PALAVRAS-CHAVE: Futebol; inferência bayesiana; previsão; regressão de Poisson;

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1 UMA ABORDAGEM BAYESIANA PARA PREVISÃO DE RESULTADOS DE JOGOS DE FUTEBOL: UMA APLICAÇÃO AO CAMPEONATO INGLÊS Ciro Alexandre Olivieri FILHO 1 Adriano Kamimura SUZUKI 1 Francisco LOUZADA 1 Erlandson Ferreira SARAIVA 2 Luis Ernesto Bueno SALASAR 3 RESUMO: Previsões de resultados de jogos de futebol são de grande interesse por parte dos torcedores e imprensa, e têm sido o foco de várias pesquisas encontradas na literatura. Neste artigo, sob uma abordagem bayesiana, realizamos uma aplicação do modelo de regressão Poisson para prever os resultados do Campeonato Inglês de Assumimos que os números de gols marcados pelos times em uma partida são independentes e seguem uma distribuição Poisson, em que a média reflete a força do ataque, defesa e casa. Antes do início de cada rodada do returno, calculamos as probabilidades de vitória, empate e derrota dos times em cada uma das partidas e, por meio de um procedimento de simulação, obtivemos a probabilidade de um determinado time se classificar para a UEFA Champions League, sagrar-se campeão ou, também, de ser rebaixado. Todas as implementações computacionais foram realizadas utilizando os sistemas WinBUGS e R, por meio do pacote R2WinBUGS. PALAVRAS-CHAVE: Futebol; inferência bayesiana; previsão; regressão de Poisson; simulação. 1 Universidade de São Paulo - USP, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, CEP: , São Carlos, São Paulo, Brasil. cirodesc@gmail.com; suzuki@icmc.usp.br; louzada@icmc.usp.br 2 Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS, Instituto de Matemática, CEP: , Campo Grande, Mato Grosso do Sul, Brasil. erlandson.saraiva@ufms.br 3 Universidade Federal de São Carlos - UFSCar, Departamento de Estatística, Rod. Washington Luiz, km 235, CEP: , São Carlos, São Paulo, Brasil. luis.salasar@gmail.com 76 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

2 1 Introdução O futebol é um esporte coletivo cuja paixão de muitos o torna o esporte mais popular do mundo. Em um determinado campeonato, nem sempre podemos credenciar o melhor time como sendo o vencedor de uma partida ou do torneio, por isso esta emoção é passada para os jogadores e, principalmente, para os torcedores. Na literatura, poucos são os artigos que dizem respeito às previsões de placares da Copa do Mundo, tais como Dyte & Clarke (2000); Suzuki et al. (2009); Bastos & da Rosa (2013). O trabalho de Dyte & Clarke (2000) propôs um modelo de regressão de Poisson log-linear que considera o ranking da FIFA como covariável. Uma abordagem bayesiana para predizer os resultados das partidas, utilizando a opinião dos especialistas e o ranking da FIFA como informações a priori, foi proposta por Suzuki et al. (2009). Já Bastos & da Rosa (2013) apresentam uma metodologia bayesiana do modelo Poisson-Gama para a previsão dos jogos da Copa do Mundo de No entanto, vários são os artigos direcionados para a previsão de resultados de jogos de futebol aplicados às ligas nacionais. O modelo de Poisson foi utilizado por Keller (1994) para modelar os números de gols marcados por Inglaterra, Irlanda, Escócia e País de Gales no Campeonato Internacional Britânico ( ) e por Louzada et al. (2014) para realizar previsões dos jogos do Campeonato Inglês de Já Karlis & Ntzoufras (2009) modelam a diferença de gols entre as equipes mandante e visitante considerando a distribuição de Skellam. Em geral, os times mandantes possuem uma taxa de vitória maior que a dos times visitantes (ver Pollard (1986) e Clarke & Norman (1995)). Na literatura, encontramos alguns trabalhos que levam em consideração na modelagem a vantagem de se jogar em casa, denominada efeito casa, ou fator casa. Por exemplo, o trabalho de Lee (1997) modela o número de gols por meio da distribuição de Poisson, em que a média de gols reflete o potencial ofensivo da equipe mandante, a capacidade defensiva da equipe visitante e o possível efeito do fator casa. Tomando outra abordagem, as probabilidades de vitória, empate e derrota dos jogos do Campeonato Brasileiro da série A de 2006 são obtidas diretamente por Brillinger (2008), que considera um modelo de regressão trinomial. Neste artigo, sob uma abordagem bayesiana, realizamos uma aplicação do modelo de regressão Poisson para prever os resultados do Campeonato Inglês de O campeonato da primeira divisão do futebol inglês, também conhecido por Premier League ou simplesmente Campeonato Inglês, é a principal competição de futebol do país. O Campeonato Inglês de foi disputado por 20 times no sistema de pontos corridos, atribuindo-se 3 pontos para cada vitória, 1 ponto para um empate e nenhum ponto para uma derrota. No final, o time que somar o maior número de pontos se consagra campeão, garantindo, automaticamente também, vaga para a Liga dos Campeões da UEFA, juntamente com o segundo e terceiro colocados. Já o quarto colocado disputa a fase eliminatória da Liga dos Campeões da UEFA, o quinto colocado tem vaga para a Liga Europa da UEFA e os três piores times são rebaixados para disputar a segunda divisão do futebol inglês. Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

3 Na modelagem, assumimos que os números de gols marcados pelos times em uma partida são independentes e seguem uma distribuição Poisson, em que a média reflete a força do ataque, da defesa e da casa. Antes do início de cada rodada do returno, calculamos as probabilidades de vitória, empate e derrota dos times em cada uma das partidas e, por meio de um procedimento de simulação, obtemos a probabilidade de um determinado time se classificar para a Liga dos Campeões da UEFA, sagrar-se campeão, bem como de ser rebaixado para a segunda divisão. Como nosso conjunto de dados, utilizamos os resultados do primeiro turno do Campeonato Inglês (as 190 primeiras partidas das 19 primeiras rodadas disputadas) para realizarmos as previsões do returno (os 190 jogos restantes referentes às rodadas 20 a 38). As primeiras 19 rodadas foram escolhidas como conjunto de treinamento pelo fato de ter observado uma partida de cada equipe contra os demais adversários. O restante do artigo está organizado da seguinte maneira. Na Seção 2, apresentamos o modelo de regressão Poisson. Na Seção 3, mostramos as expressões utilizadas para calcular a previsão do resultado de uma determinada partida. Na Seção 4, apresentamos a aplicação do modelo na previsão de resultados dos jogos do campeonato Ingês de Finalizamos o artigo com as consideração finais na Seção 5. 2 Modelo Considere um campeonato de futebol com n+1 times. Cada time joga 2n vezes, sendo n vezes em casa e n vezes fora. O número total de jogos do campeonato é N = n(n + 1). Por cada resultado: vitória, empate e derrota, cada time recebe 3, 1 e 0 pontos, respectivamente. Ao final dos N jogos, o time que possui a maior quantidade de pontos é declarado campeão. Considere X mi e X vi o número de gols marcados, respectivamente, pelo time mandante e visitante no i-ésimo jogo, para i = 1,..., n. Assuma que, X mi P oisson(λ mi ) e X vi P oisson(λ vi ) com o número esperado de gols sendo dado pelo seguinte modelo de regressão: log(λ mi ) = µ + α c + α am + α dv e log(λ vi ) = µ + α av + α dm, (1) em que µ é um parâmetro que representa o número médio de gols em uma partida, α c é um parâmetro referente ao efeito casa, (α am, α dm ) e (α av, α dv ) são os parâmetros referentes à força de ataque e qualidade da defesa do time mandante e visitante, respectivamente, para i = 1,..., n. Note que, neste modelo, assumimos que um time com boa defesa apresenta α dt negativo, t = m, v; pois isto diminui o valor do número esperado de gols do time adversário. Assim, definindo n r como sendo o número de jogos realizados pelos times m e v até a r-ésima rodada do campeonato e x t = (x t1,..., x tnr ) o vetor contendo 78 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

4 o número de gols marcado pelo time t, t = m, v, em que, x ti é o número de gols marcado no i-ésimo jogo, então a função log-verossimilhança é dada por: l(α m, α d x m, x v ) n r t {m,v} i=1 [x ti log(λ ti ) λ ti ] para i = 1,..., n r, em que, log(λ ti ) é dado em (1), α m = (µ, α c, α am, α dv ) e α v = (µ, α av, α dm ) são os parâmetros associados ao número esperado de gols dos times mandate e visitante, respectivamente. Para evitar o problema de identificabilidade, é necessário impor algumas restrições sobre os parâmetros de ataque e defesa do modelo da seguinte forma (ver, por exemplos, Baio and Blangiardo (2010) e Karlis & Ntzoufras (2003)): n+1 m=1 α am = 0 e n+1 m=1 α dm = 0, (2) i.e., a soma dos efeitos de ataque e defesa de todos os n + 1 times é igual a zero. Para a análise bayesiana, assumimos que as distribuições a priori para α m e α v são multuamente independentes, i.e., π(α m, α v ) = π(α m )π(α v ), e que π(α m ) = π(µ)π(α c )π(α am )π(α dv ) e π(α v ) = π(µ)π(α av )π(α dm ). Consideramos as seguintes distribuições a priori, µ N (0, g 2 ), α c N (0, g 2 ), α at N (0, g 2 ) e α dt N (0, g 2 ), para t = m, v, em que N (0, g 2 ) denota a distribuição Normal com média zero e variância g 2. Fixamos o hiperparâmetro g 2 igual a 100 para obtermos uma distribuição a priori não informativa. Um estudo de sensibilidade foi realizado escolhendo-se outros valores para este hiperparâmetro e foram observadas estimativas a posteriori muito próximas. Como a distribuição a posteriori conjunta para os parâmetros de interesse não possuem forma fechada conhecida, estimamos os parâmetros via métodos de Monte Carlo em Cadeias de Markov (MCMC). Todas as implementações computacionais foram realizadas utilizando os sistemas WinBUGS (Spiegelhalter et al., 2003) e R (R CORE TEAM, 2016), considerando o pacote R2WinBUGS (Gelman et al., 2006). Sejam α m = ( µ, α c, α am, α dv ) e α v = ( µ, α am, α dm ) as estimativas de α m e α v, respectivamente. Estas estimativas são dadas pelas médias dos valores MCMC gerados. Condicional α m e α v, calculamos as probabilidades de vitória, empate e derrota para cada time na próxima rodada do campeonato. 3 Métodos Nesta seção, mostramos as expressões utilizadas para calcular a previsão de uma determinada partida. Além disso, descrevemos o procedimento de simulação para calcular as diversas probabilidades de interesses, tais como: de campeão, de rebaixamento e de classificações para as competições europeias. Analogamente a Suzuki et al. (2009) e Bastos & da Rosa (2013), utilizamos duas métricas para comparação das qualidades das previsões: a medida de Finetti (de Finetti, 1972)e o número de acertos. Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

5 3.1 Previsão para o resultado de uma partida Em uma partida de futebol, é declarado vencedor a equipe que marcar mais gols. O empate ocorre se as equipes não marcam gols ou marcam o mesmo número de gols. A probabilidade de vitória (P V ), empate (P E ) e derrota (P D ) para o time mandante m contra o time visitante v, no i-ésimo jogo do campeonato, é obtida utilizando as expressões: P V = P (X mi > X vi α m, α v ) = P E = P (X mi = X vi α m, α v ) = P D = P (X mi < X vi α m, α v ) = g 1 P (X mi = g α m )P (X vi = u α v ); (3) g=1 u=0 P (X mi = g α m )P (X vi = g α v ); (4) g=0 u 1 P (X mi = g α m )P (X sj = u α v ). (5) u=1 g=0 3.2 Previsão para Classificação Final do Campeonato Antes de cada uma das rodadas do segundo turno (rodadas 20 a 38), a previsão para a classificação final foi predita utilizando o seguinte algoritmo. Algoritmo. Seja T t o número de pontos de um time t ao final da primeira fase do campeonato, para t = 1,..., n + 1. (i) Para o i-ésimo jogo da segunda fase do campeonato, i = (n(n + 1)/2) + 1,..., N, faça: (a) Obtenhas as estimativas ( α m, α v ); (b) Gere X mi P oisson(λ mi ) e X vi P oisson(λ vi ), onde λ mi e λ vi são dados em (1); (c) Se X mi > X vi, faça T m = T m + 3 e T v = T v ; se X mi = X vi, faça T m = T m + 1 e T v = T v + 1; se X mi < X vi, faça T m = T m e T v = T v + 3; (d) Terminado todos os jogos da segunda fase, um time A é declarado campeão se T a = max 1 t n T t. (ii) Repita o passo (i), l vezes, for l = 1,..., L. campeonatos. Isto é, simulamos L Fixamos L = A partir daí, podemos obter a estimativa da probabilidade de um determinado time ser campeão e de ser rebaixado da seguinte forma: P campeão = #(time terminou em primeiro lugar) L (6) 80 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

6 e #(time terminou entre os 4 últimos colocados) P rebaixamento =, (7) L em que, # refere-se ao número de vezes obtidos nos L campeonatos simulados. 3.3 Qualidade das Previsões Uma métrica para a verificação da qualidade das previsões dos resultados de uma partida de futebol é a medida de Finetti (de Finetti, 1972), ver por exemplo Suzuki et al. (2009); Bastos & da Rosa (2013) e Louzada et al. (2014). Esta medida consiste na consideração de um simplex contido em R 3 como representação geométrica do conjunto das possíveis previsões probabilísticas. Assim, os vértices desse simplex correspondem às ocorrências dos resultados e os demais pontos a todas as outras possíveis previsões. Formalmente, S = {(P V, P E, P D ) R 3 : P V + P E + P D = 1, P V 0, P E 0, P D 0}, em que, P V denota a probabilidade de vitória do time mandante, P E a probabilidade de empate e P D a probabilidade de derrota do time mandante. A medida de distância de Finetti corresponde ao quadrado da distância euclidiana entre o ponto correspondente da probabilidade prevista e o vértice correspondente ao resultado efetivamente observado. Para mais de uma previsão, pode-se construir um índice dado pela média aritmética das distâncias de Finetti chamado Medida de Finetti. Na aplicação no futebol, associam-se os vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) à vitória da equipe mandante, ao empate e à derrota da equipe mandante, respectivamente. Ao vetor de probabilidades atribuídas para uma determinada partida, associa-se o ponto (P V, P E, P D ) S. Assim, a distância de Finetti é: (P V 1) 2 + (P E 0) 2 + (P D 0) 2 se a equipe mandante vencer a partida; (P V 0) 2 + (P E 1) 2 + (P D 0) 2 se a partida terminar empatada; (P V 0) 2 + (P E 0) 2 + (P D 1) 2 se a equipe mandante perder a partida. Por exemplo, se a previsão for (0, 2, 0, 65, 0, 15) e o resultado observado é um empate (0, 1, 0), então a distância de Finetti é (0, 2 0) 2 +(0, 65 1) 2 +(0, 15 0) 2 = 0, 185. Em termos de previsão, temos que um padrão comumente utilizado é o da atribuição equiprovável de probabilidades (P V = P E = P D = 1/3), que, em outras palavras, atribui chances iguais a cada resultado em cada jogo. Para essa atribuição, a medida de Finetti é igual a (1/3 1) 2 + (1/3 0) 2 + (1/3 0) 2 = 2/3. Assim, podemos considerar métodos de previsões de qualidade minimamente aceitáveis aqueles que apresentam medidas de Finetti menores que 2/3 e de má-qualidade maiores que 2/3. Com relação à quantidade de número de acertos, consideramos que a previsão acerta o resultado de um determinado jogo quando o evento com maior probabilidade estimada é observado. Por exemplo, se em um determinado jogo o time mandante vencer e a probabilidade estimada para a vitória do time mandante Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

7 for maior que as probabilidades de empate e derrota, consideramos um acerto para esta previsão, caso contrário, um erro. O mesmo vale para a ocorrência de empate e vitória do time visitante. No entanto, vale ressaltar que não é correto associar a eventos com alta probabilidade uma certeza de ocorrência ou a eventos com baixa probabilidade uma certeza de não ocorrência. Aqui, o objetivo não é afirmar que uma dada previsão é correta ou não mas, sim, construir uma métrica para o conjunto das previsões. 4 Resultados Nesta seção, apresentamos os resultados obtidos da aplicação no Campeonato Inglês de Inicialmente, realizamos uma breve análise exploratória dos resultados dos jogos. Em seguida, são apresentados tanto os resultados para as previsões das partidas de uma determinada rodada, quanto para o campeonato inteiro. Para as previsões das partidas de uma rodada, utilizamos os resultados dos jogos obtidos até a rodada anterior. Assim, para prever a rodada 31, por exemplo, foram usados os resultados dos jogos pertencentes às rodadas anteriores à rodada 31. Também, antes de cada rodada do returno (2 o Turno), foram simulados campeonatos para obter as probabilidades de cada time ocupar uma determinada posição. 4.1 Análise descritiva Nesta seção, realizamos uma análise descritiva dos dados do Campeonato Inglês da temporada 2012/2013. A Tabela 1 indica o número de jogos, postos entre parênteses, que cada equipe fez como mandante e visitante e o número de gols marcados, considerando os jogos das 19 primeiras rodadas (1 o Turno), os 19 jogos do returno (2 o Turno) além de considerar também todas as 38 rodadas (Geral). Como podemos observar, o Arsenal teve o melhor ataque como mandante (47 gols) enquanto que o Manchester United foi o melhor do campeonato (86 gols), além de ser o time que mais fez gols como visitante (41 gols). A Tabela 2 refere-se ao total de todos os placares que ocorreram ao longo do campeonato, em que GMM significa os gols marcados pelas equipes mandantes e GMV os gols marcados pelas equipes visitantes. Pode-se notar que os resultados que aconteceram com maior frequência foram empate por 1x1 e vitórias dos mandantes pelos placares de 1x0 e 2x1. A soma dos valores de cada coluna da Tabela 2 da o número de jogos que o time mandante marcou x m gols, x m {1, 2, 3, 4+}. Por exemplo, a soma dos valores da segunda coluna da 120; ou seja, em 120 jogos o time mandante marcou 2 gols. De forma análoga, a soma dos valores de cada linha da o número de jogos que o time visitante marcou x v gols, x v {1, 2, 3, 4+}. Por exemplo, somando os valores da terceira linha obtemos o valor 37; ou seja, em 37 jogos o time visitante marcou 3 gols. A diagonal principal desta Tabela da o número de jogos que terminou em empate. O total de empates é 109 (28.68%). A soma dos valores das diagonais superior e inferior dão as quantidades de jogos vencidos pelos times mandantes e 82 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

8 visitantes, respectivamente. O total de vitórias dos times mandantes foram 166 (43.68%) e dos times visitantes foram 105 (27.64%). Tabela 1 - Número de gols marcados pelos times no campeonato 1 o Turno 2 o Turno Geral Times (Mandante) Gols (Visitante) Gols (Mandante) Gols (Visitante) Gols (Mandante) Gols (Visitante) Gols Arsenal (9) 23 (10) 14 (10) 24 (9) 11 (19) 47 (19) 25 Aston Villa (9) 8 (10) 7 (10) 15 (9) 17 (19) 23 (19) 24 Chelsea (10) 24 (9) 15 (9) 17 (10) 19 (19) 41 (19) 34 Everton (9) 16 (10) 16 (10) 17 (9) 8 (19) 33 (19) 22 Fulham (9) 16 (10) 13 (10) 12 (9) 9 (19) 28 (19) 22 Liverpool (10) 14 (9) 14 (9) 19 (10) 24 (19) 33 (19) 38 Manchester City (10) 22 (9) 12 (9) 19 (10) 13 (19) 41 (19) 25 Manchester United (9) 26 (10) 22 (10) 19 (9) 19 (19) 45 (19) 41 NewCastle United (10) 12 (9) 11 (9) 12 (10) 10 (19) 24 (19) 21 Norwich City (9) 10 (10) 10 (10) 15 (9) 6 (19) 25 (19) 16 Queens Park Rangers (9) 8 (10) 8 (10) 5 (9) 9 (19) 13 (19) 17 Reading (9) 14 (10) 7 (10) 9 (9) 10 (19) 23 (19) 20 Southampton (10) 14 (9) 11 (9) 12 (10) 12 (19) 26 (19) 23 Stoke City (9) 11 (10) 7 (10) 10 (9) 6 (19) 21 (19) 13 Sunderland (9) 10 (10) 10 (10) 10 (9) 11 (19) 20 (19) 21 Swansea City (10) 17 (9) 10 (9) 11 (10) 9 (19) 28 (19) 19 Tottenham Hotspur (10) 14 (9) 20 (9) 15 (10) 17 (19) 29 (19) 37 West Bromwich Albion (10) 16 (9) 12 (9) 16 (10) 9 (19) 32 (19) 21 West Ham United (10) 17 (9) 6 (9) 17 (10) 5 (19) 34 (19) 11 Wigan (10) 14 (9) 6 (9) 12 (10) 15 (19) 26 (19) 21 Tabela 2 - Total de placares do campeonato GMV GMM Total Total Previsão para o resultado de uma partida Calculamos as probabilidades de vitória, empate e derrota (ver Subseção 3.1) das partidas de todas as rodadas do segundo turno, ou seja, antes de cada uma das 19 rodadas restantes (rodadas 20 a 38). A medida de Finetti (de Finetti, 1972) associada a essas previsões é igual a 0,595. Para obtenção das estimativas consideramos iterações das quais as primeiras iterações foram descartadas como burn in. Após o burn in selecionamos um valor a cada 20 (salto = 20) para inferência. Dessa forma, obtemos uma amostra de tamanho 2.000, sobre a qual a inferência a posteriori foi feita. Na Tabela 3, apresentamos a previsão para cada uma das partidas da rodada 31 juntamente com o placar observado, a medida de Finetti e se ocorreu acerto. Podemos observar que as probabilidades de vitória são maiores quando o time é mandante e, caso o time possua um ataque forte, como é o caso do Arsenal, a sua Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

9 probabilidade de ganhar a partida aumenta e, neste caso, é de 0, 566. Isso pode ser considerado uma grande diferença, pois enfrentando um time mais fraco como o Reading, este tem apenas 0, 217 de probabilidade de vitória. O resultado observado neste jogo foi a vitória do time mandante. A proporção de predição correta para esta rodada é de 80%. Tabela 3 - Probabilidades de resultados, medida de Finetti para rodada 31 Probabilidades Mandante Visitante Vitória Empate Derrota Placar de Finetti Acerto Arsenal Reading 0,566 0,217 0, ,282 Sim Aston Liverpool 0,303 0,257 0, ,473 Sim Everton Stoke 0,636 0,203 0, ,200 Sim Fulham Queens Park Rangers 0,433 0,260 0, ,483 Sim Manchester City Newcastle 0,570 0,239 0, ,278 Sim Southampton Chelsea 0,383 0,262 0, ,575 Sim Sunderland Manchester United 0,457 0,240 0, ,752 Não Swansea Tottenham 0,397 0,219 0, ,585 Não WestHam WestBrom 0,538 0,224 0, ,320 Sim Wigan Norwich 0,511 0,249 0, ,359 Sim No Apêndice A, apresentamos, como ilustração, as estimativas dos parâmetros de interesse e os gráficos das autocorrelações estimadas para o melhor time do campeonato (Manchester United) e seu adversário nas rodadas 20 e Previsão para Classificação Final do Campeonato Para obter as outras previsões de interesses, tais como a probabilidade de ser campeão e a probabilidade de ser rebaixado, realizamos uma simulação do campeonato inteiro. Na Tabela 4, apresentamos as probabilidades de cada uma das sete melhores equipes de se tornarem campeãs da competição antes de cada rodada do segundo turno. Observamos, com exceção da rodada 21, um amplo favoritismo do Manchester United. Na Tabela 5, apresentamos as probabilidades de conquista de uma vaga para a competição europeia de cada uma das sete melhores equipes. Observamos que os times Manchester United e Manchester City conquistaram suas vagas antecipadas para a disputa da Liga dos Campeões da UEFA. As outras duas vagas foram disputadas entre três equipes de Londres: Arsenal, Chelsea e Tottenham, e apenas na última rodada as vagas foram preenchidas pelos times que tinham maiores probabilidades, que foram o Arsenal e o Chelsea. O Tottenham acabou conquistando a vaga para a Liga Europa da UEFA, juntamente com a equipe do Swansea (vaga conquistada como campeão da Copa da Liga Inglesa ). Na Tabela 6, apresentamos as probabilidades de rebaixamento das oito piores equipes. Neste campeonato, ao término da trigésima oitava rodada, os últimos três colocados caem para a segunda divisão. As equipes rebaixadas foram o Wigan, Reading e Queens Park Rangers, que, a partir da rodada 33, eram os times com maiores probabilidades descenso. A Figura 1 apresenta o diagrama em caixa da pontuação final das equipes antes da rodada 32. Por meio das simulações realizadas, podemos observar a dispersão 84 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

10 Tabela 4 - Probabilidade de conquista do título para cada uma das sete melhores equipes do campeonato Rodada Manchester United Manchester City Chelsea Arsenal Tottenham Everton Liverpool 20 0,429 0,208 0,012 0,006 0,087 0,172 0, ,134 0,516 0,161 0,109 0,005 0,001 0, ,848 0,053 0,002 0,028 0,051 0,002 0, ,561 0,382 0,024 0,001 0,023 0,003 0, ,851 0,141 0,002 0,001 0,001 0,003 0, ,581 0,414 0,004 0,000 0,000 0,001 0, ,958 0,038 0,002 0,000 0,000 0,002 0, ,906 0,089 0,002 0,000 0,002 0,000 0, ,863 0,111 0,014 0,000 0,012 0,000 0, ,903 0,094 0,000 0,000 0,003 0,000 0, ,969 0,030 0,001 0,000 0,000 0,000 0, ,964 0,033 0,003 0,000 0,000 0,000 0, ,998 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0, ,979 0,021 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,997 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Tabela 5 - Probabilidade de conquista de uma vaga para competições europeias para cada uma das sete melhores equipes do campeonato Rodada Manchester United Manchester City Chelsea Arsenal Tottenham Everton Liverpool 20 0,883 0,736 0,162 0,074 0,520 0,689 0, ,733 0,920 0,704 0,638 0,132 0,010 0, ,997 0,681 0,125 0,527 0,701 0,143 0, ,987 0,969 0,589 0,135 0,589 0,118 0, ,999 0,970 0,348 0,278 0,410 0,620 0, ,000 0,998 0,622 0,435 0,304 0,338 0, ,000 0,945 0,728 0,214 0,306 0,644 0, ,000 0,964 0,571 0,475 0,466 0,078 0, ,000 0,983 0,879 0,207 0,842 0,031 0, ,000 0,998 0,809 0,101 0,945 0,098 0, ,000 0,975 0,935 0,186 0,842 0,037 0, ,000 0,996 0,979 0,259 0,632 0,091 0, ,000 0,993 0,805 0,555 0,504 0,071 0, ,000 1,000 0,804 0,473 0,630 0,093 0, ,000 1,000 0,772 0,508 0,587 0,130 0, ,000 1,000 0,796 0,927 0,269 0,008 0, ,000 1,000 0,926 0,642 0,380 0,052 0, ,000 1,000 0,896 0,770 0,334 0,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,000 0,000 0,000 dos pontos, as maiores e as menores pontuações. Claramente, a pontuação do Manchester United sobressai em relação às demais equipes. A Tabela 7 mostra as probabilidades de cada uma das equipes participantes do campeonato terminarem em cada uma das vinte possíveis posições, segundo as simulações de seus desempenhos até o final do campeonato, considerando as estimativas dos parâmetros utilizando os dados até a trigésima rodada. Também são apresentadas a média e o desvio padrão (DP) das posições de cada um dos Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

11 Tabela 6 - Probabilidade de rebaixamento para cada uma das oito piores equipes do campeonato Rodada Stoke Southampton Aston Newcastle Sunderland Wigan Reading Queens Park Rangers 20 0,008 0,611 0,115 0,211 0,044 0,083 0,788 0, ,130 0,147 0,459 0,031 0,011 0,080 0,322 0, ,000 0,179 0,334 0,344 0,138 0,795 0,206 0, ,010 0,171 0,547 0,106 0,052 0,530 0,477 0, ,063 0,083 0,742 0,197 0,001 0,299 0,378 0, ,011 0,020 0,504 0,144 0,062 0,471 0,809 0, ,135 0,101 0,702 0,089 0,000 0,813 0,311 0, ,000 0,164 0,547 0,054 0,078 0,814 0,249 0, ,000 0,061 0,306 0,144 0,327 0,241 0,805 0, ,012 0,255 0,474 0,029 0,029 0,391 0,831 0, ,073 0,062 0,321 0,009 0,113 0,839 0,929 0, ,011 0,304 0,134 0,105 0,117 0,445 0,864 0, ,045 0,124 0,336 0,072 0,199 0,225 0,911 0, ,056 0,036 0,221 0,052 0,245 0,414 0,996 0, ,059 0,009 0,104 0,029 0,058 0,714 0,987 0, ,006 0,001 0,183 0,015 0,005 0,782 1,000 0, ,001 0,000 0,107 0,015 0,023 0,825 1,000 1, ,000 0,004 0,003 0,138 0,035 0,777 1,000 1, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1,000 1,000 Figura 1 - Diagrama em caixa da pontuação final das equipes antes da rodada 32. vinte times para os 1000 campeonatos simulados. Observamos que, nesta rodada, a probabilidade do Manchester United se tornar campeão é de 0, 947, e do Manchester City de ser vice-campeão é de 0, Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

12 Tabela 7 - Probabilidade de cada equipe terminar em cada uma das 20 posições Equipe Média DP Manchester United 1,053 0,224 0,947 0,053 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Manchester City 2,068 0,460 0,053 0,845 0,085 0,015 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Chelsea 3,498 0,927 0,000 0,072 0,550 0,223 0,122 0,029 0,004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Arsenal 4,700 1,024 0,000 0,005 0,111 0,302 0,390 0,152 0,033 0,007 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Tottenham 4,278 1,104 0,000 0,025 0,226 0,366 0,246 0,106 0,028 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Everton 6,098 1,112 0,000 0,000 0,017 0,073 0,161 0,374 0,305 0,059 0,011 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Liverpool 6,628 1,069 0,000 0,000 0,011 0,021 0,077 0,303 0,439 0,117 0,024 0,005 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 West Brom 8,852 1,194 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,031 0,143 0,485 0,201 0,081 0,036 0,016 0,003 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Swansea 10,244 1,737 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,019 0,116 0,239 0,245 0,172 0,103 0,053 0,028 0,018 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 West Ham 11,299 1,797 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,032 0,121 0,202 0,221 0,180 0,130 0,055 0,038 0,014 0,004 0,000 0,000 0,000 Norwich 13,323 2,048 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,023 0,054 0,125 0,151 0,180 0,167 0,139 0,100 0,043 0,013 0,002 0,000 Fulham 9,716 1,483 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,024 0,161 0,319 0,235 0,141 0,070 0,028 0,012 0,004 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 Stoke 13,436 2,073 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,021 0,061 0,088 0,168 0,154 0,188 0,152 0,094 0,054 0,008 0,007 0,000 Southampton 12,925 2,089 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,012 0,035 0,083 0,126 0,158 0,196 0,157 0,117 0,072 0,034 0,008 0,000 0,001 Aston Villa 17,017 1,688 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,019 0,048 0,088 0,158 0,240 0,247 0,150 0,035 New Castle 14,826 1,996 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,014 0,044 0,069 0,107 0,162 0,198 0,205 0,119 0,060 0,011 0,005 Sunderland 14,881 2,024 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,019 0,039 0,072 0,121 0,152 0,184 0,189 0,132 0,070 0,020 0,001 Wigan 17,642 1,475 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,023 0,045 0,104 0,242 0,256 0,252 0,066 Reading 19,375 0,955 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,003 0,011 0,035 0,108 0,233 0,608 Queens Park Rangers 18,641 1,246 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,013 0,046 0,096 0,230 0,325 0,284 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

13 Manchester United Manchester City Arsenal Chelsea Queens Park Rangers Reading Wigan Sunderland Manchester United Manchester City Arsenal Chelsea Queens Park Rangers Reading Wigan Sunderland Apresentamos na Figura 2, o gráfico de pontos do efeito de ataque versus efeito de defesa, de todas as equipes. Para a sua construção, consideramos todo o conjunto de dados, ou seja, todos os resultados após as 38 rodadas. Nota-se que as melhores equipes se destacam pelo ataque forte e pela defesa forte, enquanto que as equipes com defesa fraca sofrem no torneio. Figura 2 - Gráfico de pontos dos efeitos de ataque e defesa. Na Figura 3 mostramos, para as quatro melhores e para as quatro piores equipes do campeonato, o comportamento do efeito de ataque (gráfico superior esquerdo e gráfico inferior esquerdo, respectivamente) e do efeito de defesa (gráfico superior direito e gráfico inferior direito, respectivamente), ao longo das rodadas 20 a 38. Efeito de Ataque Efeito de Defesa Rodadas Rodadas Efeito de Ataque Efeito de Defesa Rodadas Rodadas Figura 3 - Gráfico de linhas para o efeito de ataque e para o efeito de defesa. 88 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

14 A Tabela 8 apresenta a previsão da classificação final antes da trigésima rodada, em comparação com as reais posições. Para obter esta tabela, foram previstas 90 partidas, e observamos, já nesta rodada, uma ligeira vantagem do campeão, Manchester United, e os três times rebaixados nas últimas posições. Tabela 8 - Previsão da classificação final antes da rodada 30 (Classificação final do campeonato) Equipes Pontos Jogos Vitórias Empates Derrotas Gols Pro Gols Contra Saldo Manchester United 92(89) 38 29(28) 5(5) 4(5) 88(86) 39(43) 49(43) Manchester City 74(78) 38 22(23) 8(9) 8(6) 64(66) 39(34) 25(32) Chelsea 71(75) 38 20(22) 11(9) 7(7) 75(75) 41(39) 34(36) Arsenal 71(73) 38 20(21) 11(10) 7(7) 68(66) 36(37) 32(35) Tottenham 65(72) 38 18(21) 11(9) 9(8) 65(66) 51(46) 14(20) Everton 62(63) 38 16(16) 14(15) 8(7) 57(55) 42(40) 15(15) Liverpool 56(61) 38 14(16) 14(13) 10(9) 69(71) 47(43) 22(28) West Bromwich 48(49) 38 14(14) 6(7) 18(17) 48(53) 53(57) -5(-4) Swansea 49(46) 38 12(11) 13(13) 13(14) 50(47) 51(51) -1(-4) West Ham 49(46) 38 13(12) 10(10) 15(16) 45(45) 51(53) -6(-8) Norwich 44(44) 38 10(10) 14(14) 14(14) 38(41) 58(58) -20(-17) Fulham 42(43) 38 10(11) 12(10) 16(17) 49(50) 61(60) -12(-10) Stoke 42(42) 38 9(9) 15(15) 14(14) 35(34) 46(45) -11(-11) Southampton 44(41) 38 10(9) 14(14) 14(15) 50(49) 59(60) -9(-11) Aston 44(41) 38 11(10) 11(11) 16(17) 46(47) 66(69) -20(-22) NewCastle 37(41) 38 10(11) 7(8) 21(19) 44(45) 70(68) -26(-23) Sunderland 43(39) 38 11(9) 10(12) 17(17) 46(41) 55(54) -9(-13) Wigan 35(36) 38 9(9) 8(9) 21(20) 43(47) 67(73) -24(-26) Reading 32(28) 38 7(6) 11(10) 20(22) 48(43) 70(73) -22(30) Queens Park Rangers 30(25) 38 5(4) 15(13) 18(21) 31(30) 57(60) -26(-30) 5 Considerações Finais Neste artigo, sob uma abordagem bayesiana, realizamos uma aplicação do modelo de regressão de Poisson, em que a média reflete a força do ataque, da defesa e do mando de jogo. A metodologia apresentada tem uma boa capacidade preditiva, de acordo com a medida de Finetti e com a quantidade de acertos. Aliada a um procedimento de simulação, pode-se obter a estimativa da probabilidade de uma equipe ser campeã ou ser rebaixada, bem como a previsão do número de pontos a partir de uma rodada específica. Outros questionamentos de interesses também podem serem respondidos, tais como: Qual a probabilidade de classificação para a fase de grupos da Liga dos Campeões da UEFA ? Qual equipe vai ter o melhor ataque? Qual equipe vai perder mais jogos? Qual equipe terá mais vitórias?, dentre outros. Além disso, a metodologia considerada pode ser facilmente utilizada para analisar as próximas temporadas do campeonato e ser adaptada para outros torneios com diferentes formas de disputa. Todas as implementações computacionais foram realizadas utilizando os sistemas WinBUGS (Spiegelhalter et al., 2003) e R (R CORE TEAM, 2016) considerando do pacote R2WinBUGS (Gelman et al., 2006). Os códigos WinBUGS estão apresentados no Apêndice C. Os resultados dos jogos, como também outras informações adicionais, podem ser obtidas no site oficial da competição (http : // Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

15 Como trabalho futuro, pretendemos incorporar outras covariáveis no modelo, tais como: condição atmosférica, esquema tático, contusões, crise e suspensões. Além disso, assumindo que o resultado de uma partida é um vetor aleatório bivariado, cujas componentes representam a contagem do número de gols marcados por cada uma das equipes, uma possibilidade seria a de modelar o problema a partir da estrutura de regressão de um modelo bivariado como, por exemplo, a distribuição Poisson bivariada de Holgate (Holgate, 1964). Agradecimentos Agradecemos ao editor e aos revisores pela cuidadosa leitura, comentários e sugestões que contribuiram para uma melhora do artigo. O autor Erlandson F. Saraiva agradece o apoio do CNPq. O autor Francisco Louzada agradece o apoio do CNPq e da FAPESP. FILHO, C. A. O.; SUZUKI, A. K., LOUZADA, F., SARAIVA, E. F., SALASAR, L. E. B. A Bayesian approach to predicting football match scores: An application to the English Premier League. Rev.Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, ABSTRACT: The prediction of outcomes of football matches is of great interest to fans and the press, and has been the focus of several studies in the literature. In this manuscript, we carry out an application of the Poisson regression model for the prediction of outcomes of soccer games of the English Premier League under a Bayesian approach. We assume that the number of goals scored by each team in a match are independent and follow a Poisson distribution, whose average reflects the strength of the attack, defense and home advantage parameter. Before the start of each round of the second round, we calculated the win, draw and loss probabilities for each match and, through a simulation procedure, we have obtained the probability of a team qualifying for the UEFA Champions League, being crowned champion or relegated to the second division is obtained. All computer implementations were performed using WinBUGS and R systems through the R2WinBUGS package. KEYWORDS: Football; bayesian inference; prediction; Poisson regression; simulation. Referências BAIO, G.; BLANGIARDO, M. Bayesian hierarchical model for the prediction of football result. UCL Discovery, v.37, p , BASTOS, L. S.; da ROSA, J. M. C. Predicting probabilities for the 2010 FIFA world cup games using a Poisson-Gamma model. Journal of Applied Statistics, v.40, n.7, p , Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

16 BRILLINGER, D. R. Modelling game outcomes of the Brazilian 2006 Series A championship as ordinal-valued. Brazilian Journal of Probability Statistics, v.22, n.2, p , CLARKE, S. R.; NORMAN, J. M. Home ground advantage of individual clubs in english soccer. The Statistician, v.44, n.4, p , DE FINETTI, B. Probability, Induction and Statistics. 1.ed. London: John Wiley, p. DYTE, D.; CLARKE, S. R. A ratings based Poisson model for world cup soccer simulation. Journal of the Operational Research Society, v.51, n.8, p , GELMAN, A.; STURTZ, S.; LIGGES, U.; GORJANC, G.; KERMAN, J. The R2winbugs Package Manual Version New York, Statistic Departament Faculty, HOLGATE, P. Estimation for the bivariate Poisson distribution. Biometrika, v.51, p , (1964). KARLIS, D.; NTZOUFRAS, I. Analysis of sports data by using bivariate Poisson models. The Statistician, v.52, n.3, p , KARLIS, D.; NTZOUFRAS, I. Bayesian modelling of football outcomes: Using the Skellam s distribution for the goal difference. IMA Journal of Management Mathematics, v.20, n.2, p , KELLER, J. B. A characterization of the Poisson distribution and the probability of winning a game. The American Statistician, v.48, n.4, p , LEE, A. Modeling scores in the Premier League: Is Manchester United really the best?. Chance, v.10, n.1, p , LOUZADA-NETO, F.; SUZUKI, A. K.; SALASAR, L. E. B. Predicting match outcomes in the English Premier League: Which will be the final rank?. Journal of Data Science, v.12, p , POLLARD, R. Home advantage in soccer: A retrospective analysis. Journal of Sports Sciences, v.4, n.3, p , R CORE TEAM. R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Founation for Statisticial Computing. Vienna, Austria, SPIEGELHALTER, D. J.; THOMAS, A.; BEST, N. G. WinBUGS Manual [version 1.4.1]. MRC Biostatistics Unit, Cambridge Univeristy, UK, SUZUKI A. K.; SALASAR, L. E. B.; LOUZADA-NETO, F.; LEITE, J. G. A bayesian approach for predicting match outcomes: The 2006 (association) football world cup. Journal of the Operational Research Society, v.61, n.10, p , Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

17 Recebido em Aprovado após revisão em Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

18 Apêndice A: Estimativas e Gráficos das autocorrelações Neste apêndice apresentamos as estimativas para os parâmetros α m e α v para o jogo da vigésima rodada entre Manchester United (m) e West Bromwich (v) e para o jogo da trigésma rodada entre Manchester United (m) e Reading (v), para t = {m, v} em que t c representa o complementar de t. As Tabela 9 e 10 mostram as estimativas dos parâmetros para o jogo da 20 a e 30 a rodada, respectivamente. Tabela 9 - Estimativa (Desvio Padrão) Time Parâmetro µ α c α at α dt c Manchester united 0,082 (0,068) 0,268 (0,088) 0,648 (0,143) 0,120 (0,187) West Bromwich 0,082 (0,068) 0,077 (0,188) -0,045 (0,208) Tabela 10 - Estimativa (Desvio Padrão) Time Parâmetro µ α c α at α dt c Manchester United 0,126 (0,054) 0,258 (0,071) 0,556 (0,125) -0,167 (0,174) Reading 0,126 (0,054) -0,106 (0,168) 0,353 (0,132) As Figuras 4 e 5 mostram os gráficos das autocorrelações estimadas. A Figura 4 mostra os gráficos das autocorrelações estimadas para os parâmetros associados ao número esperado de gols do jogo entre Manchester United e West Bromwich realizado na vigésima rodada do campeonato. A Figura 5 mostra o gráfico das autocorrelações estimadas para o jogo entre manchester United e Reading. As Figuras 4(a,b) e 5(a,b) mostram as autocorrelações estimadas para o intercepto µ e para o fator casa α c. As Figuras 4(c,d) e 5(c,d) mostram as autocorrelações estimadas para o efeito de ataque do time mandante e defesa do time visitante, (α am, α dm ); e as Figuras 4(e,f) e 5(e,f) mostram o efeito de ataque do time visitante e defesa do time mandante, (α av, α dv ), respectivamente. Note que, as aucorrelações são não significativas. Este fato também ocorre para os outros times em todas as outras rodadas previstas. Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

19 µ α c (a) µ. (b) α c. α am α dm (c) α am (d) α dm. α av α dv (e) α av. (f) α av. Figura 4 - Autocorrelações estimadas (α am, α dm ) e (α av, α dv ). 94 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

20 µ α c (a) µ. (b) α c. α am α dm (c) α am (d) α dm. α av α dv (e) α av. (f) α av. Figura 5 - Autocorrelações estimadas (α am, α dm ) e (α av, α dv ). Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,

21 Apêndice B: Código WinBUGS Neste apêndice apresentamos o código WinBUGS utilizado neste trabalho. model{ for(i in 1 : n){ x[i] dpois(lambdax[i]) y[i] dpois(lambday [i]) log(lambdax[i]) < mu + casa + ata[man[i]] + def[vis[i]] log(lambday [i]) < mu + ata[vis[i]] + def[man[i]] } ata[1] < sum(ata[2 : 20]) def[1] < sum(def[2 : 20]) # Distribuições a priori mu dnorm(0, 0.001) casa dnorm(0, 0.001) for(i in 2 : 20){ ata[i] dnorm(0, 0.001) def[i] dnorm(0, 0.001) } } Os times ordenados por ordem alfabética: Arsenal, Aston, Chelsea, Everton, Fulham, Liverpool, Manchester City, Manchester United, Newcastle, Norwich, Queens Park Rangers, Reading, Southampton, Stoke, Sunderland, Swansea, Tottenham, West Bromwich, West Ham, Wigan. Neste trabalho, consideramos os times enumerados de acordo com a sua posição em ordem alfabética. Por exemplo, o Arsenal é o time 1, o Chelsea é o time 3, enquanto que o West Ham é o time 19. Os dados para todos os 380 jogos: # Times mandantes man=c(1,4,5,7,9,11,12,18,19,20,2,3,6,8,10,13,14,15,16,17,3,6,7,9,13,16,17,18,19,20,1, 2,4,5,8,10,11,12,14,15,3,6,7,9,13,16,17,18,19,20,1,2,4,5,8,10,11,12,14,15,3,6,7,9,13,16, 17,18,19,20,5,6,8,10,11,15,16,17,18,19,1,2,3,4,7,9,12,13,14,20,5,6,8,10,11,16,15,17,18, 19,1,2,3,4,7,9,12,13,14,20,1,5,6,7,9,10,11,12,18,19,2,3,4,8,13,14,15,16,17,20,2,8,13,14,15, 16,17,20,3,4,1,5,6,7,9,10,11,12,18,19,1,2,4,5,7,13,15,16,19,20,3,6,8,9,10,11,12,14,17,18, 96 Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97, 2017

22 3,6,7,9,13,16,17,18,19,20,1,2,4,5,8,10,11,12,14,15,1,2,4,5,8,10,11,12,14,15,3,6,7,9,13,16, 17,18,19,20,1,2,4,5,8,10,11,12,14,15,3,6,7,9,13,16,17,18,19,20,1,2,8,10,11,12,14,15,4,5,1, 4,5,7,9,11,12,18,19,20,2,3,6,8,10,13,14,15,16,17,1,5,6,7,9,10,11,12,18,19,2,3,4,8,13,14,15, 16,17,20,1,5,6,7,9,10,11,12,18,19,2,3,4,8,13,14,15,16,17,20,1,2,4,5,7,13,15,16,19,20,3,6, 8,9,10,11,12,14,17,18,1,2,3,4,7,9,12,13,14,20,5,6,8,10,11,15,16,17,18,19,1,2,3,4,7,9,12,13, 14,20,5,6,8,10,11,15,16,17,18,19,1,2,4,5,8,10,11,12,14,15,3,6,7,9,13,16,17,18,19,20) # Times visitantes vis=c(15,8,10,13,17,16,14,6,2,3,4,9,7,5,11,20,1,12,19,18,12,1,11,2,8,15,10,4,5,14,13,16,9, 18,20,19,3,17,7,6,14,8,1,10,2,4,11,12,15,5,3,18,13,7,17,6,19,9,16,20,10,14,15,8,5,12,2,11, 1,4,2,12,14,1,4,9,20,3,7,13,11,10,8,6,16,18,5,17,15,19,4,9,1,14,12,3,2,20,13,7,5,8,6,15,17, 19,10,16,11,18,17,15,20,2,16,8,13,4,3,14,1,7,10,11,9,5,18,6,19,12,12,19,10,9,11,18,6,7,5, 1,16,17,13,4,20,15,2,8,14,3,18,14,17,9,8,12,3,10,6,11,13,2,15,7,20,5,1,4,16,19,2,5,12,11, 15,8,14,10,4,1,19,17,20,13,9,3,18,16,6,7,9,20,3,16,18,7,6,19,13,17,11,15,14,4,1,2,12,5,10, 8,7,13,16,20,6,9,17,18,3,19,1,10,5,12,4,14,8,2,11,15,6,9,13,17,7,3,20,16,18,19,14,2,8,6,3, 10,15,17,16,13,19,20,18,4,5,7,12,1,11,9,2,14,16,3,13,4,8,20,15,17,7,18,12,10,11,19,5,9,1, 6,4,3,17,20,14,13,15,2,16,8,11,19,7,12,6,18,10,1,5,9,12,6,14,11,9,3,8,17,18,10,15,19,7,5, 16,20,13,2,4,1,10,5,17,11,18,15,6,19,8,16,1,3,2,12,14,4,13,7,9,20,8,15,16,5,19,6,11,18,10, 17,12,4,3,2,1,14,7,13,20,9,20,3,19,6,16,18,9,7,17,13,4,11,10,1,14,5,15,8,12,2) # Gols marcados pelos times mandantes x =c(0,1,5,3,2,0,1,3,1,0,1,2,2,3,1,0,0,3,3,1,4,0,3,1,2,2,1,2,3,2,6,2,2,3,4,0,0,1,1,1,1,1,1,1,4, 0,2,1,1,1,1,1,3,1,2,2,1,2,2,1,4,0,3,0,2,2,2,3,1,2,1,1,4,1,1,1,2,2,1,4,1,1,2,2,1,2,3,1,0,2,2,1,2, 1,1,1,0,0,2,0,3,2,1,2,2,0,0,1,1,1,5,1,3,5,1,1,1,2,2,1,0,0,1,3,2,1,2,0,3,3,1,1,1,2,0,3,2,0,0,1,0, 0,1,1,3,2,1,3,0,3,2,0,2,2,2,1,1,3,2,2,2,1,3,1,2,2,2,1,1,0,8,4,1,1,0,1,0,2,1,0,5,0,2,1,4,0,1,0,3, 1,7,0,1,1,2,3,0,1,3,1,0,3,3,1,1,2,3,1,2,0,0,0,0,1,2,0,0,3,0,3,2,5,2,1,0,3,1,2,1,2,2,1,2,1,0,2,2, 0,2,3,1,3,0,2,3,0,2,0,1,2,2,4,0,2,0,3,2,0,4,2,2,1,5,2,4,2,0,0,2,2,0,1,3,4,1,0,2,1,2,0,0,0,3,1,2, 0,3,1,2,2,3,2,2,1,3,0,1,0,0,2,4,1,1,3,4,2,0,1,3,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2,1,3,1,2,2,1,0,0,1,0,2,0,2,3, 2,0,1,0,3,1,2,1,6,2,1,2,0,0,0,1,2,2,0,0,1,0,1,0,1,2,0,4,1,2,1,2,4,1,0,1,1,2,1,2,0,1,0,1,5,4,2) # Gols marcados pelos times visitantes y=c(0,0,0,2,1,5,1,0,0,2,3,0,2,2,1,2,0,0,0,1,2,2,1,1,3,2,1,0,0,2,1,0,2,0,0,0,0,3,1,1,0,2,1,0,1, 3,1,0,1,2,2,1,1,2,3,5,2,2,0,0,1,0,0,3,2,2,0,2,3,2,0,0,2,0,1,1,1,4,2,1,0,1,3,2,0,1,3,2,0,1,2,1,1, 0,1,1,1,1,0,0,3,3,1,1,1,1,0,1,0,2,2,3,0,0,2,0,3,1,1,1,0,0,1,1,0,0,4,0,1,2,0,0,1,1,0,1,1,2,0,1,2, 3,0,1,0,1,1,4,1,1,0,0,1,1,3,0,3,4,3,2,2,3,1,3,1,1,5,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,2,1,1,4,1,1,3,1,2,0,1, 0,3,3,2,2,0,4,3,0,3,2,1,0,0,2,1,2,1,2,1,4,2,1,0,1,1,0,0,2,4,0,1,0,0,2,0,1,1,2,1,3,2,2,1,1,0,2,2, 0,1,1,0,3,1,2,2,0,1,1,0,2,1,1,2,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,2,1,2,3,1,3,1,0,1,0,2,1,2,0,1,4,0,3,2,0,1, 0,1,2,1,2,2,0,0,0,1,0,1,2,1,1,1,2,0,2,0,1,1,2,1,0,1,0,2,0,2,1,2,3,2,2,1,1,2,0,0,3,0,1,2,3,1,2,0, 1,2,0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,6,0,3,0,2,4,0,1,2,1,1,0,0,3,0,1,2,0,3,1,0,2,2,1,1,1,0,3,1,1,3,0,5,2,2) Rev. Bras. Biom., Lavras, v.35, n.1, p.76-97,