CONTEÚDO ARTIGOS AOS LEITORES 2. XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3 Problemas e soluções da Primeira Fase

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1 CONTEÚDO AOS LEITORES XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3 Problemas e soluções da Primeira Fase XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3 Problemas e soluções da Seguda Fase XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e soluções da Terceira Fase XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3 Resultados ARTIGOS EQUAÇÕES DIOFANTINAS 39 Atoio Camiha Muiz Neto SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 49 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 AGENDA OLÍMPICA COORDENADORES REGIONAIS

2 AOS LEITORES Realizamos durate 999 a XXI Olimpíada Brasileira de Matemática em mais de.500 colégios de osso país, atigido a realização da primeira etapa cerca de aluos. Este ao a Olimpíada se realizará as seguites datas: Primeira Fase Sábado, 0 de juho Seguda Fase Sábado, 0 de setembro Terceira Fase Sábado, de outubro íveis, e 3) Domigo, de outubro ível 3 - segudo dia). A Comissão Nacioal de Olimpíadas etede que todo aluo que desejar participar da OBM deve poder fazê-lo sem restrições. A comissão oferece iclusive a aluos de escolas que ão participam da OBM a possibilidade de fazer as provas sob supervisão direta do Coordeador Regioal. As escolas podem aturalmete acoselhar seus aluos a participar ou ão da Olimpíada de acordo com seus próprios critérios, mas a escola uca deve impedir um aluo de participar se este for o seu desejo. Lembramos que a Olimpíada Brasileira de Matemática é uma competição etre aluos e ão etre colégios. A OBM divulga apeas os omes e potuações dos aluos premiados; a OBM uca divulgou em divulgará comparações etre colégios. Nosso objetivo é estimular o estudo de Matemática etre os joves, cotribuir para o aprimorameto dos professores e propiciar uma melhoria do esio e do apredizado desta matéria as escolas brasileiras e ão comparar desempehos de escolas. O Regulameto da OBM foi atualizado. Leia o ovo regulameto o site: Fialmete, aproveitamos, para registrar a realização da Semaa Olímpica 000, atividade que vem sedo realizada desde 998. Nesta oportuidade o eveto teve lugar a Uiversidade Metodista de Piracicaba UNIMEP) etre os dias a 7 de jaeiro de 000. Durate a Semaa Olímpica 000, reuimos aluos gahadores da XXI Olímpiada Brasileira de Matemática os seus três íveis de competição. Estes aluos participaram de um treiameto itesivo com professores de diversas partes do país como preparação para a futura formação das equipes que represetarão o Brasil em Olimpíadas Iteracioais. Além disso eles tiveram a oportuidade de coquistar ovas amizades, iiciado um relacioameto etremamete proveitoso com outros joves da mesma faia de idade e com iteresses semelhates. EUREKA! N 7, 000

3 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase - Nível 0. Um pequeo camihão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados o camihão 3 sacos de areia, quatos tijolos pode aida ele carregar? A) 3 B) 44 C) 4 D) 48 E) 5 0. A calculadora de Juliaa é bem diferete. Ela tem uma tecla D, que duplica o úmero escrito o visor e a tecla T, que apaga o algarismo das uidades do úmero escrito o visor.assim, por eemplo, se estiver escrito 3 o visor e apertarmos D, teremos 4; depois, apertado T, teremos 4. Supoha que esteja escrito 999. Se apertamos D depois T, em seguida D, depois T, teremos o úmero: A) 9 B) 98 C) 3 D) 79 E) O gráfico abaio mostra o valor aproimado do dólar em reais o dia 5 dos últimos meses.,0,5,0 D J F M A M J Marcelo comprou um carro usado um sistema de fiaciameto chamado leasig corrigido pela variação do dólar e suas prestações vecem eatamete o dia 5 de cada mês. Em dezembro, Marcelo pagou R$ 00,00 de prestação. Com base a tabela, podemos dizer que em maio a prestação foi de: A) R$ 700,00 B) R$ 850,00 C) R$ 50,00 D) R$ 900,00 E) R$ 800, Numa certa cidade, o metrô tem todas suas estações em liha reta. A distâcia etre duas estações vizihas é sempre a mesma. Sabe-se que a distâcia etre a terceira e a seta estações é igual a metros. Qual é o comprimeto dessa liha? A) 8,4 km B), km C) 9,9 km D) 3, km E) 9,075 km EUREKA! N 7, 000 3

4 05. A metade do úmero 4 é igual a: A) 4 B) C) D) E) Quatos úmeros de dois algarismos são primos e têm como atecessor um quadrado perfeito? A) B) ehum C) D) 3 E) 07. Quatas vezes um dia 4 horas) os poteiros de um relógio formam âgulo reto? A) 48 B) 44 C) 4 D) E) Doa Zizi comprou balas para cada aluo de uma 5 a série. Mas como os meios adavam meio barulhetos, ela resolveu redistribuir essas balas, dado 5 para cada meia e apeas para cada meio. Podemos cocluir que a 5 a série A) 0% são meios B) 30% são meias C) 75% são meios D) 50% são meias E),...% são meios 09. Vários caiotes cúbicos de plástico Azul ficaram armazeados ao ar livre, a posição idicada a figura ao lado, a qual apeas um dos caiotes ão é visível. Com o tempo, o plástico eposto ao ar perdeu sua cor, torado-se ciza. Ao desfazer a pilha, verificaremos que o úmero de caiotes com três faces azuis e três cizetas será: A) 4 B) 5 C) 3 D) E) 0. Roaldo, sempre que pode, guarda moedas de 50 cetavos ou real. Atualmete, ele tem 00 moedas, um total de 7 reais. Quatas moedas de um valor ele tem a mais do que a de outro valor? A) 48 B) 4 C) 8 D) 5 E) 9. Jutado três quadrados cogruetes e fazedo coicidir lados comus, sem superposição, podemos formar duas figuras diferetes, como mostra a figura ao lado. Observe que uma figura obtida de outra por rotação, deslocameto ou refleão, é cogruete à mesma figura muda apeas a posição). Por eemplo, temos abaio figura iguais em 4 posições diferetes: EUREKA! N 7, 000 4

5 0 o Vamos agora pegar três losagos cogruetes, um deles 0 represetado ao lado. o Quatas figuras diferetes podemos formar com os três losagos, fazedo coicidir lados comus? A) B) C) 3 D) 5 E) 9. Reata digitou um trabalho de 00 págias umerados de a 00 e o imprimiu. Ao folhear o trabalho, percebeu que sua impressora estava com defeito, pois trocava o zero pelo um e o um pelo zero a umeração das págias. Depois de cosertar a impressora, quatas págias teve que reimprimir, o míimo? A) 8 B) 0 C) D) 30 E) 8 3. Letícia vedeu todos seus CDs de videogames para três amigos, que lhe pagaram, respectivamete, R$ 40,00, R$ 80,00 e R$ 30,00. Todos os CDs tiham o mesmo preço. Quatos CDs tiha Letícia o míimo? A) 0 B) 37 C) 8 D) E) 5 4. cartões com úmeros somete uma das faces são colocados sobre uma mesa coforme a ilustração. Os 8 4 cartões X e Y estão com a face umerada voltada para baio. A média aritmética dos úmeros de todos os cartões é 5. A média aritmética dos úmeros do cartão Y e seus três vizihos é 3. Qual é o úmero escrito o cartão X? X Y A) 4 B) C) 0 D) 5 E) 0 5. Rafael tem 3 da idade de Roberto e é aos mais jovem que Reialdo. A idade de Roberto represeta 3 4 da idade de Reialdo. Em aos, a soma das idades dos três é: A) 48 B) 7 C) 58 D) 0 E) 34 EUREKA! N 7, 000 5

6 . Marcos quer pesar três maças uma balaça de Dois pratos, mas ele dispõe de apeas um bloco de 00 gramas. Observado o equilíbrio a balaça, ele observa que a maçã maior tem o mesmo peso que as outras duas maçãs jutas; o bloco e a maçã meor pesam tato quato as outras duas maçãs jutas; a maçã maior juto com a meor pesam tato quato bloco. O peso total das três maçãs é: A) 50 g B) 300 g C) 350 g D) 400 g E) 450 g 7. No deseho ao lado estão represetados Quatro triâgulos retâgulos e um retâgulo, bem como suas medidas. Jutado todas essas figuras, podemos costruir um quadrado. O lado desse quadrado irá medir: A) 88 cm B) 00 cm C) 0 cm D) 9 cm E) 80 cm Numa certa cidade, foi adotado o seguite sistema de rodízio de carros: duas vezes por semaa, de seguda a seta, cada carro fica proibido de circular, de acordo com o fial de sua placa algarismo das uidades). O úmero médio de fiais de placa proibidos diferetes para cada dia de proibição é: A) 4 B) C) 3 D) E) idefiido 9. Aleadre, cosultado a programação de filmes, decidiu gravar Cotato, cuja duração é de 50 miutos. Para gravar uma úica fita, ele começou com velocidade meor modo EP, que permite gravar horas) e, um dado mometo, mudou para a velocidade maior modo SP, que permite gravar horas), de forma que a fita acabou eatamete o fim do filme. Do iício do filme até o mometo da mudaça do modo de gravação, quatos miutos se passaram? A) 0 B) 30 C) 5 D) 45 E) Você sabe que eistem 9 úmeros de um algarismo, 90 úmeros de dois algarismos, 900 úmeros de três algarismos, etc. Cosidere agora cada úmero cujo último algarismo à direita represeta o úmero de algarismos desse úmero. Por eemplo, o úmero é um deles, pois 4 é o úmero de seus algarismos. Quatos úmeros desse tipo eistem? A) B) C) D) E) EUREKA! N 7, 000

7 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase - Nível 0. Veja problema 0 do Nível. 0. Em um hotel há 00 pessoas. 30 comem porco, 0 comem galiha e 80 comem alface. Qual é o maior úmero possível de pessoas que ão comem ehum desses dois tipos de care? A) 0 B) 0 C) 30 D) 40 E) Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao logo de suas diagoais coforme ilustração abaio, obtedo-se um triâgulo isósceles. Foi feito um corte a folha dobrada, paralelo à base desse triâgulo, pelos potos médios dos outros lados. A área do buraco a folha correspode a que fração da área da folha origial? A) B) C) 8 3 D) 4 3 E) Veja problema 9 do Nível. 05. Veja problema 7 do Nível. 0. Cotado-se os aluos de uma classe de 4 em 4 sobram e cotado-se de 5 em 5 sobra. Sabedo-se que 5 aluos são meias e que esta classe o úmero de meias é maior que o úmero de meios, o úmero de meios esta classe é igual a : A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 07. O quociete de por 5 5 é igual a : A) 5 5 B) 0 5 C) 00 5 D) 5 E) Qual o 999 o algarismo após a vírgula a represetação decimal de 37 4? A) 0 B) C) D) 7 E) 8 EUREKA! N 7, 000 7

8 09. Um retâgulo ABCD está dividido em quatro retâgulos meores. As áreas de três deles estão a figura abaio. Qual é a área do retâgulo ABCD? A D 7 B C A) 80 B) 84 C) 8 D) 88 E) 9 0. Em um aquário há peies amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 0% são vermelhos. Uma misteriosa doeça matou muitos peies amarelos, mas ehum vermelho. Depois que a doeça foi cotrolada verificou-se que o aquário, 75% dos peies vivos eram amarelos. Aproimadamete, que porcetagem dos peies amarelos morreram? A) 5% B) 37% C) 50% D) 7% E) 84%. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma um bairro diferete. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, aida pagou R$,00 de estacioameto. Se o fial aida tiha R$ 8,00, que quatia tiha Pedro ao sair de casa? A) R$ 0,00 B) R$ 04,00 C) R$ 9,00 D) R$ 88,00 E) R$ 80, Quatos são os possíveis valores iteiros de para que 9 seja um úmero iteiro? A) 5 B) 0 C) 0 D) 30 E) A difereça etre a maior raiz e a meor raiz da equação 45) ) 0 é: A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 4. Uma bola de futebol é feita com 3 peças de couro. delas são petágoos regulares e as outras 0 são heágoos também regulares. Os lados dos petágoos são iguais aos dos heágoos de forma que possam ser costurados. Cada costura ue dois lados de duas dessas peças. Quatas são as costuras feitas a fabricação de uma bola de futebol? A) 0 B) 4 C) 90 D) 0 E) 80 EUREKA! N 7, 000 8

9 5. Hoje, //999, Pedro e Maria fazem aiversário. No mesmo dia em 99, a idade de Pedro era 3/4 da idade de Maria. No mesmo dia em 00, a idade de Pedro será igual à de Maria quado ele tiha 0 aos. Quatos aos Maria está fazedo hoje? A) 30 B) 3 C) 3 D) 33 E) 34. Uma caia cotém 00 bolas de cores distitas. Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuis e etre as 0 restates, algumas são bracas e outras são pretas. O meor úmero de bolas que devemos tirar da caia, sem lhes ver a cor, para termos a certeza de haver pelo meos 0 bolas da mesma cor é: A) 3 B) 33 C) 35 D) 37 E) Quatos são os triâgulos que possuem medidas dos seus lados epressas por úmeros iteiros e tais que a medida do maior lado seja igual a? A) 0 B) C) D) 4 E) 3 8. Os potos S, T e U são os potos de tagêcia do círculo iscrito o triâgulo PQR sobre os lados RQ, RP e PQ respectivamete. Sabedo que os comprimetos dos arcos TU, ST e US estão a razão TU : ST : US 5 : 8 :, a razão TPU : SRT : UQS é igual a : A) 7 : 4 : B) 8 : 5 : C) 7 : 3 : D) : 8 : 5 E) 9 : 5 : 9. Aos vértices de um cubo são atribuídos os úmeros de a 8 de modo que os cojutos dos úmeros correspodetes aos vértices das seis faces são {,,, 7}, {, 4,, 8}, {,, 5, 8}, {, 3, 5, 7}, {3, 4,, 7} e {3, 4, 5, 8}. O vértice atribuído ao úmero está mais loge do vértice de úmero A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 0. Com os 5 úmeros ímpares etre 5 e 4 e com os 5 úmeros pares etre 5 e 4 são formados 5 pares de úmeros. Se N é a soma dos produtos, obtidos em cada par de úmeros, o valor míimo possível de N é igual a : A) 4 B) 40 C) 8 D) 0 E) 0 EUREKA! N 7, 000 9

10 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase - Nível 3 0. Veja problema 0 do Nível. 0. Veja problema 0 do Nível. 03. Um gafahoto pula eatamete metro. Ele está em um poto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atigir um poto B dessa mesma reta que está a 5 metros de distâcia de A com eatamete 9 pulos. De quatas maeiras ele pode fazer isso? A) B) 8 C) 4 D) 3 E) Sedo a b e b 0, sabe-se que as raízes da equação a b 0 são eatamete a e b. Etão, a b é igual a: A) 0 B) C) D) 3 E) Veja problema 09 do Nível. 0. Veja problema 4 do Nível. 07. A difereça etre a maior raiz e a meor raiz da equação 45) ) 0 é: A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 08. Veja problema do Nível. 09. Se 0 0 < < 90 0 e cos etão está etre: 4 A) 0 0 e 30 0 B) 30 0 e 45 0 C) 45 0 e 0 0 D) 0 0 e 75 0 E) 75 0 e Veja problema do Nível.. Para todo atural defiimos a fução f por: f ) se é par, f ) 3 se é ímpar. O úmero de soluções da equação f f f ) )) é: A) B) 3 C) 4 D) 5 E). O úmero N... possui 999 dígitos, todos iguais a. O resto da divisão de N por 7 é: A) B) C) 4 D) 5 E) EUREKA! N 7, 000 0

11 3. Um quadrado ABCD possui lado 40cm. Uma circuferêcia cotém os vértices A e B e é tagete ao lado CD. O raio desta circuferêcia é: A) 0cm B) cm C) 4cm D) 5cm E) 8cm 4. Veja problema 8 do Nível. 5. Para quatos valores iteiros de eiste um triâgulo acutâgulo de lados, 0 e? A) 9 B) 0 C) D) E) 8. A circuferêcia abaio tem raio, o arco AB mede 70 0 e o arco BC mede A área da região limitada pelas cordas AB e AC e pelo arco BC mede: A C A) π/8 B) π/9 C) π/0 D) π/ E) π/4 7. A reta r cotém os potos 0, 4) e 7, 7). Dos potos abaio, qual é o mais próimo da reta r? A) 999, 858) B) 999, 859) C) 999, 80) D) 999, 8) E) 999, 8) 8. Quatos são os pares, y) de iteiros positivos que satisfazem a equação 3y 0? A) 3 B) 4 C) 5 D) E) 7 9. Quatos úmeros iteiros etre 0 e 000 possuem seus dígitos em ordem estritamete crescete? Por eemplo, 47 e são úmeros deste tipo; 5 e 5 ão). A) 90 B) 98 C) D) 8 E) 0 0. Veja problema 0 do Nível.. Veja problema 5 do Nível.. No quadrado ABCD o poto E é médio de BC e o poto F do lado CD é tal que o âgulo AEF é reto. Aproimadamete, que porcetagem a área do triâgulo AEF represeta da área do quadrado? A) 8% B) 3% C) 34% D) 3% E) 39% B EUREKA! N 7, 000

12 3. Dois irmãos herdaram o terreo ABC com a forma de um triâgulo retâgulo em A, e com o cateto AB de 84m de comprimeto. Eles resolveram dividir o terreo em duas partes de mesma área, por um muro MN paralelo a AC como mostra a figura abaio. Assiale a opção que cotém o valor mais aproimado do segmeto BM. B M N A A) 55m B) 57m C) 59m D) m E) 3m 4. As represetações decimais dos úmeros e 5 são escritas lado a lado. O úmero de algarismos escritos é igual a : A) 999 B) 000 C) 00 D) 3998 E) Veja problema do Nível. GABARITO Primeiro Nível 5 a. e a. séries) ) B ) A ) E ) B ) D 7) B ) E 7) E 3) B 8) C 3) B 8) A 4) B 9) A 4) E 9) D 5) D 0) B 5) C 0) C Segudo Nível 7 a. e 8 a. séries) ) B ) E ) D ) E ) D 7) C ) C 7) E 3) E 8) B 3) A 8) A 4) A 9) E 4) C 9) D 5) E 0) D 5) B 0) B Terceiro Nível Esio Médio) ) B ) C ) C ) B ) B ) D 7) A ) A 7) D ) B 3) D 8) C 3) D 8) E 3) C 4) D 9) E 4) A 9) E 4) B 5) E 0) D 5) A 0) D 5) E C EUREKA! N 7, 000

13 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Seguda Fase - Nível PROBLEMA Corte 0 algarismos do úmero , para que o úmero restate seja o maior possível. PROBLEMA Sabe-se que três meses cosecutivos de um determiado ao, ão bisseto, possuem cada um eatamete quatro domigos. a) Estes meses podem ser jaeiro, fevereiro e março? b) Podem ser agosto, setembro e outubro? PROBLEMA 3 Na figura, os triâgulos ABC e EGF são equiláteros. O perímetro do triâgulo ABC é 3cm e, além disso, AE EC B BD DC EF FC DG GE D a) Qual o perímetro da área sombreada? b) Que fração da área do triâgulo ABC represeta a área sombreada? G A E F PROBLEMA 4 Pedro distribuiu 7 moedas de real em sete caias e colocou em cada uma delas uma etiqueta dizedo o úmero de moedas da caia. Essa distribuição foi feita de forma que qualquer quatia de R$,00 a R$7,00 pudesse ser paga etregado-se apeas caias fechadas. De que maeira Pedro fez essa distribuição? PROBLEMA 5 Um edifício muito alto possui 000 adares, ecluido-se o térreo. Do adar térreo partem 5 elevadores: O elevador A pára em todos os adares. O elevador B pára os adares múltiplos de 5, isto é, 0, 5, 0, 5, O elevador C pára os adares múltiplos de 7, isto é, 0, 7, 4,, O elevador D pára os adares múltiplos de 7, isto é, 0, 7, 34, 5, O elevador E pára os adares múltiplos de 3, isto é, 0, 3, 4, 9, C EUREKA! N 7, 000 3

14 a) Mostre que, ecetuado-se o adar térreo, ão eiste ehum adar ode param os 5 elevadores. b) Determie todos os adares ode param 4 elevadores. PROBLEMA Ecotre o meor tabuleiro quadrado que pode ser ladrilhado usado peças com o seguite formato: Obs: Ladrilhado sigifica completamete coberto, sem superposição de peças, e de modo que ehum poto fora do tabuleiro seja coberto por alguma peça. SOLUÇÕES SEGUNDA FASE - NÍVEL SOLUÇÃO PROBLEMA O maior úmero restate é Para ver isto, podemos supor que os cortes são feitos da esquerda para a direita. Se deiarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos, o úmero que resta começará por,, 3 ou 4. Logo, meor que o úmero acima. Feito isto, se deiarmos de cortar a seguda seqüêcia 34, o úmero que resta terá a primeira ou seguda casa, da esquerda para a direita,,, 3 ou 4. Aida meor que o úmero acima. Os dois primeiros 5 devem permaecer, pois retirado-se um deles, completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira seqüêcia 34 aparecerá a a ou a a casa. Fialmete devemos cortar a seqüêcia, que ocupa a a e a posição. SOLUÇÃO PROBLEMA Se o dia primeiro de jaeiro for Seguda-feira, e o ao ão for bisseto, etão os meses de jaeiro, fevereiro e março terão 4 domigos cada. SOLUÇÃO PROBLEMA 3 Solução resumida) 3 3 a) Perímetro 44) 3. b) S' S. S S SOLUÇÃO PROBLEMA 4 Basta distribuir as moedas em 7 caias cotedo respectivamete,, 4, 8,, 3 e 4 moedas. Para outros pagametos Pedro pode fazer 3, 5 4, 4, 7 4. Assim já pode pagar as quatias de a 7 reais com o coteúdo das caias. Somado-se a parcela de 8 a estas somas chega-se as somas de 9 até 5. Somado-se a parcela de às 5 somas assim formadas EUREKA! N 7, 000 4

15 obtém-se somas de 7 a 3. A estas acresceta-se a parcela de 3. E fialmete a parcela de 4, obtedo-se assim todas as somas de a SOLUÇÃO PROBLEMA 5 a) O elevador B pára os múltiplos de 5. O elevador C pára os múltiplos de 7. O elevador D pára os múltiplos de 7. O elevador E pára os múltiplos de 3. Como 5, 7, 7 e 3 são úmeros primos, para que todos parem um mesmo adar, este tem que ser múltiplo de e o prédio só tem 000 adares. b) Para que um adar parem eatamete quatro elevadores, devem parar A, que pára em todos, e três dos restates. B, C e D param os múltiplos de B, C e E param os múltiplos de B, D e E param os múltiplos de C, D e E param os múltiplos de Logo, os adares ode param 4 elevadores são o 595 e o 805. SOLUÇÃO PROBLEMA O meor tabuleiro é do tipo 0 0 coberto com 0 peças, como mostrado, por eemplo, pela figura abaio, à esquerda. Com efeito, o úmero de casas do tabuleiro é um quadrado perfeito múltiplo de 5. Logo é 5, 00, 5 ou... etc. Mas um tabuleiro 5 5 ão pode ser coberto com peças deste tipo, pois ao tetarmos completar uma lateral do tabuleiro, seremos coduzidos a uma das duas figuras à direita, as quais ão se deiam completar pelas peças para formar todo o tabuleiro. EUREKA! N 7, 000 5

16 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Seguda Fase - Nível PROBLEMA Três meses cosecutivos de um determiado ao, ão bisseto, possuem eatamete quatro domigos cada um. Prove que um destes meses é fevereiro. PROBLEMA Num quadro-egro são escritos três iteiros. Começa-se, etão, uma sequêcia de movimetos ode, em cada passo, apaga-se um deles e escreve-se em seu lugar a soma dos outros dois dimiuída de uma uidade. Após vários movimetos, estão escritos o quadro os úmeros 7, 75 e 9. É possível que o iício estejam escritos o quadro : a),,? b) 3, 3, 3? PROBLEMA 3 Seja ABCD um quadrado. Escolhemos potos M, N, P, Q respectivamete sobre AB, BC, CD e DA, de modo que as circuferêcias circuscritas aos triâgulos MBN e PDQ sejam tagetes eteriormete. Mostre que MN PQ AC. PROBLEMA 4 Determie o maior atural para o qual eiste uma reordeação a, b, c, d) de 3, a b c d, 9, ) isto é, {a, b, c, d} {3,, 9, }) tal que o úmero 3 9 seja iteiro. Justifique sua resposta. PROBLEMA 5 A C Um professor de matemática passou aos seus aluos a adição ode A, B, B D C e D são iteiros positivos, as frações estão simplificadas ao máimo e os deomiadores são úmeros primos etre si. Os aluos adicioaram as frações tirado o míimo múltiplo comum dos deomiadores das parcelas e escrevedo este como o deomiador do resultado. Mostre que a fração que os aluos ecotraram como resultado está simplificada. PROBLEMA Determie todos os iteiros positivos para os quais é possível motarmos um retâgulo 9 0 usado peças. EUREKA! N 7, 000

17 SOLUÇÕES SEGUNDA FASE - NÍVEL SOLUÇÃO PROBLEMA Se ehum destes meses for fevereiro, o úmero total de dias ão pode ser meor que e portato o úmero total de domigos ão poderia ser meor do que 3. SOLUÇÃO PROBLEMA a) Estão escritos iicialmete 3 úmeros pares. Quado um deles é apagado, é escrito em seu lugar um úmero ímpar. Após o º movimeto ficam etão dois úmeros pares e um úmero ímpar. Se apagarmos agora o úmero ímpar, surgirá em seu lugar outro úmro ímpar e se apagarmos um úmero par aparecerá em seu lugar outro úmero par. Deste modo, após qualquer úmero de movimetos restarão dois úmeros pares e um úmero ímpar e portato, ão é possível termos o fial os três úmeros ímpares 7, 75 e 9. b) Sim, uma possível sequêcia de movimetos é : 3, 3, 3 5, 3, 3 5, 3, 7 5,, 7 7,, 7 7,, 7 7, 43, 7 7, 43, 59 7, 75, 59 7, 75, 9. SOLUÇÃO PROBLEMA 3 A figura abaio represeta a situação, ode X e Y são os potos médios dos segmetos MN e PQ e Z é o poto de tagêcia das circuferêcias. Etão, como MBN PDQ 90, segue que BX MX NX XZ e DY QY YP YZ. Assim, MN PQ BX XZ ZY YD BD AC. A Q D M X Z P B SOLUÇÃO PROBLEMA 4 a b c d b d a b c d Temos Para a, b, c, d) dados, o maior possível é mdc { b d, a b c d} b d. Note que b d é máimo com b e d elemetos distitos de {3,, 9, }) quado d e b 9. Neste caso, b d 33, e a b c d a c. Tomado a e c 3, temos também a b c d 33, que é obviamete o maior valor possível para, obtido para a, b, c, d), 9, 3, ). N C EUREKA! N 7, 000 7

18 SOLUÇÃO PROBLEMA 5 Como os deomiadores das frações são primos etre si, seu MMC é BD e assim, AD CB a fração resultate é. Supohamos que esta fração ão seja irredutível BD isto é, que eista algum úmero primo p que divida o umerador e o deomiador desta fração. Como o produto BD é divisível por p, um dos seus termos, digamos B sem perda de geeralidade o seja. Etretato, uma das parcelas da soma AD CB é divisível por p e como a soma, por hipótese, é divisível por p a parcela AD é também divisível por p. Portato A ou D é divisível por p. No primeiro caso A temos uma cotradição com o fato da fração ser irredutível, o outro casos a B cotradição está o fato de que os deomiadores das frações iiciais sempre são primos etre si. SOLUÇÃO PROBLEMA É claro que deve ser o máimo 0 e dividir 90. Assim, restam para as possibilidades,, 3, 5,, 9, 0. Fora, é imediato que pode assumir qualquer um dos outros valores acima. Começado a tetar motar o retâgulo com peças a partir de um cato, cocluímos protamete que a tarefa ão é possível. EUREKA! N 7, 000 8

19 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Seguda Fase - Nível 3 PROBLEMA Nos etremos de um diâmetro de um círculo, escreve-se o úmero primeiro passo). A seguir, cada semicírculo é dividido ao meio e em cada um dos seus potos médios escreve-se a soma dos úmeros que estão os etremos do semicírculo segudo passo). A seguir, cada quarto de círculo é dividido ao meio e em cada um dos seus potos médios coloca-se a soma dos úmeros que estão os etremos de cada arco terceiro passo). Procede-se, assim, sucessivamete: sempre cada arco é dividido ao meio e em seu poto médio é escrita a soma dos úmeros que estão em seus etremos. Determiar a soma de todos os úmeros escritos após 999 passos. PROBLEMA Veja problema 3 do ível. PROBLEMA 3 Veja problema 4 do ível. PROBLEMA 4 Determie todos os iteiros positivos para os quais é possível motarmos um retâgulo 9 0 usado peças. PROBLEMA 5 José tem três pares de óculos, um mageta, um amarelo e um ciao. Todo dia de mahã ele escolhe um ao acaso, tedo apeas o cuidado de uca usar o mesmo que usou o dia aterior. Se dia primeiro de agosto ele usou o mageta, qual a probabilidade de que dia 3 de agosto ele volte a usar o mageta? PROBLEMA 3 3 Ecotre as soluções iteiras de y 999. SOLUÇÕES SEGUNDA FASE - NÍVEL 3 SOLUÇÃO PROBLEMA Seja S) a soma dos termos em cada passo em um dos semicírculos. Observemos que S), S) 4, e S3) 0. Deste modo, os parece razoável cojecturar que S) 3. Claramete, S) 3. Os ovos termos adicioados para formar L represetam somas de dois termos cosecutivos de L e cada EUREKA! N 7, 000 9

20 termo de L, ecetuado-se o primeiro e o último, aparece em eatamete duas destas somas. Daí, S ) S) S) ) 3S) 33 ) 3 ). Levado em cosideração o outro semicírculo, temos que a soma após os 999 passos é igual a ) SOLUÇÃO PROBLEMA Veja solução do problema 3 do ível. SOLUÇÃO PROBLEMA 3 Veja solução do problema 4 do ível. SOLUÇÃO PROBLEMA 4 É claro que deve ser o máimo 0 e dividir 90. Assim, restam para as possibilidades,, 3, 5,, 9, 0. Fora, é imediato que pode assumir qualquer um dos outros valores acima. Começado a tetar motar o retâgulo com peças a partir de um cato, cocluímos protamete que a tarefa ão é possível. SOLUÇÃO PROBLEMA 5 Sejam m, a e c as probabilidades de que o dia ele use óculos mageta, a c amarelo e ciao, respectivamete. Temos m, a c 0 e m, m c m a m a, e c Como a c m, temos m. ) Assim, m, e em 3 de agosto a probabilidade de que ele volte a 3 9 usar o mageta é m 3. 3 SOLUÇÃO PROBLEMA 3 Temos y) y y ) Supohamos > y. Assim, os possíveis valores de a y são, 3, 9, 7, 37, 3 37, 9 37, 7 37 e cada valor permite fazer y a e precisamos apeas verificar se as raízes de 999 a) a) são iteiras. Na verdade, algus destes valores são a 3 3 obviamete iapropriados: a y y 0 mod 3), dode os valores e 37 podem ser descartados. Por outro lado, se y 3b temos y ) 3b, dode podemos descartar a 7. Os dois valores restates, 3 e 9, são de fato possíveis e dão as quatro soluções: 0,),, 0),,9) e 9, ). EUREKA! N 7, 000 0

21 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase - Nível PROBLEMA Diga como dividir um cubo em 999 cubihos. A figura mostra uma maeira de dividir um cubo em 5 cubihos. PROBLEMA Emauela, Marta e Isabel são três adadoras que gostam de competir e por isso resolveram orgaizar um desafio de atação etre elas. Ficou combiado o total de potos para o primeiro, o segudo e o terceiro lugares em cada prova. A potuação para primeiro lugar é maior que a para o segudo e esta é maior que a potuação para o terceiro. As potuações são úmeros iteiros positivos. O desafio cosistiu de várias provas e ao fial observou-se que Emauela fez 0 potos, Marta 9 potos e Isabel 0. A primeira prova foi vecida por Isabel. a) Quatas provas foram disputadas? b) Determie o total de potos para o primeiro, segudo e terceiro lugares. PROBLEMA 3 Um reio é formado por dez cidades. Um cidadão muito chato foi eilado da cidade A para cidade B, que é a cidade do reio mais loge de A. Após um tempo, ele foi epulso da cidade B para a cidade C do reio mais loge de B. Sabe-se que a cidade C ão é a mesma cidade A. Se ele cotiuar sedo eilado dessa maeira, é possível que ele retore à cidade A? Nota: as distâcias etre as cidades são todas diferetes. PROBLEMA 4 Adriao, Bruo e Carlos disputaram uma série de partidas de têis de mesa. Cada vez que um jogador perdia, era substituído pelo que estava a esperar. A primeira partida foi disputada por Adriao e Bruo. Sabe-se que Adriao veceu partidas e Bruo. Quatas vezes Adriao e Bruo se efretaram? EUREKA! N 7, 000

22 SOLUÇÕES TERCEIRA FASE - NÍVEL PROBLEMA SOLUÇÃO DE MARIANA DE MORAES SILVEIRA Belo Horizote - MG) O cubo deve ser dividido em 000 cubihos, ou seja 0 0 0, depois, devese pegar um deles e dividí-lo ovamete em 000 cubihos para que obtehamos 999 cubihos. Assim teremos 000 que será dividido) cubihos. PROBLEMA SOLUÇÃO DE DIOGO DOS SANTOS SUYAMA Belo Horizote - MG) a) Foram disputadas 3 provas. Como , o úmero de potos distribuidos por prova só poderia ser 3 ou 3, pois estes são os úicos divisores de 39, a ão ser o mesmo e o. Em cosequêcias, o úmero de provas também será um desses úmeros. Porém, se forem disputadas 3 provas, só há uma maeira de se distribuir os potos: para o primeiro, para o segudo e 0 para o terceiro. Etretato, 0 ão é positivo, sedo assim descartada essa hipótese. b) Já sabedo que são 3 provas, é impossível que a vecedora gahe meos que 8 potos, pois assim, Emauela só coseguiria os 0 potos fazedo 7, 7 e potos em cada prova. Para isso, seria preciso que a vecedora fizesse 7 potos, a seguda colocada e a última 0, mas como vimos, 0 ão é positivo. É impossível, também que a vecedora faça mais de 0 potos, pois ão seria possível que a seguda fizesse mais potos que a última, ou que esta ão fizesse 0 potos. Etão, as úicas possibilidades são: a. 0, a., 3 a. ; a. 9, a. 3, 3 a. ; a. 8, a. 4, 3 a. ; e a. 8, a. 3, 3 a.. A primeira opção é icorreta, pois Isabel, que veceu uma das provas, ão poderia ter feito potos as outras. A seguda opção também ão é correta, pois Isabel teria que marcar apeas um poto em duas provas. A última opção é icorreta também, pois Isabel teria que marcar potos em duas provas. Terceira opção: a. 8, a. 4, 3 a. é a correta. Veja o quadro abaio: a. Prova a. Prova 3 a. Prova Total Emauela Marta Isabel 8 0 PROBLEMA 3 Veja solução do problema do ível. PROBLEMA 4 Veja solução do problema 3 do ível EUREKA! N 7, 000

23 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase - Nível PROBLEMA Seja ABCDE um petágoo regular tal que a estrela ACEBD tem área. Sejam P iterseção etre AC e BE e Q a iterseção etre BD e CE. Determie a área de APQD. D E Q C P A B PROBLEMA Um reio é formado por dez cidades. Um cidadão muito chato foi eilado da cidade A para a cidade B, que é a cidade do reio mais loge de A. Após um tempo, ele foi epulso da cidade B para a cidade C do reio mais loge de B. Sabe-se que a cidade C ão é a mesma cidade A. Se ele cotiuar sedo eilado dessa maeira, é possível que ele retore à cidade A? Nota: as distâcias etre as cidades são todas diferetes. PROBLEMA 3 Adriao, Bruo e Carlos disputaram uma série de partidas de têis de mesa. Cada vez que um jogador perdia, era substituído pelo que estava a esperar. A primeira partida foi disputada por Adriao e Bruo. Sabe-se que Adriao veceu partidas e Bruo. Quatas vezes Adriao e Bruo se efretaram? PROBLEMA 4 Prove que há pelo meos um algarismo diferete de zero etre a a. e a a. casa decimal de após a vírgula. EUREKA! N 7, 000 3

24 SOLUÇÕES TERCEIRA FASE - NÍVEL PROBLEMA Veja solução do problema do ível 3. PROBLEMA SOLUÇÃO DE EINSTEIN DO NASCIMENTO JÚNIOR Fortaleza - CE ) Há dez cidades A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Um chato da cidade A foi eilado para a cidade mais loge de A, a cidade B. Como B é a cidade mais loge de A, pode-se dizer que se tomarmos A como sedo o cetro de uma circuferêcia de raio AB, todas as cidades estarão detro dos limites da circuferêcia, eceto a cidade B que estará em cima dela. C A B E D Como as distâcias etre as cidades ão são iguais e o chato foi eilado para a cidade C que é a mais loge de B etão BC > AB. Da cidade C ele será eilado para a cidade D que é a mais loge de C e assim sucessivamete até chegar a cidade J ode teremos a seguite verdade: AB < BC < CD <... < HI < IJ. Ao chegar esse poto vemos que A com certeza ão é a cidade mais loge de J pois AB raio AJ < raio AJ < AB AB < IJ AJ < IJ Logo ele irá para uma cidade diferete de A, e uca retorará à cidade A. PROBLEMA 3 SOLUÇÃO DE FÁBIO DIAS MOREIRA Rio de Jaeiro - RJ) Quado começa a série, já ocorre um ecotro etre Adriao A) e Bruo B). Vamos chamar de V A, V B e V C o úmero de vitórias de Adriao, Bruo e Carlos, respectivamete. Etão ao fial da série V A V B 33 e depois do o. jogo V A V B EUREKA! N 7, 000 4

25 . Supohamos que o segudo jogo seja C. Chamemos de E o úmero de jogos A B. Etão o o. jogo E. Equato C gahar, V A V B e E permaecem costates. Quado C perder, V A V B aumeta uma uidade. O próimo jogo será A B, aumetado V A V B e E em uma uidade. Após este jogo, o próimo será C. Ou seja, para que E aumete uma uidade, V A V B aumeta duas, e o aumeto de um em E. Como o o. jogo E e falta que V A V B aumete 3 uidades, ocorrem 7 jogos A B. PROBLEMA 4 SOLUÇÃO DE HENRIQUE CHOCIAY Pihais - PR) Para começar a desevolver, utilizei o processo de etração que ão utiliza tetativas processo prático por aproimação) , Deste lado, o úmero de casas sempre aumeta em casa, uca mais. mesmo se houvesse um caso de só aumeta casa) etre e ) Quado estivermos o úmero de casas o multiplicador, teremos casas decimais. Supodo que haja só casa o resto esta situação, depois de de operações, teremos casas decimais milhão de zeros), o multiplicador e o resto, podedo obter úmero diferete de zero. Em geral o fato de, ão podedo haver divisão, com o aumeto das casas divisoras em e do resto em e as casas decimais serem meores que as divisoras em tora impossível a obteção desta seqüêcia de zeros etre as casas de e EUREKA! N 7, 000 5

26 PRIMEIRO DIA Sociedade Brasileira de Matemática XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase - Nível 3 PROBLEMA Veja problema do ível. PROBLEMA Veja problema 4 do ível. PROBLEMA 3 Temos um tabuleiro quadrado 0 0. Desejamos colocar peças em casas do tabuleiro de tal forma que ão eistam 4 peças formado em retâgulo de lados paralelos aos lados do tabuleiro. Determie o maior valor de para o qual é possível fazer esta costrução. SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 O plaeta Zork é esférico e tem várias cidades. Dada qualquer cidade eiste uma cidade atípoda i.e., simétrica em relação ao cetro do plaeta). Eistem em Zork estradas ligado pares de cidades. Se eiste uma estrada ligado as cidades P e Q etão também eiste uma estrada ligado as cidades P' e Q', ode P' é a atípoda de P e Q' é a atípoda de Q. Além disso, estradas ão se cruzam e dadas duas cidades P e Q sempre é possível viajar de P a Q usado alguma seqüêcia de estradas. O preço da Kriptoita em Urghs a moeda plaetária) em duas cidades ligadas por uma estrada difere por o máimo 00 Urghs. Prove que eistem duas cidades atípodas ode o preço da Kriptoita difere por o máimo 00 Urghs. PROBLEMA 5 Em Tumbólia eistem times de futebol. Deseja-se orgaizar um campeoato em que cada time joga eatamete uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domigos, e um time ão pode jogar mais de uma vez o mesmo dia. Determie o meor iteiro positivo m para o qual é possível realizar um tal campeoato em m domigos. EUREKA! N 7, 000

27 PROBLEMA Dado triâgulo ABC mostre como costruir com régua e compasso um triâgulo A B C de área míima com C' AC, A' AB e B' BC tal que B' A' C' B A C e A' C' B' A C B. C C' B' A A' B SOLUÇÕES TERCEIRA FASE - NÍVEL 3 PROBLEMA SOLUÇÃO DE HUGO PINTO IWATA São José do Rio Preto - SP) D E R Q C S P A B Como o petágoo e a estrela são regulares, o quadrilátero APQD é um trapézio. A área do trapézio APQD é igual à área do triâgulo APD somada à do triâgulo PQD. Como BDRP também é um trapézio, RP // QD, etão a área de PQD é EUREKA! N 7, 000 7

28 igual à de RQD. Como a estrela é regular, a área de RQD é igual à de ERS, etão, a área de PQD é igual à de ERS. Assim a área do trapézio APQD é igual à soma das áreas dos triâgulos APD e ERS, que é igual à figura APDRES, que é eatamete metade da estrela toda. Resposta: A área de APQD é 0,5. PROBLEMA SOLUÇÃO DE HUMBERTO SILVA NAVES Goiâia - GO) Supohamos, por absurdo, que todos os algarismos das casas decimais etre a a. casa decimal e a a. casa decimal de fossem zero, etão: ode Z e < ) K 0 ode K 0 ) 0 K 0 < 0 K, mas como 0 K 0, pois se ão fosse teríamos K /0, um absurdo, pois é irracioal!) etão: K K 0 K < 0 < 0 K < < K K K 0 K < < K < 0 < K, mas como 0, K 0 Z temos pela defiição de ): 0 K K K K 0 < K <, logo: 0 K K < 0 < K < K < K K < 0 < K 0 < 0 K <, um absurdo, pois ão eiste ehum iteiro maior que 0 e meor que, disto cocluímos que há um algarismo diferete de 0 estas casas decimais. Poderíamos ter uma aproimação 0 melhor pois K é bem meor que 0 ). deota a fução do "maior iteiro": é o úico iteiro tal que Obs: <. EUREKA! N 7, 000 8

29 PROBLEMA 3 SOLUÇÃO DA BANCA O problema é equivalete a ecotrar subcojutos A, A,, A 0 do cojuto {,, 3,, 0} cuja soma do úmero de elemetos seja a maior possível tais que a iterseção de dois quaisquer deles teha o máimo um elemeto A i é o cojuto das posições das peças a i-ésima liha do tabuleiro). Se A i tem k i ki ki ) elemetos etão há Ck i subcojutos de elemetos ão pode pertecer a dois dos cojutos A i, e há o total C 0 45 subcojutos de elemetos de 0 ki ki ) {,,,0}. Assim, devemos ter 45. i Por outro lado, se eistem i, j com k j > k i, temos ) ) ) ki ki ) kj kj ki ki ) kj kj C k. i Ck k j i kj < Ck C i kj 0 0 ki ki ) Assim para miimizar matedo ki fio devemos ter i k i k j para todo i, j. Se observamos que 5C 4 5C , cocluímos que se 0 0 ki ki ) 45etão k i , valedo a igualdade se e só i i se 5 dos k i são iguais a 4 e os outros 5 iguais a 3. Para que a cotrução seja possível esse caso precisamos de que cada par de elemetos apareça em eatamete um dos cojutos A i. Nesse caso, cada elemeto de {,, 3, 0} deve aparecer em 3 cojutos com 4 elemetos ou em um cojuto com 4 elemetos e 3 cojutos com 3 elemetos pois cada um dos outros 9 elemetos aparece eatamete uma vez juto com ele). Como haveria 5 cojutos com 4 elemetos, o úmero médio de cojutos com 4 elemetos aos quais cada elemeto pertece é, dode há elemetos que pertecem a 3 cojutos com 4 elemetos pois um elemeto ão pode pertecer a eatamete cojutos com 4 elemetos). Assim, podemos supor sem perda de geeralidade que A {,, 3, 4}, A {, 5,, 7} e A 3 {, 8, 9, 0}, mais etão qualquer outro cojuto de 4 elemetos deve estar cotido em {, 3,, 0}, e portato deve itersectar um dos cojuto A, A, A 3, A 4, em pelo meos elemetos. Portato, ão é possível i EUREKA! N 7, 000 9

30 0 que k 0 i k i i i seja igual a 35. Por outro lado é possível costruir eemplos com 34, como abaio: A {,, 3, 4}, A {, 5,, 7}, A 3 {, 5, 8, 9}, A 4 {3,, 8, 0}, A 5 {, 9, 0}, A {, 7, 0}, A 7 {3, 7, 9}, A 8 {4, 5, 0}, A 9 { 4,, 9} e A 0 {4, 7, 8}. PROBLEMA 4 SOLUÇÃO DE GILBERTO SANTOS DO NASCIMENTO São Paulo - SP) ' Seja C o atípoda de C. ' Vamos ligar C a e vice-versa, formado uma liha fechada. Abaio C ' C j é o atípoda de j C para todo j. C 3 C C C' C C' C' 3 C' ' Agora, supodo que a difereça da Kriptoita de C para C seja maior que 00. Etão, vamos supor que C C ) C 3 C ) C ' C ) > 00. Como ao EUREKA! N 7,

31 percorrer o camiho, temos de ter uma difereça zero ao chegarmos em C ovamete, somado C ' C ') C 3 ' C ') C C ') < 00. Agora, supodo que o Superma trace uma liha de C a C ' esta liha ão poderia ser uma estrada, pois C ' C > 00) a soma das difereças a parte de cima da liha deve ser maior que 00 e embaio meor que 00. > 00 C Parte de cima p.c.) Parte de baio p.b.) Agora, supodo que esta liha percorra a figura, ligado todas as cidades atípodas, a parte de cima, a soma deve cotiuar sedo maior que 00 e embaio meor que 00. Em p.c. parte de cima), a soma ão pode passar bruscamete de > 00 para < 00, pois são somadas apeas duas difereças de cada vez meores que 00 o total!). Assim, para que p.c. fique egativo < 00 e p.b. fique positivo > 00, teríamos de ter duas cidades atípodas com difereça > 00 em módulo. C' > 00 p.c. C ' C k < 00 p.b. < 00 p.b. p.c. > 00 C ' Cotiuado o percurso, ao chegarmos em C ', teremos de ligá-lo a C. No etato, p.c. estará em baio e a soma das difereças a direção de C ' para C terá de ser positivo > 00. Mas essa soma era egativa e < 00 quado começamos ) Cotradição. O mesmo ocorre aalogamete com p.b. Logo, em algum par da cidades uma cidade e sua atípoda), a difereça do preço da Kriptoita deverá ser meor ou igual a 00. Viva o Superma!. C C k ' C ' EUREKA! N 7, 000 3

32 PROBLEMA 4 SOLUÇÃO DE HUMBERTO SILVA NAVES Goiâia - GO) Supohamos, por absurdo, que os preços diferem por mais de 00 Urghs em todas as cidades atípodas, etão: 0 y 0 > 00 M 0 m 0 > 00 ode e y são atípodas e represetam o preço da Kriptoita). y > 00 M m > 00 y > 00 M m > 00 Ode M má, y ) e m mi, y )) Como sabemos que eiste um camiho de estradas que leva de M 0 até m 0, etão deve eistir uma estrada que liga para certo i, j N; i, j ) M i m j. Como eiste uma estrada ligado M i m j, também eiste uma estrada ligado m j M i atípodas). Pode acotecer i j, caso em que se coclui facilmete que M i m i > 00, um absurdo pois m i e M i são "vizihas", logo o preço da Kriptoita difere por o máimo 00 Urghs. Se i j, etão: M j m i 00 são "vizihas") M i m j 00, mas como M i m i > 00 e M j m j > 00, etão: M i M j m i m j > 00 M i m j M j m i > 00 M i m j M j m i > 00 M i m j M j m i > M i m j M j m i > 00, um absurdo, logo eistem cidades atípodas cujo preço difere o máimo em 00 Urghs. PROBLEMA 5 SOLUÇÃO DE FABRÍCIO SIQUEIRA BENEVIDES Fortaleza - CE) Façamos casos, par e ímpar. i) par. Cada time tem que jogar com cada um dos outros. Se os times são: T, T,, T ; temos que um time T i tem que jogar ) vezes e para isso precisará de pelo meos ) domigos. pois só pode jogar vez por domigo). Mostraremos que é possível realizar o campeoato em ) domigos. Para isso basta que o jogo etre T i e T j i j) ocorra o seguite domigo. EUREKA! N 7, 000 3

33 ) d ij i j mod ), d ij para i, j ) d i i mod ), d i para todo i, j se um dos times for T ). Podemos observar isso uma tabela que idique o dia etre T i e T j Eemplo: para d ij T T T 3 T 4 T 5 T T T T T T T O campeoato orgaizado assim satisfaz o problema pois: é fácil ver que um time i joga com cada um dos outros times o domigo d ij, j i). E cada time só joga uma vez um mesmo dia, caso cotrário teríamos: um time T i que joga cotra T j e T k o mesmo domigo, ou seja d ij d ki ) Se i : d j d k j k mod ) como, ) teriamos j k mod ), {j, k} {,,, } j k, uma cotradição. ) Se i..) j e k : d ik d ij i k i j mod ) j k mod ) e k j. uma cotradição..) j, k, sem perda de geeralidade: d i d ik i i i k mod ) i k mod ), {i, j} {,,, } i j, uma cotradição. Agora se for ímpar, como cada time tem que jogar com todos os outros seria ecessário pelo meos ) domigos. Só que ) domigos ão são suficietes pois em cada dia há um time que fica sem jogar. Assim, se o primeiro dia T i foi o time que ão jogou, ele aida precisará de mais ) domigos para jogar cotra os outros. De modo que são ecessários pelo meos domigos. EUREKA! N 7,

34 Para ver que domigos são suficietes, basta que o campeoato se orgaize assim: Sejam T, T,, T os times. Criamos um time virtual chamado T ode jogar cotra T um certo dia, sigifica ão jogar aquele dia. Temos etão times, orgaizamos etão como o caso aterior o campeoato. Como é par isso pode ser feito em dias. Obs: O eemplo para k ) times é obtido do de k) times esquecedo-se um dos times. Resposta: Se é par m. Se é ímpar m. PROBLEMA SOLUÇÃO DA BANCA C α c C' c α D B' A α a a α A' α B Sejam A, B, C os âgulos iteros do triâgulo ABC, sejam A', B', C' os âgulos iteros do triâgulo A'B'C' e cosideremos A' A e C' C. Seja D o poto de iterseção das circuferêcias circuscritas aos triâgulos AA'C' e CC'B'. Nos quadriláteros iscritíveis AA'DC' e CC'DB' temos A'DC' π A e C'DB' π C. Logo, A'DB' π π A) π C) π B, e portato, a circuferêcia circuscrita ao triâgulo BB'A' passa por D. No quadrilátero iscritível AA'DC', DAA' DC'A' α e DA'C' DAC' a. Como A A' cocluimos que DA'B' α. Logo, o quadrilátero iscritível BB'DA' temos que DBB' α. No quadrilátero iscritível CC'DB' temos que DCB' DC'B' c, e como C C' cocluímos que DCC' α. EUREKA! N 7,

35 O poto D está etão associado ao triâgulo ABC pela propriedade: DAB DBC CDA e portato ão depede da posição de A', B' e C'. O poto D é fio e sua costrução será mostrada o fial da solução. Como os âgulos A'DB', B'DC' e C'DA' são costates, a meor área possível do triâgulo A'B'C' é obtida quado os segmetos DA', DB' e DC' forem os meores possíveis. Logo, DA', DB' e DC' são respectivamete perpediculares aos lados AB, BC e CA. Costrução do poto D Seja E a iterseção da mediatriz de AB com a perpedicular a BC traçada por B. A circuferêcia de cetro E e raio EA EB é tagete em B à reta BC. Logo, para qualquer poto X do meor arco AB tem-se que XAB XBC. Seja F a iterseção da mediatriz de BC com a perpedicular a CA traçada por C. A circuferêcia de cetro F e raio FB FC é tagete em C à reta CA. Logo, para qualquer poto X do meor arco BC tem-se que XBC XCA. O poto D, iterseção desses dois arcos é tal que DAB DBC DCA. Note que qualquer poto D com esta propriedade deve pertecer a cada um dos lugares geométricos descritos acima, o que os dá a uicidade). EUREKA! N 7,

36 XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Resultado - Primeiro Nível 5 a. e a. séries) NOME CIDADE ESTADO PRÊMIO Hery Wei Cheg Hsu São Paulo SP Ouro Diogo dos Satos Suyama Belo Horizote MG Ouro Sergio Satos do Nascimeto São Paulo SP Ouro Gustavo Eufrásio Farias Fortaleza CE Ouro Luciao Lacerda Silveira Campo Grade MS Prata Emauel Augusto Varussa Padova Rio Claro SP Prata Fabrício Herique de Faria São Paulo SP Prata Thiago Jorge Mariho Vieira Fortaleza CE Prata Paulo Roberto Sampaio Satiago Salvador BA Prata Mariaa de Moraes Silveira Belo Horizote MG Prata Gabriel Vieira Laa Belo Horizote MG Broze João Cláudio Telles Viaa Rio de Jaeiro RJ Broze Rafael Daigo Hirama Campias SP Broze Aa Cláudia de Fraco Suzuki São Paulo SP Broze Luiza de Almeida Aoki S. J. dos Campos SP Broze Bruo Leoardo Scheider São José SC Broze Paulo Rebello Bortolii Judiaí SP Broze Victor Mesquita Barbosa Fortaleza CE Broze Thiago Augusto Caldas Bello Salvador BA Broze Siuhe Dji Maschio Shi São Paulo SP Broze Raul Máimo Aleadrio Nogueira Fortaleza CE Broze Bruo Fiorio Fortaleza CE Broze Pedro H. Milet Piheiro Pereira Rio de Jaeiro RJ Broze Berardo Melo Sobreira Fortaleza CE Broze Mário Luiz Araha da Silva Salvador BA Broze Corado F. Paulo da Costa Rio de Jaeiro RJ Broze Rodrigo Aguiar Piheiro Fortaleza CE Broze Daiel Medeiros de Albuqerque Fortaleza CE Broze Gabriela Duarte Costa Costatio Timóteo MG Broze Tiago Porto Barbosa Fortaleza CE Meção Horosa Vitor Herique Goçalves São Carlos SP Meção Horosa Gabriel Tomé de Lima Mogi das Cruzes SP Meção Horosa Gustavo Piheiro Melo Fortaleza CE Meção Horosa Túlio Ivo Cordeiro Fulálio Campia Grade PB Meção Horosa Leoardo Lucas Retz Maceió AL Meção Horosa Daiela Satie Kodo São Paulo SP Meção Horosa Rafael Satos Correia de Araujo Salvador BA Meção Horosa Felipe Paupitz Schlichtig Floriaópolis SC Meção Horosa Áliso Satos Xavier Fortaleza CE Meção Horosa Atoia Talie de Souza Medoça Fortaleza CE Meção Horosa Gustavo Hüber Campia Grade PB Meção Horosa Leoardo Deeke Boguszewski Curitiba PR Meção Horosa Paola Valete Giorgii Rio de Jaeiro RJ Meção Horosa Roberta Pieroi Viscoti São Paulo SP Meção Horosa Ala Hideki Uchida São Paulo SP Meção Horosa Ciciato Furtado Leite Neto Fortaleza CE Meção Horosa Marcus Edso Barreto Brito Fortaleza CE Meção Horosa Thiago de Sá Jorge Curitiba PR Meção Horosa Veto Ite Nues Vieira Curitiba PR Meção Horosa EUREKA! N 7, 000 3

37 Resultado - Segudo Nível 7 a. e 8 a. séries) NOME CIDADE ESTADO PRÊMIO Herique Chociay Pihais PR Ouro Davi Máimo Aleadrio Nogueira Fortaleza CE Ouro Maurício Massao Soares Matsumoto São Paulo SP Ouro Fábio Dias Moreira Rio de Jaeiro RJ Ouro Eduardo Kuio Kuroda Abe São Paulo SP Ouro Larissa de Lima Fortaleza CE Prata Eistei do Nascimeto Júior Fortaleza CE Prata Diego Cortez Gutierrez S. J. dos Campos SP Prata Berardo Freitas Paulo da Costa Rio de Jaeiro RJ Prata Bruo Koga Fortaleza CE Prata Rafael Tajra Foteles Teresia PI Prata Adré Luis Hirschfeld Daila São Paulo SP Prata Rodrigo Barbosa dos Satos Stei Vitória ES Prata Daiel Pessôa Martis Cuha Fortaleza CE Broze Jaquelye Gurgel Peaforte Fortaleza CE Broze Thiago Braga Cavalcate Fortaleza CE Broze Herique Cortada Barbieri São Paulo SP Broze Viícius Piovesa de Toledo Judiaí SP Broze Lucas Gabriel Maltoi Romao Judiaí SP Broze Dailo Vieira Castejo Goiâia GO Broze Thiago da Silva Sobral Fortaleza CE Broze Guilherme Oliveira Campos Bauru SP Broze Eduardo Barbosa Araújo Fortaleza CE Broze Tatyaa Zabaova Campias SP Broze Rafael Motorfao Fraco Marigá PR Broze Otacílio Torres Vilas Boas Salvador BA Broze Herique Ferades Macedo Juiz de Fora MG Meção Horosa Viicius de Aguiar Furvie São Paulo SP Meção Horosa Reato R. Siohara da S. Souza S. J. dos Campos SP Meção Horosa Daiel Teieira Brasília DF Meção Horosa Jefferso Ho Yu Lee São Paulo SP Meção Horosa Kiyoshi Horie Filho Ouriho SP Meção Horosa Fábio Eiji Arimura São Paulo SP Meção Horosa Toi Cheso Wag São Paulo SP Meção Horosa Guilherme Tosi Nova Veécia ES Meção Horosa Yuri Gomes Lima Fortaleza CE Meção Horosa Thiago Mizuta São Paulo SP Meção Horosa Lucas Sáber Rocha Macaé RJ Meção Horosa Daiel Nascimeto Duplat Salvador BA Meção Horosa Tiago Moteiro Ferades Rio Claro SP Meção Horosa Caio Ribeiro de Souza Rio de Jaeiro RJ Meção Horosa Adalberto Studart Neto Fortaleza CE Meção Horosa Reato Araújo Barbosa Sete Lagoas MG Meção Horosa Cibele Ferreira de Souza Mieiros GO Meção Horosa Maria Lima Medeiros Fortaleza CE Meção Horosa Carolia Nues Nery Belo Horizote MG Meção Horosa Germaa Oliveira Queiroz Fortaleza CE Meção Horosa Luciaa Akemi Nishimaru São Paulo SP Meção Horosa Fabiao Siggelkow Lihares São Paulo SP Meção Horosa SadraTie Nishibe Miamoto Mogi das Cruzes SP Meção Horosa Daiel Haawickel Juqueira Salvador BA Meção Horosa Solleo Natus Tavares de Meezes Fortaleza CE Meção Horosa Aa Laura Sfredo São Paulo SP Meção Horosa Bruo Gomes Coelho São Paulo SP Meção Horosa Daiel Bréscia dos Reis Belo Horizote MG Meção Horosa Adré Bastos Veras Teresia PI Meção Horosa LicolYoshyiti Hamaji São Paulo SP Meção Horosa João Paulo Aguiar Satos Juiz de Fora MG Meção Horosa Bruo Bozo Furla São Paulo SP Meção Horosa Márcio Atoio Ferreira Belo Filho Goiâia GO Meção Horosa João Felipe Almeida Destri Floriaópolis SC Meção Horosa Caio Bória de Oliveira S. J. dos Campos SP Meção Horosa Patrick Goçalves Jaguaré ES Meção Horosa Larissa Goulart Rodrigues Goiâia GO Meção Horosa Eduardo Horai São Paulo SP Meção Horosa EUREKA! N 7,