Utilização do Método dos Elementos Finitos no Desenvolvimento de Modelos de Corte de Material

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1 Carlos Fernando Cogollo Aponte Utilização do Método dos Elementos Finitos no Desenvolvimento de Modelos de Corte de Material Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Prof. Sergio Augusto Barreto da Fontoura Co-orientador: Dr. Nelson Inoue Rio de Janeiro Fevereiro de 2011

2 Carlos Fernando Cogollo Aponte Utilização do Método dos Elementos Finitos no Desenvolvimento de Modelos de Corte de Material Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Sergio Augusto Barreto da Fontoura Orientador PUC-Rio Dr. Nelson Inoue Co-orientador PUC-Rio Prof. Celso Romanel PUC-Rio Prof. Tarcisio Celestino USP-São Carlos Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 23 de fevereiro de 2011

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Carlos Fernando Cogollo Aponte Graduou-se em Engenharia Civil na UIS Universidade Industrial de Santander Colômbia em 1999/2, possui especialização em GIS pela Universidade Distrital Francisco José de Caldas de Bogotá na Colômbia em 2005/2. Tem trabalhado em várias áreas da engenharia civil atuando agora no setor público. No ano 2009 ingressou ao curso de Mestrado em Engenharia Civil na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, na área de geotécnica, desenvolvendo dissertação de mestrado na linha de pesquisa Geomecânica do Petróleo. Cogollo A., Carlos Fernando. Ficha Catalográfica Utilização do Método dos Elementos Finitos no Desenvolvimento de Modelos de Corte de Material / Carlos Fernando Cogollo Aponte; Orientador: Sergio A. B. da Fontoura; Co-orientador: Nelson Inoue. Rio de Janeiro: PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil, v., 101 f: Il. ; 30 cm 1. Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Incluí referências bibliográficas. 1. Engenharia Civil Teses. 2. Elementos finitos. 3. Corte de materiais. 4. Modelagem. 5. Forças. 6. MSE. 7. Torque. 8. Modelos Constitutivos. 9. Problemas dinâmicos. 10. Dependência da taxa. 11. Grandes deformações. 12. Problemas de Contato. 13. Mecanismos de falha. CDD: 624

4 Al Señor Jesús mi Dios al único y sabio Dios, nuestro Salvador, sea gloria y majestad, imperio y potencia, ahora y por todos los siglos San Judas 1:25

5 Agradecimentos A meu Deus Jesus Cristo, por permitir tudo e me segurar em seus propósitos até o fim, muito obrigado. A Nohora Isabel minha amada esposa e minhas filhas Isabella e Gabriela por seu grande amor. Agradeço a toda minha família, mãe, irmãos, sobrinhos, irmãos, tios, sogros e primos pelo grande apoio oferecido. A Igreja do Senhor na Colômbia IPUC Bucaramanga Barrio Mutis e a IPUB em São João de Meriti RJ. Ao Professor Sergio Fontoura pela orientação ao longo da pesquisa, pelo apoio, paciência e seu conhecimento. Obrigado Nelson Inoue por sua grande ajuda dedicação e amizade ao longo dos anos de trabalho no GTEP. A PUC-Rio, seus funcionários e as agências CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de nível superior) pela oportunidade oferecida e pela ajuda econômica. Agradeço a Contraloría General de la República de Colombia pelo apoio e a oportunidade oferecida. Agradeço a meus amigos do Mestrado pela amizade e companhia, a todos os colombianos que estão na PUC-Rio e foram meus amigos e família, a os meninos da casa, muito obrigado. Agradeço a os colegas do GTEP, os funcionário e amigos que me ofereceram sua amizade e ajuda. Em fim a cada uma das pessoas que me apoiaram muito obrigado.

6 Resumo Aponte, Carlos Cogollo; Fontura, Sergio Augusto Barreto. Utilização do Método dos Elementos Finitos no Desenvolvimento de Modelos de Corte de Material. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Entre os vários processos envolvidos na produção de petróleo e gás, o processo de perfuração tem recebido grande atenção recentemente. Pesquisas estão sendo direcionadas para este tema com o objetivo de melhorar o desempenho das brocas de perfuração. Assim, o interesse da indústria do petróleo é aumentar a taxa de penetração, reduzir o tempo de manobras, aumentar a vida útil das brocas e consequentemente reduzir gastos durante o processo de perfuração. Para alcançar estes objetivos, tradicionalmente, são empregados métodos de otimização de perfuração baseados em energia mecânica específica. Estes métodos utilizam como dados de entrada o peso sobre a broca, taxa de penetração, torque e resistência à compressão da rocha. Os métodos de otimização de perfuração ainda apresentam algumas dificuldades, tais como: relacionar energia mecânica específica com resistência à compressão simples e os métodos dependem de dados de perfuração de poços, como listados acima. Este trabalho tem como objetivo apresentar um estudo alternativo do processo de corte em rocha baseado em simulação numérica, especificamente utilizando um programa comercial de elementos finitos chamado Abaqus. A primeira parte do trabalhou consistiu no desenvolvimento de modelos de corte em metais baseado na lei de plasticidade de Johnson-Cook. A motivação na escolha destes modelos foi a grande quantidade de trabalhos encontrados na literatura que tratam do processo de usinagem em metais. Posteriormente, a segunda parte do trabalho, que trata do corte em rocha, foi conduzida. Modelos tridimensionais de ensaios de single cutter foram elaborados e simulados utilizando a lei de plasticidade de Drucker-Prager, adequada para rochas, que considera o efeito da pressão de confinamento. Palavras-chave Método dos elementos finitos; Processo de corte em metais e rocha; Leis de plasticidade de Johnson-Cook e Drucker-Prager.

7 Abstract Aponte, Carlos Cogollo; Fontura, Sergio Augusto Barreto (Advisor). Using Finite Element Model in the Development of Cutting Material Models. Rio de Janeiro, p. M.Sc. Dissertation Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Among the various processes involved in producing oil and gas, the drilling process has received great attention recently. Research is being directed to this issue in order to improve the performance of drill bits. Thus, the interest of the oil industry is to increase the penetration rate, reduce the time of switching, extending the life of drills and consequently reduce spending during the drilling process. To achieve these goals are traditionally used for drilling optimization methods based on mechanical specific energy. These methods use as input the weight on the drill penetration rate, torque and compressive strength of rock. The drilling optimization methods still present some difficulties, such as mechanical specific energy relationship with compressive strength and the methods depend on datadrilling, as listed above. This dissertation aims to present a study of alternative rock cutting process based on numerical simulation, specifically using a commercial finite element program called Abaqus. The first part of the work was the development of models of metal cutting based on the plasticity law of Johnson-Cook. The motivation in choosing these models was the large number of studies in the literature dealing with the machining process in metals. Subsequently, the second part of the work, which is cut in rock, was conducted. Three-dimensional models of single cutter tests were designed and simulated using the plasticity law of Drucker-Prager, suitable for rocks, which considers the effect of confining pressure. Keywords Finite element method; Procedure for cutting metal and rock; Plasticity laws of Johnson-Cook and Drucker-Prager.

8 Sumário 1 Introdução Objetivo do Trabalho Escopo do trabalho 17 2 Revisão Bibliográfica Simulação de corte em metais através do método dos elementos finitos: Simulação com elementos finitos do processo de formação de cavacos na usinagem de aço ISI 1045 considerando alta velocidade Estudos do efeito termo mecânico na formação de chips durante o processo de usinagem Simulação da usinagem de peças endurecidas Simulação de corte em rochas através do método dos elementos finitos Simulação numérica do corte e da geração de calor durante corte linear em rocha Simulação numérica de corte em rocha utilizando o programa LS-DYNA Simulação numérica de perfuração e corte em rocha Modelagem com o método dos elementos finitos (MEF) Detalhamento das variáveis envolvidas no processo de corte Método de solução das equações e não linearidade Descrição do movimento Formulação Lagrangiana Formulação Euleriana Formulação ALE (Arbitraria Lagrangiana Euleriana): Problema do contato Modelos constitutivos utilizados e lei de dano Modelo de Johnson & Cook Modelo de Drucker-Prager Modelos de dano e critérios de dano no modelo constitutivo de Johnson & Cook e de Drucker-Prager 44

9 3.6.1 Modelos de ruptura dinâmico Modelos de dano progressiva 46 4 Simulação do processo de corte pelo método dos elementos finitos Validação das simulações realizadas Modelos de corte 2D em metais Forças de corte e MSE nos modelos 2D em metais Modelo GTEP9_2-00_05AtritoA: Modelo GTEP9_2-00_05AtritoTermico: Modelos GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl: Comparação dos resultados de corte em metais 2D Simulação do corte em rocha através do modelo de plasticidade de Drucker-Prager Forças e energia (MSE) nos modelos 2D (SC_2D1, SC_2D3) e 3D (SC_Cir10, SC_Cir11): Forças, e MSE dos modelos 2D com dano Progressivo parâmetro 1E-18 (SC_2D1_0, SC_2D1_10, SC_2D3_0, SC_2D3_10): Comparação das forças e MSE dos modelos 2D com dano Progressivo parâmetro 1E-18 (SC_2D1_0, SC_2D1_10, SC_2D3_0, SC_2D3_10): Forças, e MSE dos modelos 3D com dano Progressivo parâmetro 1E-18 (SC_Cir10_0, SC_Cir10_10, SC_Cir11_0, SC_Cir11_10): Comparação das forças e MSE dos modelos 3D com dano Progressivo parâmetro 1E-18 (SC_Cir10_0, SC_Cir10_10, SC_Cir11_0, SC_Cir11_10): 90 5 Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros: 97 Referências Bibliográficas 99

10 Lista de figuras Figura 2.1. Malha de elementos finitos utilizada para discretizar o problema de corte 19 Figura 2.2. Malha utilizada para a simulação de corte 20 Figura 2.3. Variação da magnitude da força de corte 21 Figura 2.4. Malha e condições de contorno do modelo 21 Figura 2.5. Malha de elementos finitos para (a) chip contínuo e (b) chip segmentado. Do lado direito da malha (b) está uma fotomicrografia de uma secção de um chip real. (Eu-Gene & Aspinwall, 2002). 22 Figura 2.6. Modelo 2D de corte linear (Mishra & Khair, 2005). 23 Figura 2.7. Modelo 3D de corte linear (Mishra & Khair, 2005). 23 Figura 2.8. Geometria do Modelo. (Tulu et al. 2008) 25 Figura 3.1. Principais variáveis envolvidas no processo de simulação de corte utilizando o programa Abaqus. 27 Figura 3.2. Exemplo do comportamento da malha na formulação Lagrangiana J. Donea et al. (Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1) 29 Figura 3.3. Exemplo do comportamento da malha na formulação Euleriana J. Donea et al (Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1) 30 Figura 3.4. O operador ALE. (Shekhar, 2009). 32 Figura 3.5. Modelo de superfícies fixas que apresenta as duas superfícies de contato pré-definidas durante o processo de corte. 33 Figura 3.6. Modelo com erosão que apresenta a superfície da ferramenta e o domínio da peça, onde superfícies de contato são criadas na face livre. 33 Figura 3.7. Topologia de uma superfície de contato do tipo erosão (Abaqus, 2010). 34 Figura 3.8. Modelo Linear Drucker-Prager (Abaqus, 2010). 39 Figura 3.9. Modelo hiperbólico Drucker-Prager (ABAQUS, 2010). 41 Figura 3.10 Modelo exponencial Drucker-Prager (ABAQUS, 2010). 41 Figura 3.11 Diferentes definições da evolução do dano com base no deslocamento plástico: (a) tabular, (b) linear e (c) exponencial (ABAQUS, 2010). 48 Figura Curva tensão deformação representando o modelo de ruptura dinâmico (vermelho) e o modelo de dano progressivo. (ABAQUS, 2010 modificado). 50 Figura 4.1. Geometria dos modelos de corte em metais 2D (Dimensões em m). 52

11 Figura 4.2. Força de corte (a) no modelo de superfícies fixas (b) modelo com erosão. 54 Figura 4.3. Variação das tensões de Von Misses em um modelo com superfícies fixas. 55 Figura 4.4. Variação da força de corte com o deslocamento do cortador. 56 Figura 4.5. Geometria do chip devido o efeito da temperatura. 56 Figura 4.6. Efeito da temperatura na variação da força de corte com o deslocamento do cortador. 57 Figura 4.7. (a) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, (b) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, (d) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl 58 Figura 4.8. Forças vs. deslocamentos (a) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, (b) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, (c) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl 58 Figura 4.9. Variação da força de corte com o deslocamento do cortador para os cinco modelos. 59 Figura Resultados de força para os cinco modelos. 60 Figura Resultados de MSE para os cinco modelos. 60 Figura Curvas tensão-deformação obtidas de ensaios numéricos no programa PFC2D para o Mármore de Cartago para diferentes pressões de confinamento. 63 Figura Dados obtidos para calibração da lei endurecimento da lei de Drucker-Prager para o Mármore de Cartago. 64 Figura Desenvolvimento da lei de Drucker-Prager. (a) Malha de elementos finitos para discretizar a amostra de rocha, (b) Gráfico p-q com as superfícies de plastificação experimental e ajustada pelo programa Abaqus e (c) Curvas tensão-deformação utilizadas para obter os valores de deformação plástica equivalente no início do dano. 66 Figura Malha grossa de elementos finitos para os modelos SC_2D1_ (0 e 10 MPa). 66 Figura Malha refinada de elementos finitos para os modelos SC_2D3 _(0 e 10MPa) 67 Figura Malha grossa de elementos finitos utilizada nos modelos SC_ Cir10_(0 10) MPa 68

12 Figura 4.18 Malha fina de elementos finitos utilizada nos modelos SC_ Cir11_(0 10) MPa. 68 Figura Diferentes estágios do modelo 2D SC_2D1_0 com malha grossa e sem pressão de confinamento. 71 Figura Forças de corte sem pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. 72 Figura Diferentes estágios do modelo 2D SC_2D1_10 com malha grossa e pressão de confinamento de 10 MPa. 73 Figura Forças de corte com pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. 74 Figura Diferentes estágios do modelo SC_2D3_0 com malha refinada e sem pressão de confinamento. 75 Figura Forças de corte sem pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. 76 Figura Diferentes estágios do modelo SC_2D3_10 com malha refinada e pressão de confinamento de 10 MPa. 76 Figura Forças de corte com pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. 77 Figura Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. 78 Figura Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento. 79 Figura Comparação da MSE dos modelos SC_2D1_0 (0 MPa) e SC_2D1_ 10 (10 MPa) para a malha grossa. 79 Figura 4.30 Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. 80 Figura Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento. 80 Figura Comparação da MSE dos modelos SC_2D1_0 (0 MPa) e SC_ 2D1_10 (10 MPa) malha refinada. 81 Figura Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento (a) escala original e (b) escala ampliada. 82 Figura Comparação da MSE dos modelos SC_2D1 (0 e 10 MPa malha

13 grossa) e SC_2D3 (0 e 10 MPa malha refinada). 82 Figura Diferentes estágios do modelo 3D SC_Cir10_0 com malha grossa e pressão de confinamento de 0 MPa. 83 Figura Força de corte na direção: (a) horizontal, (b) vertical e (c) ampliação do gráfico da força de corte na direção vertical. 84 Figura Diferentes estágios do modelo 3D SC_Cir10_10 com malha grossa e pressão de confinamento de 10 MPa. 85 Figura 4.38 Força de corte na direção: (a) horizontal, (b) vertical e (c) ampliação do gráfico da força de corte na direção vertical. 87 Figura Diferentes estágios do modelo SC_Cir11_0 com malha refinada e pressão de confinamento de 0 MPa. 87 Figura 4.40 Força na direção: (a) horizontal e (b) vertical no modelo com malha refinada SC_Cir11_0 sem pressão de confinamento. 88 Figura Diferentes estágios do modelo SC_Cir11_10 com malha refinada e pressão de confinamento de 10 MPa. 89 Figura Força na direção: (a) horizontal e (b) vertical no modelo com malha refinada SC_Cir11_0 com pressão de confinamento de 10 MPa. 90 Figura Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. 91 Figura Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento (a) escala original e (b) escala ampliada. 92 Figura Comparação de MSE dos modelos SC_Cir10_0 (0 MPa) e SC_Cir10_10 (10 MPa) malha grossa. 92 Figura Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. 93 Figura Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento (a) escala original e (b) escala ampliada. 94 Figura Comparação da MSE dos modelos SC_Cir11_0 (0 MPa) e SC_Cir11_10 (10 MPa) malha refinada. 94 Figura Comparação das forças na direção horizontal dos modelos SC_Cir10 (0 e 10 MPa) e SC_Cir11 (0 e 10 MPa). 95 Figura Comparação de MSE dos modelos SC_Cir10 (0 e 10 MPa) e SC_Cir11 (0 e 10 MPa). 96

14 Lista de tabelas Figura 4.1. Propriedades geométricas dos modelos 2D. 53 Figura 4.2. Parâmetros utilizados na simulação de corte em metais. 53 Figura 4.3. Resumo das características dos modelos 2D para corte em metais 54 Figura 4.4. MSE para os modelos GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl. 59 Figura 4.5. Dados da geometria dos modelos SC_2D. 67 Figura 4.6. Parâmetros da geometria dos modelos SC_Cir. 69 Figura 4.7. Principais características geométricas e parâmetros dos modelos 2D e 3D para o corte em rocha com pressão de confinamento de 0 e 10 MPa. 69

15 1 Introdução Recentemente, a indústria do petróleo tem mostrado grande interesse no processo de perfuração para obtenção de petróleo e gás. Este processo envolve vários milhões de dólares e as ferramentas básicas utilizadas são as brocas. Portanto, compreender o processo de perfuração e melhorar o projeto das brocas é uma importante área de pesquisa. As brocas que trabalham por rotação geralmente são classificadas em dois tipos: i) brocas cônicas, que possuem peças em movimento, cujo mecanismo de corte é por esmagamento (compressão) da rocha e ii) brocas PDCs, que trabalham por raspagem (ruptura por cisalhamento) da rocha. O mecanismo de corte das brocas PDCs é o tema de interesse deste trabalho de pesquisa. Tradicionalmente, os estudos de otimização de perfuração são baseados em energia mecânica específica (Mechanical Specific Energy - MSE), como apresentado no trabalho de Teale (1964). Assim, a MSE é a quantidade de energia necessária para extrair certo volume de rocha. No trabalho de Teale foi observado que, à pressão atmosférica, a MSE tem um valor próximo à resistência à compressão não confinada (UCS) da rocha. Posteriormente, Pressier e Fear (1992) estenderam a aplicação do conceito de MSE para perfuração com pressão no poço. Nestas condições, a MSE poderia ser considerada igual à resistência à compressão confinada (CCS) da rocha. Porém, os autores observaram em testes de perfuração, para certas pressões confinantes, que a MSE era muito maior que os valores de CCS. Os métodos de otimização de perfuração baseados em MSE necessitam de dados de perfuração, tais como: peso sobre a broca, taxa de penetração e torque. Nestes métodos, além da dificuldade de considerar o efeito da pressão no estudo,

16 os dados de entrada citados anteriormente são obtidos somente através de uma perfuração, impossibilitando uma previsão da otimização anterior à perfuração. Este trabalho propõe o emprego de métodos numéricos como uma alternativa aos métodos de otimização baseados em MSE, para estudar o corte em rocha. O programa comercial de elementos finitos Abaqus foi escolhido para realização das simulações numéricas de corte. Este programa está sendo empregado intensamente no estudo do corte em metais e apresenta várias funcionalidades implementadas que possibilita levar em consideração as várias características que o problema de corte apresenta, tais como: problema dinâmico, alta taxa de deformação, problema de contato, problema de dano, lei de plasticidade, distorções da malha de elementos finitos e pressão de confinamento. Inicialmente o estudo foi realizado para corte em metais, posteriormente estendido para o corte em rocha Objetivo do Trabalho Este trabalho tem como objetivo realizar simulações numéricas tridimensionais de ensaios single cutter em rochas, considerando o efeito da pressão de confinamento e da alta taxa de deformação. Assim, possibilitar a avaliação das diferentes variáveis do problema de corte, tais como, geometria do modelo (rocha e cortador), profundidade e velocidade de corte, tipo de rocha (através da lei de plasticidade) e pressão de confinamento, que afetam o processo de corte. Os efeitos das mudanças (otimizações) nestas variáveis são avaliados através de resultados de força de corte e MSE. Os objetivos específicos deste trabalho são: Compilar e fazer uma revisão bibliográfica da utilização do método dos elementos finitos (Abaqus) no processo de corte em metais e rochas. Estudar o processo de corte em metais utilizando o método dos elementos finitos para obter as capacidades necessárias para a abordagem do problema de corte em rocha.

17 17 Atingir o nível de desenvolvimento de modelos de corte em metais encontrados na literatura. Iniciar a transição do modelo de corte em metais para o modelo de corte em rocha, considerando uma lei de plasticidade adequada para rocha, que permite a introdução do efeito da pressão de confinamento. 1.2 Escopo do trabalho a) Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica referente aos trabalhos desenvolvidos com o método dos elementos finitos para problemas de corte em metais e corte em rocha. b) Capítulo 3 apresenta uma revisão da teoria fundamental do método dos elementos finitos aplicada ao problema de corte, especificamente ao programa Abaqus. c) Capítulo 4 apresenta os resultados obtidos das simulações de corte em metais e rochas. d) Capítulo 5 apresenta as conclusões desta pesquisa e sugestões para trabalhos futuros.

18 2 Revisão Bibliográfica Estre capítulo visa apresentar o estado da arte da modelagem numérica do corte de metais e rochas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF). Na literatura é encontrado um grande número de trabalhos que tratam do tema da modelagem numérica de corte em metais, porém, poucos trabalhos abordam a modelagem numérica de corte em rochas. Com relação ao corte de metais, apenas os trabalhos que utilizaram o MEF, como ferramenta numérica, são apresentados neste trabalho. No corte de rocha, devido ao pequeno número de trabalhos, os mais recentes serão descritos neste capítulo. A revisão abordará a metodologia empregada no desenvolvimento da pesquisa, conclusões e os principais resultados obtidos pelos autores. 2.1 Simulação de corte em metais através do método dos elementos finitos: Simulação com elementos finitos do processo de formação de cavacos na usinagem de aço ISI 1045 considerando alta velocidade Duan et al. (2009) apresentaram um trabalho que trata da simulação numérica da formação de chips segmentados utilizando o programa comercial de elementos finitos Abaqus. O trabalho teve como objetivo avaliar a influência que a formação dos chips exerce nas forças de corte, geração de temperatura e outros fatores. O processo de usinagem com alta velocidade é altamente não-linear (material e geométrica) e apresenta um processo complexo de contato entre a peça e a ferramenta.

19 Neste trabalho foi utilizada a lei constitutiva visco-plástica de Johnson & Cook. O modelo é dependente da taxa de deformação, estado de tensão e da temperatura. A Figura 2 mostra a malha de elementos finitos utilizada nas simulações numéricas. A malha é composta de elementos de quatro nós bilineares e foi utilizado um esquema de integração reduzida (CPE4R). 19 Figura 1.1: Malha de elementos finitos utilizada para discretizar o problema de corte (Duan et al. 2009). Ensaios de usinagem em um torno mecânico foram realizados utilizando o aço AISI 1045 para obtenção das forças de usinagem e amostras dos chips foram preservadas para a comparação com os modelos numéricos. Os resultados das comparações entre a morfologia do chip obtida da simulação numérica e dos ensaios experimentais, para três diferentes ângulos da ferramenta, foram apresentados. Resultados das comparações entre as simulações numéricas e os ensaios experimentais de forças de corte para três inclinações foram também apresentadas Estudos do efeito termo mecânico na formação de chips durante o processo de usinagem Mabrouki e Rigal (2005) realizaram estudos dos efeitos termo mecânicos na morfologia dos chips utilizando o programa Abaqus. O estudo, que empregou o aço AISI 4340, mostrou que a formação dos chips segmentados é resultante do fenômeno de amolecimento (softening). Segundo os autores, o inicio da formação do chip segmentado é ocasionado pelo cisalhamento adiabático na ponta da

20 ferramenta. Na simulação numérica, o calor na peça é gerado somente pela deformação do material e pelo atrito. Neste trabalho, os autores propuseram um estudo paramétrico que trata da influencia da variação das propriedades térmicas, tais como a condutância no contato e a fração de trabalho por atrito convertido em calor na interface ferramenta/peça. No trabalho foram utilizadas dois modelos para considerar o efeito da temperatura: adiabático e acoplamento temperatura tensão. Um esquema de malha adaptativa foi adotado, pois um processo de usinagem resulta em grandes deformações do modelo. A malha utilizada na simulação numérica é apresentada na Figura 6. Esta malha representa um modelo de corte ortogonal. 20 Figura 2.2: Malha utilizada para a simulação de corte (Mabrouki e Rigal, 2005). A lei constitutiva visco-plástica de Johnson & Cook também foi utilizado para estudar o comportamento do material da peça (aço AISI 4340). Resultados numéricos foram obtidos considerando o efeito da temperatura para o caso adiabático e acoplamento térmico tensão. Nos resultados adiabáticos pode-se observar a localização do amolecimento térmico, que aumenta a ductilidade do material. O efeito da morfologia do chip na variação na força de corte é mostrado na Figura 8. Após o tempo de 0.32 ms, a força de corte apresenta uma oscilação que corresponde a frequência de formação do chip segmentado.

21 21 Figura 2.3: Variação da magnitude da força de corte (Mabrouki & Rigal, 2005). Esta variação cíclica da magnitude da força pode envolver um comportamento da fadiga da ferramenta, e então causar danos nela (fratura, desgaste, etc.). Em particular, as variações de força podem induzir irregularidades na superfície usinada na direção da velocidade de corte Simulação da usinagem de peças endurecidas Eu-Gene e Aspinwall (2002) apresentaram simulações numéricas de usinagem em alta velocidade de aços endurecidos utilizando o programa Abaqus. O trabalho utiliza o critério de dano por cisalhamento, assim, os elementos que atingirem o dano são removidos da malha. Um esquema de malha adaptativa foi empregado para considerar as grandes deformações resultantes do processo de corte. Na Figura 14 são mostradas a geometria do modelo, a malha de elementos finitos utilizada para discretizar o modelo e as condições de contorno adotadas. Figura 2.4: Malha e condições de contorno do modelo (Eu-Gene & Aspinwall, 2002).

22 A lei constitutiva visco-plástica de Johnson & Cook também foi utilizado para estudar o comportamento do material da peça (aço AISI 4340). Através da simulação numérica, os autores produziram dois tipos de chips, chips contínuos e segmentados, que são apresentados na Figura 15. Os resultados de campo de temperatura e do estado tensão dos dois casos foram comparados. 22 (a) (b) Figura 2.5: Malha de elementos finitos para (a) chip contínuo e (b) chip segmentado. Do lado direito da malha (b) está uma fotomicrografia de uma secção de um chip real. (Eu- Gene & Aspinwall, 2002). Dados experimentais da morfologia do chip e das forças de corte foram utilizados para avaliar e validar o modelo. 2.2 Simulação de corte em rochas através do método dos elementos finitos: Simulação numérica do corte e da geração de calor durante corte linear em rocha: Mishra e Khair (2005) realizaram a simulação numérica do processo de corte em rocha para: avaliar a geometria ideal da ferramenta de corte, tornar o processo mais eficiente e reduzir a geração de partículas. O processo de corte em rocha é muito complexo, sendo difícil a previsão da intensidade e da distribuição das fontes de calor resultantes. O calor gerado no processo de corte tem influência crítica sobre a ferramenta de corte e também afeta as propriedades da rocha. No trabalho foram apresentadas as simulações

23 numéricas do processo de corte utilizando o programa Abaqus para otimização do projeto das ferramentas. O processo de corte linear de rocha foi utilizado para determinar as forças de corte. Um projeto ideal da ferramenta de corte exige uma análise da interação ferramenta/rocha. Estudos recentes mostraram que a fragmentação de rochas frágeis exige pouca penetração da ferramenta, enquanto que para materiais dúcteis, que apresentam significativa deformação plástica antes do início da fratura, necessitam de uma maior penetração. Os resultados obtidos através da simulação numérica foram analisados e comparados com resultados experimentais. O processo de corte linear em rocha foi simulado numericamente considerando o problema 2D e 3D. Estas simulações foram realizadas para determinar a temperatura exata em que ocorre o desgaste das ferramentas. As Figuras 18 e 19 abaixo mostram os modelos 2D e 3D, respectivamente. 23 Figura 2.6: Modelo 2D de corte linear (Mishra & Khair, 2005). Figura 2.7: Modelo 3D de corte linear (Mishra & Khair, 2005).

24 Os modelos 2D e 3D foram simulados utilizando elementos que possuem propriedade de transferência de calor, assim o processo de transferência de calor na ferramenta foram avaliados Simulação numérica de corte em rocha utilizando o programa LS- DYNA. Jaime et al. (2010) apresentaram um estudo de corte através de um cortador de diamante policristalino, que representa um desafio em termos de simulação numérica utilizando o MEF. Os autores utilizaram neste trabalho um programa de elementos finitos chamado LS-DYNA. Inicialmente, o estudo avaliou as vantagens e desvantagens de várias abordagens do problema de grandes deformações, que vão desde a formulação Euleriana até a formulação ALE (Arbitraria Lagrangiana Euleriana), passando pela formulação de Lagrange. Estas diferentes abordagens numéricas são avaliadas em termos de sua capacidade de dar uma medição razoável das forças de corte e avaliação do processo de fragmentação da rocha. O modelo foi desenvolvido após vários ensaios em um single cutter. Assim, os autores conseguiram modelar com sucesso as diversas fases de fratura e fragmentação no corte da rocha. No trabalho foi utilizada um esquema chamado de erosão dos elementos da malha de elementos finitos para simular a fratura da rocha, sem a utilização de elementos especiais, uma vez que os planos de fratura não são conhecidos a priori. Os autores avaliaram as possibilidades e as limitações das abordagens Euleriana e ALE para a simulação de grandes deformações do problema de corte em rocha. Os estudos indicaram a utilização da abordagem Lagrangiana para a simulação do corte em rocha e problemas associados ao início da propagação de fraturas. O trabalho apresenta uma tentativa de fazer a simulação numérica do corte em rocha utilizando uma lei constitutiva de concreto. Os resultados da simulação foram capazes de representar o comportamento frágil da rocha, como era esperado. 24

25 Simulação numérica de perfuração e corte em rocha. Tulu et al. (2008) apresentaram um estudo paramétrico utilizando o programa de diferenças finitas FLAC3D de um cortador simples PDC interagindo com uma amostra de rocha. As simulações numéricas investigaram o efeito de vários parâmetros geológicos e de perfuração no processo de corte e perfuração, com objetivo de otimizar a taxa de penetração (ROP = rate of penetration) em ambientes de alta pressão e alta temperatura (HPHT = High pressure high temperature). A Figura 28 mostra o grid de diferenças finitas utilizada para discretizar a rocha e o cortador. A Figura 28 a) mostra a vista frontal do modelo, a Figura 28 b) a vista superior e a Figura 28 c) a vista frontal do cortador. Figura 2: Geometria do Modelo. (Tulu et al. 2008) No trabalho foram analisados um arenito e um folhelho com três diferentes profundidades de corte (taxas de penetração), porém as propriedades geométricas foram consideradas idênticas (comprimento, diâmetro da mostra, espessura e diâmetro do cortador e ângulo de corte).

26 3 Modelagem com o método dos elementos finitos (MEF) A complexidade do processo de corte faz com que os modelos analíticos não sejam capazes de capturar todos os detalhes necessários para a previsão quantitativa satisfatória do estado de tensões e das temperaturas (quando envolvida a parte térmica no problema) geradas no processo de perfuração na rocha e na ferramenta de corte, assim, em geral estes modelos não possuem a capacidade de permitir o entendimento dos parâmetros envolvidos no processo de corte. O método dos elementos finitos é uma ferramenta matemática que pretende dar solução a problemas contínuos fazendo uma transformação ao domínio discreto. Assim, o contínuo é subdividido em um número finito de partes, chamado de elementos, cujo comportamento é definido por um número também finito de parâmetros, que são associados a cada elemento. Os elementos são definidos no espaço através de seus nós, que são pontos de união entre dois ou mais elementos adjacentes. A solução global do modelo analisado é obtida no domínio discreto fazendo uma montagem das soluções dos elementos. Neste trabalho o programa de elementos finitos Abaqus foi utilizado para a simulação numérica do problema de corte em rocha. O programa Abaqus é um poderoso programa de análise numérica para aplicações de engenharia. O programa possui uma extensa biblioteca de elementos que podem modelar praticamente qualquer geometria. O programa possui ainda uma extensa lista de leis constitutivas, que possibilita a simulação do comportamento da maioria dos materiais típicos de engenharia, tais como: metais, borracha, polímeros, materiais compósitos, concreto reforçado, espumas e materiais geotécnicos. O programa foi concebido como uma ferramenta de simulação de propósito geral, assim, pode ser utilizado no estudo de diversos problemas, como: a transferência de calor, difusão de massa, acústica, mecânica dos solos e dinâmica dos fluidos.

27 Detalhamento das variáveis envolvidas no processo de corte: O processo de corte de rocha é um problema dinâmico no qual estão envolvidas muitas variáveis que fazem com que a solução do problema não seja trivial. O problema apresenta algumas características, tais como: grandes deformações, alta taxa de deformação, contato entre partes, dependência da discretização da malha de elementos finitos, grandes distorções da malha, modelo constitutivo especial. A figura 33 apresenta as variáveis envolvidas no desenvolvimento de um modelo de corte FEM. Grandes Deformações Tempo de Simulação Modelo Constitutivo especial Malha Adaptativa Processo de Simulação de Corte Utilizando o programa ABAQUS Tamanho da Malha Alta Taxa de Deformação Problema de Contato Problema Dinâmico Figura 1: Principais variáveis envolvidas no processo de simulação de corte utilizando o programa Abaqus. Como foi visto no capítulo de revisão bibliográfica, na literatura é encontrado um grande número de trabalhos que apresentam a utilização de simulações numéricas baseadas no MEF para a solução do processo de corte, que consideram alta taxa de deformação resultante do ensaio de single cutter. Neste trabalho, o processo de simulação numérica de corte foi iniciado com o estudo de corte em metais, pois este tema apresenta uma grande quantidade de referências, principalmente aquelas que usam o programa Abaqus. Assim que todas as variáveis envolvidas no processo de corte (Figura 33) foram mapeadas, implementadas e resolvidas para o problema de corte em metais, o estudo foi direcionado para simulação numérica de corte em rocha, apenas modificando a

28 relação constitutiva, que considera a influência do estado de tensão, taxa de deformação e pressão de confinamento Método de solução das equações e não linearidade: A solução da integração no tempo no MEF é obtida através de uma integração explícita ou implícita. A simplicidade do método de integração temporal explícita faz com que ela seja utilizada para resolver problemas transientes em que pequenos tamanhos de passo de tempo são aceitáveis. No método explícito não é necessário a solução de um sistema de equações lineares em cada passo de tempo. Em geral, os métodos explícitos requerem menos tempo de computação que os métodos implícitos, mas muitas vezes têm o problema de ser condicionalmente estáveis, assim requer primeiro, avaliar o intervalo de tempo máximo para que a computação seja numericamente estável. No programa Abaqus, o solver que considera a integração temporal explicita de um problema transiente é chamado de Abaqus/Explicit. Em análises de tensões, o comportamento não linear pode ser atribuído a três fontes: i) do material, quando as leis constitutivas do material são não lineares, ii) do contorno, nas situações em que as condições de contorno mudam durante a análise e iii) geométricas, quando levadas em conta as mudanças na geometria do modelo durante a análise. No Abaqus/Explicit a não linearidade geométrica é levada em conta por padrão, sem a necessidade de acioná-la, enquanto que uma simulação empregando o Abaqus/Standard (formulação implícita) necessita da introdução do comando nglem. 3.3 Descrição do movimento A descrição do movimento pode ser implementada através de três formulações: Lagrangiana, Euleriana e Lagrangiana- Euleriana Arbitrária (ALE).

29 Formulação Lagrangiana: A formulação Lagrangiana (Figura 34) supõe que a malha de elementos finitos está fixa ao material e acompanha sua deformação. A formulação apresenta as seguintes vantagens para simulação de corte: a geometria dos chips é o resultado da simulação e fornece possibilidades para simular processos transientes e formação de chips descontínuos. No entanto, a distorção dos elementos tem sido motivo de preocupação e limitou a análise com esta formulação, porém o surgimento de técnicas de malhas pré-distorcidas ou técnicas de re-meshing têm sido utilizadas para minimizar o problema. Figura 22: Exemplo do comportamento da malha na formulação Lagrangiana J. Donea et al. (Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1) As vantagens e desvantagens da formulação Lagrangiana são: Vantagens: Possibilita a simulação de fraturas, fracionamento do material e desenvolvimento de chips seguimentados. Não há necessidade de definir uma geometria prévia do chip. Permiti o acompanhamento de superfícies livres e interfaces entre diferentes materiais. A formulação possibilita a implementação de leis constitutivas dependentes da história de tensões.

30 30 Desvantagens: A instabilidade numérica provocada por distorções locais da malha, devido às cargas altamente concentradas, especialmente em análises com altas taxas de deformação. Alto custo computacional e perda de precisão quando o esquema de remeshing são implementados para reduzir as distorções da malha. Distorção excessiva dos elementos causada pela alta deformação nas zonas de cisalhamento Formulação Euleriana: Na formulação Euleriana (Figura 35), a malha é fixa no espaço e o material flui através das faces do elemento, permitindo grandes deformações sem causar problemas numéricos. Além disso, esta estratégia não é afetada pela distorção do elemento e permite a simulação de processos estacionários. Contudo, as abordagens Eulerianas não conseguem avaliar a separação dos. A formulação também exige o prévio conhecimento da geometria do chip e do comprimento de contato ferramenta-chip, restringindo a área de aplicação. A fim de superar estes problemas, vários autores têm adotado procedimentos iterativos para ajustar a geometria e o comprimento de contato ferramenta-chip. Contudo, assim como a formulação Lagrangeana, existem algumas vantagens e desvantagens (algumas delas graves para nosso modelo que tornam a formulação menos interessante). Figura 33: Exemplo do comportamento da malha na formulação Euleriana J. Donea et al (Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1)

31 31 Vantagens: Grandes deformações não provocam problemas numéricos. Usando condição de fluxo de fronteira, apenas uma pequena região em torno da ferramenta é necessária para a modelagem. A formulação necessita de um menor número de elementos, que reduz o tempo de análise. Desvantagens: A geometria do chip deve ser conhecida desde o início. A formação de fraturas não pode ser simulada nesta formulação Formulação ALE (Lagrangiana Euleriana Arbitraria): Em uma tentativa de combinar as vantagens de ambas as formulações, Lagrangiana e Euleriana, uma abordagem mista, conhecida como Lagrangiana - Euleriana Arbitrária (ALE) foi proposta para modelar o problema de grandes deformações que resultam em distorções indesejáveis nos elementos. Este método aplica passos Lagrangianos e Eulerianos sequencialmente e usa o operador chamado split (operador de divisão), apresentado na Figura 36. A primeira etapa pressupõe que a malha segue o fluxo de materiais, apresentando-se como em um problema Lagrangiano, que é resolvido para os deslocamentos, posteriormente, o sistema de referência é movido (a malha é reposicionada) e um problema de advecção é resolvido (passo Euleriano) para as velocidades. Embora o método ALE consiga reduzir o problema de distorção dos elementos, característicos de abordagens de Lagrange, um cuidadoso tratamento numérico dos termos de advecção é necessário. No programa Abaqus está implementado a formulação ALE que possibilita o controle da distorção dos elementos nos casos em que grandes deformações ou perda de material ocorrem.

32 32 Figura 44: O operador ALE. (Shekhar, 2009). A formulação ALE no Abaqus/Explicit pode: Ser usado para analisar os problemas de Lagrange e Euleriano. Portanto, a formulação ALE pode funcionar como um método Lagrangiano com técnicas de adaptabilidade de malha. Ser usado como uma ferramenta de adaptação contínua para os problemas submetidos à análise transiente de grandes deformações (como o impacto dinâmico e penetração). Ser usado como uma técnica de solução para o modelo de processos de estado estacionário (como extrusão ou laminação). Ser usado como uma ferramenta para analisar a fase transiente em um processo de estado estacionário. Ser usado em processos dinâmicos explícitos (incluindo análise térmica adiabática) e procedimentos totalmente acoplados tensão térmicos. Vários trabalhos na literatura indicam a utilização da formulação ALE para garantir o controle da distorção da malha de elementos finitos. Portanto, todos os modelos de corte em metais foram elaborados considerando a formulação ALE. 3.4 Problema de contato: Nos modelos de corte em metais com profundidade de corte constante, a superfície de corte foi pré-estabelecida e limitada por superfícies de contanto, onde a ferramenta corta/empurra o material da peça. No programa Abaqus está implementada a ferramenta *CONTACT PAIR que considera a interação entre

33 superfícies, e no caso deste trabalho, a superfície cortada da peça e a face da ferramenta. O plano de corte é discretizado por um conjunto de elementos que são retirados da malha à medida que atingem o dano. Assim, os modelos com profundidade de corte constante e superfície de corte pré-estabelecida foram chamamos de modelos de superfícies fixas, mostrada na figura Figura 5.5: Modelo de superfícies fixas que apresenta as duas superfícies de contato prédefinidas durante o processo de corte. O modelo de superfícies fixas não apresenta perda de material, pois apenas uma pequena faixa de elementos é retirada da malha durante a simulação. Para eliminar a restrição de superfícies de contato pré-estabelecidas, foi adotado um modelo de erosão, em que novas superfícies de contato são criadas, na face livre da peça, à medida que elementos são retirados da malha, quando estes alcançam o dano. A Figura 38 mostra a região da peça, onde novas superfícies são criadas quando elementos são retirados da malha. Figura 66: Modelo com erosão que apresenta a superfície da ferramenta e o domínio da peça, onde superfícies de contato são criadas na face livre.

34 34 Durante o processo de corte em rocha, a ferramenta de corte apresenta movimentos na direção horizontal e vertical, portanto torna-se impraticável a utilização do modelo de superfícies fixas, a alternativa encontrada foi empregar o modelo de erosão. No estudo do corte em rocha utilizando o modelo de erosão, as distorções nos elementos foram pequenas, portanto foi utilizada a formulação Lagrangiana para considerar o efeito das grandes deformações. A Figura 39 (a) mostra uma malha de elementos finitos antes da retirada dos elementos e a Figura 39 (b), após a retirada dos elementos que atingiram o dano, onde novas superfícies de contato são definidas. (a) (b) Novas Superfícies expostas. Topologia da superfície Topologia da superfície depois da falha antes que os elementos com sombreamento atinjam o dano. Figura 7: Topologia de uma superfície de contato do tipo erosão (Abaqus, 2010). 3.5 Modelos constitutivos utilizados e lei de dano: As propriedades físicas do material da amostra e/ou peça são de fundamental importância para a correta simulação do processo de corte o que inclui a capacidade do modelo de simular a formação das lascas ou cavacos (chips) gerados durante o corte, a distribuição das tensões, o cálculo adequado das forças, a distribuição da temperatura se é levada em conta no processo, os processos de dano e falha no material e em resumo todas as características próprias do material e seu comportamento durante a simulação do processo de corte. O modelo constitutivo de corte em metal empregado neste trabalho foi o modelo de plasticidade de Johnson & Cook.

35 Modelo de Johnson & Cook O modelo de plasticidade Johnson-Cook é um modelo particularmente adequado para problemas que envolvem alta taxa de deformação de metais. As principais características do modelo de Johnson & Cook são: É um tipo particular do modelo de plasticidade Mises com formas de análise do endurecimento e dependência da taxa de deformação (como é requerido no problema de corte). É adequado para alta taxa de deformação de muitos materiais, incluindo a maioria dos metais. É tipicamente utilizado em simulações dinâmicas transientes adiabáticas. Pode usar o modelo de dano dinâmico de Johnson-Cook disponível no Abaqus/Explicit. Pode ser utilizado junto com os modelos de dano progressivo especificando diferentes critérios de inicio e evolução do dano, o que permite uma degradação suavizada da rigidez do material e a remoção de elementos que atingem o dano da malha de elementos finitos. Uma superfície de Mises com fluxo associado é usada no modelo de plasticidade de Johnson-Cook. O endurecimento de Johnson-Cook é um tipo particular de endurecimento isotrópico, onde a tensão de escoamento estática é assumida como sendo da forma: n m pl 0 A B 1 (1) Onde pl é a deformação plástica equivalente, A, B, n e m são parâmetros do material, medidos na/ou abaixo da temperatura de transição, transição, e é a temperatura não-dimensional que é definida por

36 36 0 para transição/( 1 para transição fusão fusão transição ) para transição fusão (2) Onde é a temperatura atual, fusãoé a temperatura de fusão do material e transiçãoé a temperatura de transição definida como aquela abaixo da qual não há nenhuma dependência da temperatura. Os parâmetros do material são então medidos na/ou abaixo dessa temperatura. Quando fusão, o material entra em fusão e seu comportamento é de um fluido, então ele não tem resistência ao cisalhamento. O modelo de Johnson & Cook pode depender da taxa de deformação, assim quando a lei assume esta dependência, temos: 0 ( pl, ) R( pl ) (3) e pl 1 0 exp ( R 1) C para 0 (4) onde: tensão de escoamento a uma taxa de deformação diferente de zero pl taxa de deformação plástica equivalente. 0 e C parâmetros do material medidos na/ou baixo da temperatura de transição transição. pl 0 (, ) tensão de escoamento estática

37 37 R( pl ) razão da tensão de escoamento na taxa de deformação diferente de zero para a tensão de escoamento estática (assim que R ( 0 ) 1. 0 ) A tensão de escoamento é então expressa como: A B 1 0 pl m pl n 1 C Ln (5) Que pode ser reescrita como: A B 1 pl m pl n transição 1 C Ln fusão transição 0 (6) Onde os valores de 0 C e devem ser fornecidos pelo usuário para definir a dependência da taxa Modelo de Drucker-Prager Na simulação de corte em rocha através do programa Abaqus, o modelo de plasticidade de Drucker-Prager foi utilizado para considerar a não linearidade do material. O modelo de Drucker-Prager com critério exponencial (*DRUCKER PRAGER, shear criterion=critério) foi escolhido para definir a superfície de escoamento, sendo que os critérios linear e hiperbólico também estão implementados, porém não foram empregados. O modelo também possui uma lei de endurecimento (*DRUCKER PRAGER HARDENING). No Abaqus, o modelo constitutivo de Drucker-Prager tem a seguintes características:

38 38 É utilizado na modelagem de materiais friccionais, solos granulares e rochas que tem dependência da pressão na sua resistência (A resistência do material é dependente da pressão de confinamento). Utilizado na modelagem de materiais com limite de escoamento a compressão maior que a tração. Permite ao material ter endurecimento (hardening) ou amolecimento (softening) isotropicamente. Permite a mudança do volume em comportamento inelástico. Pode ser definido sensível a taxa de deformação. (Como é necessário no problema de corte). Pode ser utilizado junto com o modelo elástico. Pode utilizar modelos de dano progressivo para assim especificar diferentes critérios de iniciação e evolução do dano, que permitem a queda gradual da rigidez do material e a remoção de elementos do modelo. O critério de tensões nestes modelos esta baseado numa superfície no plano meridional. Esta superfície pode ser linear, hiperbólica ou de uma forma exponencial geral. Os invariantes de tensão do modelo de Drucker-Prager são Pressão equivalente: 1 p trace( ) (7) 3 e tensão equivalente de Mises: 3 q ( S : S) (8) 2 onde S é a tensão desviadora, definida como: S pi (9)

39 39 desviadora. Além disso, o modelo linear também usa o terceiro invariante de tensão r ( S S : S) (10) 2 O modelo linear (Figura 40) (*DRUCKER PRAGER, shear criterion= Linear) permite uma superfície de escoamento não-circular no plano, que pode ser ajustada com diferentes valores de escoamento de ensaios triaxiais, a compressão ou a tração. Os dados de entrada definem a forma das superfícies nos planos, este modelo não tem muita correspondência com o modelo de Morh- Coulomb. Figura 8 Modelo Linear Drucker-Prager (Abaqus, 2010). onde o critério de escoamento no modelo linear é definido como: F t p tan d 0 (11) e: r t q1 1 (12) 2 K K q

40 40 (, fi ) Inclinação da superfície de escoamento linear no plano de tensão p-t, é comumente referido como o ângulo de atrito do material. d Coesão do material. K(, fi ) Relação entre a tensão de escoamento em tração triaxial e tensão de escoamento em compressão triaxial, portanto controla a dependência da superfície de escoamento sobre o valor da tensão principal intermediária. Quando o endurecimento (hardening) é definido pela compressão uniaxial, o critério linear restringe que tan > 3, ou seja, >71.5. Assim mesmo, quando K=1, t=q, o que faz que a superfície de escoamento em um circulo no plano. O modelo hiperbólico (Figura 41) (*DRUCKER PRAGER, SHEAR CRITERION=HYPERBOLIC) e o exponencial (Figura 42) (*DRUCKER PRAGER, SHEAR CRITERION=EXPONENT FORM, TEST DATA) utilizam uma superfície circular de Von Mises no plano, no plano meridional os dois modelos têm um comportamento hiperbólico que em geral, significa que não tem fluxo associado. O critério de escoamento no modelo hiperbólico é da forma: 2 2 F l q p tan d' 0 (13) 0 e: l d p tan (14) 0 ' 0 t 0 p Resistência hidrostática inicial a tração do material. t 0 d '( ) Parâmetro de endurecimento. d ' Valor inicial de d. 0 (, fi ) Ângulo de atrito medido com alta pressão de confinamento.

41 41 Figura 9 Modelo hiperbólico Drucker-Prager (ABAQUS, 2010). O modelo exponencial fornece o critério de escoamento mais geral para este tipo de problemas. A função escoamento pode ser reescrita como: b F aq p p 0 (15) t onde: a(, fi ) e b(, fi ) Parâmetros do material independentes da deformação plástica. p t ( ) Parâmetro de endurecimento que representa a resistência à tração do material. Figura 10 Modelo exponencial Drucker-Prager (ABAQUS, 2010).

42 O modelo ideal para uma análise depende muito do tipo de problema, do material, dos dados disponíveis para a calibração do modelo, da faixa de pressões, etc. Para rochas, os dados mais comuns são um conjunto de dados de ensaios triaxiais submetidos a diferentes pressões de confinamento, ou dados calibrados em termos de coesão e ângulo de atrito e algumas vezes o valor da resistência à tração. Com os dados dos ensaios triaxiais, o modelo pode ser calibrado diretamente usando a função *TRIAXIAL TEST DATA. 42 Tabela 3.1: Tensão Equivalente utilizada no modelo constitutivo de Drucker-Prager no Abaqus σ ( c σ ( σ d( t pl pl pl pl, pl, pl,,, f,, f,, f i i ) i ) ) Se o endurecimento é definido pela tensão de escoamento a compressão σc Se o endurecimento é definido pela tensão de escoamento a tração σt Se o endurecimento é definido pela coesão, d. onde pl é a taxa de deformação plástica equivalente definida para o modelo linear de Drucker & Prager, como: pl pl 11 pl pl 11 pl pl / 3 Se o endurecimento é definido em compressão uniaxial. Se o endurecimento é definido em tração uniaxial. Se o endurecimento é definido em cisalhamento puro. A deformação plástica equivalente é definida para os modelos exponencial e hiperbólico do modelo Drucker & Prager, como:

43 43 pl pl : (16) E a tensão equivalente σ, em todos os modelos é função de: pl t 0 pl dt Deformação plástica equivalente. Temperatura. f i, i 1,2,3,... Variáveis de campo predefinidas. pl pl Assim, a tensão de escoamento σ( ε,,θ, f ) inclui o endurecimento, bem como os efeitos dependentes da taxa. Os dados do material podem ser introduzidos numa tabela ou pela correlação das relações estáticas com base nos índices de escoamento. A dependência da taxa como é descrita no manual de Abaqus é adequada para eventos moderados ou de alta velocidade. i Quando o modelo de Drucker-Prager é utilizado, o programa Abaqus permite prescrever endurecimento inicial pela definição da deformação plástica equivalente inicial. A definição da deformação plástica equivalente inicial no modelo pode ser inserida como: RATE= Por meio de uma tabela de dados (*DRUCKER PRAGER HARDENING, pl ), assim, os dados dos ensaios são inseridos nas tabelas de valores de tensão de escoamento versus deformação plástica equivalente em diferentes taxas de deformação plástica equivalente; uma tabela por taxa de deformação. Os dados de ensaios a compressão são mais comumente disponíveis para materiais geológicos, como rochas. Alternativamente, a taxa de deformação pode ser assumido separadamente (*RATE DEPENDENT), de modo que a dependência tensão-deformação é semelhante em todas as taxas de deformação.

44 44 0 pl pl σ ( ε,θ, f )R(,, f ) (17) i i pl ( i 0 onde ε,θ, f ) é o comportamento estático tensão deformação e pl R(,, fi ) é a razão (ratio) da tensão de escoamento a uma taxa diferente de zero da tensão de escoamento. De modo que R( 0,, ) f i O programa Abaqus oferece dois métodos para achar R. Especificando uma lei de potencias de sobre-tensão (overstress) que é a configuração padrão (fornecendo os parâmetros D e n) ou pela definição da variável R diretamente como função tabular de pl (*RATE DEPENDENT, TYPE=YIELD RATIO). Assim, R é introduzido diretamente como uma função tabular da taxa de deformação plástica equivalente pl, temperatura e outras variáveis f i. O valor de R é dado por R Modelos de dano e critérios de dano no modelo constitutivo de Johnson & Cook e de Drucker-Prager: O programa Abaqus/Explicit fornece um modelo de ruptura dinâmico para o modelo de plasticidade Johnson-Cook, que é apropriado apenas para alta taxa de deformação de metais. Igualmente, modelos de ruptura e dano progressivo podem ser empregados no programa Abaqus para a simulação da perda gradual da rigidez do material (o que pode levar a uma simulação mais real). Os dois modelos de ruptura podem ser empregados no modelo de plasticidade de Johnson-Cook, junto com diferentes critérios de início de dano disponíveis no ABAQUS. No caso de corte em rocha, o modelo de plasticidade de Drucker-Prager, permite apenas a utilização de um modelo de dano progressivo (inicio e evolução do dano).

45 Modelos de ruptura dinâmico O modelo de ruptura de Johnson-Cook (*SHEAR FAILURE, TYPE=JOHNSON COOK) é baseado no valor da deformação plástica equivalente nos pontos de integração do elemento; assim, a ruptura ocorre quando o parâmetro de dano é superior a 1. O parâmetro de dano, w (alguns autores empregam D), é definido como: w pl f pl (18) onde pl pl é o incremento de deformação plástica equivalente, f é a deformação plástica quando acontece a ruptura, e a soma é realizada em todos os incrementos da análise. A deformação quando a ruptura ocorre pl f, assume-se dependente da taxa adimensional de deformação plástica pl / 0, da razão adimensional de tensão Misses e da temperatura adimensional p / q, onde p é a tensão equivalente, de q a tensão de transição fusão transição, que foi definida no inicio pelo modelo de endurecimento de Johnson & Cook. A pl dependência de f é assumida separável e é definida pela seguinte relação: pl pl p transição f d 1 d 2 exp d3 1 d 4 Ln 1 d 5 (19) q fusão transição 0 onde d1 d5 são parâmetros de ruptura medidos na/ou abaixo da temperatura de transição, transição e é a taxa de deformação de referência. Os 0 valores de d1 d5 são fornecidos pelo usuário quando é definido o modelo de ruptura dinâmica de Johnson-Cook.

46 Quando este critério de ruptura é alcançado, as componentes de tensão desviadora são fixadas em zero para o resto da análise. Dependendo da escolha feita, a tensão equivalente também pode ser definida como zero para o resto da análise (se este for o caso, deve-se especificar retirar o elemento, e então o elemento será retirado da malha ELEMENT DELETION=YES or NO) ou pode ser obrigado a permanecer sob compressão para o resto do cálculo (se este for o caso, deve-se optar por não utilizar a eliminação do elemento). Contudo, por padrão, os elementos que satisfazem o critério de ruptura são eliminados Modelos de dano progressiva O modelo de plasticidade Johnson-Cook pode ser usado em conjunto com o modelo de dano progressivo, este recurso permite a especificação de um ou mais critérios de iniciação do dano (*DAMAGE INITIATION, CRITERION=criterion 1), incluindo o critério de Johnson-Cook (utilizado nosso trabalho), dano dúctil (também usado) e o critério de dano por cisalhamento, entre outros. A lei de inicio do dano de Johnson-Cook cumpre o mesmo principio apresentado nas equações 18 e 19 do modelo de ruptura dinâmico. Após o início do dano, a rigidez do material é reduzida progressivamente, de acordo com a entrada especificada na evolução do dano, diferente do modelo de ruptura dinâmico de Johnson-Cook, onde a rigidez é reduzida imediatamente. A lei de evolução do dano (*DAMAGE EVOLUTION) descreve a variação da redução de rigidez do material, uma vez que o critério de iniciação tenha sido atingido. Para o dano em metais dúcteis o programa Abaqus assume que a degradação da rigidez associada a cada mecanismo de falha ativa pode ser modelada utilizando uma variável de dano escalar, di ( i Nact ), onde act representa o conjunto de mecanismos ativos. Durante a análise, o tensor de tensões do material é dado pela equação escalar de dano. N ( 1 D) (20)

47 47 onde D é a variável de dano global e é a tensão não danificada do tensor de tensões calculado no incremento atual. Assim, são as tensões que existem no material, na ausência de dano. O material perde sua capacidade de carga quando D 1. A variável de dano global D, capta o efeito combinado de todos os mecanismos de dano ativos e é calculada em função das variáveis de danos individuais d i, de acordo com uma regra especificada pelo usuário. Nas simulações realizadas, o critério de evolução do dano utilizado foi do tipo deslocamento (*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=DISPLACEMENT) assim, uma vez que o critério de iniciação de dano foi atingido, o deslocamento plástico efetivo, pl u é definido pela equação de evolução: pl u L pl (21) onde L é o comprimento característico do elemento. A evolução da variável de dano com o deslocamento plástico relativo pode ser especificada na forma de tabelas, na forma linear ou exponencial. O dano instantânea irá ocorrer se o deslocamento plástico no momento da falha, pl u f é especificado como zero (0), no entanto, esta opção não é recomendada e deve ser usada com cuidado, pois causa uma queda repentina das tensões no material que pode levar a instabilidades dinâmicas. Os gráficos seguintes apresentam os diferentes tipos de evolução do dano segundo o critério de deslocamento; na simulação foi empregado um modelo de evolução do dano tipo deslocamento linear.

48 48 Figura 11.11: Diferentes definições da evolução do dano com base no deslocamento plástico: (a) tabular, (b) linear e (c) exponencial (ABAQUS, 2010). Assumindo que existe uma evolução linear da variável de dano com respeito ao deslocamento plástico efetivo, como e mostrado na Figura 43 (b), é possível especificar o deslocamento plástico efetivo ( u pl f ) no ponto de dano (degradação completa). Assim, a variável de dano aumenta de acordo com: d pl pl L u (22) pl pl u f u f Esta definição garante que quando o deslocamento plástico efetivo atinge o valor pl pl f u u, a rigidez do material será totalmente degradada ( d 1). A lei de evolução linear de dano define uma resposta de amolecimento tensão deformação verdadeiramente linear somente se a resposta efetiva do material é perfeitamente plástica (tensão de escoamento constante) após o início do dano.

49 A Figura 44 ilustra o comportamento tensão-deformação característico de um material submetido ao dano. No contexto de um material elásto-plástico com endurecimento isotrópico, o dano se manifesta de duas formas: amolecimento da tensão de escoamento e degradação da elasticidade. 49 A curva sólida (preta) na figura 44 representa a resposta tensãodeformação de um material submetido ao dano (quando o material atinge certos valores de tensão e deformação, inicia-se o dano e posteriormente com a evolução do mesmo, a rigidez é degradada até não suportar mais tensões e deformação), enquanto a curva tracejada (preta) é a resposta na ausência de dano (ou seja, o material não apresenta inicio e evolução do dano). A resposta do material com dano é depende das dimensões dos elementos, assim que, a dependência dos resultados com respeito a malha deve ser minimizada pl Na figura 44 y0 e 0 são a tensão de escoamento e a deformação pl plástica equivalente no início do dano, e f é a deformação plástica equivalente na falha, ou seja, quando a variável de dano global atinge o valor D 1. O valor da deformação plástica equivalente na falha pl f, depende do comprimento característico do elemento e não pode ser usado como um parâmetro do material para a especificação da lei de evolução do dano. Na figura 44 pode-se observar que o modelo de ruptura dinâmico é semelhante a um modelo de dano progressivo, no qual o deslocamento plástico no momento da falha pl u f foi especificado como zero (0) ou próximo de zero, o que faz que a degradação da rigidez do material seja muito mais rápida que a de um modelo que utiliza o inicio e propagação do dano. Com relação aos modelos de dano usados neste trabalho, o modelo de ruptura dinâmico foi chamado de dano rápido e o modelo com inicio e evolução do dano foi chamado de dano progressivo. Nos modelos de corte em rocha (Modelo de Drucker-Prager) somente os modelos com inicio e evolução de dano são implementados no programa Abaqus.

50 50 Figura 3.12: Curva tensão deformação representando o modelo de ruptura dinâmico (vermelho) e o modelo de dano progressivo. (ABAQUS, 2010 modificado). O critério de inicio do dano dúctil foi usado para definir o inicio do dano no modelo de plasticidade de Drucker-Prager (*Damage Initiation, criterion=ductile), este critério é utilizado para especificar a iniciação do dano baseado na deformação dúctil. Assim, neste modelo constitutivo, a lei de inicio do dano dúctil é fornecida ao programa Abaqus através de tabelas, em que a primeira coluna contém a deformação plástica equivalente no início do dano, a segunda coluna a tensão triaxial p q e a terceira coluna a taxa de deformação.

51 4 Simulação do processo de corte pelo método dos elementos finitos O principal objetivo desta dissertação foi simular o processo de corte através de um programa de elementos finitos comercial Abaqus. Inicialmente, o estudo foi concentrado na simulação de corte em metais, devido a grande quantidade de trabalhos disponíveis neste tema. Posteriormente, o estudo foi estendido para o estudo de corte em rocha, utilizando uma relação constitutiva adequada. Em futuros trabalhos de pesquisa (da qual esta dissertação foi a primeira parte), será avaliado a variação de alguns parâmetros envolvidos no processo de corte (ângulo de corte, profundidade de corte, geometria da broca, velocidade, etc), com o objetivo de melhorar a eficiência. Nas simulações deste trabalho foi avaliada além da força de corte, a energia mecânica especifica (MSE), que é dependente do trabalho realizado e do volume cortado. Trabalho Feito Durante o Corte MSE Volume de Rocha Cortada ( Força) dx Volume Cortado (23) Nos modelos de corte em metais foi avaliado o efeito do: i) atrito entre a ferramenta de corte e a peça, ii) da pressão de confinamento nas forças de corte e MSE, iii) da temperatura, iv) da geometria da peça e do cortador e v) da profundidade de corte.

52 Os resultados apresentados a seguir seguem a ordem cronológica das simulações realizadas. Como foram apresentados, os modelos iniciais trabalham o processo de corte em metais e posteriormente, resultados de modelos de corte em metais utilizando o modelo constitutivo de Drucker & Prager são apresentados Validação das simulações realizadas: Nos trabalhos apresentados na revisão bibliográfica, os autores realizaram validação das simulações pela comparação dos resultados obtidos numericamente com dados de ensaios. Neste trabalho não foi possível executar ensaios de corte para avaliar os resultados das simulações numéricas, mais foi realizada uma comparação com o trabalho de Mabrouki e Rigal (2005). Os resultados foram comparados, uma boa aproximação na magnitude das forças obtidas neste trabalho e as apresentadas pelos autores foram observadas. A força média apresentada pelos autores é da ordem de 450 N, mostrado na Figura 4.2 (a), que correspondente ao modelo de superfícies fixas e a parte (b) correspondente ao modelo com erosão, cujos valores de força estão próximos ao valor médio, entre 350 N e 400 N. 4.2 Modelos de corte 2D em metais: O primeiro modelo simulado foi para corte em metal e utilizou o esquema de superfícies fixas, e a geometria do modelo é mostrada na figura 4.1: Figura 1.1: Geometria dos modelos de corte em metais 2D (Dimensões em m).

53 A malha de elementos finitos é constituída da ferramenta com 297 nós e 256 elementos CPE4R (4-node bilinear, reduced integration with hourglass control) e da peça com 2254 nós e 2080 elementos CPE4R. A profundidade de corte, ângulo da ferramenta, velocidade de corte, comprimento e altura da peça são apresentados na tabela Tabela 4.1: Propriedades geométricas dos modelos 2D. Propriedade Valor Profundidade de corte (m) Ângulo da ferramenta 5 Velocidade de corte 1 m/seg Comprimento da amostra (m) Altura da amostra (m) A Tabela 4.2 apresenta os parâmetros do modelo constitutivo de Johnson- Cook utilizados na simulação do corte em metais, baseados no trabalho de Mabrouki e Rigal (2005). Tabela 4.2: Parâmetros utilizados na simulação de corte em metais. Parâmetro Valor A 792 MPa B 510 MPa n 0.26 m 1.03 Temperatura de fusão Fusão 1520 C Temperatura de transição transição 25 C C s -1 0 d d d d d Cinco modelos de corte em metais foram simulados e um resumo das características destes modelos é apresentado na Tabela 4.3. Resultados de força de corte e MSE são apresentados. Os modelos foram simulados considerando superfícies fixas e modelos com erosão.

54 54 Tabela 1.3: Resumo das características dos modelos 2D para corte em metais Arquivo Tipo Geom. Dano Produtos Vx Vy Pc* GTEP9_2-00_05AtritoA Superfícies Fixas 2D Progressivo (2*10-5) Forças e MSE 1m/s 0m/s GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa Erode 2D Imediato Forças e MSE 1m/s 0m/s GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1 Erode 2D Progressivo (2*10-5) Forças e MSE 1m/s 0m/s GTEP9_2- Progressivo (2*10-00_05AtritoAERODEbOriginal Erode 2D 10)+inicio dano shear Forças e MSE 1m/s 0m/s GTEP9_2-00_05AtritoTermico Superfícies Fixas 2D Progressivo (2*10-5) Forças e MSE 1m/s 0m/s *(Vx e Vy são as velocidades em X e Y; Pc é a profundidade de corte em m). (a) Figura 4.2: Força de corte (a) no modelo de superfícies fixas (b) modelo com erosão. (b)

55 Forças de corte e MSE nos modelos 2D em metais: Em cada um dos modelos de corte 2D em metais foram medidas as forças de corte e a MSE. As forças de corte foram avaliadas na parte superior da ferramenta de corte utilizando o pré-processador Abaqus/CAE Modelo GTEP9_2-00_05AtritoA: Este modelo foi implementado com o esquema de superfícies fixas e dano imediato. A figura 4.3 apresenta o modelo GTEP9_2-00_05AtritoA. Figura 4.3: Variação das tensões de Von Misses em um modelo com superfícies fixas. A Figura 4.4 apresenta a variação da força de corte com o deslocamento do corte, considerando a velocidade de corte de 1 m/s e profundidade de corte mantida constante. O valor da MSE foi obtido através de uma planilha de cálculo, utilizando os valores de força de corte e o volume de material cortado, obtido através da área sob a curva. Para este modelo, o valor de MSE foi de Mpa.

56 56 Figura 4.4: Variação da força de corte com o deslocamento do cortador Modelo GTEP9_2-00_05AtritoTermico: Para avaliar o efeito da temperatura no corte em metal, foi desenvolvido um modelo combinando o modelo constitutivo de Johnson-Cook e parâmetros de temperatura. A influência da temperatura na geometria do chip pode ser observada na Figura 4.5. Neste modelo foram implementados os esquemas de superfícies fixas e dano progressivo. A Figura 50 apresenta as forças obtidas neste modelo, onde é possível observar a redução dos valores da força de corte (a temperatura produz amolecimento do metal) e consequentemente redução da MSE, quando comparado com o modelo sem efeito da temperatura. Figura 4.5: Geometria do chip devido o efeito da temperatura.

57 A Figura 4.6 mostra o efeito da temperatura na variação da força de corte com o deslocamento do corte, considerando a velocidade de corte de 1 m/s e profundidade de corte mantida constante. A MSE calculada para este modelo foi de Mpa. 57 Figura 4.6:2 Efeito da temperatura na variação da força de corte com o deslocamento do cortador Modelos GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl: Todos estes modelos foram implementados com o modelo com erosão. Somente o modelo GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa tem dano imediato, os demais modelos apresentam uma função de dano progressivo, onde o modelo GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1 foi o mais resistente dos modelos com erosão. Este modelo apresentou valores de forças de corte próximas do modelo de superfícies fixas, como esperado, pois foi implementado com uma função de dano igual aos modelos de erosão. As Figuras 4.8 apresentam gráficos da variação da força de corte com o deslocamento e a Tabela 4.4 apresenta os valores da MSE calculados.

58 58 (a) (b) (c) Figura 4.7: (a) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, (b) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, (d) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl (a) (b) (c) Figura 4.8: Forças vs. deslocamentos (a) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, (b) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, (c) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl

59 59 Tabela 4.4. MSE para os modelos GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb1, GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOriginl. Modelo MSE Area sob a Curva (MPA) GTEP9_2-00_05AtritoAERODEa GTEP9_2-00_05AtritoAERODEb GTEP9_2-00_05AtritoAERODEbOrigi Comparação dos resultados de corte em metais 2D: Com os resultados dos cinco modelos anteriores, foram realizadas comparações de força de corte e MSE, apesentadas nas Figuras 4.9, 4.10 e Figura 4.9: Variação da força de corte com o deslocamento do cortador para os cinco modelos.

60 60 Figura 4.10: Resultados de força para os cinco modelos. Figura 4.11: Resultados de MSE para os cinco modelos. Das figuras anteriores pode-se dizer o seguinte:

61 O modelo de superfícies fixas apresenta maior rigidez, pois o material é mantido a frente do cortador, enquanto que no modelo de erosão, o material é retirado à medida que o cortador avança. Os efeitos da temperatura nas forças de corte, na MSE e na geometria do chip são significantes. Os modelos mostram redução de 70% na MSE e na força de corte. Somente os modelos de superfícies fixas geram chips segmentados ou com forma de dentes numa de suas faces, nos outros modelos os chips foram contínuos Simulação do corte em rocha através do modelo de plasticidade de Drucker-Prager As simulações de corte em rocha foram realizadas inicialmente com um modelo 2D com duas discretizações de malha, grossa e refinada, e considerando ainda duas condições de pressão de confinamento, 0 e 10 MPa. As demais características dos modelo 2D foram mantidas constantes. Os modelos 3D de corte em rocha também foram executados para duas discretizações de malha, grossa e refinada, e duas condições de pressão de confinamento (0 e 10 MPa), mantendo também as demais características constantes do modelo. A velocidade de corte adotada foi de 3m/s e todos os modelos utilizaram o esquema de modelo com erosão. Na falta de dados de ensaios para a lei de Drucker-Prager, foi realizada uma aproximação dos dados de entrada necessários para o modelo através de uma retroanálise utilizando o próprio programa Abaqus. A retroanálise foi realizada simulando ensaios triaxiais de uma rocha submetida a pressões de confinamento de 0, 3.44, 10, 34.3 e 40 MPa. Na Figura 4.14 (a) são mostradas as malhas de elementos finitos utilizada para simular o ensaio triaxial no programa Abaqus. Para simplificar o modelo, foi utilizado o estado axissimétrico, considerando apenas um elemento. A simulação foi realizada em duas etapas, primeiro foi aplicado a pressão de confinamento na

62 face superior e lateral do modelo, em seguida a tensão desviadora foi aplicada no topo do modelo. 62 Para introduzir a lei de Drucker-Prager na simulação são necessários, inicialmente, três parâmetros básicos: modulo de elasticidade (E), coeficiente de Poisson ( ) e ângulo de dilatância ( ). Na lei de Drucker-Prager, quando um critério exponencial é adotado para definir a função de plastificação, torna-se necessário introduzir uma tabela contendo duas colunas, a primeira com a pressão de confinamento e a segunda com a tensão de escoamento. Os dados de pressão de confinamento e tensão de escoamento foram obtidos de resultados de ensaios triaxiais numéricos realizados no programa PFC2D (método dos elementos discretos Itasca) pelo Grupo de Tecnologia e Engenharia de Petróleo (GTEP). As Figuras 4.12 (a) apresentam curvas tensão axial x deformação axial para o mármore de Cartago, obtidas do ensaio triaxial numérico realizado no programa PFC2D, para diferentes pressões de confinamento. As Figuras 4.12 (b) mostram como o conjunto de dados de tensões de escoamento (yield stress) para diferentes pressões de confinamento foi obtido, a partir dos resultados das curvas tensão axial x deformação axial. O critério exponencial da função de plastificação é definido no programa Abaqus através da função (*DRUCKER PRAGER, shear criterion=exponent form, test data), que permite introduzir a função de plastificação do modelo através de dados experimentais (curvas tensão-deformação). A Figura 4.14 (b) mostra as superfícies de plastificação obtidas dos dados experimentais e da aproximação do programa Abaqus, que utilizou o critério exponencial. 0 MPa 3.44 MPa

63 63 10 MPa 34,3 MPa 40 MPa (a) (b) Figura 4.12: Curvas tensão-deformação obtidas de ensaios numéricos no programa PFC2D para o Mármore de Cartago para diferentes pressões de confinamento. No programa Abaqus, uma lei de endurecimento pode ser introduzida na lei de plasticidade de Drucker-Prager através da função *DRUCKER PRAGER

64 HARDENING. O endurecimento pode ser dependente da taxa de deformação, porém esta dependência não foi implementada nos modelos estudados. Assim, quando este parâmetro é omitido, o modelo de endurecimento não é dependente da taxa de deformação. 64 Para introduzir a lei de endurecimento no modelo de plasticidade, é necessário montar uma tabela contendo na primeira coluna a tensão de escoamento e na segunda coluna, a correspondente deformação plástica. Portanto, o endurecimento (hardening) foi obtido da curva tensão-deformação para 0 MPa de pressão de confinamento. A Figura 4.13 mostra como os dados foram obtidos da curva tensão-deformação, para cada tensão escoamento (linha verde), uma deformação plástica correspondente foi tomada da curva. Figura 4.13: Dados obtidos para calibração da lei endurecimento da lei de Drucker-Prager para o Mármore de Cartago. Na lei de Drucker-Prager está implementada um modelo de ruptura e dano progressivo, que permite especificar um ou mais critérios de inicio do dano (dúctil, cisalhamento e outros), porém, neste trabalho foi empregado apenas o critério dúctil. Depois do inicio do dano, a rigidez do material é reduzida progressivamente de acordo com a evolução de dano especificada. Neste modelo, os elementos que atingem o dano podem ser retirados ou mantidos na malha de

65 elementos finitos. Contudo, numa simulação de corte é necessário que os elementos sejam retirados da malha para simular o processo de raspagem de uma broca PDC. 65 Para definir o início do dano é utilizada a função (*Damage Initiation, criterion=ductile). O critério Ductile especifica o início do dano através de uma tabela de duas colunas, na primeira coluna é introduzida a deformação plástica equivalente e na segunda a tensão triaxial ( p / q ). Neste trabalho, a deformação plástica equivalente no início do dano foi obtida através da Figura 4.14 (c), e corresponde à deformação plástica ao atingir a tensão constante. Os valores de deformação plástica equivalente e tensão triaxial (-p/q) foram obtidas para as pressões de confinamento de 0, 3.44, 10, 34.3 e 40 MPa. (a) (b)

66 66 (c) Figura 4.14: Desenvolvimento da lei de Drucker-Prager. (a) Malha de elementos finitos para discretizar a amostra de rocha, (b) Gráfico p-q com as superfícies de plastificação experimental e ajustada pelo programa Abaqus e (c) Curvas tensão-deformação utilizadas para obter os valores de deformação plástica equivalente no início do dano. Assim, a lei de Drucker-Prager foi implementada nos arquivos de entrada do programa Abaqus utilizando os parâmetros obtidos do ensaio triaxial numérico (retroanálise). Nos modelos simulados não foi considerado o modelo de dano progressivo. A malha grossa de elementos finitos do modelo 2D, chamada de SC_2D1, é apresentada na Figura A ferramenta foi discretizada com 55 nós e 40 elementos do tipo CPE4R (quatro nós bilinear, integração reduzida e controle de hourglass) e a peça com 444 nós e 396 elementos CPE4R. Este modelo foi chamado de SC_2D1. Figura 4.15: Malha grossa de elementos finitos para os modelos SC_2D1_(0 e 10 MPa).

67 Na figura 4.16 é apresentada a malha de elementos finitos do modelo 2D com malha refinada, chamada de SC_2D3. A ferramenta foi discretizada com 55 nós e 40 elementos CPE4R e a peça com 1308 nós e 1188 elementos CPE4R. 67 Figura 3: Malha refinada de elementos finitos para os modelos SC_2D3_(0 e 10 MPa) Na tabela 4.5 é apresentado um resumo das principais características geométricas dos modelos 2D. Tabela 4.5: Dados da geometria dos modelos SC_2D. SC_2D(1-3)_(0-10) Profundidade de corte m Ângulo de Corte (Rake Angle) -15 Velocidade de corte 3 m/s Comprimento da amostra m Altura da amostra m De forma semelhante, os modelos 3D foram discretizados com duas malhas, grossa e refinada. O modelo de malha grossa é mostrado na Figura 4.17, sendo chamado de SC_Cir10. O modelo foi discretizado com 5289 nós e 4280 elementos, destes 3960 elementos são do tipo C3D8 (8-node linear brick) e 320 elementos são C3D6 (6-node linear triangular prism).

68 68 Figura 4.17: Malha grossa de elementos finitos utilizada nos modelos SC_Cir10_(0 10) MPa A malha refinada, mostrada na Figura 4.18, possui a mesma geometria do modelo anterior. O modelo foi discretizado com nós e 8240 elementos, destes 7920 elementos são do tipo C3D8 (8-node linear brick) e 320 elementos são C3D6 (6-node linear triangular prism). Este modelo foi chamado de SC_Cir11. Figura 4: Malha fina de elementos finitos utilizada nos modelos SC_Cir11_(0 10) MPa. Na tabela 4.6 é apresentado um resumo das principais características geométricas dos modelos 3D.

69 69 Tabela 4.6: Parâmetros da geometria dos modelos SC_Cir. SC_Cir(10-11)_(0-10) Profundidade de corte m Ângulo de Corte (Rake Angle) -15 Velocidade de corte 3 m/s Comprimento da amostra m Altura da amostra m Largura da amostra m Raio de Corte m Na tabela 4.7 é apresentado um resumo das características gerais dos modelos que foram executados para corte em rocha. Tabela 2.7: Principais características geométricas e parâmetros dos modelos 2D e 3D para o corte em rocha com pressão de confinamento de 0 e 10 MPa. Arquivo Tipo Geom. Dano Produtos Vx Vy Pc SC_2D1_0 Erode 2D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_2D1_10 Erode 2D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_2D3_0 Erode 2D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_2D3_10 Erode 2D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_Cir10_0 Erode 3D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_Cir10_10 Erode 3D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_Cir11_0 Erode 3D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m SC_Cir11_10 Erode 3D Progressivo (1E-18) Forças e MSE 3m/s 0.15m/s m *(V x e V y são as velocidades da ferramenta em X e Y respetivamente, P c é a profundidade de corte em m) Uma inovação nestes modelos foi a introdução do efeito da pressão de confinamento, portanto o mesmo modelo foi executado sob condições de pressão atmosférica e pressão de confinamento de 10 MPa. Os nomes de arquivos que terminam com 0 e 10 correspondem a pressão de confinamento de 0 e 10 MPa, respectivamente. Por exemplo, o nome do arquivo SC_2D1_0 termina em zero, portanto foi executada a pressão atmosférica, enquanto que o arquivo SC_2D1_10 termina em 10, portanto foi executada a pressão de confinamento de 10 MPa. A pressão de confinamento foi introduzida no modelo junto com o estado inicial de tensões, utilizando as funções do programa Abaqus *INITIAL CONDITIONS e *DSLOAD.

70 A pressão de confinamento e o estado inicial de tensões devem estar em equilíbrio. Portanto, são aplicados simultaneamente o estado de tensão utilizando a função *INITIAL CONDITIONS TYPE = STRESS e a pressão exercida pelo peso de lama de perfuração através da função *DSLOAD, aplicada em toda superfície da peça Forças e energia (MSE) nos modelos 2D (SC_2D1, SC_2D3) e 3D (SC_Cir10, SC_Cir11): As forças de corte e a MSE dos modelos 2D e 3D que utilizam a lei de plasticicdade de Drucker-Prager foram avaliadas para o volume total de material retirado da peça,. A motivação no desenvolvimento destes modelos foi avaliar o efeito da pressão de confinamento nas forças de corte e na MSE. Os resultados obtidos com estes modelos permitirão compreender e melhorar o processo de corte em rocha em condições atmosféricas e submetido à pressão de confinamento Forças, e MSE dos modelos 2D com dano Progressivo parâmetro 1E- 18 (SC_2D1_0, SC_2D1_10, SC_2D3_0, SC_2D3_10): Nestes modelos, a ferramenta (cortador) inicia o corte no topo da peça. A direção do movimento da ferramenta é horizontal e vertical até a metade do comprimento da peça, a partir deste ponto, o movimento é apenas horizontal. Nestes modelos de corte em rocha foi observado um comportamento de ruptura frágil, diferente do comportamento observado nos modelos de corte em metal, que apresentam uma ruptura dúctil. Na figura 4.19 são observados os diferentes estágios de avanço do cortador na peça, para o modelo SC_2D1_0, que utiliza a malha grossa e uma pressão de confinamento de 0 MPa,

71 71 Figura 4.19: Diferentes estágios do modelo 2D SC_2D1_0 com malha grossa e sem pressão de confinamento. Nas Figuras 4.20 (a) e (b) são plotadas as forças de corte na direção horizontal e vertical, respectivamente. (a)

72 72 Figura 5: Forças de corte sem pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. (b) Como é possível observar, as magnitudes das forças de corte apresentam grande variação ao longo da direção do deslocamento da ferramenta. As forças de corte na direção horizontal apresentaram valores maiores, quando comparadas com as verticais. Qualitativamente, a forma das curvas de força de corte são semelhantes aos apresentados nos trabalhos de Jaime et al. (2010) e Tulu et al. (2008). Com as forças de corte obtidas, foram calculadas as MSE geradas na direção horizontal e vertical. Estes valores foram somados para encontrar a MSE total, que corresponde a 1.15 MPa. Dos gráficos da Figura 4.20 é possível observar que as forças de corte chegam muitas vezes à zero. Este fato está relacionado à retirada dos elementos que atingiram o dano durante a simulação. Assim, na ausência dos elementos a frente do cortador, não há nenhuma força de resistência ao movimento do cortador, levando à zero a força de corte. Para reduzir este efeito, a malha de elementos finitos deveria ser discretizada com elementos com dimensões próximos aos grãos da rocha.

73 Na figura 4.21 são apresentados os diferentes estágios do processo de corte do modelo SC_2D1_10. Este modelo é idêntico ao anterior, porém foi aplicado uma pressão de confinamento de 10 MPa, 73 Figura 4.21: Diferentes estágios do modelo 2D SC_2D1_10 com malha grossa e pressão de confinamento de 10 MPa. Nas Figuras 4.22 (a) e (b) são plotadas as forças de corte na direção horizontal e vertical, respectivamente. A magnitude das forças de corte mostra um aumento devido ao efeito da pressão de confinamento, observada nas curvas de força na direção horizontal e vertical. Neste modelo a MSE total calculada foi de 2.25 MPa.

74 74 (a) Figura 6: Forças de corte com pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. (b) Na figura 4.23 são apresentados os diferentes estágios de corte do modelo SC_2D3_0 que foi discretizado com uma malha mais refinada, porém sem a aplicação da pressão de confinamento.

75 75 Figura 4.23: Diferentes estágios do modelo SC_2D3_0 com malha refinada e sem pressão de confinamento. Nas Figuras 4.24 (a) e (b) são plotadas as forças de corte na direção horizontal e vertical, respectivamente. Os gráficos de forças apresentam um maior número de picos de força, que resultam no aumento da área abaixo da curva e consequentemente elevação nos valores da MSE. Para este modelo a MSE total calculada foi de 2.31 MPa. (a)

76 76 Figura 7: Forças de corte sem pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. (b) Na figura 4.25 são apresentados os diferentes estágios de corte do modelo SC_2D3_10 que foi discretizado com uma malha mais refinada, além da aplicação da pressão de confinamento de 10 MPa. Figura 8: Diferentes estágios do modelo SC_2D3_10 com malha refinada e pressão de confinamento de 10 MPa.

77 77 Nas Figuras 4.26 (a) e (b) são plotadas as forças de corte na direção horizontal e vertical, respectivamente. Novamente, a magnitude das forças de corte mostra um aumento devido ao efeito da pressão de confinamento, observada nas curvas de forças na direção horizontal e vertical. Neste modelo a MSE total calculada foi de 3.27 MPa. (a) Figura 9: Forças de corte com pressão de confinamento na direção: (a) horizontal e (b) vertical. (b)

78 Comparação das forças e MSE dos modelos 2D com dano Progressivo parâmetro 1E-18 (SC_2D1_0, SC_2D1_10, SC_2D3_0, SC_2D3_10): Após obter os resultados das forças de corte nas direções horizontais e verticais, foi realizada uma comparação entre os diferentes modelos analisados previamente. Na figura 4.27 são comparados os resultados de força de corte horizontal de modelos com e sem pressão de confinamento, considerado a discretização de malha grossa SC_2D1. Figura 10: Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. Como foi verificado anteriormente, pode-se observar a mudança no comportamento da magnitude das forças de corte nos modelos devido ao efeito exercido pela pressão de confinamento. O modelo que tem pressão confinante diferente de zero apresenta maiores valores de força e consequentemente de MSE, como era esperado. Os mesmos efeitos são constatados nas forças de corte na direção vertical, a comparação é apresentada na Figura A MSE obtida em cada um destes modelos mostra o efeito da pressão de confinamento no mecanismo de corte. Como esperado, para maiores valores de

79 pressão de confinamento, o cortador precisa de maior energia para fazer o corte. O valor da MSE de cada um dos modelos simulados é mostrado na Figura Figura 4.28: Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento. Figura 4.29: Comparação da MSE dos modelos SC_2D1_0 (0 MPa) e SC_2D1_10 (10 MPa) para a malha grossa. O efeito do refinamento da malha de elementos finitos é mostrado na figura 4.30, onde são comparados os resultados de força de corte horizontal de modelos com e sem pressão de confinamento, para o modelo SC_2D3.

80 80 Figura 11: Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. No gráfico força x deslocamento da Figura 4.30 é encontrado uma maior densidade de picos de força, quando comparada com a Figura O efeito da pressão de confinamento também aparece claramente no gráfico. O mesmo comportamento é observado nas forças de corte na direção vertical, como mostra a Figura Na Figura 4.32 são apresentados os resultados de MSE para cada um dos modelos, com e sem pressão de confinamento. Figura 4.31: Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento.

81 81 Figura 12: Comparação da MSE dos modelos SC_2D1_0 (0 MPa) e SC_2D1_10 (10 MPa) malha refinada. Comparando os valores de MSE dos modelos de malha grossa e refinada na Figura 4.32, pode-se observar o efeito da discretização no maior valor de MSE. A malha mais refinada mais refinada apresentou maiores valores de MSE, quando comparados com os modelos que utilizaram a malha grossa. Contudo, malhas de elementos finitos mais refinadas elevam o tempo de processamento da análise. Assim, torna-se necessário a busca de uma discretização que combine resultados mais precisos com menor tempo computacional. Na figura 4.33, são mostrados as comparações das forças na direção horizontal para todos os modelos 2D e na figura 4.34 comparações de MSE, também para todos os modelos 2D. Na Figura 4.33 (b) foi aumentada a escala do gráfico para melhorar a visualização da Figura 4.33 (a).

82 82 (a) Figura 13: Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de (b) confinamento (a) escala original e (b) escala ampliada. Figura 4.34: Comparação da MSE dos modelos SC_2D1 (0 e 10 MPa malha grossa) e SC_2D3 (0 e 10 MPa malha refinada).

83 Os resultados da Figura 4.34 comprovam que os modelos implementados no programa Abaqus levam em consideração o efeito da discretização da malha de elementos finitos e o efeito da pressão de confinamento. Os modelos com malhas mais discretizadas e com pressões de confinamento aplicadas apresentaram maiores valores de MSE Forças e MSE dos modelos 3D com dano Progressivo parâmetro 1E- 18 (SC_Cir10_0, SC_Cir10_10, SC_Cir11_0, SC_Cir11_10): A lei de Drucker-Prager foi implementada também nos modelos 3D. Semelhante aos modelos 2D, foi adotado um esquema de dano imediato. O esquema de corte também é semelhante aos modelos anteriores, o início do corte ocorre no topo do modelo, posteriormente a ferramenta se desloca na horizontal e vertical até a metade do comprimento da peça, e a segunda metade da peça é percorrida com profundidade constante. Na figura 4.35 são observados os diferentes estágios de avanço do cortador no modelo SC_Cir10_0. O modelo utiliza uma malha grossa e não foi aplicado pressão de confinamento. Figura 14: Diferentes estágios do modelo 3D SC_Cir10_0 com malha grossa e pressão de confinamento de 0 MPa.

84 Nas Figuras 4.36 (a), (b) e (c) são plotadas as forças de corte na direção horizontal, na direção vertical e uma ampliação do gráfico das forças na direção vertical, respectivamente. 84 (a) (b) Figura 4.36: Força de corte na direção: (a) horizontal, (b) vertical e (c) ampliação do gráfico da força de corte na direção vertical. (c)

85 Nos modelos 3D, as forças de corte apresentam também forma semelhante aos encontrados nos trabalhos de Jaime et al. (2010) e Tulu et al. (2008). Neste modelo a MSE total calculada foi de 3.58 MPa. 85 Nos modelos 3D, as forças também chegam a zero frequentemente, como foi observado nos modelos 2D. Este fato está relacionado à retirada dos elementos que atingiram o dano. Assim, na ausência dos elementos a frente do cortador, não há nenhuma força de resistência ao movimento do cortador, levando à zero a força de corte. Quando o cortador alcança um novo elemento, a força de corte aumenta novamente. Assim, para manter a ferramenta de corte sempre em contato com um elemento, idealmente os elementos devem ter a dimensão dos grãos da rocha. Na figura 4.37 são observados os diferentes estágios de avanço do cortador no modelo SC_Cir10_10. O modelo utiliza uma malha grossa e sem pressão de confinamento. Figura 4.37: Diferentes estágios do modelo 3D SC_Cir10_10 com malha grossa e pressão de confinamento de 10 MPa.

86 Na figura 4.38 são apresentadas as forças obtidas no modelo SC_Cir10_10. Semelhante aos modelos 2D, a magnitude das forças de corte apresenta um acréscimo devido ao efeito da pressão de confinamento exercida na peça, observado nas forças de corte nas direções horizontal e vertical. 86 Como observado em todos os modelos executados nesta pesquisa, a magnitude das forças de corte na direção horizontal é superior às forças na direção vertical. (a) (b)

87 87 (c) Figura 15: Força de corte na direção: (a) horizontal, (b) vertical e (c) ampliação do gráfico da força de corte na direção vertical. Uma mudança abrupta na magnitude da força de corte na direção vertical foi observada na metade do comprimento da peça, onde a ferramenta deixa de deslocar na direção vertical e passa a cortar com profundidade constante. Neste modelo a MSE total calculada foi de 4.30 MPa. Na figura 4.39 são apresentados os diferentes estágios de corte do modelo SC_Cir11_0, que utiliza uma malha refinada e não há pressão de confinamento aplicado. Figura 16 Diferentes estágios do modelo SC_Cir11_0 com malha refinada e pressão de confinamento de 0 MPa.

88 As forças de corte obtidas no SC_Cir11_0 são apresentadas na Figura Semelhante aos modelos 2D, a malha mais refinada resulta em um número maior de picos de força, portanto uma maior discretização aumenta a área sob a curva e os valores de força de corte do modelo, fato que vai elevar o valor de MSE. Como verificado nos modelos anteriores, pode-se observar na metade da simulação a presença de forças de corte com maior magnitude. Para este modelo a MSE total calculada foi de 3.19 MPa. 88 (a) Figura 17: Força na direção: (a) horizontal e (b) vertical no modelo com malha refinada SC_Cir11_0 sem pressão de confinamento. (b)

89 Na figura 4.41 são apresentados os diferentes estágios de corte do modelo SC_Cir11_10, que utiliza uma malha refinada e uma pressão de confinamento de 10 MPa. 89 Figura 18: Diferentes estágios do modelo SC_Cir11_10 com malha refinada e pressão de confinamento de 10 MPa. As forças obtidas na simulação da geometria SC_Cir11_10 são apresentadas na Figura 4.42.

90 90 (a) Figura 19 Força na direção: (a) horizontal e (b) vertical no modelo com malha refinada SC_Cir11_0 com pressão de confinamento de 10 MPa. (b) Nestes gráficos, é observado o aumento na magnitude da força de corte, quando comparado com o modelo que não tem pressão de confinamento aplicada, porém com a mesma geometria. Para este modelo a MSE total calculada foi de 3.60 MPa Comparação das forças e MSE dos modelos 3D com dano Progressivo parâmetro 1E-18 (SC_Cir10_0, SC_Cir10_10, SC_Cir11_0, SC_Cir11_10) Após obter os resultados das forças de corte nas direções horizontais e verticais, foi realizada uma comparação entre os diferentes modelos analisados previamente. Na Figura 4.43 é apresentada a comparação das forças de corte do modelo SC_Cir10 na direção horizontal com a malha grossa.

91 91 Figura 20: Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. Os resultados da Figura 4.43 mostram a mudança no comportamento e na magnitude das forças de corte dos modelos devido ao efeito exercido pela pressão confinamento. O modelo com pressão de confinamento diferente de zero apresenta maiores valores de força de corte e consequentemente de MSE, como era esperado. Os mesmos efeitos são observados nas forças de corte na direção vertical, comparação apresentada na figura A MSE obtida de cada um destes modelos é apresentada na Figura (a)

92 92 Figura 21 Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de (b) confinamento (a) escala original e (b) escala ampliada. Figura 22: Comparação de MSE dos modelos SC_Cir10_0 (0 MPa) e SC_Cir10_10 (10 MPa) malha grossa. Semelhante aos modelos anteriores, a MSE do modelo com pressão de confinamento é maior, quando comparada ao modelo sob condições atmosféricas.

93 Os resultados de força de corte horizontal do modelo discretizado com a malha refinada são mostrados na figura 156, onde são comparados os resultados de força de corte horizontal de modelos com e sem pressão de confinamento, para o modelo SC_Cir Figura 23: Comparação das forças de corte horizontal para modelos com e sem pressão de confinamento. Embora a Figura 4.46 apresente uma maior quantidade de picos nas forças de corte, a magnitude delas apresenta uma queda, quando comparado com as forças de corte dos modelos de malha grossa. O mesmo comportamento foi observado nas forças de corte na direção vertical, como mostra a Figura A Figura 4.48 apresenta os resultados de MSE nos modelos de malha refinada.

94 94 (a) Figura 24: Comparação das forças de corte vertical para modelos com e sem pressão de confinamento (a) escala original e (b) escala ampliada. (b) Figura 25 Comparação da MSE dos modelos SC_Cir11_0 (0 MPa) e SC_Cir11_10 (10 MPa) malha refinada. Observando os gráficos de MSE dos modelos de malha grossa e refinada, o efeito da discretização nestes modelos é contraditório, esperavam-se maiores valores de força e de MSE para os modelos mais discretizados (como ocorrido nos modelos 2D), porém foi observado uma queda nos valores de MSE e da força de

95 corte. Na Figura 4.49 (a) e (b) é apresentada uma comparação gráfica das forças na direção horizontal de todos os modelos 3D e na Figura 4.50 de MSE. 95 (a) Figura 26: Comparação das forças na direção horizontal dos modelos SC_Cir10 (0 e 10 MPa) e SC_Cir11 (0 e 10 MPa). (b)

96 96 Figura 27: Comparação de MSE dos modelos SC_Cir10 (0 e 10 MPa) e SC_Cir11 (0 e 10 MPa).