Leandro Aparecido Simal Moreira Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares Mapeamentos de Zonas de Singularidades Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Matemática do Departamento de Matemática da PUC Rio Orientador: Prof. Geovan Tavares dos Santos Rio de Janeiro Dezembro de 2010
Leandro Aparecido Simal Moreira Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares Mapeamentos de Zonas de Singularidades Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Matemática do Departamento de Matemática do Centro Técnico Científico da PUC Rio. Aprovada pela comissão examinadora abaixo assinada. Prof. Geovan Tavares dos Santos Orientador Departamento de Matemática PUC Rio Prof. Sinésio Pesco Departamento de Matemática PUC Rio Prof. Marcelo de Andrade Dreux Departamento de Engenharia Mecânica PUC Rio Prof. Luiz Henrique de Figueiredo Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA Prof. Marco Antônio Grivet Mattoso Maia Departamento de Engenharia Elétrica PUC Rio Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC Rio Rio de Janeiro, 10 de Dezembro de 2010
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Leandro Aparecido Simal Moreira Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Barra Mansa (UBM) e pós-graduado em Educação Matemática. Moreira, Leandro Aparecido Simal Ficha Catalográfica Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares / Leandro Aparecido Simal Moreira; orientador: Geovan Tavares dos Santos. Rio de Janeiro : PUC Rio, Departamento de Matemática, 2010. v., 83 f: il. ; 29,7 cm 1. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática. Inclui referências bibliográficas. 1. Matemática Tese. 2. Funções de Difusão. 3. Aprendizagem de Dados. 4. Zeros de Campos de Vetores. I. Santos, Geovan Tavares dos. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática. III. Título. CDD: 510
Agradecimentos A Deus, luz que nunca deixei de enxergar. À minha mulher Suely, que tanto me apoiou, incentivou e motivou. Por toda sua compreensão nos meus muitos momentos de ausência. O espaço aqui é curto para falar de toda a sua importância em minha vida. Te amo. Ao Zezinho, amigo e parceiro das madrugadas em claro, cenário mais usado para o desenvolvimento deste trabalho. Ao meu irmão Leonardo, pelas conversas valiosas, e aos meus pais, Mário e Ilvanide, pelo constante incentivo. Em especial à minha mãe, que mesmo tendo passado por momentos tão difíceis, não deixou de reforçar a corrente positiva em meu nome. Vocês três foram de uma generosidade incrível. Ao professor Geovan Tavares, pela orientação e por toda a confiança depositada em mim. Aos colegas do Departamento de Matemática, muito especialmente ao amigo Leandro Carlos pelos socorros tecnológicos que se fizeram necessários, e aos amigos da Engenharia Mecânica, André Timótheo e Manoel Feliciano, pelas discussões altamente proveitosas durante todo esse período. Vida longa aos cafés na Casa da Empada! Ao pessoal da secretaria, especialmente à Creuza e à Katia, por toda a atenção nos momentos em que isso foi preciso. Ao CNPq.
Resumo Moreira, Leandro Aparecido Simal; Santos, Geovan Tavares dos. Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares. Rio de Janeiro, 2010. 83p. Dissertação de Mestrado Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Em diversas áreas de pesquisa, tais como aquisição de sinais, processamento de imagens, classificação e aprendizado estatístico, entre outras, é comum que se pretenda fazer, em alguma escala, uma caracterização de conjuntos de dados através de alguma representação em baixa dimensão. Revelar estruturas locais e/ou globais geométrica ou estatística desses conjuntos está entre os objetivos dessa caracterização. Várias técnicas têm sido desenvolvidas para este propósito, quase todas tendo como ponto comum a suposição de que os dados estão próximos a uma variedade diferenciável. Recentemente, a busca da compreensão desses conjuntos tem envolvido o estudo dos autovalores e autofunções do laplaciano definido neste tipo de variedade. Contribuições recentes de Roweis e Saul, Belkin e Niyogi, Meila e Shi, e principalmente de Coifman e Lafon, foram utilizadas para, através de uma discretização adequada do laplaciano, associar a compreensão de conjuntos de dados aos conceitos de cadeia de Markov e random walk sobre grafos. Esse método, chamado de Diffusion Maps, tem sido aplicado com sucesso na compreensão em conjuntos de dados de várias naturezas, aí incluídos imagens e documentos. Nessa dissertação, descrevemos o método Diffusion Maps e sugerimos uma aplicação a campos de vetores planares com o propósito de determinar zonas de singularidades, além de produzir clusters dessas regiões a partir de informações qualitativas dos respectivos campos. Palavras chave Vetores. Funções de Difusão. Aprendizagem de Dados. Zeros de Campos de
Abstract Moreira, Leandro Aparecido Simal; Santos, Geovan Tavares dos. Diffusion Maps and Regions of Zero of Planar Vector Fields. Rio de Janeiro, 2010. 83p. Dissertação de Mestrado Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. In several research areas such as signal acquisition, image processing, classification and learning, it is quite common to try to characterize data through some low dimensional representation. To reveal local and/or global structures - geometric and/or statistics - is among the goals of such type of characterization. Several techniques have been developed with such goal in mind under the assumption that they are close to a manifold. Recently the research on this kind of low dimensional manifold has involved the study of eigenvalues and eigenvectors of the Laplacian. Contributions by Roweis and Saul, Belkin and Niyogi, Meila and Shi, and especially Coifman and Lafon were used to, through the discretization of the Laplacian on the data set, place these sets on a context of Markov chains and random walks on graphs. This technique, called Diffusion Maps, has been successfully applied to the understanding of data sets such as image and document learning. In this dissertation we describe Diffusion Maps and suggest an application to detect zones of singularities and to determine clusters of singularities from qualitative informations of planar vector fields. Keywords Diffusion Maps. Data Learning. Zeros of Vector Fields.
Sumário 1 Conceitos Iniciais 9 1.1 Grafos 9 1.2 Passeios aleatórios 13 1.3 Cadeias de Markov 15 1.4 Relações entre grafos, random walks e cadeias de Markov 21 2 Diffusion Maps 27 2.1 Conectividade em um conjunto de dados 28 2.2 Relação entre kernel e cadeia de Markov 29 2.3 Distância de difusão 31 2.4 Representação em coordenadas de difusão 31 2.5 Equivalência entre distâncias 33 2.6 Exemplos 35 2.7 O parâmetro de difusão ε 43 2.8 Famílias de difusão 44 3 Aplicação do Diffusion Maps a campos de vetores planares 49 3.1 Fundamentos teóricos 49 3.2 Mapeamentos de campos e detecção de zonas de singularidades 51 3.3 Classificação e clusterização de zonas de singularidades 57 3.4 Campos com bifurcação e ciclos limites 64 4 Conclusão e trabalhos futuros 78
Não me entrego sem lutar Tenho ainda o coração Não aprendi a me render Que caia o inimigo então. Renato Russo, Metal contra as nuvens, Disco V.