6 Portanto, a soma de Riemann é: Logo, a área aproximada sob o gráfico de de área é de 7,68 unidades 186

187 Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) Vamos calcular Δx, que é o comprimento dos subintervalos: Os três subintervalos são,, e, então os pontos arbitrários são x 1 = 3, x 2 = 4 e x 3 = 3 Portanto, a soma de Riemann é: Logo, a área aproximada sob o gráfico de de área é de 2,4 unidades 2) Como a função C'(x) é o custo marginal sua primitiva C(x) é o custo total O custo fixo total na produção de lápis é R$ 90,00, ou seja, C(0) = 90 a) Para calcular o custo total para produzir as primeiras 300 unidades temos que calcular variação C(300) C(0) no intervalo, isto é, a integral definida de C (x) no intervalo : Portanto, ou seja, o custo total diário para produzir as primeiras 300 unidades é de R$ 537,00 187

188 Universidade do Sul de Santa Catarina b) O custo total diário que a fábrica tem na produção da unidade 250 à unidade 354 é dado por: Portanto, o custo total diário é de R$ 114,20 na produção da unidade 250 à unidade 354 3) a) Para resolver, vamos usar as propriedades de integral definida: Agora, vamos usar os valores das integrais definidas: Portanto, b) Para resolver, vamos usar as propriedades de integral definida: Agora, vamos usar os valores das integrais definidas: Portanto, c) Para resolver, vamos usar as propriedades de integral definida: Agora, vamos usar os valores das integrais definidas: Portanto, 188

189 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 4) a) b) c) d) e) Para resolver esta integral definida, vamos usar o método integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(x),portanto, u = 2x + 1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 4, então u = = 9 Limite inferior x = 0, então u = = 1 189

190 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência: Logo, f) Para resolver esta integral definida, vamos usar o método integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2xdx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 1, então u = = 2 Limite inferior x = 0, então u = = 1 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência, com potência igual a 1: Logo, 190

191 Cálculo Integral nas Ciências Sociais g) Para resolver esta integral definida vamos usar o método integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2xdx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 2, então u = = 9 Limite inferior x = 1, então u = ( 1) = 6 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência: Logo, h) Para resolver esta integral definida, vamos usar o método integração por partes: Passo 1: Vamos escolher u e dv: u = 6x dv = e x dx Passo 2: Determinar du e v: integração) (desconsideramos a constante de 191

192 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: Conhecendo a primitiva do integrado, podemos calcular a integral definida: 5) Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: Note que a área no intervalo está sob o eixo x Portanto, o valor da área é o valor absoluto da integral definida da função no intervalo : Logo, a área A = 18,67 unidades de área 192

193 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 6) Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: A área A é igual à integral definida da função no intervalo : Logo, a área A = 6 unidades de área 7) Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: A área A é igual à integral definida da função no intervalo : Logo, a área A = 4,75 unidades de área 193

194 Universidade do Sul de Santa Catarina 8) a) Vamos dividir a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções Para encontrar estes pontos, igualamos as duas funções: x + 2 = x 2 x 2 x 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 e x = 2 Para x = 1 y = 1 e x = 2 y = 4; portanto, os pontos de intersecção são ( 1,1) e (2,6) Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função ƒ(x) = x + 2 é a limitante superior da área, e a função g(x) = x 2 é a limitante inferior da área no intervalo Usando a definição: Logo, a área limitada por ƒ(x) = x + 2 e g(x) = x 2 é de 4,5 unidades de área 194

195 Cálculo Integral nas Ciências Sociais b) Vamos dividir a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções: Para encontrar estes pontos, igualamos as duas funções: Resolvendo a equação, temos x = 1 e x = 0 Para x = 0 y = 0 e x = 1 y = 1; portanto, os pontos de intersecção são (0,0) e (1,1) Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função é a limitante superior da área e a função g(x) = x é a limitante inferior da área no intervalo Usando a definição: Logo, a área limitada por e g(x) = x é de unidades de área 195

196 Universidade do Sul de Santa Catarina c) Vamos dividir a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções Para encontrar estes pontos, igualamos as duas funções: Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 e x = 1 Para x = 1 y = 3 e x = 1 y = 3; portanto, os pontos de intersecção são ( 1,3) e (1,3) Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: y -1 1 x Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função g(x) = x é a limitante superior da área e a função f(x) = x é a limitante inferior da área no intervalo [ 1,1] Usando a definição: Logo, a área limitada por f(x) = x e g(x) = x é de de área unidades 196

197 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Unidade 4 1) Para determinar a função consumo, temos que integrar a propensão marginal a consumir em relação à y Portanto, Para determinar C, usaremos a condição inicial Temos que para x = 0 c(o) = 11, então: 11 = 0 + C C = 11 Logo, 2) Para determinar a função poupança temos que y = c + s Manipulando a equação: s = y c ou s(y) = y c(y) Substituindo a função consumo, temos: Logo, Para determinar a função consumo, primeiro vamos determinar a propensão marginal a consumir Assim: s mg = 1 c mg c mg = 1 s mg Integrando a propensão marginal a consumir em relação y, temos a função consumo dada por 197

198 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, Para determinar C, vamos usar a condição inicial Temos que, para y = 0 c(0) = 5, então: 5 = 0 + C C = 5 Logo, Para determinar a função poupança, temos s(y) = y c(y) Vamos, então, substituir a função consumo: Logo, 3) a) Se a demanda de mercado é 2, temos que x 0 = 2 Com o valor de x 0, vamos calcular o valor p 0 : p 0 = 20 x 2 p 0 = p 0 = 20 4 p 0 = 16 Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: Gráfico da demanda com x 0 = 2 y x 198

199 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para encontrar o excedente do consumidor, aplicamos a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é R$ 5,30 b) Se o preço de mercado é de R$ 4,00, temos p 0 = 4 Com o valor de p 0, vamos calcular o valor de x 0 : p 0 = 20 x = 20 x = x = x = x 0 2 x 0 = ± 4 Resolvendo a equação do segundo grau, temos que x 0 = 4 e x 0 = 4 Como x 0 é quantidade, portanto x 0 tem que ser um valor positivo, a solução da equação do segundo grau que é também solução do problema só pode ser x 0 = 4 Para encontrar o excedente do consumidor, aplicamos a fórmula: 4) Portanto, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 42,70 Se o preço de mercado de um produto é R$ 6,00, então p 0 = 6 Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0 : 199

200 Universidade do Sul de Santa Catarina Para encontrar ao excedente do produtor aplicamos a fórmula: Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 25 + x Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 11, então u = = 36 Limite inferior x = 0, então u = = 25 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência: Voltando à fórmula de excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 5,30 5) Se a quantidade ofertada é 4 unidades, então x 0 = 4 Com o valor de x 0 e com a função oferta, vamos calcular p 0 : Para encontrar ao excedente do produtor, aplicamos a fórmula: 200

201 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida Assim: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 4, então Limite inferior x = 0, então Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida: Voltando à fórmula de excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 20,00 6) a) Para encontrar a trajetória temporal do capital k basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento Assim: Portanto, O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é 201

202 Universidade do Sul de Santa Catarina b) Para saber o montante da formação de capital durante o intervalo, vamos calcular a seguinte integral definida: Logo, o montante da formação de capital durante o intervalo R$ ,00 é Unidade 5 1) a) Como a matriz A e B tem a mesma ordem, podemos efetuar a soma: b) Para multiplicar um escalar por uma matriz, basta multiplicar todos os elementos da matriz pelo escalar: c) Para multiplicar duas matrizes, temos de verificar a ordem, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de C Como A tem três colunas e C tem três linhas, podemos multiplicar as matrizes: 202

203 Cálculo Integral nas Ciências Sociais d) Primeiro vamos multiplicar por 3, depois fazer a subtração: 2) Primeiro vamos calcular os cofatores dos elementos da primeira coluna: Cofator do elemento a 11 :, Obs: Este determinante pode ser calculado por cofator Cofator do elemento a 21 :, 203

204 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento a 31 :, Cofator do elemento a 41 :, Logo, o determinante é: 3) a) Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores, vamos primeiro determinar a matriz dos cofatores: Cofator do elemento a 11 :, det A 11 = ( 2) ( 0,2) 0 3 = 0,4 0 = 0,4 11 = ( 1) 1+1 0,4 = ( 1) 2 0,4 = 1 0,4 = 0,4 Cofator do elemento a 21 :, det A 21 = 3 ( 0,2) 0 1 = 0,6 0 = 0, = ( 1) 2+1 ( 0,6) = ( 1) 3 ( 0,6) = 1 ( 0,6) = 0,6

205 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cofator do elemento a 31 :, det A 31 = 3 3 ( 2) 1 = = = ( 1) = ( 1) 4 11 = 1 11 = 11 Cofator do elemento a 12 :, det A 12 = 1 ( 2) 4 3 = 0,2 12 = 11,8 12 = ( 1) 1+2 ( 11,8) = ( 1) 3 ( 11,8) = 1 ( 11,8) = 11,8 Cofator do elemento a 22 :, det A 22 = 0 ( 0,2) 4 1 = 0 4 = 4 22 = ( 1) 2+2 ( 4) = ( 1) 4 ( 4) = 1 ( 4) = 4 Cofator do elemento a 32 :, det A 32 = 0 3 ( 1) 1 = = 1 32 = ( 1) = ( 1) 5 1 = 1 1 = 1 Cofator do elemento a 13 :, det A 13 = ( 2) = = 8 13 = ( 1) = ( 1) 4 8 = 1 8 = 8 Cofator do elemento a 23 :, det A 23 = = 0 12 = = ( 1) 2+3 ( 12) = ( 1) 5 ( 12) = 1 ( 12) = 12 Cofator do elemento a 33 :, det A 33 = 0 ( 2) ( 1) 3 = = 3 33 = ( 1) = ( 1) 6 3 = 1 3 = 3 205

206 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, a matriz de cofatores de A é Agora, com a matriz de cofatores de A, vamos determinar a matriz adjunta de : b) Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores, vamos primeiro determinar a matriz dos cofatores: Cofator do elemento b 11 :, det B 11 = ( 1) ( 3) 1 3 = 3 3 = 0 11 = ( 1) = ( 1) 2 0 = 1 0 = 0 Cofator do elemento b 21 :, det B 21 = ( 1) ( 3) 1 3 = 3 3 = 0 21 = ( 1) 2+1 ( 6) = ( 1) 3 ( 6) = 1 ( 6) = 6 Cofator do elemento b 31 :, det B 31 = 1 3 ( 1) 3 = = 6 31 = ( 1) = ( 1) 4 6 = 1 6 = 6 Cofator do elemento b 12 :, det B 12 = 2 ( 3) 2 3 = 6 6 = = ( 1) 1+2 ( 12) = ( 1) 3 ( 12) = 1 ( 12) =

207 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cofator do elemento b 22 :, det B 22 = 2 ( 3) 2 3 = 6 6 = = ( 1) 2+2 ( 12) = ( 1) 4 ( 12) = 1 ( 12) = 12 Cofator do elemento b 32 :, det B 32 = = 6 6 = 0 32 = ( 1) = ( 1) 5 0 = 1 0 = 0 Cofator do elemento b 13 :, det B 13 = ( 1) = = 4 13 = ( 1) = ( 1) 4 4 = 1 4 = 4 Cofator do elemento b 23 :, det B 23 = = 2 2 = 0 23 = ( 1) = ( 1) 5 0 = 1 0 = 0 Cofator do elemento b 33 :, det B 33 = 2 ( 1) 2 1 = 2 2 = 4 33 = ( 1) 3+3 ( 4) = ( 1) 6 ( 4) = 1 ( 4) = ( 4) Portanto, a matriz de cofatores de B é Agora, com a matriz de cofatores de B vamos determinara matriz adjunta de B: 207

208 Universidade do Sul de Santa Catarina 4) No exercício 3, calculamos a matriz adjunta de A Para determinar a matriz inversa falta calcular o determinante e aplicar a fórmula Primeiro, vamos usar o cálculo do exercício anterior de cofatores da primeira coluna para calcular o determinante: Temos que a matriz adjunta de A é Agora vamos aplicar a fórmula para encontrar a matriz inversa: Logo, a matriz inversa de A é 5) a) Vamos escrever na forma matricial: ou A X = B onde, e 208

209 Cálculo Integral nas Ciências Sociais b) Para resolver o sistema, temos que encontrar a inversa de A Primeiro vamos encontrar os cofatores de A: Cofator do elemento a 11 :, det A 11 = = 2 1 = 1 11 = ( 1) = ( 1) 2 1 = 1 1 = 1 Cofator do elemento a 21 :, det A 21 = = 2 1 = 3 21 = ( 1) 2+1 ( 3) = ( 1) 3 ( 3) = 1 ( 3) = 3 Cofator do elemento a 31 :, det A 31 = ( 2) = 2 2 = 4 31 = ( 1) 3+1 ( 4) = ( 1) 4 ( 4) = 1 ( 4) = 4 Vamos calcular o determinar para verificar se a matriz tem inversa Lembre se de que o determinante tem que ser diferente de zero para que a matriz tenha inversa Como o determinante é diferente de zero, a matriz A tem inversa Portanto, vamos continuar calculando os cofatores: Cofator do elemento a 12 :, det A 12 = = 2 1 = 1 12 = ( 1) = ( 1) 3 1 = 1 1 = 1 209

210 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento a 22 :, det A 22 = = 1 1 = 0 22 = ( 1) = ( 1) 4 0 = 1 0 = 0 Cofator do elemento a 32 :, det A 32 = = 1 2 = 1 32 = ( 1) 3+2 ( 1) = ( 1) 5 ( 1) = 1 ( 1) = 1 Cofator do elemento a 13 :, det A 13 = = 2 2 = 0 13 = ( 1) = ( 1) 4 0 = 1 0 = 0 Cofator do elemento a 23 :, det A 23 = ( 2) = = 3 23 = ( 1) = ( 1) 5 3 = 1 3 = 3 Cofator do elemento a 33 :, det A 33 = ( 2) = = 6 33 = ( 1) = ( 1) 6 6 = 1 6 = 6 Portanto, a matriz de cofatores de A é Agora, com a matriz de cofatores de A vamos determinar a matriz adjunta de A: 210

211 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para encontrar a inversa, aplicamos a fórmula: Com a matriz inversa podemos encontrar os valores de x 1, x 2 e x 3 Portanto, x 1 = 3,6665, x 2 = 1,6665 e x 3 = 7,

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213 Biblioteca Virtual Veja a seguir os serviços oferecidos pela Biblioteca Virtual aos alunos a distância: Pesquisa a publicações on line <wwwunisulbr/textocompleto> Acesso a bases de dados assinadas <wwwunisulbr/bdassinadas> Acesso a bases de dados gratuitas selecionadas <wwwunisulbr/bdgratuitas> Acesso a jornais e revistas on line <wwwunisulbr/periodicos> Empréstimo de livros <wwwunisulbr/emprestimos> Escaneamento de parte de obra * Acesse a página da Biblioteca Virtual da Unisul, disponível no EVA, e explore seus recursos digitais Qualquer dúvida escreva para: bv@unisulbr * Se você optar por escaneamento de parte do livro, será lhe enviado o sumário da obra para que você possa escolher quais capítulos deseja solicitar a reprodução Lembrando que para não ferir a Lei dos direitos autorais (Lei 9610/98) pode se reproduzir até 10% do total de páginas do livro

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