REALIMETAÇÃO DE SAÍDA ROBUSTA A PARTIR DE COTROLADORES DEPEDETES DE PARÂMETROS PARA SISTEMAS LIEARES ICERTOS DISCRETOS O TEMPO HEBER R. MOREIRA RICARDO C. L. F. OLIVEIRA PEDRO L. D. PERES Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas UICAMP, 13083-970, Campinas, SP, Brasil. Email: {heberrm,ricfow,peres}@dt.fee.unicamp.br, Abstract This paper proposes a convex linear matrix inequality based approach to pute robust static output feedback controllers using the state feedback controller as an input of the procedure. The main novelty relies on the possibility of finding robust output feedback controllers starting from a parameter-dependent state feedback controller. umerical experiments illustrate the advantages of the procedure when pared with other methods available in the literature. Keywords Uncertain linear systems; state feedback; output feedback; parameter-dependent Lyapunov functions; LMIs. Resumo Este trabalho propõe um procedimento convexo baseado em desigualdades matriciais lineares para putar controladores robustos estáticos por realimentação de saída usando um controlador por realimentação de estados o parâmetro de entrada do método. A principal novidade é a possibilidade de encontrar controladores de saída robustos a partir de controladores de estados dependentes de parâmetros. Experimentos numéricos ilustram as vantagens do procedimento quando parado outros métodos disponíveis na literatura. Palavras-chave Sistemas lineares incertos; realimentação de estados; realimentação de saída; funções de Lyapunov dependente de parâmetros; LMIs. 1 Introdução Um dos problemas clássicos da teoria de controle é o projeto de controladores estáticos por realimentação de saída (Syrmos et al., 1997). Apesar de essa estratégia de controle ser simples do ponto de vista de implementação prática, a sua solução numérica é difícil (Blondel e Tsitsiklis, 2000) e vários métodos de otimização têm sido propostos na literatura nas últimas décadas para resolver o problema. A abordagem mais utilizada é a baseada na construção de funções de Lyapunov cuja existência fornece o ganho de realimentação de saída (Anderson et al., 1975; Geromel et al., 1996; El Ghaoui et al., 1997; Cao et al., 1998; Geromel et al., 1998; Crusius e Trofino, 1999; Peaucelle e Arzelier, 2001). Em geral, esses métodos são extensões das estratégias de controle por realimentação de estados, para as quais existem parametrizações convexas do controlador (Bernussou et al., 1989). Essas parametrizações são obtidas por meio de algumas mudanças de variáveis, que não são mais possíveis no caso de realimentação de saída. Outras abordagens não seguem essa linha de mudança de variáveis ou não são baseadas em funções de Lyapunov, o por exemplo de Oliveira et al. (2000) e Henrion e Lasserre (2006). Vale a pena destacar artigos tratando de realimentação de saída ou de problemas correlatos que apareceram em revistas nacionais, o por exemplo (Barbosa e Trofino, 2003; Dórea e Milani, 2003; Castelan, 2005; Assunção, Andrea e Teixeira, 2007; Assunção, Andrea, Teixeira e Pinto, 2007; Andrea et al., 2008). o caso de sistemas lineares parâmetros incertos a situação é ainda mais plicada pois o simples fato de usar-se a mesma função de Lyapunov para garantir a estabilidade de todo o domínio incerto é uma fonte de conservadorismo (Crusius e Trofino, 1999; Peaucelle e Arzelier, 2001). Dentre os trabalhos que usam funções de Lyapunov dependentes de parâmetros para reduzir o conservadorismo da estabilidade quadrática, destacam-se Arzelier et al. (2003), Shaked (2003), Mehdi et al. (2004) e Dong e Yang (2007). esse contexto vale a pena destacar as abordagens de Arzelier et al. (2003), Mehdi et al. (2004) e Dong e Yang (2007) que não possuem a deficiência de serem aplicáveis somente a sistemas a matriz de saída precisamente conhecida. Este trabalho investiga o problema de realimentação estática robusta de saída para sistemas lineares incertos discretos no tempo usando uma estratégia similar à adotada em Peaucelle e Arzelier (2001), Arzelier et al. (2003) e Mehdi et al. (2004). As matrizes do sistema são consideradas incertas e pertencentes a um politopo. O método consiste em primeiramente projetar um controlador por realimentação de estados, que é em seguida usado o parâmetro de entrada para a síntese do controlador de saída. essa segunda condição, a mesma função de Lyapunov associa-se simultaneamente a um ganho de estado paramétrico e a um ganho de saída constante. A principal novidade da abordagem proposta em relação aos resultados existentes na literatura é a possibilidade de projetar ganhos robustos de saída a partir de ganhos de estado dependentes de parâmetros. A vantagem imediata em relação a, por exemplo Mehdi et al. (2004), que também foi desenvolvido para sistemas incertos discretos, é que não é necessário que o sistema seja estabilizável por um controlador de estado robusto. As condições propostas são dadas na forma de desigualdades matriciais lineares (em inglês, linear matrix inequalities LMIs) (Boyd et al., 1994). Exemplos numéricos ilustram as vantagens da abordagem.
2 Preliminares Considere o sistema linear discreto no tempo x(k+ 1) = A(α)x(k)+B(α)u(k) y(k) = C(α)x(k) (1) sendo x(k) R n o vetor de estados, u(k) R m a entrada de controle e y(k) R p a saída medida do sistema. As matrizes A(α), B(α) e C(α) não são precisamente conhecidas e são descritas na forma (A, B,C)(α) = α i (A i,b i,c i ) (2) o vetor de parâmetros incertos α = (α 1,...,α ) pertencendo ao simplex unitário { Λ = α R : } α i = 1, α i 0, i = 1,..., (3) As matrizes A i R n n, B i R n m, C i R p n, também denominadas vértices do sistema, são dadas a priori. Esse modelo de incerteza é amplamente difundido na literatura, sendo conhecido o modelo politópico. O problema a ser investigado é o projeto de um ganho estático K associado à lei de controle por realimentação de saída u(k) = Ky(k) tal que o sistema em malha fechada seja robustamente estável para todo α Λ. A estratégia usada é similar à utilizada em Peaucelle e Arzelier (2001), Arzelier et al. (2003) (que trataram o caso contínuo no tempo), Mehdi et al. (2004) e consiste em primeiramente projetar o ganho de realimentação de estados, que é usado o parâmetro de entrada na condição que sintetiza o ganho de realimentação de saída. A diferença da abordagem desenvolvida neste trabalho é que o ganho de realimentação de estados pode ser dependente de parâmetros, reduzindo o conservadorismo da estratégia e fornecendo soluções em casos nos quais os métodos disponíveis na literatura falham. 3 Resultados Como ponto de partida é fornecida uma condição de síntese de realimentação de estados que provê um ganho dependente de parâmetros. Teorema 1 Se existirem matrizes simétricas P i R n n, matrizes G i R n n, Z i R m n, i = 1,...,, tais que as seguintes LMIs são verificadas 1 Pi A i G i + B i Z i G i + G i P > 0, i = 1,..., (4) i Pi + P j A i G j + A j G i + B i Z j + B j Z i G i + G j + G i + G j P > 0, i P j i = 1,..., 1, j = i+1,..., (5) 1 O símbolo representa blocos simétricos nas LMIs. então o sistema (1) é estabilizável pela lei de controle dependente de parâmetros u = Z(α)G(α) 1 x, Z(α) = α i Z i, G(α) = α i G i, α Λ Prova: A prova usa a mesma estratégia de Ramos e Peres (2002) para tratar produtos de matrizes dependentes de parâmetros. Multiplique (4) por αi 2 e some para i = 1,...,. Multiplique (5) por α i α j e some para i = 1,..., 1, j = i + 1,...,. Somando os resultados, obtém-se P(α) Acl (α)g(α) G(α)+G(α) > 0, (6) P(α) A cl (α) = A(α)+B(α)Z(α)G(α) 1. Multiplique (6) à esquerda por I A cl (α) e à direita pelo respectivo transposto, para obter A cl (α)p(α)a cl (α) P(α) < 0, o que prova a estabilidade robusta do sistema em malha fechada o ganho de realimentação de estados dependente de parâmetros Z(α)G(α) 1 por meio da função de Lyapunov dependente de parâmetros v(x) = x P(α)x. ote que o ganho sintetizado é uma função racional de α. Caso deseje-se um ganho robusto (independente de parâmetros), a seguinte condição pode ser usada. Corolário 2 Se existirem matrizes simétricas P i R n n, i = 1,...,, matrizes G R n n, Z R m n, tais que as LMIs dadas em (4) são verificadas G i = G, Z i = Z, i = 1,...,, então o sistema (1) é estabilizável pela lei de controle robusta u = ZG 1 x. Prova: Similar à prova do Teorema 1. A condição do Corolário 2 foi originalmente publicada em de Oliveira et al. (1999) e será usada na seção de experimentos numéricos para fins parativos. ote que ganhos dependentes de parâmetros estruturas distintas poderiam ser obtidos, fixando-se G i = G ou Z i = Z, i = 1,...,, por meio de condições LMIs intermediárias (em termos da plexidade putacional associada ao número de variáveis) entre o Teorema 1 e o Corolário 2. O próximo teorema apresenta uma condição de síntese para o ganho estático de saída usando as matrizes do ganho de realimentação de estados Z i e G i, i = 1,..., o parâmetros de entrada. Teorema 3 Sejam Z i e G i, i = 1,..., matrizes soluções do Teorema 1. Se existirem matrizes simétricas P i R n n, matrizes F i R n n, i = 1,...,, e matrizes R R m m, L R m p tais que as seguintes LMIs são verificadas G i P ig i G i A i F i + Z i B i F i G i C i L + Z i R F i + F i P i F i B i > 0, R+R i = 1,..., (7)
G i P ig j G +G j P ig i + G i P i A i F j + G j A i F i + G i A j F i jg i +Z i B i F j + Z j B i F i + Z i B j F i 2F i + F j + 2F i +F j 2P i P j (G i C i + G i C j + G j C i )L +(2Z i + Z j )R F i B i + F i B j + F j B i > 0, 3R+3R T 11 T 12 T 13 T 22 T 23 > 0, 6R+6R i = 1,...,, j i, j = 1,..., (8) i = 1,..., 2, j = i+1,..., 1 k = j+ 1,..., (9) T 11 =G jp i G k + G k P ig j + G ip j G k + G k P jg i + G ip k G j + G jp k G i, T 12 =G ja if k + G k A if j + G ia jf k + G k A jf i + G ia k F j + G ja k F i + Z jb if k + Z k B if j + Z ib jf k + Z k B jf i + Z ib k F j + Z jb k F i, T 13 = (G ic j + G jc i + G ic k + G k C i + G jc k + G k C j)l + 2(Z i + Z j + Z k ) R, T 22 =2(F i + F i + F j + F j + F k + F k P i P j P k ), T 23 =F i B j + F jb i + F i B k + F k B i + F jb k + F k B j, então o sistema é estabilizável pela lei de controle robusta por realimentação estática de saída u = R 1 Ly. Prova: Usando a técnica de Ramos e Peres (2001) para tratar produtos de três matrizes dependentes de parâmetros, multiplique (7) por αi 3 e some para i = 1,...,. Multiplique (8) por αi 2α j e some para i = 1,...,, j i, j = 1,...,. Multiplique (9) por α i α j α k e some para i = 1,..., 2, j = i+1,..., 1, k = j+ 1,...,. Somando os resultados obtém-se G(α) G(α) P(α)G(α) A(α) F(α) +Z(α) B(α) F(α) F(α)+F(α) P(α) G(α) C(α) L + Z(α) R F(α) B(α) > 0, (10) R+R Multiplique (10) à direita por R 1 (α) e à esquerda por R 1 (α), R 1 (α) = G(α) 1 0 0 I 0 I para obter A(α) F(α) P(α) +G(α) 1 Z(α) B(α) F(α) F(α)+F(α) P(α) C(α) L + G(α) 1 Z(α) R F(α) B(α) > 0. (11) R+R Multiplicando (11) à esquerda por R 2 (α) e à direita por R 2 (α), I 0 S(α) R 2 (α) =, 0 I 0 e S(α) = ( (R 1 L)C(α) Z(α)G(α) 1) obtém-se P(α) Acl (α) F(α) F(α)+F(α) > 0, (12) P(α) A cl (α) = A(α)+B(α)Z(α)G(α) 1 + B(α) ( (R 1 L)C(α) Z(α)G(α) 1), = A(α)+B(α)(R 1 L)C(α). Multiplicando (12) à esquerda por I A cl (α) e à direita pelo respectivo transposto, obtém-se A cl (α) P(α)A cl (α) P(α) < 0 o que prova a estabilidade robusta do sistema em malha fechada o ganho de estático de realimentação de saída R 1 L por meio da função de Lyapunov dependente de parâmetros v(x) = x P(α)x. A principal característica das condições do Teorema 3 é que a função de Lyapunov P(α) obtida deve ser capaz de garantir a estabilidade robusta do sistema em malha fechada tanto para o ganho de estados quanto para o ganho de saída. Para observar esse fato basta impor S(α) = 0 na matriz de transformação R 2 (α), obtendo-se a mesma equação (12) mas a matriz dinâmica de malha fechada dada por A cl (α) = A(α)+B(α)Z(α)G(α) 1. As condições do Teorema 3 podem ser adaptadas para fornecer um ganho robusto de realimentação de estados, o descrito no próximo corolário. Corolário 4 Se existirem matrizes simétricas P i R n n, matrizes F i R n n, i = 1,...,, e matrizes R R m m, L R m n tais que as LMIs (7), (8) e (9) são verificadas C i = I n, i = 1,...,, então o sistema é estabilizável pela lei de controle robusta por realimentação estática de estados u = R 1 Lx. Prova: Similar à prova do Teorema 3. o caso de realimentação robusta de estados, as condições do Corolário 4, partindo da solução dada pelo Teorema 1, podem ser uma alternativa quando as
condições em de Oliveira et al. (1999) não encontram solução. A justificativa para esse fato é que as condições suficientes do Corolário 4, que procuram por uma função de Lyapunov capaz de certificar a estabilidade robusta do sistema em malha fechada para dois tipos de ganhos (dependente de parâmetros e robusto), podem ser menos conservadoras que as condições suficientes de (de Oliveira et al., 1999), que procuram somente pelo ganho robusto. Comentário similar aplicase às condições para realimentação de saída obtidas diretamente de de Oliveira et al. (1999) (que podem ser encontradas na literatura) e as propostas neste artigo. Finalmente, note que o ganho de realimentação de estados gerado pelo Teorema 1 foi calculado sem nenhum critério de desempenho, o por exemplo as normas H 2 e H, alocação de pólos, etc. Avaliar quais desses critérios (ou outros) podem fornecer os melhores resultados em termos de obterem-se mais soluções no Teorema 3 fica o perspectiva para futuras investigações. 4 Experimentos uméricos Todos os experimentos foram feitos usando o SeDuMi (Sturm, 1999) e o YALMIP (Löfberg, 2004) o Matlab versão 7.0.1 em um putador Athlon 64 X2 6000+ (3.0 GHz), 2GB RAM (800 MHz) Linux Ubuntu. A plexidade numérica associada aos exemplos é dada em termos do número V de variáveis escalares, o número L de linhas de LMIs, e o tempo putacional (em segundos). Exemplo 1 Seja o sistema linear incerto discreto no tempo descrito por A 1 = x(k+ 1) = A(α)x(k)+Bu(k) 1.0 0.5 0.3 0.1 B = 0.6 0.6, A 2 = 0.7 0.3 1.3 2.6., este exemplo não é possível calcular um ganho robusto de realimentação de estados diretamente pela condição do Corolário 2. Entretanto, as condições do Teorema 1 encontram um ganho por realimentação de estados dependente de parâmetros K(α) = Z(α)G(α) 1 que estabiliza o sistema (V = 18, L = 12, Tempo= 0.02 s). As matrizes desse ganho foram usadas o dados de entrada para a condição do Corolário 4, na qual foi possível calcular um ganho robusto de realimentação de estados para este sistema (V = 17, L = 20, Tempo=0.03 s) dado por K = 0.11418 0.23713. (13) Im(λ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1 Re(λ) Figura 1: Autovalores para o sistema em malha fechada do Exemplo 1 ganho K em (13). A Figura 1 mostra os autovalores (calculados por uma grade fina no espaço de parâmetros) do sistema em malha fechada, ou seja, A cl (α) = A(α)+BK. O maior autovalor em módulo calculado para o sistema em malha fechada é λ max = 0.9738, demonstrando que o controlador robusto por realimentação estática de estados K dado em (13) de fato estabiliza o sistema. Para fins ilustrativos, a matriz de Lyapunov obtida é dada por 0.0507 0.0361 P(α) = α 1 0.0361 0.1477 Exemplo 2 Considere o sistema incerto + α 2 0.3027 0.1086 0.1086 0.1883, α Λ. x(k + 1) = A(α(k))x(k) + B(α(k))u(k) y(k) = Cx(k) 0.3 1.1 0.3 0.7 A 1 =, A 0.6 0.2 2 =, 0.5 0.9 0.1 1.7 0.7 B 1 =, B 1.6 2 =, C 0.4 1 = C 2 =. 0.6 O objetivo é controlar esse sistema por meio de um ganho estático robusto de saída. Assim o no Exemplo 1, a condição do Corolário 2 não é capaz de projetar um controlador de estado robusto para o sistema. Conseqüentemente, o método de Mehdi et al. (2004) não pode ser aplicado para encontrar um controlador de saída robusto. As condições LMIs de Dong e Yang (2007), que não precisam de um controlador de estado o parâmetro de entrada, também não encontram solução para o problema. Entretanto, esse sistema admite um ganho de estado dependente de parâmetros obtido as condições do Teorema 1 (V = 18, L = 12, Tempo=0.03 s). Usando esse ganho dependente de parâmetros o entrada, foi possível
encontrar um ganho de saída robusto as condições do Teorema 3 (V = 16, L = 20, Tempo=0.04 s) dado por K = 0.83964. Os autovalores para o sistema em malha fechada são mostrados na Figura 2. Im(λ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Usando as condições do Corolário 2 é possível encontrar um controlador de estado robusto, viabilizando o uso das condições de Mehdi et al. (2004) nas parações. As condições propostas no Teorema 3 são usadas tanto um controlador robusto de estados (denotada por T 3 ) quanto um controlador dependente de parâmetros projetado o Teorema 1. Para usar as condições do Teorema 3 a partir de um controlador robusto o entrada, adotou-se G i = G, Z i = Z, i = 1,...,4 Z e G projetadas pelo Corolário 2. As condições de Dong e Yang (2007), que não precisam de controladores de estado o parâmetro de entrada, também são usadas nas parações. A Tabela 1 apresenta os resultados obtidos e as plexidades putacionais associadas. 1 1 0.5 0 0.5 1 Re(λ) Figura 2: Autovalores para o sistema em malha fechada do Exemplo 2 K = 0.83964. O maior autovalor em módulo calculado para o sistema em malha fechada é γ max = 0.90088, demonstrando que o ganho de saída robusto de fato estabiliza o sistema. Exemplo 3 Finalmente, a abordagem proposta é parada os métodos de Mehdi et al. (2004) (MBB04) e Dong e Yang (2007) (DY07), que são as abordagens mais recentes na literatura capazes de tratar a matriz de saída incerta. Para essa paração será usado um sistema incerto na forma (1) dimensões maiores, isto é, n = 3, = 4, m = 2, p = 2. As matrizes do sistema são dadas por 1+ µ 2 2 A 1 = 0.3 2 1 1 µ, 1 1+ µ 1 A 2 = 0.3 0 0 2 1 2 0, C 2 = 3 1 2 2, 1 0 2 1 3 1 1 2 A 3 = 0.3 1 1 0, C 3 = 2 1 2 0, 2 2 2 2 2 1 1 1 A 4 = 0.3 3 1 2 1 1 1, C 4 =, 1 3 2 1 1 2 C 1 = 2 0 1 3, B i = 0 2 2 1, i = 1,...,4, 2 2 0 0 sendo µ R um escalar não-negativo. este exemplo, deseja-se determinar o maior valor possível para o parâmetro µ tal que o sistema seja estabilizável por um ganho robusto estático de saída. Tabela 1: Comparação entre os métodos de MBB04, DY07 e as condições do Teorema 3 no Exemplo 3. T3 denota que o Teorema 3 foi usado um controlador robusto o parâmetro de entrada. Método µ V L Tempo (s) DY07 43 144 0.06 MBB04 0.0857 65 44 0.11 T3 0.2304 68 160 0.11 T3 0.3104 68 160 0.19 Como pode ser visto na Tabela 1, as condições do Teorema 3 conseguiram estabilizar o sistema para os maiores valores de µ. As condições de Dong e Yang (2007) não encontraram solução para este exemplo. 5 Conclusão Uma nova estratégia para projetar controladores estáticos robustos por realimentação de saída foi proposta neste trabalho. O método consiste em primeiramente calcular um ganho de realimentação de estados dependente de parâmetros por um conjunto de LMIs e depois usá-lo o parâmetro de entrada para encontrar um ganho robusto de realimentação de saída robusto por meio de outra condição LMI. Exemplos numéricos mostram que a abordagem proposta pode fornecer soluções quando outros métodos da literatura falham. Futuras investigações incluem o uso de funções de Lyapunov polinomiais e o tratamento de parâmetros variantes no tempo. Agradecimentos Às agências FAPESP, CAPES e CPq, pelo apoio financeiro. Referências Anderson, B. D. O., Bose,. K. e Jury, E. I. (1975). Output feedback stabilization and related problems solution via decision methods, IEEE Transactions on Automatic Control 20(1): 53 66.
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