Algoritmos de ordenação

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1 Ordenação rápida ( Quicksort ) Baseia-se num princípio muito simples que, quando aplicado de forma recursiva, acaba por ordenar o vetor. Este princípio é composto por 2 passos essenciais: 1. Escolher um elemento do vetor, o pivot (por ex., V 1 ); 2. Dividir o vetor em 2 partes (esquerda e direita), em que: Parte esquerda com os elementos menores do que o pivot; Parte direita com os elementos maiores do que o pivot. Ao ser aplicado succesivamente este princípio a ambas as partes, quando o processo recursivo terminar o vetor está ordenado.

2 Ordenação rápida ( Quicksort ) O algoritmo é composto então por 3 etapas: 1. Determinar a posição final (pospivot) do elemento pivot (por ex. V 1 ) no vetor e colocá-lo nessa posição, dividindo o vetor em 2 partes: Esquerda = V 1,..., V pospivot - 1 Direita = V pospivot + 1,..., V N 2. Aplicar o algoritmo recursivamente à parte esquerda; 3. Aplicar o algoritmo recursivamente à parte direita.

3 Quicksort (Algoritmo) Ordenar por Quicksort um subvetor de V desde inicio até fim Se (inicio < fim) então pospivot posição final do pivot, V inicio, no vetor Ordenar por Quicksort o subvetor esquerdo ao pivot Ordenar por Quicksort o subvetor direito ao pivot Note-se que se (inicio >= fim) então o subvetor de V tem - apenas um elemento (inicio = fim) ou - está vazio (inicio > fim). Logo, este subvetor está ordenado.

4 Quicksort (Algoritmo) Determinar a posição final pospivot do pivot (V inicio ) no subvetor de V desde inicio até fim pospivot inicio Para k desde (inicio+1) até fim fazer Se (V k < V inicio ) então pospivot pospivot + 1 Trocar(V pospivot, V k ) Trocar(V pospivot, V inicio ) { Resultado = pospivot }

5 Quicksort (em MatLab) function [V] = OrdenarQuicksort (V, inicio, fim) if inicio < fim [pospivot, V] = DeterminarPivot(V, inicio, fim); V = OrdenarQuicksort(V, inicio, pospivot - 1); V = OrdenarQuicksort(V, pospivot + 1, fim);

6 Quicksort (em MatLab) function [pospivot, V] = DeterminarPivot(V, inicio, fim) pospivot = inicio; for k = inicio+1:fim if V(k) < V(inicio) pospivot = pospivot + 1; [V(k), V(posPivot)] = Trocar(V(k), V(posPivot)); [V(inicio), V(posPivot)] = Trocar(V(inicio), V(posPivot));

7 function [a, b] = Trocar (a, b) c = a; a = b; b = c; Quicksort (em MatLab)

8 Ordenação por fusão ( Merge Sort ) A ordenação por fusão consiste em dividir o vetor em vários subvetores de menor dimensão, ordenar estes subvetores separadamente e, fundi-los num vetor único. O algoritmo de ordenação por fusão é recursivo e consiste em dividir sucessivamente o vetor ao meio até que se obtenham subvetores com apenas um elemento (que está ordenado) fundir os subvetores num vetor único.

9 Ordenação por fusão ( Merge Sort ) Pretende-se que o algoritmo de ordenação por fusão: 1. Ordene um vetor V entre as posições a e b : V a, V a+1,..., V b e b+1 e c : V b+1, V b+2,..., V c ; 2. Fundir um vetor V entre as posições a e c, tendo em conta que está ordenado entre as posições a e b : V a V a+1... V b e b+1 e c : V b+1 V b+2... V c.

10 Ordenação por fusão ( Merge Sort ) Ordenar por fusão um vetor V entre as posições inicio e fim Se (inicio < fim) então meio (inicio + fim) / 2 Ordenar por fusão o vetor V entre as posições inicio e meio Ordenar por fusão o vetor V entre as posições meio+1 e fim Fundir os subvetores de V entre [inicio, meio] e [meio+1, fim] Note-se que se inicio fim então o vetor é composto - apenas por um elemento (inicia = fim) ou - está vazio (inicio > fim). Logo, está ordenado.

11 Ordenação por fusão (em MatLab) function [V] = OrdenarFusao (V, inicio, fim) if inicio < fim meio = floor((inicio + fim) / 2); V = OrdenarFusao(V, inicio, meio); V = OrdenarFusao(V, meio + 1, fim); V = Fusao(V, inicio, meio, fim);

12 Ordenação por fusão (em MatLab) function [V] = Fusao(V, inicio, meio, fim) esq = inicio; dir = meio + 1; k = 0; while esq <= meio & dir <= fim k = k + 1; if V(esq) < V(dir) Aux(k) = V(esq); esq = esq + 1; else Aux(k) = V(dir); dir = dir + 1;

13 Ordenação por fusão (em MatLab) cont. if esq > meio for i = dir:fim k = k + 1; Aux(k) = V(i); else for i = esq:meio k = k + 1; Aux(k) = V(i); for i = 0:k-1 % passar o vetor Aux ordenado para o vetor V V(inicio+i) = Aux(i+1);