Estabilidade e Densidade dos Difeomorfismos Morse-Smale do Círculo
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- Ana Clara Sabrosa
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1 Luiz Felipe Nobili França Estabilidade e Densidade dos Difeomorfismos Morse-Smale do Círculo Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Matemática do Departamento de Matemática da PUC-Rio Orientador: Prof. Flavio Erthal Abdenur Rio de Janeiro Março de 2008
2 Luiz Felipe Nobili França Estabilidade e Densidade dos Difeomorfismos Morse-Smale do Círculo Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Matemática do Departamento de Matemática do Centro Tecnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão examinadora abaixo assinada. Prof. Flavio Erthal Abdenur Orientador Departamento de Matemática PUC-Rio Prof. Jairo da Silva Bochi PUC-Rio Prof. Lorenzo Justiniano Días Casado PUC-Rio Prof. Sérgio Bernardo Volchan PUC-Rio Rio de Janeiro, 15 de Março de 2008
3 Todos os direitos reservados. proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Luiz Felipe Nobili França Graduou-se em Matemática (Bacharelado) pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ). Nobili, Felipe Ficha Catalográfica Estabilidade e Densidade dos Difeomorfismos Morse- Smale do Círculo / Luiz Felipe Nobili França; orientador: Flavio Erthal Abdenur. Rio de Janeiro : PUC-Rio, Departamento de Matemática, v., 60 f: il. ; 29,7 cm 1. Dissertação (mestrado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática. Inclui referências bibliográficas. 1. Matemática Tese. 2. Morse-Smale. 3. Estabilidade estrutural. 4. Densidade. 5. Difeomorfismos do círculo. 6. Hiperbolicidade. I. Abdenur, Flavio. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática. III. Ttulo. CDD: 510
4 Agradecimentos Ao meu orientador Flavio Abdenur pelo incentivo e dedicação prestados ao longo destes anos. Aos professores e funcionarios do departamento de Matemática pela assistência e boa vontade. À CAPES e FAPERJ pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado. Aos colegas da PUC que me acompanharam nesta jornada e tornaram o ambiente de trabalho mais agradável.
5 Resumo Nobili, Felipe; Abdenur, Flavio. Estabilidade e Densidade dos Difeomorfismos Morse-Smale do Círculo. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Este trabalho tem como objetivo demonstrar que um difeomorfismo do círculo é Morse-Smale se, e somente se, ele é estruturalmente estável sob C 1 - perturbações, e que o conjunto dos difeomorfismos Morse-Smale é denso no conjunto de todos os difeomorfismos C 1 do círculo. Uma das preocupações presentes neste trabalho é a de apresentar as demonstrações e os conceitos da forma mais acessível possível, tendo como pré-requisitos apenas análise Real e noções básicas de topologia. Palavras chave do círculo. Morse-Smale. Estabilidade estrutural. Densidade. Difeomorfismos Hiperbolicidade.
6 Abstract Nobili, Felipe; Abdenur, Flavio. Structural Stability and Density of Morse-Smale Circle Diffeomorphisms. Rio de Janeiro, p. MsC Thesis Departament of Mathematics, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The main goal of this dissertation is to provide a self-contained proof that circle diffeomorphisms are Morse-Smale if and only if they are structurally stable in the C 1 topology. Another interesting result proved here is that the set of Morse-Smale diffeomorphisms is dense in the set of all C 1 diffeomorphisms of the circle. The presentation of the subject and proofs requires no more background than real analysis of functions of one variable and elementary topology. Keywords Morse-Smale. Structural stability. Density. Circle diffeomorphisms. Hiperbolicity.
7 Sumário 1 Introdução Noções básicas O círculo 11 2 Hiperbolicidade e estabilidade 21 3 Estabilidade dos Difeomorfismos Morse-Smale 30 4 Difeomorfismos estáveis são Morse-Smale 37 5 Densidade dos difeomorfismos Morse-Smale 47 6 Inversão de orientação 57 7 Considerações finais 59
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