Imersões Mínimas e Conformes em M 2 IR

Transcrição

1 Ady Cambraia Júnior Imersões Mínimas e Conformes em M 2 IR Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Matemática do Departamento de Matemática da PUC Rio Orientador: Prof. Ricardo Sá Earp Rio de Janeiro Abril de 2009

2 Ady Cambraia Júnior Imersões Mínimas e Conformes em M 2 IR Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Matemática do Departamento de Matemática do Centro Técnico Científico da PUC Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Ricardo Sá Earp Orientador Departamento de Matemática PUC Rio Prof. Maria Fernanda Elbert Departamento de Matemática UFRJ Prof. Nedir do Espírito Santo Departamento de Matemática UFRJ Prof. Walcy Santos Departamento de Matemática UFRJ Prof. Pierre Bérard Institut Fourier Université de Grenoble Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC Rio Rio de Janeiro, 08 de Abril de 2009

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Ady Cambraia Júnior Mestrado: Matemática Pura Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC Rio ( ). Graduação: Bacharelado e Licenciatura em Matemática Universidade Federal de Viçosa UFV ( ). Júnior, Ady Cambraia Ficha Catalográfica Imersões Mínimas e Conformes em M 2 IR / Ady Cambraia Júnior; orientador: Ricardo Sá Earp. Rio de Janeiro : PUC Rio, Departamento de Matemática, v., 113 f: il. ; 29,7 cm 1. Dissertação (mestrado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática. Inclui referências bibliográficas. 1. Matemática Tese. 2. Imersões Conformes. 3. Imersões Mínimas. 4. Superfícies Conjugadas. 5. Isometrias. 6. Equação de Gauss. 7. Superfícies Associadas. 8. Diferencial de Hopf. I. Sá Earp, Ricardo. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática. III. Título. CDD: 510

4 Aos meus pais Ady Cambraia e Cecília dos Santos Cambraia.

5 Agradecimentos Em primeiro lugar quero agradecer a Deus por ter me dado inteligência e forças para superar mais essa etapa da minha vida. Agradeço também os meus pais, Ady e Cecília, pelo apoio incondicional em todos os momentos de minha vida. Ao Professor Ricardo pela brilhante orientação. Aos funcionários do Departamento de Matemática, especialmente a Creuza, por todo seu carisma e atenção. Durante o período de mestrado fiz muitas amizades, em especial Carlos, Eduardo, João, Renato (sempre presente), Rodrigo, Gondin, Joana, Camilla, Inês, e todos os demais alunos da pós-graduação. A eles também dedico esse trabalho. À minha namorada, Thaís, que apesar da distância, sempre me deu total apoio e ajudou a tomar decisões importantes. A todos, meus sinceros agradecimentos e um grande abraço!

6 Resumo Júnior, Ady Cambraia; Sá Earp, Ricardo. Imersões Mínimas e Conformes em M 2 IR. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Neste trabalho o espaço ambiente é a variedade produto M 2 IR, onde M 2 é uma variedade Riemanniana bi-dimensional. Damos um maior enfoque no caso em que M 2 = H 2, ou seja, quando M 2 é o plano hiperbólico, o qual estudamos segundo o modelo do semi-plano superior ou o modelo do disco unitário de Poincaré. O principal objetivo deste trabalho é estudar um resultado de unicidade de imersões X : Ω H 2 IR mínimas e conformes nesse espaço, o resultado, obtido por Laurent Hauswirth, Ricardo Sá Earp e Eric Toubiana em [9], é o seguinte Seja Ω C um conjunto aberto simplesmente conexo e considere duas imersões conformes mínimas X, X : Ω M 2 IR isométricas uma à outra. Sejam h e h as componentes horizontais de X e de X, respectivamente. Suponhamos que h e h têm a mesma diferencial quadrática de Hopf. Então, X e X são congruentes. Para tanto, no primeiro capítulo, introduzimos os conceitos básicos da geometria Riemanniana que serão essenciais para o entendimento dos resultados principais. Ainda neste capítulo, para entendermos melhor o espaço onde estamos trabalhando, apresentamos a métrica com a qual trabalhamos, as isometrias e geodésicas desse espaço. No segundo capítulo, apresentamos alguns resultados sobre imersões conformes em M 2 IR. Calculamos a equação da curvatura de Gauss em M 2 IR (veja teorema 1.27), encontramos a equação da curvatura média para gráficos verticais e horizontais dando vários exemplos de gráficos mínimos e de curvatura média constante. Com o intuito de entendermos as superfícies de M 2 IR, principalmente quando M 2 = H 2, definimos e classificamos todos os planos totalmente geodésicos em H 2 IR (veja definição 2.18 e proposição 2.19). Abordamos ainda, no capítulo dois, um resultado muito utilizado em Geometria e na Análise, o Princípio do Máximo (teorema 2.22). Vimos, no teorema 2.24, que utilizando o princípio do máximo prova-se que não existem sub-variedades mínimas fechadas sem bordo mergulhadas em H 2 IR. Durante nosso trabalho, deparamos em diversos momentos com as funções e aplicações harmônicas, portanto fizemos uma breve introdução das aplicações harmônicas. Vimos que tais aplicações são pontos fixos de um funcional energia (veja definição 2.25), com isso determinamos a equação para tais aplicações. Também encontramos as fórmulas de Bochner 2-33, as quais aparecem nos teoremas principais. Para o resultado principal precisamos de entender o espaço de Minkowski, ou seja, o espaço euclideano

7 IR 3 com a métrica de Lorentz (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2, para isso, dedicamos o capítulo três. Neste capítulo estudamos um tipo especial de superfícies, a saber, as superfícies spacelike que são superfícies nas quais a métrica de Lorentz restrita à elas é positiva definida. Encontramos uma fórmula de Representação para as superfícies spacelike em IR 2,1, veja teorema 3.11, obtido por Akutagawa e Nishikawa em [7]. Apresentamos ainda o teorema fundamental da geometria em IR 2,1 (3.16) e o teorema de Frobenius (3.15), ferramentas fortemente usadas na demonstração do teorema de unicidade das imersões mínimas em H 2 IR. No capítulo quatro, apresentamos os principais resultados da dissertação, desenvolvendo os detalhes da demonstração do teorema de unicidade. Neste capítulo, damos a definição de superfícies associadas e conjugadas (definição 4.5), dando um exemplo especial de duas imersões mínimas isométricas que não são associadas, obtido em [9]. A fim de apresentar mais superfícies no espaço M 2 IR apresentamos no apêndice o lema de Bour (A.1) que permite encontrar todas as imersões isométricas com a mesma curvatura média H e que foi utilizado no exemplo acima mencionado. Palavras chave Imersões Conformes; Imersões Mínimas; Superfícies Conjugadas; Isometrias; Equação de Gauss; Superfícies Associadas; Diferencial de Hopf;

8 Abstract Júnior, Ady Cambraia; Sá Earp, Ricardo(Advisor). Imersions in M 2 IR. Rio de Janeiro, p. MsC Dissertation Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. In this work the ambient space is the manifold M 2 IR, where M 2 is a 2-dimensional Riemannian manifold. Greater attention will be given to the case M 2 = H 2, i. e., when M 2 is the hyperbolic plane, which is consider as the superior semiplane or the Ponicaré unitary disc model. Moreover it is also discussed the M 2 = S 2, IR 2 case.the main goal of this work is to study a result about unicity of conformal minimal immersions X : Ω H 2 IR, due to Laurent Hauswirth, Ricardo Sá Earp and Eric Toubiana, which follows Let Ω C be a simply connected open set and consider two isometric and conformal minimal immersions X, X : Ω M 2 IR. Let us call h (resp. h ) the horizontal component of X (resp. X ). Assume that h and h share the same Hopf quadratic differential. Then X and X are equal up to an isometry of M IR. In the first chapter, the basic concepts of Riemannian Geometry are introduce, as they are essencial for the rest of the work. It is also presented the metric, the isometries and geodesics that will be worked of this space. The second chapter is dedicated to present some results on conformal immersion in M 2 IR. We calculate the equation of the Gaussian curvature in M 2 IR (see theorem 1.27) and find the equation of mean curvature for vertical and horizontal graphics, giving many examples of the minimum and mean constant graphics. As the aim of understanding the surface species M 2 IR, mostly when M 2 = H 2, we define and classified all plans fully geodesics in H 2 IR (see definition-2.18 and the proposition 2.19). Further in chapter two,we discuss a widely result used in Geometry and Analysis, the Principle of Maximum (theorem 2.22). We saw in theorem 2.24, that using the maximum principle is proved that there no minimum sub-manifolds closed without board embedded in H 2 IR. During our work at various times we face with functions and harmonic applications, therefore we made a brief introduction of harmonic applications. We have seen that such applications are critical points of a energy functional (see definition 2.25), with this we determine the equation to the such applications. We also find the Bochner s formulas 2-33, which appear in the main theorems. For the main result we need to understand the Minkowski space, i. e., the Euclidean space IR 3 with the metric of Lorentz (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2, for this, we dedicate the chapter three. In this chapter we study a special type of surfaces, namely spacelike

9 surfaces, in which the Lorentz metric restricted to them is positive definite. We find a representation formula for spacelike surfaces in IR 2,1, see Theorem 3.11, obtained by Akutagawa and Nishikawa in [7]. We also present the geometry s fundamental theorem in IR 2,1, 3.16, and Frobenius theorem 3.15, which are heavily used tools in the demonstration of uniqueness theorem of minimal immersions in H 2 IR. In chapter four, we present the main results of this presentation, developing the details of the proof of the uniquiness theorem. In this chapter, we give the definition of conjugated and associated surfaces (definition 4.5), providing a special case of two isometric minimal immersions that are not associated, established in [9]. In order to provide more surfaces in space M 2 IR we present in the Appendix the lemma of Bour (A.1) that finds all isometric immersions with the same H mean curvature and which was used in the previous example. Keywords conformal imersions; minimal imersions; conjugate surfaces; isometry; Gauss s equation; associate surfaces; Hopf differential;

10 Sumário Lista de figuras 11 1 Preliminares Teoria básica da Geometria Riemanniana Métricas Riemannianas Métrica Produto e Isometrias Conexão Riemanniana e Geodésicas Curvaturas 25 2 Imersões em M 2 IR Imersões em M 2 IR Equação da Curvatura de Gauss A curvatura média e a curvatura de Gauss extrínseca em M 2 IR Planos totalmente geodésicos de H 2 IR A curvatura média para gráficos verticais em M 2 IR Aplicações Harmônicas Energia de uma aplicação A equação das aplicações harmônicas Fórmulas de Bochner 73 3 Superfícies Spacelike em IR 2, Fórmula de Representação para Spacelike no espaço de Lorentz O espaço de Minkowski Superfícies Spacelike de curvatura média constante no espaço de Lorentz A Aplicação de Gauss Equação de Beltrami Fórmula de Representação de uma superfície spacelike Condições de Integrabilidade Teorema Fundamental da Geometria em IR 2, Resultados de Existência e Unicidade Teorema de Existência 94 Bibliografia 104 A Apêndice 107 A.1 Lema de Bour 107

11 Lista de figuras 1.1 Homotetia, translação e rotação, respectivamente Geodésica de H 2 IR Helicóide curva geratriz do semi-catenóide Catenóide Superfícies totalmente geodésicas de H 2 IR Superfície Mínima em H 2 IR Superfície Mínima de H 2 IR Superfície de curvatura média constante igual a 1 2 em H2 IR Rotação hiperbólica em torno de p Translação hiperbólica ao longo da geodésica γ Screw motion mínima mergulhada em H 2 IR com curvatura gaussiana K = A.1 Difeomorfismo f : U 1 U 2 109