CO 82: Um resgate histórico sobre a Solução das Equações de 3º grau e a decorrente insuficiência dos Números Reais

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1 CO 82: Um resgate histórico sobre a Solução das Equações de 3º grau e a decorrente insuficiência dos Números Reais Gerusa Camargo Rodrigues 1 gerusa.cr@gmail.com Ana Paula Falcão da Silveira Gomes 1 anapaulafsgomes@hotmail.com Cristiano Peres Oliveira 1 cristianooliveira@unipampa.edu.br RESUMO O presente trabalho apresenta uma breve discussão da utilização da História da Matemática como agente na construção do conhecimento, buscando a partir de fatos históricos sustentar a importância da Matemática no cotidiano da sociedade. Para isso é apresentada uma revisão bibliográfica sobre o tema, bem como uma breve exposição sobre a origem da solução das equações de 3º grau e as descobertas decorrentes desse estudo. Para isso busca-se proporcionar ao leitor um levantamento sobre os aspectos históricos envolvidos na disputa de Girolamo Cardano e Niccoló Tartaglia pela solução das equações de 3º grau e a partir de aplicações na Fórmula de Cardano o decorrente surgimento da insuficiência dos números reais, descoberta por Rafael Bombelli, que fora discípulo de Cardano. Acredita-se que abordar a matemática através de seus fatos históricos traz benefícios para a construção do conhecimento, pois se pode mostrar aos discentes que é possível aprender matemática sem, obrigatoriamente, ter que apenas fazer contas ou reproduzir algoritmos e procedimentos quase que mecanicamente. Utilizando aspectos históricos se consegue propiciar um cenário capaz de fazer com que os alunos possam compreender como os problemas surgiram, de que forma se encontrou a solução e como essas podem ser utilizadas nos estudos atualmente, transformando assim a utilização da História da Matemática em uma ferramenta metodológica promissora, que apresenta aos alunos outra maneira de pensar, refletir e aprender matemática. Espera-se também que com esse estudo, os professores da educação básica se sintam instigados a encontrar meios de relacionar a matemática com o cotidiano através do resgate do contexto histórico despertando nos discentes o pensamento lógico e matemático. Para que se pudesse dar tal enfoque, a revisão apresentada foi baseada no livro O Romance das Equações Algébricas de Gilberto Garbi, apontando a importância da História da Matemática como agente importante para a reflexão e análise de como tratar conteúdos e conhecimentos matemáticos de maneira contextualizada favorecendo o crescimento social e intelectual. Palavras-chave: História, matemática, ensino. 1 Universidade Federal do Pampa UNIPAMPA Campus Bagé

2 1. Introdução A educação contemporânea tem sido repensada no sentido de que sejam adotados técnicas e recursos que possibilitem aos educandos uma visualização prática das aplicações e dos conteúdos estudados. Esse movimento ocorre, pois os discentes tem acesso a muitas informações de maneira rápida e atrativa o que faz com que os conteúdos estudados na escola passem a se tornar desinteressantes se não for reelaborada a forma de abordagem dos mesmos. A problemática passa a ser saber orientar os alunos, por esse motivo o presente trabalho propõe apresentar subsídios para que de uma forma diferenciada o professor aborde fatos históricos no contexto de sala de aula, conforme podemos observar nas palavras de Mercado (1998): O professor, neste contexto de mudança, precisa saber orientar os educandos sobre onde colher informação, como tratá-la e como utilizá-la.. Nesse sentido, observa-se que é necessário fornecer subsídios para que os discentes possam ter condições de pensar, refletir e decidir qual a melhor alternativa para que construam ou reforcem os conhecimentos. Sob essa ótica se pode perceber a necessidade de proceder de forma que os alunos vejam aplicações mais diretas dos conteúdos estudados, D Ambrósio (2010) nos diz que: Interessa à criança, ao jovem e ao aprendiz em geral aquilo que tem apelo às suas percepções materiais e intelectuais mais imediatas. Por isso é que proponho um enfoque ligado a situações mais imediatas.. Diante desse cenário se faz urgente encontrar formas que aproxime o aluno e sua realidade à prática escolar. Uma opção viável é a utilização da História da Matemática como agente na construção do conhecimento, para Mendes (2003), a inclusão da História da Matemática nas atividades de ensino-aprendizagem de tópicos matemáticos, permite um caráter mais construtivo e útil à aprendizagem dos mesmos, fazendo com que percebam o caráter investigatório presente na geração, organização e disseminação desses tópicos ao longo do seu desenvolvimento histórico. As atividades históricas, por conseguinte, segundo Mendes (2003), conduzirão os alunos a um processo mais dinâmico de concepção da matemática 2

3 ensinada em sala de aula, sob três aspectos da construção de conhecimento: o cotidiano, o escolar e o científico. 2. Revisão Bibliográfica Sugere-se nesse trabalho uma revisão bibliográfica baseada no trabalho de Garbi (1997), em que é proposta a discussão de aspectos históricos que abordam as disputas de Cardano e Tartaglia sobre as equações de 3º e a insuficiência dos números reias que surgiu com os estudos de Bombelli a partir de aplicações da Fórmula de Cardano em problemas práticos que apresentavam resultados desafiadores para os matemáticos. Busca-se através desse estudo apresentar aos discentes como o problema fora resolvido na época, qual a sua relação com o presente e à partir dessa reflexão possam ser capazes de projetar possíveis contribuições da sociedade contemporânea a respeito do assunto. Por muitos séculos, buscou-se um método geral de resolução para as equações de terceiro grau ou equações cúbicas. Porém, esta era uma tarefa complexa, que por mais de três mil anos motivou estudiosos a suas possíveis soluções. A história da solução da equação do terceiro grau tem vários aspectos importantes, o que estabelece um tópico fascinante dentre os estudos de equações algébricas. Desencadeando assim uma discussão entre professores e alunos de Matemática. Em 1494, Frei Luca Pacioli, renomado professor de Matemática, escreveu o livro Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita, motivando inúmeros talentos matemáticos a somarem forças para o desenvolvimento dessa ciência. Pacioli introduziu mais alguns símbolos na Álgebra: a incógnita, que hoje chamamos x, era nele denominada a coisa, enquanto x era censo, x era cubo, x era censo censo, etc. A Álgebra era na época chamada a arte da coisa ou arte maior. Pacioli cometeu vários erros em suas publicações, e um deles foi afirmar que não era possível encontrar solução para as equações do terceiro grau. Esta afirmação foi desmontada poucas décadas depois, na própria Itália, por dois célebres matemáticos, Tartaglia e Cardano. 3

4 Os babilônios conseguiram resolver a equação do segundo grau mil e setecentos anos antes da era cristã, e também resolviam algumas equações cúbicas com a ajuda de tabelas que davam valores à combinação para alguns valores inteiros de n. Arquimedes estudou uma equação cúbica e analisou condições quanto ao número de raízes positivas. Apenas por volta de 1510 um professor de Matemática da Universidade de Bolonha, chamado Scipione Del Ferro desenvolveu um método para resolver as equações do tipo x + px + q = 0. Porém Ferro morreu sem publicar qualquer obra, revelando sua descoberta apenas ao seu aluno Antonio Maria Fior, na qual deu a regra mas não a prova. Fior tentando se destacar prevalecendo da descoberta de seu mestre, teve a infeliz ideia de desafiar Tartaglia para uma disputa matemática, o que era comum naquela época. Niccoló Tartaglia era professor em Veneza e já era conhecido por suas vitórias sobre outros desafiantes. Fior propôs um conjunto de problemas, abarcando de um modo ou outro, equações do terceiro grau. Tartaglia elaborou sua lista, de caráter bem mais variado, devido ao seu sólido conhecimento e sua inteligência. Quando se aproxima a data marcada, Tartaglia veio, a saber, que seu desafiante, estava calcado do método descoberto por seu professor Del Ferro. Sentindo-se ameaçado, mobilizou todo o seu esforço em solucionar tais equações. Contudo, além de resolver as equações do tipo x + px + q = 0, encontrou também uma fórmula geral para solucionar as do tipo x + px + q = 0. Sendo assim, Fior nada conseguiu resolver, enquanto Tartaglia respondeu corretamente todos os problemas propostos, finalizando a disputa. De tal episódio Fior hoje somente é lembrado como alguém que recebeu o devido castigo ao pretender adquirir notoriedade às custas de outrem. Chegando até Milão notícias no que se refere à natureza das questões apresentadas por Fior e Tartaglia, despertou o interesse do doutor Girolamo Cardano, um personagem rico em aspectos contraditórios. Sua vida lhe trouxe alternâncias de fama, fortuna, prestígio, desgraça familiar. Era médico, astrônomo, astrólogo, matemático, filósofo, e um infatigável investigador, cuja curiosidade e interesse por todos os tipos de conhecimento não tinham limites. Escreveu muitos livros sobre todos estes assuntos, inclusive uma autobiografia. Tendo conseguido melhorar vários temas tratados por Pacioli. Cardano 4

5 estava escrevendo pretendia publicar um livro de Álgebra, ficou intrigado por saber como Tartaglia conseguiu aquilo que Pacioli julgara impossível. Ao saber da possível solução das equações do terceiro grau, Cardano que a princípio não pretendia tocar no assunto em seus escritos, resolveu pedir a Tartaglia para que fosse publicada na obra que se intitularia Pratica Arithmeticea Generalis. Tartaglia não concordou alegando que ele mesmo publicaria futuramente. Diante da recusa, Cardano iniciou uma longa troca de insultos. Para atrair Tartaglia, Cardano fez-se passar por um nobre italiano, convidando-o para visitá-lo em Milão. Ao chegar lá, descobre que o fictício nobre era Cardano que lhe implorou, jurando segredo, que revelasse a fórmula. Tartaglia acreditando em suas promessas mandou o segredo em poema, de forma cifrada, porém Cardano não conseguiu entender. Após mais juramentos, enfim, Tartaglia revelou tudo. Cardano quebrou as promessas e, em 1545, publicou na Ars Magna a fórmula revelada. Em 1546, Tartaglia publica os Quesiti e Inventioni Diverse, no qual ele conta a história de suas relações com Cardano, atacando-o pela quebra de um sagrado juramento sobre a Bíblia. A publicação dos Quesiti foi respondida por um panfleto de Ferrari em defesa de seu mestre, iniciando-se, assim uma polêmica que durou mais de um ano e produziu 12 panfletos (seis de cada autor), conhecidos como Cartelli di Sfida Mathematica. Após essa longa discussão, Tartaglia aceitou o desafio para um debate matemático contra Ferrari, em Milão. Apesar das provocações, Cardano manteve-se fora da briga. O resultado do debate não ficou muito claro, embora, ambos os lados tenham contado vitória sobre o debate. Por muitos séculos, a fórmula da equação do terceiro grau foi conhecida como fórmula de Cardano, por ter sido publicada pela primeira vez na Ars Magna. Se a publicação da fórmula fosse num livro de Tartaglia, a posteridade certamente a conheceria por seu nome. A solução de equações de 3º grau em problemas práticos com a utilização da fórmula de Cardano, logo começou a apresentar resultados que desafiavam o entendimento 5

6 dos matemáticos da época. Esses resultados apresentavam raízes quadradas de números negativos e raízes cúbicas de números de natureza desconhecida. Quando, nas equações de 2º grau, a fórmula de Bhaskara levava a raízes quadradas de números negativos, dizia-se que a solução era inexistente. Entretanto, nas equações de 3º grau que apresentavam soluções evidentes sua determinação dependia da extração de raízes quadradas de números negativos. Constatou-se, então, que as equações de 3º grau teriam 3 raízes reais somente quando 0 diferentemente das equações de 2º grau que tinham 2 raízes reais somente quando 0. Com isso, verificou-se que surgia um novo tipo número diferente de tudo o que se conhecia até o momento. O que indicava que os números conhecidos eram insuficientes para o estudo da Álgebra. Assim, o conceito de número precisava ser estendido. Rafael Bombelli nascido em Bolonha, na Itália, começou seus estudos na tentativa de conciliar a raiz x = 4, encontrada por observação, ao resultado fornecido pela fórmula de Cardano x = para a equação x 15 4 = 0. Em 1572, no livro L Algebra parte Maggiore dell Arithmetica, Bombelli afirmou que baseou seu método no pensamento rude, pois e deveriam ser da forma a + b e a b, respectivamente. Igualando as equações, deduziu que a = 2 e b = 1. Assim x = = 4. Criando, dessa maneira, as seguintes regras para trabalhar com 1: 1 1 = = = 1 (±1) 1 = ± 1 6

7 (±1) 1 = 1 e a regra para a soma de dois números do tipo m + n 1: a + b 1 + c + d 1 = (a + c) + (b + d) 1 Dessa forma foram as equações de 3º grau que, a partir da ideia pioneira de Bombelli, desencadearam por mais de dois séculos o desenvolvimento teórico de um importante ramo da Matemática: A Teoria dos Números Complexos. 3. Resultados / Conclusões O atual cenário da educação contemporânea nos mostra que os alunos buscam informações rápidas, pois estão inseridos e habituados com as novas tecnologias da informação. Nesse sentido se faz urgente e necessária uma mudança na prática pedagógica dominante, esse novo rumo deverá estar amparado em técnicas e recursos que despertem nos educandos o senso crítico e assim os instiguem a continuar os seus estudos. Diante dessa realidade apresentou-se neste trabalho a abordagem histórica como meio de construção do conhecimento, que propicie aos professores subsídios para que os alunos encontrem condições para não fiquem apenas ligados aos processos de memorização de conceitos e sim da compreensão dos mesmos. Processos de investigação histórica colaboram para que os discentes compreendam o contexto histórico da solução de problemas do cotidiano e sua consequente aplicação na sociedade desde os tempos mais remotos até a contemporaneidade. Inserir a História da Matemática no contexto escolar deve ocorrer como meio capaz de fazer com que os discentes possam perceber que é possível aprender matemática lendo e não apenas fazendo contas e resolvendo problemas. Esse processo mecânico leva os estudantes a questionarem amplamente a aplicabilidade e a razão de estarem estudando tais conceitos. Mais ainda questionam onde irão utilizar tais conhecimentos e quando não são apresentados motivos que justifiquem que os conteúdos estejam presentes no currículo escolar, passam a ter uma certa aversão à disciplina. Nesse sentido buscou-se apresentar uma revisão bibliográfica, que fosse capaz de fornecer aos professores meios para que passem a perceber como fatos históricos podem beneficiar no processo de construção do conhecimento. Assim relacionando a matemática ao cotidiano é possível resgatar o pensar matemático, de modo que os próprios discentes possam solucionar problemas que sejam propostos, o que geralmente não é possível em um modelo tradicional. 7

8 4. Referências Bibliográficas GARBI, G. O Romance das Equações Algébricas. Makron Books, São Paulo D AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à pratica. 19ª edição. Campinas SP: Papirus, LIMA, E. L. A Equação do 3º Grau. Revista Matemática Universitária, v.5, p. 9-23, Jun MENDES, I. A. A. História da matemática: um enfoque transdisciplinar. In: XI CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2003, Blumenau. Blumenau: Editora FURB,