O sistema Mathematica

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1 O sistema Mathematica O sistema Mathematica ( é pago mas o IST disponibiliza uma licença para cada estudante. Para a obter e instalar o sistema Mathematica nos vossos computadores consultar link software disponível em (página da Direcção dos Serviços de Informática - DSI no Fénix) O Wolfram CDF Player ( é gratuito, permite ler qualquer notebook e suporta certas funcionalidades do Mathematica, mas não todas. O sistema Mathematica pode ser usado como instrumento de cálculo cálculo numérico cálculo de limites cálculo de somatórios cálculo de limites derivação e integração simbólicas cálculo matricial resolução de equações/sistemas de equações resolução de equações às diferenças finitas... para desenhar e analisar gráficos como ambiente de programação segundo diferentes paradigmas programação imperativa programação recursiva programação funcional sistemas de reescrita. como editor de texto, permitindo incluir num mesmo documento texto e programas que podem ser executados no contexto desse documento Os ficheiros que manipula designam-se notebooks e estão organizados em células. Estas células podem ser de vários tipos, como por exemplo tipo texto tipo input tipo output

2 2 Introd_Mathematica_MD1516.nb (para consultar e/ou modificar o tipo de uma célula usar a opção Style no menu Format). Para que uma expressão possa ser avaliada ela tem de estar escrita numa célula de tipo input. Avalição de uma célula de tipo input colocar o cursor na célula e premir simultaneamente as teclas Shift e Return ou usar a opção Evaluate Cells no menu Evaluation. O resultado da avalição das expressões aparece, na maioria dos casos, em células tipo output. Usando as diferentes opções do menu Help podem obter-se informações sobre todo o sistema Mathematica e seu funcionamento. ALGUNS EXEMPLOS: Cálculo numérico ^ Sin@p ê 3D 3 2 N@Sin@2 p ê 3DD N@Sin@2 p ê 3D, 235D Ö Ö Ö Resolução de equações Solve@82 x + 8 == 7, 7 x - 10 y == 1<, 8x, y<d ::x Ø - 1 2, y Ø >>

3 Introd_Mathematica_MD1516.nb 3 Solve@8a x + y ã c, b x - y ã c<, 8x, y<d ::x Ø 2 c a + b, y Ø - a c - b c a + b >> Solve@8 x + y ã -1, x^2 - y^2 == 1<, 8x, y<d 88x Ø -1, y Ø 0<< Solve@8 a x + b y ã -1, x^2 - y^2 == 1<, 8x, y<d ::x Ø :x Ø -1 - b2 - b -a2 I-1+a2-b2 M a 2 -b 2 a 2 -b 2 a -1 - b2 + b -a2 I-1+a2-b2 M a 2 -b 2 a 2 -b 2 a, y Ø b + a2 - a 4 + a 2 b 2 >, a 2 - b 2, y Ø b - a2 - a 4 + a 2 b 2 >> a 2 - b 2 Resolução de equações às diferenças finitas RSolve@8a@n + 2D ã 5 a@n + 1D + 6 a@nd, a@1d ã 2, a@0d ã -1<, a@nd, nd ::a@nd Ø 1 7 H-8 H-1Ln + 6 n L>> Somatórios Sum@3^k, 8k, 0, n<d 1 2 I n M Sum@r^k, 8k, 0, n<d -1 + r 1+n -1 + r Sum@k^2 - H1 ê Hk * Hk + 1LLL, 8k, 1, n<d -5 n + 4 n n n 4 6 H1 + nl

4 4 Introd_Mathematica_MD1516.nb Recorrendo à pallete Basic Math Assistant: n k=1 k k Hk + 1L -5 n + 4 n n n 4 6 H1 + nl Cálculo de limites LimitB 2 x^2 + x, x -> + F x^2-1 2 LimitB Sin@xD, x -> 0F x 1 LimitB 2 x^2 + y x^2-1, y Ø 0F 2 x x 2 Cálculo de derivadas D@x^n, xd n x -1+n DB 2 x^2 + x x^2-1, xf x -1 + x - 2 x Ix + 2 x2 M 2 I-1 + x 2 M 2 Gráficos O Mathematica permite a construção de gráficos de funções através das funções Plot e Plot3D. O utilizador indica a expressão de cálculo da função e os intervalos de variação das variáveis.

5 Introd_Mathematica_MD1516.nb 5 Plot@Cos@xD * Sin@x^2D, 8x, -3 p, 5 p<d Plot3D@y^2 * Sin@5 * xd, 8x, 0, 2 p<, 8y, 0, 20<D Plot3D@Hx^2 - y^2l ê Hx^3L, 8x, 1, 5<, 8y, 0, 1 ê 2<D Estes gráficos podem ser manipulados, usando o cursor. Podem assim ser analisados de diferentes perspetivas. Como referido acima, usando as diferentes opções do menu Help podem obter - se informações sobre todo o sistema Mathematica e seu funcionamento. Em particular, a opção Function Naviga-

6 6 Introd_Mathematica_MD1516.nb tor permite obter informações sobre todas as funções já pré-definidas no sistema. Listas em Mathematica Pode definir-se uma lista enumerando explicitamente os seus elementos, entre chavetas e separados por vírgulas. Alguns exemplos: 85, 6, 2< 867, -5, 2, 4 ê 3, a< 832, 82, 1<, 5< 8< Pode definir-se uma lista através de uma regra de cálculo que permite obter todos os seus elementos. Exemplo: Table@k^3, 8k, 2, 5<D 88, 27, 64, 125< Exemlos de utilização de algumas (das muitas) operações sobre listas disponíveis em Mathematica: Length[v] é o número de elementos da lista v. First[v] é o primeiro elemento da lista v. Append[v,x] lista que resulta de adicionar o valor de x no final da lista v. Prepend[v,x] lista que resulta de adicionar o valor de x no início da lista v. Rest[v] lista que resulta de eliminar o primeiro elemento da da lista v. Existem muitas mais funções sobre listas... First@85, 6, 2<D 5 85, 6, 2<@@1DD 5

7 Introd_Mathematica_MD1516.nb 7 85, 6, 2<@@2DD 6 85, 6, 2<@@3DD 2 Length@85, 6, 2<D 3 Append@85, 6, 2<, -5D 85, 6, 2, -5< Prepend@85, 6, 2<, -5D 8-5, 5, 6, 2< Rest@85, 6, 2<D 86, 2< Join@867, -5, 2, 4 ê 3, 2<, 81<, 80, 4<D :67, -5, 2, 4, 2, 1, 0, 4> 3 Guardando a lista na variável a: a = 85, 6, 2<; First@aD 5 a@@1dd 5 a@@2dd 6 a@@3dd 2 Length@aD 3 Append@a, -5D 85, 6, 2, -5<

8 8 Introd_Mathematica_MD1516.nb -5D 8-5, 5, 6, 2< 86, 2< Observe-se em particular que, dada uma lista v, se utiliza v[[i]] para obter a i-ésima componente da lista.

9 Introd_Mathematica_MD1516.nb 9 Matrizes em Mathematica Uma matriz é representada pela lista das suas linhas. Alguns exemplos: 885, 4, 9<, 86, 0, 8<< representa a matriz com 2 linhas e 3 colunas , 4, 1, -1<, 83, 0, 8, 2<, 80, 0, 1, 0<, 8-1, 2, 0, 1<< representa a matriz quadrada m = 885, 4, 9<, 86, 0, 8<<; Número de linhas da matriz guardada em m: Length@mD 2 Número de colunas da matriz guardada em m: Length@First@mDD 3 ou Length@m@@1DDD 3 Há uma forma mais fácil de obter o número de linhas e de colunas de uma matriz: Dimensions[m] devolve um par {a,b} em que a é número de linhas e b é o número de colunas da matriz m. Dimensions@885, 4, 9<, 86, 0, 8<<D 82, 3 <

10 10 Introd_Mathematica_MD1516.nb O elemento na linha i e coluna j de m é m[[i,j]]. Alguns exemplos: m = 885, 4, 9<, 86, 0, 8<<; elemento que se encontra na 1a linha e 2a coluna da matriz guardada em m: m@@1, 2DD 4 elemento que se encontra na 2a linha e 3a coluna da matriz guardada em m: m@@2, 3DD 8

11 Introd_Mathematica_MD1516.nb 11 Programação Imperativa Programação imperativa: definição de procedimentos para executar sequências de acções usando, tipicamente, atribuições composição sequencial de acções composição iterativa de acções (repetições/ciclos) composição alternativa de acções (selecção). Vejam-se alguns exemplos muito simples ao mesmo tempo que se apresentam alguns dos aspectos sintácticos e semânticos mais fundamentais. 1. SOMA DOS ELEMENTOS DE UMA LISTA DE NÚMEROS somalista = Function@8v<, Module@8s, i<, s = 0; i = 1; <= Length@vD, s = s + v@@idd; i = i + 1D; sdd; somalista@81, 6, 2<D 9 somalista@818<d 18 ATRIBUIÇÃO: var = exp Avalia-se a expressão exp e o resultado obtido é guardado na variável (de memória) var COMPOSIÇÃO SEQUENCIAL: exp1 ; exp2 Avalia-se primeiro exp1 e depois de esta avaliação terminar avalia-se exp2

12 12 Introd_Mathematica_MD1516.nb COMPOSIÇÃO ITERATIVA (REPETIÇÃO/CICLOS): Existem várias possibilidades. No que se segue usa-se While[condição, acção] A acção (do ciclo) é repetida enquanto a expressão booleana condição (guarda do ciclo) for verdadeira; (a condição é avaliada antes de se avaliar a acção). A expressão Module e a lista de variáveis que se lhe segue pode ser omitida quando se trabalha com uma só função, pois o seu propósito é tratar as variáveis da lista como variáveis locais à função: somalista1 = Function@8v<, s = 0; i = 1; <= Length@vD, s = s + v@@idd; i = i + 1D; sd; somalista1@81, 6, 2<D 9

13 Introd_Mathematica_MD1516.nb CONTAGEM DO NÚMERO DE OCORRÊNCIAS DE UM VALOR k NUMA LISTA v conta = Function@8v, k<, Module@8s, i<, s = 0; i = 1; <= Length@vD, If@v@@iDD == k, s = s + 1D; i = i + 1D; sdd; conta@81, 6, 2<, 6D 1 conta@81, 6, 2, 1, -1, 1<, 1D 3 COMPOSIÇÃO ALTERNATIVA (SELECÇÃO): Existem várias possibilidades. No que se segue usa-se (1) If[condição, exp1, exp2] O valor desta expressão é o de exp1 quando a expressão booleana condição é verdadeira e o de exp2 quando é falsa. (2) If[condição, exp1] O valor desta expressão é o de exp1 quando a expressão boolena condição é verdadeira e Null quando é falsa (Null é usado para indicar a ausência resultado e, usualmente, não é representado nas células de output)

14 14 Introd_Mathematica_MD1516.nb ALGUNS EXEMPLOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS a = True; b = False; Conjunção: a && b False Disjunção: a»» b True Negação: Not@aD False! a False Comparação: 5 == 3 False! H5 == 3L True 5!= 3 True 5 <= 3 False 5 >= 3 True

15 Introd_Mathematica_MD1516.nb SOMA DOS ELEMENTOS DE UMA MATRIZ m somamat = Function@8m<, Module@8s, i, j, nl, nc<, 8nl, nc< = Dimensions@mD; s = 0; i = 1; <= nl, j = 1; <= nc, s = s + m@@i, jdd; j = j + 1D; i = i + 1D; sdd; somamat@882, 3, 4<, 81, 0, 5<<D SOMA DOS ELEMENTOS DA TRIANGULAR SUPERIOR DE UMA MATRIZ m A função somatts ao receber uma matriz quadrada m como devolve a soma dos elementos da triangular superior (incluindo os elementos da diagonal). Se a matriz não for quadrada devolve a soma das componentes m[[i,j]]tais que j>=i. somamatts = Function@8m<, Module@8s, i, j, nl, nc<, nl = Length@mD; nc = Length@First@mDD; s = 0; i = 1; <= nl, j = i; <= nc, s = s + m@@i, jdd; j = j + 1D; i = i + 1D; sdd; somamatts@882, 3<, 81, 8<<D 13 A função somatts é semelhante à função somat anterior, apenas mudando a atribuição relativa à inicialização de j.

16 16 Introd_Mathematica_MD1516.nb Programação Recursiva Seguem-se dois exemplos muito simples de funções definidas recursivamente. 1. MÁXIMO DE UMA LISTA NÃO VAZIA DE NÚMEROS A função maxl1 ao receber uma lista não vazia de números devolve o maior número que ocorre na lista. maxl1 = Function@8v<, If@Length@vD ã 1, v@@1dd, If@First@vD >= maxl1@rest@vdd, First@vD, maxl1@rest@vddddd; maxl1@8-15, 4, 8, 1, 8, 6<D 8 A função maxl1 é pouco eficiente (porquê?). A versão seguinte é mais eficiente. 2. MÁXIMO DE UMA LISTA NÃO VAZIA DE NÚMEROS (Versão mais eficiente) A função maxl ao receber uma lista não vazia de números devolve o maior número que ocorre na lista. maxl = Function@8v<, If@Length@vD ã 1, v@@1dd, x = maxl@rest@vdd; If@First@vD x, First@vD, xddd; maxl@8-15, 4, 8, 1, 8, 6<D 8