CURSO DE INVERNO DE AGOSTO/2012

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1 CURSO DE INVERNO DE INTRODUÇÃO À FÍSICA I AGOSTO/2012 Esta versão da apostila encontra-se sob revisão. Pró-Reitoria de Pós-Graduação/UFSC Pró-Reitoria de Ensino de Graduação/UFSC Projeto REUNI - Reestruturação e Expansão das Universidades Federais Programa de Pós Graduação em Física/UFSC

2 Apostila elaborada por: Ariel Werle (Mestrando em Física) Bruno Pavani Bertolino (Doutorando em Física) Germano Scmann Bortolotto (Mestrando em Física) Rodrigo Sergio Tiedt (Mestrando em Física) Victor Alexandre Veit Schmachtenberg (Doutorando em Física) Coordenação: Rafael Heleno Campos (Mestrando em Física) Supervisão: Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano Tragtenberg (Programa de Pós Graduação em Física da UFSC) Revisor final: Prof. Dr. Oswaldo de Medeiros Ritter (Programa de Pós Graduação em Física da UFSC) Cronograma do curso e ministrantes: 30/07/ Cinemática unidimensional (Germano Scmann Bortolotto) 31/07/ Vetores (Bruno Pavani Bertolino) 01/08/ Cinemática bidimensional (Rodrigo Sergio Tiedt) 02/08/ Leis de Newton (Ariel Werle) 03/08/ Aplicação das leis de Newton (Victor Alexandre Veit Schmachtenberg) Versão atual: v3.

3 Índice 1 Movimento em Uma Dimensão Introdução Grandezas, Unidades e Simbolos Grandezas Fundamentais e Suplementares Grandezas Derivadas Cinemática Unidimensional Deslocamento e Velocidade Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Aceleração Movimento Unidimensional com Aceleração Constante Corpos em Queda Livre Questões Exercícios Vetores Introdução Representação de um Vetor Operações de Adição e Subtração de Vetores Multiplicação de um Vetor por um Escalar Produto Escalar de Vetores Produto Vetorial

4 ÍNDICE Componentes de um Vetor em 2 Dimensões Vetores em 3 Dimensões Adição e Subtração de Vetores na Forma de Componentes Produtos de Vetores na Forma de Componentes Exercícios Movimento em Duas Dimensões Movimento em Duas Dimensões com Aceleração Constante Movimento de Projéteis em Duas Dimensões Movimento Horizontal Movimento Vertical Alcance Horzontal Altura Máxima Movimento Circular Uniforme Aceleração Tangencial e Radial Exemplos Exercícios Leis de Newton Um Pouco de História Referenciais, Repouso e Forças a lei de Newton a Lei de Newton Tipos de forças A 3 a Lei de Newton Exercícios

5 ÍNDICE 5 5 Aplicações das Leis de Newton Força de Atrito Movimento Circular Uniforme Forças de Arraste Exercícios Respostas dos Exercícios 60 7 Referências Bibliográficas 62

6 Capítulo 1 Movimento em Uma Dimensão 1.1 Introdução Utilizamos uma infinidade de palavras físicas que são cotidianamente conhecidas pelas pessoas, por exemplo: velocidade, força, energia, luz, calor, som e muitas outras. Se entrarmos em um campo mais profissional iremos nos deparar com tecnicismos tais como: luminotecnia, ressonância, reatância, ondas moduladas, etc., que são utilizados e às vezes intuitivamente compreendidos por diferentes pessoas nos mais diferentes campos profissionais. Das mais elevadas posições intelectuais; médicos, biólogos, geólogos, filósofos, historiadores, geógrafos, engenheiros, etc., até o mais humilde trabalhador, todos, absolutamente todos eles sem exceção, precisam em algum momento da física para compreender algo que está acontecendo. A palavra Física procede do termo grego ϕνσιζ, que significa natureza. Podemos dizer que a Física é um ramo da Filosofia Natural que estuda as propriedades básicas do Universo e, portanto, é regida pelos inalteráveis princípios que a natureza impõe. A Física tenta dar resposta aos fenômenos da natureza, fenômenos diários, que observamos a todo instante. Ela dá ao homem que com ela trabalha um espírito de observação, obrigandoo a perguntar-se o por quê? de certas mudanças que seu meio apresenta. 1.2 Grandezas, Unidades e Simbolos Nosso conhecimento é satisfatório quando podemos expressá-lo através de números. (Lord Kelvin) Apesar da beleza matemática de algumas de suas teorias mais complexas e abstratas, incluindo as partículas elementares e a relatividadegeral, afísicaéacimadetudoumaciência experimental. Portanto é de vital importância que os dados de quem realiza medidas tão precisas estejam de acordo com certos padrões, para que seja possível comunicar os resultados destas medidas de um laboratório a outro sem ambiguidades. Definiremos alguns termos úteis para este processo: GRANDEZA é tudo aquilo suscetível de medida. Exemplos: O comprimento, a massa, o tempo, são grandezas, já que podemos medilos. MEDIR é comparar duas grandezas da mesma espécie, uma das quais toma-se como UNI- DADE. Exemplo: Se A e B são grandezas da mesma espécie, e toma-se A como unidade, o número de unidades A que são necessárias para fazer uma grandeza igual a B, expressa a medida de B. 6

7 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 7 QUANTIDADE DE UMA GRANDEZA é o número de unidades que equivale aquela grandeza. Exemplo: O tempo é uma grandeza; sete anos é uma quantidade. UNIDADE é uma quantidade arbitrária que adota-se para comparar com ela quantidades de sua mesma espécie. Na escolha de uma unidade influi a extensão da quantidade a medir. Exemplos: Para fazer a medida da distância da Terra até uma estrela distante, escolhe-se o ano-luz; para a distância entre duas cidades o quilômetro; no comprimento de um ônibus o metro; na medida da espessura de um filme o milímetro e para a medida do comprimento de uma onda de luz o Angstrom (Å). Não é necessário que sejam sempre estas as unidades empregadas; podemos tomar como unidade qualquer quantidade arbitrária que nos convier: se chamamos A de uma quantidade (superfície na Figura 1.1), a quantidade B equivale a 4A; assim podemos medir B adotando A como unidade. fenômenos físicos realizados no espaço durante o transcorrer do tempo; a natureza nos impõe, assim duas grandezas fundamentais: o COM- PRIMENTO (L) e o TEMPO (t), sem uma definição precisa, e cuja existência conhecemos desde o momento em que nossas vidas se iniciam. No ramo da Física chamado mecânica, é preciso uma terceira grandeza fundamental definida por nossa própria intuição que, com as duas anteriores nos permita definir de um jeito coerente as novas grandezas que surgem nos fenômenos mecânicos; tal grandeza escolhe-se arbitrariamente: na Física teórica usa-se a MAS- SA (M) e na técnica a FORÇA (F). E como grandezas suplementares temos o ÂNGULO (rad) e o ÂNGULO SÓLIDO (sr). Figura 1.2: Unidades fundamentais no SI. Figura 1.1: A medida de B é 4 vezes A. 1.3 Grandezas Fundamentais e Suplementares São GRANDEZAS FUNDAMENTAIS aquelas cujas unidades escolhemos arbitrariamente como base do sistema de unidades e não possuem uma equação que as defina. Sendo os Figura 1.3: Fator, prefixo e símbolo. De acordo com o Sistema Internacional de Unidades(SI) asunidades maisbásicasemquepodemos expressar os resultados de uma medida

8 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 8 são as mostradas na Figura 1.2 e os prefixos de quantidade que facilitam a expressão de quantidades muito pequenas ou muito grandes dependendo do fator de escala em potências de 10 são mostrados na Figura Grandezas Derivadas uma hora; o quociente de dois números concretos indica a variação da grandeza do numerador, entre cada uma das unidades do denominador. Assim, compreende-se, que quando se define velocidade média como o espaço médio percorrido por unidade de tempo, e chama-se s ao espaço ou caminho percorrido e t ao tempo empregado em percorrê-lo, formula-se sem duvidar: Uma grandeza é DERIVADA quando é definida empregando-se outras grandezas simples ou fundamentais. Exemplo: ao dizer que um carro tem uma velocidade de 60 quilômetros por hora, batiza-se uma quantidade que corresponde a uma grandeza derivada ou composta, já que na sua determinação precisa-se da medida de um comprimento (informação fornecida pelos odômetros dos carros) e de um tempo (informação fornecida pelo uso de um cronômetro). A velocidade, portanto, é uma grandeza derivada. Realiza-se uma MEDIDA INDIRETA quando mede-se uma quantidade com relação a outras que serão relacionadas com aquelas por meio de uma fórmula matemática. A determinação de uma grandeza derivada exige: a) Sua definição correta, clara e concisa. b) Estabelecer uma fórmula matemática que abarque todas as idéias expressas na definição. c) Fixar unidades de medida. Uma vez compreendida e aprendida a definição de uma grandeza física, iremos expressá-la através de uma fórmula. A FÓRMULA é, na Física, a expressão de uma ideia. Exemplo 1.1: Umcarropercorreu180kmem 3 horas. Quantos quilômetros terá percorrido em uma hora? Solução: Um menino pensaria da seguinte forma: 180 km/3 horas = 60 km percorridos em velocidade média = espaço tempo v = s t (1.1) Exercício Proposto: Tendo em conta a equivalência entre unidades fundamentais, determinar os fatores de conversão de: a) km/h a milhas/h. b) lb/ft 3 a g/cm 3. c) m/s a jd/h. 1.5 Cinemática Unidimensional Amecânica éomaisantigodosramosdafísica, baseando-se no estudo do movimento dos objetos. O cálculo das trajetórias de uma bola de beisebol, um satélite de telecomunicações, uma espaçonave enviada para Marte, são algum dos problemas dos quais ocupa-se, assim como a análise da trajetória das partículas fundamentais que formam-se nas colisões nos maiores aceleradores do mundo como o LHC. A cinemática (do grego kinema, que significa movimento)éapartedamecânicaqueseocupa da descrição do movimento sem se preocupar com as suas causas. Para simplificar, iniciaremos o estudo do movimento ao longo de uma direção do espaço, então designamos este estudo de cinemática unidimensional.

9 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO Deslocamento e Velocidade O movimento de uma partícula é completamente conhecido se a posição dela no espaço é conhecida em qualquer instante de tempo. Consideremos o movimento de um carro no eixo x, Figura 1.4, no instante de tempo t = 0 ele está localizado a 30 m do sinal de trânsito. Começa-se a fazer medições em intervalos regulares de tempo t = 10 s e os resultados são os mostrado na tabela da Figura 1.5, onde no primeiro intervalo de tempo o carro mudou de posição, de A para B. Figura 1.5: Tabela de dados. Figura 1.4: Movimento do carro. O valor da posição começa a decrescer desde a posição B até F, enaposição D sua posiçãoé zero. O gráfico, Figura 1.6, mostra a variação da posição do carro com respeito ao tempo. A curva foi suavizada para facilitar a compreensão do leitor. Agora mudando de evento, se uma partícula encontra-se em movimento, pode-se determinar facilmente a mudança de sua posição. O Figura 1.6: Gráfico de posição em função do tempo. deslocamento de uma partícula é definido como uma mudança em sua posição. Movendo-sedaposiçãoinicialx i atéumaposição final x, esta mudança será representada pela letra grega. Portanto o deslocamento da

10 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 10 partícula é escrito como, x x x 0. (1.2) De acordo com esta definição x tem que ser maior que x 0 para obtermos um resultado positivo, do contrário o deslocamento será negativo. É comum confundir os termos deslocamento e distância percorrida. Imagine uma pessoa que sai de sua casa no bairro Trindade para a aula de Física na UFSC, mas ela tem que passar primeiro pelo Comper, pelo Banco do Brasil, para fazer um depósito para sua mãe, depois passar pela xerox perto do CTC e ao final ir ao CFM para a aula. A distância percorrida por ela é aquela toda descrita anteriormente, embora o deslocamento é somente a diferença entre o ponto final (aula de Física no CFM) e o ponto inicial (casa na Trindade). Para tentar esboçar isto um pouco melhor a Figura 1.7 mostra a ideia basica entre os dois conceitos. Voltandoàanálisedomovimento docarro, éde vital importância fazer uma descrição do deslocamento do carro no transcorrer do tempo, para cada intervalo mensurado( t), esta razão tem um nome muito especial, é chamada de velocidade média. A velocidade média v x de uma partícula é definida como o deslocamento x dividido pelo intervalo de tempo t no qual o deslocamento aconteceu: v x x t (1.3) Desta definição observa-se que a velocidade tem as dimensões de (L/t) metros por segundo no SI. A velocidade pode ser um valor positivo ou negativo, tudo vai depender se o deslocamento vai para a frente ou para atrás, mas o intervalo de tempo t sempre será uma quantidade positiva. Deve-se ressaltar que a velocidade média é uma grandeza vetorial, mas como o caso analisado até agora é unidimensional a direção do vetor é definida através do símbolo (+ ou -), dependendo o caso. Figura 1.7: Diferença entre deslocamento e distância percorrida. O deslocamento é um bom exemplo de uma grandeza vetorial. Muitas outras quantidades físicas, como a velocidade e a aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. Em geral, um vetor é uma grandeza física que precisa da especificação da direção e do velocidade escalar média = módulo. Ao contrário, um escalar é uma quantidade que tem módulo mas não direção. Em nosso dia a dia, utiliza-se a expressão rapidez para dizer de modo comparativo que um carro é mais rapido que outro, significando assim que um viaja a uma velocidade maior que o outro, mas não devemos nos confundir já que os dois termos apresentam ambiguidades em nosso jargão cotidiano. Define-se, a velocidade escalar média de uma partícula como uma quantidade escalar, que é a distância percorrida por ela no intervalo total de tempo: distância total tempo total (1.4) A unidade que apresenta a velocidade escalar

11 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 11 média nosiémetros porsegundo, igual avelocidade média, sendo a diferença fundamental é que esta última é uma grandeza vetorial eavelocidade escalar é um escalar. O conhecimento da velocidade escalar média não é informação suficente para saber o que aconteceu detalhadamente com o movimento de uma partícula. Exemplo 1.2: Ache o deslocamento, velocidade média e velocidade escalar média do carro que foi descrito anteriormente entre as posições A e F. Solução: A unidade dos deslocamentos é o metro, e o resultado numérico deve ser da mesma ordem de grandeza que foram os dados fornecidos. Sendo assim, as informações finais e iniciais são: x = 53 m a t = 50 s, x 0 = 30 m a t 0 = 0 s. Portanto, x = x F x A = ( 53 m) (30 m) = 83 m (1.5) Este resultado significa que o carro percorre uma distância de 83 metros na direção negativa desde o ponto inicial. Por outro lado é difícil fazer uma boa estimativa da velocidade média sem um bom cálculo, 1.7 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Frequentemente é preciso conhecer a velocidade de uma partícula em um determinado instante de tempo t, sem nos importarmos com o fato de que o intervalo de tempo é na verdade finito. Por exemplo, embora calculemos facilmente a velocidade média durante a viagem de um carro, o maior interesse está em conhecer instantaneamente sua velocidade, do mesmo modo que a polícia faz com os medidores de velocidade postos nas principais estradas das cidades. Isto nos leva a crer que o intervalo de variação ou t é cada vez mais curto até ser quase zero. Sendo assim que forma temos para analisar a velocidade de um corpo se o tempo encontra-se fixo? A resposta a esta pergunta controversia está relacionada diretamente com o cálculo diferencial, o qual nos ajudará a obter uma descrição instantânea do movimento dos corpos em qualquer tempo desejado. v x = x t = x x 0 = x F x A t t 0 t F t A = (53 m) 30 m 50 s 0 s = 83 m 50 s = 1,7 m/s. (1.6) Obtém-se que a velocidade escalar média do carro no percurso todo é a soma das distâncias percorridas dividida pelo tempo total: = 22 m+52 m+53 m 50 s = 2,5 m/s (1.7) Figura 1.8: a) Representa o movimento do carro. Para saber como este processo pode ser realizado, vamos considerar as Figuras 1.8 e 1.9, onde foi discutido a velocidade média no intervalo composto pela posição A até B. Fazendo B cada vez mais próximo de A, qual

12 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 12 Seja o último termo da equação anterior o correspondente à notação do cálculo diferencial, este valor limite é mais conhecido como a derivada da função posição x com respeito ao tempo t. A velocidade instantânea pode ter um valor positivo, negativo ou zero. A partir de agora usaremos o termo velocidade para a velocidade instantânea das partículas e a velocidade escalar média de uma partícula é definida como a razão entre o espaço total percorrido e o tempo total para percorrê-lo. Figura 1.9: b) O processo feito para obter a velocidade inicial do carro. daquelas linhas representa a velocidade inicial docarro? Sendo que ocarro partecomummovimento para a direita, portanto inicialmente a velocidade deve ser um valor positivo no intervalo A até B, mas avaliando a velocidade média entre A até F com certeza a velocidade terá um valor negativo. Aí vale ressaltar que a ideia principal desta discução é fazer o intervalo temporal de medida o menor possível até obtermos uma reta que corte a função num só ponto. Esta reta é chamada de reta tangente à curva e sua inclinação é a variação da posição no tempo instantaneamente. Aqui vamos definir o conceito de velocidade instantântea v x, que é igual ao valor limite da razão x/ t quando t é muito próximo de zero. Exemplo 1.3: Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x. A posição da partícula é descrita pela expressão x = 4t + 2t 2, onde x está em metros e t está em segundos. A Figura 1.10 mostra o gráfico da posição em função do tempo. A partícula move-se na direção negativa do x no primeiro segundo, está em repouso em t = 1 s e move-se na direção positiva do x para t > 1 s. (a) Determinar o deslocamento da partícula no intervalo de tempo t = 0 s a t = 1 s e de t = 1 s a t = 3 s. (b) Calcular a velociade média durante estos dois intervalos de tempo. (c) Obter a velocidade instantânea da partícula no tempo t = 2,5 s. Solução: (a) Durante o primeiro intervalo de tempo, tem-se uma curva com valores negativos e velocidade negativa. Assim o deslocamento entre A e B tem que ser um valor negativo em unidade de metro, do mesmo modo espera-se queodeslocamento entre B a D seja positivo. x v x lim t 0 t = dx dt (1.8) Figura 1.10: Posição em função do tempo para uma partícula no eixo x que move-se de acordo com a expressão x = 4t+2t 2. Para o primeiro intervalo de tempo o deslocamento é,

13 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO Aceleração x A B = x B x A = [ 4(1)+2(1) 2 ] [ 4(0)+2(0) 2 ] = 2 m. (1.9) Para calcular o deslocamento durante o segundo intervalo, x B D = x D x B = [ 4(3)+2(3) 2 ] [ 4(1)+2(1) 2 ] = +8 m. (1.10) Este último deslocamento pode ser visto diretamente do gráfico da posição em função do tempo. (b) No primeiro intervalo t = t B t A = 1 s, obtém-se que v x(a B) = x A B t = 2 m 1 s = 2 m/s. (1.11) Para o segundo intervalo, t = 2 s, portanto, v x(b D) = x B D t = 8 m 2 s = +4 m/s. (1.12) (c) Certamente pode-se estimar que a velocidade instantânea deve ser da mesma ordem que os resultados prévios, ao redor de 4 m/s. Examinando o gráfico, pode-se ver que a inclinação da reta tangente na posição C é maior que da reta que liga os pontos B e D. Assim, espera-se que a resposta seja maior que 4 m/s. Através de medições na curva do gráfico a t = 2,5 s, obtém-se, Diz-se que quando a velocidade de uma partícula muda como função do tempo, então ela apresenta aceleração. Seja como exemplo um carro que encontra-se numa corrida. Sua velocidade no momento inicial não será a mesma o tempo todo, pois o piloto vai procurar uma velocidade cadavezmaiorparaassimpoderganharacompetição. Supondo que uma partícula move-se ao longo do eixo x com uma velocidade inicial v x0 num instante t 0 e adquire uma velocidade final v x num instante t, define-se que a aceleração média de uma partícula é a mudança da velocidade v x dividida pelo intervalo de tempo decorrido t durante o qual aconteceu a mudança: ā x v x t = v x v x0 t t 0, (1.14) Sendo a aceleração a taxa de variação da velocidade com respeito ao tempo (L/t)/t, sua unidade no SI é o m/s 2. Em algumas situações o valor da aceleração pode ser diferente sobre diferentes intervalos. Por isso, define-se a aceleração instantânea como o limite da aceleração média para um tempo t muito próximo de zero. Figura 1.11: Diagrama do movimento de um carro ao longo do eixo x. Se imaginarmos que o ponto B esteja muito perto do ponto A na Figura 1.12, obtém-se a aceleração instantânea como, v x = +6 m/s. (1.13) a x lim t 0 v x t = dv x dt. (1.15)

14 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 14 ao longo do eixo x varia de acordo com a expressão v x = (40 5t 2 ) m/s onde t está em segundos. (a) Procurar a aceleração média no intervalo de tempo t = 0,0 s a t = 2,0 s. (b) Determinar a aceleração no tempo t = 2,0 s. Figura 1.12: Gráfico do movimento de um carro ao longo do eixo x. Diz-se que a aceleração instantânea é igual à derivada da velocidade com respeito ao tempo. Do mesmo modo pode-se dizer que a aceleração é a taxa da variação da velocidade no tempo. Se a x é positiva, então a velocidade é cada vez maior no tempo, mas se a aceleração é negativa então a velocidade apresenta um comportamento decrescente. 1 Figura 1.14: Gráfico da velocidade como função do tempo, de acordo à expressão v x = (40 5t 2 ) m/s. Solução: (a) A Figura 1.14 mostra o gráfico da velocidade em funçãodotempo, sendoqueacurva é decrescente até assumir valores negativos, esperando que a aceleração seja negativa. Obtém-se que a velocidade nos pontos t 0 = t A = 0,0 s e t = t B = 2,0 s é, portanto, Figura 1.13: (a)esboço da velocidade e (b) aceleração de uma partícula como função do tempo. v xa = (40 5(0,0)2 ) m/s = +40 m/s, v xb = (40 5(2,0)2 ) m/s = +20 m/s. (1.16) A Figura 1.13 mostra a curva da velocidade e da aceleração para uma partícula como função do tempo. Facilmente observa-se que os valores positivos da aceleração estão relacionados com o aumento da velocidade. Exemplo 1.4: A velocidade de uma partícula 1 Isto é verdade se a velocidade for positiva. Se a velocidade for negativa, o valor da velocidade aumentará, pois o sinal aqui só representa o sentido do movimento. Detalformaqueaaceleraçãonointervalodetempo t = 2,0 s é, ā x = v xb v xa t B t A (20 40) m/s = ( ) s = 10 m/s2. (1.17) O sinal negativo da aceleração média neste intervalo faz com que a velocidade da partícula adquira um valor menor que o inicial.

15 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 15 (b) A velocidade em qualquer ponto é dada por v x0 = (40 5t 2 ) m/s, portanto a velocidade para um tempo t+ t é, v x = 40 5(t+ t) 2 = 40 5t 2 10t t 5( t) 2. (1.18) Portanto a mudança da velocidade sobre o intervalo de tempo t é, quão complexo pode ser a descrição de um sistema. Por outro lado, é muito comum que a descrição dos movimentos unidimensionais seja assumida com aceleração constante. Sendo assim, a aceleração média em todos os tempos é a mesma, significando que a taxa da variação da velocidade é mesma durante todo o movimento. Na equação 1.14, ao substituir ā x por a x e tomando o tempo inicial t 0 = 0 s, obtém-se: v x = v x v x0 = [ 10t t 5( t) 2 ] m/s. (1.19) a x = v x v x0 t ou v x = v x0 +a x t. (1.22) Dividindo esta última expressão por t e pegando o limite para um intervalo de tempo muito pequeno: v x a x = lim t 0 t = lim t 0 ( 10t 5 t) = 10t m/s2. (1.20) Esta é uma poderosa expressão que permite determinar a velocidade de um objeto em qualquer tempo t caso se conheça avelocidade inicial doobjeto e sua aceleração (constante). As Figuras 1.15-, 1.16, 1.17 mostram os diferentes gráficos que descrevem o movimento de um corpo com aceleração constante. Substituindo o tempo t = 2,0 s, a x = ( 10)(2,0) m/s 2 = 20 m/s 2. (1.21) A principal diferença entre os dois procedimentos é que para o primeiro a aceleração é a média entre duas medidas nos pontos A e B, diferente de quando é avaliada apenas no ponto B, este resultado sendo a taxa de variação da velocidade naquele ponto ou o valor da reta tangente, significando assim, a aceleração instantânea. 1.9 Movimento Unidimensional com Aceleração Constante O caso no qual a aceleração de uma partícula varia com relação ao tempo é um bom exemplo do Figura 1.15: Gráfico que descreve a velocidade em função do tempo de um corpo com aceleração constante ao longo do eixo x. Para o movimento com aceleração constante a expressão para a velocidade média em qualquer intervalo de tempo é a média aritmética, v x = v x0 +v x. (1.23) 2 A equação para o deslocamento para qualquer corpo como função do tempo com aceleração constante é,

16 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 16 x x 0 = v x t = 1 2 (v x0 +v x )t. (1.24) Pode-se obter outra expressão útil para o deslocamento com aceleração constante ao fazer algumas substituições nas equações anteriores (se substituirmos v x da Equação 1.23 na Equação 2.12), x x 0 = 1 2 (v x0 +v x0 +a x t)t, x x 0 = v x0 t+ 1 2 a xt 2. (1.25) Figura 1.16: Gráfico que descreve a aceleração em função do tempo de um corpo com aceleração constante ao longo do eixo x. Se derivarmos a equação anterior com respeito ao tempo obtemos, v x = dx dt = d dx (x 0 +v x0 t+ 1 2 a xt 2 ) = v x0 +a x t (1.26) Finalmente, pode-se obter uma expressão para o deslocamento que não dependa do tempo, ao fazer asubstituiçãodotempodaequação1.26naequação 2.12, x x 0 = 1 ( ) 2 (v vx v x0 x0 +v x ) v 2 x = v2 x0 +2a x(x x 0 ) a x = v2 x v2 x0 2a x, (1.27) que é chamada Equação de Torricelli, inicialmente obtida no contexto da Física de Fluidos. No caso no qual a x = 0, as equações anteriores reduzem-se ao caso de movimento com velocidade constante. Figura 1.17: Gráfico que descreve a posição em função do tempo de um corpo com aceleração constante ao longo do eixo x. Exemplo 1.5: Um carro viajando a uma velocidade (constante) de 45,0 m/s passa ao lado de uma viatura da polícia que estava escondida atrás de uma propaganda na estrada. Um segundo após o carro passar pela propaganda, o policial parte para pegá-lo, acelerando a uma taxa constante de 3,00 m/s 2. Quanto tempoopolicial vai levar para ultrapassar o carro?

17 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 17 Equação v x = v x0 +a xt x x 0 = 1 2 (v x0 +v x)t x x 0 = v x0 t+ 1 2 axt2 v 2 x = v2 x0 +2ax(x x 0) Informação fornecida Velocidade como função do tempo Deslocamento como função da velocidade e do tempo Deslocamento como função do tempo Velocidade como função do deslocamento Tabela 1.1: Equações cinéticas do movimento unidimensional com aceleração constante. Solução: Uma leitura detalhada ajuda a compreender que o movimento do policial é uniformemente acelerado. Conhece-se que um segundo (1,0 s) após o carro passar o policial inicia a perseguição. Porém o carro move-se com velocidade constante. A Figura 1.18 ajudará a compreender melhor os eventos. policial, ele parte da origem no tempo t = 0,0 s com uma aceleração constante. Assim a equação que descreve seu movimento é x = x 0 +v x0 t+ 1 2 a xt 2, x policial = 0+0t+ 1 2 (3,00 m/s2 )t 2. (1.29) A ideia aqui é queopolicial vai ultrapassar ocarro no instante quando suas posições sejam as mesmas, chamado instante C : x policial = x carro, 1 2 (3,00 m/s2 )t 2 = 45,0 m+(45,0 m/s)t, levando, assim, a uma equação quadrática, (1.30) 1.50t 2 45,0t 45,0 = 0.0, (1.31) sendo solução física da equação (tempos positivos), quando t = 31,0 s. Figura 1.18: O esboço dos eventos. Primeiro, escrevendo a posição do carro como função do tempo, convenientemente escolhendo a posição da propaganda como a origem e t B 0,0 s como o tempo da partida do policial. Naquele instante o carro já terá percorrido uma distância de 45,0 m, portanto a posição inicial do carro é x B = 45,0 m. A equação do deslocamento do carro é dada por x carro =x B +v xcarro t (1.28) =45,0 m+(45,0 m/s)t, mostrando assim que para o tempo igual t = 0 s a posição do carroéx carro = 45,0 m. Para o caso do 1.10 Corpos em Queda Livre Já é bem conhecido o fato que os corpos de diferentes formas, quando na ausência de atrito, caem com a mesma aceleração em direção ao centro da terra devido à ação da gravidade. Assim define-se o conceito de queda livre. A queda livre é a situação em que um objeto qualquer move-se somente pela ação da gravidade, sem ter em consideração seu movimento inicial. Denotase a aceleração da queda livre pela letra g (gravidade). O valor da gravidade na superfície da terra é g = 9,8 m/s 2 (sendo este um valor médio, pois a aceleração da gravidade varia com a latitude e a altitude). Se for desprezado o atrito com o ar durante a queda livre dos corpos, as equações que descrevem

18 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 18 o movimento uniformemente acelerado adaptamse perfeitamente com a descrição da queda dos corpos apenas substituindo a aceleração pela gravidade a y = g = 9,8 m/s 2 onde o sinal negativo está relacionado com a escolha do sentido positivo do eixo das posições apontando para cima. Exemplo 1.6: Uma pedra é lançada do alto de um prédio com uma velocidade inicial para acima de 20,0 m/s. A altura do prédio é de 50,0 m. Assuma que a pedra começa seu movimento em t = 0,0 s. Determinar, (a) o tempo no qual a pedra estará na sua máxima altura, (b) a máxima altura, (c) o tempo no qual a pedra retorna à altura original, (d) a velocidade da pedra naquele instante e (e) a velocidade e a posição no tempo t = 5,0 s. Solução: (a) No ponto onde a altura é máxima a velocidade da pedra é zero. Para calcular este tempo utiliza-se a equação v y = v y0 + a y t, mas v y = 0,0 m/s para a altura máxima, então e desprezando o resultado negativo, obtemos que para o tempo t = 4,08 s a pedra estará novamente em sua altura inicial. (d) Para calcular a velocidade basta fazer a seguinte relação, v y = v y0 +a y t = 20,0 m/s+( 9,80 m/s 2 )(4,08 s) (1.35) = 20,0 m/s. O valor negativo da velocidade índica que sua direção é agora oposta à direção original (na qual a pedra ia para cima). (e) Para esta parte a análise será um pouco diferente, pois considera-se o que acontece depois do ponto B, onde a pedra encontra-se com velocidade zero e na sua altura máxima, até chegar à posição D, tendo assim t = t D t B : 20,0 m/s+( 9,8 m/s 2 )t = 0,0, 20,0 m/s t máx = 9,80 m/s 2 = 2,04 s. (1.32) (b) Para calcular a altura máxima, v yd = v yb +a y t = 0,0 m/s+( 9,8 m/s 2 )(5,00 s 2,04 s) = 29,0 m/s. (1.36) y máx = v y0 t máx a yt 2 máx = (20,0 m/s)(2,04 s)+ 1 2 ( 9,8 Embora o cálculo poderia ter sido feito desde o m/s2 )(2,04 s) 2 ponto inicial A, onde t = t D t A = 5,00 s: Substituindo o tempo t = 5,0 s na equação da veloci- = 20,4 m. (1.33) dade (c) Para calcular o tempo necessário para que a pedra esteja novamente na altura inicial, fazemos y = y 0 = 0 m, assim: v y = v y0 +a y t = 20,0 m/s+( 9,8 m/s 2 )(5,00 s) = 29,0 m/s, (1.37) y y 0 = v y0 t+ 1 2 a yt 2, 0 = 20,0t 4,90t 2. (1.34) e na equação da posição A solução desta equação obtêm-se resolvendo uma equação de segundo grau. Resolvendo a equação

19 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 19 que cai num queda livre partindo de uma posição y = y 0 +v y0 t+ 1 2 a yt 2 de equilíbrio, desprezando o atrito com o ar. Como o gráfico poderia variar ao levar em consideração = 0.0 m+(20,0 m/s)(5,00o s) atrito com o ar? ( 9,8 m/s2 )(5,0 s) 2 = 22,5 m. (1.38) 1.12 Exercícios Exercício Proposto: (a) Achar a velocidade da pedra justamente antes que ela atinja o chão e (b) o tempo total da trajetória. Resposta: (a) 37,1 m/s, (b) 5,83 s Exercício 1.1: O deslocamento como função do tempo de uma partícula ao longo do eixo x é mostrado na Figura Achar a velocidade média nos seguintes intervalos (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4 s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s Questões Questão 1.1: Se a velocidade média é diferente de zero num intervalo estabelecido, será que a velocidade instantânea nunca poderá ser zero? Explicar os argumentos. Questão 1.2: Umestudantenotopodeumprédio de altura h lança uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de módulo v y0 e lança uma segundabolapara baixo com umavelocidade inicial de mesmo módulo. Qual é o módulo da velocidade final das bolas quando elas chegam ao chão? Questão 1.3: Dois carros estão se movendo em direções paralelas ao longo de uma rodovia. Num instante a velocidade escalar do carro A é maior que a velocidade escalar do carro B. Isto significa que a aceleração do carro A é maior que a que tem o carro B? Questão 1.4: Em outro planeta que tem o valor da gravidade três vezes maior que a gravidade da terra, g = 3g, quanto tempo precisará um corpo que cai desde uma altura h do repouso até chegar ao chão? Compare o resultado quando o mesmo corpo encontra-se na terra. Questão 1.5: Faça um esboço do gráfico da velocidade escalar em função do tempo para um corpo Figura 1.19: Exercício 1.1. Exercício 1.2: Uma pessoa está caminhando com uma velocidade constante de módulo v 1 ao longo de uma linha reta formada pelos pontos A e B e depoisvolta aolongo damesmalinhacom umavelocidade constante de módulo v 2. (a)qual sua velocidade escalar média em todo o percurso? (b)qual sua velocidade média em todo o percurso? Exercício 1.3: A posição de uma partícula varia em relação ao tempo ao longo do eixo x, como é mostrado na Figura (a) Achar a velocidade média no intervalo de tempo de t = 1,5 s até t = 4,0 s. (b) Determine a velocidade instantânea em t = 2,0 s pormedição dareta tangente à curva como é mostrada no gráfico da Figura (c) Qual é o valor de t para qual a velocidade instantânea é zero?

20 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 20 valores de tempo anteriores, (c) a aceleração média neste intervalo e (d) a aceleração instantânea para os dois valores de tempo mencionados. Figura 1.20: Exercício 1.3. Exercício 1.4: Utilizando-se dos dados da Tabela 1.2 para a posição x em metros para um dado tempo t em segundos para um carro movimentandose ao longo de uma reta: Exercício 1.7: A Figura 1.21 mostra o gráfico da velocidade em função do tempo de um motoqueiro que começa seu movimento partindo do repouso, movendo-se ao longo do eixo x. (a) Achar a aceleração média no intervalo de t = 0,00 s até t = 6,00 s. (b) Estimar o tempo no qual ele adquire o valor máximo positivo da aceleração e o valor dela. (c) Quando a aceleração é zero? (d) Estimar o valor máximo negativo da aceleração e o tempo no qual ocorre. x(m) 0,0 2,3 9,2 20,7 36,8 57,5 t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Tabela 1.2: Exercício 1.4. (a) Construa uma curva suave da posição versus o tempo. (b) Construindo a reta tangente a curva Figura 1.21: Exercício 1.7. x (t), achar a velocidade instantânea em qualquer instante de tempo. (c) Fazer o gráfico da velocidade instantânea como função do tempo e de- para aterrissar com uma velocidade de 100 m/s e Exercício 1.8: Um avião aproxima-se da terra terminar o valor da aceleração média do carro. pode desacelerar a uma taxa de 5,00 m/s 2 até (d) Qual é a velocidade inicial do carro dada pela chegar ao repouso. (a) Desde o instante no qual equação da velocidade instantânea obtida na questãoo avião encosta na terra, qual é o tempo mínimo (b)? para que o avião possa estar completamente em repouso? (b) Pode o avião aterrissar no aeroporto Exercício 1.5: Uma partícula viaja com uma velocidade de 60,0 m/s ao longo do eixo x no ins- de uma ilha tropical que tem 0,800 km de pista? tante inicial t = 0,0 s. Num tempo t = 15,0 s Exercício 1.9: Um mulher pula do 17 o andar de após o início a velocidade é zero, pois ela diminuiu a velocidade a uma taxa constante neste in- a altura h = 0,0 m ela cai sobre um colchão de um prédio a uma altura de 49 m, quando chega tervalo. Qual é o valor da aceleração média neste ar amortecendo seu movimento numa distância de intervalo? O que significa o sinal da resposta? 1,6 m. Calcular: (a) A velocidade escalar da mulher justamente no instante de tempo antes de ela Exercício 1.6: Um objeto está se movendo ao tocar o colchão. (b) A aceleração média quando longo do eixo x de acordo com a expressão x(t) = (3,00t 2 está em contato com o colchão. (c) O tempo de 2,00t +3,00) m. Determinar, (a) a velocidade média no intervalo de t = 2,00 s até queda. (d) O tempo de contato com o colchão até que sua velocidade seja zero. t = 3,00 s, (b) a velocidade instantânea nos dois

21 CAPÍTULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 21 Exercício 1.10: A altura de um helicóptero com respeito ao chão é h = 3,00t 2. Partindo do chão, após 2,00 s ele deixa cair uma sacola de massa M. Quanto tempo precisará a sacola para chegar a terra?

22 Capítulo 2 Vetores 2.1 Introdução Muitas grandezas físicas, tais como massa, carga elétrica e temperatura, são chamadas grandezas escalares, e necessitam apenas de um número seguido de uma unidade de medida apropriada para serem definidas. Outro conjunto de grandezas físicas, como força, velocidade e deslocamento são chamadas grandezas vetoriais, e representadas por flechas no espaço às quais damos o nome de vetores. Essas flechas possuem módulo, direção e sentido. Figura 2.2: Vetor a. do vetor, isto é, ele especifica a intensidade da grandeza associada a ele. Se representarmos um vetor por uma letra com uma flecha em cima, por exemplo a, podemos representar simbolicamente o módulo por a, ou, simplesmente, a. 2 - Direção: É a inclinação ou ângulo de um vetor em relação a um eixo de um determinado sistema de referência (Figura 2.3). 2.2 Representação de um Vetor Para representar graficamente um vetor, consideramos, inicialmente, um segmento de reta AB sobre a reta r, na Figura 2.1 Figura 2.3: Direção. Figura 2.1: Segmento de reta. orientando esse segmento com uma seta, que inicia em A e termina em B, obtemos a representação gráfica de um vetor, conforme a Figura 2.2. Como havíamos dito antes, um vetor é completamente especificado por três informações: 3- Sentido: Coincidindo com a orientação do vetor, o sentido indica para onde aponta o vetor, conforme é mostrado na Figura 2.4 Para todo vetor com um determinado sentido, existe um vetor com sentido oposto. Por exemplo, o vetor a possui um vetor com sentido oposto representado por a. 1 - Módulo: Dado por um número seguido de uma unidade, o módulo está associado ao tamanho 22

23 CAPÍTULO 2. VETORES 23 Figura 2.4: Sentido. 2.3 Operações de Adição e Subtração de Vetores A operação de subtração de vetores pode ser construída levando em conta que o vetor b é o vetor b com sentido oposto. A subtração de dois vetores a e b é então obtida usando a equação (2.1), ou seja, ( s = a+ ) b = a b, (2.2) geometricamente, a subtração de dois está ilustrada na Figura 2.6. Para que possamos manipular equações envolvendo vetores, devemos saber como estes objetos matemáticos se comportam ao efetuarmos operações matemáticas conhecidas. Representando dois vetores quaisquer por a e b, podemos formar um terceiro vetor s com a definição de soma vetorial s = a+ b (2.1) A operação de soma pode facilmente ser visualizada geometricamente. Na Figura 2.5, representamos a soma dos vetores a e b. Figura 2.5: Soma de vetores. A técnica para desenhar uma soma vetorial consiste em: (1) Desenhar o vetor a preservando a sua orientação. (2) Desenhar o vetor b com seu início na extremidade do vetor a. (3) O vetor soma será feito desenhando uma flecha ligando o início do vetor a com a extremidade do vetor b. Figura 2.6: Subtração de vetores. É possivel representar graficamente a operação de soma vetorial com um número arbitrário de vetores. Para exemplificar, consideramos os vetores a, b, c, d, e, representados na Figura 2.7. O vetor resultante da soma a + b + c + d + e é obtido de forma análoga à soma de dois vetores. Inicialmente o vetor a é fixado em uma posição, deslocaseparalelamenteovetor bdeformaquesuaorigem coincida com a extremidade do vetor a. Repete-se o processo para os vetores c, d, e, e ao final o vetor soma terá sua origem no início do vetor a e sua extremidade estará junto com a extremidade do vetor e, conforme ilustrado na Figura 2.8. Podemos pensar no deslocamento de uma partícula como a soma vetorial de deslocamentos intermediários. Dessa maneira, é fácil interpretar a regra da soma geométrica de vetores como uma sequência de deslocamentos. Pode-se notar que a operação de soma a + b tem o mesmo resultado da operação de soma b+ a, ou seja, a adição de vetores é comutativa.

24 CAPÍTULO 2. VETORES Produto Escalar de Vetores Figura 2.7: Vetores a, b, c, d, e. Certas grandezas físicas são especificadas apenas por um número seguido de uma unidade, e são chamadas grandezas escalares. A operação de produto escalar entre dois vetores a e b tem como resultado um escalar, é representada por a b (lê-se a escalar b) e definida como a b = abcosθ, (2.3) onde a e b são os módulos de a e b, respectivamente, e θ é o ângulo entre a e b, como mostrado na Figura Figura 2.8: Soma dos vetores a, b, c, d, e. 2.4 Multiplicação de um Vetor por um Escalar Quando multiplicamos um vetor a por um escalar s obtemos outro vetor cujo módulo é o produto do módulo de a pelo valor absoluto de s, cuja direção é a mesma de a e cujo sentido é o mesmo de a, se s for positivo, e o sentido oposto, se s for negativo. Para dividir a por s, multiplicamos a por 1/s. Os resultados da multiplicação de um vetor a por 2 e 1/3 são mostrados na Figura 2.9. Figura 2.10: Ângulo entre dois vetores. Um exemplo de uma grandeza escalar obtida através do produto escalar de vetores é o trabalho de uma força constante sobre um corpo, dado por: W = F d (2.4) Onde F é a força aplicada e d o deslocamento do corpo. O produto escalar possui as propriedades: 1) ( a b ) = b a 2) a b+ c = a b+ a c ( 3) (n a) b = a n ) ( ) b = n a b, sendo n um número real. Figura 2.9: Multiplicação por escalar. 2.6 Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores a e b, representado por a b (lê-se a vetorial b) é definido

25 CAPÍTULO 2. VETORES 25 de forma que o vetor c, resultante desse produto, tenha as seguintes características: Módulo: O módulo do vetor c é igual ao produto do módulo do vetor a pelo módulo de b multiplicado pelo seno do ângulo formado por a e b, ou seja, c = absenθ. (2.5) Geometricamente, o módulo do vetor c é igual à área do paralelogramo gerado pelos vetores a e b, como mostrado na Figura Figura 2.12: Regra da mão direita. 2.7 Componentes de um Vetor em 2 Dimensões Figura 2.11: Módulo do produto vetorial. Direção: O vetor c = a b será perpendicular ao plano determinado pelos vetores a e b, ou seja, será simultaneamente perpendicular a a e b, caso osvetores ae bnãosejamparalelos. Seosvetores a e b forem paralelos o resultado do produtovetorial entre eles é 0. Sentido: O sentido do vetor é dado pela regra da mão direita. Os vetores a e b determinam um plano. Imagine um eixo perpendicular passando pela origem dos dois vetores a e b, alinhe sua mão direita podendo girar em torno desse eixo, então gire a mão de a para b. O polegar indicará o sentido do vetor a b, conforme ilustra a Figura 2.12 O produto vetorial possui as seguintes propriedades algébricas: 1) ( a ) b = b a, 2) a b+ c = a b+ a c, 3) (n a) ( b = a n ) ( b = n a ) b. sendo n um número real. Exemplos de grandezas físicas obtidas através do produto vetorial são a força de Lorentz e o torque de uma força. Podemos escrever um vetor qualquer como a soma de outros vetores. Consideramos inicialmente um sistema cartesiano xy de coordenadas. Sejam a x um vetor que possui a mesma direção do eixo x e a y um vetor que possui a mesma direção do eixo y. A soma destes vetores fornece um vetor a dado por a = a x + a y, (2.6) conforme ilustrado na Figura Os vetores a x e a y são as chamadas componentes do vetor a. Figura 2.13: Componentes de um vetor Dessa forma é possivel construirmos vetores com tamanho arbitrário através da multiplicação de suas componentes por um escalar. A multiplicação

26 CAPÍTULO 2. VETORES 26 de um vetor por escalar preserva a direção, no entanto pode alterar o módulo e o sentido. Definindo os versores î e ĵ, vetores unitários que possuem a mesma direção e apontam no sentido positivo dos eixos x e y respectivamente, os vetores a x e a y que aparecem na equação (2.6) podem ser escritos com módulo e sentido arbitrários: em que o eixo y corresponda a direção norte e o eixo x corresponda ao leste, conforme a Figura a x = a x î, a y = a y ĵ, (2.7) ondea x ea y sãoescalares. Substituindoaequação (2.7) na equação (2.6), obtemos a = a x + a y = a x î+a y ĵ, (2.8) Em muitos problemas envolvendo vetores não dispomos de informações diretas sobre o módulo, a direção e o sentido dos vetores. Em vez disso, dispomos de informação acerca de suas componentes escalares. Para exemplificar, imaginamos um plano representado por um sistema de coordenadas cartesiano, conforme indica a Figura Iremos chamar de a x a projeção do vetor no eixo x e a y a projeção no eixo y. Sabendo o ângulo θ que o vetor a forma com o eixo x, teremos as relações a x = acosθ, a y = asinθ, (2.9) onde a é o módulo de a, que é obtido pelo teorema de Pitágoras a = a 2 x +a 2 y, (2.10) as quantidades a x e a y são as componentes escalares do vetor a. Exemplo 2.1: Sabe-se que, após deixar o aeroporto, um avião foi avistado a uma distância de 215km,voandoemumadireçãoquefazumângulo de 22 o com o norte para leste. Qual é a distância percorrida a norte e a leste do aeroporto? Solução: O problema pode ser facilmente resolvido se escolhermos um sistema de coordenadas Figura 2.14: Sistema de coordenadas em que o eixo y aponta para o norte e o eixo x aponta para o leste. Nesse sistema de coordenadas, o módulo do vetor a é justamente a distância percorrida pelo avião. Como os eixos x e y formam um angulo de 90 o, então oangulodoeixoxcomovetor deslocamento do avião é 90 o 22 o = 68 o. Aplicando a equação (2.9) temos a x = acosθ = (215 km)(cos68 o ) = 81 km, a y = asinθ = (215 km)(sen68 o ) = 199 km. 2.8 Vetores em 3 Dimensões Até agora trabalhamos com vetores com componentes em uma e duas dimensões. Considerando o espaço tridimensional, utilizamos os eixos cartesianos de coordenadas xyz. Para representarmos um vetor a em termos de vetores unitários, devemos introduzir um novo vetor unitário apontando para o sentido positivo do eixo z, como mostra a Figura Denotaremos este vetor por ˆk. Dessa forma a expressão (2.8) é escrita como a = a x î+a y ĵ +a zˆk (2.11) o que pode ser vizualizado na Figura 2.16.

27 CAPÍTULO 2. VETORES 27 Solução: Com base nos resultados obtidos na equação (2.13), podemos obter a fórmula s = (a x +b x +c x )î+(a y +b y +c y )ĵ+ (a z +b z +c z )ˆk substituindo os valores numéricos Figura 2.15: Versores no espaço tridimensional. s = (4,2 1,6+0)î+( 1,6+2,9+0)ĵ +(0+0 3,7)ˆk = 2,6î+1,3ĵ 3,7ˆk. Figura 2.16: Componentes de um vetor no espaço tridimensional. O módulo a de um vetor em 3 dimensões, também representado por a, pode ser obtido com a equação a = a 2 x +a 2 y +a 2 z (2.12) 2.9 Adição e Subtração de Vetores na Forma de Componentes A soma de a com um vetor b = b x î + b y ĵ + b zˆk é obtida somando-se as componentes de mesma direção: s = a+ b ( ) = a x î+a y ĵ +a zˆk ( ) + b x î+b y ĵ +b zˆk = (a x +b x )î+(a y +b y ) j +(a z +b z )ˆk. (2.13) Exemplo 2.2: Os vetores abaixo estão expressos em termos de vetores unitários a = 4,2î 1,6ĵ, b = 1,6î+2,9ĵ, c = 3,7ˆk. Ache o vetor soma dos vetores acima Produtos de Vetores na Forma de Componentes Para multiplicar um vetor na forma de componentes por um escalar, multiplicamos todos os componentes do vetor pelo escalar. Isto é: s a = sa x î+sa y ĵ +sa zˆk (2.14) Os produtos escalar e vetorial podem ser realizados utilizando os componentes dos vetores envolvidos. Para efetuar o produto escalar, notamos que: î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = cos0 o = 1, î ĵ = î ˆk = ĵ ˆk = cos90 o = 0 Isto ocorre porque î, ĵ e ˆk são mutuamente perpendiculares. Dados dois vetores a = a x î + a y ĵ + a zˆk e b = b x î + b y ĵ + b zˆk, o produto escalar entre eles na forma de componentes é dado por: a b = a x b x +a y b y +a z b z (2.15) Exemplo 2.3: Qual é o ângulo formado pelos vetores a = 3î 4ĵ e b = 2î+3ˆk?

28 CAPÍTULO 2. VETORES 28 Solução: A definição de produto escalar, dada anteriormente, deve ser coerente com a notação de vetores unitários, para representar um vetor qualquer. Então a equação (2.3) pode ser usada para calcular o produto das componentes dos vetores: a b = abcosθ ( ) ( ) = 3î 4ĵ 2î+3ˆk = 6î î+9î ˆk+8ĵ î 12 j ˆk = 6cos0 o +9cos90 o +8cos90 o 12cos90 o = 6, ou seja, onde cosθ = 6 ab, a = 3 2 +( 4) 2 = 5, b = ( 2) = 13, ab = , dessa forma o ângulo pode ser escrito como cosθ = 1 3, θ = arccos ( ) 1 = 109 o. 3 Agora vamos efetuar o produto vetorial. Devido à definição do produto vetorial, os vetores unitários î, ĵ, ˆk devem satisfazer as relações 2.11 Exercícios Exercício 2.1: Com os vetores u = 2î+3ĵ +4ˆk e v = î+5ĵ 3ˆk, calcule u v. Exercício 2.2: Dados os vetores t = 2î 4ĵ, v = 5î+ĵ e z = 12î +6ĵ, determinar k 1 e k 2 para que z = k 1 t+k 2 v. Exercício 2.3: Verifique que os vetores u = î e v = ĵ, são ortogonais. Exercício 2.4: Determine o módulo dos vetores: a) u = 3î+2ĵ 6ˆk, b) w = 7î+ĵ 7ˆk. Exercício 2.5: Calcule o ângulo entre os vetores a = 3î 4ĵ e b = 8î 6ĵ. Exercício 2.6: Seja a = 3î ˆk e b = 5ĵ + 7ˆk. Encontre o vetor c = a b Exercício 2.7: Sejam os vetores a = 4î 3ĵ e b = î+ĵ +4ˆk. Calcule: a) a+ b, b) a b, c) c tal que a b+ c = 0. Exercício 2.8: O vetor a ilustrado na Figura 2.17 tem módulo igual a 5 cm e faz um ângulo de 120 o com o semi-eixo positivo OX. Determine as suas componentes nas direções x e y. î ĵ = ˆk, ĵ ˆk = î, ˆk î = ĵ, î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0. Exemplo 2.4: Se a = 3î 4ĵ e b = 2î + 3ˆk, obtenha o vetor c = a b. Solução: Aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial temos: a ( ) ( ) b = 3î 4ĵ 2 i+3ˆk, ) ) ) = 6(î î +9 (î k +8(ĵ î = 12î 9ĵ 8ˆk. ) 12(ĵ ˆk Figura 2.17: Exercício 2.8. Exercício 2.9: A componente x de um vetor vale -25 unidades e a componente y vale 40 unidades. Qual o ângulo entre esse vetor e o sentido positivo dos x? Exercício 2.10: verifique que o produto vetorial de dois vetores a b pode ser escrito como o î ĵ ˆk determinante da matriz a x a y a z. b x b y b z