EXERCÍCIOS DE LÓGICA MATEMÁTICA 1. Determine se as formulas a seguir são bem formuladas. (a) a (b) (a b) c (c) b (c d)) (d) b c d 2. Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 1 (e) ~(a b) c d (f) (~((a b) c ((d ~e) f)) (g) ((~(a (~b) d) e) (a) Se Alfredo escrever para Maria, ela não irá para outra cidade. (b) Ou Alfredo escreve para Maria, ou ela irá para outra cidade. (c) Alfredo não escreveu para Maria e ela irá para outra cidade. (d) Alfredo escreverá para Maria se, e somente se, ela for para outra cidade. (e) Se Alfredo escrever para Maria e João for ao encontro dela, então Maria não irá para outra cidade. (f) Se Alfredo for ao encontro de Maria ou João for ao encontro de Maria, ela não ficará mais na cidade. (g) João só irá ao encontro de Maria se Alfredo não estiver na cidade. (h) Se Maria se encontrar com João, ou se não for ao encontro com Alfredo, Maria irá para outra cidade. (i) O gerente despedirá Maria ou despedirá João. (j) Se João é vizinho de Maria, então João conhece Maria. (k) Se João ama Maria e Maria ama Paulo, então João não terá chance com Maria. (l) Se João for despedido e procurar um emprego, com certeza ganhará um salário melhor. (m) O número de acidentes diminuirá nas estradas se, e somente se, houver mais policiamento e os motoristas forem mais conscientes. (n) Todos acertaram todas as questões, mas isso não significa que não devam estudar mais. (o) Se Eduardo não apresentar uma queixa, então, nem Fernando investigará, nem Geraldo será classificado. (p) Ou Eduardo apresentará uma queixa, ou, se Fernando investigar, então Geraldo será desclassificado. 3. Sejam as proposições a = Carlos é argentino e b = João é brasileiro. Traduza para a linguagem natural as seguintes proposições simbólicas: (a) a b (b) ~a b (c) a b (d) a ~b 4. Coloque em linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) x é menor que 3 e maior que 0, ou, x não é igual a 7. (b) Se x é menor que 4 e maior que 2, então x é igual a 3. (c) Ou x é maior que 0, ou x é menor que 3 e y é maior que 0. (d) x é igual a 3 se, e somente se, y for maior que 0. (e) Se x é diferente de 2, então y é igual a 9 e z é maior que 3. (e) ~a b (f) ~a ~b
5. Dadas as proposições a = Luiz é administrador, b = Alfredo é bancário e c = Maria é comerciante, traduza para a linguagem simbólica as proposições a seguir. (a) Ou Luiz é administrador ou Alfredo é bancário, mas Maria não é comerciante. (b) Luiz não é administrado e Maria é comerciante. (c) Se Alfredo é bancário e Maria é comerciante, então Luiz é administrador. (d) É mentira que Luiz é administrador, que Alfredo é bancaria ou que Maria seja comerciante. (e) Luiz é administrador se, e somente se, Alfredo não é bancário e Maria não é comerciante. 6. Atribuindo um valor lógico a cada uma das proposições simples, de acordo com o contexto atual, conclua qual o valor lógico das seguintes proposições compostas: (a) O Brasil é um país emergente e o Japão está em crise. (b) O Brasil não é um país emergente, mas o Japão está em crise. (c) Se o Brasil é um país emergente, o Japão está em crise. (d) O Brasil é um país emergente se, e somente se, o Japão estiver em crise. (e) Ou o Brasil não é um país emergente ou o Japão não está em crise. (f) A seleção brasileira de futebol foi pentacampeã, mas se o técnico fosse outro, talvez ela não tivesse sido. (g) A inflação é praticamente nula, e o desemprego não para de crescer. (h) Ou os salários aumentam, ou as vendas diminuem. (i) Se São Paulo é a maior cidade da América Latina, sua arrecadação de impostos é alta ou parte do dinheiro arrecadado é desviado. (j) O azul é uma das cores da bandeira brasileira, e a bandeira de Portugal tem as cores verde e vermelho. (k) Se a Alemanha perdeu a Segunda Guerra Mundial e o Japão era seu aliado, então Japão também perdeu a Segunda Guerra Mundial. (l) Se Cuba é o único país comunista do Continente Americano e os Estados Unidos são um país capitalista, então Cuba será arrasada pelos Estados Unidos. (m) Se o Brasil já teve várias moedas, é provável que o real seja a última. (n) Se o Mercosul incomoda os países desenvolvidos, e o Brasil é país integrante desse mercado, então os países desenvolvidos tentarão conter o desenvolvimento brasileiro. 7. Dado que o valor lógico das proposições p e q é (V), e de r e s é (F), determine o valor lógico das seguintes proposições: (a) ~p ~q (b) p ~q (c) ~p (q r) (d) ~p (~q ~p) (e) r s p q 2 (f) p q r s (g) (p q) (p r) (h) (p q) (s (p r)) (i) ((p q) (p (r s)) s) s (j) ((r p) (r s)) (p (q s)) 8. Considerando-se p, q e r proposições simples, construa as tabelas-verdade das seguintes proposições.
(a) (p q) r (b) ~(p q) p (c) (~p q) r (d) p q (r q) (e) ~p p (r ~p) (f) (~p q) (r ~p) (g) ~((p ~q) r ~q 9. Use a tabela-verdade para classificar as proposições como tautologias, contingências ou contradições, sendo p, q e r proposições quaisquer. (a) p (p r) (b) p (p q) (c) p q p (d) p (q p) q (e) p p (p q) (f) p (p (p q)) (g) ~(p q) (~p ~q) (h) (p q) ~q ~p (i) ~(p q) ~p ~q (j) p q p q 10. Verifique se as proposições a seguir são equivalências tautológicas. (a) (p q) ((p r) q) (b) (p q) ((p q) q) 11. Verifique se as proposições a seguir são implicações tautológicas. (a) (p (q r)) ((p r) (q r)) (b) (p q) (p ~q) (c) (p q) ((p r) (q r)) (d) (p q) (p (q r)) (e) ((p ~q) (~r q) r) ~p (k) p (p q q) (l) (p (p q)) q (m) p (~p q ~q) (n) (~p q) ~p (o) ~(p (~p (q ~q))) (p) (p q r) q (p r) (q) p q (p q (p ~q)) (r) p (p q ~q) (s) (p q) (p r) p (q r) (t) (p q) (q r) (p r) (c) ((p q) r) ((q p) r) (d) (p q) (p (p q)) (f) (p q) (p q) (g) (p q) (~(p r)) (h) (~q p) (q p) (i) ((~q p) q) p 12. Mostre que as seguintes condicionais não são implicações tautológicas. (a) p (p q) (b) (p q) p (c) ((p q) ~p) ~q (d) q (p q) 13. Prove, usando a tabela-verdade, que a bicondicional (p q) (p q q) é uma equivalência tautológica. 14. Use tabelas-verdade para concluir se as equivalências a seguir são tautológicas. (a) (p q) (~q ~p) (b) p (p (p q)) 3 (c) (p (q p)) ((p q) (r r)) (d) (p q) (~p q) 15. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) ~(sen0 = 0 ou cos0 = 1)
(b) ~(2³ 8 ou 4² 4³) (c) ~(tg45 = 2 se, e somente se, ctg45 = 3) (d) Brasília é a capital do Brasil, e 2 0 = 0 ou 3 0 = 1 (e) ~(3² = 9 3 = 5 0² = 0) (f) 3 4 = 81 ~(2 + 1 = 3 5 0 = 0) (g) 4³ 64 ~(3 + 3 = 7 1 + 1 =2) 16. Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo: (a) V(p q) = V e V(p q) = F (b) V(p q) = V e V(p q) = F (c) V(p q) = V e V(p q) = V (d) V(p q) = V e V(p q) = V (e) V(p q) = F e V(~p q) = V 17. Sabendo que as proposições x = 0 e x = y são verdadeiras e que as proposições y = z e y = t são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) x = 0 x = y y z (b) x 0 y = t y = z (c) x y y z y = t (d) x 0 x y y z (e) x = 0 (x y y t) 4
GABARITO 1. Respostas (a) Sim (b) Sim (c) Não (d) Não (e) Sim (f) Não (g) Sim 2. Respostas (a) p: Alfredo escreve para Maria. p ~q (b) p: Alfredo escreve para Maria. p q (c) p: Alfredo escreveu para Maria. ~p q (d) p: Alfredo escreverá para Maria. p q (e) p: Alfredo escrever para Maria. r: João foi ao encontro dela (Maria). p r ~q (f) p: Alfredo for ao encontro de Maria. q: Ela (Maria) ficará na cidade. r: João for ao encontro de Maria. p r ~q (g) p: Alfredo estiver na cidade. q: João irá ao encontro de Maria. q ~p (h) p: Maria se encontrar com João. q: (Maria) for ao encontro com Alfredo. r: Maria irá para outra cidade. p ~q r (i) p: O gerente despedirá Maria. q: O gerente despedirá João. p q (j) p: João é vizinho de Maria. q: João conhece Maria. p q (k) p: João ama Maria. q: Maria ama Paulo. r: João terá chance com Maria. p q ~r (l) p: João foi despedido. q: (João) for procurar emprego. r: (João) com certeza ganhará um salário melhor. p q r (m)p: O número de acidentes diminuirá nas estradas. q: Houver mais policiamento. r: Os motoristas forem mais conscientes. p q r (n) p: Todos acertaram todas as questões. q: Isso significa que não devam estudar mais. p ~q (o) p: Eduardo apresentar uma queixa. q: Fernando investigará r: Geraldo será classificado. ~p ~q ~r (p) p: Eduardo apresentará uma queixa. q: Fernando investigar. r: Geraldo será classificado. p (q r) 3. Respostas (a) Carlos é argentino ou João é brasileiro. (b) Carlos não é argentino e João é brasileiro. (c) Se Carlos é argentino, então João é brasileiro. (d) Se Carlos é argentino, João não é brasileiro. (e) Carlos não é argentino se, e somente se, João é brasileiro. (f) Carlos não é argentino e João não é brasileiro. 1
4. Respostas (a) ((x < 3) (x > 0)) ~(x = 7) (b) (x < 4) (x > 2) (x = 3) (c) (x > 0) ((x < 3) (y > 0)) (d) (x = 3) (y > 0) (e) (x 2) (y = 9) (z > 3) 5. Respostas (a) (a b) ~c (b) ~a c 6. Respostas (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Verdadeiro 7. Respostas (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso 8. Respostas (c) b c a (d) ~(a (b c)) (f) Verdadeiro (g) Falso (h) Verdadeiro (i) Verdadeiro (j) Verdadeiro (e) Verdadeiro (f) Falso (g) Falso (h) Verdadeiro (e) a ~b ~c (k) Verdadeiro (l) Falso (m)falso (n) Verdadeiro (i) Verdadeiro (j) Verdadeiro (a) p q r p q r V V F F V F F F F V F F F F F V (c) p q r ~p q) r V V F V F F F F (b) p q ~(p q) p V V F V F F F V F F F F (d) p q r p q (r q) V V F F F F F V 2
(e) p q r ~p p (r q) V V F V F F F V (f) p q r p q (r q) V V F F F F F V (g) p q r ~((p ~q) (r ~q)) V V V F V V F F V F V F F F V F F F F F 9. Respostas (a) Tautologia (b) Contingência (c) Contingência (d) Tautologia (e) Tautologia (f) Contingência (g) Tautologia (h) Tautologia (i) Contingência (j) Contingência (k) Contingência (l) Contingência (m)tautologia (n) Tautologia (o) Contradição (p) Contingência (q) Contingência (r) Contingência (s) Contingência (t) Tautologia 10. Respostas (a) Não é equivalência tautológica (b) É equivalência tautológica 11. Respostas (a) Não é implicação tautológica (b) Não é implicação tautológica (c) É implicação tautológica (d) É implicação tautológica (e) É implicação tautológica 12. Respostas (a) Não é implicação tautológica (b) Não é implicação tautológica (c) Não é equivalência tautológica (d) É equivalência tautológica (f) É implicação tautológica (g) Não é implicação tautológica (h) É implicação tautológica (i) Não é implicação tautológica (c) Não é implicação tautológica (d) É implicação tautológica 13. É equivalência tautológica 3
14. Respostas (a) É equivalência tautológica (b) É equivalência tautológica (c) É equivalência tautológica (d) É equivalência tautológica 15. Respostas (a) Falso (b) Falso (c) Falso 16. Respostas (a) V(p) = F e V(q) = V V(p) = F e V(q) = F (b) V(p) = F e V(q) = F 17. Respostas (a) Verdadeiro (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Verdadeiro (e) Verdadeiro (f) Falso (c) V(p) = V e V(q) = V (d) V(p) = V e V(q) = V (e) V(p) = F e V(q) = V (d) Verdadeiro (e) Verdadeiro (g) Verdadeiro 4