Programação Funcional BCC222. Aulas 5,6. Mais sobre recursão
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- Arthur de Mendonça Peres
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1 Programação Funcional BCC222 Aulas 5,6 Mais sobre recursão Lucília Camarão de Figueiredo Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Ouro Preto
2 Parte I Booleanos e Caracteres
3 Operadores Booleanos not :: Bool -> Bool (&&), ( ) :: Bool -> Bool -> Bool not False True not True False False && False False False && True False True && False False True && True True False False False False True True True False True True True True
4 Operadores Booleanos O operador && poderia também ser definido do seguinte modo: (&&) :: Bool -> Bool -> Bool True && True True _ && _ False
5 Operadores Booleanos O operador && poderia também ser definido do seguinte modo: (&&) :: Bool -> Bool -> Bool True && True True _ && _ False Entretanto, a seguinte definição é ainda mais eficiente: False && _ False True && b b
6 Operadores Booleanos O operador && poderia também ser definido do seguinte modo: (&&) :: Bool -> Bool -> Bool True && True True _ && _ False Entretanto, a seguinte definição é ainda mais eficiente: False && _ False True && b b De maneira análoga, o operador é definido como: True _ True False b b
7 Definindo operações sobre caracteres islower :: Char -> Bool islower x a < x && x < z isupper :: Char -> Bool isupper x A < x && x < Z isdigit :: Char -> Bool isdigit x 0 < x && x < 9 isalpha :: Char -> Bool isalpha x islower x isupper x
8 Definindo operações sobre caracteres digittoint :: Char -> Int digittoint c isdigit c ord c - ord 0 inttodigit :: Int -> Char inttodigit d 0 < d && d < 9 chr (ord 0 + d) tolower :: Char -> Char tolower c isupper c chr (ord c - ord A + ord a ) otherwise c toupper :: Char -> Char toupper c islower c chr (ord c - ord a + ord A ) otherwise c
9 Parte II Condicionais and Associatividade
10 Equações Condicionais max :: Int -> Int -> Int max x y x > y x y > x y max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z x > y && x > z x y > x && y > z y z > x && z > y z
11 Equações Condicionais max :: Int -> Int -> Int max x y x > y x otherwise y max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z x > y && x > z x y > x && y > z y otherwise z
12 Equações Condicionais max :: Int -> Int -> Int max x y x > y x otherwise y max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z x > y && x > z x y > x && y > z y otherwise z otherwise :: Bool otherwise True
13 Expressões Condicionais max :: Int -> Int -> Int max x y if x > y then x else y max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z if x > y && x > z then x else if y > x && y > z then y else z
14 Outra maneira de definir max3 max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z if x > y then if x > z then x else z else if y > x then y else z
15 Observações importantes sobre condicionais Como sempre: escreva seu programa de maneira que ele seja fácil de ser entendido. Não se preocupe (por enquanto) com questões de eficiência: otimizações prematuras constituem a origem de muitos problemas. Condicionais são nossos amigos: sem eles, programas não fariam muita coisa interessante. Condicionais são nossos inimigos: cada condicional dobra o número de casos de teste a serem considerados. Um programa com cinco condicionais de dois ramos requer casos de teste, de modo a testar cada possível caminho no programa. Um programa com dez condicionais de dois ramos requer casos de teste.
16 Uma maneira melhor de definir max3 max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z x max y max z
17 Uma maneira melhor de definir max3 max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z x max y max z max :: Int -> Int -> Int max x y x > y x otherwise y
18 Uma maneira melhor de definir max3 max3 :: Int -> Int -> Int -> Int max3 x y z x max y max z max :: Int -> Int -> Int max x y x > y x otherwise y x + y significa (+) x y x > y significa (>) x y x max y significa max x y
19 Porque usar notação infixada prop_max_assoc :: Int -> Int -> Int -> Bool prop_max_assoc x y z (x max y) max z x max (y max z) Em expressões envolvendo um operador associativo os parenteses não importam, e podem ser omitidos.
20 Porque usar notação infixada prop_max_assoc :: Int -> Int -> Int -> Bool prop_max_assoc x y z (x max y) max z x max (y max z) Em expressões envolvendo um operador associativo os parenteses não importam, e podem ser omitidos. prop_max_assoc :: Int -> Int -> Int -> Bool prop_max_assoc x y z max (max x y) z max x (max y z) Isso é muito menos legível que a notação infixada!
21 Pontos importantes sobre associatividade Existem algumas poucas propriedaded importantes de operadores: associatividade, identidade, commutatividade, distributividade, zero, idempotencia. Você sabe o significado de cada uma dessas propriedades? Quando você encontrar um operador novo, a primeira pergunta que você deve fazer é esse operador é associativo? (A segunda é ele possui uma identidade? ) Associatividade é nossa amiga, pois significa que não precisamos nos preocupar com a parenteses. O programa fica mais legível (mais fácil de ser entendido). Associatividade é nossa amiga, pois é a chave para escrever programas que executam duas vezes mais rápido em máquinas dual-core, e mil vezes mais rápido em uma máquina com mil processadores.
22 Parte II Append
23 Append (++) :: [a] -> [a] -> [a] [] ++ ys ys (x:xs) ++ ys x : (xs ++ ys) "abc"++ "de" a : ( b : ( c : []))) ++ ( d : ( e : [])) a : (( b : ( c : [])) ++ ( d : ( e : []))) a : ( b : (( c : []) ++ ( d : ( e : [])))) a : ( b : ( c : ([] ++ ( d : ( e : []))))) a : ( b : ( c : ( d : ( e : [])))) "abcde"
24 Append (++) :: [a] -> [a] -> [a] [] ++ ys ys (x:xs) ++ ys x : (xs ++ ys) "abc"++ "de" a : ("bc" ++ "de") a : ( b : ("c" ++ "de")) a : ( b : ( c : (" " ++ "de"))) a : ( b : ( c : "de")) "abcde"
25 Propriedades de Append prop_append_assoc :: [Int] -> [Int] -> [Int] -> Bool prop_append_assoc xs ys zs (xs ++ ys) ++ zs xs ++ (ys ++ zs) prop_append_ident :: [Int] -> Bool prop_append_ident xs xs ++ [] xs && xs [] ++ xs prop_append_cons :: Int -> [Int] -> Bool prop_append_cons x xs [x] ++ xs x : xs
26 Parte IV Contagem
27 Contagem Prelude> [1..3] [1,2,3] Prelude> enumfromto 1 3 [1,2,3] Recursão enumfromto :: Int -> Int -> [Int] enumfromto m n m > n [] m < n m : enumfromto (m+1) n
28 Como enumfromto funciona (recursão) enumfromto :: Int -> Int -> [Int] enumfromto m n m > n [] m < n m : enumfromto (m+1) n enumfromto : enumfromto : (2 : enumfromto 3 3) 1 : (2 : (3 : enumfromto 4 3)) 1 : (2 : (3 : [])) [1,2,3]
29 Fatorial Main> factorial 3 Definição da biblioteca Prelude.hs factorial :: Int -> Int factorial n product [1..n]
30 Fatorial Main> factorial 3 Definição da biblioteca Prelude.hs factorial :: Int -> Int factorial n product [1..n] Recursão factorialrec :: Int -> Int factorialrec n fact 1 n where fact :: Int -> Int -> Int fact m n m > n 1 m < n m * fact (m+1) n
31 Como fatorial funciona (recursão) factorialrec :: Int -> Int factorialrec n fact 1 n where fact :: Int -> Int -> Int fact m n m > n 1 m < n m * fact (m+1) n 6 factorialrec 3 fact * fact * (2 * fact 3 3) 1 * (2 * (3 * fact 4 3)) 1 * (2 * (3 * 1))
32 Parte V Zip e Search
33 Zip zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zip [] ys [] zip (x:xs) [] [] zip (x:xs) (y:ys) (x,y) : zip xs ys zip [0,1,2] "abc" (0, a ) : zip [1,2] "bc" (0, a ) : ((1, b ) : zip [2] "c") (0, a ) : ((1, b ) : ((2, c ) : zip [] [])) (0, a ) : ((1, b ) : ((2, c ) : [])) [(0, a ),(1, b ),(2, c )]
34 Duas definições equivalentes de zip Mais concisa zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zip [] ys [] zip (x:xs) [] [] zip (x:xs) (y:ys) (x,y) : zip xs ys Mais longa zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zip [] [] [] zip [] (y:ys) [] zip (x:xs) [] [] zip (x:xs) (y:ys) (x,y) : zip xs ys
35 Duas definições alternativas de zip Liberal zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zip [] [] [] zip [] (y:ys) [] zip (x:xs) [] [] zip (x:xs) (y:ys) (x,y) : zip xs ys Conservadora zipharsh :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zipharsh [] [] [] zipharsh (x:xs) (y:ys) (x,y) : zipharsh xs ys
36 Listas de diferentes comprimentos Prelude> zip [0,1,2] "abc" [(0, a ),(1, b ),(2, c )] Prelude> zipharsh [0,1,2] "abc" [(0, a ),(1, b ),(2, c )] Prelude> zip [0,1,2] "abcde" [(0, a ),(1, b ),(2, c )] Prelude> zipharsh [0,1,2] "abcde" error Prelude> zip [0,1,2,3,4] "abc" [(0, a ),(1, b ),(2, c )] Prelude> zipharsh [0,1,2,3,4] "abc" error
37 Mais sobre zip Prelude> zip [0..] "words" [(0, w ),(1, o ),(2, r ),(3, d ),(4, s )] Prelude> let pairs xs zip xs (tail xs) Prelude> pairs "words" [( w, o ),( o, r ),( r, d ),( d, s )]
38 Zip com uma lista infinita zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zip [] ys [] zip (x:xs) [] [] zip (x:xs) (y:ys) (x,y) : zip xs ys zip [0..] "abc" zip [0..] ( a : ( b : ( c : []))) (0, a ) : zip [1..] ( b : ( c : [])) (0, a ) : ((1, b ) : zip [2..] ( c : [])) (0, a ) : ((1, b ) : ((2, c ) : zip [3..] [])) (0, a ) : ((1, b ) : ((2, c ) : [])) [(0, a ),(1, b ),(2, c )]
39 Search Main> search "bookshop" o [1,2,6] List comprehension definição da biblioteca search :: [a] -> a -> [Int] search xs y [ i (i,x) <- zip [0..] xs, xy ] Recursão searchrec :: [a] -> a -> [Int] searchrec xs y srch xs y 0 where srch :: [a] -> a -> Int -> [Int] srch [] y i [] srch (x:xs) y i x y i : srch xs y (i+1) otherwise srch xs y (i+1)
40 Como search funciona (list comprehension) search :: [a] -> a -> [Int] search xs y [ i (i,x) <- zip [0..] xs, xy ] search "book" o [ i (i,x) <- zip [0..] "book", x o ] [ i (i,x) <- [(0, b ),(1, o ),(2, o ),(3, k )], x o ] [0 b o ]++[1 o o ]++[2 o o ]++[3 k o ] []++[1]++[2]++[] [1,2]
41 Como search funciona (recursão) searchrec xs y srch xs y 0 where srch [] y i [] srch (x:xs) y i x y i : srch xs y (i+1) otherwise srch xs y (i+1) search "book" o srch "book" o 0 srch "ook" o 1 1 : srch "ok" o 2 1 : (2 : srch "k" o 3) 1 : (2 : srch " " o 4) 1 : (2 : []) [1,2]
42 Parte VI Select, take, e drop
43 Select, take, e drop Prelude> "words"!! 3 d Prelude> take 3 "words" "wor" Prelude> drop 3 "words" "ds"
44 Select, take, e drop list comprehension (!!) :: [a] -> Int -> a xs!! i the [ x (j,x) <- zip [0..] xs, j i ] where the [x] x take :: Int -> [a] -> [a] take i xs [ x (j,x) <- zip [0..] xs, j < i ] drop :: Int -> [a] -> [a] drop i xs [ x (j,x) <- zip [0..] xs, j > i ]
45 Select, take, e drop recursão (!!) :: [a] -> Int -> a (x:xs)!! 0 x (x:xs)!! i i > 0 xs!! (i-1) take :: Int -> [a] -> [a] take 0 xs [] take i [] i > 0 [] take i (x:xs) i > 0 x : take (i-1) xs drop :: Int -> [a] -> [a] drop 0 xs xs drop i [] i > 0 [] drop i (x:xs) i > 0 drop (i-1) xs
46 Como take funciona (list comprehension) take :: Int -> [a] -> [a] take i xs [ x (j,x) <- zip [0..] xs, j < i ] take 3 "words" [ x (j,x) <- zip [0..] "words", j < 3 ] [ x (j,x) <- [(0, w ),(1, o ),(2, r ),(3, d ),(4, s )], j < 3 ] [ w 0<3]++[ o 1<3]++[ r 2<3]++[ d 3<3]++[ s 4<3] [ w ]++[ o ]++[ r ]++[]++[] "wor"
47 Como take funciona (recursão) take :: Int -> [a] -> [a] take 0 xs [] take n [] n > 0 [] take n (x:xs) n > 0 x : take (n-1) xs take 3 "words" w : take 2 "ords" w : ( o : take 1 "rds") w : ( o : ( r : take 0 "rds")) > w : ( o : ( r : [])) "wor"
48 Listas Toda lista pode ser escrita usando-se apenas (:) e []. [1,2,3] 1 : (2 : (3 : [])) "list" [ l, i, s, t ] l : ( i : ( s : ( t : []))) Uma definição recursiva: Uma lista é nula, representada por [], ou construída, representada por (x:xs) com cabeça x (um elemento) e cauda xs (uma lista).
49 Números naturais Todo número natural pode ser escrito usando-se apenas (+1) e 0. 3 ((0 + 1) + 1) + 1 Uma definição recursiva: Um número natural é zero, representado por 0, ou successor, representado por n+1 com predecessor n (um número natural).
50 Select, take, e drop (recursion) (!!) :: Int -> [a] -> a (x:xs)!! 0 x (x:xs)!! i i > 0 xs!! (i-1) take :: Int -> [a] -> [a] take 0 xs [] take i [] i > 0 [] take i (x:xs) i > 0 x : take (i-1) xs drop :: Int -> [a] -> [a] drop 0 xs xs drop i [] i > 0 [] drop i (x:xs) i > 0 drop (i-1) xs
51 Select, take, e drop (n + 1 patterns) (!!) :: Int -> [a] -> a (x:xs)!! 0 x (x:xs)!! (i+1) xs!! i take :: Int -> [a] -> [a] take 0 xs [] take (i+1) [] [] take (i+1) (x:xs) x : take i xs drop :: Int -> [a] -> [a] drop 0 xs xs drop (i+1) [] [] drop (i+1) (x:xs) drop i xs
52 Como take funciona reprise take :: Int -> [a] -> [a] take 0 xs [] take (n+1) [] [] take (n+1) (x:xs) x : take n xs take 3 "words" take (((0+1)+1)+1) ( w :( o :( r :( d :( s :[]))))) w : take ((0+1)+1) ( o :( r :( d :( s :[])))) w : ( o : take (0+1) ( r :( d :( s :[])))) w : ( o : ( r : take 0 ( d :( s :[])))) w : ( o : ( r : [])) "wor"
53 Aritmética (+) :: Int -> Int -> Int m + 0 m m + (n+1) (m + n) + 1 (*) :: Int -> Int -> Int m * 0 0 m * (n+1) (m * n) + m (ˆ) :: Int -> Int -> Int m ˆ 0 1 m ˆ (n+1) (m ˆ n) * m
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