UM MÉTODO PARA ESTIMATIVA DO PREÇO DA ENERGIA NO MERCADO ATACADISTA NUM HORIZONTE DE MÉDIO PRAZO

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1 SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GAE a 24 Outubro de 3 Uberlândia - Minas Gerais GRUPO VI GRUPO DE ESTUDO DE ASPECTOS EMPRESARIAIS GAE UM MÉTODO PARA ESTIMATIVA DO PREÇO DA ENERGIA NO MERCADO ATACADISTA NUM HORIZONTE DE MÉDIO PRAZO Roberto Castro* CPFL Energia Christiano Lyra Filho UNICAMP/DENSIS RESUMO Utilizando a correlação entre o CMO - Custo Marginal de Operação e a energia afluente ao sistema, o método para estimativa do preço da energia no mercado de curto prazo apresentado neste trabalho, é elaborado a partir do levantamento da função densidade de probabilidade e do cálculo do desvio padrão do CMO, para os possíveis cenários de energia afluente. A variável explicativa do preço da energia no curto prazo é o conjunto de séries sintéticas de energia afluente utilizadas pelo ONS - Operador Nacional do Sistema, para o planejamento mensal da operação. Neste trabalho apresenta-se uma aplicação prática do método e a análise dos resultados, com base nos valores efetivamente realizados de preço no MAE - Mercado Atacadista de Energia. A análise dos resultados permite concluir que o método proposto pode ser utilizado com boa margem de segurança no processo de tomada de decisão pelos agentes de mercado que atuam no horizonte de curto prazo. PALAVRAS-CHAVE Preço da Energia, Mercado de Curto Prazo, Estimativa de Preço 1. - INTRODUÇÃO De acordo com o programa de operação [1] elaborado pelo ONS - Operador Nacional do Sistema, a predominância da geração de energia a partir de usinas hidrelétricas se manterá num horizonte de longo prazo. Na situação atual, mais de 9% da energia gerada no país é proveniente dessa fonte. No programa de expansão entre 3 e 6 utilizado no programa de operação mensal para dezembro de 2, as usinas hidrelétricas representam 38% da potência a ser instalada ao longo desse horizonte, sendo 62% a parcela de usinas térmicas, de tal modo que a expectativa é de que o ano de 6 se encerre com um percentual de 77% de capacidade instalada em usinas hidrelétricas. Se a partir de janeiro de 7, num exercício preparado a partir desse programa de expansão, não houver qualquer implantação de usinas hidrelétricas, apenas no ano 214, a proporção de geração em termelétricas será equivalente à geração das hidrelétricas, o que garante a predominância das usinas hidrelétricas na geração de energia elétrica no Brasil num horizonte de longo prazo. Qualquer que seja o método de determinação ou cálculo do preço da energia no mercado de curto prazo, seja através da utilização de modelos computacionais de simulação da operação do sistema, como é feito atualmente, seja através de regras de mercado livre, onde os agentes de geração indicarão o preço a partir do qual estão dispostos a gerar energia para o sistema, o preço da energia no mercado de curto prazo, deve convergir para o custo marginal de operação do sistema, caso contrário, ou os modelos computacionais utilizados não estariam refletindo o preço adequado, ou o mercado livre estaria praticando um preço irreal, que tenderia a ser ajustado pelo próprio mercado, pois a regra básica de oferta e procura estaria sendo desrespeitada. Mesmo na hipótese de modificações profundas no MAE - Mercado Atacadista de Energia, visando minimizar a troca de energia entre os agentes nesse mercado, parcela da energia utilizada pelos consumidores finais sempre será atendida no mercado * Estrada Campinas - Mogi Mirim, km 2,5 - Bloco III 2 o andar - CEP CP Campinas - SP Tel.: (xx19) Fax: (xx19) castro@cpfl.com.br

2 2 de curto prazo, assim como era no período em que este ajuste de curto prazo era feito pelo GCOI - Grupo coordenador da Operação do Sistema Interligado, pois é improvável que todas as empresas do setor elétrico, simultaneamente, mantenham um nível de acerto nas suas previsões, de tal modo a contratar energia na quantidade exata de sua necessidade. Somente nessa condição, a sobra e o déficit de energia de todo o sistema seria nulo e a troca de energia no curto prazo estaria reduzida a zero. Assim, espera-se que uma parcela de energia, mesmo que seja a parcela de erro de previsão das empresas do setor, será negociada no mercado de curto prazo, cujo preço será determinado principalmente pela componente do Custo Marginal de Operação, que no caso do sistema brasileiro guarda correlação direta com a energia afluente e a energia armazenada nos reservatórios das usinas hidrelétricas do sistema. Decisão no Instante t Gera energia em Termelétricas Depleciona os Reservatórios período úmido período seco período úmido período seco Conseqüências possíveis Vertimento de Energia Operação Ótima Déficit ou térmica mais cara Maior custo Menor custo Maior custo FIGURA 1 DECISÃO OPERATIVA NO SISTEMA BRASILEIRO 2. - DECISÃO OPERATIVA A utilização das usinas hidrelétricas para atendimento à carga num dado instante t implica na redução da energia armazenada nos reservatórios do sistema, evitando-se gerar energia nas usinas termelétricas, cujo custo é mais elevado. Se nos instantes seguintes ocorrer um período de baixas afluências, caracterizando um período seco, a decisão tomada pode acarretar incremento de geração em usinas termelétricas mais caras do que aquelas que se evitou utilizar, ou mesmo resultar em restrição ao consumo de energia, levando ao déficit no atendimento à carga. Por outro lado, se a decisão operativa adotada for a de não se utilizar as usinas hidrelétricas no atendimento à carga, o nível de armazenamento dos reservatórios não vai se reduzir e a carga no instante t será atendida através do incremento de geração nas termelétricas, ou através da restrição ao consumo de energia. Adotada esta decisão, se os instantes seguintes forem caracterizados por períodos úmidos, com grande afluência de energia aos reservatórios, podem ocorrer vertimentos significativos nas usinas hidrelétricas do sistema. Nesse caso, o combustível queimado nas termelétricas para atender a carga no instante t não resultou em aumento da energia armazenada nos instantes seguintes, mas em vertimento nas usinas hidrelétricas do sistema. Pode-se dizer que nesse caso, as usinas hidrelétricas vertem o combustível das usinas térmicas, incorrendo-se em elevados custos para atendimento à carga do sistema. As decisões operativas acertadas ocorrem quando: i) se armazena água nos reservatórios e os períodos seguintes são marcados por baixas afluências, evitando-se desta maneira, a operação de térmicas mais caras, ou o próprio déficit de energia, ou ii) quando decide-se utilizar a água armazenada e os períodos seguintes são de afluências favoráveis, levando à recuperação no nível dos reservatórios. Nesses casos, as decisões tomadas levam à operação do sistema ao menor custo possível, através da redução na queima de combustível nas usinas termelétricas e da minimização do déficit de energia. O processo é apresentado na Fig. 1, a seguir EFEITO DA ENERGIA ARMAZENADA NO PREÇO A escassez de um produto, ou seu elevado custo de produção, elevam seu preço de mercado. Com base nesse princípio, o preço da energia elétrica no Brasil depende da capacidade de energia armazenada nos reservatórios das usinas, que por sua vez, em cada instante de tempo, depende das decisões operativas e das afluências aos reservatórios nos períodos anteriores. Dessa maneira, pode-se afirmar que a energia armazenada nos reservatórios é a "memória" das decisões operativas do sistema elétrico brasileiro, as quais têm dependência temporal entre si, pois a decisão tomada num instante afeta as decisões futuras. Desde o início da operação do sistema elétrico interligado, a energia armazenada nos reservatórios das usinas apresenta tendência de redução ano após ano, tendo atingido seu estado mais crítico no início do período de racionamento de energia, em junho de 1. Conforme se apresenta na fig.2 a seguir, o preço da energia no mercado de curto prazo mantém-se em valores reduzidos enquanto a energia armazenada no sistema é alta, e apresenta tendência de crescimento a medida em que a energia armazenada se reduz. TMO (R$/MWh) Jan/97 Mar/97 Mai/97 Jul/97 Set/97 Nov/97 VOLATILIDADE DO PREÇO DA ENERGIA - TARIFA MARGINAL DE OPERAÇÃO (TMO) RELAÇÃO COM A ENERGIA ARMAZENADA Jan/98 Mar/98 Mai/98 Jul/98 Set/98 Nov/98 Jan/99 Mar/99 Mai/99 Jul/99 TMO Set/99 Nov/99 Jan/ Mar/ Mai/ Jul/ Set/ Armazenamento FIGURA 2 - PREÇO E ARMAZENAMENTO DE ENERGIA Os preços mais elevados coincidem com os períodos de menor armazenamento. Nov/ Jan/1 Mar/1 Mai/1 Jul/1 Set/1 Nov/1 Jan/2 Mar/ Armazenamento (%)

3 EFEITO DA ENERGIA AFLUENTE NO PREÇO Outro componente fundamental na tomada de decisão operativa com efeito sobre o preço da energia no mercado de curto prazo é a expectativa de energia afluente aos reservatórios. Se a certeza sobre a previsão de energia afluente é grande, a decisão operativa do sistema torna-se mais precisa e o custo de operação se aproxima do mínimo. No horizonte de médio e longo prazos, a incerteza sobre a vazão afluente aos reservatórios é muito grande e o processo de otimização empregado pelo ONS utiliza-se de séries sintéticas para simular todos os cenários possíveis de energia afluente ao sistema, baseado no histórico conhecido de vazões. A fig. 3 a seguir, apresenta os resultados da aplicação do modelo newave [2,3], programa computacional utilizado pelo ONS no planejamento da operação do sistema elétrico, para demonstrar a relação entre a energia armazenada e a energia afluente ao sistema. Para efeito de ilustração, destacou-se uma das séries de energia afluente simuladas, dentre as séries sintéticas geradas pelo modelo, onde observa-se a defasagem temporal entre as duas grandezas. O efeito da afluência é "percebido" na armazenagem dos períodos seguintes. Afluência (MWmed) Ago/1 Out/1 Energia Afluente e Energia Armazenada no Sudeste Série 34 - Sensibilidade sobre o Cenário de oferta do ONS (PMO ago/1) Dez/1 Fev/2 Abr/2 Jun/2 Ago/2 Afluência Out/2 Dez/2 Fev/3 Abr/3 Armazenamento FIGURA 3 ENERGIA AFLUENTE X ARMAZENADA Para o mesmo conjunto de resultados, a fig. 4 a seguir, apresenta a variação do CMO com a energia afluente ao sistema. CMO (R$/MWh) Ago/1 Out/1 Dez/1 Custo Marginal de Operação e Energia Afluente no Sudeste Série 34 - Sensibilidade sobre o Cenário de oferta do ONS (PMO ago/1) Fev/2 Abr/2 Jun/2 Ago/2 CMO Out/2 Dez/2 Fev/3 Afluência FIGURA 4 PREÇO DA ENERGIA X ENERGIA AFLUENTE 5. - MÉTODO PROPOSTO Dados os cenários de expansão da oferta e de mercado a ser atendido, as duas variáveis que podem afetar o preço da energia no horizonte de curto prazo Abr/3 Jun/3 Jun/3 Ago/3 Ago/3 Out/3 Out/3 Dez/3 Dez/ Armazenamento (MWmed) Afluência (MWmed) são a energia afluente e a energia armazenada, dado que nesse horizonte, nem a carga do sistema nem seu plano de expansão sofrem variações abruptas capazes de interferir no CMO - Custo Marginal de Operação. O método de estimativa do preço da energia no mercado de curto prazo, para um horizonte de médio prazo, apresentado neste trabalho, baseia-se em análises estatísticas dos resultados de CMO para um dado cenário de oferta e carga de energia, considerando a energia armazenada e afluente do sistema como variáveis explicativas do CMO do sistema. 5.1 Densidade de Probabilidade do CMO função da vazão afluente A energia afluente aos reservatórios equivalentes dos submercados são usualmente consideradas em termos do percentual que representam sobre a Média de Longo Termo (MLT) de todas as energias afluentes conhecidas do histórico de vazões. Calcula-se o valor da MLT das energias afluentes em cada submercado do sistema, de acordo com a equação (1), para em seguida determinar-se que percentual desta MLT é representada por cada série de energia afluente considerada entre as séries sintéticas, de acordo com a equação (2). Σ k=1 EAFL s,ano,m,série MLT_EAFL s,ano,m = (1) EAFL s,ano,m,série EAFL_P s,ano,série,m = * (2) MLT_EAFL s,ano,m MLT_EAFL s,ano,m é a Média de Longo Termo da energia afluente ao submercado s no ano ano e no mês m [MWmed]; EAFL s,ano,m,série é a energia afluente ao submercado s no ano ano, mês m e série série [MWmed]; EAFL_P s,ano,série,m é o percentual que a energia afluente representa da MLT no submercado s, ano ano, série série e no mês m (%); é o número total de séries sintéticas utilizadas pelo programa newave [adimensional]. Nesta abordagem utiliza-se o valor de MLT como a média da energia afluente das séries sintéticas consideradas nas simulações ao invés de se utilizar da definição típica de MLT (média dos valores históricos conhecidos). Esta opção foi feita por simplicidade nos dados de entrada do programa computacional utilizado nos cálculos. Para evitar que o usuário seja obrigado a calcular o valor de MLT de cada mês do histórico e forneça este parâmetro como dado de entrada, o programa calcula a MLT das séries sintéticas simuladas para cada mês. Como as séries sintéticas são geradas considerandose o histórico como dado de entrada para um modelo auto-regressivo de ordem p, as séries geradas são estatisticamente equivalentes ao histórico [2]. Portanto, não há diferença significativa entre a MLT calculada para as séries sintéticas e a MLT calculada para o histórico.

4 4 Determinada a variável definida em (2), calcula-se sua distribuição em n intervalos de percentuais da MLT previamente definidos, conforme a equação (3). Lsup_EAFL_P Linf_EAFL_P int_eafl_p = (3) n_int_eafl_p - 1 Int_EAFL_P é o tamanho do intervalo de energia afluente sobre o qual serão distribuídos todos os valores das séries sintéticas utilizados na simulação operativa do sistema [%]; Lsup_EAFL_P é o máximo valor de percentual da MLT que será considerado para a energia afluente aos submercados. Este valor é definido pelo usuário [%]; Linf_EAFL_P é o mínimo valor de percentual da MLT que será considerado para a energia afluente aos submercados [%]. Este valor é pré-definido tendo-se em vista o menor valor para o qual se deseja efetuar análise sobre a energia afluente aos reservatórios. Nesta implementação este valor foi considerado 3%.; n_int_eafl_p é o número de intervalos sobre os quais serão distribuídas as energia afluentes aos submercados [adimensional]. Este valor é pré-definido com base no número mínimo de intervalos de discretização da energia afluente que permita a determinação consistente de sua função densidade de probablidades. Nesta implementação considerou-se que 4 intervalos são suficientes para representar essa função. Os limites inferiores e superiores de cada intervalo k utilizado na discretização da energia afluente são calculados aplicando-se as equações de (4) a (1), apresentadas a seguir. se k = 1: (4) Linf_int_EAFL_P(k) = Linf_EAFL_P (5) Lsup_int_EAFL_P(k) = int_eafl_p + Linf_int_EAFL_P(k) (6) Se k > 1: (7) Linf_int_EAFL_P(k) = Lsup_int_EAFL_P(k-1) (8) Lsup_int_EAFL_P(k) = int_eafl_p + Linf_int_EAFL_P(k) (9) K = 1, 2, 3... (n_int_eafl_p 1) (1) Linf_int_EAFL_P(k) é o limite inferior do percentual de energia afluente no intervalo de discretização k [%]; Lsup_int_EAFL_P(k) é o limite superior do percentual de energia afluente no intervalo de discretização k [%]; Identifica-se a qual dos intervalos de discretização pertence cada valor de EAFL_P s,ano,série,m, determinando-se dessa maneira, a função densidade de probabilidade do CMO, utilizando-se a energia afluente como variável explicativa, através da associação dos resultados de CMO para cada valor de energia afluente. Definida a distribuição da energia afluente de todas as séries sobre o intervalo de análise proposto, determinase quantas e quais são as séries de cada intervalo. A cada série sintética está associado um resultado de CMO, calcula-se a probabilidade, o valor esperado, a variância e o desvio padrão do CMO [4] em cada intervalo discretizado. A probabilidade, valor esperado, variância e desvio padrão do CMO em cada intervalo de discretização k são calculados pela formulação a seguir. NS(k) s,ano,m P(k) ano,m = (11) Σ ns=1 cont[ IND(EAFL_P s,ano,ns,m) ] * CMO s,ano,ns,m CMO_MED(k) s,ano,m = (12) NS(k) s,ano,m Σns=1 [CMO s,ano,ns,m - CMO_MED(k) s,ano,m] 2 * cont[ IND(EAFL_P s,ano,ns,m)] V_CMO(k) s,ano,m = (424) NS(k) s,ano,m SDEV_CMO(k) s,ano,m = [ V_CMO(k) s,ano,m] ½ (13) P(k) s,ano,m é a probabilidade de ocorrência da energia afluente no intervalo de discretização k no ano ano e no mês m. Esta é a probabilidade de ocorrência dos valores de CMO no mesmo submercado, ano e mês, para o intervalo de discretização k considerando que a energia afluente é a variável explicativa das ocorrências do CMO [adimensional]; CMO_MED(k) s,ano,m é o valor esperado do CMO no intervalo de discretização k, submercado s, ano ano e mês m [$/MWh] V_CMO(k) s,ano,m é a variância do CMO no intervalo de discretização k, submercado s, ano ano e mês m [($/MWh) 2 ]; SDEV_CMO(k) s,ano,m é o desvio padrão do CMO no intervalo de discretização k, submercado s, ano ano e mês m [$/MWh]. 5.2 Densidade de Probabilidade do CMO função da energia armazenada Utilizando-se formulação parecida com a apresentada no item 5.1, determina-se a função densidade de probabilidade do CMO em função da energia armazenada do sistema. 5.3 Processo de convolução Para estimativa do preço da energia no mercado de curto prazo, pode-se utilizar isoladamente a energia armazenada ou a energia afluente como variável explicativa do CMO, ou ainda, um processo de convolução entre esses parâmetros, obtendo-se o valor de CMO para cada cenário de energia afluente, dada a energia armazenada no passado. O programa computacional desenvolvido está preparado para apresentar os resultados de estimativa de preço para qualquer desses métodos, os quais podem ser utilizados podem ser escolhidos, dependendo da aplicação que se vai fazer dos valores estimados. Para as aplicações práticas nas quais tem-se utilizado do processo de estimativa, a utilização isolada da energia afluente como variável explicativa tem apresentazdo resultados satisfatórios. No processo de estimativa do preço no horizonte de médio/longo prazos através da convolução entre a energia armazenada e a energia afluente, avalia-se as probabilidades condicionadas do CMO, para uma

5 5 ocorrência de energia afluente, considerando-se a energia armazenada no período anterior APLICAÇÃO DO MÉTODO PROPOSTO Utilizando-se o caso base de expansão da oferta e de mercado do ONS para o planejamento da operação, neste item apresenta-se a estimativa do preço da energia no mercado de curto prazo para o Submercado Sudeste, segundo a aplicação do método proposto neste trabalho. Os resultados serão apresentados em forma gráfica e a opção por apresentar-se resultados para períodos já passados foi feita para facilitar análise dos resultados obtidos, confrontando-os mais facilmente com os preços efetivamente verificados no MAE. Nas figs. 5 e 6, apresentam-se as estimativas do preço da energia no mercado de curto prazo para o mês de junho de 2, considerando isoladamente a energia afluente e energia armazenada como variáveis explicativas do CMO. CMO (R$/MWh) ,3 25,8 24,3 23,1 21,1 19,5 Custo Marginal de Operação - Maio/2 PMO Mai/2 Caso Base 17,6 15,8 14,3 12,6 11,2 9,7 8,4 7,1 6,35,3 4,7 4,1 3,9 2,7 3,3 1,81,81,81, (%) da MLT da Energia Afluente FIGURA 5 - ESTIMATIVA DE PREÇO (AFLUÊNCIA) Na fig. 5, observa-se que a moda da função densidade de probabilidade da energia afluente ao sistema estava entre 95 e 11% da MLT do mês. Para esta situação esperava-se um preço da energia no MAE entre 11,2 e 15,2 R$/MWh. CMO (R$/MWh) Custo Marginal de Operação - Junho/2 Valor Esperado PMO Mai/2 Caso Base 4,3,1 1, , (%) da Energia Armazenada no Final do Mês Anterior FIGURA 6 - ESTIMATIVA DE PREÇO (ARMAZENADA) Utilizando a energia armazenada isoladamente para estimativa do preço no mercado de curto prazo, a fig. 6 mostra que a expectativa de energia armazenada de maio de 2 apresentou moda de 7% da energia armazenada máxima do sudeste, o que levaria a um preço da energia de 15,9 R$/MWh no curto prazo para o mês de junho de 2. Na fig. 7 a seguir, apresenta-se a estimativa do preço da energia no mercado de curto prazo levando em conta a convolução entre a energia armazenada e a 24,1 15,9 8,6,14,12,1,8,6,4,2,,7,6,5,4,3,2 Probabilidade (pu) Probabilidade (pu) energia afluente. Os resultados apresentados são para o mês de setembro de 2, utilizando-se as informações do ONS quanto à expansão da oferta e a carga do sistema. (R$/MWh) Valor Esperado de CMO para cada classe de EAFL em set/2 dada EARM em ago/ PMO de ago/2 - caso base do ONS Energia Afluente em setembro/2 (% da MLT) Ea85 Ea9 Ea95 Ea FIGURA 7 - ESTIMATIVA DE PREÇO (CONVOLUÇÃO) A fig.7 apresenta as estimativas de preço de energia no mercado de curto prazo levando em conta todas as possibilidades de energia armazenada e considerando os cenários possíveis de energia afluente ao sistema. Observa-se que a expectativa do planejamento mensal era de que apenas situações de armazenamento acima de 85% seriam passíveis de ocorrer no final de agosto de 2, levando a uma distribuição dos preços em valores reduzidos, abaixo de 33 R$/MWh, mesmo nas situações mais críticas, onde a afluência é da ordem de 3% da MLT no mês de setembro e a energia armazenada era de 85% da máxima ao final de agosto ANÁLISE DOS RESULTADOS A tabela 1 a seguir apresenta uma comparação dos resultados obtidos da estimativa feita para o preço da energia no mercado de curto prazo no mês de junho de 2. O método apresenta solução para valores médios mensais, porém pode-se observar da tabela 1 que as soluções intermediárias semanais também resultam em valores que podem ser estimados a partir da energia afluente ao sistema. A análise ex-post dos resultados permite aferir o processo. Em termos médios, para o més de julho de 2, dada a energia afluente ao sistema Sudeste, esperava-se o preço da energia entre 13,37 e 23,73 R$/MWh, o valor que se verificou foi uma média de 13,62 R$/MWh, dentro do intervalo de 95% de confiança determinado pela aplicação do método de estimativa. TABELA 1 - ANÁLISE DOS RESULTADOS (JUN/2) En. Afluente (%MLT) PREÇO ESTIMADO (R$/MWh) Preço SEMANA Verificada Discretizada VE LS (+2dp) LI (-2dp) Verificado 1 A 7 DE JUN/2 88% 9% 15,31 19,82 1,8 9,4 8 A 14 DE JUN/2 77% 8% 18,5 23,73 13,27 14,52 15 A 21 DE JUN/2 73% 75% 19,21 25,77 12,66 14,8 22 A 28 DE JUN/2 68% 7% 2,61 27,9 13,31 15,75 média 77% 8% 18,5 23,73 13,27 13,62 obs: LS e LI são os limites superiores e inferiores da estimativa para 2 desvios padrão 8. - CONCLUSÃO A comparação dos resultados apresentados neste trabalho com os preços da energia de fato verificados no mercado de curto prazo permite concluir que o

6 6 método apresenta bons resultados e pode ser utilizado com boa margem de segurança, como instrumento de suporte à tomada de decisão para os agentes de mercado que atuam no mercado de curto prazo AGRADECIMENTOS O autor Christiano Lyra agradece o apoio do CNPq 1. - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] - Programa Mensal de Operação - dez/2 divulgado no site do ONS [2] - Programação Dinâmica Dual Estocástica aplicada ao Planejamento da Operação Energética de Sistemas Hidrotérmicos com Representação do Processo Estocástico de Afluências po Modelos Auto-regressivos Periódicos - Relatório técnico 237/93 - CEPEL 1993 [3] - Multi-stage Stochastic Optimization Applied to Energy Planning - M.V.F. Pereira, L.M.V.G. Pinto - Mathematical Programming 52, [4] - Probalidade - Aplicação à Estatística - Paul L. Meyer, Livros Técnicos e Científicos Editora