Q1 (,5) Um pistão é constituído por um disco ao qual se ajusta um tubo oco cilíndrico de diâmetro d. O pistão está adaptado a um recipiente cilíndrico de diâmetro D. massa do pistão com o tubo é M e ele está inicialmente no fundo do recipiente. Despeja-se então pelo tubo uma massa m de líquido de densidade ρ e, em consequência, o pistão se eleva de uma altura H. Desprezando a pressão atmosférica local, determine H em função das demais variáveis fornecidas. SOLUÇÃO Q1 Num campo gravitacional vertical e uniforme, as superfícies isobáricas são planos horizontais. Dessa forma, a pressão num ponto logo abaixo do pistão é igual à pressão de um ponto B à mesma altura na parte interior ao cilindro (sobre esse ponto a uma coluna de fluido de altura h). Logo: p = p B = Mg πd 4 πd 4 = ρgh = h = 4M πρ(d d ) Por outro lado, dado que a massa total de fluido despejada foi m, temos [ ] [ πd m = ρ(v 1 + V ) = ρ 4 H + πd 4 h = H = 4 πρd m ( D d ] M ) 1
Q Um bloco de massa M, em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito, é fixado a um suporte rígido através de duas molas de constantes elásticas k 1 e k como mostra a figura abaixo. Um projétil de massa m e velocidade v atinge o bloco e fica preso a ele após o choque. Considere conhecidos v, M, m, k 1 e k. (a) (1,) plique a a lei de Newton ao sistema após a colisão e escreva a equação diferencial para o deslocamento x(t) do bloco. (b) (,5) Obtenha a frequência natural ω de oscilação do sistema após a colisão. (c) (1,) Escreva o deslocamento x(t) do bloco após a colisão. Considere como instante inicial (t = ) o momento em que o bloco inicia seu movimento. Despreze o tempo de colisão. SOLUÇÃO Q (a) a lei de Newton aplicada ao sistema após a colisão fornece: F = kx = (M + m) d x dt = d x dt + k M + m x =, onde k é a constante elástica efetiva do sistema em paralelo das molas de constantes k 1 e k. Essa constante pode ser determinada, observando-se que ao se deformar a mola efetiva de uma quantidade x, a mesma deformação é induzida em cada uma das molas da associação, de modo que a força resultante: Logo, temos: F = kx = F 1 + F = k 1 x + ( k x) = (k 1 + k )x = k = k 1 + k d x dt + k1 + k x =. M + m (b) Da equação diferencial do ítem (a), vemos que o movimento é um MHS com frequência natural de oscilação: k1 + k ω = M + m (c) solução da equação diferencial do ítem (a) é dada por x(t) = x m cos(ωt + φ), onde x m e φ são determinadas a partir das condições iniciais (posição x e velocidade v iniciais) através de: ( x m = x + v ) ω ( φ = atan v ), ωx O choque é inelástico, de modo que não há conservação da energia mecânica, mas somente da quantidade de movimento. velocidade inicial do sistema massa M + massa m é então mv = (M + m)v = V = m M + m v Temos então (tomando como origem do eixo x a posição em que o impacto inicial acontece): x m = ( x v ) V m M + m + = }{{} ω ω = M + m v mv = k 1 + k (M + m)(k1 + k ) φ = atan ( ) = 3π,
Q3 Um mol de gás ideal monoatômico descreve o ciclo representado na figura abaixo no plano p versus T, onde cada trecho é um segmento de reta. O prolongamento do segmento de reta BC passa pela origem do gráfico p versus T. (a) (,5) Calcule a pressão P 1 em atm. (b) (,5) Represente o ciclo no plano pv, indicando p em atm e V em m 3 para todos os vértices desse diagrama. (c) (1,) Calcule o trabalho realizado W, o calor trocado Q e a variação de energia interna U para cada um dos processos B, BC e C. (d) (,5) Calcule a eficiência de uma máquina térmica operando de acordo com esse ciclo. SOLUÇÃO Q3 (a) O trecho B é uma isobárica, de modo que T V = T B V B. lém disso, o trecho BC é feito a volume constante (isocórica), dado que a pressão varia linearmente com a temperatura, ou seja V B = V C = nrt C (1 mol) (8, 31 J/mol K) (3 K) = p C 1 5 =, 5 m 3. atm Logo, V = T TB V C = V C e p 1 = nrt /V = 1 5 N/m = atm. (b) Com base no ítem (a), temos o seguinte diagrama no plano pv (c) Trabalho: W B = p 1 (V B V ) = p 1 (V C V C ) = p V C 1 = 493 J (isobárica) W BC = J (isocórica) V W C = nrt ln = nrt ln() = 178 J (isotérmica) V C
Calor: dado que o gás é monoatômico, c V = 3 R e c P = 5 R Q B = nc P T B = 5 nr(t B T ) = 633 J Q BC = nc V T BC = 3 nr(t C T B ) = 374 J Q C = dq = du + dw = W C = 178 J Variação de energia interna: aplicando a primeira lei da Termodinâmica U B = Q B W B = 374 J U BC = Q BC W BC = 374 J U C = Q C W C = J (d) Vemos que o calor só é absorvido pelo gás no trecho B, de forma que: ɛ = W sistema Q entra = W B + W BC + W C 493 178 = =, 13 (1, 3%) Q B 633
Q4 Dentro de um calorímetro com capacidade calorífica desprezível mistura-se,5 litro de água à temperatura de 1 C com 5, kg de gelo a uma temperatura de - C. Supondo que o sistema gelo+água se encontra isolado termicamente, determine: a) (1,) a temperatura final de equilíbrio T eq do sistema e a massa de gelo restante m eq no equilíbrio térmico; b) (1,) a variação da entropia S a da água e a variação da entropia S g do gelo. c) (,5) partir da variação de entropia S ag do sistema água+gelo, discuta a natureza do processo quanto a reversibilidade ou irreversibilidade; SOLUÇÃO Q4 a) Chegando a C a água pode ceder Q 1 = 5 cal, mas o gelo precisa de Q = 1 cal para chegar até C. Uma transição de fase completa da áqua líquida para gelo fornece mais Q 3 = 4 cal, de modo que o gelo inicial não atingirá C. temperatura final é obtida então observando-se que o processo completo envolve uma queda de temperatura T = 1 C da água líquida até C, o congelamento de 5 g de água e uma transferência de calor adicional entre as duas amostras de gelo até que atinjam a temperatura de equilíbrio T f. Logo: Então: m g c g (T f + ) Q absorvido pelo gelo = m a c a T + m a L f m a c g T f Q cedido pela água T f = m ac a T + m a L f m g c g (m g + m a )c g = 1, 8 C = 71, K. Dessa forma, a massa de gelo restante é m eq = 55 g. b) variação de entropia da água ocorre primeiramente num processo com temperatura variável e depois numa transição de fase a temperatura constante (Q/T f ): ( 73K 4 cal S a = (5 g) (1, cal /g C) ln + 83 K 73 K Já a variação de entropia do gelo é S a = 695, 7 J /K S g = (5 g) (, 5 cal /g C) ln c) variação de entropia do sistema água+gelo vale de modo que o processo é irreversível. ) +(5 g) (, 5 cal /g C) ln 71, = 173, 7 53 cal /K = 77, 1 J /K S ag = S a + S g = 695, 7 J /K + 77, 1 J /K = 31, 4 J /K >, mc ln( T f T i ) 71, K 73 K