MATEMÁTICA A / MATEMÁTICA

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1 gabinete de avaliação educacional INFORMAÇÃO N.º Data: PROVA DE EXAME FINAL DE ÂMITO NACIONAL DE Para: Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular Inspecção Geral de Educação Direcções Regionais de Educação Secretaria Regional de Educação da Madeira Secretaria Regional de Educação dos Açores Escolas com Ensino Secundário Estabelecimentos de Ensino Particular e Cooperativo com Paralelismo e com Ensino Secundário CIREP FERLAP CONFAP MATEMÁTICA A / MATEMÁTICA Prova º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto programas novos e Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março 1. INTRODUÇÃO O presente documento visa divulgar as características da prova de exame nacional do Ensino Secundário da disciplina de Matemática A, a realizar em 2007 pelos alunos que se encontram abrangidos pelos planos de estudo instituídos pelo Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto ou pelo Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março, rectificado pela Declaração de Rectificação n.º 44/2004, de 25 de Maio. Devem ainda ser tidas em consideração a Portaria n.º 550-D/2004, de 21 de Maio, com as alterações introduzidas pela Portaria n.º 259/2006, de 14 de Março, o Decreto-Lei n.º 24/2006, de 6 de Fevereiro, com as rectificações constantes da Declaração de Rectificação n.º 23/2006, de 7 de Abril e o Despacho Normativo n.º 15/2006, de 13 de Novembro. A prova de exame nacional a que esta informação se refere incide nas aprendizagens e nas competências incluídas no Programa de Matemática A, homologado no âmbito da aplicação do Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março, conforme o estipulado no ponto 9 do Despacho Normativo n.º 15/2006. A título excepcional, de acordo com o ponto 8 deste Despacho Normativo, os conteúdos programáticos objecto de exame referem-se ao Programa do 12.º ano. Este documento visa dar a conhecer, aos diversos intervenientes no processo de exames, as aprendizagens e as competências que são objecto de avaliação, as características e a estrutura da prova, o material a utilizar e a duração da mesma. São ainda apresentados os critérios gerais de classificação da prova, bem como exemplos de itens/descrições de tarefas e respectivos critérios específicos de classificação. Os exemplos de itens/descrições de tarefas apresentados, assim como os critérios específicos de classificação, não constituem um modelo de prova. As cotações apresentadas nos itens/tarefas que integram esta informação têm um carácter meramente exemplificativo. 635/1

2 A avaliação sumativa externa, realizada através de uma prova escrita de duração itada, só permite avaliar parte das aprendizagens e das competências enunciadas no Programa. A resolução da prova pode, no entanto, implicar a mobilização de outras aprendizagens e competências incluídas no Programa e não expressas no objecto de avaliação enunciado no ponto 2. deste documento. As informações sobre o exame apresentadas neste documento não dispensam a consulta da legislação referida e do Programa da disciplina. Como informação adicional, as provas de exame desta disciplina, realizadas na 1.ª e na 2.ª fases dos exames nacionais de 2006, podem ser consultadas em.gave.pt. 2. OJECTO DE AVALIAÇÃO A prova tem por referência o Programa da disciplina de Matemática A do 12.º ano, em vigor. São objecto de avaliação os objectivos e as competências que o Programa enuncia e que são passíveis de avaliação externa em prova escrita de exame nacional, a saber: analisar situações da vida real (simplificadas), identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução; seleccionar estratégias de resolução de problemas; formular hipóteses e prever resultados; interpretar e criticar resultados no contexto do problema; resolver problemas em contextos de Matemática, de Física, de Economia e de Ciências Humanas; descobrir relações entre conceitos de Matemática; formular generalizações a partir de experiências; validar conjecturas; fazer raciocínios demonstrativos, usando métodos adequados (nestes, incluem-se o método de redução ao absurdo, o método de indução matemática e a utilização de contra-exemplos); comunicar conceitos, raciocínios e ideias com clareza e rigor lógico; interpretar e criticar textos de Matemática (apresentados em diversas formas ou com diferentes linguagens); exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens; usar correctamente o vocabulário específico da Matemática; usar e interpretar a simbologia da Matemática; apresentar os textos de forma clara e organizada; dominar o cálculo em IR e C e operar com expressões racionais, com radicais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; resolver algébrica, numérica e graficamente equações, inequações e sistemas; usar noções de lógica indispensáveis à clarificação de conceitos; interpretar fenómenos e resolver problemas, recorrendo a funções e seus gráficos, por via intuitiva ou por via analítica e usando calculadora gráfica; conhecer os conceitos de continuidade, derivadas e ites; aplicar conhecimentos de Análise Infinitesimal no estudo de funções reais de variável real; resolver problemas envolvendo cálculo de probabilidade; desenvolver raciocínios demonstrativos a partir da Axiomática das Probabilidades; resolver problemas de contagem. 635/2

3 A utilização da calculadora gráfica é objecto de avaliação nas seguintes competências: modelar, simular e resolver situações problemáticas; utilizar métodos gráficos para resolver equações e inequações que não podem ser resolvidas, ou cuja resolução é impraticável com métodos algébricos; elaborar e analisar conjecturas. 3. ESTRUTURA E CARACTERIZAÇÃO DA PROVA A prova tem duas versões: VERSÃO 1 e VERSÃO 2. A estrutura da prova é igual à das provas com os códigos 635 e 435, de 2006, o mesmo acontecendo relativamente aos tipos de itens e à cotação. A prova é constituída por dois grupos. O grupo I consta de sete itens fechados de escolha múltipla. O grupo II é constituído por itens de resposta aberta de composição curta e de ensaio. A cotação total da prova é de 200 pontos. A cotação do grupo I é de 63 pontos. A cotação do grupo II é de 137 pontos. No total da prova, a cotação distribui-se pelos temas, de acordo com o seguinte critério: Combinatória e Probabilidades 25%; Funções 60%; Complexos 15%. O Programa dá grande ênfase às conexões entre os diferentes tópicos. Nesse sentido, os temas Estatística (10.º Ano), Sucessões (11.º Ano) e Geometria (10.º e 11.º Anos) podem aparecer associados a alguns dos três temas do programa do 12.º Ano (Combinatória e Probabilidades, Funções e Complexos). Além disso, podem ser propostos itens que envolvam mais do que um dos temas do 12.º Ano. A prova contempla as duas actividades seguintes: resolução de problemas baseados em situações da realidade e desenvolvimento de raciocínios demonstrativos. Um dos itens a realizar obriga à utilização da capacidades gráfica da calculadora. A prova pode incluir um item que envolva a elaboração de uma pequena composição. A classificação deste item contempla não só os conteúdos matemáticos, mas também uma valorização das competências de comunicação escrita em língua portuguesa. Esta valorização corresponde, aproximadamente, a 10% da cotação do item. A prova tem um formulário anexo. A quantidade de fórmulas incluídas ultrapassa largamente o número das que serão eventualmente necessárias à realização de cada prova. Este formulário é comum a todas as provas (1.ª Fase e 2.ª Fase). 635/3

4 4. CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO DA PROVA 4.1. Dado a prova aprentar duas versões, os examinandos devem indicar na sua folha de respostas, de modo inequívoco, a versão da prova que estão a realizar. A ausência desta indicação implica a anulação de todo o conjunto de itens de resposta fechada Nos itens de escolha múltipla, é atribuída a cotação total à resposta correcta. As respostas incorrectas são classificadas com zero pontos Quando o examinando responder ao mesmo item mais do que uma vez, deve einar inequivocamente a(s) resposta(s) que não deve(m) ser classificada(s). No caso de tal não acontecer, será classificada a resposta que surge em primeiro lugar Num item em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, a classificação deve ser: a soma algébrica das cotações atribuídas a cada etapa, de acordo com o disposto nos pontos 4.5., 4.6., 4.7., 4.8. e 4.9. destes critérios gerais, e das desvalorizações previstas nos pontos e destes critérios gerais. Se a soma for negativa, a classificação a atribuir é de zero pontos; de zero pontos se o examinando se itar a apresentar o resultado final Sempre que o examinando utilizar um processo de resolução não contemplado nos critérios específicos, caberá ao professor classificador adoptar um critério de distribuição da cotação que julgue adequado. Salienta-se que deve ser aceite qualquer processo cientificamente correcto, mesmo que envolva conhecimentos ou competências não contemplados no Programa da disciplina A cotação de cada item está subdividida pelas etapas que o examinando deve percorrer para o resolver Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir O classificador não pode subdividir, em cotações parcelares, a cotação de cada etapa. Caso uma etapa envolva um único passo, testando apenas o conhecimento de um só conceito ou propriedade, e a sua resolução não esteja completamente correcta, deve ser atribuída a classificação de zero pontos. Caso uma etapa envolva mais do que um passo (por exemplo, a resolução de uma equação, a obtenção de uma expressão em função de uma variável, etc.) e a sua resolução esteja incompleta, ou contenha incorrecções, a classificação a atribuir deve estar de acordo com o grau de incompletude e/ou com a gravidade dos erros cometidos. Por exemplo: erros de contas ocasionais devem ser desvalorizados em um ponto; erros que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades devem ser desvalorizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa; transposições erradas de dados do enunciado devem ser desvalorizados em um ponto, desde que o grau de dificuldade da etapa não diminua; transposições erradas de dados do enunciado devem ser desvalorizadas em, pelo menos, metade da cotação da etapa, caso o grau de dificuldade da etapa diminua. 635/4

5 Nas etapas cuja cotação se encontra discriminada por níveis de desempenho, o classificador deve enquadrar a resposta do examinando numa das descrições apresentadas. O classificador não pode atribuir uma classificação diferente das indicadas No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapas subsequentes devem merecer a respectiva classificação, desde que o grau de dificuldade não tenha diminuído, e o examinando as execute correctamente, de acordo com o erro que cometeu Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldade das etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a classificação máxima a atribuir a cada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido pelo examinando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente, a classificação máxima a atribuir em cada uma delas não deverá exceder metade da cotação indicada Pode acontecer que o examinando, ao resolver um item, não percorra explicitamente todas as etapas previstas nos critérios específicos. Todas as etapas não percorridas explicitamente pelo examinando, mas cuja utilização e/ou conhecimento estejam inequivocamente implícitos na resolução do item, devem receber a cotação indicada Nas etapas em que está previsto o recurso à calculadora, os critérios específicos subdividem-se em: «Explicação do método utilizado» e «Apresentação do(s) valor(es)» Explicação do método utilizado: De acordo com as instruções gerais para a realização da prova, o examinando deve apresentar todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. Esta apresentação deve ser classificada de acordo com o critério que se segue, no qual, para cada nível de desempenho, é indicada uma percentagem. Esta percentagem deve ser aplicada sobre a cotação prevista para a explicação do método utilizado, e o valor obtido deve ser arredondado às unidades (por excesso, se a mantissa do número a arredondar for 0,5 ou superior) Apresentação do(s) valor(es): Para cada valor que o examinando deve apresentar, os critérios específicos podem indicar um intervalo admissível. O valor apresentado pelo examinando pode pertencer, ou não, a esse intervalo. Se o valor pertencer ao intervalo, deve ser atribuída a classificação máxima prevista para essa apresentação, a menos que haja lugar a qualquer desvalorização prevista nos critérios específicos, por desrespeito relativo ao número de casas decimais com que o resultado deve ser apresentado. Se o valor não pertencer ao intervalo, deve ser atribuída a classificação de zero pontos Quando, num item, é pedida uma forma específica de apresentação do resultado final (por exemplo, «em minutos», «em percentagem», etc.), este deve ser apresentado na forma pedida. Se o resultado final apresentado pelo examinando não respeitar a forma pedida no enunciado (por exemplo, se o enunciado pedir o resultado em minutos, e o examinando o apresentar em horas), devem ser atribuídos zero pontos na etapa correspondente ao resultado final. No entanto, o examinando não deve ser desvalorizado se não indicar a unidade em que é pedido o resultado (por exemplo, se o resultado final for 12 minutos, ou 12 metros, e o examinando escrever simplesmente 12, não deve ser desvalorizado). 635/5

6 4.8. O examinando deve respeitar sempre a instrução relativa à apresentação de todos os cálculos e de todas as justificações. Se, numa etapa, o examinando não respeitar esta instrução, apresentando algo (valor, quadro, tabela, gráfico, etc.) que não resulte de trabalho anterior, deve ser atribuída a classificação de zero pontos a essa etapa. Todas as etapas subsequentes que dela dependam devem ser igualmente classificadas com zero pontos O examinando deve respeitar sempre qualquer instrução relativa ao método a utilizar na resolução de um item (por exemplo, «equacione o problema», «resolva graficamente», etc.). Na resolução apresentada pelo examinando, deve ser inequívoco, pela apresentação de todos os cálculos e de todas as justificações, o cumprimento da instrução. Se tal não acontecer, considera-se que o examinando não respeitou a instrução. A etapa em que se dá o desrespeito e todas as subsequentes que dela dependam devem ser classificadas com zero pontos Se, na resolução de um item, o examinando utilizar simbologia, ou escrever uma expressão, inequivocamente incorrecta do ponto de vista formal (por exemplo, se escrever o símbolo de igualdade onde deveria estar o símbolo de equivalência), deve ser desvalorizado em um ponto, na cotação total desse item. Esta desvalorização não se aplica no caso em que tais incorrecções ocorram apenas em etapas cotadas com zero pontos, nem a eventuais utilizações do símbolo de igualdade, onde, em rigor, deveria estar o símbolo de igualdade aproximada Existem itens em cujo enunciado é dada uma instrução relativa ao número mínimo de casas decimais que o examinando deve conservar, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos. Indicam-se, a seguir, as desvalorizações a aplicar, na classificação total a atribuir ao item, em caso de desrespeito dessa instrução e/ou de arredondamentos mal efectuados. Todos os valores intermédios estão de acordo com a instrução, mas existe, pelo menos, um valor intermédio mal arredondado... 1 pontos Todos os valores intermédios estão bem arredondados, mas existe, pelo menos, um que não está de acordo com a instrução... 1 pontos Existe, pelo menos, um valor intermédio mal arredondado e existe, pelo menos, um que não está de acordo com a instrução... 2 pontos As classificações a atribuir às respostas dos examinandos devem ser expressas, obrigatoriamente, em números inteiros. 5. EXEMPLOS DE ITENS E RESPECTIVOS CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Os exemplos de itens que se seguem não constituem um modelo de prova de exame. Os itens dos Exames Nacionais do 12.º Ano com os código 435, de 2000 até 2005, e com os códigos 635 e 435, de 2006, constituem exemplos de itens que podem ser incluídos na prova. Na publicação «Matemática Questões de Exame do 12.º Ano 1997/2005», editada pelo GAVE, também poderão ser encontrados todos os itens saídos nos Exames Nacionais do 12.º Ano, com os códigos 135 e 435, de 1997 até 2005, subordinados aos temas do actual Programa do 12.º ano. 635/6

7 6. MATERIAL A UTILIZAR O examinando apenas pode usar na prova, como material de escrita, caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. O examinando deve ainda ser portador de material de desenho (régua, compasso, esquadro e transferidor) e de calculadora gráfica. A lista das calculadoras admissíveis é fornecida pela Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular. O uso de lápis só é permitido nas construções que envolvam a utilização de material de desenho. Não é permitido o uso de «esferográfica-lápis» nem de corrector. 7. DURAÇÃO DA PROVA A prova tem a duração de 150 minutos. 8. INDICAÇÕES ESPECÍFICAS A prova tem um formulário anexo. A quantidade de fórmulas incluídas ultrapassa o número das que serão eventualmente necessárias à realização de cada prova. Este formulário é comum a todas as provas. O Director (Carlos Pinto Ferreira) 635/7

8 ANEXO FORMULÁRIO Comprimento de um arco de circunferência α< ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Sector circular: α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Área da base Altura Cone: " $ Área da base Altura Esfera: % $ $ 1 < ( < raio) Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñ œ cos + Þ cos, sen + Þ sen, tg Ð+,Ñ œ tg + tg, " tg + Þ tg, Complexos 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " 635/I/8

9 Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < 8 Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis Ä! sen œ" Ä! / " œ" Ä! Ä Ä ln Ð "Ñ œ" ln œ! / : œ Ð: Ñ 635/9