Estudo de Caso do Uso de Jogos Eletrônicos na Ministração de Conceitos Pedagógicos: Simulação Espacial do Modelo Presa-Predador de Lotka-Volterra 1

Estudo de Caso do Uso de Jogos Eletrônicos na Ministração de Conceitos Pedagógicos: Simulação Espacial do Modelo Presa-Predador de Lotka-Volterra 1 Carlos Otávio Schocair MENDES, 2 Lucas CARNEIRO, 3 Gabriel ALVES, 4 Myrna Cecília Dos Santos AMORIM, 5 Rafael Casteneda RIBEIRO, 6 João Roberto de Toledo QUADROS, 7 Eduardo OGASAWARA 8 Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - CEFET-RJ, Rio de Janeiro, RJ Resumo Jogos eletrônicos têm sido desenvolvidos como ferramentas de aprendizado para auxiliar o comportamento de diversos fenômenos da natureza, principalmente nos cenários nos quais é inviável obter dados desses fenômenos. Neste tipo de contexto, passa-se a ser bastante interessante o uso de jogos baseados em simulação para testar várias ocorrências nesta relação e simular dados sobre o mesmo e viabilizar que o aluno possa aprender, jogando. Este é o caso, por exemplo, dos modelos biológicos de presa-predador. Neste contexto, foi criada uma simulação espacial estocástica, na qual foi criado um minimundo constituído por presas e predadores. Após executar esta simulação, foi notado que os comportamentos entre presa e predador estavam agindo de maneira semelhante ao funcionamento do modelo matemático do Lotka-Volterra, que modela tal fenômeno por meio de equações diferenciais. Chegou-se a conclusão que a modelagem de uma simulação não é uma tarefa simples, mas que sendo bem feita consegue gerar dados preciosos para análise e que o uso de simulações é uma das melhores maneiras para testar comportamentos e/ou obter dados quando não é possível/recomendado recriar a situação com que está trabalhando. PALAVRAS-CHAVE: Jogos eletrônicos; educação; ensino, modelo Lotka-Volterra. 1 Trabalho apresentado no I Simpósio de Inovação Tecnológica na Educação, Campinas, SP. 2 Doutor em Engenharia Elétrica, Professor Doutor na Faculdade de Ciência da Computação, Departamento de Informática/CEFET-RJ,e-mail: schocair@cefet-rj.br 3 Aluno do Curso Técnico de Informática, Departamento de Informática/CEFET-RJ 4 Aluno do Curso de Tecnologia em Sistemas para Internet, Departamento de Informática/CEFET-RJ 5 Doutoranda em Educação, Professora Mestre da Faculdade de Ciência da Computação, Departamento de Informática/CEFET-RJ, e-mail: myrna.amorim@cefet-rj.br 6 Doutorando em Educação, Professor Mestre da Faculdade de Ciência da Computação, Departamento de Informática/CEFET-RJ, e-mail: rafael.ribeiro@cefet-rj.br 7 Co-orientador da pesquisa, Professor Doutor da Faculdade de Ciência da Computação, Departamento de Informática/CEFET-RJ, Coordenador do Curso Técnico de Informática, e-mail: jquadros@cefet-rj.br 8 Orientador da pesquisa, Professor Doutor da Faculdade de Ciência da Computação, Departamento de Informática/CEFET-RJ, Coordenador do Núcleo de Pesquisa do DEPIN, e-mail: eogasawara@cefet-rj.br 1

1. Introdução Jogos eletrônicos têm sido desenvolvidos na atualidade como produção de ferramentas de ensino, de modo a auxiliar no entendimento de conceitos pedagógicos das mais diversas disciplinas (Albuqueque, & Fialho, 2009). Pela facilidade de montar diversos cenários, de poder construir mundos paralelos constituídos de suas próprias regras ou mesmo de reproduzir cenários reais dentro da idéia de simulação, esse tipo de ferramenta tem sido amplamente explorada no campo da didática e ensino (Albuqueque, & Fialho, 2009). Um dos usos freqüentes, no que tange a utilização de práticas pedagógicas, é a construção de simuladores de algum cenário ou modelo que cujos conceitos se deseje explorar. A simulação é uma das três principais metodologias utilizadas por engenheiros industriais, cientistas e pesquisadores de gestão de operações para aprimorar o ensino de alguma nova tecnologia ou de um aspecto real não passível de reprodução (Valente, 1999). Ela também pode ser chamado de "a técnica de última instância", mas tornou-se uma importante metodologia para ministração da disciplina de resolução de problemas (Banks, 1998). É usada para representar acontecimentos da natureza ou prever comportamentos de projetos humanos, mas apenas graças aos estudos sobre Teoria de Sistemas e Cibernética que o estudo sobre simulações em diferentes campos foi unificado (Kim, 2004). Graças à unificação de seus estudos e a capacidade de processar modelos maiores, a simulação achou espaço em várias áreas e projetos diferentes. Aplica-se o uso de simuladores para simular desastres naturais (NewsMedical, 2005), criar imagens em computação gráfica (ScienceDaily, 2012), treinar equipes médicos para casos de acidentes (Berkeley, 2011), entre vários outros objetivos. Com o uso da computação, tornou-se possível fazer simulações maiores e mais complexas que não seriam possíveis somente pelo uso de modelagem matemática (Berkley, 2011). No estudo de caso proposto por esse trabalho, foi realizado uma análise sobre o uso de um jogo eletrônico desenvolvido nos laboratórios da Coordenadoria dos Cursos de Informática, do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ) por alunos do curso técnico de informática e de tecnologia em sistemas para internet, com o objetivo de simular uma interação dentro de um espaço pré-programado que possa obter os resultados da relação entre espécies presas e predadores e exibir a disposição e movimento dessas espécies em um minimundo representativo do jogo. O jogo em si apresenta uma interpretação espacial do modelo Lotka-Volterra (Lotka, 2012). Para 2

montagem desse jogo, foi necessário entender o funcionamento do modelo e as variáveis pertencentes as suas equações, e aprender como funciona uma simulação e a maneira de modelá-la para conseguir simular corretamente a natureza, além de entender como ocorre o desenvolvimento de um software com base em obtenção de requisitos bem específicos. O jogo também foi desenvolvido com o objetivo de ser uma ferramenta didática aplicada à disciplinas de cursos médios do CEFET/RJ. Além do resumo e desta introdução o trabalho está dividindo da seguinte forma: a seção 2 apresenta uma visão do uso de jogos como ferramenta pedagógica, a seção 3 apresenta o modelo Lotka-Volterra, que descreve como funciona este modelo de presapredador na natureza, na seção 4 é explicado como foi construída a modelagem do jogo, na seção 5, é mostrada as regras de implementação do modelo Lotka-Volterra e seu funcionamento na simulação espacial e a seção 6 apresenta uma conclusão do trabalho e levantamentos futuros. 2. Jogos eletrônicos como ferramenta de ensino Áreas como Gestão Empresarial (Innov8, 2012) (Hemzo & Lepsch, 2006) (Kallas, 2003) e Educação (Overmars, 2004) (Grando, 2001) (Rizzo, 1996) (Lucena, 1994) (Lerner, 1991) (Stahl, 1990) tem se aplicado no desenvolvimento de ferramentas baseadas em jogos eletrônicos para auxílio de suas metodologias pedagógicas. Na gestão empresarial, os jogos são usados para na compreensão de aspectos de negociação e administração de empresas, através de simulações de situações que contenham aspectos decisórios e competitivos (Innov8, 2012) (Hemzo & Lepsch, 2006). Na educação jogos servem para auxiliar a compreensão de aspectos práticos de diversas disciplinas, tais como matemática, biologia, química, física, entre outras (Overmars, 2004) (Grando, 2001) (Lucena, 1994) (Azevedo, 1993). Jogos também têm sido desenvolvidos para auxiliar no reforço de aprendizagem de pacientes portadores de deficiências cognitivas (Farias & barros, 2009) (Mafra, 2008) (Ide, 2001). Segundo Tarouco et al (2004) os jogos tornam-se ferramentas eficientes, pois contém elementos de diversão, motivação, além de facilitar o aprendizado e aumentar a capacidade de retenção do conteúdo ensinado. Jogos eletrônicos transformam-se, assim, em uma excelente ferramenta de ensino, pois atuam sobre as funções mentais e intelectuais do jogador e contribuem nos elementos de didática de ensino. Tarouco (2011) atribui a atração 3

sobre esse tipo de ferramenta por conta das características que existem nesses tipos de jogos, tais como, uso de regras e estruturas bem elaboradas, uso de metas e objetivos motivacionais, interabilidade, que permitem ação e reação dos usuários, trabalho com resultados e realimentação de conteúdo, facilitando a aprendizagem de conceitos e, acima de tudo, pelo aspecto da diversão, tornando o processo de aprendizado mais agradável. Os jogos não são vistos por quem os desenvolvem apenas como um modo de entretenimento. Em trabalhos como de Johnson (2005), os jogos eletrônicos são apresentados como ferramentas que auxiliam ao aluno a decidir, a escolher, a priorizar de acordo com regras e limites existentes, trazendo benefícios intelectuais. Segundo Johnson (2005), jogos permitem construir métodos para aprender como pensar e como tomar a decisão certa sobre o peso de evidências, e da análise de situações, podendo auxiliar na definição de metas em longo prazo. 3. Modelo Lotka-Volterra tradicional A equação Lotka-Volterra, criado por Alfred Lotka e Vitor Volterra (Lotka, 2012), é um método de modelar a relação entre presa e predador em um ambiente dinâmico (Brauer & Castillo-Chávez, 2001b) assim como a transmissão de biomassa observada na Figura 1 (Hoppensteadt, 2006). Essas espécies tomam formas como produtor-consumidor, parasitahospedeiro, tumores (ou vírus) e sistema imunológico (Hoppensteadt, 2006). Certamente a saída de dados dessa competição representa o número de novos indivíduos que nascem e morrem, o que é razoável considerando os aspectos de uma interação de predação em uma cadeia alimentar. Essa equação (quando bidimensional) é considerada o modelo presapredador mais simples (Hoppensteadt, 2006), contudo captura o conceito de oscilação, ou seja, de periodicidade. Assume-se que neste modelo: (I) A população de presas encontra alimento o tempo todo, (II) o suprimento de alimento dos predadores depende da população de presas, (III) a taxa de mudança da população é proporcional ao seu tamanho e (IV) durante o processo o ambiente não muda a favor de uma das espécies. 4

Figura 1: Gráfico do modelo presa-predador (adaptado de (Scholarpedia, 2012)). A partir de suposições sobre o comportamento dessa interação o modelo usa as equações (1) e (2): (1) (2) dx/dt e dy/dt são as variações de populações de presas e predadores com o tempo, x e y são os números de presas e predadores respectivamente e as letras gregas são os parâmetros de interações das duas espécies (Brauer & Castillo-Chávez, 2001b), α e β são as taxas de crescimento e mortalidade das presas e γ e δ as taxas de mortalidade de predadores e conversão de biomassa de presas em predadores respectivamente. Da mesma forma é possível planejar uma solução sem representar o tempo com a equação V = -δx+ γ log(x)- βy+ α log(y). Essas populações entram em equilíbrio quando nenhum dos níveis populacionais muda, ou seja, quando ambas as derivadas são iguais à zero: x(α-βy) = 0 e - y(γ-δx) = 0, que quando são resolvidos se tornam {x = 0, y = 0} e {x = γ/δ, y = α/β}. Repara-se que a queda no em número de predadores esta relacionada com o aumento do em número de presas e vice-versa e quando a população presa/predador começa a se recuperar assim faz a sua contraparte (Brauer & Castillo-Chávez, 2001b). Isso se repete para ambas as populações. O acréscimo e o decréscimo da população, quando os parâmetros são iguais a um, formam um gráfico de fases parecido com o da Figura 2. 5

Figura 2: Espaço de fases (adaptado de (Scholarpedia, 2012)). Reparando no gráfico percebe-se que cada ponto representa uma população de presas e predadores e ao mesmo tempo possui uma curva. Com o tempo esta populações evoluem de acordo com a curva até voltarem para o ponto inicial. Esse sistema, portanto obedece a uma solução periódica e não possui expressões em termos de equações trigonométricas. De fato algumas questões são deixadas em branco como de que se alimenta a presa, mas como um ponto de partida para a construção de modelos dinâmicos as equações Lotka-Volterra servem seu propósito. 4. Modelagem da simulação A definição da palavra simulação já foi descrita por diversos participantes do meio científico (Shannon, 1992) (Kelton & Barton, 2003) (Alexopoulos, 2007). Sem se prender a um indivíduo em específico e utilizando uma explicação geral, pode-se dizer que estão lidando com uma simulação quando se tem um conjunto de experimentos sendo realizados para entender o comportamento e/ou fazer uma análise de um sistema real ou hipotético (Shannon, 1992) (Kelton & Barton, 2003). Partindo para suas características vantajosas, percebe-se que a simulação é um bom modo de obter dados. Em caso de trabalhos que lidem com reações e interações que ocorrem na natureza, poder simulá-las acaba com a necessidade de utilizar um sistema real, criando uma maneira segura de realizar experimentos; diminui drasticamente o gasto de recursos já que se estivesse sendo utilizado um sistema real seria preciso renovar os fatores necessários para os experimentos e mantê-los; por simular os fatores do ambiente real podese executar os experimentos diversas vezes e se torna possível controlá-lo da maneira que quiser, o que em relação aos dados permite compreender melhor as variáveis existentes e o próprio sistema em si e em relação ao controle dos fatores permite manipular o tempo, 6

tornando possível verificar estados passados e futuros do sistema sem precisar decorrer o tempo real. Entretanto, para obter estas vantagens citadas, precisa-se fazer uma boa modelagem da simulação, o que não é uma tarefa simples (uma das poucas desvantagens de se utilizar o sistema de simulação para obter resultados). A criação de um modelo ruim prejudica a interpretação dos resultados obtidos, o que faria com que não fosse possível chegar ao objetivo. Também é necessário tomar cuidado para não ir ao caminho da simplificação dos resultados achando que os dados obtidos no final da simulação são fáceis de entender, porque mesmo que isso aconteça, eles são pobres e impossibilitam uma boa análise sobre o sistema estudado. Apesar de a simulação parecer uma maneira atraente de obter resultados após esta explicação das suas características vantajosas, é necessário saber se o caso do seu projeto é compatível com esta maneira de executar experimentos (Carson, 2004), pois se a equipe descobrir que não é possível utilizá-la apenas após uma tentativa malsucedida de modelagem, pode-se perder um tempo precioso para a conclusão do trabalho. O uso de simulações se encaixa em diferentes tipos de situação e projetos. Se não for possuído um modelo analítico simples para analisar o sistema desejado, deve-se recorrer ao uso de simulações para gerar-se informações relevantes ao entendimento dos eventos. Em um caso onde o sistema real com que está sendo trabalhado é complexo demais para ser possível predizer os efeitos de uma mudança proposta, a escolha por simulações pode ser boa já que irá auxiliar na elaboração de estatísticas que apresentam as ocorrências possíveis na mudança de fatores do sistema sem ter contato com a forma real do mesmo. Outra situação válida para a optação de simulações é quando existe uma situação para ser estudada que necessite de altos custos de investimento e recursos, já que ao trabalhar com uma simulação não é preciso ter um contato com o sistema real, como dito anteriormente. As simulações são utilizadas também no mundo empresarial, tornando possível utilizar este meio como treino e maneira de educar profissionais, visto que muitas vezes é inviável reproduzir o sistema real para capacitar indivíduos e a única maneira de conhecer as atitudes e escolhas do trabalhador não inclui colocá-lo em uma situação que se assemelhe a da vida real. Sabendo que é possível fazer uso de simulações no projeto em questão, entrou-se no momento que finalmente deve ser feito a modelagem da simulação. Este processo do 7

trabalho pode ser dividido em cinco etapas (Shull, Singer, & Sjøberg, 2008), como mostra a Figura 3. Figura 3: Etapas da modelagem de uma simulação (adaptado de Shull, Singer, & Sjøberg (2008)). O primeiro passo que deve ser feito é a formulação do problema. É preciso definir o propósito que a simulação vai e criar um escopo do modelo. Compreendendo o problema a ser trabalhado, é necessário partir para a próxima etapa, aonde se definem os comportamentos de referência, ou seja, estudar o sistema para identificar os parâmetros necessários ao modelo e verificar se o mesmo está agindo de maneira parecida com o sistema. Se o modelo trabalhado já está parecido com o sistema real, entra-se na hora de definir os conceitos do modelo. É necessária a abstração do sistema e a transformação do projeto em um código executável. A partir desta etapa, é preciso o uso de alguns instrumentos para a sua execução. Com o código já pronto, deve-se calibrar (se necessário) a saída do programa para corresponder aos resultados obtidos no sistema real (aqui entra o uso de ferramentas de análise para compreender os dados gerados) e experimentar a simulação para compreender certos comportamentos e avaliar se o planejamento do projeto até o momento foi o melhor possível ou se ainda é capaz de receber aprimoramentos (usam-se ferramentas de simulação como, por exemplo, mecanismos de controle e temporização para administrar a simulação e testar múltiplos valores no decorrer dela). Se ao final destas etapas é concluído que a simulação está gerando os resultados esperados do mundo real e está se comportando como o mesmo, a modelagem foi feita de uma maneira correta. 8

Tendo finalizado a modelagem da simulação, é possível pegar suas características para analisar e definir o seu tipo. Existem quatro maneiras diferentes de classificação de simulações, tendo dois tipos em cada. Uma simulação pode ser determinística ou estocástica, estática ou dinâmica, contínua ou baseada em evento e quantitativa ou qualitativa. Sabendo o tipo da simulação feita com base em suas características, terminamse todos os processos necessários dentro do tema simulação. 5. Implementação do jogo e sua simulação espacial O desenvolvimento da aplicação baseado em Lotka-Volterra teve como objetivo construir um ambiente de simulação que pudesse aplicar os conceitos anteriormente descritos sobre esse tipo de simulação, tratando das disciplinas de biologia e geografia, com a compreensão das bases de território das espécies. Esses aspectos didáticos nortearam o desenvolvimento da ferramenta. Para tal, utilizou-se o sistema presa-predador da natureza, um sistema real. O modelo adotado foi inspirado no Lotka-Volterra (explicado anteriormente), e pretendeu-se construir a aplicação para auxiliar na compreensão de um sistema presa-predador. Além disso, o jogo trabalhou de uma maneira que fosse possível prever os resultados de interações entre duas espécies diferentes, tornando-se uma ferramenta importante aprendizado e obtenção de informações para biólogos que trabalhem dentro desta área. A simulação, neste caso, foi fundamental como ferramenta de ensino, já que seria inviável reproduzir no sistema real a interação presa-predador. A necessidade de uma quantidade extremamente elevada de recursos (ambiente, presas, predadores) e a dificuldade de manipular os dados (não sendo possível acelerar/atrasar o processo, nem voltar no tempo) inviabilizariam o estudo no campo da realidade. Partindo para a classificação da simulação, utilizou-se as características do modelo Lotka-Volterra que encaixam a simulação em cada uma das quatro maneiras de classificação existentes. Por possuir componentes probabilísticos, uma simulação feita com base nele apresenta resultados diferentes à outra execução que tenha os mesmos parâmetros de entrada, tornando-a uma simulação estocástica. Outra característica deste modelo é que a sua captura de estado de cada um dos parâmetros de entrada não ocorre apenas em um único instante, e sim após cada passagem de tempo, o que a torna dinâmica. Voltando-se para suas equações diferenciais, percebe-se após estudá-las que as mesmas definem o valor 9

de suas variáveis a cada intervalo de tempo (da mesma maneira que captura o estado), e não apenas quando um novo evento ocorrer, como ocorre nas simulações baseadas em evento. Por este motivo, a simulação é contínua. Para completar sua última classificação, só foi preciso reparar após todas estas explicações que o modelo Lotka-Volterra necessitasse de um conjunto de valores para definir cada uma das suas variáveis, não podendo ser executado em elas. Graças a isto e a todas as outras definições do modelo, foi possível classificar a simulação criada como determinística, dinâmica, contínua e quantitativa. Concluindo esta etapa, chega-se ao final da implementação do modelo da simulação em forma de um jogo simples. 5.1 Regras do jogo No jogo projetado trabalhou-se com um minimundo e seus predadores e presas distribuídos nesse universo (Figura 4), inicialmente, de forma aleatória, e, movendo-se com trajetórias estocásticas, interagindo com as espécies a sua volta. Nesse jogo, os predadores caçam as presas de acordo com seu campo de visão e taxas de eficiência de predação, consumindo-as caso tenham sucesso em sua caçada. Um exemplo desta interação é mostrado na Figura 5.a e Figura 5.b. Cada vez que um predador consegue caçar e comer uma presa, seu tempo de vida aumenta e ele ganha mais um ponto no seu score. Esta pontuação começa em zero, e quando atinge um valor maior que quatro, faz com que um novo predador nasça em um local perto de seu parente, como é apresentado na Figura 5.c, continuando o exemplo anterior. Figura 4: Minimundo do programa em uma execução Figura 5: Presa no campo de visão de um predador (a); Predador após consumir a presa que estava no campo de visão (b). Nascimento de um predador após seu parente obter quatro pontos (c). 10

Ao atingir este objetivo, seus pontos voltam à zero. Além disso, após trinta ciclos ocorridos no minimundo é gerado aleatoriamente outro predador. Completando o ciclo de vida do predador, têm-se a morte, que ocorre quando seu tempo de vida chega à zero. Este é diminuído a cada ciclo e aumentado a cada presa abatida. Partindo para o outro integrante desta simulação, tem-se a presa. Ela é menos complexa do que o predador, pois não o mata. Isso faz com que este ser não tenha pontuação, então só é gerado outros animais do seu grupo com base no passar do tempo (cinco ciclos). Seu movimento é completamente aleatório, não possuindo nenhum sistema inteligente para detectar predadores e não ir nesta direção. Um exemplo deste movimento é observado na Figura 6. Figura 6: Representação do movimento da presa. 6. Conclusão Esse trabalho apresentou o desenvolvimento de um software de simulação espacial do modelo Presa-Predador de Lotka-Volterra com o objetivo de apoiar o aprendizado pedagógico. A análise sobre ele pode ser desmembrado em duas principais vertentes: a primeira concentrou-se no desenvolvimento do simulador pelos alunos do curso técnico de informática e do curso de tecnologia de sistemas para internet do CEFET/RJ, visando dar aos alunos uma oportunidade de prática dos conhecimentos obtidos no curso; a segunda, dirigiu-se para o uso do software desenvolvido como ferramenta de aprendizado de auxílio para as disciplinas básicas do curso médio/técnico do CEFET/RJ. Após o fim da modelagem conseguiu-se criar um simulador que implementou uma interpretação especial do modelo Lotka-Volterra, na qual as presas e predadores apresentam aleatoriedade nos seus movimentos dentro do minimundo criado. Além disto, foi possível aplicar a importância de ter um bom planejamento para a obtenção de dados, os usos da simulação no meio computacional e a maneira de modelá-la de forma eficaz para que a simulação criada se comporte de maneira igual ou similar a do sistema real. Nesse simulador, a implementação permitiu processar as interações entre presa e predador de modo análogo ao modelo matemático. O software foi construído de modo a 11

permitir que os alunos do ensino médio do CEFET/RJ pudessem realizar alterações nos parâmetros de eficiência do predador, taxa de reprodução de presas/predadores e nas condições iniciais do modelo (população) e entender o comportamento do modelo. Cabe ressaltar, que embora tenha sido feito com um grupo pequeno de alunos, a interação do simulador como um jogo tornou o processo de aprendizado mais atraente. Como trabalho futuro, pretende-se realizar estudos de verificação de facilidade aprendizado do modelo com e sem a ferramenta em uma base maior de alunos envolvidos. Referências bibliográficas ALBUQUERQUE, R. M & FIALHO, F. A. P. Concepção de jogos eletrônicos educativos: Proposta de processo baseado em dilemas, In: VIII Brazilian Symposium on Games and Digital Entertainment, Rio de Janeiro-RJ, 2009. ALEXOPOULOS, C. Statistical analysis of simulation output: State of the art. Simulation Conference, 2007 Winter (p. 150 161). Apresentado em Simulation Conference, Winter. doi:10.1109/wsc.2007.4419597, 2007. AZEVEDO, M. V.R. Jogando e construindo matemática, São Paulo, Ed. Unidas, 1993. BANKS, J. (Org.) Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice (1 o ed.). Wiley-Interscience, 1998. BERKELEY. Simulação médica é utilizada na fórmula 1 para salvar vidas. Recuperado de http://www.berkeley.com.br/treinamento/noticias/simulacao-medica-e-utilizada-naformula-1-para-salvar-vidas, acesso em setembro de 2011. BRAUER, F., & CASTILLO-CHÁVEZ, C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer, 2001. CARSON, J. S. Introduction to modeling and simulation. Proceedings of the 2004 Winter Simulation Conference, 2004 (Vol. 1, p. 16), 2004. FARIAS, A. A. R. & BARROS, M. L. N. L. O jogo como recurso psicopedagógico no atendimento do aluno com deficiência intelectual. http://www.psicopedagogiabrasil.com.br/ artigos_alcina_ojogo.htm, inserido em 2009. GRANDO, R. C. O jogo na educação: aspectos didático-metodológicosdo jogo na educação matemática. Unicamp, 2001. HEMZO, M. A.& LEPSCH, S. L. Jogos de Empresas com Foco em Marketing Estratégico: uma análise fatorial da percepção dos participantes. Revista Brasileira de Gestão de Negócios (São Paulo), Sao Paulo - SP, v. 7, n. 20, 2006. 12

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