MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ ISEE / GESis Instituto de Sistemas Elétricos e Energia Grupo de Engenharia de Sistemas EEL401 Eletrotécnica Geral II MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS Prof. Pedro Paulo de Carvalho Mendes 3 a Edição Julho 2004

2 Índice Materiais e Circuitos Magnéticos

3 CAPÍTUL0 01 CONCEITOS BÁSICOS 1.1 INTRODUÇÃO As máquinas elétricas (como transformadores, motores e geradores) são constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. Um circuito magnético é aquele onde existe um caminho para o fluxo magnético, de forma análoga ao circuito elétrico, que proporciona um caminho para a corrente elétrica. Os materiais magnéticos utilizados no desenvolvimento de circuitos magnéticos determinam as dimensões dos equipamentos, as suas capacidades, e introduzem limitações nos desempenhos, devido a saturações e perdas. É importante, portanto, conhecer suas características e propriedades básicas, para possibilitar um desenvolvimento mais econômico e adequado dos diversos equipamentos. O presente capítulo apresenta diversos conceitos básicos para a teoria dos circuitos magnéticos, como: fluxo magnético, leis de Lenz e Faraday, fluxo enlaçado, indutâncias próprias e mútuas. Nos capítulos posteriores serão consideradas as características e propriedades básicas dos materiais magnéticos, bem como suas aplicações em cálculos de circuitos magnéticos de configurações diversas. 1.2 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Fluxo Magnético Materiais e Circuitos Elétricos página 1

4 Considere um campo magnético não uniforme de módulo B onde são colocadas três espiras, conforme a figura 1.1, a seguir. Figura Espiras Colocadas em um Campo Magnético A espira 01 tem uma área A 1 e ela está colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B 1. A espira 02 tem uma área A 2 <A 1 e ela está colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B 2, sendo B 2 > B 1. A espira 03 tem uma área A 3 = A 2, porém está posicionada de tal forma que existe um ângulo "θ " entre a normal à superfície e o vetor campo magnético de módulo B 3 (observar que B 3 = B 2 ). Pode-se perceber da figura 1.1, que: a) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 01 e 02 é igual, embora as áreas sejam diferentes. Isto se deve ao fato do campo magnético B 2 ser mais intenso do que o campo magnético B 1 (devido a maior densidade de linhas de campo); b) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 02 e 03 é diferente, embora elas possuam a mesma área e estejam colocadas em posições de densidades iguais de campo magnético. Isto acontece porque a espira 03 esta inclinada em relação ao vetor campo magnético B 3, formando um ângulo θ ; portanto, a sua área projetada na perpendicular ao campo é menor que a área real. Materiais e Circuitos Elétricos página 2

5 Assim, pode-se dizer que, o fluxo magnético que atravessa uma espira corresponde ao número de linhas de campo que passa pela mesma e depende do campo magnético B, da área A da espira e do ângulo θ formado entre a normal à superfície da espira e o campo magnético. De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo magnético corresponde ao conjunto de linhas de campo magnético que emerge do pólo norte de um imã. Matematicamente pode-se expressar o fluxo magnético como sendo: φ = B A cosθ (1.1) Ou ainda, de uma forma mais geral, φ = B n da (1.2) A Onde: φ B n da = Fluxo magnético através de uma superfície; = Vetor campo magnético; = Vetor unitário normal à superfície; = Elemento de área de uma superfície. Dimensões do Fluxo Magnético φ : No sistema internacional, a unidade de fluxo magnético é o Weber [Wb]. [ φ ] = [ Weber ] = [ Wb] A unidade [Weber] pode ser expressa, também, como sendo: 8 8 [ Wb] = 10 [ linhas ] 10 [ Maxwell ] 1 = Materiais e Circuitos Elétricos página 3

6 1.2.2 Lei de Faraday Em 1831, o físico inglês Michael Faraday descobriu o princípio da indução eletromagnética, através de diversas experiências. Estas experiências estão sintetizadas no exemplo a seguir. Considere uma espira circular cujos terminais foram ligados a um amperímetro, fechando o circuito. Considere também um imã em forma de barra se aproximando da espira, conforme ilustra a figura 1.2, a seguir. N S A Figura Espira Fechada com um Amperímetro Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o imã da espira, a agulha do amperímetro se deslocava para um determinado lado (admitindo que ele estivesse trabalhando com um amperímetro de zero central), o que significava que havia aparecido no circuito uma corrente elétrica induzida. No momento em que Faraday parou de movimentar o imã, ele notou que a corrente através do circuito se anulava. Numa terceira etapa, afastando o imã da espira, o físico inglês viu a agulha do amperímetro novamente se deslocar, só que para o lado oposto, sinal de que havia surgido, outra vez no circuito, uma corrente induzida mas de sentido contrário àquele com a qual ela havia aparecido na primeira vez. Com base nesta e em outras experiências realizadas, Faraday concluiu que: Materiais e Circuitos Elétricos página 4

7 Sempre que houver variação do fluxo magnético através de uma espira, surgirá nesta espira uma força eletromotriz induzida. A este fenômeno dá-se o nome de indução eletromagnética. Da experiência desenvolvida por Faraday é necessário destacar que, para que surja uma f.e.m. induzida no circuito, não é necessária a existência de um fluxo magnético através da espira, mas sim o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do tempo. Assim, pode-se escrever matematicamente que: dφ e = [ V] (1.3) dt Onde: φ E = Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito; = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral) Fatores que influem na variação do Fluxo Magnético a) Variação do Fluxo pela mudança da intensidade do Campo Magnético Considere um circuito fechado fixo e um imã em forma de barra, conforme ilustra a figura 1.3, a seguir. imã móvel S N B circuito fechado Figura Imã se Aproximando de um Circuito Fechado Fixo Materiais e Circuitos Elétricos página 5

8 À medida que o imã se aproxima do circuito fechado, ocorre um crescimento do campo magnético e, portanto, há um aumento do fluxo através do circuito (maior número de linhas de campo o atravessam). A variação do campo magnético conduz a uma variação do fluxo magnético (lembrar que φ = B A cosθ ). Por outro lado, o fluxo magnético variável faz surgir no circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como o circuito é fechado, irá circular no mesmo uma corrente elétrica. É importante observar, ainda, que o fenômeno da indução também ocorre quando se mantém o imã fixo e se movimenta o circuito fechado. b) Variação do Fluxo pela variação da Área Considere um circuito fechado de área A movendo-se no plano do papel sobre um campo magnético uniforme e perpendicular à folha, conforme ilustra a figura 1.4, a seguir. Figura Circuito Fechado Entrando em um Campo Magnético No instante em que o circuito passa a se movimentar, penetrando no campo, começa a aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma variação na área A imersa no campo magnético ( A varia com o tempo). Aparece, então, uma f.e.m. induzida no circuito, esta f.e.m. dá origem a uma corrente e conseqüentemente o amperímetro sofre uma deflexão. Quando o circuito estiver totalmente dentro do campo magnético, o fluxo através da área A não mais varia e portanto, não há corrente induzida no circuito. Materiais e Circuitos Elétricos página 6

9 c) Variação do Fluxo pela variação do Ângulo θ Considere um circuito fechado imerso em um campo magnético uniforme de módulo B, inicialmente na posição (01) perpendicular ao campo, conforme mostra a figura 1.5, a seguir. n O n B (1) (2) Figura Espira Girando em um Campo Magnético Girando-se o circuito muda-se o ângulo entre a normal à superfície e o campo magnético. Nessas condições ocorre uma variação do fluxo através do circuito, esta variação produz uma f.e.m. induzida no mesmo e, conseqüentemente, haverá a circulação de uma corrente elétrica. Observação: As análises anteriores podem ser verificadas através das expressões (1.1), do fluxo magnético e (1.3), da lei de Faraday. d) Variação do Fluxo pela Variação da Corrente Considere um circuito fechado colocado próximo de um eletroimã em forma de barra, sendo ambos fixos, conforme ilustra a figura 1.6 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 7

10 i ELETROIMÃ CIRCUITO FECHADO Figura Circuito Fechado Próximo de um Eletroímã Para uma corrente i variável injetada na bobina do eletroimã, corresponderá um fluxo magnético variável que irá envolver o circuito fechado. Este fluxo variável dará origem a uma f.e.m. induzida (lei de Faraday) e conseqüentemente uma corrente elétrica irá circular no referido circuito. Dos quatro casos analisados anteriormente pode-se concluir que: - A variação do fluxo causada, ou por mudança na intensidade do campo magnético, devido a aproximação relativa entre o imã e o circuito (caso a ); ou por variação da área do circuito (caso b ); ou ainda por variação do ângulo θ (caso c ), produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado. Esta f.e.m. é induzida por efeito de algum tipo de movimento. Desta forma ela é denominada f.e.m. de movimento ; - A variação do fluxo causada por variação na intensidade da corrente, considerando o eletroimã e o circuito, fixos (caso d ) produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado. Esta f.e.m., que é induzida, não por efeito de movimento, mas sim pela variação da corrente na bobina é denominada f.e.m. de efeito transformador Lei de Lenz A intensidade da corrente elétrica originada pela variação do fluxo magnético, num circuito fechado, puramente resistivo, é dada por: Materiais e Circuitos Elétricos página 8

11 e i = (01 a Lei de Ohm) R o seguinte: O estudo do sentido da corrente elétrica é determinado pela Lei de Lenz, que diz O sentido da corrente elétrica induzida é tal que seus efeitos tendem sempre a se opor à variação de fluxo que lhe deu origem. Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday (expressa matematicamente pela equação 1.3), como sendo: dφ e = [ V ] (1.4) dt Faraday. A equação (1.4) corresponde à expressão matemática da Lei de Lenz Lei de Lenz-Faraday Enunciado: Sempre que houver variação do fluxo magnético através de um circuito surgirá neste uma força eletromotriz induzida. Se o circuito for fechado circulará uma corrente induzida cujo sentido será tal que tenderá a se opor às variações do fluxo que lhe deu origem. Expressão Matemática: dφ e = dt [ V ] Onde: φ e = Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito; = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral); Materiais e Circuitos Elétricos página 9

12 sinal = Retrata a oposição ao fluxo de origem (Lei de Lenz). 1.3 FLUXO ENLAÇADO OU CONCATENADO N espiras. Considere a barra de ferro da figura 1.7, a seguir, envolvida por uma bobina de N O i a b Figura Barra de Ferro com N Espiras Para uma corrente i injetada no terminal a obtém-se um fluxo φ no material ferromagnético. Na figura 1.7, este fluxo φ enlaça ou concatena as N espiras da bobina. Assim, pode-se definir que: λ = N φ (1.5) Onde: λ = Fluxo enlaçado ou concatenado. [ λ ] = [ Weber espita] ou [ Wb esp] bobina. Portanto, λ corresponde ao fluxo que enlaça ou envolve as N espiras da A figura 1.8, a seguir, apresenta outros exemplos. Materiais e Circuitos Elétricos página 10

13 (1) (2) o 1 o 2 (3) (4) Figura Fluxos Enlaçados ou Concatenados Na figura 1.8 pode-se observar que: λ2 = 2 φ2 fluxo enlaçado com a bobina (02); λ3 = 1 φ 2 fluxo enlaçado com a bobina (03); λ4 = 4 φ2 fluxo enlaçado com a bobina (04). Considere agora o fluxo enlaçado com a bobina da figura 1.9, a seguir. a Q Q Q 1 2 Q 3 b N = 3 ö Faraday, que: Figura 1.9 Fluxo Enlaçado com uma Bobina Se o fluxo φ for variável com o tempo obrem-se, através das leis de Lenz e dφ e1 = (1.6) dt Materiais e Circuitos Elétricos página 11

14 dφ e2 = dt (1.7) dφ e3 = dt (1.8) Compondo, agora, as equações (1.6), (1.7) e (1.8), vem: e dφ dφ dφ e1 + e2 + e = (1.9) dt dt dt = 3 Ou ainda, dφ e = 3 (1.10) dt Para uma bobina de N espiras obtém-se: dφ e = N (1.11) dt Ou de outra forma: d( N φ) e = (1.12) dt Com λ = N φ (ver equação 1.5), pode-se escrever que: dλ e = (1.13) dt Sendo λ o fluxo total enlaçado ou concatenado com a bobina. Materiais e Circuitos Elétricos página 12

15 1.4 INDUTÂNCIA PRÓPRIA A indutância própria é também chamada de auto-indutância. Para entender o seu significado, considere inicialmente a bobina de N espiras com corrente i, da figura 1.10 a seguir. N i a b Figura 1.10 Bobina de N Espiras com Correntes i A corrente i passando pela bobina de N espiras dá origem a um fluxo enlaçado λ. Em determinadas condições pode-se dizer que existe uma proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo enlaçado por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é denominada indutância própria da bobina, e é normalmente representada pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que: λ L = (1.14) i Ou ainda: λ = L i (1.15) Como λ = N φ, em (1.14), vem: N φ L = (1.16) i Considere agora uma corrente variável com o tempo sendo injetada na bobina de N espiras da figura Pode-se escrever que: Materiais e Circuitos Elétricos página 13

16 dλ dt = L di dt (1.17) Através da lei de Lenz-Faraday, tem-se: dλ e = (1.18) dt Levando (1.18) em (1.17), obtém-se: di e = L (1.19) dt Portanto, da equação (1.19), observa-se que há uma queda de tensão na bobina, como efeito de sua indutância própria. Este comportamento pode ser representado através do circuito elétrico equivalente da figura 1.11, a seguir. v i L Q Figura 1.11 Circuito Elétrico Equivalente Da equação (1.14) tem-se que a indutância própria apresenta uma dimensão de [Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H]. É importante observar também que, pela definição a indutância corresponde a uma constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a corrente que o produz. Isto não é verdadeiro no caso de materiais ferromagnéticos onde, devido a saturação, a indutância pode apresentar valores variáveis com a corrente. Materiais e Circuitos Elétricos página 14

17 l Universidade Federal de Itajubá De uma forma geral, pode-se dizer que a indutância própria de uma bobina depende: das dimensões, do número de espiras e do meio onde se encontra esta bobina. 1.5 INDUTÂNCIA MÚTUA Para entender o significado da indutância mútua, considere a configuração com duas bobinas apresentada a figura 1.12, a seguir. i 1 N 1 (1) N 2 (2) Figura Configuração com Duas Bobinas A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina com corrente, sobre uma ou mais bobinas adjacentes. Na figura 1.12, tem-se uma corrente i 1 passando pela bobina de N 1 espiras. Esta corrente i 1 dá origem a um fluxo enlaçado com a bobina de N 2 espiras, de valor λ 21, ou seja: 21 = N f (1.20) 2 21 Onde: φ 21 = Fluxo magnético da bobina (02), produzido pela corrente i 1 ; N 2 = Número de espiras da bobina (02). Em determinadas condições, existe uma proporcionalidade entre a corrente i 1 e o fluxo enlaçado ( λ 21 ), por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é denominada indutância mútua entre as bobinas 02 e 01, e é normalmente representada por M 21. Desta forma, pode-se escrever que: Materiais e Circuitos Elétricos página 15

18 M 21 λ i 21 = (1.21) 1 Ou ainda, λ (1.22) 21 = M 21 i1 De (1.20) e (1.21), tem-se: M 21 φ 21 = N2 (1.23) i1 Considere agora uma corrente i 1 variável com o tempo sendo injetada na bobina (01), da figura Pode-se escrever que: d 21 = M 1 21 λ dt di dt (1.24) Através das leis de Lenz e Faraday, tem-se que: e 2 dλ21 = (1.25) dt Levando (1.25) em (1.24), obtém-se: e di1 = M 21 (1.26) dt 2 Portanto, da equação (1.26), observa-se que há uma tensão induzida na bobina (02), como efeito da circulação de uma corrente variável com o tempo na bobina (01). Esta tensão induzida depende da indutância mútua entre as duas bobinas (M 21 ). Materiais e Circuitos Elétricos página 16

19 De forma análoga pode-se analisar a influência da passagem de uma corrente i 2 pela bobina (02), sobre a bobina (01). Neste caso, tem-se uma indutância mútua M 12 cujo valor é idêntico ao da indutância M 21, anteriormente descrita. Da equação (1.21) tem-se que a indutância mútua apresenta uma dimensão de [Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H], da mesma forma que a indutância própria. É importante observar também que, pela definição a indutância mútua corresponde a uma constante de proporcionalidade entre um fluxo enlaçado e a corrente que o produz. Isto não é verdadeiro para o caso em que o meio entre as bobinas é constituído por materiais ferromagnéticos, onde as indutâncias mútuas podem apresentar valores variáveis com as correntes, em função da saturação. De uma forma geral pode-se dizer que a indutância mútua entre duas bobinas adjacentes depende: da distância entre as bobinas, das dimensões físicas das duas bobinas, do número de espiras em cada bobina, e do meio considerado Coeficiente de Acoplamento Na figura 1.12, a corrente i 1 na bobina (01) estabelece um fluxo magnético total φ 1. Parte deste fluxo total atravessa a bobina (02), mais precisamente a parcela φ 21. A relação entre a parcela de fluxo magnético φ 21 e o fluxo total φ 1 é denominada coeficiente de acoplamento (K) e pode ser expresso por: φ φ = φ φ K = (1.27) 1 2 Da expressão (1.23) tem-se que: M 21 = N 2 φ i 21 1 Materiais e Circuitos Elétricos página 17

20 Materiais e Circuitos Elétricos página 18 De forma análoga pode-se escrever que: i N M φ = (1.28) Como M 12 =M 21, tem-se: M M M = (1.29) E ainda, = i N i N M φ φ (1.30) Levando (1.27) em (1.30), vem: = i N i N K M φ φ (1.31) Ou ainda, = i N i N K M φ φ (1.32) Como, i N L φ = (1.33) i N L φ = (1.34)

21 Temos que: M = K L 1 L 2 (1.35) Onde: K = Coeficiente de acoplamento; L 1 = Indutância própria da bobina (01); L 2 = Indutância própria da bobina (02); M = Indutância mútua entre as bobinas (01) e (02). 1.6 PERGUNTAS PROPOSTAS Responda as seguintes perguntas: 01) O que é um circuito magnético? Onde são utilizados? 02) Por quê é importante o estudo de circuitos magnéticos? 03) O que se entende por fluxo magnético atravessando uma espira? 04) Do que depende um fluxo magnético? 05) Quais são as unidades de fluxo magnético que normalmente utilizadas? 06) Fale sobre a experiência realizada por Michael Faraday. 07) Qual é o significado da lei de Faraday? 08) O que é uma f.e.m. de movimento? Onde se aplica? Dê exemplos. exemplo. 09) O que é uma f.e.m. de efeito transformador? Onde se aplica? Dê um Materiais e Circuitos Elétricos página 19

22 10) Qual é o significado da lei de Lenz? 11) Qual é o significado de fluxo enlaçado? 12) Dê exemplos de fluxos enlaçados com bobinas. 13) O fluxo enlaçado tem o mesmo significado que o fluxo concatenado? 14) O que é a indutância própria de uma bobina? 15) Qual é a relação entre a indutância própria e o fluxo enlaçado? 16) O que você entende por indutância mútua entre duas bobinas? 17) Qual é a unidade da indutância própria? 18) Qual é a unidade da indutância mútua? 19) O que é o coeficiente de acoplamento? 20) Qual é a relação entre a indutância mútua de duas bobinas e as suas respectivas auto-indutâncias? Faça uma dedução matemática. 1.7 PROBLEMAS PROPOSTOS Resolva os seguintes problemas: 01) Considere um fluxo magnético de 3000 linhas. Calcule seu valor em Weber. 02) Qual é a densidade de fluxo em Tesla quando existe um fluxo de [Wb] através de uma área de m 2? Materiais e Circuitos Elétricos página 20

23 03) Determine a polaridade magnética do eletroimã da figura a seguir (utilize a regra da mão direita): 04) O fluxo de um eletroimã é de 06 [Wb]. O fluxo aumenta uniformemente até 12 [Wb] num intervalo de 02 [s]. Calcule a tensão induzida numa bobina que contenha 10 espiras, se a bobina estiver parada dentro do campo magnético. 05) No problema anterior, qual é o valor da tensão induzida se o fluxo magnético permanecer constante em 06 [Wb] após 02 [s]? 06) Um imã permanente desloca-se dentro de uma bobina e produz uma corrente induzida que passa pelo circuito da mesma, conforme figura a seguir. Determine a polaridade da bobina e o sentido da corrente induzida. 07) Uma bobina de 100 espiras, com auto-indutância de 10 [H], é percorrida por uma corrente de 05 [A], que tem uma taxa de variação de 200 A/s. Calcular o fluxo enlaçado com a bobina e a f.e.m. induzida na mesma. Materiais e Circuitos Elétricos página 21

24 08) Uma bobina tem uma indutância própria igual a 5 [H] e corrente i dada por: i = i sen ( 377 t) MÁX f.e.m. induzida em função do tempo.. Fazer o gráfico do fluxo magnético, do fluxo enlaçado e da 09) Qual é a densidade de fluxo de um núcleo que possui linhas e uma área da seção reta de 5 [cm 2 ]? 10) Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando. Todas as respostas devem ser dadas em unidades do Sistema Internacional. φ B A [Wb]? [m 2 ]? 0.8 [T] [m 2 ] [linhas]? 02 [cm 2 ] [Wb]? [m 2 ] 11) No campo estacionário de uma bobina de 500 espiras, calcule a tensão induzida produzida pelas seguintes variações de fluxo: (a) 04 [Wb] aumentando para 06 [Wb] em 01 [s]; (b) 06 [Wb] diminuindo para 04 [Wb] em 01 [s]; (c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000 linhas em [s]; (d) 04 [Wb] constante durante 01 [s]. 12) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina (01) é de 05 [A] e os fluxos correspondentes φ 11 e φ 21 são, respectivamente, e [Maxwell]. Sendo N 1 = 500 e N 2 = 1500, os totais de espiras, determinar L 1, L 2, M e K. 13) Duas bobinas L 1 = 0.8 [H] e L 2 = 0.2 [H] têm um coeficiente de acoplamento K = 0.9. Determinar a indutância mútua entre elas, bem como a relação N 1 /N 2. Materiais e Circuitos Elétricos página 22

25 14) Duas bobinas cujas respectivas auto-indutâncias são L 1 = 0.05 [H] e L 2 = 0.20 [H] têm coeficiente de acoplamento igual a 0.5. A bobina (2) tem 1000 espiras. Sendo i = 05 sen( 400 t) 1 a corrente na bobina (01), determinar a tensão na bobina (02) e o fluxo máximo estabelecido pela bobina (01). 15) Duas bobinas têm coeficiente de acoplamento igual a 0.85 e a bobina (01) tem 250 espiras. Com 1 i = 02 [A] na bobina (01), o fluxo total φ 1 = [Wb]. Reduzindo-se i 1 linearmente até zero, em dois milissegundos a tensão induzida na bobina (02) fica igual a [V]. Determinar L 1, L 2, M e N 2. 16) O coeficiente de acoplamento de duas bobinas, respectivamente, com N 1 = 100 e N 2 = 800 espiras é Com a bobina (01) aberta e uma corrente de 05 [A] na bobina (02), o fluxo φ 2 é [Wb]. Determinar L 1, L 2 e M. 17) Duas bobinas idênticas têm indutância equivalente de 0.08 [H], quando ligadas em série aditiva, e de [H], quando em série subtrativa. Quais são os valores de L 1, L 2, M e K? 18) Duas bobinas idênticas têm L = 0.02 [H] e coeficiente de acoplamento K = 0.8. Determinar M e as duas indutâncias equivalentes, admitindo que elas estejam ligadas em série aditiva e em série subtrativa. 19) Duas bobinas cujas indutâncias estão na relação de quatro para um têm coeficiente de acoplamento igual a 0.6. Ligadas em série aditiva, sua indutância equivalente é 44.4 [mh]. Determinar L 1, L 2 e M. 20) Qual é a indutância de uma bobina que induz 20 [V], quando a corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]? 21) Uma bobina tem uma indutância de 50 [mh]. Qual é a tensão induzida na bobina quando a taxa de variação da corrente for de [A/s]? Materiais e Circuitos Elétricos página 23

26 22) Uma determinada bobina de 20 [mh] opera com uma frequência de 950 [khz]. Qual é a reatância indutiva da bobina? 1.8 BIBLIOGRAFIA [1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., Electric Power System Components - Transformers and Rotating Machines, Van Nostrand Reinhold Company, (Ver capítulo 02 - págs. 10 a 14); [2] Milton Gussow, Eletricidade Básica, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill do Brasil, Ltda, (Ver capítulo 09 - págs. 232 a 235, capítulo 12 - págs. 307 a 316); [3] Joseph A. Edminister, Circuitos Elétricos, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, Ltda e Makron Books do Brasil Editora Ltda, (Ver capítulo 01 - págs. 6 e 7, capítulo 13 - págs. 362 a 365); [4] Paul A. Tipler, Física, Volume 2a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, (Ver capítulo 27 - págs. 764 a 766, capítulo 28 - págs. 775 a 781 e 784 a 786); [5] David Halliday e Robert Resnick, Fundamentos de Física, Parte 03 - Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, (Ver capítulo 32 - págs. 189 a 194, capítulo 33 - págs. 219 a 222 e 227 a 228); [6] Curso Completo de Eletricidade Básica, U. S. Navy, Bureau of Naval Personnel, Training Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda. (Ver capítulo 08 - págs. 209 a 213 e 220 a 222, capítulo 10 - págs. 241 a 248 e 254 a 259); Materiais e Circuitos Elétricos página 24

27 [7] L. Bessonov, Applied Electricity for Engineers, MIR Publishers - Moscow, (Ver capítulo 04 - págs. 114 a 122 e 127 a 129). Materiais e Circuitos Elétricos página 25

28 CAPÍTUL0 02 MATERIAIS MAGNÉTICOS 2.1 INTRODUÇÃO Desde a antiguidade os gregos já conheciam o fato de que certas pedras tinham a capacidade de atrair pequenos pedaços de alguns metais. Como muitas destas pedras foram encontrados em Magnésia, na Ásia Menor, os gregos chamaram a substância de magnetita ou magnética. Esta substância (Fe 3 O 4 ) constitui o que se chama na atualidade de imãs naturais. Por volta de 2630 a.c., os chineses perceberam que pequenas barras de um certo minério tinham a estranha propriedade de apontar sempre em direção ao pólo norte, o que levou à descoberta da bússola, que nada mais é do que um pequeno imã natural. Além dos imãs naturais, existem nos dias de hoje, imãs desenvolvidos pelas mãos do homem, são os chamados imãs artificiais. Um imã qualquer apresenta duas regiões bem distintas, próximas as quais as ações magnéticas são mais intensas; pode-se verificar esta propriedade jogando limalha de ferro nas proximidades de um imã em forma de barra. A limalha será atraída pelo imã e se concentrará em grande parte nas extremidades dele. Estas regiões são denominadas pólos do imã. A extremidade que aponta em direção ao norte é chamada de pólo norte do imã e a outra extremidade é o pólo sul. Os dois pólos de um imã, ou seja, os pólos norte e sul, formam um dipolo magnético. Materiais e Circuitos Elétricos página 26

29 Para se distinguir os pólos é costume hachurar o pólo norte, conforme ilustra a figura 2.1 a seguir. N S Figura Pólos Norte e Sul de um Imã Os pólos de mesmo nome se repelem (observar figura 2.2), enquanto que os pólos de nomes contrários se atraem (conforme figura 2.3). S N N S N S S N Figura 2.2 Repulsão dos Pólos S N S N N S N S Figura 2.3 Atração dos Pólos O que acontecerá se tentar dividir ao meio o imã apresentado à figura 2.1? Serão obtidos pólos norte e sul separados? Materiais e Circuitos Elétricos página 27

30 Não, na realidade é impossível separar os pólos de um imã. Portanto, no caso da divisão ao meio, seriam obtidos dois novos imãs menores (com pólos norte e sul) e assim sucessivamente caso fossem realizadas novas divisões. A figura 2.4, a seguir, ilustra esta condição. N S N S N S Figura Inseparabilidade dos Pólos Portanto, os pólos norte e sul de um imã são inseparáveis. Isto ocorre porque a estrutura magnética mais simples que existe na natureza é o dipolo magnético elementar. Em outras palavras, os imãs, ou os materiais (de uma forma geral), possuem uma infinidade de dipolos magnéticos elementares, como àqueles apresentados esquematicamente à figura 2.5 a seguir. Figura 2.5 Dipolos Magnéticos Elementares Os dipolos magnéticos elementares (d.m.e.) são os responsáveis pelas propriedades magnéticas da matéria e estão associados aos elétrons. Materiais e Circuitos Elétricos página 28

31 2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS CORPOS QUANDO A IMANTAÇÃO Os corpos podem ser classificados de acordo com o grau de orientação de seus dipolos magnéticos elementares, ou seja, eles podem ser classificados quanto a sua imantação. A seguir serão apresentadas três disposições possíveis para os dipolos magnéticos elementares Corpo Fortemente Imantado imantado. A figura 2.6, a seguir, apresenta uma disposição típica de um corpo fortemente Figura 2.6 Corpo Fortemente Imantado Como pode ser observado, o corpo fortemente imantado é aquele que apresenta uma forte orientação dos dipolos magnéticos elementares Corpo Fracamente Imantado Um corpo fracamente imantado é aquele que demonstra uma ligeira orientação dos dipolos magnéticos elementares, como pode ser observado à figura 2.7, a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 29

32 Figura 2.6 Corpo Fracamente Imantado Corpo Não-Imantado Diferentemente dos dois casos anteriores, pode-se dizer que em um corpo nãoimantado a disposição dos dipolos magnéticos elementares é aleatória, ou seja, não há uma orientação definida. A figura 2.8, a seguir, ilustra esta condição. Figura 2.8 Corpo Não-Imantado Alguns materiais e substâncias podem assumir a característica de imantação forte, outros não. É importante portanto que se faça uma classificação magnética para os mesmos. Isto pode ser realizado, dividindo-os em grupos diferenciados quanto à possibilidade de orientação dos dipolos magnéticos elementares. Esta classificação será realizada no item seguinte. Materiais e Circuitos Elétricos página 30

33 2.3 CLASSIFICAÇÃO MAGNÉTICA DOS MATERIAIS E SUBSTÂNCIAS Os materiais e substâncias são classificados magneticamente, ou seja, classificados de acordo com a capacidade de orientação dos d.m.e (maior ou menor). Costumam ser considerados três grupos distintos: ferromagnéticos, paramagnéticos e diamagnéticos. Estes grupos serão apresentados a seguir Materiais Ferromagnéticos São materiais que possibilitam uma orientação abundante para os seus dipolos magnéticos elementares, isto é, podem ser fortemente imantados quando da ação de um campo magnético externo. De uma forma geral, estes materiais tendem a alinhar seus d.m.e. de forma paralela ao campo magnético aplicado. Fenômeno deste tipo ocorre em materiais como: ferro, níquel, aço, cobalto, etc Materiais Paramagnéticos A característica magnética deste tipo de material é a de permitir apenas uma leve orientação dos d.m.e., de forma paralela ao campo magnético externo que lhe é submetido. Boa parte dos chamados materiais isolantes é classificada como paramagnética. Podem ser citados exemplos como: madeira, vidro, ar, etc Materiais Diamagnéticos De forma semelhante aos materiais paramagnéticos, os diamagnéticos permitem apenas uma orientação muito fraca dos seus d.m.e., quando da ação externa de um campo magnético. Entretanto, estes materiais apresentam uma característica toda peculiar, que é de alinhar os d.m.e. de forma antiparalela ao campo exterior, ou seja, orientam os d.m.e. em sentido contrário ao campo magnético aplicado. São exemplos deste tipo magnético: a água, o cobre, a prata, o ouro, o diamante, etc. Como pode ser observado nos exemplos anteriores, são classificados como diamagnéticos os chamados metais nobres (ouro, prata, cobre, etc). Materiais e Circuitos Elétricos página 31

34 Alguns materiais não permitem uma forte orientação dos d.m.e., outros permitem e outros ainda são encontrados na natureza com características magnéticas acentuadas. Os materiais que permitem uma forte orientação dos d.m.e. podem ser chamados de imãs, sendo caracterizados como artificiais ou naturais, conforme será visto no item seguinte. 2.4 TIPOS DE IMÃ Os imãs podem ser classificados em três tipos: imã natural, imã artificial permanente e imã artificial transitório. As principais características destes imãs serão consideradas neste item Imãs Naturais Imãs naturais são materiais com características magnéticas próprias, obtidas diretamente da natureza. Estes materiais, que foram utilizados inicialmente na confecção de bússolas, apresentam uma orientação bem definida dos dipolos magnéticos elementares (d.m.e.). Exemplos de Imãs Naturais Minérios como a magnetita (Fe 3 O 4 ) Tabela 2.1 Exemplos de Imãs Naturais Imãs Artificiais Permanentes São materiais que apresentam comportamentos distintos quando da presença ou não de um campo magnético externo, ou seja: na ausência de um campo magnético externo estes materiais apresentam, de uma forma geral, uma disposição aleatória para os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, tendem a alinhar os d.m.e. no sentido deste campo, ficando então imantados. Supondo agora que o campo externo seja retirado, boa parte dos d.m.e. permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer, Materiais e Circuitos Elétricos página 32

35 portanto, que o material permanecerá imantado. Esta característica de imantação residual (ou permanente) depende do tipo de material considerado. Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes Algumas ligas metálicas como: aço, aço-carbono (aço com elevado teor de carbono), alnico 5 (liga composta por: alumínio, níquel e cobalto), etc. Tabela 2.2 Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes Imãs Artificiais Transitórios Estes materiais também apresentam comportamentos distintos quando da presença ou ausência de um campo magnético externo, a saber: na ausência de um campo magnético externo estes materiais apresentam, como os anteriores, uma disposição aleatória para os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, promovem um alinhamento dos d.m.e. no sentido deste campo, ficando então imantados. No caso da retirada do campo externo, uma parcela reduzida dos d.m.e. permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer que o material praticamente perderá sua imantação. Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios Ferro, ligas metálicas como o ferro-silício, etc. Tabela 2.3 Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios 2.5 INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA A experiência mostra que, acima de um determinado valor de temperatura os materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades magnéticas principais, ou seja, perdem a orientação de seus d.m.e. Este valor de temperatura é denominado Ponto Curie ou Temperatura de Curie, de um dado material. Materiais e Circuitos Elétricos página 33

36 A tabela 2.4, a seguir, apresenta o ponto Curie e o ponto de fusão de alguns materiais ferromagnéticos importantes. Materiais Ponto Curie [ºC] Ponto de Fusão [ºC] Níquel Ferro Cobalto Tabela Ponto Curie e Ponto de Fusão de Alguns Materiais 2.6 CAMPO MAGNÉTICO DE UMA BARRA IMANTADA Considere um condutor por onde passa uma corrente i, conforme ilustra a figura 2.9 a seguir. i Figura 2.9 Condutor com Corrente A passagem da corrente pelo condutor dá origem a um campo magnético ao seu redor. Se a corrente for variável o campo magnético será variável. Se por outro lado a corrente for constante, o campo magnético também será constante. De acordo com o modelo de Ampère, todos os campos magnéticos, de uma forma ou de outra, provêm de correntes. Nos imãs naturais, e em outros materiais magnetizados, estas correntes se devem ao movimento intrínseco dos elétrons atômicos. Embora estes movimentos sejam complexos, pode-se admitir, para este modelo, que os Materiais e Circuitos Elétricos página 34

37 movimentos sejam equivalentes a espiras fechadas, conforme ilustra a figura 2.10 a seguir. Figura 2.10 Movimento dos Elétrons em uma Barra Imantada Se o material for homogêneo, a corrente resultante, em qualquer ponto no interior da barra, é nula, graças ao cancelamento das correntes vizinhas. No entanto, em virtude de não haver cancelamento na superfície do material, o resultado destas espiras equivale a uma corrente periférica, denominada corrente superficial de Ampère. Esta corrente superficial é semelhante a uma corrente de condução real em uma bobina (ou solenóide) de espiras justapostas, ou seja, uma bobina de espiras muito próximas umas das outras. O campo magnético devido a uma corrente superficial é o mesmo que o provocado por uma corrente superficial em uma bobina. Seja M a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento da superfície de um imã linear cilíndrico. A grandeza correspondente na bobina é o produto n i, sendo n o número de espiras por unidade de comprimento ( N / l ) e i a corrente que passa em cada espira. a: Na região interna de uma bobina, o campo magnético é aproximadamente igual B N i µ 0 n i = (2.1) l 0 = µ 0 Materiais e Circuitos Elétricos página 35

38 Esta aproximação será boa desde que o ponto considerado para o campo magnético não esteja próximo das extremidades da barra. Substituindo a corrente por unidade de comprimento da bobina, n.i, pela corrente superficial de Ampère que lhe corresponde, por unidade de comprimento do imã, M, tem-se para o campo magnético no interior do imã, longe das extremidades, que: B m = 0 µ M (2.2) Através deste modelo é possível fazer uma analogia entre o campo produzido no interior de uma bobina, quando por ela circula uma corrente i, ou seja: B 0 = µ 0 n i Com o campo magnético no interior de um imã, produzido pela chamada corrente superficial de Ampère, B m = µ 0 M Portanto, M, no caso do imã natural, corresponde ao produto n i, no caso de uma bobina ou solenóide. Assim, pode-se escrever que: M N i = n i = (2.3) l 2.7 MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS Considere um material (por exemplo o ferro) em forma de barra cilíndrica introduzida em uma bobina de N espiras, conforme ilustra a figura 2.11 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 36

39 Figura Material Dentro de Uma Bobina Para uma corrente i injetado no ponto a, surgirá um campo magnético total B. Este campo magnético é formado pela ação da corrente i que passa pelas N espiras da bobina e pela ação da corrente superficial de Ampère, no material. Desta forma, pode-se analisar o comportamento do dispositivo da figura 2.11 anterior (na verdade um eletroímã) fazendo-se uma separação dos efeitos. Para tanto, considere inicialmente apenas a bobina de N espiras, conforme apresentado à figura 2.12 a seguir. Figura Bobina de N Espiras com Corrente A passagem da corrente pela bobina dará origem a um campo magnético B 0, no seu interior, que poderá ser escrito como sendo: B N i µ 0 n i = (2.4) l 0 = µ 0 Materiais e Circuitos Elétricos página 37

40 Onde: l = Comprimento da bobina. Portanto, o campo magnético B 0 será produzido apenas pela passagem da corrente i na bobina. Definindo agora o produto n i como sendo a intensidade de campo magnético (H), ou seja: H N i = n i = (2.5) l Tem-se em (2.4) que: B 0 = µ 0 H (2.6) Onde: 2 B 0 = Campo magnético no interior da bobina ou solenóide [ / m ] Wb ; 7 µ 0 = Permeabilidade magnética do vácuo, de valor igual a 4 10 [ H / m] H = Intensidade de campo magnético [ A E / m]. π ; A expressão (2.6) apresenta o campo magnético causado apenas pela passagem da corrente pela bobina. Introduzindo o material cilíndrico na bobina, conforme indicado à figura 2.11 anterior, irá aparecer no interior deste material um campo magnético total B. Isto ocorre porque agora os dipolos magnéticos elementares estarão sujeitos à ação do campo externo B 0, e desta forma proporcionarão o surgimento de uma corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento (M). Esta corrente superficial dará origem a um campo magnético B m, conforme visto anteriormente (observar expressão 2.2). Materiais e Circuitos Elétricos página 38

41 Portanto, o campo magnético total B será formado pela ação conjunta dos campos B 0 e B m, ou seja: B = B 0 + (2.7) B m Das expressões (2.2) e (2.6), pode-se escrever que: B = 0 µ 0 µ H + M (2.8) Ou ainda, ( H M ) B µ + (2.9) = 0 A equação (2.9) pode ser colocada ainda na seguinte forma vetorial: ( H M ) B µ + (2.10) = 0 Onde: B H M = Vetor densidade de campo magnético; = Vetor intensidade de campo magnético; Vetor de magnetização, sendo o seu módulo igual à corrente superficial = de Ampère por unidade de comprimento (M). 2.8 SUSCEPTIBILIDADE E PERMEABILIDADE MAGNÉTICAS Nos materiais e substâncias paramagnéticas e diamagnéticas, existe uma proporcionalidade entre a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento (M) e a intensidade de campo magnético (H). Esta relação de proporcionalidade pode ser expressa por: M = x H (2.11) Materiais e Circuitos Elétricos página 39 m

42 Onde: x m = Constante de proporcionalidade entre M e H, definida como sendo a susceptibilidade magnética do material ou substancia (grandeza adimensional). Levando (2.11) em (2.9), obtém-se: B = µ 0 ( H + x H ) m Ou ainda, ( + x ) H B = µ 1 m (2.12) 0 Definindo agora, ( ) µ = µ 0 1+ x m (2.13) De onde tiramos a relação, B = µ H (2.14) Onde: µ = Permeabilidade magnética do material [ H / m] Da expressão (2.13), pode-se fazer a seguinte relação: 1 µ x = (2.15) µ + m 0 Como pode ser observado, o valor 1 + xm corresponde a relação da permeabilidade magnética do material pela permeabilidade magnética do vácuo. Assim Materiais e Circuitos Elétricos página 40

43 sendo, 1 + xm pode ser chamada de permeabilidade magnética relativa do material, ou seja: µ µ r = 1+ x m = (2.16) µ 0 Portanto, a expressão (2.12) pode ser escrita ainda sob a forma: B = µ 0 µ r H = µ H (2.17) Onde: µ r = Permeabilidade magnética relativa do material ou substancia (grandeza adimensional) Definidas as diversas características magnéticas básicas para os materiais e substâncias, pode-se passar agora a uma análise do comportamento magnético dos materiais paramagnéticos, diamagnéticos e ferromagnéticos. 2.9 PARAMAGNETISMO Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias paramagnéticas. O paramagnetismo apresenta as seguintes características básicas: a) Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar nenhuma orientação predominante. A figura 2.13 a seguir ilustra esta condição. Materiais e Circuitos Elétricos página 41

44 Figura 2.13 Disposição Aleatória dos D.M.E. b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos elementares se alinham fracamente e de forma paralela ao campo aplicado. A figura 2.14 a seguir ilustra esta condição. B Figura 2.14 Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E. c) Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a uma disposição aleatória. A figura 2.15 a seguir ilustra esta condição. Figura 2.15 Disposição Aleatória dos D.M.E. Materiais e Circuitos Elétricos página 42

45 d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é sensível às variações de temperatura. Para elevadas temperaturas a orientação dos d.m.e. é extremamente fraca, devido às vibrações térmicas. e) Em temperaturas extremamente baixas, próximas do zero absoluto, os d.m.e. tendem a apresentar uma forte orientação, caracterizando um comportamento semelhante ao dos materiais ferromagnéticos; f) A susceptibilidade magnética é positiva e bastante reduzida, ou seja: 0 < x m <<<1 Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma paralela ao campo magnético externo; g) A permeabilidade magnética é pouca coisa superior a permeabilidade magnética do vácuo, podendo-se considerar até que: µ µ 0 Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária. Exemplos de Materiais Paramagnéticos Alumínio, oxigênio, ar, magnésio, madeira, plástico, tungstênio, cromo, titânio, etc. Tabela 2.5 Exemplos de Materiais Paramagnéticos 2.10 DIAMAGNETISMO Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias diamagnéticas. O diamagnetismo apresenta as seguintes características básicas: Materiais e Circuitos Elétricos página 43

46 a) Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar nenhuma orientação predominante. A figura 2.16 a seguir ilustra esta condição. Figura 2.16 Disposição Aleatória dos D.M.E. b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos elementares se alinham fracamente e de forma antiparalela ao campo aplicado. A figura 2.17 a seguir ilustra esta condição. B Figura 2.17 Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E. c) Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a uma disposição aleatória. A figura 2.18 a seguir ilustra esta condição. Materiais e Circuitos Elétricos página 44

47 Figura 2.18 Disposição Aleatória dos D.M.E. d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é pouco sensível às variações normais de temperatura. e) A susceptibilidade magnética é negativa e bastante reduzida, ou seja: 0 x >>> 1 > m Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma antiparalela ao campo magnético externo; f) A permeabilidade magnética é pouca coisa inferior a permeabilidade magnética do vácuo, podendo-se considerar até que: µ µ 0 Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária, ou seja: µ r 1 Materiais e Circuitos Elétricos página 45

48 Exemplos de Materiais Diamagnéticos Bismuto, cobre, diamante, ouro, prata, sódio, hidrogênio, dióxido de carbono, nitrogênio, água, mercúrio, etc. Tabela 2.6 Exemplos de Materiais Diamagnéticos 2.11 FERROMAGNETISMO O ferromagnetismo é um fenômeno que ocorre em materiais e substâncias como: Exemplos de Materiais Ferromagnéticos - Ferro - Níquel - Cobalto - Ligas Metálicas Aço Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono); Ferro-Silicio (96% Fe, 04% Si); Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr); Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3 Cu); Permalloy (55% Fe, 45% Ni); Etc. Tabela Exemplos de Materiais Ferromagnéticos A característica fundamental dos materiais ferromagnéticos é a de admitir com facilidade elevadas magnetizações. básicas: De uma forma geral, o ferromagnetismo apresenta as seguintes propriedades a) Os dipolos magnéticos elementares são agrupados em diversos setores, formando regiões dentro do material, com orientação bem definida. Este Materiais e Circuitos Elétricos página 46

49 agrupamento de d.m.e. é chamado de domínio magnético elementar e é uma propriedade básica dos materiais ferromagnéticos. A figura 2.19 ilustra esta condição. Figura 2.19 Domínios Magnéticos Elementares b) Para um material que não tenha sofrido qualquer imantação, os domínios magnéticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, conforme ilustra a figura 2.20 a seguir. Figura 2.20 Disposição Aleatória dos Domínios Magnéticos Obs.: Uma exceção importante é a dos imãs naturais, que apresentam orientação in natura dos domínios magnéticos elementares. c) Supondo que o material do item anterior seja submetido a um campo magnético externo, haverá uma tendência de orientação rápida dos domínios magnéticos elementares, de forma paralela ao campo aplicado. A figura 2.21 ilustra esta condição. Materiais e Circuitos Elétricos página 47

50 B Figura 2.21 Orientação dos Domínios Magnéticos Elementares d) Considerando agora a retirada do campo magnético externo, haverá uma perda da orientação dos domínios magnéticos elementares que poderá ser pequena ou elevada, dependendo do tipo de material empregado. Esta condição está retratada à figura 2.22 a seguir. Figura 2.22 Orientação Residual dos domínios Magnéticos Portanto os materiais ferromagnéticos tendem a ficar com uma imantação residual ou remanescente. e) Os materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades de orientação dos domínios magnéticos elementares, quando submetidos a elevadas temperaturas. A temperatura limite para a perda de imantação destes materiais é chamada de ponto Curie ou temperatura de Curie. À partir desta temperatura os materiais ferromagnéticos apresentam propriedades magnéticas semelhantes as dos materiais paramagnéticos. Materiais e Circuitos Elétricos página 48

51 Curva de Saturação Seja o dispositivo composto por uma bobina e um núcleo de material ferromagnético, da figura 2.23 a seguir. Figura 2.23 Bobina com Material Ferromagnético Para uma corrente contínua i injetado no ponto a, obtém-se um campo magnético B. Aumentando-se gradualmente o valor desta corrente, haverá uma elevação também gradual do campo magnético B. Na verdade, o que está ocorrendo, é uma orientação lenta dos domínios magnéticos elementares do material. Quando praticamente todos estes domínios estiverem orientados, mais difícil ficará o incremento no campo magnético total que circunda o dispositivo. Neste ponto diz-se que o material está chegando a saturação. Portanto, a saturação de um material corresponde à condição de quase totalidade de orientação dos domínios magnéticos elementares. A figura 2.24, a seguir, ilustra a condição de saturação ocorrida no material, com o aumento do valor da corrente i. Materiais e Circuitos Elétricos página 49

52 Figura 2.24 Curva de Saturação (B x i) do Material Da equação (2.5), tem-se que: H = n i = N i l Tomando o valor da corrente, vem: i = H l N Como, o número de espiras (N) e o comprimento (l) da bobina, são constantes, existe uma relação de proporcionalidade entre a corrente (i) e a intensidade de campo magnético (H). Desta forma, a curva de saturação do material pode ser modificada, simplesmente através de mudança de escala na sua abscissa. Esta condição é apresentada à figura Figura 2.25 Curava de Saturação (B x H) do Material Materiais e Circuitos Elétricos página 50

53 Como pode ser observada, até a saturação do material, a permeabilidade magnética permanece praticamente constante. A partir daí seu comportamento passa a ser eminentemente variável, caracterizando uma não-linearidade entre B e H. Assim sendo, pode-se dizer que: nos materiais ferromagnéticos a permeabilidade magnética ( µ ) é variável, devido a saturação. Na figura 2.25, o valor H S corresponde a intensidade de campo magnético saturante, ou seja, o valor de H para o qual o material começa a sofrer o efeito da saturação. A densidade de campo magnético correspondente vale B S. A tabela 2.8 a seguir apresenta valores das densidades de campo magnético B S, bem como permeabilidades magnéticas relativas ( µ r ), para alguns materiais ferromagnéticos. Material Ferromagnético Campo Magnético B s (Tesla) Permeabilidade Relativa ( µ r ) Ferro (temperado) Ferro-Silicio Permalloy Mumetal Tabela 2.8 Valores de B S e µ para a Alguns Materiais Ciclo de Histerese No dispositivo da figura 2.23, considere uma corrente alternada senoidal i (do tipo apresentado à figura 2.26 a seguir), sendo injetada no ponto a. Materiais e Circuitos Elétricos página 51

54 Figura 2.26 Corrente Alternada Senoidal A passagem desta corrente pela bobina dará origem a um campo magnético variável B. A corrente i é proporcional a intensidade de campo magnético H, desta forma, à medida que a corrente varia, a intensidade de campo magnético também varia. Esta variação irá ocasionar uma alteração no campo magnético total do dispositivo. A figura 2.27, a seguir, mostra como será o comportamento do campo magnético B, para um ciclo completo da corrente alternada senoidal representada pela figura Figura 2.27 Curva B x H (Ciclo de Histerese) Materiais e Circuitos Elétricos página 52

55 O ponto (01) corresponde à condição inicial, a corrente é nula e o material não apresenta qualquer imantação. O ponto (02) está associado à condição de máxima corrente no sentido positivo. Para este valor de corrente tem-se o valor máximo positivo da densidade de campo magnético (B máx ). No ponto (03), a corrente se anula e o material mantém um magnetismo residual ou remanescente (B r ) positivo, ou seja, permanece uma determinada orientação dos domínios magnéticos elementares. A partir deste último ponto, até (04), a corrente cresce negativamente até atingir seu máximo valor. No ponto (04) tem-se a correspondente densidade de campo magnético máxima em sentido contrário (ou negativa). Finalmente em (05), a corrente se anula novamente, restando no material um magnetismo residual (B r ) negativo. Ao percurso fechado da figura 2.27 (curva B x H) dá-se o nome de ciclo de histerese. Portanto, a cada ciclo da corrente alternada i corresponde um ciclo da curva B x H. A figura 2.28 a seguir apresenta, com maiores detalhes, alguns valores importantes de densidade de campo magnético (B) e de intensidade de campo magnético (H), do ciclo de histerese. Figura 2.28 Ciclo de Histerese Materiais e Circuitos Elétricos página 53

56 Na figura 2.28, podem ser observados os seguintes valores: B r = Magnetismo Residual ou Remanescente é a densidade de campo magnético que permanece no material após a retirada do campo magnético externo, ou seja, quando a corrente i se anula. Corresponde a orientação remanescente dos domínios magnéticos elementares do material; B máx = Densidade de Campo Magnético Máxima corresponde ao máximo valor de campo magnético no material. É produzido pelo valor máximo da corrente i na bobina; H c = Força Coercitiva ou Coerciva é a intensidade de campo magnético necessária para eliminar o magnetismo residual ou remanescente do material. Com relação à polarização, pode-se observar na figura 2.28 as seguintes características dos materiais ferromagnéticos: 01 o Quadrante B (+) e H (+) Mesmos Sentidos 02 o Quadrante B (+) e H ( ) Sentidos Opostos 03 o Quadrante B ( ) e H ( ) Mesmos Sentidos 04 o Quadrante B ( ) e H (+) Sentidos Opostos Tabela 2.9 Características dos Materiais Ferromagnéticos Os sentidos opostos, verificados nos quadrantes pares (02º e 04º), ocorrem devido ao processo de desimantação do material, ou seja, a eliminação do magnetismo residual através da inversão no sentido da corrente i (e conseqüentemente a inversão da intensidade de campo magnético H ) Materiais Magnéticos Duros e Moles a) Materiais Magnéticos Duros Materiais e Circuitos Elétricos página 54

57 Estes materiais apresentam as seguintes características básicas: - Ciclo de Histerese Apresentam elevado magnetismo residual o que implica na necessidade de uma elevada força coercitiva. Conseqüentemente a área do ciclo de histerese é grande, como pode ser observado através da figura 2.29 a seguir. Figura 2.29 Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Duros - Aplicação São utilizados como imãs permanentes e em dispositivos e equipamentos que requerem elevado grau de magnetismo residual, como: alto-falantes, telefones, medidores, etc. A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos duros: Materiais e Circuitos Elétricos página 55

58 Exemplos de Materiais Magnéticos Duros Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono) Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu) Alcomax (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu, 1% Nb) Bismanol (MnBi) Tabela 2.10 Exemplos de Materiais Magnéticos Duros b) Materiais Magnéticos Moles Estes materiais apresentam as seguintes características básicas: - Ciclo de Histerese Apresentam magnetismo residual bastante reduzido, o que implica na necessidade de uma força coercitiva de pequena intensidade. Conseqüentemente a área do ciclo de histerese é reduzida, como pode ser observado através da figura 2.30 a seguir. Figura 2.30 Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Moles Materiais e Circuitos Elétricos página 56

59 - Aplicação Por apresentarem reduzidas áreas dos ciclos de histerese, os materiais magnéticos moles são utilizados na confecção de núcleos de transformadores e máquinas elétricas rotativas. Como será visto posteriormente, a área do ciclo de histerese está associada às perdas no núcleo, que são indesejáveis em equipamentos de alto rendimento (perdas reduzidas), como é o caso dos transformadores e das máquinas rotativas. A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos moles: Exemplos de Materiais Magnéticos Moles Ferro Aços-Doces (aços com baixos teores de carbono) Ferro-Silício (96% Fe, 4% Si) Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr) Permalloy Tabela 2.11 Exemplos de Materiais Magnéticos Moles 2.12 CORRENTES PARASITAS OU DE FOUCAULT Seja o condutor com corrente i variável, mostrado à figura 2.31 a seguir. Figura 2.31 Condutor com Corrente Materiais e Circuitos Elétricos página 57

60 condutor. A corrente i variável dá origem a um campo magnético variável ao redor do Seja aproximar deste condutor uma determinada espira fechada. Através do princípio da indução eletromagnética sabe-se que, um campo magnético variável dá origem a uma f.e.m. induzida. Portanto, irá aparecer na espira uma f.e.m. induzida e como a espira está fechada haverá circulação de uma corrente. Este fato pode ser verificado à figura 2.32 a seguir. Figura 2.32 Espira Fechada Próxima de um Condutor com Corrente Seja agora aproximar do condutor uma determinada barra de ferro cilíndrica. Esta barra estará sujeita à ação do campo magnético variável (B), como pode ser observado à figura 2.33 a seguir. Figura 2.33 Barra Cilíndrica Próxima de um Condutor com Corrente Materiais e Circuitos Elétricos página 58

61 Nos núcleos magnéticos maciços, como aquele da figura 2.33, são encontradas imperfeições. Algumas delas formam trajetórias fechadas, como espiras, e apresentam uma determinada condutância elétrica. A presença de um campo magnético variando através destas pequenas espiras (ver figura 2.34) dará origem a correntes elétricas induzidas. Figura 2.34 Barra de Ferro Cilíndrica com Imperfeições Estas correntes induzidas, circulando no material, causam perdas por dissipação de calor (efeito Joule). Portanto, quanto maior o número de trajetórias e quanto maiores forem as suas condutâncias (ou menores as suas resistências), maiores serão as perdas no núcleo, pelo efeito Joule. Para uma determinada trajetória fechada ( espira ), tem-se que: e i = (2.10) r Onde: I e r = Corrente induzida na espira ; = F.e.m. induzida na espira ; = Resistência da trajetória fechada ( espira ). Estas correntes induzidas no material ( i ) são chamadas de correntes parasitas ou correntes de Foucault e provocam: Materiais e Circuitos Elétricos página 59

62 - Perdas por efeito Joule; - Aquecimento do material (núcleo magnético); - Redução na orientação dos domínios magnéticos elementares. Na maioria das aplicações, as correntes de Foucault são indesejáveis. Desta forma, é importante desenvolver um procedimento para evitá-las. As correntes parasitas (ou de Foucault) podem ser reduzidas através da laminação do núcleo magnético. O efeito deste processo pode ser verificado à figura 2.35 a seguir. Figura 2.35 Laminação do Núcleo Magnético Da figura 2.35, vê-se que através da laminação do núcleo magnético é possível aumentar as resistências elétricas das trajetórias fechadas (r) e conseqüentemente reduzir a intensidade das correntes parasitas (i). Notar que entre cada lâmina ou chapa existe uma película isolante, que causa a elevação das resistências das espiras PERGUNTAS PROPOSTAS Responda as seguintes perguntas: 01) Por quê não se consegue isolar o pólo norte do pólo sul, em um imã natural? 02) O que são os dipolos magnéticos elementares? Materiais e Circuitos Elétricos página 60

63 03) Como são classificados os corpos quanto à imantação? 04) Qual é o significado de imantação? 05) Como são classificados magneticamente os materiais e substâncias? 06) O que é um imã natural? 07) Quais são os tipos de imãs artificiais? 08) Qual é a diferença básica entre um imã artificial permanente e um imã artificial transitório? 09) Qual é o significado do ponto Curie? 10) Como surge o campo magnético em um imã natural? 11) O que é a corrente superficial de Ampère? Qual é o seu efeito? 12) Determine o campo magnético no interior de um solenóide ou bobina. 13) Qual é o significado da intensidade de campo magnético? Como determinála? 14) O que acontece quando se introduz um material ferromagnético dentro de uma bobina com corrente? 15) Qual é a diferença entre densidade de campo magnético e intensidade de campo magnético? Como são representadas? Quais as suas unidades usuais? representada? 16) Qual é o valor da permeabilidade magnética do vácuo? Como é Materiais e Circuitos Elétricos página 61

64 17) Qual é o significado do vetor de magnetização? 18) O que é a susceptibilidade magnética de um material? Como é representada? Qual é a sua unidade? 19) A susceptibilidade magnética é definida para todos os materiais? Por quê? 20) O que é a permeabilidade magnética? Como é representada? Qual é a sua unidade usual? 21) O que é a permeabilidade magnética relativa? Como é representada? Qual é a sua unidade usual? 22) Qual é a diferença entre a permeabilidade magnética e a susceptibilidade magnética? Faça uma demonstração matemática. 23) Quais são as principais características dos materiais paramagnéticos? 24) Quais são as principais características dos materiais diamagnéticos? 25) Cite exemplos de substâncias e materiais paramagnéticos? 26) Cite exemplos de substâncias e materiais diamagnéticos? 27) Por quê as substâncias diamagnéticas possuem 0 x >>> 1? > m 28) Por quê as substâncias paramagnéticas possuem 0 x <<< 1? < m 29) O que é o ferromagnetismo? 30) O que são os domínios magnéticos elementares? Materiais e Circuitos Elétricos página 62

65 31) Por quê os materiais ferromagnéticos são facilmente imantados? 32) Cite exemplos de materiais ferromagnéticos. 33) O que são as ligas metálicas? 34) Como é a influência da temperatura nos materiais ferromagnéticos? 35) Por quê ocorre a saturação do campo magnético em um material ferromagnético? 36) Qual é o significado da curva de saturação de um material ferromagnético? Como pode ser obtida? 37) A permeabilidade magnética de um material ferromagnético é constante? Explique. 38) Qual é o significado de não-linearidade? 39) O que é uma curva de magnetização? 40) Qual é o significado do ciclo de histerese? Como pode ser obtido? Explique. 41) O que é magnetismo residual ou remanescente? 42) O que é força coerciva ou coercitiva? Explique! 43) O que pode ser feito para eliminar o magnetismo residual de um material? 44) Qual é a importância do magnetismo remanescente? Cite exemplos. Materiais e Circuitos Elétricos página 63

66 histerese? 45) Que valor define a densidade de campo magnético máxima, no ciclo de 46) Quando submetidos a um campo magnético externo, os materiais ferromagnéticos sempre orientam os seus domínios magnéticos elementares de forma paralela ao mesmo? Explique detalhadamente. senoidal? 47) Em termos de magnetização, qual é o efeito de uma corrente alternada são usados? 48) Quais são as características básicas de um material magnético duro? Onde são usados? 49) Quais são as características básicas de um material magnético mole? Onde 50) O que são as correntes de Foucault? 51) Como surgem as correntes de Foucault? 52) Como reduzir as correntes de Foucault? 53) Quais são os feitos das correntes de Foucault? 54) Qual é a diferença entre correntes de Foucault e correntes parasitas? 55) Qual é o significado de cada um dos símbolos a seguir: B, H, n, N, µ, µ 0, µ r, x m, L, λ? 56) Quais são as dimensões usuais dos seguintes parâmetros e variáveis: Materiais e Circuitos Elétricos página 64

67 B, H, n, N, µ, µ 0, µ r, x m, L, λ? 2.14 BIBLIOGRAFIA [1] Milton Gussow, Eletricidade Básica, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill do Brasil, Ltda, (Ver capítulo 09 - págs. 217 a 229); [2] Paul A. Tipler, Física, Volume 02a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, (Ver capítulo 29 - págs. 803 a 819); [3] David Halliday e Robert Resnick, Fundamentos de Física, Parte 03 - Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, (Ver capítulo 34 - págs. 241 a 257); [4] L. Bessonov, Applied Electricity for Engineers, MIR Publishers - Moscow, (Ver capítulo 03 - págs. 89 a 95); [5] Syed A. Nasar, Máquinas Elétricas, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill do Brasil, Ltda, (Ver capítulo 01 - págs. 01 a 05); [6] Encyclopedia Britannica, Magnetism. Materiais e Circuitos Elétricos página 65

68 CAPÍTUL0 03 CIRCUITOS MAGNÉTICOS 3.1 INTRODUÇÃO Os circuitos magnéticos utilizam materiais ferromagnéticos no sentido de direcionar e elevar a indução magnética (e conseqüentemente o fluxo magnético). Isto é possível uma vez que os materiais ferromagnéticos possuem altas permeabilidades. A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo típico de circuito magnético. Nesta configuração, pode-se notar o direcionamento do fluxo magnético proporcionado pela forma do núcleo. Figura 3.1 Núcleo Magnético 3.2 EFEITO DA DISPERSÃO Os circuitos magnéticos também são sujeitos aos efeitos da dispersão. Assim, considere inicialmente a bobina ou solenóide da figura 3.2 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 66

69 B N dispersão i a b dispersão Figura 3.2 Efeito da Dispersão em um Solenóide Como pode ser observado, ocorre nas extremidades da bobina uma determinada dispersão do campo magnético através do ar (pode-se ver, na figura, uma redução da densidade de campo magnético B, nas extremidades). Este fenômeno é conhecido como efeito das extremidades ou dispersão. 3.3 a seguir. Considere agora o circuito magnético apresentado de forma esquemática à figura Figura 3.3 Efeito da Dispersão em um Núcleo Magnético Neste caso, o efeito da dispersão também ocorre nas extremidades da bobina. Entretanto, devido à alta permeabilidade proporcionada pelo material ferromagnético que constitui o núcleo, este efeito de dispersão será bastante reduzido. Observar que a alta permeabilidade oferece um caminho mais adequado à circulação do fluxo magnético. Portanto, quanto maior for a permeabilidade do núcleo, menor será o efeito da dispersão de fluxo magnético pelo ar. Materiais e Circuitos Elétricos página 67

70 Da figura 3.3 tem-se que: φ = φ + t φ d Onde: φ t φ φ d = Fluxo magnético total produzido pela corrente; = Fluxo magnético que circula pelo núcleo; = Fluxo magnético de dispersão pelo ar. Para materiais de alta permeabilidade tem-se que: φ >>> φ d 3.3 EQUACIONAMENTO Determinação de B e H Considere o circuito magnético da figura 3.4 a seguir. Para a linha média do mesmo pose-se escrever que: 2 [ Wb / m ] B = φ (3.1) A Onde: B φ A = = = Densidade de campo magnético de cada uma das pernas do núcleo magnético; Fluxo magnético que circula através de cada uma das pernas do núcleo magnético; Área da seção reta transversal de cada uma das pernas do núcleo magnético. Materiais e Circuitos Elétricos página 68

71 Figura 3.4 Circuito Magnético A densidade de campo magnético B pode ser expressa por: ( + x ) H B = µ 1 m 0 Ou ainda, B = µ H Portanto, determinado o valor de B (conforme expressão 3.1), e de posse da curva de saturação do material, pode-se calcular o valor da intensidade de campo magnético H correspondente, para cada uma das pernas do núcleo magnético. Desta forma, considere a curva de saturação apresentada à figura 3.5 a seguir. Figura 3.5 Curva de Saturação do Material Materiais e Circuitos Elétricos página 69

72 Para cada valor de B haverá um valor de H correspondente. Assim, pode-se escrever também que: B H = [ AE / m] (3.2) µ Definição de Força Magnetomotriz Foi visto anteriormente que: H = n i = N i l Desta forma, pode-se escrever também que: H l = N i então: Define-se como força magnetomotriz, o produto H l ou o produto N i, [ AE] F = H l = N i (3.3) Onde: F = Força magnetomotriz (ou simplesmente f.m.m.). Esta definição é realizada como uma analogia à força eletromotriz nos circuitos elétricos. Tal correspondência será analisada no item seguinte. 3.4 ANALOGIA ELETROMAGNÉTICA Introdução Seja o circuito elétrico da figura 3.6 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 70

73 Figura 3.6 Circuito Elétrico Para este circuito elétrico podem ser escritas as seguintes equações: e = R i Sendo: R = ρ l A l = σ A E ainda, G = σ A l Onde: e R G i l A ρ σ = Força eletromotriz (f.e.m.); = Resistência elétrica total do circuito; = Condutância elétrica total do circuito; = Corrente elétrica que passa pelo circuito elétrico; = Comprimento total do condutor; = Área da seção reta transversal do condutor; = Resistência elétrica do material utilizado como condutor; = Condutividade elétrica do material utilizado como condutor. Materiais e Circuitos Elétricos página 71

74 Seja agora o circuito magnético apresentado à figura 3.7: Figura 3.7 Circuito Magnético Na figura 3.7, tem-se que: F N I φ = Força magnetomotriz (f.m.m.); = Número de espiras da bobina; = Corrente que circula na bobina; = Fluxo magnético que circula pelo núcleo. Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se concluir que: enquanto no circuito elétrico circula uma corrente elétrica i, no circuito magnético circula um fluxo magnético φ. Por outro lado, no circuito elétrico existe uma fonte de força eletromotriz e e no circuito magnético existe uma fonte de força magnetomotriz F. Portanto, pode-se fazer a seguinte analogia entre os dois circuitos: i φ e F Para o circuito elétrico, pode-se escrever que: F = H l = N i Materiais e Circuitos Elétricos página 72

75 F = H l = B l = µ φ l A µ F = l φ µ A (3.4) No circuito elétrico, pose-se escrever que: e = R i R = ρ l A l = σ A l e = i σ A (3.5) Comparando as equações (3.4) e (3.5), pode-se observar uma analogia entre os seguintes termos: l R = e σ A 1 µ A A primeira relação corresponde à resistência (R) do circuito elétrico. A segunda, portanto, corresponderia a uma certa resistência do circuito magnético. Através desta analogia, define-se: 1 [ ] l R e = H µ A (3.6) Onde: R e = Relutância magnética do núcleo ou do circuito magnético. Desta forma pode-se escrever que: Materiais e Circuitos Elétricos página 73

76 F = R e φ (3.7) Onde (3.7) é uma equação análoga à lei de Ohm no circuito elétrico. Por outro lado, o inverso da relutância magnética é definido como sendo a permeância magnética (P e ), de forma análoga a condutância (G) no circuito elétrico. Desta forma, pode-se escrever que: P e = 1 R e = µ A l [ H ] (3.8) Cálculo da Indutância do Circuito Magnético Sabe-se que: λ = N φ = L i Onde: λ L = Fluxo enlaçado ou concatenado; = Indutância da bobina. Portanto, λ N φ L = = i l Mas como, H l = N i i = H l N E ainda, Materiais e Circuitos Elétricos página 74

77 φ = B A Vem: L = N φ i = N B A N H l = 2 N B A H l Mas, B = µ H Assim, L = N 2 µ A l Como, R e l = µ A Tem-se que: L = N R e 2 = N 2 P e [ H ] (3.9) Resumo da Analogia Eletromagnética A seguir será apresentada uma tabela com o resumo das principais analogias verificadas entre os circuitos elétricos e magnéticos. Materiais e Circuitos Elétricos página 75

78 Circuito Elétrico Circuito Magnético i = Corrente Elétrica φ = Fluxo Magnético e = Força Eletromotriz F = Força Magnetomotriz R = Resistência Elétrica R e = Relutância Magnética G = Condutância Elétrica P e = Permeância Magnética σ = Condutividade elétrica µ = Permeabilidade Magnética e = i R F = i = R φ N (Lei de Hopkinson) e i = 0 (Lei de Kirchhoff) φ = 0 R = l /( σ A) e G = ( σ A ) / l R 0 = l /( µ A) e P e = ( µ A )/ l Tabela 3.1 Analogia Eletromagnética Circuito Elétrico Análogo Um circuito elétrico simples pode ser representado de forma esquemático conforme a figura 3.8 a seguir. Figura 3.8 Representação Esquemática de um Circuito Elétrico Seja agora um circuito magnético como aquele apresentado à figura 3.9 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 76

79 Figura 3.9 Circuito Magnético Através da analogia com o circuito elétrico, o circuito magnético anterior pode ser representado por um circuito elétrico análogo, conforme ilustra a figura 3.10 a seguir. Figura 3.10 Circuito Elétrico Análogo A analogia é utilizada para melhorar a compreensão e maior facilidade na solução dos circuitos magnéticos Efeitos da Saturação Seja a curva de saturação ou magnetização da figura 3.11 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 77

80 Figura 3.11 Curva de Saturação Como pode sr observado na figura (3.11) anterior, as permeabilidades dos pontos (01) e (02) são diferentes. Assim, sendo, pode-se concluir que a saturação afeta: a) A permeabilidade magnética do material ( µ ); b) A permeância (P e ) ou a relutância (R e ) do circuito magnético; c) A indutância (L) da bobina ou do circuito elétrico. Vale lembrar que: P e A = µ l 2 R e = N L = l µ A Re 3.5 CIRCUITOS MAGNÉTICOS SÉRIE Um circuito magnético série é aquele em que o fluxo magnético é o mesmo em todas as suas pernas. Este tipo de circuito magnético pode ser dividido em: Materiais e Circuitos Elétricos página 78

81 a) Circuito magnético série homogêneo: quando as áreas das seções retas transversais de todas as pernas do núcleo forem iguais. A figura 3.12 a seguir ilustra esta condição. Figura 3.12 Circuito Magnético Série Homogêneo Da figura 3.12, tem-se: A A = A = A = A 1 = B 1 = φ A 1 B 2 = φ A 2 B 3 = φ A 3 B 4 = φ A 4 B B = B = B = B 1 = b) Circuito magnético série não-homogêneo: quando pelo menos uma das áreas das seções retas transversais for diferente das demais. A figura 3.13 a seguir ilustra esta condição. Materiais e Circuitos Elétricos página 79

82 Materiais e Circuitos Elétricos página 80 Figura 3.13 Circuito Magnético Série Não-Homogêneo Da figura 3.13, tem-se que: A A A A A B A B A B A B φ φ φ φ = = = = B B B B Para os circuitos magnéticos das figuras 3.12 e 3.13, pode ser desenvolvido o circuito análogo equivalente apresentado à figura 3.14 a seguir: Figura 3.14 Circuito Elétrico Análogo

83 Da figura 3.14, tem-se que: F ( R + R + R + R ) φ = e1 e2 e3 e 4 Chamando, R TOTAL = R + R + R + R e e1 e2 e3 e4 Vem: F = R e TOTAL φ Portanto, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo equivalente apresentado à figura 3.15 a seguir. Figura 3.15 Circuito Elétrico Análogo Equivalente Considere agora o circuito magnético da figura 3.16 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 81

84 Figura 3.16 Circuito Magnético Série Onde: l l + l + l = l Sendo l sendo a linha média do circuito. Através da analogia eletromagnética pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo à figura 3.17 a seguir. Figura 3.17 Circuito Elétrico Análogo Materiais e Circuitos Elétricos página 82

85 Conforme desenvolvimento anterior pode-se escrever que: F = R e TOTAL φ Ou de uma forma mais geral: n F = φ (3.10) k = 1 R etotal Da equação 3.6, tem-se que: 1 [ ] l R e = H µ A Ou ainda, Re k lk = µ A k k Levando em 3.10, obtém-se: l F = φ (3.11) A n k φ k= 1 µ k k Mas, B = φ A Ou ainda, Materiais e Circuitos Elétricos página 83

86 Materiais e Circuitos Elétricos página 84 k k A B φ = Em (3.11), vem: = = n k k k k l B F 1 µ Como, H B = µ Ou ainda, k k k B H µ = Obtém-se finalmente que: = = n k H k l k F 1 (3.12) Ou seja, i N l H l H l H l H F = = Ou ainda, i N F F F F F = =

87 As intensidades de campo magnético: H 1, H 2, H 3, H 4,..., são determinadas através das curvas de magnetização dos materiais, respectivamente para B 1, B 2, B 3, B 4, Tipos de Problemas a saber: Existem basicamente dois tipos de problemas de cálculo de circuitos magnéticos, a) Determinar o valor da corrente i injetada na bobina, necessária para produzir um determinado fluxo magnético φ no núcleo; b) Determinar o valor do fluxo magnético φ, no núcleo, produzido por uma dada corrente i na bobina. O primeiro tipo de problema é de solução muito simples (solução direta), já o segundo tipo requer uma solução iterativa mais trabalhosa. citados. A seguir serão apresentados exemplos práticos dos dois tipos de problemas Exemplos Exemplo 3.1: seguir: Seja o circuito magnético serie não-homogêneo apresentado à figura 3.18 a Materiais e Circuitos Elétricos página 85

88 Figura 3.18 Circuito Magnético de Exemplo 3.1 Sabendo que: Espessura do Núcleo = 08 [cm] N = 300 espiras (número total de espiras da bobina) φ = [Wb] (fluxo magnético no núcleo) Tabela 3.2 Dados do Exercício 3.1 Determinar a força magnetomotriz F e a corrente i injetada na bobina. As medidas na figura 3.18 são dadas em centímetros. Considerar a curva 01 de magnetização, do anexo 01. Solução: - Cálculos Iniciais O circuito magnético da figura 3.18 pode ser dividido em 02 partes (de seções iguais). Para estas partes podem ser calculados os comprimentos das linhas médias e as áreas das seções retas transversais do núcleo, ou seja: Materiais e Circuitos Elétricos página 86

89 Parte 01 l 1 I 1 = ( ) x 02 + ( ) = 110 [cm] = 1.10 [m] A 1 = 10 x 08 = 80 [cm 2 ] A 1 = [m 2 ] Tabela 3.3 Medidas da Parte 01 do Circuito Magnético da Figura 3.18 Parte 02 l 2 I 2 = = 32 [cm] = 0.32 [m] A 2 = 08 x 08 = 64 [cm 2 ] A 2 = [m 2 ] Tabela 3.4 Medidas da Parte 02 do Circuito Magnético da Figura Circuito Elétrico Análogo O circuito magnético da figura 3.18 pode ser representado pelo circuito elétrico análogo da figura 3.19 a seguir. Figura 3.19 Circuito Elétrico Análogo Da figura 3.19 tem-se que: Materiais e Circuitos Elétricos página 87

90 F = R e φ + R 1 e2 φ Ou ainda, F = F 1 + F 2 Vale lembrar que: F = H l Portanto, F 1 = H1 l1 F 2 = H2 l2 - Tabela de Valores Considerando os dados fornecidos e através das expressões anteriormente apresentadas, é possível montar a tabela de valores (3.5) a seguir. Parte Ö [Wb] A [m 2 ] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE] Tabela 3.5 Tabela de Valores No desenvolvimento da tabela 3.5, considerou-se que: a) No circuito magnético série, o fluxo magnético é o mesmo em todas as partes. Portanto: Materiais e Circuitos Elétricos página 88

91 [ ] φ 1 = φ = Wb b) As áreas das seções retas transversais (A 1 e A 2 ) e os comprimentos das linhas médias (l 1 e l 2 ) foram determinados no item cálculos iniciais ; c) Os valores B 1 e B 2 são determinados através da expressão: B = φ A d) Os valores H 1 e H 2 são obtidos através da curva de saturação do material, para B 1 e B 2 respectivamente. Obs.: A curva de magnetização do material é apresentada no anexo 01 (curva 01). e) Os valores F 1 e F 2 são determinados através da seguinte expressão: F = H l - Determinação da Corrente A corrente i da bobina pode ser determinada da seguinte forma: F = F 1 + F 2 Logo, F = = 970 [ AE] Como, Materiais e Circuitos Elétricos página 89

92 F = N i Vem, F 970 i = = = N 300 [ A] - Determinação de outros Valores Da tabela podem ser extraídos diversos valores como: - As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético; - As permeâncias das diversas partes do núcleo; - A relutância equivalente do circuito magnético; partes; - As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas - O fluxo enlaçado com a bobina; - A indutância (L) da bobina. Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas. Exemplo 3.2: Para o mesmo circuito magnético do exemplo 3.1 anterior, achar o valor do fluxo magnético correspondente a uma corrente de [A] na bobina. Solução: Materiais e Circuitos Elétricos página 90

93 - Cálculos Iniciais No exemplo 3.1, foram determinadas as áreas das seções e os comprimentos das linhas médias do núcleo. Foi desenvolvido também o circuito elétrico análogo. É sabido que: F = N i Como: i = [A] e N = 300 espiras Vem: F = = 2000 [ AE] - Circuito Elétrico Análogo A figura 3.20 a seguir apresenta o circuito elétrico análogo correspondente. Figura 3.20 Circuito Elétrico Análogo Materiais e Circuitos Elétricos página 91

94 Admitindo por hipótese que: F 1 =1000[AE], é possível desenvolver a tabela de valores (3.6) do item a seguir. - Tabela de Valores Parte Ö [Wb] A [m 2 ] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE] Tabela 3.6 Tabela de Valores A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F 1 e F 2, portanto; F = F1 + F2 = = 1512[ AE] Este valor (1512 [AE]) está abaixo do valor real da força magnetomotriz total, ou seja, 2000 [AE]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária. Admitindo por hipótese que: F 1 =1400[AE], pode-se desenvolver a tabela de valores (3.7) a seguir. - Tabela de Valores Parte Ö [Wb] A [m 2 ] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE] Tabela 3.7 Tabela de Valores A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F 1 e F 2, portanto; Materiais e Circuitos Elétricos página 92

95 F = F1 + F2 = = 2360[ AE] Este valor (2360 [AE]) está acima do valor real da força magnetomotriz total, ou seja, 2000 [AE]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária. seguir. Admitindo agora F 1 =1250[AE], pode-se desenvolver a tabela de valores (3.8) a - Tabela de Valores Parte Ö [Wb] A [m 2 ] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE] Tabela 3.8 Tabela de Valores Somando F 1 e F 2 obtém-se: F = 1986 [AE]. Este valor está muito próximo do valor real de 2000 [AE]. Portanto, pode-se dizer que o fluxo magnético no núcleo vale [Wb]. - Outros Valores Obtidos da Tabela Da tabela 3.8 podem ser obtidas inúmeras outras grandezas, conforme sugerido no exemplo 3.1 anterior. Alguns destes possíveis resultados são apresentados a seguir. φ = [Wb] R e = [H -1 ] T R e 1 = [H -1 ] L = [H] R e 2 = [H -1 ] Tabela Outros Valores Obtidos da Tabela Materiais e Circuitos Elétricos página 93

96 O leitor deve comparar os resultados obtidos nos dois exemplos dados e verificar os efeitos causados pela não-linearidade do circuito magnético. 3.6 CIRCUITOS MAGNÉTICOS PARALELOS Em um circuito magnético paralelo, existem nós de bifurcação para o fluxo magnético. A figura 3.21 a seguir apresenta uma configuração típica. Figura 3.21 Circuito Magnético Paralelo Para este circuito magnético, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo apresentado à figura Figura 3.22 Circuito Elétrico Análogo Da figura 3.22, tem-se: φ + 1 = φ2 φ3 Materiais e Circuitos Elétricos página 94

97 Tem-se também, F = F 1 + F2 = φ1 R e + φ 1 2 φ e2 F = F 1 + F3 = φ1 R e + φ 1 3 φe3 Portanto, podemos admitir que, F 2 = F 3 De onde retiramos: H 2 l2 = H3 l3 Considere agora o núcleo magnético apresentado à figura 3.23 a seguir. Figura 3.23 Circuito Magnético Paralelo com Bobina Central Da figura anterior, tem-se que: φ + 2 = φ1 φ3 Considerando a simetria do núcleo, Materiais e Circuitos Elétricos página 95

98 φ 2 φ 1 = φ 3 = 2 seguir. Por analogia, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo da figura 3.24 a Figura 3.24 Circuito Elétrico Análogo Da figura 3.24, pode-se escrever que: F = F F2 = F2 F3 E portanto, F 1 = F 3 Exemplo 3.3: Determinar o valor da corrente i na bobina do circuito magnético da figura 3.25, a seguir, tal que φ = 0.005Wb 3 [ ]. Para o material ferromagnético do núcleo, considere a curva 01 de magnetização, apresentada no anexo 01. Materiais e Circuitos Elétricos página 96

99 Figura 3.25 Circuito Magnético do Exemplo 3.3 seguir. Os dados referentes às dimensões do núcleo podem ser obtidos da tabela 3.9 a Parte A [m 2 ] l [m] N = 300 espiras Tabela 3.9 Dados do Exercício 3.3 Solução: - Cálculos Iniciais Os comprimentos das linhas médias, bem como as áreas das seções retas transversais do núcleo magnético, estão relacionados à tabela 3.9, dada anteriormente. - Circuito Elétrico Análogo Para o circuito magnético dado, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo apresentado à figura 3.26 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 97

100 Figura 3.26 Circuito Elétrico Análogo Da figura anterior, tem-se que: φ + 1 = φ2 φ3 F = F F2 = F1 F3 F 2 = F 3 F 1 = R e φ 1 1 F 2 = R e φ 2 2 F 3 = R e φ Tabela de Valores Considerando os dados da tabela 3.9, e φ = 0.005Wb 3 [ ], pode-se desenvolver a tabela de valores a seguir. Parte Ö [Wb] A [m 2 ] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE] Tabela 3.10 Tabela de Valores do Exemplo 3.3 Materiais e Circuitos Elétricos página 98

101 Obs.: Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 01 de magnetização apresentada no anexo 01. Da tabela 3.10, tem-se que: F = F1 + F2 = = 1135[ AE] Como F = N i F 1135 i = = = 3.783[ A] N Cálculos Adicionais Propostos Fica para o leitor, a titulo de exercício, calcular os valores das relutâncias e permeâncias do circuito magnético dado, bem como o valor da indutância da bobina. As respectivas respostas são apresentadas a seguir. R e 1 = [H -1 ] e1 P = x 10-5 [H] R e 2 = [H -1 ] R e 3 = [H -1 ] R e TOTAL = [H -1 ] P e 2 = x 10-6 [H] P e 3 = x 10-6 [H] P e TOTAL = x 10-6 [H] L = [H] Tabela 3.11 Dados finais do Exercício GAPS E ENTREFERROS A figura 3.27 a seguir apresenta um exemplo típico de introdução de gap em um circuito magnético. Materiais e Circuitos Elétricos página 99

102 Figura 3.27 Circuito Magnético Série com Gap sentido de : Os gaps ou entreferros são muitas vezes utilizados em circuitos magnéticos no a) Possibilitar uma certa linearização da curva de saturação; b) Possibilitar acesso físico ao fluxo em um núcleo magnético Espraiamento A introdução de gaps em circuitos magnéticos, como aquele apresentado à figura 3.27, causa uma certa dispersão do fluxo magnético pelo ar, no local onde este gap foi colocado. Este fenômeno é chamado de espraiamento do fluxo magnético e seu efeito pode ser verificado através da figura 3.28 a seguir. Figura 3.28 Espraiamento do fluxo Magnético em um Gap Muitas vezes, o efeito do espraiamento é considerado nos cálculos de circuitos magnéticos através de um acréscimo da área correspondente a seção reta transversal no Materiais e Circuitos Elétricos página 100

103 gap. Desta forma, se a área correspondente ao material ferromagnético for A, considera-se como área da seção reta transversal do gap (A g ), a relação: A g = k A (3.13) Onde: k = Fator de acréscimo correspondente ao espraiamento (p. ex.: k=1.05 elevação de 05% na área). É importante deixar claro que esta forma de representação do espraiamento, nos cálculos, constitui uma aproximação Efeito da Dispersão A introdução de gaps ou entreferros provoca a elevação da relutância total equivalente de um núcleo magnético. Em outras palavras pode-se dizer que: os gaps dificultam a circulação do fluxo magnético. Desta forma, haverá uma maior tendência de formação de fluxo de dispersão no ar, nas extremidades da bobina (cabeças de bobina), como pode ser observado à figura 3.29 a seguir. Pode-se concluir portanto que: quanto maior for o gap, maior será a relutância do núcleo magnético e conseqüentemente maior será o fluxo de dispersão pelo ar. Figura 3.29 Efeito da Dispersão em um Núcleo com Gap Materiais e Circuitos Elétricos página 101

104 3.7.3 Cálculo da Relutância do Gap Da equação 3.6, tem-se que: R e l = µ A Para o gap, pode-se escrever que: R e g = µ l g g A g Onde: R e g = Relutância magnética do gap; l g = Comprimento do gap; µ g = Permeabilidade magnética do gap; A g = Área da seção reta transversal do gap. Como a permeabilidade magnética do ar (e portanto do gap) é praticamente igual à permeabilidade magnética do vácuo, pode-se escrever que: R e g = l µ 0 g A g (3.14) Exemplo 3.4: Seja o circuito magnético da figura 3.30 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 102

105 Figura 3.30 Circuito Magnético do Exemplo 3.4 Determinar a corrente i da bobina sabendo que: Espessura do Núcleo = 08 [cm] N = 300 espiras (número total de espiras da bobina) φ = [Wb] (fluxo magnético no núcleo) Gap=0.1 [cm] Tabela 3.12 Dados do Exercício 3.4 Obs.: - Considerar todas as medidas da figura 3.30 em [cm]; - Utilizar a curva de saturação 01 do anexo 01; - Observar que a única diferença do circuito magnético da figura 3.30, para o circuito magnético do exemplo 3.1, é exatamente o gap ou entreferro. Solução: - Cálculos Iniciais O circuito magnético da figura 3.30 pode ser dividido em 03 partes: duas para o material ferromagnético e uma para o gap. Para estas partes podem ser calculados os Materiais e Circuitos Elétricos página 103

106 comprimentos das linhas médias e as áreas das seções retas transversais do núcleo, ou seja: Parte 01 Material Ferromagnético l 1 I 1 = ( ) x 02 + ( ) = 110 [cm] = 1.10 [m] A 1 = 10 x 08 = 80 [cm 2 ] A 1 = [m 2 ] Tabela 3.13 Medidas da Parte 01 do Circuito Magnético da Figura 3.30 Parte 02 Material Ferromagnético l 2 I 2 = = 31.9 [cm] = [m] A 2 = 08 x 08 = 64 [cm 2 ] A 2 = [m 2 ] Tabela 3.14 Medidas da Parte 02 do Circuito Magnético da Figura 3.30 Parte 03 Entreferro l 2 I 2 = 0.1 [cm] = [m] Não há consideração sobre o espraiamento A 2 = 08 x 08 = 64 [cm 2 ] A 2 = [m 2 ] Tabela 3.15 Medidas da Parte 03 do Circuito Magnético da Figura Circuito Elétrico Análogo O circuito magnético da figura 3.30 pode ser representado pelo circuito elétrico análogo da figura 3.31 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 104

107 Figura 3.31 Circuito elétrico Análogo Da figura 3.31, tem-se que: F = Re φ + R φ + 1 e R 2 e 3 φ Ou ainda, F = F F2 F3 Vale lembrar também que; F = H l Portanto, F 1 = H1 l1 F 2 = H2 l2 F 3 = H3 l3 - Tabela de Valores Materiais e Circuitos Elétricos página 105

108 Considerando os dados fornecidos e calculados, e através das expressões anteriormente apresentadas, é possível montar a tabela de valores (3.16) a seguir. Parte Ö [Wb] A [m 2 ] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE] Tabela 3.10 Tabela de Valores do Exemplo 3.16 No desenvolvimento da tabela 3.16, considerou-se que: a) No circuito magnético serie, o fluxo magnético é o mesmo em todas as partes. Portanto: φ 1 = φ2 = φ3 = [ Wb] b) As áreas das seções retas transversais (A 1, A 2, A 3 ) e os comprimentos das linhas médias (l 1, l 2, l 3 ) foram determinadas no item cálculos iniciais. c) Os valores B 1, B 2 e B 3 são determinadas através da expressão: B = φ A d) Os valores H 1 e H 2 são obtidos através da curva de saturação do material, para B 1 e B 2 respectivamente. Obs.: Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 01 de magnetização apresentada no anexo 01. Materiais e Circuitos Elétricos página 106

109 e) A intensidade de campo magnético no gap (H 3 ) é determinada através da seguinte expressão: H3 = H g B = µ = 4 π 10 7 f) Os valores F 1, F 2 e F 3 são determinados da seguinte forma: F = H l - Determinação da Corrente Para a determinação da corrente i na bobina, deve-se considerar que: F = F1 + F2 + F3 = = 1766[ AE] F 1766 i = = = 5.887[ A] N Determinação de outros Valores Da tabela 3.16, podem ser extraídos outros valores como: - As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético; - As permeâncias das diversas partes do núcleo; - A relutância equivalente do circuito magnético; partes; - As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas Materiais e Circuitos Elétricos página 107

110 - O fluxo enlaçado com a bobina; - A indutância (L) da bobina. Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas. - Observações Considere a tabela 3.17 a seguir, onde é realizada uma comparação dos valores obtidos nos exemplos 3.1 e 3.4. Variável Exemplo 3.1 Exemplo 3.4 Ö [Wb] i [A] R e T [H -1 ] L [H] Tabela 3.17 Comparação dos Resultados com e sem Gap Pode-se observar que a inserção do gap elevou a relutância equivalente do circuito magnético de [H -1 ] para [H -1 ]. Com este novo valor de relutância, para se obter o mesmo fluxo magnético no núcleo, ou seja, [Wb], portanto, foi necessária uma elevação no valor da corrente de [A] para [A]. Evidentemente que a qualidade magnética do núcleo diminui com a inserção do gap, este fato pode ser observado através da indutância (L), que passou de [H] para [H]. 3.8 CURVAS DE SATURAÇÃO Considere a característica B = f(h) da figura 3.32 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 108

111 Figura 3.32 Característica B = f (H) Esta característica B = f (H) é na verdade uma curva de saturação que determina a propriedade do material ferromagnético em termos de sua permeabilidade magnética (µ). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou curva de magnetização do material ferromagnético. Por outro lado, sabe-se que: φ = B A e H l = N i = F Portanto, através de mudanças de escalas, a característica da figura 3.32 pode ser alterada para aquela desenvolvida à figura 3.33 a seguir. Figura 3.33 Característica φ = f ( F ) Materiais e Circuitos Elétricos página 109

112 Esta nova característica = f ( F ) φ é na verdade uma curva de saturação que determina a propriedade do núcleo magnético em termos de sua permeância magnética (Pe) ou relutância magnética (Re). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou curva de magnetização do núcleo magnético. Sabe-se também que: λ = N φ e f = N i Portanto, através de novas mudanças de escalas, as características das figuras 3.32 e 3.33 podem ser alteradas para aquela desenvolvida à figura 3.34 a seguir. Figura 3.34 Característica λ = f ( i) Esta característica = f ( i) λ é na realidade uma curva de saturação que determina a propriedade da bobina em termos de sua indutância (L). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação da bobina. As três curvas anteriormente apresentadas (B = f (H), φ = f ( F ), = f ( i) λ ), podem ser representadas em uma única característica, considerando apenas as mudanças de escalas das ordenadas e abscissas. Este fato pode ser verificado à figura 3.35 a seguir. Materiais e Circuitos Elétricos página 110

113 Figura 3.35 Curvas de Saturação Na figura 3.35, tem-se que: B = f(h) φ = f(f) λ = f(i) Característica do material; Característica do núcleo magnético; Característica da bobina. 3.9 PERGUNTAS PROPOSTAS Responda as seguintes perguntas: 01) Por que são utilizados materiais ferromagnéticos na confecção de circuitos ou núcleos magnéticos? 02) O que é o efeito da dispersão? Quando ele deve ser considerado? elétricos. 03) O que é a força magnetomotriz? Faça uma analogia com os circuitos 04) O que são os circuitos elétricos análogos? Onde são utilizados? Por quê? Materiais e Circuitos Elétricos página 111

114 05) Quais são os respectivos análogos elétricos das seguintes grandezas magnéticas: φ, F, R e, P e, µ? 06) O que é relutância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade? 07) O que é permeância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade? 08) Qual é a relação entre permeância e indutância? 09) Dada à área da seção reta transversal de um núcleo magnético série e homogêneo, e conhecido o fluxo magnético que atravessa a mesma, como seriam determinadas: a indução magnética no núcleo (B); a intensidade de campo magnético H. 10) Quais são as unidades usuais de B e H. 11) Quais são as características dos seguintes circuitos magnéticos: a) Circuito magnético série uniforme; b) Circuito magnético série não-uniforme; c) Circuito magnético paralelo uniforme; d) Circuito magnético paralelo não-uniforme; 12) Que tipo de cálculo de circuito magnético é mais trabalhoso: a) Dado um fluxo magnético φ, determinar a corrente necessária para produzi-la; b) Dada uma corrente i, determinar o fluxo magnético produzido pela mesma? Por quê? 13) Faça um análogo magnético das leis de Kirchhoff das tensões e correntes. Por quê? 14) Os circuitos magnéticos devem ser tratados como lineares ou não-lineares? Materiais e Circuitos Elétricos página 112

115 15) Quais são as dificuldades encontradas nos cálculos de circuitos nãolineares? Dê exemplos. utilizados? 16) O que são gaps ou entreferros em um circuito magnético? Por que são 17) Qual é o significado do espraiamento em um gap? De que forma seu efeito é considerado no cálculo de um núcleo magnético? 18) Qual é a relação entre a relutância de um gap e a relutância do material ferromagnético que constitui um núcleo? Explique. 19) Qual é o significado de cada uma das seguintes relações: B = f(h) φ = f(f) Que grandezas representam? λ = f(i) 20) Dê as unidades usuais das seguintes grandezas: a) Indutância; b) Permeabilidade magnética; c) Condutância; d) f.m.m.; e) f.e.m EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolva os seguintes exercícios: 01) Considere o seguinte circuito magnético: Materiais e Circuitos Elétricos página 113

116 Dados do Exercício Espessura do Núcleo = 10 [cm] N = 500 espiras Medidas na figura em [cm] Tabela 3.18 Dados do Exercício 01 Determinar: a) O Valor da força magnetomotriz necessária para produzir um fluxo de [Wb]; b) O valor da corrente correspondente; c) O valor da indutância L da bobina; d) A permeância total do circuito magnético; e) A permeabilidade magnética de cada parte do circuito magnético. Obs.: Considerar a curva de saturação anexa. 02) No circuito magnético do exercício anterior, determine o valor do fluxo magnético φ produzido por uma força magnetomotriz de 3000 [AE]. 03) Considere o seguinte circuito magnético: Materiais e Circuitos Elétricos página 114

117 Dados do Exercício Espessura do Núcleo = 08 [cm] N = 1000 espiras Espraiamento no gap = 10% Medidas na figura em [cm] Tabela 3.19 Dados do Exercício 03 Determinar o valor da corrente i que produz um fluxo magnético de [Wb] na perna direita do núcleo. Considerar para o material ferromagnético a curva de saturação anexa. entreferro. 04) Refazer o exercício anterior considerando o circuito magnético sem o anteriores. 05) Faça uma análise comparativa dos resultados obtidos nos exercícios 03 e 04 06) No circuito magnético a seguir, determinar a indutância da bobina e o fluxo enlaçado com a mesma. Materiais e Circuitos Elétricos página 115

118 Dados do Exercício i = 05 [A] N = 500 espiras φ 1 = [Wb] φ 2 = [Wb] L 1 = 0.6 [m] L 2 = 0.4 [m] Tabela 3.20 Dados do Exercício 06 Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa. 07) Considere o seguinte circuito magnético: Materiais e Circuitos Elétricos página 116

119 Dados do Exercício Espessura do Núcleo = 10 [cm] N = 1000 espiras φ = [Wb] l g 1 = 0.10 [cm] e l g 2 = 0.15 [cm] d l = 150 [cm] e d e = 180 [cm] Tabela 3.21 Dados do Exercício 07 De posse dos dados acima, determinar: a) A força magnetomotriz necessária para produzir o fluxo φ ; b) A corrente i da bobina; c) A permeância total do circuito magnético; d) A indutância da bobina. Obs.: - Considerar simetria dos gaps; - Considerar espraiamento de 05% nos gaps de comprimento l g ; 2 - Considerar para o material ferromagnético a curva de saturação anexa. 08) Considere o seguinte circuito magnético: Materiais e Circuitos Elétricos página 117

120 Dados do Exercício Espessura do Núcleo = 08 [cm] i = 6.2 [A] Medidas na figura em [cm] Tabela 3.22 Dados do Exercício 08 Sabendo-se que φ = Wb 3 [ ], determinar o numero de espiras da bobina. Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa. 09) Seja o seguinte circuito magnético toroidal, com gap e N espiras uniformemente distribuídas: Materiais e Circuitos Elétricos página 118

121 Dados do Exercício Espraiamento no Gap = 10% N = 1000 espiras λ gap = 12.0 x 10-7 [H/m] l g = 01 [mm] d l = 81.2 [cm] e d e = [cm] Espiras justapostas Tabela 3.23 Dados do Exercício 09 Desprezando: - O fluxo de dispersão; - O comprimento do arco equivalente a linha media do gap. De posse destes dados, determinar: a) A corrente necessária para produzir um fluxo de [Wb]; b) As relutâncias equivalentes, do ferro e do gap; c) A indutância da bobina. Obs.: Considerar a curva de magnetização anexa. 10) Considere o seguinte circuito magnético: Materiais e Circuitos Elétricos página 119

122 Dados do Exercício Espessura do Núcleo = 01 [pol] i = 0.2 [A] N = 1000 espiras Medidas na figura em [pol] Tabela 3.24 Dados do Exercício 10 Determinar o fluxo e a indução magnética em cada perna do circuito magnético. Desprezar os espraiamentos dos entreferros e os campos de dispersão. Supor que a permeabilidade relativa do ferro é tão alta que a força-magnetomotriz do enrolamento está totalmente aplicada nos entreferros. Obs.: Desenvolva um circuito magnético equivalente. 11) Refazer o exercício anterior, considerando agora a seguinte curva de magnetização para o material ferromagnético: Materiais e Circuitos Elétricos página 120

123 12) Na curva de magnetização anexa (curva 01), determinar o valor da permeabilidade magnética relativa para: a) B = 0.5 [Wb/m 2 ]; b) B = 1.5 [Wb/m 2 ]; c) H = 1400 [AE/m]; d) H = 3600 [AE/m]. 13) Considere o circuito magnético da figura a seguir, onde: Dados do Exercício Espessura do Núcleo = 10 [cm] Espraiamento do núcleo = 20% N = 1390 espiras Medidas na figura em [cm] Tabela 3.25 Dados do Exercício 13 Materiais e Circuitos Elétricos página 121

124 Determinar: a) O circuito elétrico análogo; b) A corrente na bobina para que se obtenha um fluxo de [Wb] no núcleo magnético; c) A indutância da bobina; d) A relutância total do circuito magnético. Obs.: - Considerar simetria na perna do núcleo onde está o gap; - Para o material ferromagnético, considerar a curva de saturação (01) anexa; 7 - µ = 4 π 10 [ H / m] 0 Materiais e Circuitos Elétricos página 122