XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 1 MEDIDA DA VELOCIDADE DE FASE DA LUZ EM LINHAS DE TRANSMISSÃO Walter S. Santos 1, Darlan O. S. Gomes 2, Antonio Carlos F. Santos 3, Carlos Eduardo Aguiar 4 1 UFRJ / Instituto de Física e Colégio Pedro II, walter.s.santos@uol.com.br 2 Colégio Estadual Guilherme da Silveira Filho, RJ 3 UFRJ / Instituto de Física, toni@if.ufrj.br 4 UFRJ / Instituto de Física, carlos@if.ufrj.br Resumo A propagação da luz em meios materiais é, com frequência, objeto de confusão nos cursos introdutórios de física. É comum, por exemplo, encontrar menção à velocidade da luz no meio, sem referência ao fato de que nesse caso é possível definir muitas velocidades diferentes (fase, grupo, sinal, etc.). Isso leva a uma variedade de concepções errôneas, como a idéia de que o índice de refração deve ser maior que 1. Neste trabalho apresentamos um procedimento experimental para a introdução do conceito de velocidade de fase de ondas eletromagnéticas e sua medida em cabos coaxiais. O método é muito simples e pode ser adotado mesmo em escolas de ensino médio. Entretanto, ele envolve detalhes experimentais que devem ser tratados com cuidado, como o casamento de impedâncias e a escolha do comprimento do cabo coaxial e da faixa de freqüências a ser utilizada. O experimento ilustra claramente o conceito de velocidade de fase e permite sua mensuração com boa precisão. Palavras-chave: propagação da luz, velocidade de fase, cabo coaxial
XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 2 Introdução É de conhecimento geral a existência da defasagem entre o conteúdo atual do currículo de física e as informações que chegam ao aluno pela mídia sobre aos avanços tecnológicos. É necessário cobrir esta lacuna deixada pelo ensino de física de forma não contextualizada, de modo a ilustrar ao aluno a necessidade de estudar física. Um dos autores (WSS), professor de longa data do Ensino Médio, frequentemente se depara com a seguinte pergunta: Tendo um valor tão alto, como eles (os cientistas) conseguiram medir a velocidade da luz? Tentando tornar real esta possibilidade de medir a velocidade da luz, e com a realidade dos colégios em que trabalhamos, haja vista a indisponibilidade de equipamentos de alto custo, pensamos em utilizar materiais presentes no cotidiano do aluno. Hoje em dia, nada mais comum do que o cabo coaxial, comumente usado nos aparelhos de TV. Além do mais, a importância do aluno perceber que é capaz de participar ativamente do processo da medida da velocidade da luz, desfaz a imagem comum entre os alunos, de que a ciência é feita por gênios, pessoas que eles nunca terão acesso. Nos cursos de nível médio, quando falamos em velocidade da luz, geralmente nos referimos ao seu valor no vácuo, ou seja, c = 299 792 458 m/s. A constante c (origina-se do latim celeritas velocidade ou rapidez) é a velocidade máxima com que se pode transmitir um sinal, e é a velocidade de partículas de massa nula. Em se tratando de propagação em um dielétrico, a referência é a velocidade de fase de uma onda monocromática, isto é, v fase = c / n [HECHT 2002], onde n é o índice de refração do meio. Em termos da freqüência f, e do comprimento de onda λ, a velocidade de fase é dada por v fase = λ f. Facilmente encontramos afirmações do tipo: a luz sempre se propaga mais lentamente através de um material do que no vácuo ou ainda, o valor do índice de refração é sempre maior do que 1, caso contrário poderia haver velocidade maior do que c, o que contradiz a teoria da relatividade de Einstein. Note que na maioria dos textos fala-se simplesmente na velocidade da luz ao invés de velocidade de fase da luz. Talvez seja esta a origem da grande confusão a respeito da propagação da luz. De fato, na faixa do visível, a maioria dos materiais conhecidos possuem índice de refração maior do que a unidade. Mas será que o índice de refração é sempre maior do que 1? A resposta é não! Por exemplo, para o alumínio e para a água, os índices de refração são menores do que 1 para comprimentos de onda em torno de 1 μm e 70 nm, respectivamente 1. Uma crítica mais aprofundada sobre a maneira como livros didáticos propagam conceitos errôneos, em particular no que concerne ao índice de refração e à a velocidade da luz, pode ser encontrada em [BOHREN 2002]. Também encontramos nos livros didáticos uma explicação sobre o fenômeno da dispersão, que indica como a velocidade de fase e o índice de refração dependem da freqüência da onda eletromagnética. Se escolhermos um ponto em particular para a fase, por exemplo, um máximo, a velocidade de fase é a velocidade com a qual este ponto se propaga no espaço. A rigor, a velocidade de fase não possui muito significado físico, ou melhor, não carrega informação. Se a fase de uma onda monocromática leva um certo tempo para alcançar determinado ponto no 1 http://refractiveindex.info/
XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 3 espaço, isso não significa necessariamente que a energia emitida pela fonte leve o mesmo tempo para chegar a esse ponto. Em algumas situações a fase até pode mover-se em sentido contrário ao fluxo de energia. As TVs a cabo tornaram-se bastante comuns nos dias de hoje. Nelas, o aparelho de TV recebe o sinal através de um cabo coaxial conectado à sua entrada. O cabo coaxial (Fig. 1) consiste de um tubo cilíndrico metálico envolvendo um fio de cobre, isolados entre si por um material dielétrico. A função do cabo é transportar o sinal, na forma de energia eletromagnética de um extremo ao outro. Assim como uma fibra ótica, o cabo serve de guia para a onda eletromagnética, que se propaga através do dielétrico. Associado aos campos elétricos e magnéticos da onda, há também o sinal na forma de corrente e tensão que se propagam pelo fio interno. As grandezas físicas E e B envolvidas obedecem às equações de Maxwell ou à equação de onda. A velocidade de propagação do sinal depende do dielétrico através da permissividade elétrica ε e da permeabilidade magnética μ e é dada por v 2 = (εμ) -1. Valores típicos para a velocidade de propagação para um cabo RG58U é v = 0,66c. Normalmente, descreve-se a velocidade de propagação através do fator de velocidade (VF) que é definido como VF = v/c [FONSECA 2007]. Como em geral o cabo não é perfeito, pois o material dielétrico possui uma resistência finita, e da mesma forma o fio de cobre, que também possui uma resistência não nula, as equações de onda para o campo elétrico, o campo magnético, a tensão e a corrente não são homogêneas, dando origem ao fenômeno da dispersão [MACHADO 2000]. No caso limite onde o material dielétrico é um isolante perfeito e desprezando a resistividade do fio de cobre, o cabo é chamado de cabo ideal e não ocorre dispersão. Desta forma, o cabo coaxial nada mais é do que um meio onde ondas (energia) são transmitidas de um ponto a outro. Quando ondas que se propagam em um determinado meio encontram uma interface de outro meio diferente, ocorre reflexão e somente uma parte da energia é transmitida através da interface. Ao contrário do que se afirma em vários livros didáticos, as reflexões de ondas são determinadas, não pelo índice de refração relativo entre os meios, mas geralmente por suas impedâncias relativas. Por exemplo, a antena de TV deve ter uma impedância igual à impedância do ar, que vale 377 Ω, de modo a absorver o sinal eficientemente. O cabo que leva o sinal captado pela antena até o aparelho de TV deve também ser apropriadamente terminado, ou seja, a sua impedância deve ser casada com a do aparelho de TV de modo a evitar reflexões indesejadas. No caso dos cabos coaxiais RG58U, a impedância é 50 Ω. Na maioria dos circuitos corriqueiros, o comprimento do cabo que conecta os diversos componentes e dispositivos não é importante. Naqueles casos, a tensão no fio em um determinado instante é suposta igual em qualquer parte do cabo. No entanto, quando a variação temporal do sinal é comparável ao tempo de propagação do sinal no cabo, o comprimento deste torna-se importante e ele se comporta como uma linha de transmissão. Em termos mais quantitativos, o comprimento do cabo é significativo quando for comparável ou maior que comprimento de onda típico do sinal. Uma regra prática é que o cabo comporta-se como uma linha de transmissão se seu comprimento for pelo menos um décimo do comprimento de onda do sinal. Neste caso, o atraso do sinal é significativo bem como as reflexões na linha, podendo levar a um comportamento imprevisível em sistemas que não são cuidadosamente confeccionados dentro dos padrões de uma linha de transmissão.
XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 4 Figura 1: Esquema de um cabo coaxial em corte. Neste artigo propomos uma metodologia experimental, fácil de implementar no nível médio, para a introdução do conceito de dispersão e medida da velocidade de fase da luz. Um dos autores (D.O.S.G.), aluno do ensino médio da rede pública estadual do Rio de Janeiro e bolsista do programa Jovens Talentos da Ciência da FAPERJ, participou ativamente do experimento. Aparatos e métodos Embora o equipamento utilizado não seja de baixo custo, seu preço não é exatamente proibitivo. O equipamento consiste de um gerador de ondas, um osciloscópio de duplo traço, dois cabos coaxiais, um terminador de 50 Ω e dois conectores T. O esquema do aparato é mostrado na Fig. 2. Ondas senoidas de freqüência variável (até 5,8 MHz) são produzidas pelo gerador de ondas. Um cabo coaxial de 20 cm é conectado à saída do gerador e na entrada no osciloscópio através de um conector T. Conecta-se um segundo cabo coaxial (no presente caso de 13,2 m, mas quanto mais longo melhor) na segunda saída do conector T e a outra extremidade do cabo é conectada no canal 2 do osciloscópio. O osciloscópio, assim como qualquer bom voltímetro, possui uma alta impedância de entrada (~1 MΩ) e o cabo coaxial utilizado possui uma impedância de 50 Ω. Um detalhe bastante importante neste experimento é que para evitar reflexões no canal, no final do cabo coaxial deve ser inserido um terminador de 50 Ω, de modo a casar a impedância do osciloscópio com a do cabo [FONSECA 2007]. Isto equivale a colocar uma impedância de 50 Ω em paralelo com a impedância de entrada do osciloscópio, de modo que a onda incidente veja uma impedância efetiva de 50 Ω.
XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 5 Figura 2: Esquema do aparato experimental. Figura 3: Exemplo de medida do tempo de atraso em um cabo coaxial usando ondas senoidais. Os dois cursores tipo tempo (linhas verticais) indicam as posições relativas entre os máximos. Para determinar o atraso do sinal no canal 2 em relação ao canal 1, medimos a diferença de fase entre os respectivos máximos, conforme ilustrado na figura 3. O cabo utilizado tem comprimento de 13,2 m. Os resultados para a velocidade de fase v f =d/δt, são mostrados na figura 4, em função da freqüência da onda, onde a linha horizontal ilustra o valor do recíproco do índice de refração, n -1, [FONSECA 2007] para este cabo. Podemos observar que, para a presente faixa de freqüências, o cabo não exibe dispersão de forma significativa a ser medida pelo método proposto.
XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 6 1,0 0,8 0,6 v/c 0,4 0,2 0,0 2 3 4 5 6 frequência (MHz) Figura 4: Velocidade de fase em um cabo coaxial RG58U em função da freqüência da onda senoidal. A linha horizontal indica o valor do recíproco do índice de refração, n -1 = v/c = (μ o ε o /με) 1/2, para este cabo, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Conclusão Apresentamos uma metodologia experimental para a introdução no Ensino Médio do conceito de velocidade de fase, que embora muito simples na sua concepção, envolve vários truques experimentais, como o casamento de impedâncias e a escolha do comprimento do cabo e faixa de freqüências. Esperamos que o experimento que propomos ajude a elucidar melhor alguns conceitos que têm sido discutidos de forma não muito clara em livros texto. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (Faperj). Referências BOHREN, C. F. Physics textbook writing: Medieval, monastic mimicry. American Journal of Physics, v. 77, n. 2, p. 101-103, 2009. FONSECA, P.; SANTOS, A. C. F.; MONTENEGRO, E. C. A very simple way to measure coaxial cable impedance. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 29, n.3, p. 373-375, 2007. HECHT E. Óptica, 2ª edição, Fundação Calouste Gulbekian, 2002.
XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2011 Manaus, AM 7 2000 MACHADO, K. D. Teoria do Eletromagnetismo, três volumes, Editora UEPG,