Corrente elétrica e resistência 1
Corrente elétrica Neste capítulo vamos discutir as correntes elétricas, isto é, cargas em movimento. Especificamente, discutiremos correntes em materiais condutores. Embora uma corrente elétrica seja um movimento de partículas carregadas, nem todas as partículas carregadas que se movem produzem uma corrente elétrica. Por exemplo, os elétrons livres em um fio de cobre se movem em direções aleatórias com uma velocidade média da ordem de 10 6 m/s. Se fizermos um plano imaginário perpendicularmente a um fio de cobre, elétrons de condução passarão pelo plano nos dois sentidos bilhões de vezes por segundo, não havendo fluxo líquido de cargas e, portanto, não haverá uma corrente elétrica no fio. Se acionarmos um campo elétrico (por exemplo, ligando as extremidades do fio a uma bateria), porém, o número de elétrons que atravessam o plano em um sentido se tornará ligeiramente maior que o número de elétrons que atravessam o plano no sentido oposto; em consequência, haverá um fluxo líquido de cargas e, portanto, uma corrente elétrica no fio. 2
O efeito resultante do campo elétrico é tal que, além do movimento caótico das partículas carregadas, existe também um movimento muito lento, ou movimento de arraste, de um grupo de partículas carregadas na direção da força elétrica F = q E. Esse movimento é descrito pela velocidade de arraste das partículas. Como resultado, existe uma corrente resultante no condutor. OBS.: Em algumas figuras utilizamos a nomenclatura em vez de. Trata-se apenas do termo em inglês drift velocity velocidade de arraste. 3
Sentido do fluxo de corrente corrente convencional Definimos corrente elétrica, designada pela letra I, como o movimento ordenado de cargas positivas. Portanto, descrevemos as correntes como se elas fossem um fluxo de cargas positivas, mesmo em casos nos quais sabemos que a corrente real é produzida pelos elétrons. Essa escolha, ou convenção, para o fluxo das cargas denomina-se corrente convencional. Justificativa: o sinal das cargas que se movem é irrelevante para a análise dos circuitos elétricos. 4
Definimos a corrente através da área de seção reta de um condutor como igual ao fluxo total das cargas através da área por unidade de tempo. Logo, se uma carga dq flui através da área em um intervalo de tempo, a corrente I através da área é dada por: Unidade SI para corrente elétrica: ampère (A), definido como Coulomb por segundo (1A = 1C/s). Homenagem ao cientista francês André Marie Ampère (1775-1836). Importante: a corrente elétrica não é uma grandeza vetorial! Embora tenhamos definido um sentido, a corrente flui sempre ao longo do comprimento do fio tanto em fios retilíneos quanto em fios curvos. 5
Densidade de corrente Considere que existam n partículas carregadas por unidade de volume em um fio condutor. A grandeza n denomina-se concentração de partículas; sua unidade SI é m -3. A densidade de corrente J é definida como a corrente que flui por unidade de área da seção reta: Unidade de J: A/m 2 6
Pensando no conceito de corrente convencional, utilizamos as seguintes expressões para a corrente e densidade de corrente: 7
Exemplo: (a) a densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a J. Qual é a corrente entre as distâncias radiais R/2 e R. 8
Exemplo: (b) suponha que, em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varie com a distância radial r de acordo com a equação J = a r 2, com a sendo uma constante com dimensão de A/m 4. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio? 9
Resistividade Definimos a resistividade ρ de um material como a razão entre o módulo do campo elétrico e o módulo da densidade de corrente: Unidade SI da resistividade: (V/m)/( A/m 2 ) = (V/A) m. Especificamente, a 1V/A denomina-se 1ohm (1Ω). Logo, a unidade SI de resistividade é o Ω m. 10
Condutividade A condutividade σ é definida como o inverso da resistividade: 11
Resistividade e temperatura A resistividade de um metal quase sempre cresce com o aumento da temperatura, podendo ser aproximadamente representada pela equação: em que é a resistividade para uma temperatura de referência (geralmente considerada 0 o C ou 20 o C). 12
Resistência Seja uma corrente elétrica I fluindo em um condutor: b Assim, para um campo elétrico uniforme: a O vetor aponta no sentido da diminuição do potencial elétrico. 13
Por definição: Considerando que a densidade de corrente é uniforme através da área A: Adotando a seguinte notação obtemos que: Resistência elétrica 14
Então: Resistência e temperatura 15
Resistor Ôhmico: 16
Diodo semicondutor: um resistor não ôhmico: Resistor não ôhmico: Para o diodo, quando, temos que. Assim: 17
Resistor Um resistor é um elemento que possui um dado valor de resistência entre suas extremidades. Símbolo de resistor: 18
Tolerância: Faixa dourada: +/- 5% Faixa prateada: +/- 10% Sem faixa: +/- 20% Primeiro dígito Segundo dígito Multiplicador Tolerância 70 x 10 6 +/- 5% = 70 M +/- 5% 19
Outros exemplos de resistores Resistência do chuveiro: Resistência de um forno elétrico: Na verdade, a resistência de um chuveiro ou de um forno elétrico é um resistor que possui um dado valor de resistência entre suas extremidades. Filamento de uma lâmpada incandescente: 20
Força eletromotriz e circuitos de corrente contínua 21
Força Eletromotriz Para que um condutor possua uma corrente estacionária ele deve ser parte de uma trajetória fechada ou circuito completo. Corrente estacionária: corrente com valor constante, que não varia com o tempo o tempo. Explicação: 22
Logo, é impossível haver uma corrente estacionária em tal circuito incompleto. 23
Como manter uma corrente estacionária em um circuito completo? 1. Sempre existe diminuição do potencial elétrico quando as cargas se movem através de um material condutor com resistência (ver slide 13). 2. Considere que uma carga q percorre um material condutor fechando um circuito completo (por exemplo, partindo de um ponto a e retornando a ele): Nesse caso, o potencial elétrico no final da trajetória (ponto a) é igual ao potencial elétrico no início da trajetória (ponto a). 3. Portanto, como durante o percurso sempre há diminuição do potencial elétrico (item 1), deve existir alguma parte do circuito na qual o potencial elétrico aumente (para satisfazer o item 2). a 24
Problema semelhante: fonte de água ornamental que recicla água. A partir do ponto mais elevado, á agua flui para baixo no sentido de diminuir a energia potencial gravitacional. Uma bomba eleva a água novamente para o topo. Assim como uma fonte de água necessita de uma bomba, um circuito elétrico necessita de uma fonte de força para sustentar uma corrente estacionária. 25
O agente que faz a corrente fluir do potencial mais baixo para o mais elevado denomina-se força eletromotriz (fem). Esse termo não é muito adequado, pois a fem não é uma força, mas sim uma grandeza com dimensão de energia por unidade de carga, assim como o potencial (Volt). Fontes de fem: baterias, células solares, geradores, etc. 26
Segundo o teorema trabalho-energia cinética, o trabalho total devido à força elétrica (advinda da presença de um campo elétrico) somado ao trabalho de uma força externa pode ser escrito como: Se não houver variação na energia cinética entre os pontos a e b (corrente estacionária) Como vimos, o trabalho realizado pela força elétrica pode ser escrito como: Portanto: Tal que: 27
Vamos agora fazer um circuito completo, conectando um fio com resistência R aos terminais de uma fonte de tensão: 28
Resistência interna Em uma fonte de fem real a carga que se move encontra uma resistência chamada de resistência interna da fonte, designada pela letra r. À medida que a corrente se desloca através de r, ela sofre uma queda de potencial, tal que: Lembrar da relação entre potencial e corrente (V = IR). Agora, conectando um fio com resistência R aos terminais de uma fonte de tensão com resistência interna r: 29
Representação esquemática de um circuito simples: 30
Energia e Potência em circuitos elétricos Seja um dispositivo percorrido por uma corrente elétrica I: Podemos escrever uma relação entre a diferença de potencial entre os pontos a e b e a variação diferencial de energia potencial elétrica associada a um elemento diferencial de carga dq: Unidade de potência: Joule/segundo = J/s = Watt [W] 31
Potência dissipada por um resistor No caso em que o dispositivo percorrido pela corrente elétrica for um resistor, teremos: ou Por que utilizamos o termo dissipação? O potencial elétrico que é a energia potencial elétrica por unidade de carga no ponto a (onde a corrente entra no resistor) é sempre maior que o potencial no ponto b (onde a corrente sai) (ver slide 13). Qual é o destino dessa energia perdida? Em escala microscópica, essa conversão de energia ocorre através de colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor, o que leva a um aumento de temperatura do resistor. A energia potencial elétrica assim convertida em energia térmica é dissipada (perdida). 32
Por exemplo, os resistores de chuveiros, lâmpadas incandescentes, aquecedores e fornos elétricos convertem energia potencial elétrica em energia térmica ao serem percorridos por uma corrente elétrica. Dizemos, então, que a energia é dissipada no resistor. Além de proporcionar aquecimento, é importante destacar que o resistor pode ser utilizado com a função de limitar a intensidade da corrente elétrica em circuitos eletrônicos. 33
Circuitos de corrente contínua O principal assunto deste capítulo são os circuitos de corrente contínua (cc), nos quais o sentido da corrente não varia com o tempo. Associação de resistores em série e em paralelo 34
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Resistores em série resistência equivalente: R eq Quando os resistores são associados em série, a corrente I deve ser a mesma através de todos os resistores: R eq Em notação contraída: 37
Mas: De uma forma geral, para N resistores associados em série: 38
Resistores em paralelo resistência equivalente: R eq R eq Quando os resistores são associados em paralelo, a corrente em cada resistor não precisa ser a mesma. Contudo, a diferença de potencial nos terminais de cada resistor deve ser a mesma e igual a V ab. 39
De uma forma geral, para N resistores associados em paralelo: 40
Exemplo: Duas lâmpadas incandescentes devem ser conectadas a uma fonte com fem de 12 V e resistência interna desprezível. A lâmpada 1 possui potência nominal de 36 W e a lâmpada 2 de 18 W (ambas as potências para uma diferença de potencial de 12 V). Determine a corrente que passa em cada lâmpada, a diferença de potencial através de cada lâmpada e a potência fornecida a cada lâmpada e ao circuito todo, supondo que as lâmpadas sejam ligadas (a) em série e (b) em paralelo. Resistência de cada lâmpada: 41
Neste caso, de associação em série, a corrente através de cada lâmpada é a mesma: 42
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Neste casso, de associação em paralelo, a diferença de potencial através de cada lâmpada é a mesma e igual a V de = 12 V. 44
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Leis de Kirchhoff Considere os dois circuitos a seguir: Não precisamos utilizar nenhum princípio novo para encontrar as correntes nesses circuitos, contudo, existem algumas técnicas que nos ajudam a resolver tais problemas de modo sistemático. Descreveremos as técnicas desenvolvidas pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824 1887). 46
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Percorrendo a malha no sentido horário: Percorrendo a malha no sentido anti-horário: Ou seja, a resposta independe do sentido escolhido para percorrer a malha. 48
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Exemplo: Percorrendo a malha no sentido horário: 50
E se tivéssemos escolhido um sentido oposto para a corrente elétrica? Percorrendo a malha no sentido horário: Um resultado negativo para I indicará apenas que o sentido real da 51 corrente é oposto ao escolhido na resolução do problema.
Circuitos com mais de uma malha: Por exemplo, considerando o nó d: Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente! 52
Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente! Malha 3 Malha 1 Malha 2 Percorrendo as três malhas no sentido anti-horário: Malha 1 Malha 2 Nós b e d: Malha 3 53
O Amperímetro (A) O instrumento utilizado para medir correntes é chamado de amperímetro (A). Ele é ligado em série com o circuito, fazendo com que a corrente passe em seu interior. É importante que a resistência R A do amperímetro seja muito menor que todas as outras resistências do circuito; se não for assim, a presença do medidor mudará o valor da corrente que se pretende medir. 54
O Voltímetro (V) O instrumento utilizado para medir diferenças de potencial é chamado de voltímetro (V). Ele é ligado em paralelo, entre os dois pontos em que a diferença de potencial será medida. É importante que a resistência R V do voltímetro seja muito maior que a resistência dos elementos do circuito entre os pontos nos quais o voltímetro está ligado. Com R V do voltímetro muito maior que a resistência entre os pontos de medida c e d, aproximadamente toda a corrente I passará por R 1, conduzindo ao valor correto V cd = I R 1. 55
Circuitos RC: Resistor + Capacitor Denomina-se circuito RC um circuito que possui um resistor em série com um capacitor. No processo de carregar ou descarregar um capacitor, verificamos uma situação na qual ocorrem variações com o tempo das magnitudes das correntes, voltagens e potências. OBS.: mantendo a nomenclatura adotada no livro Física III Sears & Zemansky, adotaremos letras minúsculas para indicar cargas (q) e correntes (i) que variam com o tempo. 56
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff (desprezando qualquer resistência interna da fonte de fem): 57
com carga final no capacitor com 58
Constante de tempo ou tempo de relaxação : 59
Descarregando um capacitor 60
O sinal negativo indica que na medida em que o capacitor é descarregado, o sentido da corrente é oposto ao da situação em que o capacitor é carregado. 61
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